Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами
Получены условия существования решений нелинейных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на оси функций с использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166407 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1685–1698. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166407 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1664072020-02-20T01:26:58Z Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами Слюсарчук, В.Ю. Статті Получены условия существования решений нелинейных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на оси функций с использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений. We obtain conditions for the existence of solutions of nonlinear differential equations in the space of functions bounded on the axis by using a local linear approximation of these equations. 2011 Article Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1685–1698. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166407 517.988.6 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Слюсарчук, В.Ю. Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами Український математичний журнал |
| description |
Получены условия существования решений нелинейных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на оси функций с использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами |
| title_short |
Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами |
| title_full |
Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами |
| title_fullStr |
Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами |
| title_full_unstemmed |
Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами |
| title_sort |
метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166407 |
| citation_txt |
Метод локального лінійного наближення нелінійних диференціальних операторів слабкорегулярними операторами / В.Ю. Слюсарчук // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1685–1698. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû metodlokalʹnogolíníjnogonabližennânelíníjnihdiferencíalʹnihoperatorívslabkoregulârnimioperatorami |
| first_indexed |
2025-07-14T21:26:38Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:26:38Z |
| _version_ |
1837659236326178816 |
| fulltext |
УДК 517.988.6
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ
НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ
СЛАБКОРЕГУЛЯРНИМИ ОПЕРАТОРАМИ
We obtain conditions for the existence of solutions of nonlinear differential equations in the space of functions
bounded on the axis by using a local linear approximation of these equations.
Получены условия существования решений нелинейных дифференциальных уравнений в пространстве
ограниченных на оси функций с использованием локальной линейной аппроксимации этих уравнений.
1. Основний об’єкт дослiджень. Нехай E — скiнченновимiрний банаховий простiр
з нормою ‖ · ‖E , Em = E × . . .× E︸ ︷︷ ︸
m разiв
, X i Y — довiльнi банаховi простори та
L(X,Y ) — банаховий простiр лiнiйних неперервних операторiв A, що дiють iз
простору X у простiр Y, з нормою
‖A‖L(X,Y ) = sup
‖x‖X=1
‖Ax‖Y .
Позначимо черезC0(R, X) банаховий простiр обмежених i неперервних на R функ-
цiй x = x(t) зi значеннями в X з нормою
‖x‖C0(R,X) = sup
t∈R
‖x(t)‖X ,
а через Cm(R, X), де m ∈ N, банаховий простiр функцiй x ∈ C0(R, X), для кожної
з яких
dx
dt
, . . . ,
dmx
dtm
∈ C0(R, X), з нормою
‖x‖Cm(R,X) = max
{
‖x‖C0(R,X),
∥∥∥∥dxdt
∥∥∥∥
C0(R,X)
, . . . ,
∥∥∥∥dmxdtm
∥∥∥∥
C0(R,X)
}
.
У випадку X = E простори C0(R, X) i Cm(R, X) позначатимемо через C0 i
Cm вiдповiдно.
Розглянемо диференцiальнi оператори F i G , що дiють iз простору Cm у прос-
тiр C0 i визначаються за допомогою формул
(Fx)(t) =
dmx(t)
dtm
+ (G x)(t), x ∈ Cm, t ∈ R, (1)
i
(G x)(t) = g
(
t, x(t),
dx(t)
dt
, . . . ,
dm−1x(t)
dtm−1
)
, x ∈ Cm, t ∈ R,
де g : R×Em → E — вiдображення, для якого виконується умова А: вiдображення
g : R× Em → E неперервне i для всiх r > 0
sup
t∈R, ‖x1‖E6r,...,‖xm‖E6r
‖g(t, x1, . . . , xm)‖E < +∞.
Завдяки вимогам до вiдображення g оператор F є обмеженим, тобто цей опе-
ратор кожну обмежену множину вiдображає в обмежену множину [1]. Оператор F
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12 1685
1686 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
є неперервним, якщо вiдображення g рiвномiрно неперервне на кожнiй множинi
{(t, x1, . . . , xm) : t ∈ R, ‖x1‖E 6 r, . . . , ‖xm‖E 6 r} , r > 0.
Метою цiєї статтi є з’ясування умов, за яких для множини значень R(F ) опе-
ратора F виконується спiввiдношення
R(F ) = C0. (2)
Зазначимо, що така задача для нелiнiйних диференцiальних рiвнянь є надто склад-
ною (див., наприклад, [1 – 6]). Тому ми обмежимося розглядом лише достатнiх
умов, що забезпечують виконання спiввiдношення (2) i в деяких окремих випадках
збiгаються з необхiдними умовами виконання цього спiввiдношення.
В основу дослiдження оператора F покладено метод, що використовує ло-
кальну апроксимацiю цього оператора слабкорегулярними операторами. Випадок
локального наближення нелiнiйних операторiв регулярними операторами розгля-
дався автором у роботах [7 – 10].
2. Формулювання основного твердження. Оскiльки у подальшому ми будемо
використовувати слабкорегулярнi оператори, то спочатку придiлимо увагу цим опе-
раторам.
