Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем
Рассматривается монотонное линейное расширение динамической системы. Исследуются вопрос существования инвариантных многообразий, экспоненциальной разделенности для линейных расширений, которые сохраняют структуру порядка, а также связь между монотонностью линейных расширений и вопросами существовани...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166400 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем / А.Л. Гречко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1326–1335. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166400 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1664002020-02-20T01:26:48Z Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем Гречко, А.Л. Статті Рассматривается монотонное линейное расширение динамической системы. Исследуются вопрос существования инвариантных многообразий, экспоненциальной разделенности для линейных расширений, которые сохраняют структуру порядка, а также связь между монотонностью линейных расширений и вопросами существования ограниченных решений неоднородных линейных расширений (слабая регулярность, квазирегулярность). We study monotone linear extensions of dynamical systems. The problem of existence of invariant manifolds and exponential separation is investigated for linear extensions on vector bundles that preserve the order structure. We also study the relationship between the monotonicity of linear extensions and the existence of bounded solutions of inhomogeneous linear extensions (weak regularity, quasiregularity). 2011 Article Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем / А.Л. Гречко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1326–1335. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166400 517.9 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гречко, А.Л. Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем Український математичний журнал |
| description |
Рассматривается монотонное линейное расширение динамической системы. Исследуются вопрос существования инвариантных многообразий, экспоненциальной разделенности для линейных расширений, которые сохраняют структуру порядка, а также связь между монотонностью линейных расширений и вопросами существования ограниченных решений неоднородных линейных расширений (слабая регулярность, квазирегулярность). |
| format |
Article |
| author |
Гречко, А.Л. |
| author_facet |
Гречко, А.Л. |
| author_sort |
Гречко, А.Л. |
| title |
Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем |
| title_short |
Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем |
| title_full |
Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем |
| title_fullStr |
Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем |
| title_full_unstemmed |
Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем |
| title_sort |
про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166400 |
| citation_txt |
Про деякі якісні властивості монотонних лінійних розширень динамічних систем / А.Л. Гречко // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 10. — С. 1326–1335. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT grečkoal prodeâkíâkísnívlastivostímonotonnihlíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistem |
| first_indexed |
2025-07-14T21:24:56Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:24:56Z |
| _version_ |
1837659131626913792 |
| fulltext |
УДК 517.9
А. Л. Гречко (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
ПРО ДЕЯКI ЯКIСНI ВЛАСТИВОСТI МОНОТОННИХ
ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ
We study monotone linear extensions of dynamical systems. The problem of existence of invariant manifolds
and exponential separation is investigated for linear extensions on vector bundles that preserve the order
structure. We also study the relationship between the monotonicity of linear extensions and the existence of
bounded solutions of inhomogeneous linear extensions (weak regularity, quasiregularity).
Рассматривается монотонное линейное расширение динамической системы. Исследуются вопрос суще-
ствования инвариантных многообразий, экспоненциальной разделенности для линейных расширений,
которые сохраняют структуру порядка, а также связь между монотонностью линейных расширений и
вопросами существования ограниченных решений неоднородных линейных расширений (слабая регу-
лярность, квазирегулярность).
Багато бiологiчних i хiмiчних моделей природознавства — кiлькiсть популяцiї, кон-
центрацiї хiмiчних речовин та iншi — є додатними, бiльш того, вони часто зберi-
гають додатнiсть розв’язкiв еволюцiйних процесiв та додатково характеризуються
властивiстю зберiгати структуру порядку. Пiонерськi роботи М. Мюлера (1926) та
Е. Камке (1932) [1] є фундаментом теорiї монотонних диференцiальних рiвнянь.
Нехай X — упорядкований метричний простiр iз заданою структурою порядку 6,
тобто виконуються такi умови:
1) рефлексивнiсть: x 6 x ∀x ∈ X,
2) транзитивнiсть: x 6 y та y 6 z ⇒ x 6 z,
3) антисиметрiя: x 6 y та y 6 x ⇒ x = y.
