Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b]
Рассмотрен широкий класс линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений — тотальные задачи относительно пространства C(n+r)[a,b], где n ∈ N, а r — порядок уравнений. Доказана теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости по параметру их решений в этом п...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166472 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] / В.О. Солдатов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 692-700. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166472 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1664722020-02-22T01:25:22Z Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] Солдатов, В.О. Статті Рассмотрен широкий класс линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений — тотальные задачи относительно пространства C(n+r)[a,b], где n ∈ N, а r — порядок уравнений. Доказана теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости по параметру их решений в этом пространстве. We study a broad class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations, namely, the problems total with respect to the space C(n+r)[a,b], where n ∊ N and r is the order of the equations. For their solutions, we prove the theorem of existence, uniqueness, and continuous dependence on the parameter in this space. 2015 Article Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] / В.О. Солдатов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 692-700. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166472 517.927 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Солдатов, В.О. Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] Український математичний журнал |
| description |
Рассмотрен широкий класс линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений — тотальные задачи относительно пространства C(n+r)[a,b], где n ∈ N, а r — порядок уравнений. Доказана теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости по параметру их решений в этом пространстве. |
| format |
Article |
| author |
Солдатов, В.О. |
| author_facet |
Солдатов, В.О. |
| author_sort |
Солдатов, В.О. |
| title |
Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] |
| title_short |
Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] |
| title_full |
Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] |
| title_fullStr |
Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] |
| title_full_unstemmed |
Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] |
| title_sort |
про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів c(n+r)[a,b] |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166472 |
| citation_txt |
Про неперервність за параметром розв’язків крайових задач, тотальних щодо просторів C(n+r)[a,b] / В.О. Солдатов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 5. — С. 692-700. — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT soldatovvo proneperervnístʹzaparametromrozvâzkívkrajovihzadačtotalʹnihŝodoprostorívcnrab |
| first_indexed |
2025-07-14T21:48:49Z |
| last_indexed |
2025-07-14T21:48:49Z |
| _version_ |
1837660616095956992 |
| fulltext |
УДК 517.927
В. О. Солдатов (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ,
ТОТАЛЬНИХ ЩОДО ПРОСТОРIВ C(n+r)[a, b]
We study a broad class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations, namely, the
problems total with respect to the space C(n+r)[a, b], where n ∈ N and r is the order of the equations. For their solutions,
we prove the theorem of existence, uniqueness, and continuous dependence on the parameter in this space.
Рассмотрен широкий класс линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений —
тотальные задачи относительно пространства C(n+r)[a, b], где n ∈ N, а r — порядок уравнений. Доказана теорема
о существовании, единственности и непрерывной зависимости по параметру их решений в этом пространстве.
1. Вступ. Питання, пов’язанi з граничним переходом у системах диференцiальних рiвнянь,
виникають у багатьох задачах. Цi питання найкраще дослiджено щодо задачi Кошi для сис-
тем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку. Бiльш складний випадок загаль-
них лiнiйних крайових задач вивчали I. Т. Кiгурадзе [1 – 3] та його послiдовники. У роботах
Т. I. Кодлюк, В. А. Михайлеця i Н. В. Реви [4 – 6] отримано суттєвi узагальнення цих резуль-
татiв. Вони стосуються рiвномiрної неперервностi за параметром розв’язкiв систем лiнiйних
диференцiальних рiвнянь першого порядку. Для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь ви-
щих порядкiв цi питання дослiджено В. А. Михайлецем i Г. О. Чехановою [7]. Аналоги цих
результатiв встановлено у статтi [8] для бiльш сильних соболєвських норм.
У роботах [9, 10] введено i дослiджено досить широкий клас лiнiйних крайових задач, то-
тальних щодо просторiв Соболєва. Доведено теореми про неперервнiсть за параметром розв’яз-
кiв у цих просторах.