Кожнiй послiдовностi A = (A1(t), A2(t), . . . , Am(t)), де Ak(t), k = 0,m− 1,
— неперервнi й обмеженi на R функцiї зi значеннями в L(E,E), поставимо у
вiдповiднiсть лiнiйнi неперервнi оператори A : Cm → C0 i LA : Cm → C0, що ви-
значаються формулами
(A x)(t) =
m∑
k=1
Ak(t)
dk−1x(t)
dtk−1
, x ∈ Cm, t ∈ R,
(LAx)(t) =
dmx(t)
dtm
+ (A x)(t), x ∈ Cm, t ∈ R.
(3)
Тут
d0x(t)
dt0
= x(t). Оператор LA називають слабкорегулярним [1], якщо
R(LA) = C0, (4)
тобто для кожного y ∈ C0 рiвняння
LAx = y
має хоча б один розв’язок x ∈ Cm(R, E). Такi оператори у випадкуm = 1 детально
дослiджувалися в [11].
Множину всiх елементiв A = (A1(t), A2(t), . . . , Am(t)), для кожного з яких
оператор LA : Cm → C0 є слабкорегулярним, позначимо через Gm. Множину всiх
слабкорегулярних операторiв LA : Cm → C0 позначимо через W (Cm, C0). Якщо
для LA крiм спiввiдношення (4) виконується i спiввiдношення
kerLA = {0},
де kerLA — ядро оператора LA (kerLA = {x ∈ Cm : LAx = 0}), то оператор LA
називають регулярним (у цьому випадку оператор LA має обернений неперервний
оператор L −1A за теоремою Банаха про обернений оператор [12]). Множину ре-
гулярних операторiв LA : Cm → C0 позначатимемо через R(Cm, C0). Очевидно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1687
що
R(Cm, C0) ⊂W (Cm, C0) i W (Cm, C0) \R(Cm, C0) 6= ∅.
Прикладом нерегулярного, але слабкорегулярного оператора при m = 1 є опе-
ратор L : C1(R,R)→ C0(R,R), що визначається формулою
(L x)(t) =
dx(t)
dt
+ (arctg t)x(t), x ∈ C1(R,R), t ∈ R. (5)
Нехай LA ∈ W (Cm, C0) \ R(Cm, C0). Для цього оператора kerLA 6= {0}.
Оскiльки простiр E скiнченновимiрний, то на пiдставi властивостей розв’язкiв
диференцiального рiвняння (LAx)(t) = 0 ядро kerLA оператора LA також буде
скiнченновимiрним простором. Тому iснує доповняльний до kerLA пiдпростiр
XLA
простору Cm [13], тобто такий пiдпростiр, що Cm подається у виглядi прямої
суми
Cm = kerLA+̇XLA
(6)
(норми у просторах kerLA i XLA
розглядаємо такi, як i в просторi Cm). Рiвнiсть
(6) означає, що кожний вектор x ∈ Cm єдиним чином подається у виглядi
x = x1 + x2,
де x1 ∈ kerLA i x2 ∈ XLA
.
Розглянемо звуження LA|XLA
оператора LA на пiдпростiр XLA
. Цей оператор
взаємно однозначно вiдображає XLA
на C0 i тому має обернений неперервний
оператор
(
LA|XLA
)−1
: C0 → XLA
.
Зауважимо, що оператори (LA)
−1
, якщо оператор LA : Cm → C0 є регуляр-
ним, i
(
LA|XLA
)−1
можна розглядати як елементи простору L(C0, Cm) або як
елементи простору L(C0, Cm−1).
Основним результатом статтi є наступне твердження.
Теорема 1. Нехай виконується умова А. Якщо для кожного числа H > 0
iснують такi число r > 0 i оператор LA ∈W (Cm, C0), що
sup
t∈R, ‖x1‖E6r,...,‖xm‖E6r
∥∥∥∥∥g(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak(t)xk
∥∥∥∥∥
E
6
r
a
−H, (7)
де
a =
∥∥L −1A
∥∥
L(C0,Cm−1)
, якщо LA ∈ R(Cm, C0),∥∥∥∥(LA|XLA
)−1∥∥∥∥
L(C0,Cm−1)
, якщо LA ∈W (Cm, C0) \R(Cm, C0),
(8)
то для оператора F , що визначається формулою (1), виконується спiввiдношен-
ня (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1688 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Очевидно, що за допомогою цiєї теореми можна встановлювати умови iснуван-
ня обмежених розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь.
3. Допомiжнi твердження. Наведемо ряд результатiв про локально збiжнi по-
слiдовностi та c-неперервнi оператори, необхiднi для доведення теореми 1.
