Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання
Установлен критерий улучшенного регулярного роста целых функций положительного порядка с нулями на конечной системе лучей в терминах их коэффициентов Фурье.
Gespeichert in:
Datum: | 2011 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Ukrainian |
Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2011
|
Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166410 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання / Р.В. Хаць // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1717–1721. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-166410 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1664102020-02-20T01:26:59Z Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання Хаць, Р.В. Короткі повідомлення Установлен критерий улучшенного регулярного роста целых функций положительного порядка с нулями на конечной системе лучей в терминах их коэффициентов Фурье. We establish a criterion for the improved regular growth of entire functions of positive order with zeros on a finite system of half-lines in terms of their Fourier coefficients. 2011 Article Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання / Р.В. Хаць // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1717–1721. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166410 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Ukrainian |
topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Хаць, Р.В. Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання Український математичний журнал |
description |
Установлен критерий улучшенного регулярного роста целых функций положительного порядка с нулями на конечной системе лучей в терминах их коэффициентов Фурье. |
format |
Article |
author |
Хаць, Р.В. |
author_facet |
Хаць, Р.В. |
author_sort |
Хаць, Р.В. |
title |
Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання |
title_short |
Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання |
title_full |
Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання |
title_fullStr |
Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання |
title_full_unstemmed |
Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання |
title_sort |
регулярність зростання коефіцієнтів фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2011 |
topic_facet |
Короткі повідомлення |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166410 |
citation_txt |
Регулярність зростання коефіцієнтів Фур'є цілих функцій покращеного регулярного зростання / Р.В. Хаць // Український математичний журнал. — 2011. — Т. 63, № 12. — С. 1717–1721. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
series |
Український математичний журнал |
work_keys_str_mv |
AT hacʹrv regulârnístʹzrostannâkoefícíêntívfurêcílihfunkcíjpokraŝenogoregulârnogozrostannâ |
first_indexed |
2025-07-14T21:27:46Z |
last_indexed |
2025-07-14T21:27:46Z |
_version_ |
1837659298911485952 |
fulltext |
УДК 517.5
Р. В. Хаць (Дрогобиц. держ. пед. ун-т, Iн-т фiзики, математики та iнформатики)
РЕГУЛЯРНIСТЬ ЗРОСТАННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ФУР’Є ЦIЛИХ
ФУНКЦIЙ ПОКРАЩЕНОГО РЕГУЛЯРНОГО ЗРОСТАННЯ
We establish a criterion for the improved regular growth of entire functions of positive order with zeros on a
finite system of half-lines in terms of their Fourier coefficients.
Установлен критерий улучшенного регулярного роста целых функций положительного порядка с нулями
на конечной системе лучей в терминах их коэффициентов Фурье.
Теорiя цiлих функцiй цiлком регулярного зростання в розумiннi Левiна – Пфлюгера
[1] встановлює зв’язок мiж регулярнiстю зростання цiлої функцiї i правильним
поводженням послiдовностi її нулiв. Численнi дослiдження присвячено розвинен-
ню теорiї Левiна – Пфлюгера i перенесенню її результатiв на iншi класи функцiй
(див. [2, 3]). На даний час вiдомо досить багато рiзноманiтних умов, якi є необхiд-
ними i достатнiми для цiлком регулярного зростання цiлих функцiй. Зокрема, в
[4] встановлено критерiй цiлком регулярного зростання цiлих функцiй додатного
порядку в термiнах їх коефiцiєнтiв Фур’є.
Теорема A [4]. Для того щоб цiла функцiя f порядку ρ ∈ (0,+∞) була функ-
цiєю цiлком регулярного зростання, необхiдно i достатньо, щоб для всiх k ∈ Z
iснували границi
lim
r→+∞
ck(r, log |f |)
rρ
= ck, ck(r, log |f |) :=
1
2π
2π∫
0
e−ikϕ log |f(reiϕ)| dϕ.
