Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу

Для осесиметричної початково-крайової задачі волого- та теплопереносу із змішаними неоднорідними крайовими умовами отримано оцінки швидкості збіжності неперервного за часом та дискретного наближених розв'язків, побудованих на базі методу скінченних елементів....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
Hauptverfasser:	Марченко, О.О., Самойленко, Т.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2020
Schriftenreihe:	Кібернетика та комп’ютерні технології
Schlagworte:	Математичне моделювання та чисельні методи
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168594
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу / О.О. Марченко, Т.А. Самойленко // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 1. — С. 41-52— Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-168594
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1685942020-07-14T01:28:58Z Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу Марченко, О.О. Самойленко, Т.А. Математичне моделювання та чисельні методи Для осесиметричної початково-крайової задачі волого- та теплопереносу із змішаними неоднорідними крайовими умовами отримано оцінки швидкості збіжності неперервного за часом та дискретного наближених розв'язків, побудованих на базі методу скінченних елементів. The purpose of the paper is to formulate the appropriate generalized problem in the Galorkin form for the axisymmetric initial-boundary value problem. The important goal is to investigate the accuracy of the continuous in time and completely discrete approximate generalized solutions based on the finite elements method. Results. The algorithm for constructing of approximate generalized solution of the axisymmetric initial-boundary value problem for the system of filtration and heat transfer equations is proposed. The estimates of the convergence rate for the continuous in time and discrete approximate solutions based on the finite elements method are obtained. Цель статьи: для поставленной осесимметричной начально-краевой задачи сформулировать соответствующую обобщенную задачу в форме Галеркина и исследовать точность построенных методом конечных элементов непрерывного по времени и полностью дискретного приближенных обобщенных решений. Результаты. Предложен алгоритм построения приближенного обобщенного решения осесимметричной начально-краевой задачи для системы уравнений влаго- и теплопереноса, которая моделирует нестационарные неизотермические процессы во влажных грунтах. Получены оценки скорости сходимости непрерывного по времени и дискретного приближенных решений, построенных методом конечных элементов. 2020 Article Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу / О.О. Марченко, Т.А. Самойленко // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 1. — С. 41-52— Бібліогр.: 7 назв. — укр. 2707-4501 DOI:10.34229/2707-451X.20.1.5 MSC 90C15, 49M27 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168594 517.9:519.6 uk Кібернетика та комп’ютерні технології Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математичне моделювання та чисельні методи Математичне моделювання та чисельні методи
spellingShingle	Математичне моделювання та чисельні методи Математичне моделювання та чисельні методи Марченко, О.О. Самойленко, Т.А. Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу Кібернетика та комп’ютерні технології
description	Для осесиметричної початково-крайової задачі волого- та теплопереносу із змішаними неоднорідними крайовими умовами отримано оцінки швидкості збіжності неперервного за часом та дискретного наближених розв'язків, побудованих на базі методу скінченних елементів.
format	Article
author	Марченко, О.О. Самойленко, Т.А.
author_facet	Марченко, О.О. Самойленко, Т.А.
author_sort	Марченко, О.О.