3.1. Локально збiжнi послiдовностi. Послiдовнiсть xk ∈ X, k > 1, де X —
простiр C0 або його пiдпростiр, називають локально збiжною до x ∈ X при k →∞
i позначають
xk
loc., X−−−−→ x при k →∞,
якщо supk>1 ‖xk‖C0 < +∞ i limk→∞max|t|6T ‖xk(t)− x(t)‖E = 0 для кожного
числа T > 0. Аналогiчно, послiдовнiсть yk ∈ Y, k > 1, де Y — простiр Cm або
його пiдпростiр, називають локально збiжною до y ∈ Y при k →∞ i позначають
yk
loc., Y−−−−→ y при k →∞,
якщо yk
loc., C0
−−−−−→ y,
dyk
dt
loc., C0
−−−−−→ dy
dt
, . . . ,
dmyk
dtm
loc., C0
−−−−−→ dmy
dtm
при k →∞.
Розглянемо функцiї qn,p ∈ Cp(R,R), n ∈ N, де p ∈ {0}∪N, i лiнiйнi неперервнi
оператори Qn,p : C
p −→ Cp, n > 1, що визначаються рiвностями
qn,p(t) =
1, якщо |t| 6 2n,
cosp+1 (2
−n|t| − 1)π
2
, якщо 2n < |t| < 2n+1,
0, якщо |t| > 2n+1,
i
Qn,p = ‖Rn,p‖−1L(Cp,Cp)Rn,p, (9)
де
(Rn,px)(t) = qn,p(t)x(t), x ∈ Cp, t ∈ R.
Очевидно, что
Qn,pC
l ⊂ Cl, l = 0, p,
i
‖Qn,p‖L(Ck,Ck) = 1, k = 0, p, n ∈ N. (10)
Важливою для подальшого є така лема.
Лема 1 [10]. Нехай p ∈ {0}∪N. Для кожної обмеженої послiдовностi (xn)n≥1
елементiв простору Cp, для якої множини {Qν,pxn : n ∈ N}, ν ∈ N, передком-
пактнi, iснують такi строго зростаюча послiдовнiсть (nk)k≥1 натуральних чисел
i елемент x ∈ Cp, що
xnk
loc., Cp
−−−−−→ x при k →∞
i
‖x‖Cp 6 sup
n∈N
‖xn‖Cp .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1689
3.2. c-Неперервнi та c-цiлком неперервнi оператори. Оператор H : X −→ Y ,
де X i Y — простори C0, C1, . . . , Cm або їх пiдпростори, називається c-непе-
рервним, якщо для довiльних x ∈ X i xk ∈ X, k > 1, для яких
xk
loc., X−−−−→ x при k →∞,
виконується спiввiдношення
H xk
loc., Y−−−−→H x при k →∞.
Оператор H : X → Y називається c-цiлком неперервним, якщо цей оператор є
c-неперервним i для кожного n > 1 оператор Qn,mH є цiлком неперервним.
Зазначимо, що c-неперервнi та c-цiлком неперервнi оператори дослiджувались
у [14 – 20] та iнших роботах.
Прикладами c-неперервних операторiв є розглянутi вище оператори F , G , A ,
LA, L i Qn. Прикладами c-цiлком неперервних операторiв є оператори G i A
на пiдставi критерiю компактностi Арцела [12]. Також c-цiлком неперервним є
лiнiйний оператор L −1A : C0 → Cm−1, якщо оператор LA : Cm → C0 регулярний,
що на пiдставi критерiю компактностi Арцела та визначення c-цiлком неперервного
оператора випливає з наступного твердження.
Теорема 2 [18]. Нехай оператор D ∈ L(Cm, C0) є c-цiлком неперервним i
оператор
dm
dtm
+ D : Cm → C0 має неперервний обернений
(
dm
dtm
+D
)−1
. Тодi
оператор
(
dm
dtm
+D
)−1
: C0 → Cm є c-неперервним.
4. Доведення теореми 1. Розглянемо у просторi Cp (p ∈ {0} ∪ N) замкнену
кулю BpR = {x : ‖x‖Cp 6 R} радiуса R з центром у точцi 0.
Доведемо твердження, з якого випливатиме теорема 1.
Лема 2. Нехай виконується умова А. Якщо для деяких чисел H > 0, r > 0 i
оператора LA ∈W (Cm, C0) справджується нерiвнiсть (7) i h ∈ B0H , то рiвняння
Fx = h (11)
має хоча б один розв’язок x ∈ Cm ∩ Bm−1r .
Доведення. У випадку, коли оператор LA є регулярним, бiльш загальне тверд-
ження, нiж лема 2, доведено в [10]. Тому далi обмежимося розглядом випадку
нерегулярного, але слабко регулярного оператора LA : Cm → C0.
Для кожного n ∈ N розглянемо диференцiальне рiвняння
dmx(t)
dtm
+ (A x)(t) = (Qn,m(A − G )Inx)(t) + h(t), t ∈ R, (12)
де Qn,m — оператор, що визначається рiвнiстю (9) при p = m, i In : C
m−1 → Cm —
лiнiйний неперервний i c-неперервний оператор, що визначається формулою
(Inx)(t) = n
1/n∫
0
x(t+ s)ds, t ∈ R.
