Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа
Показано, что при учёте как решёточной теплопередачи, так и теплопереноса с участием фононного и электромагнитного теплового излучения, температурное поле в твёрдых и жидких телах будет гиперболическим. Решения гиперболического уравнения теплопроводности более точно описывают процессы теплопередачи,...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Процессы литья |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166721 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа / В.З. Тиндюк, О.И. Шинский, В.П. Кравченко // Процессы литья. — 2015. — № 4 (112). — С. 9-21. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-166721 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1667212020-03-01T01:26:26Z Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа Тиндюк, В.З. Шинский, О.И. Кравченко, В.П. Затвердевание сплавов Показано, что при учёте как решёточной теплопередачи, так и теплопереноса с участием фононного и электромагнитного теплового излучения, температурное поле в твёрдых и жидких телах будет гиперболическим. Решения гиперболического уравнения теплопроводности более точно описывают процессы теплопередачи, кристаллизации и охлаждения в отливках. Получено аналитическое решение одномерной и плоской общих краевых задач гиперболического уравнения теплопроводности в рамках теории Максвелла-Каттанео-Лыкова при формулировке обобщённого закона Фурье с помощью системы из двух уравнений. С точки зрения концепции температурных волн определяются некоторые механизмы влияния вибрации на процесс кристаллизации металлов и сплавов. Показано, що при урахуванні теплопередачі як за допомогою механічного теплового руху, так і теплопереносу за участі фононного та електромагнітного теплового випромінювання, температурне поле у твердих та рідких тілах визначається гіперболічним рівнянням теплопровідності. Рішення такого рівняння більш достеменно описують процеси теплопередачі, кристалізації та охолодження у виливках. Отримано аналітичні розв’язки гіперболічного рівняння теплопровідності у межах теорії Максвелла-Каттанео-Ликова при формулюванні узагальненого закону Фур’є за допомогою системи двох рівнянь. З точки зору концепції температурних хвиль визначаються деякі механізми впливу вібрацій на процеси кристалізації металів та сплавів. It is shown that taking into account both the lattice heat transfer and heat transfer involving a phonon and electromagnetic thermal radiation, temperature field in solids and liquids is hyperbolic. Solution of the hyperbolic heat equation more accurately describes the processes of heat transfer, crystallization and solidification of castings. The analytical solution of one-dimensional and flat general boundary value problems of hyperbolic heat equation in the theory of Maxwell-Cattaneo-Lykov in the formulation of the generalized Fourier law through a system of two equations is oltained. From the point of view of the concept of temperature waves some mechanisms of influence of vibration on the crystallization of metals and alloyswere were idenbified. 2015 Article Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа / В.З. Тиндюк, О.И. Шинский, В.П. Кравченко // Процессы литья. — 2015. — № 4 (112). — С. 9-21. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0235-5884 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166721 621.745.5 ru Процессы литья Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Затвердевание сплавов Затвердевание сплавов |
| spellingShingle |
Затвердевание сплавов Затвердевание сплавов Тиндюк, В.З. Шинский, О.И. Кравченко, В.П. Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа Процессы литья |
| description |
Показано, что при учёте как решёточной теплопередачи, так и теплопереноса с участием фононного и электромагнитного теплового излучения, температурное поле в твёрдых и жидких телах будет гиперболическим. Решения гиперболического уравнения теплопроводности более точно описывают процессы теплопередачи, кристаллизации и охлаждения в отливках. Получено аналитическое решение одномерной и плоской общих краевых задач гиперболического уравнения теплопроводности в рамках теории Максвелла-Каттанео-Лыкова при формулировке обобщённого закона Фурье с помощью системы из двух уравнений. С точки зрения концепции температурных волн определяются некоторые механизмы влияния вибрации на процесс кристаллизации металлов и сплавов. |
| format |
Article |
| author |
Тиндюк, В.З. Шинский, О.И. Кравченко, В.П. |
| author_facet |
Тиндюк, В.З. Шинский, О.И. Кравченко, В.П. |
| author_sort |
Тиндюк, В.З. |
| title |
Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа |
| title_short |
Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа |
| title_full |
Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа |
| title_fullStr |
Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа |
| title_full_unstemmed |
Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа |
| title_sort |
кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа |
| publisher |
Фізико-технологічний інститут металів та сплавів НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Затвердевание сплавов |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166721 |
| citation_txt |
Кристаллизация и затвердевание отливок в температурном поле гиперболического типа / В.З. Тиндюк, О.И. Шинский, В.П. Кравченко // Процессы литья. — 2015. — № 4 (112). — С. 9-21. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Процессы литья |
| work_keys_str_mv |
AT tindûkvz kristallizaciâizatverdevanieotlivokvtemperaturnompolegiperboličeskogotipa AT šinskijoi kristallizaciâizatverdevanieotlivokvtemperaturnompolegiperboličeskogotipa AT kravčenkovp kristallizaciâizatverdevanieotlivokvtemperaturnompolegiperboličeskogotipa |
| first_indexed |
2025-07-14T22:39:51Z |
| last_indexed |
2025-07-14T22:39:51Z |
| _version_ |
1837663826700402688 |
| fulltext |
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112) 9
ЗАТВЕРДЕВАНИЕ СПЛАВОВ
УДК 621.745.5
В. З. Тыднюк, О. И. Шинский, В. П. Кравченко
Физико-технологический институт металлов и сплавов НАН Украины, Киев
КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ И ЗАТВЕРДЕВАНИЕ ОТЛИВОК
В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Показано, что при учёте как решёточной теплопередачи, так и теплопереноса с участием
фононного и электромагнитного теплового излучения, температурное поле в твёрдых и
жидких телах будет гиперболическим. Решения гиперболического уравнения теплопрово-
дности более точно описывают процессы теплопередачи, кристаллизации и охлаждения в
отливках. Получено аналитическое решение одномерной и плоской общих краевых задач
гиперболического уравнения теплопроводности в рамках теории Максвелла-Каттанео-Лы-
кова при формулировке обобщённого закона Фурье с помощью системы из двух уравнений.
