Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції
Розглянуто формальну постановку задачі управління виробництвом, яка об'єднує етапи оптимізації планування випуску та складування продукції із урахуванням витрат, що пов'язані з виготовленням, зберіганням, застаріванням та дефіцитом продукції. Розроблено та проведено порівняльний аналіз ефе...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2017
|
| Series: | Компьютерная математика |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168434 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції / Л.Ф. Гуляницький // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 36-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-168434 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1684342020-05-03T01:26:14Z Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції Гуляницький, Л.Ф. Информационные технологии в экологии Розглянуто формальну постановку задачі управління виробництвом, яка об'єднує етапи оптимізації планування випуску та складування продукції із урахуванням витрат, що пов'язані з виготовленням, зберіганням, застаріванням та дефіцитом продукції. Розроблено та проведено порівняльний аналіз ефективності трьох метаевристичних алгоритмів розв'язування на основі результатів аналізу обчислювального експерименту. Рассмотрена формальная постановка задачи управления производством, которая объединяет этапы оптимизации планирования выпуска и складирования продукции с учетом затрат, которые связаны с изготовлением, хранением, устареванием и дефицитом продукции. Разработаны три метаэвристических алгоритма решения и проведен сравительный анализ их эффективности на основе анализа результатов вычислительного эксперимента. A formal statement of the manufacturing management problem is covered. The problem under examination unites the stages of goods supply and stocking planning optimization taking into account the expenses that are caused by manufacturing, storage, obsolescence, and stock-out of goods. Three methaeuristic algorithms for solving the problem are developed and comparison analysis of their efficiencies is made based on the results of computational experiment. 2017 Article Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції / Л.Ф. Гуляницький // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 36-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2616-938Х http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168434 519.8 uk Компьютерная математика Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Информационные технологии в экологии Информационные технологии в экологии |
| spellingShingle |
Информационные технологии в экологии Информационные технологии в экологии Гуляницький, Л.Ф. Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції Компьютерная математика |
| description |
Розглянуто формальну постановку задачі управління виробництвом, яка об'єднує етапи оптимізації планування випуску та складування продукції із урахуванням витрат, що пов'язані з виготовленням, зберіганням, застаріванням та дефіцитом продукції. Розроблено та проведено порівняльний аналіз ефективності трьох метаевристичних алгоритмів розв'язування на основі результатів аналізу обчислювального експерименту. |
| format |
Article |
| author |
Гуляницький, Л.Ф. |
| author_facet |
Гуляницький, Л.Ф. |
| author_sort |
Гуляницький, Л.Ф. |
| title |
Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції |
| title_short |
Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції |
| title_full |
Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції |
| title_fullStr |
Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції |
| title_full_unstemmed |
Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції |
| title_sort |
агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Информационные технологии в экологии |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168434 |
| citation_txt |
Агрегована задача управління виробництвом та зберіганням продукції / Л.Ф. Гуляницький // Компьютерная математика. — 2017. — № 1. — С. 36-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Компьютерная математика |
| work_keys_str_mv |
AT gulânicʹkijlf agregovanazadačaupravlínnâvirobnictvomtazberígannâmprodukcíí |
| first_indexed |
2025-07-15T03:13:06Z |
| last_indexed |
2025-07-15T03:13:06Z |
| _version_ |
1837681016598167552 |
| fulltext |
Компьютерная математика. 2017, № 136
Информационные
технологии в экологии
Розглянуто формальну постановку
задачі управління виробництвом,
яка об'єднує етапи оптимізації
планування випуску та складування
продукції із урахуванням витрат,
що пов'язані з виготовленням,
зберіганням, застаріванням та
дефіцитом продукції. Розроблено
та проведено порівняльний аналіз
ефективності трьох метаеври-
стичних алгоритмів розв'язування
на основі результатів аналізу
обчислювального експерименту.