Очевидно, що для кожного числа p ∈ {0} ∪ N
InC
p ⊂ Cp+1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1690 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
‖In‖L(Cp,Cp) = 1, n ∈ N,
‖In‖L(Cp,Cp+1) = 2n, n ∈ N,
i для всiх x ∈ Cp
Inx
loc., Cp
−−−−−→ x при n→∞. (13)
Рiвняння (12) у просторi XLA
рiвносильне рiвнянню
x(t) =
((
LA|XLA
)−1
(Qn,m(A − G )Inx+ h)
)
(t), t ∈ R. (14)
Також розглянемо оператор Wn : C
m−1 → C0, що визначається рiвнiстю
(Wnx)(t) = (Qn,m(A − G )Inx+ h) (t).
Завдяки означенням операторiв Qn,m i In, властивостям оператора In i то-
му, що оператори A : Cm → C0 i G : Cm → C0 c-цiлком неперервнi оператор
Wn : C
m−1 → C0 для кожного n ∈ N є цiлком неперервним. Тому цiлком непе-
рервним є i оператор
(
LA|XLA
)−1
Wn : C
m−1 → XLA
. Також для кожного n ∈ N
виконується спiввiдношення(
LA|XLA
)−1
WnBm−1r ⊂ Bm−1r .
Справдi, якщо ‖y‖Cm−1 6 r i ‖h‖C0 6 H, то згiдно з нерiвнiстю (7) та рiвностями
(10) ∥∥∥∥(LA|XLA
)−1
Wny
∥∥∥∥
Cm−1
6
∥∥∥∥(LA|XLA
)−1∥∥∥∥
L(C0,Cm−1)
‖Wny‖C0 6
6 a sup
t∈R, ‖x‖Cm−16r
‖ (Qn,m(A − G )Inx+ h) (t)‖E 6
6 a
(
sup
t∈R, ‖x‖Cm−16r
‖ (Qn,m(A − G )Inx) (t)‖E + ‖h‖C0
)
6
6 a
(
‖Qn,m‖L(C0,C0) sup
t∈R, ‖x‖Cm−16r
‖ ((A − G )Inx) (t)‖E +H
)
6
6 a
(
sup
t∈R, ‖x1‖E6r,...,‖xm‖E6r
∥∥∥∥∥g(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak(t)xk
∥∥∥∥∥
E
+H
)
6
6 a
( r
a
−H +H
)
= r.
Тому за теоремою Шаудера про нерухому точку [21] рiвняння (14) для кожного
n ∈ N має хоча б один розв’язок x ∈ Cm∩Bm−1r . Позначимо один iз цих розв’язкiв
через xn. Тодi
dmxn(t)
dtm
+ (A xn)(t) = (Qn,m(A − G )Inxn)(t) + h(t), t ∈ R, n ∈ N. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1691
Очевидно, що
xn ∈ BmR ∩ Bm−1r , n ∈ N,
де
R =
r
a
∥∥∥∥(LA|XLA
)−1∥∥∥∥
L(C0,Cm)
.
На пiдставi леми 1 i теореми компактностi Арцела [12] iснують елемент x∗ ∈ Bm−1r
i строго зростаюча послiдовнiсть (nk)n>1 натуральних чисел, для яких
xnk
loc., Cm−1
−−−−−−−→ x∗ при k →∞. (16)
Покажемо, що x∗ є розв’язком рiвняння (11).
Розглянемо довiльний регулярний оператор LB : Cm → C0, що визначається
рiвностями
(LBy)(t) =
dmy(t)
dtm
+ (By)(t),
(By)(t) =
m∑
k=1
Bk
dk−1y(t)
dtk−1
,
де Bk ∈ L(E,E), k = 1,m, y ∈ Cm i t ∈ R. Подамо спiввiдношення (15) у виглядi
LBxn = (B −A )xn + Qn,m(A − G )Inxn + h, n ∈ N.
Звiдси з урахуванням регулярностi оператора LB випливає, що
xn = L −1B ((B −A )xn + Qn,m(A − G )Inxn + h), n ∈ N. (17)
Оскiльки оператори B −A : Cm−1 → C0 i A − G : Cm−1 → C0 c-неперервнi, то
на пiдставi означень операторiв Qn,m i In та спiввiдношень (13) i (16)
(B −A )xnk
loc., Cm−1
−−−−−−−→ (B −A )x∗ при k →∞ (18)
i
Qn,m(A − G )Ink
xnk
loc., Cm−1
−−−−−−−→ (A −F )x∗ при k →∞. (19)
Оскiльки оператор B : Cm → C0 c-цiлком неперервний, то на пiдставi теореми 2 i
регулярностi LB оператор L −1B : C0 → Cm є c-неперервним. Тому завдяки (18) i
(19)
L −1B ((B −A )xnk
+ Qnk,m(A − G )Inxnk
)
loc., Cm−1
−−−−−−−→ L −1B (B − G )x∗
при k →∞. Звiдси на пiдставi (16), (17) випливає, що x∗ = L −1B ((B − G )x∗ + h)
i x∗ ∈ Cm. Тому LBx
∗ = (B − G )x∗ + h i, отже, Fx∗ = h.
Лему 2 доведено.
Очевидно, що твердження теореми 1 є наслiдком леми 2.