С точки зрения концепции температурных волн определяются некоторые механизмы влияния
вибрации на процесс кристаллизации металлов и сплавов.
Ключевые слова: обобщённый закон Фурье, температурные волны, фононная компонента
теплопередачи, затухающие стоячие волны, параметрический резонанс, влияние вибрации
на кристаллизацию металлов и сплавов.
Показано, що при урахуванні теплопередачі як за допомогою механічного теплового руху,
так і теплопереносу за участі фононного та електромагнітного теплового випромінювання,
температурне поле у твердих та рідких тілах визначається гіперболічним рівнянням тепло-
провідності. Рішення такого рівняння більш достеменно описують процеси теплопередачі,
кристалізації та охолодження у виливках. Отримано аналітичні розв’язки гіперболічного
рівняння теплопровідності у межах теорії Максвелла-Каттанео-Ликова при формулюванні
узагальненого закону Фур’є за допомогою системи двох рівнянь. З точки зору концепції
температурних хвиль визначаються деякі механізми впливу вібрацій на процеси кристалізації
металів та сплавів.
Ключові слова: узагальнений закон Фур’є, температурні хвилі, фононна компонен-
та теплопередачі, затухаючі стоячі хвилі, параметричний резонанс, вплив вібрації на
кристалізацію металів і сплавів.
It is shown that taking into account both the lattice heat transfer and heat transfer involving a phonon
and electromagnetic thermal radiation, temperature field in solids and liquids is hyperbolic. Solution
of the hyperbolic heat equation more accurately describes the processes of heat transfer, crystal-
lization and solidification of castings. The analytical solution of one-dimensional and flat general
boundary value problems of hyperbolic heat equation in the theory of Maxwell-Cattaneo-Lykov in
the formulation of the generalized Fourier law through a system of two equations is oltained. From
the point of view of the concept of temperature waves some mechanisms of influence of vibration
on the crystallization of metals and alloyswere were idenbified.
10 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112)
Затвердевание сплавов
Keywords: generalized Fourier law, thermal wave, phonon component of heat transfer, damped
standing waves, parametric resonance, vibration effect on the crystallization of metals and alloys.
Постановка задачи
Многими авторами показано, в том числе и в экспериментальных исследовани-
ях, что при сохранении одинакового химического состава сплавов их свойства
могут существенно меняться в зависимости от кристаллической структуры литья
[1]. При этом недостаточно используются возможности повышения механических
и специальных свойств металлических материалов за счёт управления структурой
и параметрами кристаллической решётки, размерами и формой кристаллов, по-
ликристаллов, дисперсностью и расположением упрочняющих фаз, армирующих
элементов, а также другими процессами формирования кристаллической структу-
ры в отливках.
Феноменологический (качественный) прогноз свойств, инженерные расчёты, а
также задачи математического моделирования и мониторинга процесса кристал-
лизации в отливках существенно зависят от некоторых фундаментальных теорети-
ческих предпосылок в теориях теплопроводности и тепломассопереноса. Прежде
всего это относится к закону Фурье и уравнению теплопроводности на его основе.
Область применимости классического уравнения теплопроводности ограничена,
в частности, тем, что оно не позволяет учесть конечную скорость распространения
тепловых возмущений и инерционность процессов теплопереноса. Очевидно также,
что аргументированная гиперболическая модификация классического уравнения
теплопроводности даёт другие решения соответствующих краевых задач, что от-
ражается во многих областях практического применения теории процессов тепло-
массопереноса и соответствующих инженерных расчётов.
Гиперболическое уравнение теплопроводности непосредственно следует из
обобщённого закона Фурье [2], [3]:
grad ,r
q
q k u
t
∂
= − − τ
∂
(1)
где q – плотность теплового потока, k – коэффициент теплопроводности, u – тем-
пература, а интерпретация коэффициента τr обычно связывается со временем
релаксации тепловых напряжений, является основополагающим в исследованиях
различных высокоинтенсивных тепловых процессов [2-7].
Для большинства сред и температурных режимов вторым членом в правой
части (1) обычно пренебрегают из-за малых значений времени релаксации τr, то
есть классическое уравнение теплопроводности является пока определяющим
для большинства процессов с участием тепломассопереноса. Но порядок отличия
теоретической оценки постоянной релаксации теплового потока, например, в метал-
лах – составляет от экспериментальных значений до 104 [5]. Обобщение (1) закона
Фурье не является также единственным [6]. Более того, физическая интерпретация,
экспериментальное и формульное определение коэффициента τr в (1) существенно
влияют на решения гиперболического уравнения теплопроводности.
В многочисленном ряде работ, затрагивающих вопрос о конечной скорости рас-
пространения теплоты, для вывода гиперболического уравнения теплопроводности
используют теорию Максвелла-Каттанео-Лыкова [8], [9], [2], и обобщённый закон
Фурье в виде выражения (1). Такие работы относятся и к практическим приложе-
ниям гиперболического уравнения теплопроводности для исследования процессов
кристаллизации металлов и сплавов. Так, например, О. Н. Шабловским была ис-
следована неравновесность процесса теплопереноса [10] и построена тепловая
модель периодической кристаллизации расплава металла в изложнице на основе
упрощённого (без учёта дисперсии) волнового уравнения теплопроводности.
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112) 11
Затвердевание сплавов
Тем не менее для эффективного практического применения гиперболического
уравнения теплопроводности теоретические и экспериментальные исследования
времени релаксации тепловых напряжений в различных средах осложнены как раз-
нообразием различных физико-математических моделей, так и не полным учётом
множественных механизмов тепломассопереноса и их взаимодействия.