Щодо просторiв неперервно диференцiйовних функцiй тотальнi крайовi задачi введено i
дослiджено в роботах [11 – 13] для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку. Доведено
фредгольмовiсть цих задач, знайдено достатнi умови їх коректної розв’язностi та неперервної
залежностi за параметром їхнiх розв’язкiв у вказаних просторах.
Мета даної роботи — поширити цi результати на системи диференцiальних рiвнянь високих
порядкiв. Хоча такi системи зводяться до систем диференцiальних рiвнянь першого порядку,
для тотальних крайових задач застосування цiєї стандартної редукцiї викликає складнощi з
огляду на некласичнiсть крайових умов. Тому є сенс окремо дослiдити випадок диференцiаль-
них рiвнянь високих порядкiв.
Зауважимо, що загальнi теореми про граничний перехiд у загальних i тотальних крайових
задачах мають рiзнi застосування до багатоточкових крайових задач [14, 15], у дослiдженнi
граничних властивостей функцiї Грiна крайових задач [6, 7, 16], у спектральнiй теорiї дифе-
ренцiальних операторiв [17 – 19].
2. Постановка задачi. Нехай задано скiнченний вiдрiзок [a, b] ⊂ R. Для довiльних цiлих
чисел l ≥ 0 i m ≥ 1 позначимо C(l) := C(l)
(
[a, b],C
)
, (C(l))m := C(l)
(
[a, b],Cm
)
i (C(l))m×m :=
:= C(l)
(
[a, b],Cm×m
)
. Таким чином, C(l) — банахiв простiр усiх l разiв неперервно диференцi-
йовних функцiй x : [a, b]→ C, надiлений нормою
c© В. О. СОЛДАТОВ, 2015
692 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ, ТОТАЛЬНИХ ЩОДО . . . 693
‖x‖(l) :=
l∑
j=0
max
{
|x(j)(t)| : t ∈ [a, b]
}
.
Аналогiчно, (C(l))m i (C(l))m×m — банаховi простори всiх l разiв неперервно диференцiйовних
вектор-функцiй z : [a, b]→ Cm i квадратних матриць-функцiй Z : [a, b]→ Cm×m. Норми у цих
просторах позначаємо також через ‖ · ‖(l); вони є сумами норм у C(l) усiх компонент функцiї
z або Z. З контексту завжди буде зрозумiло, про норму в якому саме просторi (скалярних
функцiй, вектор-функцiй чи матриць-функцiй) йде мова. Звiсно, якщо m = 1, то всi цi простори
збiгаються.
Нехай задано цiлi числа m ≥ 1, n ≥ 0 i r ≥ 1. На вiдрiзку [a, b] розглянемо лiнiйну крайову
задачу для системи m диференцiальних рiвнянь r-го порядку
Lz(t) ≡ z(r)(t) +
r∑
j=1
Kr−j(t)z
(r−j)(t) = f(t), a ≤ t ≤ b, (1)
Bz(·) = c. (2)
Тут вектор-функцiя z(·) ∈ (C(n+r))m є шуканою, а всi матрицi-функцiї Kr−j(·) ∈ (C(n))m×m,
вектор-функцiя f(·) ∈ (C(n))m, лiнiйний неперервний оператор
B : (C(n+r))m → Crm (3)
i вектор c ∈ Crm є заданими. Вектори i вектор-функцiї вважаємо поданими у виглядi стовпцiв.
Зазначимо, що лiнiйний неперервний оператор (3) єдиним чином зображується у виглядi
Bz(·) =
n+r∑
k=1
αk z
(k−1)(a) +
b∫
a
(dΦ(t))z(n+r)(t), (4)
де всi αk є деякими числовими матрицями розмiру rm ×m, а Φ(t) — деяка матриця-функцiя
розмiру rm ×m, утворена скалярними функцiями обмеженої варiацiї на вiдрiзку [a, b], непе-
рервними злiва на [a, b] i рiвними нулю при t = a, причому iнтеграл розумiється за Рiманом —
Стiльтьєсом. (Це випливає з вiдомого опису простору, спряженого до C(n+r); див., наприклад,
[20], розд. IV, п. 13, задача 36.)