title	Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу
title_short	Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу
title_full	Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу
title_fullStr	Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу
title_full_unstemmed	Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу
title_sort	побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Математичне моделювання та чисельні методи
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/168594
citation_txt	Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу / О.О. Марченко, Т.А. Самойленко // Кібернетика та комп’ютерні технології: Зб. наук. пр. — 2020. — № 1. — С. 41-52— Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Кібернетика та комп’ютерні технології
work_keys_str_mv	AT marčenkooo pobudovanabliženogorozvâzkuosesimetričnoízadačídinamíkineízotermíčnogovologoperenosu AT samojlenkota pobudovanabliženogorozvâzkuosesimetričnoízadačídinamíkineízotermíčnogovologoperenosu
first_indexed	2025-07-15T03:24:01Z
last_indexed	2025-07-15T03:24:01Z
_version_	1837681703174275072
fulltext	МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 41 КІБЕРНЕТИКА та КОМП'ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ Для осесиметричної початково-крайової за- дачі волого- та теплопереносу із змішаними неоднорідними крайовими умовами отрима- но оцінки швидкості збіжності неперервного за часом та дискретного наближених розв'я- зків, побудованих на базі методу скінченних елементів. Ключові слова: вологоперенос, теплопере- нос, осесиметрична початково-крайова за- дача, узагальнений розв’язок, метод скінчен- них елементів (МСЕ), схема Кранка – Нікол- сона.  О.О. Марченко, Т.А. Самойленко, 2020 УДК 517.9:519.6 DOI:10.34229/2707-451X.20.1.5 О.О. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО ПОБУДОВА НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ОСЕСИМЕТРИЧНОЇ ЗАДАЧІ ДИНАМІКИ НЕІЗОТЕРМІЧНОГО ВОЛОГОПЕРЕНОСУ Вступ. Пропонується алгоритм розрахунку динаміки неізотермічного процесу вологопереносу в осесимет- ричній постановці, яка є суттєвою при дослідженні стану вологості ґрунтів навколо, наприклад, верти- кальних дрен, свердловин, паль і т. д. В роботі сфор- мульована початково-крайова задача для системи нестаціонарних рівнянь волого- та теплопереносу для ізотропного середовища в циліндричній системі координат з неоднорідними змішаними крайовими умовами, в тому числі з умовами теплообміну з зовнішнім середовищем. Отримані результати є важливими і для подаль- шого дослідження в циліндричних координатах задач, що моделюють міграцію вологи у процесі сезонного промерзання ґрунту, як продовження поданого в [1–3] підходу, при якому враховуються фазові переходи від незамерзлої води до льоду в усьому об’ємі ґрунтового масиву без виділення фронту кристалізації. У цьому випадку вологообмінні та теплообмінні характе- ристики є функціями сумарної вологості, а рівняння вологопереносу записується щодо «фіктивного» вмісту вологи. Беручи до уваги напрямки міграції вологи щодо фронту промерзання/танення, суттєвим вважатимемо конвективний теплоперенос за верти- кальною віссю координат, що дозволяє досягнути достатнього співпадіння з експериментальними даними [4]. Основна частина. В області 0, T T     розглядається система рівнянь:    , , W W W r r k W T r k W T t r r z z                      , ( )T w T T T c r r r c W T t r r z z                          , (1) де  , , T r z t  , 0 10 r r r    , 10 z z   ,  , ,W r z t – об’ємна вологість,  , ,T r z t – температура, https://doi.org/10.34229/2707-451X.20.1.5 О.О. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО 42 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 ( , )k W T – коефіцієнт вологопереносу [5],  – коефіціент теплопровідності, ,T wc c – об’ємні теп- лоємності ґрунту і рідини в порах, ( )W – швидкість вологопереносу-фільтрації за віссю z . Крайові умови задамо наступним чином:  , 0, W k W T r    0, T r     1 3( , , ) ( ) (0, ],r z t T    (2)  , 0, W k W T z    2 4( , , ) ( ) (0, ],r z t T    (3) ( ( , , ) ),ср T T r z t T z       2( , , ) (0, ],r z t T  (4) 0, T z     4( , , ) (0, ],r z t T  (5) де 1 2 3 4     ,  1 0 1( , ) : , 0r z r r z z     ,  2 0 1 1( , ) : ,r z r r r z z     ,  3 1 1( , ) : , 0r z r r z z     ,  4 0 1( , ) : , 0r z r r r z     ; срT – температура зовнішнього середо- вища. Початкові умови: 0 0( , ,0) ( , ), ( , ,0) ( , ),W r z W r z T r z T r z  ( , ) .r z  (6) Припускаємо, що const 0  , а задані функції ( , )k W T , ( )W , 0( , )W r z , 0( , )T r z досить гладкі на T  , обмежені і задовольняють умові Ліпшиця, тобто: 1 10 ( , )k k v u k     ,  1 1 2 2 1 1 2 1 2( , ) ( , )k v u k v u K v v u u     , 10 ( )v     , 1 2 2 1 2( ) ( )v v K v v    ,i jv u R  , , 1,2i j  , (7) де 1 2, , , , ,k k K K const   . Класичний розв'язок початково-крайової задачі (1) – (6) – вектор-функція ( , , )h r z t     1 2( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) , T T W r z t T r z t h r z t h r z t  компоненти якої разом із своїми частинними похід- ними ih r   , ih z   , 1,2i  , неперервні на області T  , мають обмежені неперервні частинні похідні ih t   , 2 2 ih r   , 2 2 ih z   , 1,2i  , в T  , задовольняють рівнянню (1) і умови (2) – (6). Позначимо Z множину вектор-функцій  ( , , ) ( , , ), ( , , ) T h r z t W r z t T r z t   1 2( , , ), ( , , ) , T h r z t h r z t компоненти яких (0, ]t T  належать простору Соболева 1 2 ( )W  , а ( , , ), (0, ]ih r z t t T t     , ( 0), 1,2,ih r,z, i  належать 2( )L  . Відповідно множині 0Z належать вектор-функції  1 2( , ) ( , ), ( , ) , T v r z v r z v r z компоненти яких належать простору 1 2 ( )W  . Узагальненим розв'язком Гальоркіна початково-крайової задачі для системи (1) – (6) є вектор- функція ( , , )h r z t Z , яка для довільної вектор-функції   0,v r z Z , задовольняє інтегральним співвідношенням    , ; , , h m v A h h v F v t        0,t T    , 0v Z  , (8) ПОБУДОВА НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ОСЕСИМЕТРИЧНОЇ ЗАДАЧІ … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 43 0( ( , ,0), ) ( , )h v h v   0v Z  , (9) де 1 2, T h W T m v r v c v d t t t                     ,      1 2; , ; , ; , ( , )A h h v a h h v b h h v b h v   ,     1 1 2 2; , , v v v vW W T T a h h v r k W T d r r z z r r z z                                    ,   2 1 ; , ( )w v b h h v rc W T d z       ,   2 2 2 2,b h v r T v d     ,   2 2 2, cpF v r T v d     , (10)  , – скалярний добуток в 2( )L  , 0 0 0( , )Th W T . Наближений узагальнений розв'язок даної задачі Коші шукаємо в скінченновимірному підпросторі NZ Z методом скінченних елементів (МСЕ) в наступному вигляді: 2 1 ( , , ) ( ) ( , ) N N i i i h r z t t r z     , (11) де ( )i t , 1,2i N – функції, інтегровані разом з другою похідною на 0,T    , 0 i i         , 0 N i i          , 1,i N , (12) – базис простору N tZ , який отримується з NZ фіксуванням 0,t T    ,  ( , )i r z , 1,i N , – сукупність лінійно незалежних функцій, що відповідають вузловим точкам МСЕ, які побудовані на повних поліномах степеня k ( 1,2,3k  ) та мають в  обмежений носій. Базис простору 0 0 NZ Z аналогічно складається з 2N вектор-функцій ( , )i r z , тобто довільна функція 0( , )N Nv r z Z може бути подана у вигляді: 2 1 ( , ) ( , ) N N i i i v r z r z     , (13) де i – константи. Наближений узагальнений розв’язок ( , , )N Nh r z t Z задачі (8), (9) задовольняє інтегральним співвідношенням    , ; , , N N N N N Nh m v A h h v F v t        0,t T    , 0( , )N Nv r z Z  , (14) 0( ( , ,0), ) ( , )N N Nh v h v   0( , )N Nv r z Z  . (15) Використовуватимемо наступні позначення норм: 2 2 2 2 2 0 T L L L u u dt    , 1 1 0 2 0 2 2 0 T H L H u u dt    , 1 1 2 2 2 2 2 0 T W L W u u dt    , 2 2 2 2 [0, ] max L L Lt T u u    , 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 T L L L u u dt      , 1 2( , )u u u Z   . (16) О.О. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО 44 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 Справедлива така теорема. Теорема 1. Нехай класичний розв’язок початково-крайової задачі (1) – (6) ( , , )h r z t     1 2( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) T T W r z t T r z t h r z t h r z t  має обмежені неперервні частинні похідні 2k ih r z t        ( 1k  ) на T  ( 1,2i  ). Тоді для наближеного узагальненого розв’язку 1 2( , , )=( ( , , ), ( , , ))N N N Nh r z t h r z t h r z t Z задачі (8), (9) існує константа 0C  така, що має місце оцінка 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) N N k W L L L h h h h Ch        , де h – максимальна довжина сторін трикутників, k =1,2,3 – степінь многочленів МСЕ. Доведення. Нехай h і Nh – класичний і наближений узагальнений розв’язки задачі (1) – (6), тоді Nh Z  справедлива рівність    ( ) , ; , ; , 0 N N N N N Nh h m h h A h h h h A h h h h t             . (17) Враховуючи співвідношення (17), розглянемо вираз [6]:  ( ) , ; , N N N N Nh h m h h A h h h h h t               ( ) , ; , ; , N N N N N Nh h m h h A h h h h A h h h h t                   ( ) , ; , ; , ; , N N N N N Nh h m h h A h h h h A h h h h A h h h h t                     ( ) , ; , ; , ; , N N N N N Nh h m h h A h h h h h A h h h h A h h h h t                . (18) Оцінимо ліву і праву частини співвідношення (18), беручи до уваги (10), (7): 2 2 1 ( ) , N N N L h h d m h h c h h t dt          ,   1 0 2 2; ,N N N N H a h h h h h c h h    , 2 2 2 2 0 2 2 ( ) ( , )N N N L b h h h h r h h       ,   1 1 2 0 2 0 2 2 1 3 3 1 1 1 ; , 4 N N N N N N N L H L H b h h h h h c h h h h c h h h h                ,   1 11 0 00 2 4 3; ,N N N N H HH L A h h h h h c h h h h c h h h h         11 2 2 02 2 0 2 2 1 2 2 2 2 4 2 ( )( ) 2 1 4 N N L HL H r h h h h c h h h h                 ПОБУДОВА НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ОСЕСИМЕТРИЧНОЇ ЗАДАЧІ … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 45 1 0 2 22 2 2 2 22 2 3 3 1 4 2 2 2 2 ( )( ) 3 4 1 1 4 4 N N H LL L c h h h h r h h h h                        ,     1 2 0 5; , ; ,N N N N N L H A h h h h A h h h h c h h h h         11 1 02 0 2 2 0 6 5 6 N N N N N HL H L L H c h h h h c c h h h h h h h h                 11 02 0 2 2 2 5 6 5 6 6 5 1 1 ( ) ( ) 4 4 N N HL H c c h h h h h h                 , (19) де i , 1,6i  , – деякі додатні константи  -нерівностей,  1 00,5 min 1, Tc r c ,  2 0 min ,c r k  , 3 1 wc r c  ,  4 1 max ,c r k  ,  5 1 1max ,c r c K  , 6 1 2wc r c c K , max , , , 