Обобщённый закон Фурье и гиперболическое уравнение теплопроводности
Оператор классического параболического однородного уравнения теплопрово-
дности имеет вид:
2
, ( , ) ( ( , ))tu M t a div grad u M t= ⋅ , (2)
где a2 = k/cρ – коэффициент температуропроводности, в системе СИ, м2/с; с –
удельная теплоёмкость, Дж/кг⋅K; ρ – плотность, кг/м3 ; k – коэффициент теплопрово-
дности, Вт/м⋅К; u(M, t) – температура, К; M – точка пространства. Запятую в нижних
индексах перед символом дифференцирования используем для отличия операции
дифференцирования от индексирования по координатам или другим параметрам.
Кратко рассмотрим построение гиперболического уравнения теплопроводности
и некоторые его решения для твёрдого тела и, при некоторых приближениях, так-
же для жидкости – без ограничения температурных режимов. Энергия теплового
движения атомной единицы в узле кристаллической решётки состоит из средней
энергии хаотического поступательного движения, энергии колебаний атомной еди-
ницы и энергии вращательного движения (спина). Под атомной единицей следует
понимать атомное ядро совместно с электронами только внутренних орбит, атом или
ион, несколько атомных единиц, составляющих квазичастицу, часть молекулы, либо
молекулу в случае молекулярного типа кристаллической или аморфной решёток,
которые движутся как одно целое при тепловом движении.
Поскольку при тепловом процессе движение атомных единиц в кристаллах имеет
периодический или квазипериодический характер, то каждому из типов движений
такой единицы соответствует некоторый собственный спектр колебаний. Поэтому
в классических теориях квантовой статистики и физико-математических моделях
влияния температуры на теплоёмкость все типы тепловых движений отдельно не
рассматриваются, а сводятся лишь к колебаниям в кристаллической решётке [11].
Квантовые теории теплоёмкости, в частности, теория Дебая, учитывают, что
тепловое движение атомных единиц будет иметь оптическую и акустическую ветви
[12]. В последнем случае трансляционно-колебательные движения многих атомных
единиц в кристаллической решётке, аморфном теле или жидкости будут согласо-
ванными (коллективными) с образованием, излучением и поглощением квазича-
стиц – фононов. Акустической ветви соответствуют звуковые частоты (гиперзвук и
частично ультразвук) с достаточно малой длиной волны. Если исходить из наличия
как решёточной теплопередачи с помощью упругих и неупругих столкновений, так и
акустической компоненты, то коэффициент температуропроводности а в (2) можно
рассматривать как комплексный, где мнимая часть определяет теплопередачу с
участием фононной компоненты. В таком случае уравнение (2) имеет решение в
виде стоячих температурных волн [13], но некоторые параметры полученного вол-
нового решения остаются неопределёнными, и не учитывается участие теплового
электромагнитного излучения в процессе теплопереноса.
Так как тепловое движение в каждой точке сплошной среды одновременно вызы-
вает процессы фононного и электромагнитного теплового излучения (поглощения),
то реальный теплоперенос состоит из трёх разных компонент: решёточной тепло-
передачи путём механических упругих и неупругих столкновений атомных единиц,
фононной компоненты и фотонной (электромагнитной). Фононное и фотонное
излучение обеспечивает не только механизм релаксации (рассеивания) тепловой
энергии, но и непосредственно участвует в теплопередаче по направлению вектора
12 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112)
Затвердевание сплавов
теплового потока. Поэтому, в отличие от (1), обобщённый закон Фурье будем одно-
временно формулировать в двух разных формах как систему уравнений:
;
q
q kgrad u
t
∂
= − − τ
∂
(3)
2 2 2 2; .fn f
u
q kgrad u s s s s
t
∂
= − − = +
∂
Здесь слагаемое s2 ⋅ (∂u/∂t) представляет собой ту часть плотности теплового
потока, где тепловая энергия непосредственно переносится с участием фононного
2 ( / )fns u t∂ ∂ и фотонного
2 ( / )fs u t∂ ∂ излучения, s2 – коэффициент пропорциональ-
ности. Физическую интерпретацию коэффициента τ в первом уравнении (2) со вре-
менем релаксации тепловых напряжений или другими потенциально возможными
теоретическими моделями пока не связываем.
Рассмотрим основные феноменологические элементы гибридного теплопере-
носа на примере электромагнитной составляющей релаксации и переноса тепловых
возмущений. При тепловом движении атомной единицы или квазичастицы внутри
тела она периодически излучает фотон (тепловое электромагнитное излучение).
Такой фотон после пробега в вакуумной среде между атомами поглощается другой
атомной единицей и после некоторого времени задержки переизлучается. Время
задержки на более высоких энергетических уровнях определяет скорость света в
конкретной среде. Такой механизм излучения относится как к диэлектрикам, так и
к проводящим, в частности, металлическим средам, где коэффициент поглощения
электромагнитных волн несравнимо выше, тем не менее, первичная электромагнит-
ная волна проникает на глубину так называемого скин-слоя, затем переизлучается
вследствие теплового движения, а учёт теплового излучения особенно важен при
высоких температурах на границах остывающей отливки.
Далее найдём соотношение между коэффициентами τ и s2 в выражении (3) для
одномерного случая, поскольку трёхмерное (двухмерное) выражение будет анало-
гичным. Так как τ = s2 (∂u/∂t)/(∂q/∂t), но коэффициенты в (3) предполагаются посто-
янными (осреднёнными) для каждого из температурных интервалов с определён-
ным шагом дискретизации температурной шкалы, то отношение соответствующих
производных определим из следующих соображений.
Пусть в точке x одномерного стержня в момент времени t, вследствие теплового
движения, атомными единицами одновременно излучается цуг фононных (фотон-
ных) волн. Такое спонтанное излучение происходит даже при наличии теплового
равновесия в окрестности точки x, а его интенсивность зависит лишь от температуры
и квантовых особенностей элементарных кристаллических ячеек в сечении стержня.