Крайова умова (2) з неперервним оператором (3) є найбiльш загальною для рiвняння (1),
розв’язок якого розглядається у просторi
(
C(n+r)
)m
. Вона охоплює як усi класичнi види крайо-
вих умов (умови задачi Кошi, багатоточковi умови, iнтегральнi умови, умови мiшаних крайових
задач), так i некласичнi умови, що мiстять похiднi шуканої функцiї, порядок яких бiльший нiж
r − 1. За аналогiєю з роботою [10, с. 589] задачу (1), (2) називаємо тотальною щодо простору
C(n+r). (У цiй роботi поняття тотальної крайової задачi введено щодо просторiв Соболєва та
для систем диференцiальних рiвнянь першого порядку.)
Якщо крайова задача (1), (2) залежить вiд малого параметра ε ≥ 0, то постає важливе питан-
ня про неперервну залежнiсть її розв’язку z = z(·, ε) за параметром ε у просторi
(
C(n+r)
)m
,
тобто коли
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
694 В. О. СОЛДАТОВ∥∥z(·, ε)− z(·, 0)
∥∥
(n+r)
→ 0 при ε→ 0 + . (5)
Мета роботи полягає у знаходженнi достатнiх умов для однозначної розв’язностi цiєї задачi
i виконання граничної властивостi (5), напевно, мiнiмальних на класi розглянутих крайових
задач.
3. Основнi результати. Сформулюємо основнi результати статтi; вони будуть доведенi у
п. 5. Коротко запишемо крайову задачу (1), (2) у виглядi операторного рiвняння (L,B)z = (f, c),
де лiнiйний оператор (L,B) є очевидно неперервним у парi банахових просторiв
(L,B) :
(
C(n+r)
)m → (
C(n)
)m × Crm. (6)
Теорема 1. Оператор (6) є фредгольмовим з iндексом нуль.
З огляду на цю теорему нагадаємо, що лiнiйний неперервний оператор T : E1 → E2, де E1
i E2 — банаховi простори, називають фредгольмовим, якщо його ядро kerT i коядро E2/T (E1)
скiнченновимiрнi. Якщо цей оператор фредгольмiв, то його область значень T (E1) замкнена
в E2, а iндекс indT := dim kerT − dim(E2/T (E1)) скiнченний (див., наприклад, [21], ле-
ма 19.1.1).
Для фредгольмового оператора (6) сформулюємо критерiй бути iзоморфiзмом.
Як вiдомо [23] (розд. 2, п. 2.5), загальний розв’язок однорiдного рiвняння (1) з f ≡ 0 можна
записати у виглядi
z(·) =
r−1∑
l=0
Zl(·)ql, (7)
де стовпцi q0, . . . , ql−1 ∈ Cm є довiльними. Тут кожна матриця-функцiя Zl(·) ∈ (C(n+r))m×m є
розв’язком задачi Кошi
Z
(r)
l (t) +
r∑
j=1
Kr−j(t)Z
(r−j)
l (t) = 0, a ≤ t ≤ b, (8)
Z
(j)
l (t0) = δl,jIm, j = 0, . . . , r − 1. (9)
В умовах (9) точка t0 ∈ [a, b] фiксована, δl,j — символ Кронекера, а Im — одинична матриця
порядку m.
Теорема 2. Оператор (6) є iзоморфiзмом тодi i тiльки тодi, коли є невиродженою
матриця (
[BZ0(·)] . . . [BZr−1(·)]
)
. (10)
Тут (10) — числова квадратна матриця порядку rm, утворена з прямокутних блокiв [BZl(·)],
де l = 0, . . . , r−1, розмiру rm×m. За означенням кожний стовпець блоку [BZl(·)] є результатом
дiї оператора B на вiдповiдний стовпець (з тим же номером) матрицi-функцiї Zl(·).