Нехай ϕt(x) — гладкий (гладко залежить вiд (t, x)) потiк на вiдкритiй опуклiй
пiдмножинi D ⊂ Rn та
f(x) =
d
dt
∣∣∣
t=0
ϕt(x), x ∈ D,
— гладке векторне поле на D. Диференцiальним рiвнянням, що вiдповiдає вектор-
ному полю f, є рiвняння
ẋ = f(x). (1)
Умову Камке неважко послабити до наступної, яка називається властивiстю
кооперативностi динамiчної системи:
∂fi
∂xj
(x) > 0, i 6= j, x ∈ D. (2)
Спiввiдношення (2) у зворотному напрямку (тобто для потоку ϕ−t(x)) називається
конкурентною динамiчною системою. Таким чином, кооперативна система генерує
монотонну динамiчну систему в додатному напрямку часу. В 50-х роках Г. Бiркгоф
в серiї робiт отримав важливi результати з монотонних операторiв та монотонних
диференцiальних рiвнянь [2]. Важливою особливiстю пiдходу Г. Бiркгофа є викори-
стання гiльбертової псевдометрики, що в подальшi роки стало загальновживаним
методом. В 60-х роках ґрунтовний аналiз монотонних диференцiальних рiвнянь та
операторiв у банаховому просторi провiв М. Красносельський [3]. Значний прогрес
у теорiї монотонних диференцiальних рiвнянь пов’язаний з серiєю результатiв, якi
c© А. Л. ГРЕЧКО, 2011
1326 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ПРО ДЕЯКI ЯКIСНI ВЛАСТИВОСТI МОНОТОННИХ ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ . . . 1327
в 80-х роках отримав М. Хiрш [4, 1]. Прогрес в теорiї лiнiйних розширень, по-
в’язаний з работами А. М. Самойленка [5, 6], та нескiнченновимiрних лiнiйних
розширень [9] надав поштовх для розвитку монотонних еволюцiйних систем та
монотонних рiвнянь з частинними похiдними. Це роботи Д. Рюеля, П. Полачiка,
I. Терещака, А. Ю. Оболенського, В. Шень та iнших (див. [1, 7, 8]).
1. Основнi означення. Нехай B — компактний, зв’язний метричний простiр,
ϕt(b) — потiк на B, X — дiйсний скiнченновимiрний нормований простiр зi ска-
лярним добутком 〈x, x〉 = |x|2, (E, p,B) — векторне розшарування з тотальним
простором E, базою B та вiдповiдним шаром розшарування Esb = p−1(b) — n-
вимiрним векторним простором.
Означення 1. Лiнiйним розширенням πt на тривiальному векторному роз-
шаруваннi (див. [7, 9]) (E, p,B) з тотальним простором E = B ×X називається
потiк
πt(b, x) = (ϕt(b),Φ(t, b)x), (3)
де Φ(t, b), t ∈ R, — коцикл.
Означення 2. Iнварiантним перерiзом (многовидом) лiнiйного розширення πt
називається таке вiдображення u(b) : B → X, що справджується рiвнiсть
u(ϕt(b)) = Φ(t, ϕt(b))u(b).
Наведемо понятiйний апарат теорiї монотонних динамiчних систем [1] та мо-
нотонних диференцiальних рiвнянь [3].
Означення 3. Замкнена опукла множина K ⊂ X називається конусом, якщо
з x, y ∈ Kвипливає, що x+y, αx ∈ K та K∩(−K) = {0}, де −K = {−x/x ∈ K}.
K0 — непорожня внутрiшня частина конуса K. Порядок в X задамо таким
чином:
1) x 6 y, якщо y − x ∈ K,
2) x < y, якщо y − x ∈ K, y 6= x,
3) x << y, якщо y − x ∈ K0.