Это излучение опять поглощается кристаллической решёткой (жидкостью – для
жидкой фазы) в окрестности точки x, изменяя параметры механического теплово-
го движения. В сечении x одномерного стержня в момент времени t другая часть
атомных единиц находится в состоянии поглощения фононов (фотонов).
Поэтому рассматриваем излучение (поглощение) акустического (электромаг-
нитного) цуга волн на протяжении небольшого промежутка времени t + t′, после
которого амплитуда фононной и электромагнитной волны уменьшается не более,
чем в интервале (e/3,0)-(e/2,5) раз. В таком случае плотность решёточной части те-
плового потока и температурное поле, определяемое только механизмом упругих
и неупругих столкновений, можно считать квазипостоянными величинами.
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112) 13
Затвердевание сплавов
Из сравнения первого и второго уравнений в (3) следует τ(∂q/∂t) = s2(∂u/∂t). Если
же продифференцировать по времени второе уравнение при условии (∂u/∂x) = const,
то получим: (∂q/∂t) = – s2(∂2u/∂t2); τ(∂q/∂t) = – τs2 (∂2u /∂t2) = s2(∂u/∂t); (∂2u/∂t2) =
= (–1/τ)⋅(∂u /∂t). Аналогичное уравнение можно получить относительно плотности
теплового потока q, если продифференцировать по времени первое уравнение из
выражения (3) на промежутке t + t′.
Представленные выше уравнения определяют потерю тепловой энергии вслед-
ствие излучения фононной (фотонной) волны на одном из этапов гибридной фонон-
ной (фотонной) теплопередачи, когда кинетическая и потенциальная механическая
энергия атомных единиц в кристаллической решётке вследствие обратного процесса
поглощения энергии излучения меняется ещё достаточно мало. Решения получен-
ных уравнений относительно u(x, t) и q(x, t) при ∂u/∂x = const и формулы затухания
тепловой энергии вследствие излучения будут иметь следующий вид:
1 1
const 0 0( , ) ( , ) ( , ) ;
t t
fn fu
x
u x t u x e u x e
− ⋅ − ⋅
τ τ
∂
=
∂
= +
1 1
const 0 0( , ) ( , ) ( , ) ,
t t
fn fu
x
q x t q x e q x e
− ⋅ − ⋅
τ τ
∂
=
∂
= +
(4)
где –1/τfn и –1/τf – коэффициенты затухания соответственно для фононной и фо-
тонной компонент, и сумма двух частных решений при τ = τfn + τf
, 2 2 2
fn fs s s= + также
является решением, так как и в физической интерпретации квазичастица не может
одновременно излучать (поглощать) и фонон, и фотон с одинаковой длиной волны.
Таким образом, коэффициент τ в (3) приближённо (лишь для начального периода
гибридной теплопередачи) определяет время релаксации, за которое интенсивность
колебаний затухающих фононных и фотонных волн, участвующих в теплопередаче,
уменьшается в e раз.
Если функции начальных условий u(x, 0) и q(x, 0) кусочно-непрерывны и интегри-
руемы в соответствующих температурных интервалах, то для этих интервалов суще-
ствуют и средние величины для начальной температуры –
0( , )u x , и для начальной
плотности теплового потока –
( ,0)q x . Средняя плотность теплового потока опре-
деляется прежде всего скоростью теплоотвода. При кристаллизации и остывании
металлических отливок – это скорости теплоотвода как в отливке, так и в литейной
форме. Для отношения средних величин введём дополнительный коэффициент
2
0
( ,0)
( ,0)
u x
q x
τ = . Так как 2( / ) / ( / )s u t q tτ = ∂ ∂ ∂ ∂ на основании уравнений (3), то из
(4) следует приближённое соотношение между коэффициентами τ и s2 в (3):
2 2 2
0
0
0
( , )
.
( , )
u x
s s
q x
τ ≅ τ = (5)
Если в (3) использовать только первое уравнение для обобщённого закона Фурье
и классическое уравнение баланса тепла в элементарном параллелепипеде, то, по-
сле несложных выкладок [2] выводится одномерное уравнение теплопроводности
гиперболического типа:
2 2
2 2
2 .
u u u
a
tt x
∂ ∂ ∂
τ + =
∂∂ ∂
(6)
14 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112)
Затвердевание сплавов
Двухмерное (трёхмерное) однородное гиперболическое уравнение для переноса
тепла в пространстве, [2]-[3], тогда имеет вид:
( )
2
2
div grad .
u u
c k u
tt
∂ ∂
ρ τ + = ∂∂
(7)
Уравнения (6), (7) используются обычно для высокотемпературных режимов, а
также в среде разрежённых газов. При таких физических условиях в (6) и (7) часто
пренебрегают первой производной по времени [2]. Более широкое определение
обобщённого закона Фурье в виде двух уравнений (3) позволяет включить параметры
фононной и фотонной компоненты теплопередачи в уравнение баланса тепловой
энергии и обобщить гиперболическое уравнение теплопроводности на все темпе-
ратурные режимы.
Заменив в (6) коэффициент τ по формуле (5), получим одномерное гиперболиче-
ское уравнение теплопроводности при формулировке обобщённого закона Фурье
в виде системы двух уравнений:
2 2 2
2
2 2 2 20
1
.
s u u u
ta t a x
∂ ∂ ∂
τ + =
∂∂ ∂
(8)
Для плоского (двухмерного) случая гиперболическое уравнение теплопрово-
дности будет иметь вид:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
0
1
.
s u u u u
ta t a x y
∂ ∂ ∂ ∂
τ + = +
∂∂ ∂ ∂
(9)
Следует отметить, что определение температурного поля в горизонтальных и вер-
тикальных сечениях отливки позволяет более точно корректировать решения трёх-
мерного гиперболического уравнения теплопроводности, так как даёт возможность
определять точки разрыва для трёхмерного поля температур или его производных.