Розглянемо сiм’ю крайових задач вигляду (1), (2), залежних вiд числового параметра ε :
L(ε)z(t, ε) ≡ z(r)(t, ε) +
r∑
j=1
Kr−j(t, ε)z
(r−j)(t, ε) = f(t, ε), a ≤ t ≤ b, (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ, ТОТАЛЬНИХ ЩОДО . . . 695
B(ε)z(·, ε) = c(ε), (12)
де ε ∈ [0, ε0), а число ε0 > 0 є фiксованим. Припускаємо, що для кожного ε ∈ [0, ε0) крайова
задача (11), (12) тотальна щодо просторуC(n+r), тобто у нiй z(·, ε) ∈ (C(n+r))m, усiKr−j(·, ε) ∈
∈ (C(n))m×m, f(·, ε) ∈ (C(n))m, B(ε) — лiнiйний неперервний оператор B(ε) : (C(n+r))m →
→ Crm i c(ε) ∈ Crm.
Далi вважаємо, що виконується таке припущення.
Припущення 1. Гранична однорiдна крайова задача
L(0)z(t, 0) = 0, a ≤ t ≤ b, B(0)z(·, 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
На пiдставi теореми 1 це припущення рiвносильне тому, що неперервний оператор
(L(ε), B(ε)) : (C(n+r))m → (C(n))m × Crm (13)
у випадку ε = 0 є iзоморфiзмом
(L(0), B(0)) : (C(n+r))m ↔ (C(n))m × Crm. (14)
Тепер сформулюємо основну теорему статтi про умови, достатнi для однозначної розв’яз-
ностi задачi (11), (12) i неперервної залежностi її розв’язку за малим параметром.
Теорема 3. Нехай при ε→ 0+ виконуються такi умови :
(i) ‖Kl(·, ε)−Kl(·, 0)‖(n) → 0 для кожного номера l ∈ {0, . . . , r − 1};
(ii) ‖f(·, ε)− f(·, 0)‖(n) → 0;
(iii) B(ε)z → B(0)z для довiльного z ∈ (C(n+r))m;
(iv) c(ε)→ c(0).
Тодi для достатньо малих ε > 0 задача (11), (12) має єдиний розв’язок i вiн задовольняє
граничну властивiсть (5).
Зауваження 1. Для кожного ε ∈ [0, ε0) подамо крайовий оператор B(ε) у виглядi (4), де
αk = αk(ε) i Φ(t) = Φ(t, ε). З теореми Рiса про критерiй слабкої збiжностi лiнiйних непе-
рервних функцiоналiв на C([a, b],C) (див., наприклад, [22, с. 523]) випливає, що умова (iii)
рiвносильна виконанню таких чотирьох умов щодо αk(ε) i Φ(·, ε) при ε→ 0+ :
(3a) αk(ε)→ αk(0) для довiльного номера k ∈ {1, . . . , n+ r};
(3b) ‖V b
aΦ(·, ε)‖ = O(1);
(3c) Φ(b, ε)→ Φ(b, 0);
(3d)
∫ t
a
Φ(s, ε)ds→
∫ t
a
Φ(s, 0)ds для кожного t ∈ (a, b].
Зауваження 2. З умови теореми 3 не випливає, що оператор (13) є малим збуренням
iзоморфiзму (14) в операторнiй нормi при малих ε > 0. Тому висновок цiєї теореми про
iснування i єдинiсть розв’язку задачi (11), (12) при малих ε > 0 не є наслiдком вiдомої теореми
функцiонального аналiзу про те, що клас усiх iзоморфiзмiв одного банахового простору на
iнший є вiдкритою множиною в операторнiй топологiї.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
696 В. О. СОЛДАТОВ
У випадку r = 1 теореми 1 – 3 встановлено В. А. Михайлецем i Г. О. Чехановою (теореми 1
i 2 — в [11, с. 271, 272], а теорема 3 — в [12, с. 26, 27]; див. також [13], пп. 2.1, 2.3).