У роботi [5, с. 76] (див. також [8]) отримано аналог теореми А в класi меро-
морфних функцiй скiнченного λ-типу цiлком регулярного зростання, а в [6] — для
класу цiлих функцiй сильно регулярного зростання нульового порядку з нулями на
скiнченнiй системi променiв. У статтi [7] встановлено критерiї цiлком регулярного
зростання цiлих, а в [5, с. 78; 8, 9] — мероморфних функцiй додатного порядку в
Lp[0, 2π]-метрицi (див. також [10]).
У статтях [11, 12] (див. також [13]) введено поняття цiлої функцiї покращеного
регулярного зростання i знайдено критерiї для цiєї регулярностi в термiнах розподi-
лу нулiв за умови, коли останнi розмiщенi на скiнченнiй системi променiв. У роботi
[14] це поняття поширено на субгармонiчнi функцiї. Цiла функцiя f називається
функцiєю покращеного регулярного зростання [11], якщо для деяких ρ ∈ (0,+∞),
ρ1 ∈ (0, ρ) i 2π-перiодичної ρ-тригонометрично опуклої функцiї h 6≡ −∞ iснує
множина U ⊂ C, яка мiститься в об’єднаннi кругiв iз скiнченною сумою радiусiв
така, що
log |f(z)| = |z|ρh(arg z) + o(|z|ρ1), U 63 z →∞.
Якщо цiла функцiя f є функцiєю покращеного регулярного зростання, то [11] вона
має порядок ρ i iндикатор h.
Нехай f — цiла функцiя, f(0) = 1, (λn) — послiдовнiсть її нулiв, p — най-
менше цiле невiд’ємне число, для якого
∑
n∈N
|λn|−p−1 < +∞, n(r, ψ; f) :=
:=
∑
|λn|≤r, arg λn=ψ
1 i Qρ — коефiцiєнт при zρ експоненцiального множника у
зображеннi Адамара – Бореля [1, с. 38] цiлої функцiї f порядку ρ ∈ (0,+∞).
c© Р. В. ХАЦЬ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12 1717
1718 Р. В. ХАЦЬ
Теорема Б [11]. Для того щоб цiла функцiя f нецiлого порядку ρ ∈ (0,+∞)
з нулями на скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj}, j ∈ {1, . . . ,m}, 0 ≤
≤ ψ1 < ψ2 < . . . < ψm < 2π, була функцiєю покращеного регулярного зростання,
необхiдно i достатньо, щоб для деякого ρ2 ∈ (0, ρ) i кожного j ∈ {1, . . . ,m}
n(t, ψj ; f) = ∆jt
ρ + o(tρ2), t→ +∞, ∆j ∈ [0,+∞). (1)
При цьому
h(ϕ) =
m∑
j=1
hj(ϕ), (2)
де hj(ϕ) — 2π-перiодична функцiя, визначена на промiжку [ψj , ψj + 2π) рiвнiстю
hj(ϕ) =
π∆j
sinπρ
cos ρ(ϕ− ψj − π).
Теорема B [12]. Для того щоб цiла функцiя f порядку ρ ∈ N з нулями на
скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj}, j ∈ {1, . . . ,m}, 0 ≤ ψ1 < ψ2 < . . .
. . . < ψm < 2π, була функцiєю покращеного регулярного зростання, необхiдно i
достатньо, щоб для деякого ρ2 ∈ (0, ρ) i кожного j ∈ {1, . . . ,m} виконувалась
рiвнiсть (1) i, крiм того, для деяких ρ3 ∈ (0, ρ) i δf ∈ C∑
0<|λn|≤r
λ−ρn = δf + o(rρ3−ρ), r → +∞.
При цьому
h(ϕ) =
τf cos (ρϕ+ θf ) +
m∑
j=1
hj(ϕ), ρ = p,
Qρ cos ρϕ, ρ = p+ 1,
(3)
де τf = |δf/ρ+Qρ|, θf = arg (δf/ρ+Qρ) i hj(ϕ) — 2π-перiодична функцiя, визна-
чена на промiжку [ψj , ψj + 2π) рiвнiстю hj(ϕ) = ∆j(π − ϕ+ ψj) sin ρ(ϕ− ψj)−
− ∆j
ρ
cos ρ(ϕ− ψj).