В таких сечениях разрыва температурного поля возможно появление термоупругих
напряжений, увеличение плотности дислокаций, изменение типа кристаллизации
и среднего размера зерна, увеличение количества газовых микровключений и их
кавитация (в жидкой фазе).
Простейшие краевые задачи для гиперболического уравнения теплопроводности
и интерпретация решений
Существует достаточное количество экспериментальных методов определения
коэффициента решёточной температуропроводности α при установившемся тепло-
вом режиме, где непосредственно не используется закон Фурье в классической
форме или уравнение теплопроводности на его основе (например, в [14]). Поэтому
для определения и анализа решений уравнений (8-9) прежде следует определить
коэффициент s2. Его формульное выражение можно найти, оценив среднюю энер-
гию элементарной кристаллической ячейки (жидкого кристалла в жидкой фазе) с
помощью классических методов статистической физики.
Элементарная кристаллическая ячейка одновременно представляет собой
некоторую физическую «точку» M = {x, y, z} в среде твёрдого тела, и значение её
локальной энергии εfn(M, t) для фононных осцилляторов и объёмного фотонного
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112) 15
Затвердевание сплавов
теплового излучения εf (M, t) позволяет далее определить фононную и фотонную
компоненту коэффициента s2 с учётом квантовых особенностей в обобщении закона
Фурье в виде системы уравнений (2).
Но для первого приближения при определении коэффициентов в (8) и (9) основой
могут служить также формулы (4) и соотношения:
τ ≅ τ τ = τ + τ
2 2
0 ; .fn fs
(10)
Здесь τfn и τ
f
, как и ранее, определяют время затухания соответственно для аку-
стической и электромагнитной тепловой волны, за которое интенсивность волны
уменьшается в e раз. Суть такого приближения состоит в том, что в (4) определяется
температурное поле лишь для одной из многих ступеней процесса теплопередачи,
при этом частично не учитываются параметры кристаллического строения, энтро-
пийные и энергетические факторы, а также квантово-механические особенности.
Тем не менее экспериментальное определение коэффициента решёточной
температуропроводности a и средних коэффициентов затухания для теплового
акустического и электромагнитного излучения позволяют считать коэффициенты
уравнений (8-9) постоянными величинами в температурных диапазонах с опре-
делённым шагом дискретизации. При этом акустический коэффициент затухания
можно определять по затуханию ультразвука достаточно высокой частоты для вы-
деленного температурного диапазона и пересчитывать его для более высоких частот
теплового гиперзвука. В таком случае основные краевые задачи для уравнений
(8-9) будут иметь аналитические решения как для твёрдой, так и для жидкой фаз.
Для математического моделирования и мониторинга процессов кристаллиза-
ции и остывания отливок наиболее весомое практическое значение будет иметь
кусочно-непрерывное сопряжение решений соответствующих краевых задач для
уравнения (9). В этом случае в сечениях отливки следует рассматривать сопряжение
как минимум трёх температурных полей: в литейной форме, в твёрдой и жидкой
фазах отливки. В последнем случае сопряжение будет происходить по движуще-
муся фронту кристаллизации. А скорость теплоотвода в литейной форме будет
зависеть не только от коэффициента теплопроводности материала формы, но и от
коэффициентов отражения и поглощения как для теплового фононного излучения,
так и для теплового электромагнитного излучения.
Вначале рассмотрим одномерный случай. Сформулируем общую первую краевую
задачу для обобщённого (гиперболического) однородного уравнения теплопровод-
ности с постоянными коэффициентами (8):
2 2 2
2
0 2 2 2 2
1
, 0 , 0;
( ,0)
( ,0) ( ), ( ), 0 ;
(0, ) 0, ( , ) 0, 0.
s u u u
x l t
ta t a x
u x
u x x x x l
t
u t u l t t
∂ ∂ ∂
τ + = < < >
∂∂ ∂
∂
= ϕ = ψ < <
∂
= = >
(11)
Линейной заменой переменных относительно функции u(x, t) общая краевая за-
дача (11) сводится, как известно, к краевой задаче при нулевых граничных условиях
[15]. Далее, для упрощения физической и математической интерпретации реше-
ний, рассматриваем именно основную вспомогательную задачу с однородными
граничными условиями:
16 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112)
Затвердевание сплавов
∂ ∂ ∂
τ + = < < >
∂∂ ∂
∂
= ϕ = ψ < <
∂
= = >
2 2 2
2
0 2 2 2 2
1
, 0 , 0;
( ,0)
( ,0) ( ), ( ), 0 ;
(0, ) 0, ( , ) 0, 0.
s u u u
x l t
ta t a x
u x
u x x x x l
t
u t u l t t
(12)
Начальные условия в (12) позволяют также вычислить значение коэффициента
2
0
( ,0)
( ,0)
u x
q x
τ = для более точных решений, с использованием формульного выражения
для s2. Решение задачи (12) можно получить методом разделения переменных,
представив функцию u(x, t) в виде произведения двух функций: u (x, t) = X (x) ⋅T (t).
После подстановки в (12) и деления на X (x) ⋅T (t) имеем численное отношение:
2 2
0
2 2
( ) 1 ( ) ( )
,
( ) ( ) ( )
s T t T t X x
p
T t T t X xa a
′′ ′ ′′τ
+ = = − (13)
где p – некоторая вещественная постоянная, так как левая часть в (13) – функция от
t, а правая – функция от x.
Собственные значения и собственные функции как для плоской двухмерной
мембраны, так и в одномерном случае (13) для решений X (x, y) и X (x) известны
[15]. В одномерном случае они имеют вид:
2
; ( ) sin ,n n n
n n
p p X x C x
l l
π π ∈ = =
(14)
где Cn
– произвольная постоянная.