4. Допомiжнi результати. При доведеннi теореми 3 буде використано один результат про
неперервнiсть за малим параметром ε розв’язку задачi Кошi для системи k ≥ 1 лiнiйних
диференцiальних рiвнянь першого порядку
y′(t, ε) = A(t, ε)y(t, ε) + g(t, ε), a ≤ t ≤ b, y(a, ε) = p(ε). (15)
Тут для кожного ε ∈ [0, ε0) вектор-функцiя y(·, ε) ∈ (C(n+1))k шукана, а матриця-функцiя
A(·, ε) ∈ (C(n))k×k, вектор-функцiя g(·, ε) ∈ (C(n))k i вектор p(ε) ∈ Ck є заданими. Звiсно, ця
задача має єдиний розв’язок для кожного фiксованого ε ∈ [0, ε0).
Твердження 1. Нехай при ε→ 0+ виконуються такi умови :
(a) ‖A(·, ε)−A(·, 0)‖(n) → 0;
(b) ‖g(·, ε)− g(·, 0)‖(n) → 0;
(c) p(ε)→ p(0).
Тодi ∥∥y(·, ε)− y(·, 0)
∥∥
(n+1)
→ 0 при ε→ 0 + . (16)
Це твердження є безпосереднiм наслiдком теореми 3 iз статтi [12] (див. також [13], теоре-
ма 2.4).
У доведеннях буде використано таку властивiсть для матриць того ж типу, що i блоки
квадратної матрицi (10). Припустимо, що κ, λ, µ ∈ N, E — комплексний лiнiйний простiр, T :
Eκ → Cλ — лiнiйний оператор, а H — матриця розмiру κ × µ, елементи якої належать E.
Позначимо через [TH] числову матрицю розмiру λ×µ, кожний стовпець якої є результатом дiї
оператора T на вiдповiдний стовпець (з тим же номером) матрицi H.
Твердження 2. За цих припущень справджується рiвнiсть
[TH]d = T (Hd) для довiльного стовпця d ∈ Cµ.
Ця рiвнiсть перевiряється безпосередньо.
5. Доведення основних результатiв. Встановимо послiдовно теореми 1 – 3.
Доведення теореми 1. Оператор (6) є скiнченновимiрним збуренням лiнiйного неперерв-
ного оператора
(L,C) : (C(n+r))m → (C(n))m × Crm, (17)
вiдповiдного задачi Кошi для рiвняння (1). Тут
Cz :=
(
z(a), z′(a), . . . , z(r−1)(a)
)
для довiльного z ∈ (C(r−1))m.
Тому теорема 1 є наслiдком оборотностi оператора (17) i теореми про те, що при компактних
збуреннях зберiгаються фредгольмовiсть й iндекс оператора. Оборотнiсть же оператора (17)
обґрунтовується так.
Вiдомо, що задача Кошi (L,C)z = (f, c) має єдиний розв’язок z ∈
(
C(r)
)m
для довiльно
вибраних правих частин f ∈
(
C(0)
)m
i c ∈ Crm (див., наприклад, [23, с. 146]). Оскiльки в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ, ТОТАЛЬНИХ ЩОДО . . . 697
рiвняннi (1) усi Kr−j ∈
(
C(n)
)m×m
i f ∈
(
C(n)
)m
, то для кожного цiлого l ∈ {0, . . . , n − 1}
iстинною є iмплiкацiя
z ∈
(
C(l+r)
)m ⇒ z(r) = f −
r∑
j=1
Kr−jz
(r−j) ∈
(
C(l+1)
)m
.
Звiдси iндукцiєю по l виводимо, що розв’язок z ∈
(
C(n+r)
)m
. Отже, неперервний оператор
(17) є бiєкцiєю i, за теоремою Банаха про обернений оператор, є оборотним.
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. За теоремою 1 оператор (6) є iзоморфiзмом тодi i тiльки тодi, коли
його ядро ker(L,B) є нуль-простором. Тому теорему 2 буде доведено, якщо ми покажемо, що
нерiвнiсть ker(L,B) 6= {0} еквiвалентна виродженостi матрицi (10).