1,2 T i i i h h c h i r z          . (20) З співвідношень (18), (19) отримаємо нерівність вигляду 1 2 0 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) N N N L H L d h h h h h h dt          1 0 2 22 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 ( ) , N N H LL h h c h h h h h h m h h c t                    , (21) де константи 1 1( , )j ic    , 2 0 1 4 1( )r r c    , 1( , , , )j ic c c r   додатні за рахунок підібраних відповідним чином i , 1,6i  . Домноживши обидві частини нерівності (21) на cte та проінтегрувавши результат за змінною t від 0 до s , (0, ]s T , отримаємо нерівність 1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) 0 0 0 s s s ct N ct N ct N ct N L L H L d e h h ce h h dt e h h dt e h h dt dt                        1 0 2 2 2 2 2 2 ( ) 10 0 0 1 ( ) , s s s N ct ct ct H L h h c e h h dt e h h dt e m h h dt c t                           . (22) Оцінимо зверху останній доданок співвідношення (22). Інтегруючи частинами та враховуючи нері- вність Коші – Буняковського,  -нерівність, позначення (10), маємо    0 0 ( ) , , s sN ct ct Nh h e m h h dt e m h h h h dt t t                    0 0 ( ) , , s s ct N ct Nh h e m h h dt c e m h h h h dt t                2 22 2 2 22 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) (0) (0) 4 4 N N L LL L c c c h h s h h s c h h h h             О.О. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО 46 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 3 40 0 0 0 ( ) 4 4 s s s s N N LL L L c cch h c h h dt dt cc h h dt h h dt t                  , (23) де  2 1 max 1, Tc r c . Враховуючи наступну оцінку норми 1 2 ( )u W   по межі  заданої області: 2 1 2 2 4 2 2 2 2 2 ( ) cos( , ) cos( , ) ( ) ( ) 2 L u u u u n r d u n z d u u d u d r z r z                                       1 2 0 11 22 22 2 1 1 ( ) ( )L H u u C u d d C u u r z                                       , записану в загальному випадку нерівність Фрідріхса [7],  -нерівність, можемо записати 1 1 1 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 3 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L H L H L H u C u C u C u C C u u            1 0 2 2 23 1 2 3 1( ) ( ) ( ) 4 H L C C C u C C u        . Оберемо в останній нерівності  так, щоб 3 11 0C C   . Отже, для розглядуваної області  4 0C const   така, що 1 2 ( )u W   1 2 0 2 2 4( ) ( )L H u C u    . З огляду на останню оцінку та нерівність (23), оцінка (22) набуває вигляду 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 3 4 2 2 2 ( ) 1 1 0 0 ( ) ( ) s s cT N cT N cT N L H L c c e h h s e C c h h dt e h h dt c c                                2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 (0) (0) ( ) 4 4 N L LL c c c h h h h h h s c c c                1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 ( ) 1 4 1 30 0 0 1 1 ( ) 1 4 4 s s s H L L c c h h c C h h dt dt c h h dt c c t                    . (24) З рівностей (9), (15) маємо 2 22 (0) (0)N L L LL h h h h h h       Nh Z  . Враховуючи останнє співвідношення, з нерівності (24) та позначень (16), отримуємо 1 22 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) N N N L LL L H L L L h h h h h h C h h                   1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) H L L L L L h h h h h h t              . Твердження теореми випливає з останньої нерівності і відомих оцінок інтерполяції многочленами МСЕ [6]. Теорема доведена. ПОБУДОВА НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ОСЕСИМЕТРИЧНОЇ ЗАДАЧІ … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 47 Задачу (14), (15) з урахуванням (11) – (13) можна записати в матричному вигляді: ( ) ( ( )) ( ) ( ) (0, ]M t A t t F t t T       , (25) 0(0)M H  , 0t  , (26) де 1 2 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))TNt t t t     , 1( ) ( )i it t   , 2( ) ( )i N it t   , 1,i N , 1 2 0 0 T M M c M         , 1 2 0 0 M M M          , 1 2 0 0 A A A          , 1 2 ( ) ( ) ( ) F t F t F t          , 1 0 0 2 0 H H H         , елементи матриць   , 1 N s s ij i j M m   ,   , 1 N s s ij i j A a   та векторів   1 ( ) ( ) N s s i i F t F t   ,  0 0 1 N s s i i H H   , 1,2,s  обчислюються за формулами: ( , ) ( , )s ij i jm r r z r z d      , 1 1 2 1 1 ( , ) N N j ji i ij i i i i i i a r k drdz r r z z                    , 2 2 1 2 1 ( , ) ( , ) N j j ji i ij w i i i i j i a r c drdz r r z r z d r r z z z                                     , 1( ) 0iF t  , 2 2 2( ) ( , )i cp iF t r T r z d      , 1 0 0 ( , ) ( , )i iH W r z r z d     , 2 0 0 ( , ) ( , )i iH T r z r z d     , , 1,i j N . Для оцінки дискретного за часом наближеного узагальненого розв’язку використаємо схему Кранка – Ніколсона [6]. Нехай T J  для деякого цілого 1J  . Будемо шукати послідовність 0{ ( , )}j J N j tH r z Z  , ( , ) ( , , )jH r z H r z j  таку, щоб jH апроксимувало N Nh Z оптимально в 1 2 ( )W  . Введемо позначення 11 ( )j j jP P P     , 1/ 2 11 ( ), 0, 1 2 j j jP P P j J     . Схема Кранка – Ніколсона для задачі Коші (25), (26) може бути записана у вигляді      1/ 2 1/ 2 1/ 2, ; , ,j j j jm H V A H H V F V      , 0, 1j J  , 0 NV Z  , (27)    0 0, ,H V h V 0 NV Z  , (28) де 2 11 1 ( , ) ( , ) N jj i i i H r z r z      , 0, 1j J  . У матричній формі (27), (28) перепишемо так:       1 1 1 11 1 1 2 2 2 j j j j j j j jM A F F                    , 0 1 0M H  , 0, 1j J  . О.О. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО 48 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 Справедлива наступна теорема. Теорема 2. Нехай класичний розв’язок початково-крайової задачі (1) – (6) ( , , )h r z t такий, що для нього виконуються умови теореми 1, а також його частинні похідні 3 3 ih t   , 3 2 ih z t    , 3 2 ih r t    , 1,2i  , обмежені на T  . Тоді існують константи  ,  , 0C  такі, що має місце оцінка 1 2 0 2 2 1 1 22 2 1 2 1 21 2 1 2 2 4 2 2 ( ) 0 0 ( ) J J j jJ J j j k L H L j j h H h H h H C h                  . (29) Доведення. Використовуючи формулу Тейлора, можемо записати ( , ,( 1 2) ) j j h r z j h t          , 1 2( , ,( 1 2) ) j jh r z j h      , 1 2( , ,( 1 2) ) j jF r z j F      , 2( )j O   , 2( )j O   , 2( )j O   , 2( ) j O r     , 2( ) j O z     . (30) Тоді співвідношення (8) при ( 1 2)t j   запишеться наступним чином:      1/ 2 1/ 2 1/ 2, ; , ,j j j j j j j jm h V A h h V F V              , 0, 1j J  , 0 NV Z  . (31) Нехай 1 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 j j j j j jz z V z h H h h h H              , де ( , , )h r z t – довільна функція з NZ . Тоді з рівностей (27), (31) і враховуючи, що 1 2 0( ) jh H Z  , отримуємо    1 2 1/ 2 1/ 2 1 2,( ) ; ,( )j j j j j j j jm z h H A h h h H                  1/ 2 1/ 2 1 2 1 2; ,( ) ,( )j j j j jA H H h H h H        , 0, 1j J  . (32) Розглянемо вираз      1 2 1/ 2 1/ 2 1 2 1 2, ; , , ( )j j j j j j jm z z A H z z m z h h               1/ 2 1/ 2 1 2 1 2; ,( ) ,( )j j j j j jA H z h h m z h H                 1/ 2 1/ 2 1 2 1/ 2 1/ 2 1 2 1 2; ,( ) ; ,( ) ,( )j j j j j j j j j jA h h h