5. Побудова одного класу операторiв, до яких застосовна теорема 1. Наведе-
мо одну множину нелiнiйних диференцiальних операторiв F , для кожного з яких
за теоремою 1 виконується спiввiдношення (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1692 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Теорема 3. Для кожних чисел Hn > 0, n > 1, для яких limn→∞Hn = +∞,
i елементiв An = (A1,n(t), A2,n(t), . . . , Am,n(t)) ∈ Gm, n > 1, iснують вiдобра-
ження g : R × Em → E, що задовольняє умову А, i числа rn > 0, n > 1, для яких
виконується спiввiдношення
sup
t∈R, ‖x1‖E6rn,...,‖xm‖E6rn
∥∥∥∥∥g(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak,n(t)xk
∥∥∥∥∥
E
6
rn
an
−Hn, n ≥ 1,
(20)
де
an =
∥∥L −1An
∥∥
L(C0,Cm−1)
, якщо LAn ∈ R(Cm, C0),∥∥∥∥(LAn
|XLAn
)−1∥∥∥∥
L(C0,Cm−1)
, якщо LAn
∈W (Cm, C0) \R(Cm, C0).
Доведення. Розглянемо довiльну послiдовнiсть додатних чисел rn, n ≥ 1, для
якої r1 ≥ 1 i rn+1 > rn + 3, n ≥ 1 (значення rn уточнимо пiзнiше). Для кожного
n ≥ 1 визначимо вiдображення
ω1,n : {x ∈ Cm : rn ≤ ‖x‖Cm 6 rn + 1} → [0, 1]
i
ω2,n : {x ∈ Cm : rn + 1 6 ‖x‖Cm ≤ rn + 2} → [0, 1]
за допомогою рiвностей
ω1,n(x) = rn
∥∥∥∥∥
(
rn + 1
‖x‖Cm
− 1
)2
x
∥∥∥∥∥
Cm
i
ω1,n(x) = (rn + 2)
∥∥∥∥∥
(
rn + 1
‖x‖Cm
− 1
)2
x
∥∥∥∥∥
Cm
.
Очевидно, що вiдображення ω1,n i ω2,n неперервнi,
ω1,n(x) = 1, якщо ‖x‖Cm = rn, (21)
ω2,n(x) = 1, якщо ‖x‖Cm = rn + 2, (22)
ω1,n(x) = ω2,n(x) = 0, якщо ‖x‖Cm = rn + 1, (23)
i
R(ω1,n) = R(ω2,n) = [0, 1]. (24)
Вiдображення g : R× Em → E i числа rn, n > 1, визначимо таким чином.
Спочатку розглянемо вiдображення g1 : R×Em → E, що визначається рiвнiстю
g1(t, x1, . . . , xm) =
m∑
k=1
Ak,1(t)xk.
Очевидно, що для кожного числа r > 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1693
sup
t∈R, ‖x1‖E6r,...,‖xm‖E6r
∥∥∥∥∥g(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak,1(t)xk
∥∥∥∥∥
E
= 0.
Виберемо число r1 > 1 так, щоб
r1
a1
−H1 > 0.
Далi розглянемо вiдображення g2 : R× Em → E, що визначається рiвнiстю
g2(t, x1, . . . , xm) =
=
g1(t, x1, . . . , xm), якщо ‖xl‖E 6 r1, l = 1,m,
ω1,1(x)g1(t, x1, . . . , xm), якщо r1 < ‖xl‖E 6 r1 + 1, l = 1,m,
ω2,1(x)
m∑
k=1
Ak,2(t)xk, якщо r1 + 1 < ‖xl‖E 6 r1 + 2, l = 1,m,
m∑
k=1
Ak,2(t)xk, якщо ‖xl‖E > r1 + 2, l = 1,m.
Це вiдображення задовольняє умову А на пiдставi неперервностi ω1,1 i ω2,1, спiв-
вiдношень (21) — (24) та того, що Al ∈ Gm, l = 1, 2. Легко перевiрити, що
sup
t∈R,x1∈E,...,xm∈E
∥∥∥∥∥g2(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak,2(t)xk
∥∥∥∥∥
E
< +∞.
Тому iснує таке число r2 > r1 + 3, що виконується нерiвнiсть
sup
t∈R, ‖x1‖E6r2,...,‖xm‖E6r2
∥∥∥∥∥g2(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak,2(t)xk
∥∥∥∥∥
E
6
r2
a2
−H2.
Далi визначимо вiдображення g3 : R× Em → E за допомогою рiвностi
g3(t, x1, . . . , xm) =
=
g2(t, x1, . . . , xm), якщо ‖xl‖E 6 r2, l = 1,m,
ω1,2(x)g2(t, x1, . . . , xm), якщо r2 < ‖xl‖E 6 r2 + 1, l = 1,m,
ω2,2(x)
m∑
k=1
Ak,3(t)xk, якщо r2 + 1 < ‖xl‖E 6 r2 + 2, l = 1,m,
m∑
k=1
Ak,3(t)xk, якщо ‖xl‖E > r2 + 2, l = 1,m.