Припустимо спочатку, що ker(L,B) 6= {0}. Тодi iснує ненульовий розв’язок z однорiд-
ної задачi (L,B)z = (0, 0). Вiн зображується у виглядi (7), де принаймнi один iз стовпцiв
q0, . . . , qr−1 ∈ Cm вiдмiнний вiд нуля. На пiдставi твердження 2 запишемо
0 = Bz(·) =
r−1∑
l=0
B(Zl(·)ql) =
r−1∑
l=0
[BZl(·)]ql.
Отже, стовпцi матрицi (10) лiнiйно залежнi i вона є виродженою.
Зворотно, припустимо, що матриця (10) є виродженою. Тодi її стовпцi є лiнiйно залежними.
Отже,
r−1∑
l=0
[BZl(·)]ql = 0 (18)
для деяких стовпцiв q0, . . . , qr−1 ∈ Cm, серед яких принаймнi один вiдмiнний вiд нуля. Озна-
чимо ненульову функцiю z(·) ∈ (C(n+r))m за формулою (7). Для неї Lz = 0 i
Bz(·) =
r−1∑
l=0
B(Zl(·)ql) =
r−1∑
l=0
[BZl(·)]ql = 0
на пiдставi твердження 2 i рiвностi (18). Отже, z ∈ ker(L,B) i тому ker(L,B) 6= {0}.
Теорему 2 доведено.
Теорему 3 спочатку доведемо у випадку задачi Кошi.
Лема 1. Розглянемо сiм’ю задач Кошi
L(ε)x(t, ε) = f(t, ε), a ≤ t ≤ b, (19)
x(j−1)(a, ε) = pj(ε), j = 1, . . . , r, (20)
залежних вiд параметра ε ∈ [0, ε0). Єдиний розв’язок x(·, ε) кожної такої задачi належить(
C(n+r)
)m
. Нехай виконуються умови (i), (ii) теореми 3 i, крiм того,
pj(ε)→ pj(0) при ε→ 0 + для кожного j ∈ {1, . . . , r}. (21)
Тодi
‖x(·, ε)− x(·, 0)‖(n+r) → 0 при ε→ 0 + . (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
698 В. О. СОЛДАТОВ
Доведення. У випадку r = 1 ця лема по сутi є твердженням 1. Припустимо, що r ≥ 2.
Як вiдомо (див., наприклад, [23], п. 2.5), для кожного ε ∈ [0, ε0) задача (19), (20) еквiвалентна
задачi (15), у якiй
A(·, ε) :=
0m Im 0m . . . 0m
0m 0m Im . . . 0m
...
...
...
. . .
...
0m 0m 0m . . . Im
−K0(·, ε) −K1(·, ε) −K2(·, ε) . . . −Kr−1(·; ε)
∈
(
C(n)
)mr×mr
(тут 0m i Im позначають вiдповiдно нульову i одиничну матрицi порядку m) i
g(·, ε) := col
(
0, f(·, ε)
)
∈
(
C(n)
)mr
,
p(ε) := col
(
p1(ε), . . . , pr(ε)
)
.
При цьому розв’язки цих задач пов’язанi спiввiдношенням
y(·, ε) = col
(
x(·, ε), x′(·, ε), . . . x(r−1)(·, ε)
)
. (23)
Умови (i), (ii) теореми 3 i умова (21) рiвносильнi вiдповiдно умовам (a), (b) i (c) твердження 1.
Окрiм того, (16) ⇔ (22) за умови (23). Отже, на пiдставi твердження 1 робимо висновок, що
умови (i), (ii) й (21) обумовлюють потрiбну граничну властивiсть (22).
Лему 1 доведено.
Доведення теореми 3 розiб’ємо на три кроки.