Наприклад, множина K+ векторiв x = (x1, . . . , xn), xi > 0 ∀i = 1, . . . , n, — конус
в Rn. Конус K+ задає природну впорядкованiсть в Rn : x 6 y рiвносильно xi 6 yi
∀i. Тому вважаємо, що в X задано структуру впорядкованостi, яка задається опук-
лим конусом K з непорожньою внутрiшнiстю. Для довiльних x, y ∈ K множину
〈〈x, y〉〉 = {z ∈ K/x 6 z 6 y} будемо називати конусним вiдрiзком. Також будемо
позначати через ∆(M) дiаметр множини M [2].
Означення 4. Лiнiйне розширення πt називається строго монотонним в до-
датному напрямку, якщо для довiльних x1, x2 ∈ X з нерiвностi x1 6 x2, x1 6= x2,
випливає нерiвнiсть πt(b, x1) < πt(b, x2) ∀t > 0.
Зауваження 1. Монотоннi динамiчнi системи в додатному напрямку назива-
ють [1] кооперативними динамiчними системами, а в зворотному — конкурентни-
ми, тобто при замiнi часу t → −t конкурентнi системи стають кооперативними, i
навпаки.
Без обмеження загальностi в подальшому будемо розглядати тiльки строго мо-
нотоннi лiнiйнi розширення у вiд’ємному напрямку (конкурентний випадок). Для
подальшого нам знадобиться наступний факт.
Лема 1 (М. Хiрш). Нехай πt — строго монотонне лiнiйне розширення, тодi:
1) Φ(−t, b)x << Φ(−t, b)y для x < y, x, y ∈ K, t > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1328 А. Л. ГРЕЧКО
2) Φ(−t, b)u > 0 ∀u > 0, t > 0,
3) Φ(−t, b) >> 0 ∀b ∈ B, t > 0.
Доведення див. у [4] та [1] (§ 4).
Означення 5. Для довiльних x, y ∈ K0 вiдстань
θ(x, y) = ln
inf{β > 0: αx 6 y 6 βx}
sup{α > 0: αx 6 y 6 βx}
(4)
називається гiльбертовою метрикою [2, 3].
Зауважимо, що рiвнiсть θ(x, y) = 0 виконується тодi i тiльки тодi, коли x та y
належать одному променю, який виходить iз початку координат.
Зауваження 2. Доцiльно навести означення гiльбертової метрики у наступ-
ному варiантi, яке теж будемо використовувати в подальшому. Для векторiв iз
додатними координатами −→x = (x1, . . . , xn), −→y = (y1, . . . , yn) гiльбертовою метри-
кою є
θ(−→x ,−→y ) = ln
max
i
xi
yi
min
i
xi
yi
= max
i,j
ln
(
xiyj
xjyi
)
.
З рiвностi θ(x, y) = 0 випливає, що x = λy, тому в багатьох роботах ця проективна
вiдстань має назву „гiльбертова псевдометрика”.
Найбiльш фундаментальними фактами, пов’язаними з гiльбертовою метрикою
та монотонними операторами, є наступнi три теореми Г. Бiркгофа [2].
1. Нехай P — додатний лiнiйний оператор на банаховому просторi X, K —
конус в X; тодi з того, що θ(u, v) <∞, u, v ∈ K, випливає θ(Pu, Pv) 6 θ(u, v).
2. За умови першого пункту та скiнченностi проективного дiаметра образу
конуса ∆(P (K)) <∞ маємо sup
θ(Pu, Pv)
θ(u, v)
= tanh
∆(·)
4
< 1.
3. За умови скiнченностi проективного дiаметра образу конуса ∆(P (K)) < ∞
маємо, що для будь-якого u ∈ K послiдовнiсть iтерацiй P k(u) є послiдовнiстю
Кошi в гiльбертовiй метрицi.