Л.Ф. Гуляницький, 2017
УДК 519.8
Л.Ф. ГУЛЯНИЦЬКИЙ
АГРЕГОВАНА ЗАДАЧА УПРАВЛІННЯ
ВИРОБНИЦТВОМ ТА ЗБЕРІГАННЯМ
ПРОДУКЦІЇ
Вступ. Розглядається формальна постановка
задачі, яка об’єднує етапи планування
випуску та зберігання продукції підприєм-
ства з метою задоволення попиту споживачів
– зазвичай, цим етапам відповідають дві різні
задачі. Припускається, що підприємство ви-
пускає n видів продукції, яка надходить на
склад, а потім реалізується споживачам.
Кінцевою метою є отримання максимального
прибутку. Проте, з одного боку, можливості
підприємства обмежені виробничими потуж-
ностями, тобто кількість продукції, що випу-
скається, не може перевищувати певного
рівня, а з іншого – попитом споживачів,
оскільки немає сенсу випускати продукцію,
яка не буде реалізована. Окрім того, обсяг
попиту не є стабільним, тобто можливі його
сезонні або інші коливання. А отже, в ді-
яльності підприємства бувають періоди, коли
потрібно реалізувати продукції більше, ніж
воно встигне виготовити. Це обумовлює
необхідність мати на складі достатній запас
продукції, виготовленої заздалегідь, для того
щоб задовольнити збільшений попит
споживачів і не втратити потенційний прибу-
ток [1]. Використання складу, в свою чергу,
теж накладає певні обмеження: кількість
продукції, що може бути там розміщена,
обмежена складськими потужностями; збері-
гання продукції на складі потребує певних
затрат і було б бажано їх мінімізувати;
продукція зазвичай має термін придатності,
після закінчення якого вона вже не може
бути реалізована.
АГРЕГОВАНА ЗАДАЧА УПРАВЛІННЯ ВИРОБНИЦТВОМ ТА ЗБЕРІГАННЯМ ПРОДУКЦІЇ
Компьютерная математика. 2017, № 1 37
З іншого боку, при збільшенні обсягів випуску продукції зростають витрати,
оскільки виробництво переходить у стан понаднормового режиму роботи, що
вимагає додаткових затрат.
Таким чином, задача полягає у складанні такого оптимального плану
випуску продукції, при якому, з одного боку, підприємство не буде втрачати
прибуток через незадоволений попит, а з іншого, не буде нести збитки через
«перевиробництво» (виробництво надлишків продукції, які не зможе реалі-
зувати) та мінімізує витрати на зберігання продукції на складі.
Цим пояснюється актуальність проблем оптимізації процесів планування
випуску та зберігання продукції з метою задоволення попиту споживачів, які
будемо розглядати комплексно.
Математична постановка задачі.
Дано:
n – кількість видів продукції;
in – кількість продукції виду і, 1,i n ;
і – термін придатності одиниці і-го продукту, 1,i n ;
T – період, за який проводиться планування;
jt – відрізки часу, на які розбивається період планування, 1,j m (інші
одиниці вимірювання часу мають бути зведені до tj );
,i oQ – початковий рівень запасу (надається експертами), 1,i n ;
Xi – максимальна кількість продукції, яку підприємство може виготовити,
працюючи в нормальному режимі;
ijd – попит на одиницю продукції виду і за період часу tj, 1, , 1, ;i n j m
m – кількість інтервалів розбиття заданого періоду.
Змінні:
xij – кількість виготовленої продукції і-го виду в момент часу j,
1, , 1,i n j m .
Загалом, кількість продукції, що знаходиться на складі (рівень запасу), може
змінюватись: у сторону збільшення за рахунок виготовлення нової – фактор xij;
у сторону зменшення внаслідок збуту (задоволення попиту) – залежить від
величини попиту ijd ; у сторону зменшення внаслідок застарівання продукції –
залежить від моменту надходження та від терміну придатності. По закінченню
терміну придатності нереалізована продукція має бути утилізована.
Внаслідок розбиття періоду Т на m відрізків, можемо говорити або про j-й
момент часу (коли йдеться про «одномоментні» події, якими вважається, напри-
клад, поставка продукції), або про період часу tj − власне період від (j − 1)-го
до j-го моментів часу (коли йдеться про процеси, розтягнуті в часі, як, напри-
клад, попит на продукцію).