Метою цiєї статтi є встановлення аналогу вищезгаданих результатiв з [4, 6] для
класу цiлих функцiй покращеного регулярного зростання з нулями на скiнченнiй
системi променiв.
Теорема 1. Для того щоб цiла функцiя f порядку ρ ∈ (0,+∞) з нулями на
скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj}, j ∈ {1, . . . ,m}, 0 ≤ ψ1 < ψ2 < . . .
. . . < ψm < 2π, була функцiєю покращеного регулярного зростання, необхiдно i
достатньо, щоб для деяких ρ4 ∈ (0, ρ), k0 ∈ Z i кожного k ∈ {k0, k0 + 1, . . . , k0 +
+m− 1}
ck(r, log |f |) = ckr
ρ + o(rρ4), r → +∞. (4)
Для доведення теореми 1 потрiбнi наступнi допомiжнi твердження.
Лема 1 [11]. Нехай ρ ∈ (0,+∞), ρ1 ∈ (0, ρ) i f — цiла функцiя покращеного
регулярного зростання. Тодi iснує така послiдовнiсть (rs), що 0 < rs ↑ +∞,
rρs+1 − rρs = o(rρ1s ) i log |f(rse
iϕ)| = rρsh(ϕ) + o(rρ1s ), s → +∞, рiвномiрно по
ϕ ∈ [0, 2π].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
РЕГУЛЯРНIСТЬ ЗРОСТАННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ФУР’Є ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 1719
Лема 2 [15]. Нехай f — цiла функцiя порядку ρ ∈ (0,+∞) з iндикатором
h(ϕ). Тодi, якщо iснує послiдовнiсть (rs) з леми 1, то iснує таке ρ4 ∈ (0, ρ), що
для кожного k ∈ Z виконується (4).
Нехай [5, с. 104]
nk(r, f) :=
∑
|λn|≤r
e−ik arg λn , Nk(r, f) :=
r∫
0
nk(t, f)
t
dt, k ∈ Z.
Вiдомо [5, с. 107], що
Nk(r, f) = ck(r, log |f |)− k2
r∫
0
dt
t
t∫
0
ck(u, log |f |)
u
du, k ∈ Z, r > 0. (5)
Лема 3. Нехай f — цiла функцiя покращеного регулярного зростання порядку
ρ ∈ (0,+∞). Тодi для деякого ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного k ∈ Z виконується (4) та
Nk(r, f) = ck(1− k2/ρ2)rρ + o(rρ4), r → +∞. (6)
Доведення. Справдi, (4) безпосередньо випливає з лем 1 i 2. Доведемо (6). Якщо
виконується (4), то на основi (5) при r → +∞ отримуємо
Nk(r, f) = ckr
ρ+o(rρ4)−k2
r∫
0
dt
t
t∫
0
(cku
ρ−1+o(uρ4−1)) du = ck(1−k2/ρ2)rρ+o(rρ4).
Лему 3 доведено.
З леми 3, як наслiдок, випливає наступна лема.
Лема 4. Якщо f — цiла функцiя покращеного регулярного зростання порядку
ρ ∈ (0,+∞) з нулями на скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj}, j ∈
{1, . . . ,m}, 0 ≤ ψ1 < ψ2 < . . . < ψm < 2π, то для деякого ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного
k ∈ Z виконуються (4) та (6), де
ck :=
1
2π
2π∫
0
e−ikϕh(ϕ) dϕ =
ρ
ρ2 − k2
m∑
j=1
∆je
−ikψj , ∆j ∈ [0,+∞), (7)
якщо ρ — нецiле число, i для ρ ∈ N
ck =
ρ
ρ2 − k2
m∑
j=1
∆je
−ikψj , |k| 6= ρ = p,
τfe
iθf
2
− 1
4ρ
m∑
j=1
∆je
−iρψj , k = ρ = p,
0, |k| 6= ρ = p+ 1,
Qρ
2
, k = ρ = p+ 1.