Одним iз найбiльш важливих та вживаних понять якiсної теорiї диференцi-
альних рiвнянь є експоненцiальна роздiльнiсть лiнiйних диференцiальних рiвнянь
[7, 8, 10, 11]
Означення 6. Лiнiйне розширення (3) є експоненцiально роздiленим, якщо
E = B × X = X1 ⊕ X2 i для будь-якого b ∈ B iснують d, α > 0 такi, що
справджується нерiвнiсть
‖Φ(t, b)x1‖
‖Φ(t, b)x2‖
6 de−αt
‖x1‖
‖x2‖
, xi ∈ Xi(b), t > 0. (5)
В роботах [11, 12] розглянуто проективне лiнiйне розширення, яке асоцiйоване
з заданим лiнiйним розширенням πt.
Означення 7. Проективним розширенням Pπt, асоцiйованим з лiнiйним роз-
ширенням (1), назвемо
Pπt(b, x) =
(
ϕt(b) ,
Φ(t, b)x
‖Φ(t, b)x‖
)
.
2. Основна теорема. Головною метою цiєї статтi є доведення наступного ре-
зультату.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ПРО ДЕЯКI ЯКIСНI ВЛАСТИВОСТI МОНОТОННИХ ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ . . . 1329
Теорема 1. Нехай πt — строго монотонне лiнiйне розширення на розшару-
ваннi (B ×X, p,B), тодi:
1) iснує iнварiантна декомпозицiя B×X =
⋃
b∈B{b}×(X1(b)⊕X2(b)) ∀b ∈ B,
до того ж dimX1 = 1;
2) X1(b) = span{u(b)}, ‖u(b)‖ = 1, де u(b) — iнварiантний перерiз (многовид)
проективного розширення Pπt;
3) лiнiйне розширення πt є експоненцiально роздiленим.
Доведення розiб’ємо на ряд етапiв.
1. За довiльною функцiєю-перерiзом u(b) : B → K∩S1 (де S1 — одинична куля
в X) розглянемо неперервне вiдображення
P k(b, x) = P ku(b) :=
Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖
, k > 1, b ∈ B. (6)
Завдяки лемi Хiрша маємо строгу монотоннiсть вiдображення P 1, яке i будемо
розглядати. θ(x, y) означає гiльбертову метрику.
Розглянемо довiльнi початковi значення xi(b) ∈ K0 лiнiйного розширення πt з
вiдповiдними конусними вiдрiзками:
x1(b) ∈ 〈〈x11, x12〉〉, x2(b) ∈ 〈〈x21, x22〉〉.
Цi початковi значення порiвнюванi в проективнiй метрицi, якщо
λ1P
1(b, x11) < P 1(b, x21) < µ1P
1(b, x11),
λ2P
1(b, x12) < P 1(b, x22) < µ2P
1(b, x12).
Маємо
β1(P 1(b, x11), P 1(b, x21)) = inf µ1, α1(P 1(b, x11), P 1(b, x21)) = supλ1,
β2(P 1(b, x12), P 1(b, x22)) = inf µ2, α2(P 1(b, x12), P 1(b, x22)) = supλ2.
Враховуючи монотоннiсть P 1 та першу теорему Бiркгофа, можна стверджувати,
що проективна вiдстань мiж образами x11 та x21, x12 та x22 скiнченна та дорiвнює
θ(P 1(b, x1i), P
1(b, x2i)) = ln
βi(P
1(b, x1i), P
1(b, x2i))
αi(P 1(b, x1i), P 1(b, x2i))
= c1 <∞, i = 1, 2. (7)
2. Розглянемо в конусiK0 кулю радiусаR з центром у точцi x0 = (x01, . . . , x
0
n+1).
Належнiсть деякої точки y кулi еквiвалентна виконанню нерiвностi
ln
max
i
yi
x0i
min
i
yi
x0i
≤ R, i = 1, n+ 1, (8)
звiдки отримуємо
max
i
yi
x0i
6 eR min
i
yi
x0i
. (9)
Таким чином, належнiсть точки y кулi еквiвалентна належностi y множинi вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1330 А. Л. ГРЕЧКО
y ∈ α
〈
x0, eRx0
〉
, α > 0. (10)
Оскiльки множина точок yi, для яких mini
yi
x0i
= 1, належить межi конуса
K1 = {x ∈ Xn+1 : x > x0}, (11)
то множина точок yi, яка задовольняє нерiвнiсть maxi
yi
x0i
6 eR, належить конусу
K2 = {x ∈ Xn+1 : x 6 eRx0}. (12)
Внаслiдок однорiдностi нерiвностi (9) маємо K1 ∩K2 = 〈x0, eRx0〉α.