На першому кроцi доведемо iснування й єдинiсть розв’язку крайової задачi (11), (12) при
малих ε ≥ 0. Для кожного числа ε ∈ [0, ε0) i довiльного номера l ∈ {0, . . . , r − 1} розглянемо
задачу Кошi (8), (9), де Zl(·) = Zl(·, ε) i Kr−j(·) = Kr−j(·, ε). Вона складається з m напiв-
однорiдних задач Кошi вигляду (19), (20), де f = 0 i кожне pj не залежить вiд ε, вiдносно
вектор-функцiй x(t, ε), що є стовпчиками матрицi Zl(·, ε). Тому, використовуючи умову (i) i
лему 1, отримуємо властивiсть
‖Zl(·, ε)− Zl(·, 0)‖(n+r) → 0 при ε→ 0 + . (24)
Звiдси на пiдставi умови (iii) маємо таку збiжнiсть блочних числових квадратних матриць:(
[B(ε)Z0(·, ε)] . . . [B(ε)Zr−1(·, ε)]
)
→
(
[B(0)Z0(·, 0)] . . . [B(0)Zr−1(·, 0)]
)
при ε→ 0 + .
(25)
Тут гранична матриця невироджена згiдно з припущенням 1 i теоремою 2. Тому
det
(
[B(ε)Z0(·, ε)] . . . [B(ε)Zr−1(·, ε)]
)
6= 0 для достатньо малих ε ≥ 0. (26)
Отже, за теоремою 2 задача (11), (12) має єдиний розв’язок для цих ε.
На другому кроцi доведемо граничну властивiсть (5) у випадку напiводнорiдної крайової
задачi (11), (12), тобто коли f(·, ε) ≡ 0 для довiльного ε ∈ [0, ε0). Для кожного такого числа ε
запишемо загальний розв’язок рiвняння L(ε)z(·, ε) ≡ 0 у виглядi (7), тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
ПРО НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ, ТОТАЛЬНИХ ЩОДО . . . 699
z(·, ε) =
r−1∑
l=0
Zl(·, ε)ql(ε) (27)
iз довiльними стовпцями q0(ε), . . . , qr−1(ε) ∈ Cm. Тут кожна матриця-функцiя Zl(·, ε) ∈
∈
(
C(n+r)
)m×m
є розв’язком задачi Кошi (8), (9), де Zl(·) = Zl(·, ε) i Kr−j(·) = Kr−j(·, ε).
На пiдставi твердження 2 маємо
B(ε)z(·, ε) =
r−1∑
l=0
B(ε)
(
Zl(·, ε)ql(ε)
)
=
r−1∑
l=0
[
B(ε)Zl(·, ε)
]
ql(ε).
Отже, крайова умова B(ε)z(·, ε) = c(ε) рiвносильна умовi
r−1∑
l=0
[
B(ε)Zl(·, ε)
]
ql(ε) = c(ε).
Остання є системою лiнiйних алгебраїчних рiвнянь(
[B(ε)Z0(·, ε)] . . . [B(ε)Zr−1(·, ε)]
)
q(ε) = c(ε)
вiдносно координат стовпця q(ε) := col(q0(ε), . . . , qr−1(ε)). Звiдси, на пiдставi властивостей (25)
i (26) та умови (iv), робимо висновок, що ця система має єдиний розв’язок q(ε) для достатньо
малих ε ≥ 0 i вiн задовольняє граничну умову q(ε)→ q(0) в Crm при ε→ 0 + . Тепер потрiбна
властивiсть (5) є безпосереднiм наслiдком останньої умови та формул (24) i (27).
На третьому (останньому) кроцi доведемо граничну властивiсть (5) без припущення про
однорiднiсть рiвняння (11). Для кожного достатньо малого ε ≥ 0 покладемо ẑ(·, ε) := z(·, ε)−
− x(·, ε), де z(·, ε) — розв’язок крайової задачi (11), (12), а x(·, ε) — розв’язок задачi Кошi (19),
(20), в якiй усi pj(ε) = 0. Тодi ẑ(·, ε) є розв’язком напiводнорiдної крайової задачi
L(ε)ẑ(·, ε) = 0, B(ε)ẑ(·, ε) = ĉ(ε),
де
ĉ(ε) := c(ε)−B(ε)x(·, ε) ∈ Crm.