(8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1720 Р. В. ХАЦЬ
Доведення. Справдi, на пiдставi (2) отримуємо
ck =
1
2π
m∑
j=1
π∆j
sinπρ
ψj+2π∫
ψj
e−ikϕ cos ρ(ϕ− ψj − π) dϕ
=
=
ρ
ρ2 − k2
m∑
j=1
∆je
−ikψj , k ∈ Z.
Аналогiчно, з огляду на (3) одержуємо
ck =
1
2π
2π∫
0
e−ikϕτf cos(ρϕ+ θf ) dϕ+
+
1
2π
m∑
j=1
ψj+2π∫
ψj
e−ikϕ
(
∆j(π − ϕ+ ψj) sin ρ(ϕ− ψj)−
∆j
ρ
cos ρ(ϕ− ψj)
)
dϕ
=
=
ρ
ρ2 − k2
m∑
j=1
∆je
−ikψj , |k| 6= ρ = p,
i
cρ =
τfe
iθf
2
− 1
4ρ
m∑
j=1
∆je
−iρψj .
Випадок ρ = p+ 1 розглядається аналогiчно.
Лему 4 доведено.
Лема 5. Нехай ρ ∈ (0,+∞). Для того щоб для деякого ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного
j ∈ {1, . . . ,m} виконувалась рiвнiсть
N(r, ψj ; f) :=
r∫
0
n(t, ψj ; f)
t
dt =
∆j
ρ
rρ + o(rρ4), r → +∞, ∆j ∈ [0,+∞), (9)
необхiдно i достатньо, щоб для деяких ρ4 ∈ (0, ρ), k0 ∈ Z i кожного k ∈ {k0, k0 +
+ 1, . . . , k0 +m− 1} виконувалось (6) з ck, визначеними формулами (7) i (8).
Доведення. Необхiднiсть випливає з формулNk(r, f)=
∑m
j=1
e−ikψjN(r, ψj ; f).
Доведемо достатнiсть. Не зменшуючи загальностi мiркувань, вважаємо, що k0 =
= 0. Тодi, як i в [5, с. 127; 6], для k ∈ {0, 1, . . . ,m− 1}
N0(r, f) = N(r, ψ1; f) +N(r, ψ2; f) + . . .+N(r, ψm; f),
N1(r, f) = e−iψ1N(r, ψ1; f) + e−iψ2N(r, ψ2; f) + . . .+ e−iψmN(r, ψm; f),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nm−1(r, f) = e−i(m−1)ψ1N(r, ψ1; f) + e−i(m−1)ψ2N(r, ψ2; f) + . . .
· · ·+ e−i(m−1)ψmN(r, ψm; f).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
РЕГУЛЯРНIСТЬ ЗРОСТАННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ФУР’Є ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 1721
Це система лiнiйних рiвнянь вiдносно невiдомих N(r, ψj ; f), j ∈ {1, . . . ,m}. Її
визначником є визначник Вандермонда, який вiдмiнний вiд нуля. Тому функ-
цiї N(r, ψj ; f), j ∈ {1, . . . ,m}, можна зобразити як лiнiйнi комбiнацiї функцiй
Nk(r, f), k ∈ {0, 1, . . . ,m − 1}. Розв’язуючи розглядувану систему за правилом
Крамера, на основi (6) одержуємо (9).
Лему 5 доведено.
Лема 6 [11, 16]. Нехай ρ ∈ (0,+∞). Для того щоб для деякого ρ2 ∈ (0, ρ) i
кожного j ∈ {1, . . . ,m} виконувалась рiвнiсть (1), необхiдно i достатньо, щоб для
деякого ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного j ∈ {1, . . . ,m} виконувалось (9).
Зауваження. З лем 4 – 6 i леми 6 з [12] випливають необхiднi частини теорем
Б i В.