Л.Ф. ГУЛЯНИЦЬКИЙ
Компьютерная математика. 2017, № 138
Оскільки прогнозні значення величини попиту та інших оцінок можуть
надаватись на більші періоди, ніж прийнята величина tj, то для масштабування
величину ijd приписують кожному моменту прогнозного періоду. Наприклад,
якщо маємо прогнозні значення величини попиту помісячно, а одиничний
відрізок періоду планування – доба, то для кожного дня місяця встановлюємо
значення величини попиту рівним прогнозованому на місяць.
Отже, враховуючи можливі напрямки зміни кількості продукції на складі,
можемо знайти рівень запасу i-го виду продукції в j-й момент часу:
, ,
1
,
i
ij i j l
j
Q q
(1)
де , ,i j lq – кількість продукції і-го виду, наявної на складі в j-й момент часу,
з терміном придатності рівним l,
, ,
, 1, 1 , , 1,1
[ ] , якщо ,
[ ] , якщо ,
ij i
i j l l
i j l i j i j k ik
x l =
q
q d q l
[ ] max[0, ].a a (2)
Таким чином, для кожного виду продукції створюється вектор, значення
кожної компоненти якого дорівнює кількості продукції з рештою терміну
придатності, рівною номеру компоненти.
В задачі також передбачено можливість понаднормового режиму роботи
підприємства, при якому воно зможе виготовити більше продукції, але тоді
також збільшаться і затрати на виробництво одиниці продукції.
Обмеження на виробничі потужності:
i ix X , (3)
де iX – максимальна кількість продукції, яку підприємство може виготовити,
працюючи в понаднормовому режимі.
Обмеження на складські потужності:
,
1
, 1, ,
N
i i j
i
v Q V j m
(4)
де vi − обсяг, який займає одиниця продукції і-го виду; V − загальний обсяг
наявних складських площ.
Нашою метою є мінімізація витрат на виробництво та зберігання продукції,
а також втрат від незадоволеного попиту чи нереалізованої продукції. Розгля-
немо різні види витрат більш детально.
Витрати, пов’язані з виробництвом продукції. Витрати на виробництво про-
дукції будуть різними, залежно від того, в нормальному чи в понаднормовому
режимі працює виробництво:
АГРЕГОВАНА ЗАДАЧА УПРАВЛІННЯ ВИРОБНИЦТВОМ ТА ЗБЕРІГАННЯМ ПРОДУКЦІЇ
Компьютерная математика. 2017, № 1 39
1
,N
ij ii x C
де iC − витрати на виготовлення однієї одиниці продукції і-го виду;
1
2
, якщо ,
, якщо .
i ij i
i
i ij i
C x X
C
C x > X
(5)
Витрати, пов’язані зі зберіганням продукції на складі. Тут також є складові,
що залежать від кількості продукції, і є такі, що від неї не залежать (наприклад,
орендна плата сплачується незалежно від того, заповнений склад чи ні):
, 1 01
,N
i j ii S SQ
(6)
де iS − витрати на зберігання одиниці продукції і-го виду; 0S − витрати на
утримання складських приміщень.
Витрати, пов’язані зі застаріванням продукції. Такі витрати виникають,
якщо в певний момент часу існує запас продукції, залишок терміну придатності
якої становить 1 одиничний відрізок періоду планування, і ця кількість
перевищує попит. Тоді розмір витрат внаслідок застарівання товарів можна
визначити виходячи з наступної формули:
, ,1 , 1
1
( ) ,
n
i i j i j
i
r q d
(7)
де ir − збитки через застарівання одиниці продукції і-го виду (втрачений прибу-
ток, витрати на утилізацію і т. п.).
Витрати, пов’язані з дефіцитом продукції:
, , 1 , , 1
1
( ) (1 ) ( ) ,
n
i i j i j i i j i j
i
A d Q B d Q
(8)
де iA – витрати через незадоволений (заборгований) попит; iB – витрати через
втрачений попит; – коефіцієнт – частка попиту, що може бути задоволена,
відповідно, (1 ) – частка попиту, що буде втрачена.
Таким чином, цільова функція матиме вигляд:
, 1 , ,1 , 1
1 1 1 1
( ) [ ( ) ( )
m n n n
ij i i j i j i i j i j
j i i i
f x x C Q S S r q d
, , 1 , , 1
1
( ( ) (1 ) ( ) )]
n
i i j i j i i j i j
i
A d Q B d Q
, (9)
де ( ) .ij n mx x
Для розв’язування сформульованої задачі (1) – (9) розроблені наближені
алгоритми таких методів комбінаторної оптимізації: імітаційного відпалу (АІВ),
пошуку зі змінними околами та Н-методу.
Л.Ф. ГУЛЯНИЦЬКИЙ
Компьютерная математика. 2017, № 140
Загальна схема алгоритму імітаційного відпалу. В алгоритмі імітаційного
відпалу (англ. Simulated annealing) пошук глобального розв’язку імітується
процесом релаксації механічної системи з багатьма ступенями свободи,
значенням узагальненої енергії якої виступає цільова функція задачі [2].
Імовірність p переходу з одного стану в деякий «близький» йому стан
(флуктуація) описується з розподілу Больцмана – Гіббса так: ,
E
kTp e
де E зміна узагальненої енергії, Т температура, k – стала Больцмана.
Отже, передбачається, що кожен варіант роз’язку задачі комбінаторної
оптимізації x задає деяку конфігурацію атомів стохастичної системи, а значення
цільової функції f(x) визначає величину узагальненої енергії. Перша обчислю-
вальна процедура, що імітує поведінку стохастичної системи, була запропоно-
вана Метрополісом. Подальшим узагальненням цього методу став алгоритм
імітаційного відпалу, на основі якого останнім часом інтенсивно розвиваються
алгоритми розв’язування задач комбінаторної оптимізації із різних класів
(рис. 1).
procedure SA(x);
x: = <деякий припустимий варіант розв’язку>;
h: = 0; {h – лічильники ітерації по температурі};
T: = <початкова температура>;
while не виконується умова зупинки do
while не досягнута рівновага do
y: = <чергова точка околу О(x) >
( ) ( );
: min{1,exp( )}
f y f x
p
T
:= random[0,1];
if p> then x: = y;
endwhile;
h: = h + 1;
T: = <нове значення>;
endwhile;
return x;
end
РИС. 1. Схема алгоритму імітаційного відпалу
Породження сусідніх розв’язків із (метричного) околу О(х) може здійсню-
ватися як на основі їх випадкового вибору, так і детерміновано.
АГРЕГОВАНА ЗАДАЧА УПРАВЛІННЯ ВИРОБНИЦТВОМ ТА ЗБЕРІГАННЯМ ПРОДУКЦІЇ
Компьютерная математика. 2017, № 1 41
Розроблений алгоритм імітаційного відпалу для досліджуваної задачі
оперував з наступним. Як зазначалося, варіантом розв’язку буде матриця роз-
міром nm, де n – кількість видів продукції, m – кількість інтервалів у плановому
періоді. Таким чином, множина всіх варіантів розв’язку – множина матриць х
розмінності пm, елементи яких ijx приймають значення в межах:
0 , 1,ij ix X i n .
Відповідно, сусідніми до поточного варіанта розв’язку будуть такі розв’язки
О(х), один з елементів матриці яких відрізняється від відповідного елемента
поточного розв’язку на одиницю.
Ймовірність переходу визначено, як і в алгоритмі Метрополіса, тобто:
1, якщо ( ) ( ) < 0,
( ) = ( ) ( ) , якщо ( ) ( ) 0,
f y f x
P x y f y f x f y f x
T
де x – поточний варіант розв’язку, y – згенерований сусідній варіант розв’язку,
тобто ( )y O x .
Умова рівноваги вважається виконаною, якщо здійснено задане значення М1
переходів до нового розв’язку або число спроб перевищило параметр М2.