На пiдставi умов (iii), (iv) i леми 1 маємо ĉ(ε) → ĉ(0) при ε → 0 + . Тому за доведеним на
другому кроцi
‖ẑ(·, ε)− ẑ(·, 0)‖(n+r) → 0 при ε→ 0 + . (28)
Тепер потрiбна гранична властивiсть (5) розв’язку z(·, ε) = x(·, ε) + ẑ(·, ε) є наслiдком власти-
востей (22) i (28).
Теорему 3 доведено.
Зауваження 3. Згiдно з першим кроком доведення теореми 3, iснування i єдинiсть розв’яз-
ку крайової задачi (11), (12) для достатньо малих ε > 0 є наслiдком саме умов (i), (iii) цiєї
теореми.
Використаний у роботi пiдхiд можна застосувати i для iнших функцiональних просторiв
[24 – 26].
Автор вдячний О. О. Мурачу за керiвництво роботою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
700 В. О. СОЛДАТОВ
1. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и
техники. Совр. пробл. математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ. – 1987. – 30. – С. 3 – 103.
2. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. –
Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. – 352 с.
3. Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференциальных систем с сингулярностями // Дифференц.
уравнения. – 2003. – 39, № 2. – С. 198 – 209.
4. Михайлец В. А., Рева Н. В. Непрерывность по параметру решений общих краевых задач // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 5, № 1. – С. 227 – 239.
5. Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о корректности линейных краевых задач // Доп.
НАН України. – 2008. – № 9. – С. 23 – 27.
6. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr. Math.
J. – 2013. – 65, № 1. – P. 77 – 90.
7. Mikhailets V. A. Chekhanova G. A. Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
8. Кодлюк Т. И., Михайлец В. А. Непрерывность по параметру решений одномерных линейных краевых задач //
Доп. НАН України. – 2010. – № 11. – С. 7 – 14.
9. Михайлец В. А., Рева Н. В. Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений // Доп.
НАН України. – 2008. – № 8. – С. 28 – 30.
10. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in Sobolev
spaces // J. Math. Sci. – 2013. – 190, № 4. – P. 589 – 599.
11. Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Некоторые классы фредгольмовых краевых задач на отрезке // Диференцiальнi
рiвняння i сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, № 2. – С. 268 – 273.
12. Михайлец В. А., Чеханова Г. А. Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C(n)[a; b] //
Доп. НАН України. – 2014. – № 7. – С. 24 – 28.
13. Чеханова Г. О. Граничний перехiд в одновимiрних лiнiйних крайових задачах з параметром: Дис. . . . канд.
фiз.-мат. наук. – Київ, 2014. – 122 с.
14. Кодлюк Т. И. Многоточечные краевые задачи с параметром в пространствах Соболева // Доп. НАН України. –
2012. – № 11. – С. 15 – 19.
15. Чеханова Г. Непрерывность по параметру решений многоточечных краевых задач // Диференцiальнi рiвняння
i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 2. – С. 260 – 279.
16. Чеханова Г. А. Непрерывность по параметру функций Грина многоточечных краевых задач // Комплексний
аналiз, теорiя потенцiалу i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 4-5. –
С. 532 – 541.
17. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of Sturm — Liouville operators with singular potentials //
Math. Notes. – 2010. – 87, № 1-2. – P. 287 – 292.
18. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of singular Sturm — Liouville equations // Meth. Funct. Anal. and
Top. – 2010. – 16, № 2. – P. 120 – 130.
19. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by
quasiderivatives // Ukr. Math. J. – 2012. – 63, № 9. – P. 1361 – 1378.
20. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 895 с.
21. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4 т. Т. 3.
Псевдодифференциальные операторы. – М.: Мир, 1987. – 696 с.
22. Никольский С. М. Математический анализ. – М.: Наука, 1991. – Т. 2. – 544 с.
23. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. – М.: Мир, 1971. – 392 с.
24. Трибель Х. Теория функциональных пространств. – М.: Мир, 1986. – 447 с.
25. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin, Boston: De Gruyter,
2014. – xii + 297 p.
26. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
Одержано 13.01.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 5
|