Доведення теореми 1. Необхiднiсть випливає з леми 4, а достатнiсть — з
лем 4 – 6, леми 6 з [12] та достатнiх частин теорем Б i В.
Теорема 1 є непокращуваною в сенсi наступної теореми.
Теорема 2. Для кожного m ∈ N\{1} iснує така цiла функцiя f нецiлого
порядку ρ ∈ (0,+∞) з нулями на скiнченнiй системi променiв {z : arg z = ψj},
ψj :=
2π(j − 1)
m
, j ∈ {1, . . . ,m}, що
c0(r, log |f |) =
m
ρ
rρ − m
ρ2
rρ
log r
+ o
(
rρ
log r
)
, r → +∞,
для будь-якого ρ4 ∈ (0, ρ) та кожного k ∈ {1, . . . ,m− 1} виконується (4) i f не є
функцiєю покращеного регулярного зростання.
Доведення. Нехай ρ ∈ (0,+∞) — нецiле число, µn =
(
n+
n
log n
)1/ρ
, {λn : n ∈
∈ N\{1}} :=
⋃m
j=1
{µnei
2π(j−1)
m : n ∈ N\{1}} i
f(z) =
∞∏
n=1
(
1− z
λn
)
exp
(
p∑
ν=1
1
ν
(
z
λn
)ν)
, p = [ρ].
Тодi µρn = n +
n
log n
= (1 + o(1))n i n = (1 + o(1))µρn при n → +∞. Звiдси при
n→ +∞
n = µρn
(
1 +
1
log n
)−1
= µρn
(
1 +
1
log((1 + o(1))µρn)
)−1
=
= µρn
(
1− 1
log((1 + o(1))µρn)
+ o
(
1
log((1 + o(1))µρn)
))
=
=µρn
(
1− 1
ρ logµn + o(1)
+ o
(
1
ρ logµn + o(1)
))
=µρn −
µρn
ρ logµn
+ o
(
µρn
logµn
)
.
Далi, нехай µn ≤ t < µn+1. Тодi n
(
t,
2π(j − 1)
m
; f
)
= n = µρn −
µρn
ρ logµn
+
+ o
(
µρn
logµn
)
≤ tρ − tρ
ρ log t
+ o
(
tρ
log t
)
, t→ +∞. З iншого боку,
n
(
t,
2π(j − 1)
m
; f
)
= n+ 1− 1 = µρn+1 −
µρn+1
ρ logµn+1
+ o
(
µρn+1
logµn+1
)
− 1 ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
1722 Р. В. ХАЦЬ
≥ tρ − tρ
ρ log t
+ o
(
tρ
log t
)
, t→ +∞.
Тому n
(
t,
2π(j − 1)
m
; f
)
= tρ − tρ
ρ log t
+ o
(
tρ
log t
)
при t→ +∞ для кожного j ∈
∈ {1, . . . ,m}.Отже, для жодного ρ2 ∈ (0, ρ) не виконується (1) i, згiдно з теоремами
Б i В, цiла функцiя f не є функцiєю покращеного регулярного зростання. Крiм цьо-
го, для кожного j ∈ {1, . . . ,m} отримуємо N
(
r,
2π(j − 1)
m
; f
)
=
rρ
ρ
− rρ
ρ2 log r
+
+ o
(
rρ
log r
)
, r → +∞. Тому c0(r, log |f |) =
∑m
j=1
N
(
r,
2π(j − 1)
m
; f
)
=
m
ρ
rρ −
− m
ρ2
rρ
log r
+ o
(
rρ
log r
)
, r → +∞. Таким чином, (4) для k = 0 не виконується. До
того ж (див. [15; 13, с. 77])
ck(r, log |f |) =
1
2k
m∑
j=1
∑
µn≤r
[(
r
λn
)k
−
(
λn
r
)k]
=
=
1
2k
∑
µn≤r
[(
r
µn
)k
−
(µn
r
)k] m∑
j=1
e−ik
2π(j−1)
m , 1 ≤ k ≤ p,
i
ck(r, log |f |) = − 1
2k
m∑
j=1
∑
µn>r
(
r
λn
)k
+
∑
µn≤r
(
λn
r
)k =
= − 1
2k
∑
µn>r
(
r
µn
)k
+
∑
µn≤r
(µn
r
)k
m∑
j=1
e−ik
2π(j−1)
m , k ≥ p+ 1.