Температурний розклад обрано прискорений скрізь:
1 , 0 < < 1,h hT T
де hT – поточне значення температури; 1hT – нове значення температури;
α – константа, зазвичай α 0,9 – 0,95.
Пошук із пульсуючими (змінними) околами (у зарубіжній літературі –
Variable Neighborhood Descent, VND) – метаевристика, яка явно застосовує
стратегію, засновану на динамічній зміні структури околів у базовому алгоритмі
локального пошуку. Вперше алгоритм цього класу запропоновано в [3], він
отримав назву алгоритма пульсуючих околів, і перевідкрито незалежно у [4]
під назвою алгоритм спуску зі змінними околами.
На кроці ініціалізації у просторі розв’язків має бути визначена множина
околів |L1| < |L2| <...< |Lmax| – околів з потужністю, що збільшується. Потім
генерується початковий розв’язок, ініціалізується поточний індекс околу і вико-
нуються ітерації доти, поки не виконана умова завершення (рис. 2).
Як видно з наведеного опису, вибір структури околів – ключова частина
пошуку і спуску зі змінними околами. Вибрані околи мають враховувати і від-
ображати різні властивості і характеристики простора пошуку, тобто забезпечу-
вати виділення різних підобластей простора пошуку.
У розробленому алгоритмі пошуку зі змінними околами сімейство околів
визначалось так: окіл L1 – це множина всіх варіантів розв’язку, які відрізняються
від даного лише одним елементом матриці, окіл L2 – це всі варіанти розв’язку,
які відрізняються рівно двома елементами матриці і т. д.
Л.Ф. ГУЛЯНИЦЬКИЙ
Компьютерная математика. 2017, № 142
procedure VND(x)
Вибрати множину структур околів L(x), = 1, …, max;
x := ЗгенеруватиПочатковийРозв’язок;
while не виконується умова зупинки do
: = 1;
while max do
x' := Вибрати випадково із L(x); {стадія струсу}
x'' := ЛокальнийПошук(x');
if f(x'') < f(x) then x : = x''; : = 1
else := +1
end if
end while
end while
end
РИС. 2. Структура алгоритму пошуку із пульсуючими (змінними) околами
Алгоритм Н-методу для задачі планування випуску та зберігання
продукції. Н-метод – це гібридна метаевристика, що використовує спеціально
визначені відрізки та інтервали в просторі розв’язків та комбінування з алгорит-
мами локального пошуку [5, 6].
Нехай маємо певну чергову популяцію P X – набір розв’язків. Тоді
основний механізм пошуку на ітерації алгоритму полягає у реалізації наступних
кроків.
1. Відбір пари точок x, y P: f(x) > f(y).
2. Побудова напівінтервалу < x, x∞/ такого, що у < x, x∞ /, де x∞ –
максимально відділена від х точка простору. Пошук z – кращої точки (суб-
оптимального розв’язку) вздовж напівінтервалу.
3. Локальний пошук із точкою z як початкове наближення.
4. Доповнення популяції Р знайденою точкою локального мінімуму.
При реалізації Н-методу окіл та відстані між розв’язками визначалися так
само, як і для АІВ чи пошуку зі змінними околами.
Мутація – двоточкове схрещування на матриці варіанта розв’язку. Після
мутації здійснювалася адаптація – корегування нащадка під обмеження задачі,
враховуючи існуючі обмеження на площу складу, виробничі потужності та інше.
Дослідження ефективності розроблених алгоритмів. Це дослідження про-
водилося на основі аналізу результатів обчислювального експерименту із розв’я-
зування задач планування випуску та зберігання продукції розмірності від
15 видів продукції до 1000. Генерування задач проводилось на основі датчика
випадкових чисел з рівномірним розподілом.
Використовувалося таке апаратне забезпечення: процесор Intel Core2Duo
E8400, 3 GHz, з ОС Windows 7 та оперативною пам’яттю 2 GB.