Позначивши −→x = (x1, . . . , xn), введемо до розгляду радiуси
eR1 = max
(−→x22
−→x1
, 1
)
, e−R2 = min
(−→x21
−→x1
, 1
)
. (13)
Враховуючи (8) – (10), переконуємося, що точка −→x2 належить кулi радiуса R1 +R2
з центром у точцi x1.
Аналогiчно вводимо R′1 та R′2:
eR
′
1 = max
(−→x22
−→x11
, 1
)
, e−R
′
2 = min
(−→x21
−→x12
, 1
)
. (14)
Зi спiввiдношень (13), (14) випливає, що R′i > Ri, i = 1, 2, тобто θ(x1, x2) <
< R′1 +R′2. Застосовуючи першу теорему Бiркгофа, маємо
θ(P 1(b, u), P 1(b, v)) 6 θ(u, v) < R′1 +R′2
∀u ∈ 〈〈x11, x12〉〉, v ∈ 〈〈x21, x22〉〉.
Звiдси випливають нерiвнiсть ∆P 1(b,K)) < θ(u, v) та скiнченнiсть проективного
дiаметра образу P 1(b,K). Тому, застосовуючи третю теорему Бiркгофа, перекону-
ємося, що вiдображення P 1 є стиском у проективнiй метрицi
θ(P 1(b, u), P 1(b, v)) 6 γθ(u, v), γ ∈ (0, 1), ∀u, v ∈ K.
Розглядаючи далi неперервну послiдовнiсть вiдображень P 1 → P 2 → . . . → P k,
отримуємо
θ(P k(b, u), P k(b, v)) 6 γθ(u, v), γ ∈ (0, 1), ∀u, v ∈ K, (15)
тобто при деякому фiксованому перерiзi ũ : B → K∩S1 послiдовнiсть вiдображень
P kũ рiвномiрно збiгається до u = P 1u, що остаточно вiдповiдає iснуванню iнва-
рiантного перерiзу u(b) : B → K ∩ S1 вигляду (6) та iснуванню вiдповiдного йому
iнварiантного пiдрозшарування X1, яке є лiнiйною оболонкою iнварiантного мно-
говиду u(b) в дискретному випадку часу. В п’ятiй частинi доведення ми отримаємо
iнварiантнiсть пiдрозшарування X1 у випадку неперервного часу.
3. Аналогiчними мiркуваннями доводиться iснування спряженого iнварiантного
перерiзу u∗(b) : B → K ∩ S1 вiдповiдного спряженого проективного розширення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ПРО ДЕЯКI ЯКIСНI ВЛАСТИВОСТI МОНОТОННИХ ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ . . . 1331
(Pπt)∗ [11]. Метою наступних двох пунктiв є доведення експоненцiальної роздiль-
ностi лiнiйного розширення πt. Зауважимо, що згiдно з теоремою 6.10 з [11] iснує
iнварiантне пiдрозшарування X2.
Далi розглядаємо v 6= 0 та площину
Eb = {v ∈ X/〈v, u∗(ϕk(b))〉 = 0}.
Введемо також до розгляду компактний окiл початку координат в Eb:
Wb =
{
v ∈ Eb/
v + u(ϕk(b))
‖v + u(ϕk(b))‖
∈ K ∩ S1
}
.