Позаяк
m∑
j=1
e−ik
2π(j−1)
m =
1− e−2πki
1− e−i 2πkm
= 0, k ∈ {1, . . . ,m− 1},
то ck(r, log |f |) = 0 для кожного k ∈ {1, . . . ,m−1} i всiх r > 0. Тому для будь-якого
ρ4 ∈ (0, ρ) i кожного k ∈ {1, . . . ,m− 1} виконується (4).
Теорему 2 доведено.
1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехиздат, 1956. – 632 с.
2. Гольдберг А. А. Б.Я. Левин — создатель теории целых функций вполне регулярного роста // Мат.
физика, анализ, геометрия. – 1994. – 1, № 2. – С. 186 – 192.
3. Гольдберг А. А., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки
и техники. Соврем. пробл. математики. Фундам. направления. – М.: ВИНИТИ, 1991. – 85. – С.
5 – 186.
4. Азарин В. С. О регулярности роста коэффициентов Фурье логарифма модуля целой функции //
Теория функций, функцион. анализ и их прил. – 1977. – Вып. 27. – С. 9 – 21.
5. Кондратюк А. А. Ряды Фурье и мероморфные функции. – Львов: Вища шк., 1988. – 195 с.
6. Заболоцький М. В. Регулярне зростання коефiцiєнтiв Фур’є логарифму цiлої функцiї нульового
порядку // Мат. вiсн. НТШ. – 2009. – 6. – С. 100 – 109.
7. Калинець Р. З., Кондратюк А. А. Про регулярнiсть зростання модуля i аргумента цiлої функцiї в
Lp[0, 2π]-метрицi // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 7. – С. 889 – 896.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
РЕГУЛЯРНIСТЬ ЗРОСТАННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ФУР’Є ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ . . . 1723
8. Василькiв Я. В. Асимптотична поведiнка логарифмiчних похiдних та логарифмiв мероморфних
функцiй цiлком регулярного зростання в Lp[0, 2π]-метрицi. Ч. 1 // Мат. студ. – 1999. – 12, № 1. –
С. 37 – 58.
9. Василькiв Я. В. Асимптотична поведiнка логарифмiчних похiдних та логарифмiв мероморфних
функцiй цiлком регулярного зростання в Lp[0, 2π]-метрицi. Ч. 2 // Мат. студ. – 1999. – 12, № 2. –
С. 135 – 144.
10. Боднар О. В., Заболоцький М. В. Критерiї регулярностi зростання логарифма модуля та аргументу
цiлої функцiї // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 7. – С. 885 – 893.
11. Винницький Б. В., Хаць Р. В. Про регулярнiсть зростання цiлої функцiї нецiлого порядку з нулями
на скiнченнiй системi променiв // Мат. студ. – 2005. – 24, № 1. – С. 31 – 38.
12. Khats’ R. V. On entire functions of improved regular growth of integer order with zeros on a finite
system of rays // Mat. Stud. – 2006. – 26, № 1. – P. 17 – 24.
13. Хаць Р. В. Цiлi функцiї покращеного регулярного зростання: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. –
Дрогобич, 2006. – 125 с.
14. Гiрник М. О. Субгармонiчнi функцiї покращеного регулярного зростання // Доп. НАН України. –
2009. – № 4. – С. 13 – 18.
15. Хаць Р. В. Про коефiцiєнти Фур’є одного класу цiлих функцiй // Мат. студ. – 2005. – 23, № 1. –
С. 99 – 102.
16. Винницький Б. В., Хаць Р. В. Про асимптотичну поведiнку цiлих функцiй нецiлого порядку // Мат.
студ. – 2004. – 21, № 2. – С. 140 – 150.
Одержано 14.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 12
|