Поэтому для определения функций Tn(t) следует найти решения для уравнений:
2
2 2 2 2
0 0
1
( ) ( ) ( ) 0, 0.n n n n
a
T t T t p T t t
s s
′′ ′+ + = >
τ τ (15)
Каждое из дифференциальных уравнений (15) определяет уравнение зату-
хающих колебаний для произвольных колебательных систем с коэффициентом
затухания 2 2
0(1/ 2 )sβ = − τ и частотой колебаний 2 22
,nT
π′ω = = γ −β
′
где T ′ – период,
2
2 2
0
,n n
a
p
s
γ =
τ
β – коэффициент затухания [16]. Характеристическое уравнение для
каждого из уравнений (15) и его корни будут определяться в формулах:
2
2
2 2 2 2
22
1,2 2 2 4 4 2 2
0 0 0
0 0
1
0;
1 1
.
2 4
n
a
p
s s
a n
ls s s
α + α + =
τ τ
π α = − ± − ⋅
τ τ τ
(16)
Формально, если собственное число pn = (πn/l)2 удовлетворяет неравенству
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112) 17
Затвердевание сплавов
0
1
2n
n
p
l sa
π
= >
τ
(17)
при всех n, то корни уравнения (16) всегда комплексные:
2
1,2 2 2 2 2 2
00 0
1 1
.
2 4
n
a n
i i
s ls s a
π α = − ± − = β ± ω ττ τ
(18)
И общие решения дифференциальных уравнений (15) будут иметь вид:
( )
2 2
0
1
2( ) cos sin .
t
s
n n n n nT t e A t B t
− ⋅
τ= ω + ω (19)
Таким образом, волновое решение краевой однородной задачи (12) относительно
одномерного температурного поля отличается от решения соответствующего клас-
сического гиперболического уравнения лишь наличием функции, определяющей
затухание, и будет определяться сходящимся рядом:
( )
1 1
( , ) ( , ) cos sin sin ,t
n n n n n
n n
n
u x t u x t e A t B t x
l
∞ ∞
β
= =
π
= = ω + ω∑ ∑ (20)
где числа An и Bn можно вычислить с помощью разложения в ряд Фурье функций
начальных условий [15].
После определения коэффициентов An и Bn решение краевой однородной задачи
для гиперболического уравнения теплопроводности можно представить в виде:
( )
2 2
1 1
( , ) ( , ) cos sin ;
; arctg .
t
n n n n
n n
n
n n n n n
n
n
u x t u x t D e t x
l
B
D A B
A
∞ ∞
β
= =
π
= = ω + δ
= + ω δ = −
∑ ∑
(21)
Каждая гармоника в (21) представляет собой затухающую стоячую температур-
ную волну. Круговая частота волны ωn, волновое число kn, длина волны λn и фазовая
скорость νn будут определяться следующими формулами:
2
2 2 2
0 0
2
2
2 2
0 00
2 2 1
; ; ;
4
1 1
при .
2
n n n
n
n
n
n
n l a n
k
l k n s l s a
l a
v a n
k s n ss
π π π = λ = = ω = − τ τ
ω
= = − → → ∞ τ π ττ
(22)
Соотношения (22) определяют также и дисперсию температурных волн: ω = f(k),
∂ω/∂k≠const. Рассмотрим теперь решение краевой задачи (12) при произвольной
длине стержня l, когда неравенство (17) выполняется, лишь начиная с некоторого
02l
l
n N
sa
> =
πτ
. Пусть n = Nk – первое такое целое число. При n = Nk – 1 характе-
ристическое уравнение (16) имеет два действительных корня:
18 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112)
Затвердевание сплавов
2
1,2 2 2 2 2 2
00 0
1 1
,
2 4
n
a n
s ls s a
π ′α = − ± − = β ± ω ττ τ
и функция )(tT будет определяться двумя рядами разного типа (при условии
β ± ω′n < 0):
( )
1
(1) (2)
1 1
1 2
( ) ( ) cos
( ) ( ) ,
Nk
t tt tn n
n n n k k k
n n k Nk
t t
T t T t e C e C e e D t
e V t e V t
−∞ ∞
′ ′ω ⋅ −ω ⋅β⋅ β⋅
= = =
β⋅ β⋅
= = + + ω + δ =
= +
∑ ∑ ∑
(23)
где определяющая формула для ω′n отличается от ωn лишь знаком подкоренного
выражения в формуле для фазовой частоты, (22). Все постоянные, включая ( )i
nC ,
как и в решении (21), вычисляются с помощью разложения в ряд Фурье функций
начальных условий. Для удобства описания можно также ввести переменную для
частоты
)0(
nω , используя в соответствующей формуле (22) абсолютную величину
в подкоренном выражении:
2
(0) (0)
2 2 2
0 0
1
при ; при 1.
4
n n n nk k
a n
n N n N
s l s a
π ′ω = − = ω ≥ ω = ω ≤ − τ τ
(24)
При этом следует помнить, что температурных волн с частотами ωn, n ≤ Nk – 1
решение
1
(1) (2)
1 1 1
1
( , ) ( ) ( ) [ ] sin ( ) ( )
Nk
t tt tn n
n n
n
n
u x t T t X x e C e C e x e V t X x
l
−
′ ′ω ⋅ −ω ⋅β⋅ β⋅
=
π
= ⋅ = + ⋅ = ⋅∑ (25)
формально не описывает, но на сечениях отражения волн (включая концы стержня),
которые определяются второй частью решения (23),
( )
1
2 2 2
1
( , ) ( ) ( ) cos sin ( ) ( )
Nk
t t
n n
n
n
u x t T t X x e t x e V t X x
l
−
β⋅ β⋅
=
π
= ⋅ = ω + δ ⋅ = ⋅∑ , (26)
вследствие сложения волн разных частот, могут существовать колебания с низкими
частотами. В сущности, температурное поле, определяемое уравнениями колеба-
ний (23), представляет собой сумму параболического (25) и гиперболического (26)
решений.
Используем теперь другое функциональное представление для функции V1(t).