Це вiдображення задовольняє умову А на пiдставi неперервностi ω1,2 i ω2,2, спiв-
вiдношень (21) — (24) та того, що вiдображення g2 задовольняє умову А i A3 ∈ Gm.
Очевидно, що
sup
t∈R,x1∈E,...,xm∈E
∥∥∥∥∥g3(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak,3(t)xk
∥∥∥∥∥
E
< +∞.
Тому iснує таке число r3 > r2 + 3, що виконується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1694 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
sup
t∈R, ‖x1‖E6r3,...,‖xm‖E6r3
∥∥∥∥∥g3(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak,3(t)xk
∥∥∥∥∥
E
6
r3
a3
−H3.
Аналогiчним чином визначаємо вiдображення gn : R×Em → E, n > 4, i числа
rn > rn−1 + 3, n > 4.
Зазначимо, що вiдображення gn : R × Em → E визначається за допомогою
рiвностi
gn(t, x1, . . . , xm) =
=
gn−1(t, x1, . . . , xm), якщо ‖xl‖E 6 rn−1, l = 1,m,
ω1,n−1(x)gn−1(t, x1, . . . , xm), якщо rn−1 < ‖xl‖E 6 rn−1 + 1, l = 1,m,
ω2,n−1(x)
m∑
k=1
Ak,n(t)xk, якщо rn−1 + 1 < ‖xl‖E 6 rn−1 + 2, l = 1,m,
m∑
k=1
Ak,n(t)xk, якщо ‖xl‖E > rn−1 + 2, l = 1,m.
Завдяки спiввiдношенню
sup
t∈R,x1∈E,...,xm∈E
∥∥∥∥∥gn(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak,n(t)xk
∥∥∥∥∥
E
< +∞
iснує таке число rn > rn−1 + 3, що виконується нерiвнiсть
sup
t∈R, ‖x1‖E6rn,...,‖xm‖E6rn
∥∥∥∥∥gn(t, x1, . . . , xm)−
m∑
k=1
Ak,n(t)xk
∥∥∥∥∥
E
6
rn
an
−Hn. (25)
Вiдображення g : R× Em → E визначимо за допомогою формули
g(t, x1, . . . , xm) =
g1(t, x1, . . . , xm), якщо ‖xl‖E 6 r1, l = 1,m,
g2(t, x1, . . . , xm), якщо r1 < ‖xl‖E 6 r2, l = 1,m,
g3(t, x1, . . . , xm), якщо r2 < ‖xl‖E 6 r3, l = 1,m,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gn(t, x1, . . . , xm), якщо rn−1 < ‖xl‖E 6 rn, l = 1,m,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Для цього вiдображення, очевидно, виконуються спiввiдношення (20) i умова А,
оскiльки
g(t, x1, . . . , xm) = gn(t, x1, . . . , xm),
якщо ‖xl‖E 6 rn, l = 1,m (спiввiдношення (20) випливає iз спiввiдношення (25)).
Теорему 3 доведено.
Очевидно, що за допомогою кожного побудованого в доведеннi теореми 3 вi-
дображення g можна визначити формулою (1) диференцiальний оператор F , до
якого застосовна теорема 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1695
6. Застосування теореми 1. У випадку локальної апроксимацiї нелiнiйних опе-
раторiв лiнiйними регулярними операторами застосування тверджень, аналогiчних
теоремi 1, наведено в [9, 10]. Наведемо деякi застосування теореми 1 у випадку
локальної апроксимацiї оператора F за допомогою лiнiйних слабкорегулярних
операторiв.
6.1. Випадок лiнiйних рiвнянь. Розглянемо довiльну скiнченну послiдовнiсть
Q = (Q1(t), Q2(t), . . . , Qm(t)), де Qk(t), k = 0,m− 1, — неперервнi й обмеженi на
R функцiї зi значеннями в L(E,E), i вiдповiдний лiнiйний неперервний оператор
LQ : Cm → C0, що визначаються формулою
(LQx)(t) =
dmx(t)
dtm
+
m∑
k=1
Qk(t)
dk−1x(t)
dtk−1
, x ∈ Cm, t ∈ R.
Справджується наступне твердження.
Теорема 4. Для кожного числа H > 0 iснують такi число r > 0 i елемент
A ∈ Gm, що
sup
t∈R, ‖x1‖E6r,...,‖xm‖E6r
∥∥∥∥∥
m∑
k=1
Qk,n(t)xk −
m∑
k=1
Ak,n(t)xk
∥∥∥∥∥
E
6
r
a
−H, (26)
де a — число, що визначається рiвнiстю (8), тодi i тiльки тодi, коли оператор
LQ є слабкорегулярним.
Зауваження 1. Нерiвнiсть (26) рiвносильна нерiвностi
sup
t∈R, ‖x1‖E61,...,‖xm‖E61
∥∥∥∥∥
m∑
k=1
Qk,n(t)xk −
m∑
k=1
Ak,n(t)xk
∥∥∥∥∥
E
6
1
a
− H
r
. (27)
Доведення теореми 4. Якщо для кожного числа H > 0 iснують такi число
r > 0 i елемент A ∈ Gm, що виконується нерiвнiсть (26), то на пiдставi теоремi 1
R (LQ) = C0. Тому оператор LQ : Cm → C0 є слабкорегулярним.