Зрозумiло, що iснує вектор −→c1 = (c1, . . . , c1)T такий, що v + u(ϕk(b)) 6 −→c1 та
θ(v + u(ϕk(b)), u(ϕk(b))) 6 c ∀v ∈Wb. (16)
Враховуючи (15), отримуємо
θ(Φ(−k, ϕk(b))(v + u(ϕk(b))), u(ϕk(b))) =
= θ(Φ(−k, ϕk(b))(v + u(ϕk(b))),Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))) 6
6 γθ(v + u(ϕk(b)), u(ϕk(b))) 6 γC, (17)
де γ ∈ (0, 1), n ∈ N, c = sup{θ(u, v), u, v ∈ S1}. Зважаючи на те, що ‖u(·)‖ = 1,
одержуємо рiвностi
Φ(−k, ϕk(b))(v + u(ϕk(b))) =
u(ϕk(b))
u(ϕk(b))
(v + u(ϕk(b))) =
=
u(ϕk(b))v
u(ϕk(b))‖u(ϕk(b))‖
+ u(ϕk(b)) =
Φ(−k, ϕk(b))v
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖
+ u(ϕk(b)). (18)
Зауважимо, що за побудовою
Φ(−k, ϕk(b))v
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖
∈Wu(ϕk(b)). (19)
Зважаючи на (18), (19) та (16), маємо
θ
(
Φ(−k, ϕk(b))v
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖
+ u(ϕk(b)), u(ϕk(b))
)
6 γC, (20)
де γ ∈ (0, 1), C > 0.
4. Введемо наступнi позначення:
q :=
Φ(−k, ϕk(b))v
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖
, w := u(ϕk(b)), w >> 0, q + w >> 0,
maxw = maxi(wi), minw = mini(wi), |q| = (|q1|, . . . , |qn|). Припустимо, що
qi > 0. Тодi
qiwj
max2 w
6
qiwj − wiqj
wiwj
=
qi + wi
wi
− qj + wj
wj
6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1332 А. Л. ГРЕЧКО
6 max
(
q + w
w
)
−min
(
q + w
w
)
. (21)
Випадок qi 6 0 є аналогiчним. З iншого боку,
ln
(
max
q + w
w
)
− ln
(
min
q + w
w
)
> 1−
min
(
q + w
w
)
max
(
q + w
w
) >
>
max
(
q + w
w
)
−min
(
q + w
w
)
max(q + w)
min(w). (22)
Враховуючи (21), (22) та означення гiльбертової метрики у варiантi Сенета, маємо
qiwj
max2 w
6
max(q + w)
minw
ln
max
q + w
w
min
q + w
w
.
Остаточно отримуємо
θ(q + w,w) >
max |q|min2 w
max(q + w) max2 w
. (23)
Поєднуючи (20), (23), одержуємо оцiнки
‖Φ(−k, ϕk(b))v‖ε2
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖mC1
6
6 θ
(
‖Φ(−k, ϕk(b))v‖
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖
+ u(ϕk(b)), u(ϕk(b))
)
6 γC.
Звiдси знаходимо
‖Φ(−k, ϕk(b))v‖
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖
6 γC
mC1
ε2
, γ ∈ (0, 1). (24)
Зважаючи на те, що (24) виконується для довiльного v ∈Wb, де Wb — окiл початку
координат в Eb, отримуємо
‖Φ(−k, ϕk(b))
∣∣
Eb
‖
‖Φ(−k, ϕk(b))u(ϕk(b))‖
6 γkCk , γ ∈ (0, 1), C > 0, k ∈ N.