Так как аналитическое выражение для V1(t) удовлетворяет условиям разложения в
ряд Фурье, то её можно разложить в этот ряд на произвольном отрезке времени [0;
2 F]. Гармоники ряда будут определяться частотами
(1) , 1,2,3,...m
m
m
F
π
ω = = Выберем
некоторое произвольное число n ≤ Nk и положим (0)n
nn
n n
F F
π π
= = =
ωω
, где
(0)
nω опре-
деляется в (24). Тогда (1) / ( ) ( / )m n nm n m nω = π π ω = ω .
Выберем также целое число l ≤Nk – 1 и рассмотрим сумму трёх колебаний
1
(1),mω
2
(1)
mω и
3
(1)
mω : m1 = nl – n, m2 = n, m3 = nl + n. Можно показать, что сумма двух боковых
часто
1mω
и
3mω определяет в этом случае низкочастотную амплитудную модуляцию
колебаний с частотой (0)
ll
′ω = ω на несущей частоте (0)
n nω = ω .
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112) 19
Затвердевание сплавов
Если модулирующая частота (1)
lω кратна несущей частоте
(1)
nω , то возникает
явление параметрического резонанса [17], которое приводит к появлению тем-
пературной волны с частотой (1)
lω . Существование как высокочастотных, так и низ-
кочастотных температурных волн и низкочастотного параметрического резонанса
может иметь достаточно широкие практические приложения.
Влияние параметрического резонанса температурных волн на кристаллизацию
отливок при внешней вибрации
В качестве примера влияния низкочастотных температурных волн на процесс
кристаллизации в металлах и сплавах рассмотрим влияние на этот процесс при-
нудительной вибрации при остывании отливки. Такое влияние обычно объясняется
увеличением числа зародышей кристаллизации, а также появлением при вибрации:
кавитации в жидкой фазе газовых микровключений, конвективных потоков и уси-
ленного теплоотвода [18-20]. Рассмотрим данные [19] одного из многих экспери-
ментов по изучению влияния вибрации на кристаллизацию металлов и сплавов.
Здесь исследования выполнялись, в частности, на серых доэвтектических чугунах.
Отливки – цилиндрической формы, диаметром 30 и 20 мм, высотой 300 мм, при
литье в песчаные и металлические формы. Импульс колебаний передавался в осе-
вом вертикальном направлении с частотами 10, 20, 25, 50 и 100 Гц, и амплитудой
от 0,1 до 1,2 мм.
Большая амплитуда колебаний вибрации может вызывать значительные раз-
рушения фронта кристаллизации и рост диаметра газовых включений, то есть
уменьшает интенсивность кавитации, поэтому влияние величины амплитуды сле-
дует рассматривать отдельно от частоты вибрации. Но экспериментально показано,
что в зависимости от материала отливки и её размеров, можно найти оптимальную
частоту вибрации, при которой наблюдаются максимальные темп кристаллизации
и скорость теплоотвода. В отливках, которые подвергались вибрации, процесс
перехода сплава из жидкого состояния в твёрдое происходил на 12-25 % быстрее,
чем при затвердевании отливок, не подвергнутых вибрации [19].
Рассмотрим этот процесс с точки зрения концепции температурных волн. Давле-
ние и вибрация одинаково передаются по разным направлениям в жидкой фазе, а в
твёрдой фазе вибрации в осевом направлении вызывают вибрации и в поперечном
направлении пропорционально значению коэффициента Пуассона. Обозначим
среднюю частоту теплового гиперзвука, связанного с размерами зародышей в кон-
кретном материале, как f
z
, частоту температурных колебаний образца в поперечном
направлении, связанного с размерами поперечного сечения образца, через fm, а
частоту внешних вибраций – fv.
Предположим, что найдётся длина волны длинноволнового параметрического
резонанса с частотой температурных волн зародышей кристаллизации fz, при этом
длина волны длинноволнового резонанса будет близкая к диаметру мембраны в
поперечном сечении отливки, то есть к её собственной частоте – fm. Условия пара-
метрического резонанса предполагают следующее соотношение для частот [17]:
2
, 1, 2, 3,...m
z
f
f n
n
= = (27)
Если, в свою очередь, при некоторой частоте внешних вибраций наступает па-
раметрический резонанс также на частотах fv и fm, то при этом увеличивается не
только амплитуда упругой волны, но и амплитуда соответствующей термоупругой
(температурной) волны частоты fm, что увеличивает скорость теплоотвода в литей-
ную форму. При этом выполняется соотношение:
2
, 1, 2, 3,...v
m
f
f k
k
= = (28)
Так как одновременно происходит процесс «двойного» параметрического резо-
нанса: и на собственной частоте температурной волны круглой мембраны в сечении
20 ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112)
Затвердевание сплавов
отливки, и на частоте температурных волн зародышей кристаллизации в жидкой
фазе, то увеличивается и амплитуда температурных волн частоты fz. Это, в свою
очередь, приводит к увеличению температуры переохлаждения на минимумах,
соответствующей стоячей температурной волны, и росту количества зародышей
кристаллизации. Перемножая соответствующие части равенств (27) и (28), получим:
2 ( / )m z vf n k f f= ⋅ Если при незначительном изменении размеров сечения отливки оп-
тимальное отношение целых чисел
n/k, определяющих двойной параметрический
резонанс, остается прежним, либо n и k меняются пропорционально, то наиболее
эффективную частоту вибраций при изменении диаметра отливки Dm можно тогда
найти по формуле:
= ⋅ = ⋅
2 1
2 1 1
1 2
2 2
.m m
v v v
m m
f D
f f f
f D
(29)
В рассматриваемой серии экспериментов [19] при заливке чугуном образца
диаметром 30 мм максимальный темп кристаллизации и теплоотвода был полу-
чен при частоте fv1 = 25 Гц, а при заливке образца диаметром 20 мм максимальные
значения скорости теплоотвода и скорости кристаллизации соответствовали
частоте fv2 = 50 Гц .Теоретический расчёт частоты вибрации параметрического
резонанса по формуле (29) для второго образца даёт:
2
1 2 1
2
2
( / ) (30мм / 20мм) 25Гц 56,25Гц.v m m vf D D f= ⋅ = ⋅ =
При этом следует учесть, что заливка первого образца производилась в песчаную
форму, второго – в металлическую, а испытания на влияние вибрации производи-
лись только при частотах 10, 20, 25, 50 и 100 Гц.