Навпаки, якщо оператор LQ є слабкорегулярним, то для A = Q буде виконува-
тися нерiвнiсть (26) для всiх H > 0 i r > 0, для яких r −Ha > 0.
Теорему 4 доведено.
Теорема 5. Оператор LQ : Cm → C0 є слабкорегулярним тодi i тiльки тодi,
коли iснує елемент A ∈ Gm, для якого
sup
t∈R, ‖x1‖E61,...,‖xm‖E61
∥∥∥∥∥
m∑
k=1
Qk,n(t)xk −
m∑
k=1
Ak,n(t)xk
∥∥∥∥∥
E
<
1
a
. (28)
Доведення. Нехай для деякого A ∈ Gm виконується нерiвнiсть (28). Зафiксуємо
довiльне число H > 0. Виберемо таке число r > 0, щоб
1
a
− sup
t∈R, ‖x1‖E61,...,‖xm‖E61
∥∥∥∥∥
m∑
k=1
Qk,n(t)xk −
m∑
k=1
Ak,n(t)xk
∥∥∥∥∥
E
>
H
r
.
Тодi справджуватиметься нерiвнiсть (27) i, отже, нерiвнiсть (26). Тому за теоремою
4 оператор LQ : Cm → C0 є слабкорегулярним.
Навпаки, якщо оператор LQ : Cm → C0 є слабкорегулярним, то за теоремою
4 для кожного числа H > 0 iснують число r > 0 i елемент A ∈ Gm, для яких
виконуватиметься нерiвнiсть (26) i, отже, нерiвнiсть (27). Iз (27) випливає (28).
Теорему 5 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1696 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
6.2. Малi на нескiнченностi збурення лiнiйних рiвнянь. Розглянемо диферен-
цiальне рiвняння
dmx(t)
dtm
+
m∑
k=1
Ak(t)
dk−1x(t)
dtk−1
+ f
(
t, x(t),
dx(t)
dt
, . . . ,
dm−1x(t)
dtm−1
)
= h(t), (29)
де Ak(t), k = 1,m, — неперервнi й обмеженi на R функцiї зi значеннями в L(E,E),
f : R×Em → E — вiдображення, що задовольняє умову А, i h ∈ C0. Також розгля-
немо лiнiйний неперервний оператор LA : Cm → C0,що визначається рiвнiстю (3).
Окремим випадком теореми 1 є наступне твердження.
Теорема 6. Нехай оператор LA : Cm → C0 є слабкорегулярним i вiдобра-
ження f : R× Em → E задовольняє умову А та спiввiдношення
lim
r→+∞
sup
t∈R, ‖x1‖E6r,...,‖xm‖E6r
‖f(t, x1, . . . , xm)‖E
r
<
1
a
, (30)
де a — число, що визначається рiвнiстю (8).
Тодi диференцiальне рiвняння (29) для кожної функцiї h ∈ C0 має хоча б один
розв’язок x ∈ Cm.
Справдi, завдяки умовам теореми для кожного числа H > 0 iснує таке число
r > 0, що виконується спiввiдношення
sup
t∈R, ‖x1‖E6r,...,‖xm‖E6r
‖f(t, x1, . . . , xm)‖E 6
r
a
−H,
аналогiчне нерiвностi (7). Тому на пiдставi теореми 1 справджується твердження
теореми 6.
Зауваження 2. Спiввiдношення (30) виконується, якщо
sup
t∈R, x1∈E,...,xm∈E
‖f(t, x1, . . . , xm)‖E < +∞. (31)
6.3. Приклади. Приклад 1. Розглянемо диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
+ (th t) l(x(t)) = h(t), t ∈ R, (32)
де
th t =
et − e−t
et + e−t
i
l(x) =
x ln |x|, якщо |x| > e,
x, якщо |x| < e.
Покажемо, що це рiвняння для кожного h ∈ C0(R,R) має хоча б один розв’язок
x ∈ C1(R,R).
Використаємо слабкорегулярнi оператори Lm : C1(R,R) → C0(R,R), m ∈
∈ [1,+∞), що визначаються за допомогою формули
(Lmz)(t) =
dz(t)
dt
+m(th t)z(t), z ∈ C1(R,R), t ∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
МЕТОД ЛОКАЛЬНОГО ЛIНIЙНОГО НАБЛИЖЕННЯ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ . . . 1697
Очевидно, що kerLm = {λ(ch t)−m : λ ∈ R}, де
ch t =
et + e−t
2
.
Визначимо оператори Pl,m : C1(R,R) → C1(R,R), l = 1, 2, за допомогою
рiвностей
(P1,mx)(t) = x(0)(ch t)−m, t ∈ R,
i
(P2,mx)(t) = x(t)− x(0)(ch t)−m, t ∈ R.