Таким чином, остаточно маємо дискретний варiант експоненцiальної роздiльностi:
X = X1 ⊕ X2, dimX1 = 1, X1 = span{u(b)}, w ∈ X2 так, що справджується
оцiнка
‖Φ(n, ϕ−n(b)))u(ϕ−n(b))‖
‖Φ(n, ϕ−n(b))w‖
6 K3e
n, n ∈ Z−. (25)
5. Залишилось довести неперервнiсть за часом оцiнки (25). Нехай t = n−τ < 0,
n ∈ Z−, τ ∈ [0, 1). Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ПРО ДЕЯКI ЯКIСНI ВЛАСТИВОСТI МОНОТОННИХ ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ . . . 1333
‖Φ(t, b)x1‖ = ‖Φ(n+ (−τ), b)x1‖ =
= ‖Φ(−τ, ϕ−τ (b))Φ(n, b)x1‖ 6 ‖Φ−τ‖‖Φ(n, b)x1‖. (26)
Аналогiчно
‖Φ(t, b)x2‖ = ‖Φ(t+ τ), b)x2‖ 6 ‖Φτ‖‖Φ(t, b)x2‖ ⇒
⇒ ‖Φ(t, b)x2‖ >
‖Φ(n, b)x2‖
‖Φτ‖
(27)
Враховуючи (25) – (27), одержуємо
‖Φ(t, b)x1‖
‖Φ(t, b)x2‖
6 ‖Φ−τ‖‖Φτ‖
‖Φ(n, b)x1‖
‖Φ(n, b)x2‖
6
6 ‖Φ−τ‖‖Φτ‖
‖x1‖
‖x2‖
K3e
n, K3 > 0, n ∈ Z−.
Для випадку t > 0 доведення аналогiчне.
Зауважимо, що πt-iнварiантнiсть пiдрозшарування X1 при всiх t ∈ R випливає
з теореми 4.4 роботи [8].
Теорему 1 доведено.
Твердження 1. Якщо лiнiйне розширення (3) є регулярним [5, 11, 13], то (3)
є експоненцiально роздiленим.
Доведення. Зрозумiло, що за умов твердження лiнiйне розширення (3) є екс-
поненцiально дихотомiчним, тобто iснують α,K > 0 i проектор P такi, що для
довiльних x1 ∈ X1(b), x2 ∈ X2(b) виконуються нерiвностi
‖Φ(t, b)x1‖ 6 ‖Φ(t, b)P (b)‖ 6 Ke−αt‖x1‖,
‖Φ(t, b)x2‖ >
1
‖(I − P (b))Φ−1(t, b)‖
>
eαt
K
‖x2‖,
звiдки випливає експоненцiальна роздiльнiсть з вiдповiдними пiдрозшаруваннями
X1(b), X2(b) лiнiйного розширення πt.
Зауваження 3. Згiдно з Б. Биловим [10], дiйснi функцiї pi(t), i = 1, n, назвемо
роздiленими, якщо pi+1 − pi > a > 0. Звiдси випливає iнтегральна роздiльнiсть,
тобто iснує D > 0 таке, що
t∫
s
pi+1(m)− pi(m)dm > −ε(t− s)−D ∀t > s.
Якщо всi функцiї ai(t) iнтегрально роздiленi, то система ẋ = diag(a1(t), . . . , an(t))x
експоненцiально роздiлена.
Вiдомо [11], що з експоненцiальної роздiльностi не випливає регулярнiсть (екс-
поненцiальна дихотомiя). Аналогiчна ситуацiя має мiсце iз взаємозв’язком моно-
тонностi лiнiйних розширень та квазiрегулярнiстю (яка означає, що спряжене лi-
нiйне розширення не має нетривiальних обмежених розв’язкiв, якi проходять через
шар над точкою b0) або слабкою регулярнiстю [11, 13].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
1334 А. Л. ГРЕЧКО
Приклад 1. Розглянемо лiнiйну диференцiальну систему
ẋ = 0,
ẏ = a(t)y,
де a(t) = 1 для t 6 1, a(t) = 1/t для t > 1. Розв’язок даної системи має вигляд
x(t) = c,
y(t) =
{
y(1)et, t 6 1,
y(1)t, t > 1,
тому цiлком зрозумiла квазiрегулярнiсть системи, але не iснують α, K1 > 0 такi,
що
|x(t)||x(1)|
|y(t)||y(1)|
=
1
t
6 K1e
−α(t−1) ∀t > 1,
тобто з квазiрегулярностi не випливає експоненцiальна роздiльнiсть.