1. Эльдарханов А. С. Процессы формирования отливок и их моделирование / А. С. Эльдарха-
нов, В. А. Ефимов, А. С. Нурадинов. – М.: Машиностроение, 2001. – 208 с.
2. Лыков А. В. Теория теплопроводности /А. В. Лыков. – М.: Высшая школа, 1957. – 599 с.
3. Самарский А. А. Вычислительная теплопередача /А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. – М.:
Эдиториал УРСС», 2003. – 784 с.
4. Шамровский А. Д. Термоупругие волны и скорость их распространения в динамической
задаче взаимосвязанной термоупругости / А. Д. Шамровский, Г. В. Меркотан // Восточно-
Европейский журнал передовых технологий. – 2011. – Т. 5 – № 7 (53). – С. 36-41.
5. Бабенков М. Б. Распространение термоупругих волн в среде с учётом релаксации тепло-
вого потока / М. Б. Бабенков. – Санкт-Петербург: изд-во 2013. – 22 с.
6. Семёнов Д. А. Распространение связанных термоупругих волн в цилиндрических волно-
водах / Д. А. Семенов. – Самара: изд-во 2009. – 211 с.
7. Супельняк М. И. Исследование температурных волн в цилиндре с учетом инерции теплового
потока / М. И. Супельняк, А. К. Карышев. – «Вестник МГТУ им. Баумана», сер. «Естествен-
ные науки». – 2013. – № 2. – С. 106-119.
8. Елъяшевич М. А. Вклад Максвелла в развитие молекулярной физики и статистических
методов / М. А. Елъяшевич, Т. С. Протько //Успехи физических наук. – 1981. – Т. 135,
Вып. 3. – С. 381-423.
9. Carlo Cattaneo Sulla conduzione de calore. – Atti del Semine, Mat. Fis. Univ. Modena, 1948.
10. Шабловский О. Н. Тепловая градиентная катастрофа и рост двухмерного свободного
дендрита в переохлажденном расплаве / О. Н. Шабловский. – М: Прикладная физика,
2007. – № 3. – С. 29-36.
ISSN 0235-5884. Процессы литья. 2015. № 4 (112) 21
Затвердевание сплавов
11. Ландау Л. Д. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.: Наука, 1976,
Ч. 1. – 583 с.
12. Савельев И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1971. – Т. 3 – 527 с.
13. Тыднюк В. З. Квантовые особенности теплообмена и кристаллизации в отливках.
Сообщение 1 / В. З. Тыднюк, О. И. Шинский, В. П. Кравченко, В. С. Дорошенко, И. О. Шин-
ский // Процессы литья. – 2001. – № 2. – С. 60-70.
14. Фокин В. М. Неразрушающий контроль теплофизических характеристик строительных
материалов / В. М. Фокин, В. Н. Чернышев. – М.: Машиностроение-1, 2004. – 212 с.
15. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.:
Наука, 1977. – 735 с.
16. Рахштадт Ю. А. Физика. Колебания и волны / Рахштадт Ю. А. – М.: Дом МИСиС. – 2009.
– 180 с.
17. Валишев М. Г. Физика. Часть 4. Колебания и волны / М. Г. Валишев, А. А. Повзнер. – Ека-
теринбург, ГОУ ВПО «Уральский гос. технический университет». – 2006. – 90 с.
18. О механизме воздействия вибрации на кристаллизацию и структурообразование сплавов
/ В. Л. Найдек, А. С. Эльдарханов, А. С. Нурадинов, Е. Д. Таранов // Литейное производ-
ство. – 2003. – № 9. – С. 13-15.
19. Куценко А. И. Исследования тепловых процессов охлаждения отливки в форме при раз
личных режимах вибрации / А. И. Куценко, И. Ф. Селянин, Р. М. Хамитов, С. В. Морин. –
Ползуновский альманах. – 2004. – № 4. – С. 37-39.
20. Чернов А. А. Процессы кристаллизации и кавитации расплавов при сверхбыстрой закалке
из жидкого состояния / А. А. Чернов, А. А. Пильник – Сб. науч. статей. Современная на-
ука. – 2011. – № 2(7). – С. 10-16.
Поступила 06.04.2015
ВНИМАНИЕ!
Предлагаем разместить в нашем журнале рекламу Вашей продукции или ре-
кламный материал о Вашем предприятии. Редакция также может подготовить
заказной номер журнала.
Стоимость заказного номера - 4000 грн.
Расценки на размещение рекламы
(цены приведены в гривнях)
Размещение
Рекламная
площадь
Стоимость, грн.
Рекламные блоки в текстовой части журнала
Цветные 1/2 страницы
1/3 страницы
1/4 страницы
900
600
300
Черно-белые 1/2 страницы
1/3 страницы
1/4 страницы
550
380
200
Цветная реклама на обложке
Третья страница
обложки
1 страница
1/2 страницы
1/4 страницы
2800
1400
700
Четвертая страница
обложки
1 страница
1/2 страницы
1/3 страницы
3100
1550
1000
При повторном размещении рекламы - скидка 15 %
Наш адрес: Украина, 03680, г. Киев- ГСП. Вернадского, 34/1
Физико-технологический институт металлов и сплавов НАН Украины
телефоны: (044) 424-04-10, 424-34-50
факс: (044) 424-35-15; E-mall: proclit@ptima.kiev.ua
|