АГРЕГОВАНА ЗАДАЧА УПРАВЛІННЯ ВИРОБНИЦТВОМ ТА ЗБЕРІГАННЯМ ПРОДУКЦІЇ
Компьютерная математика. 2017, № 1 43
Результати розв’язування задач з 15 видами продукції та 12 періодами
планування за точністю подано на рис. 3, де по осі ординат відкладено значення
цільової функції, а по абсцисі – номери задач. Усереднені дані з розв’язування
задачі з 1000 видами продукції і 12 періодами планування наведені
в таблиці.
РИС. 3. Результати роботи алгоритмів
ТАБЛИЦЯ. Усереднені результати обчислень для n = 1000
Алгоритм АІВ Пошук
зі змінними околами
Алгоритм
Н-методу
Цільова функція 39273,31 47321,56 39190,57
Час, с 3709,250 1832,081 2949,54
Висновки. Запропоновано і реалізовано три метаевристичних алгоритми
розв’язування сформульованої задачі управління виробництвом та зберіганням
продукції. Окрім дослідження алгоритмів на тестових задачах, виконано розра-
хунок задачі реальної розмірності 1000, оскільки на одному складі рідко
зберігається більша кількість різних видів продукції. Крім того, оскільки
розв’язання таких задач може знадобитися при вирішенні питань рівня загальної
стратегії підприємства, можна зробити припущення, що на практиці розмірність
буде ще меншою, бо на такому рівні оперують не окремими одиницями номен-
клатури, а цілими видами продукції. Виявлено, що серед розроблених алгорит-
мів оптимальним за поєднанням точності та швидкодії є алгоритм Н-методу.
Л.Ф. ГУЛЯНИЦЬКИЙ
Компьютерная математика. 2017, № 144
Л.Ф. Гуляницкий
АГРЕГИРОВАННАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВОМ И ХРАНЕНИЕМ
ПРОДУКЦИИ
Рассмотрена формальная постановка задачи управления производством, которая объединяет
этапы оптимизации планирования выпуска и складирования продукции с учетом затрат,
которые связаны с изготовлением, хранением, устареванием и дефицитом продукции.
Разработаны три метаэвристических алгоритма решения и проведен сравительный анализ их
эффективности на основе анализа результатов вычислительного эксперимента.
L.F. Hulianytskyi
THE AGGREGATED PROBLEM OF GOODS MANUFACTURING AND STORAGE
MANAGEMENT
A formal statement of the manufacturing management problem is covered. The problem under
examination unites the stages of goods supply and stocking planning optimization taking into
account the expenses that are caused by manufacturing, storage, obsolescence, and stock-out of
goods. Three methaeuristic algorithms for solving the problem are developed and comparison
analysis of their efficiencies is made based on the results of computational experiment.
1. Karáse J. An overview of warehouse optimization. International Journal of Advances in
Telecommunications, Electrotechnics, Signals and Systems. 2013. 2, N 3. P. 111 – 117.
2. Aarts E., Korst J., Michiels W. Simulated annealing. In.: Search methodologies. Springer US,
2014. P. 265 – 285.
3. Гуляницкий Л.Ф., Ходзинский А.Н. Особенности реализации алгоритмов метода ветвей
и границ и метода вектора спада в пакете ВЕКТОР-1В. В кн. “Вычислительные аспекты в
пакетах прикладных программ”. Сб. науч. тр. Киев, ИК АН УССР, 1979. C. 45 – 48.
4. Mladenović N., Hansen P. Variable neighborhood search. Computers & operations research.
1997. 24, N 11. P. 1097 – 100.
5. Гуляницкий Л.Ф., Сергиенко И.В. Метаэвристический метод деформированного много-
гранника в комбинаторной оптимизации. Кибернетика и системный анализ. 2007. № 6.
С. 70 – 79.
6. Гуляницький Л.Ф., Мулеса О.Ю. Прикладні методи комбінаторної оптимізації. К.:
Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2016. 142 с.
Одержано 12.01.2017
Про автора:
Гуляницький Леонід Федорович,
доктор технічних наук, завідувач відділу
Інституту кібернетики імені. В.М. Глушкова НАН України.
Е-mail: leonhul.icyb@gmail.com
|