Аналогiчно з слабкої регулярностi не випливає експоненцiальна роздiльнiсть.
Дiйсно, на прикладi системи, де дiагональ не є роздiльною, маємо
ẋ = 0,
ẏ = (− arctg t)y.
З’ясуємо, якi додатковi умови слiд накласти на монотонне лiнiйне розширення,
що є достатнiми для його квазiрегулярностi. Нагадаємо [11, 13], що для лiнiйного
розширення πt стiйким (нестiйким) пiдрозшаруванням є множини
Xs = {x ∈ E/ ‖πt(x, b)‖ → 0, t→ +∞},
Xu = {x ∈ E/ ‖πt(x, b)‖ → 0, t→ −∞}.
Наступний результат поєднує монотоннi лiнiйнi розширення з теорiєю регулярностi
лiнiйних розширень динамiчних систем [5, 6].
Теорема 2. Нехай виконуються наступнi умови:
1) лiнiйне розширення (3) є строго монотонним;
2) для проективного лiнiйного розширення Pπt маємо PXu ≡ PX2 (або PXs ≡
≡ PX1).
Тодi лiнiйне розширення (3) є квазiрегулярним.
Доведення. За теоремою 1 лiнiйне розширення (3) є експоненцiально роздi-
леним вiдносно iнварiантних пiдрозшарувань X1 ⊕ X2. Це означає можливiсть
застосування теореми 6.18 з [11]. Тодi PX2 — атрактор Pπt, PX1 — репелер Pπt.
На пiдставi другої умови теореми та теореми 8.13 [11] отримуємо квазiрегулярнiсть
лiнiйного розширення (3).
Теорему 2 доведено.
1. Smith H. Monotone dynamical systems. An introduction to the theory of competitive and cooperative
system // Math. Surv. Monogr. – Providence: Amer. Math. Soc., 1995. – 11. – 254 p.
2. Биркгоф Г. Теория решеток. – М.: Мир, 1984. – 560 с.
3. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. – М.: Наука,
1985. – 256 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
ПРО ДЕЯКI ЯКIСНI ВЛАСТИВОСТI МОНОТОННИХ ЛIНIЙНИХ РОЗШИРЕНЬ . . . 1335
4. Hirsch M. Systems of differential equations that are competitive or cooperative I: Limit sets // SIAM. J.
Math. Anal. – 1982. – 13, № 1. – P. 167 – 179.
5. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные
торы. – М.: Наука, 1987. – 303 с.
6. Самойленко A. M. О сохранении инвариантного тора при возмущении // Изв. АН СССР. Сер. мат.
– 1970. – 34, № 6. – С. 1219 – 1240.
7. Polacik P., Terescak I. Exponential separation and invariant bundles for maps in ordered Banach spaces
with applications to parabolic equations // J. Dynam. Different. Equat. – 1993. – 5, № 2. – P. 279–303.
[Erratum. – 1994. – 6. – P. 245 – 246.]
8. Shen W., Yi Y. Almost automorphic and almost periodic dynamics in skew-product semiflows // Mem.
Amer. Math. Soc. – 1998. – 136. – 121 p.
9. Sell G., You Y. Dynamics of evolutionary equations // Appl. Math. Sci. – New York: Springer, 2002. –
143. – 565 p.
10. Былов Б. Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Мат. сб. – 1965.
– 58, № 3. – С. 338 – 344.
11. Бронштейн И. У. Неавтономные динамические системы. – Кишинев: Штиинца, 1984. – 292 с.
12. Colonius F., Kliemann W. The Morse spectrum of linear flows on vector bundles // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1996. – 348, № 11. – P. 4355 – 4388.
13. Бронштейн И. У., Копанский А. Я. Инвариантные многообразия и нормальные формы. – Кишинев:
Штиинца, 1992. – 332 с.
Одержано 10.09.10,
пiсля доопрацювання — 11.09.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 10
|