Очевидно, що P2
l,m = Pl,m, l = 1, 2, i P1,m+P2,m = I (I — одиничний оператор).
Тому цi оператори є проекторами в C1(R,R) i простори
kerLm = P1,mC
1(R,R) = {λ(ch t)−m : λ ∈ R}
i
XLm = P2,mC
1(R,R)
є взаємно доповняльними. Тодi оператор Lm|XLm
: XLm
→ C0(R,R) має обер-
нений неперервний оператор
(
Lm|XLm
)−1
: C0(R,R)→ XLm
. Легко перевiрити,
що оператор
(
Lm|XLm
)−1
подається у виглядi
((
Lm|XLm
)−1
y
)
(t) =
t∫
0
(
ch s
ch t
)m
y(s) ds, y ∈ C0(R,R), t ∈ R. (33)
Зафiксуємо довiльне число H > 0. Покажемо, що iснує таке число rH > e, що
виконується нерiвнiсть
sup
t∈R, |x|6rH
|ch t l(x)− ch t (ln rH)x| 6 rH∥∥∥∥(Lln rH |XLln rH
)−1∥∥∥∥
L(C0(R,R),C0(R,R))
−H.
(34)
Справдi, на пiдставi методiв математичного аналiзу
sup
t∈R, |x|6rH
|ch t l(x)− ch t (ln rH)x| = max
|x|6rH
|l(x)− (ln rH)x| = rH
e
.
Оскiльки також ∥∥∥∥(Lln rH |XLln rH
)−1∥∥∥∥
L(C0(R,R),C0(R,R))
=
= sup
t∈R, ‖y‖C0(R,R)=1
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
(
ch s
ch t
)ln rH
y(s) ds
∣∣∣∣∣∣ =
= sup
t∈R
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
(
ch s
ch t
)ln rH
ds
∣∣∣∣∣∣ 6 sup
t∈R
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
ch s
ch t
ds
∣∣∣∣∣∣ = sup
t∈R
|th t| = 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1698 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
(тут враховано (33) i те, що ln rH > 1), то виконується нерiвнiсть (34), тому що
rH
e
6 rH −H, якщо rH >
eH
e− 1
.
Отже, для диференцiального рiвняння (32) виконуються умови теореми 1. Тому
це рiвняння для кожного h ∈ C0(R,R) має хоча б один розв’язок x ∈ C1(R,R).
Приклад 2. Розглянемо диференцiальне рiвняння
dx(t)
dt
+ (arctg t) x(t) + f(t, x(t)) = h(t), t ∈ R, (35)
де f(t, x) — довiльна неперервна й обмежена на R2 функцiя зi значеннями в R i
h ∈ C0(R,R). На пiдставi теореми 6 рiвняння (35) для кожної функцiї h ∈ C0(R,R)
має хоча б один розв’язок x ∈ C1(R,R), оскiльки оператор L : C1(R,R) →
→ C0(R,R), що визначається формулою (5), є слабкорегулярним i для f(t, x)
виконується спiввiдношення (31).
1. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. –
М.: Наука, 1970. – 352 с.
2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нели-
нейной механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 248 с.
3. Мухамадиев Э., Нажмиддинов Х., Садовский Б. Н. Применение принципа Шаудера – Тихонова в
задаче об ограниченных решениях дифференциальных уравнений // Функцион. анализ и его прил.
– 1972. – 6, вып. 3. – С. 83 — 84.
4. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений.
– М.: Наука, 1974. – 320 с.
5. Трубников Ю. В., Перов А. И. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями. –
Минск: Наука и техника, 1986. – 200 с.
6. Перов А. И., Коструб И. Д. Метод направляющих функций в задаче о нелинейных почти-
периодических колебаниях // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Физика, математика. – 2002. – № 1.
– С. 163 — 171.
7. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь // Наук.
вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2009. – Вип. 454. – С. 88 — 94.
8. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних
рiзницевих рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 3. – С. 109 — 115.
9. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї обмежених розв’язкiв нелiнiйних
диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – C. 1541 — 1556.
10. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений // Мат. сб. – 2010. – 201, № 8. – С. 103 — 126.
11. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследования дихотомии линейных систем
дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. – Киев: Наук. думка, 1990. – 272 с.
12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука,
1968. – 496 с.
13. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.
14. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. – 1972. – 11, № 3. – С. 269 — 274.
15. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциаль-
ных уравнений // Мат. заметки. – 1981. – 30, № 3. – С. 443 — 460.
16. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов
// Мат. сб. – 1981. – 116(158), № 4(12). – С. 483 — 501.
17. Слюсарчук В. Е. Интегральное представление c-непрерывных линейных операторов // Докл. АН
УССР Сер. А. – 1981. – № 8. – С. 34 — 37.
18. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов //
Мат. сб. – 1986. – 130(172), № 1(5). – C. 86 — 104.
19. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. – 1987. – 42, № 2. – С. 262 — 267.
20. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных
функционально-дифференциальных операторов // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 2. – С. 201 — 205.
21. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. – М.: Мир, 1977. – 232 с.
Одержано 10.05.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
|