H A H H h H m h H                     1/ 2 1/ 2 1 2 1/ 2 1/ 2 1 2; ,( ) ; ,( )j j j j j j j jA h h h H A H h h H             , 0, 1j J  . Беручи до уваги (32) та (10), з останньої рівності маємо      1 2 1/ 2 1/ 2 1 2 1/ 2 1 2 2, ; , ,j j j j j j jm z z a H z z b z z               1 2 1/ 2 1/ 2 1 2 1/ 2 1/ 2 1 2 1,( ) ; , ; ,( )j j j j j j j jm z h h b H z z A H z h h                 1/ 2 1/ 2 1 2 1/ 2 1/ 2 1 2; ,( ) ; ,( )j j j j j j j j jA H h h H A h h h H                     1/ 2 1 2 1 2 1 2; ,( ) ,( ) ,( )j j j j j j jA H h H m h H h H            , 0, 1j J  . (33) ПОБУДОВА НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ОСЕСИМЕТРИЧНОЇ ЗАДАЧІ … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 49 Оцінимо доданки в (33), враховуючи  -нерівність, нерівність трикутника, співвідношення (7), (10), (16). Отримуємо   2 2 2 2 1 2 11,j j j j L L c m z z z z            ,   1 0 2 1/ 2 1/ 2 1 2 1 2 2; ,j j j j H a H z z c z    ,   2 2 2 1/ 21/ 2 1 2 2 0 2 ( ) , jj j L b z z r z      ,   1 2 0 2 2 1/ 2 1/ 2 1 2 1/ 2 1/ 2 1 3 1 1 1 ; , 4 j j j j j L H b H z z c z z            ,   1 1 0 0 2 2 1/ 2 1/ 2 1 2 1/ 2 1 2 4 2 2 1 ; ,( ) ( ) 4 j j j j j H H A H z h h c z h h                   12 2 2 0 2 2 2 222 1/ 2 1/ 21/ 21/ 2 3 3 1 4 2 22 ( ) ( )3 4 1 1 4 4 j jjj L LH L c z h h r z h h                           ,       2 21 2 1 2 1 2 5 6,( ) ,( ) , ( )j j j j j j j L m h H m h h m z               2 2 2 2 1/ 2 1/ 2 5 6 1 1 ( ) 4 4 j j L L h h z      ,   2 2 2 2 221 2 1/ 2 1/ 2 7 8 7 8 1 1 ,( ) ( ) ( ) 4 4 j j j j j L L L h H h h z              ,    1/ 2 1/ 2 1 2 1/ 2 1/ 2 1 2; ,( ) ; ,( )j j j j j j j j jA H h h H A h h h H                 1 2 0 1/ 2 1 2 1/ 2 1/ 2 5; ,( ) ( )j j j j j j L H A H h H c z h H           11 1 02 0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 6 4( ) ( )j j j j j HL H H c z h H c h H          1 1 2 2 20 2 2 2 0 2 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( )j j j j j j L LH L L H c h H r h H c z z                  11 2 0 2 22 2 0 2 2 2 2 2 2 2 21/ 2 1/ 2 1/ 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )j j j j j j L H LL H L z h h h h                   , 0, 1j J  , (34) де 1( , , , )i jc c c r   , ic , 1,6i  , визначаються (20), 0j const   , 1,2,...j  , з  -нерівностей. З урахуванням оцінок (34), з рівності (33) отримаємо нерівність, яку перепишемо у вигляді 1 2 2 0 2 2 22 2 2 1/ 21 1 2 1 2 2 ( ) 1 jj j j L L H L z z z z                11 2 00 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1/ 2 1/ 2 ( ) ( ) ( ) ( )j j j j j L HH L L h h h h h h                  2 2 2 2 2 2 12 22 2 2 1 1 2 ( ) 1 1 ,( ) j j j j j j j j L L L L L z z z z m h h c                      , 0, 1j J  , (35) де 1 , 2 додатні за рахунок підібраних відповідним чином констант в  -нерівностях. Аналогічно [6] нерівність (35) для кожного 0, 1j J  домножимо на відповідну функцію 1(1 ) ( )jg   , де 1 ( ) 1 g       – обмежена зверху і знизу деякими меншими за одиницю додатними числами; О.О. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО 50 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 просумуємо ліву і праву частини нерівностей по j та в результаті, врахувавши (30), встановимо справедливість нерівності 1 2 0 2 2 1 1 22 2 1/ 21 2 2 ( ) 0 0 J J jJ j L H L j j z z z             1 0 2 2 1/ 2 1/ 21 12 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) j jJ J j H j j L h h h h C h h                     2 2 2 2 2 12 2 2 2 0 1 2 1 2 1/ 2 4 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J J j L L L L j h h h h h h h h O                     . (36) Оцінка (29) отримується з (36) з урахуванням наступних перетворень:     1/ 2 1/ 2 2 3( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 j j j j jh h h h h h h h h h O                          2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 j j j j h h h h h h h h O O t                       та оцінок інтерполяції многочленами МСЕ [6]. Теорему доведено. Висновки. Запропоновано алгоритм побудови наближеного узагальненого розв'язку осесиме- тричної початково-крайової задачі для системи рівнянь волого- та теплопереносу, що моделює нестаціонарні неізотермічні процеси у вологих ґрунтах. Отримано оцінки швидкості збіжності неперервного за часом та дискретного наближених розв'язків, побудованих на базі методу скінчен- них елементів. Список літератури 1. Павлов А.Р., Пермяков П.П. Математическая модель и алгоритмы расчета на ЭВМ тепло- и массопереноса при промерзании грунта. Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 44, № 2. С. 311–316. 2. Марченко О.А., Лежнина Н.А. Приближенное решение методом конечных элементов задачи влаготепло- переноса в промерзающих грунтах. Компьютерная математика. 2002. № 1. С. 24–33. 3. Марченко О.А., Самойленко Т.А. Исследование приближенного решения квазилинейной параболо-гипер- болической задачи. Кибернетика и системный анализ. 2012. T. 48, № 5. С. 142–154. 4. Kislitsyn A.A., Shastunova U.Yu., Yanbikova Yu.F. Experimental study and a mathematical model of the processes in frozen soil under a reservoir with a hot heat-transfer agent. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2018. 91(2). Р. 507–514. 5. Богаенко В.А., Марченко О.А., Самойленко Т.А. Анализ численного моделирования неизотермических про- цессов в грунтовом массиве. Компьютерная математика. 2016. № 2. С. 3–11. 6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Математические модели и методы расчета задач с разрывными решениями. Киев: Наукова думка, 1995. 262 с. 7. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с. Одержано 27.02.2020 ПОБУДОВА НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ОСЕСИМЕТРИЧНОЇ ЗАДАЧІ … ISSN 2707-4501. Cybernetics and Computer Technologies. 2020, No.1 51 Марченко Ольга Олексіївна, кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, Самойленко Тетяна Анатоліївна, кандидат фізико-математичних наук, науковий співробітник Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ. tsamoil@i.ua УДК 517.9:519.6 О.А. Марченко, Т.А. Самойленко ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ВЛАГОПЕРЕНОСА Институт кибернетики имени В.М. Глушкова, Киев, Украина Переписка: tsamoil@i.ua Введение. Расчет динамики неизотермических процессов влагопереноса в осесимметричной по- становке является важным при исследовании состояния влажных грунтов вокруг, например, вертикаль- ных дрен, скважин, свай и т. д. В работе сформулирована начально-краевая задача для системы неста- ционарных уравнений влаго- и теплопереноса для изотропной среды в цилиндрической системе коор- динат с неоднородными смешанными краевыми условиями. Полученные результаты являются важными и для будущего исследования в цилиндрических координатах задач, которые моделируют миграцию влаги в процессе сезонного промерзания грунта с учетом фазовых переходов от незамерзшей воды ко льду во всем объеме грунтового массива без выделения фронта кристаллизации. Влагообменные и теплообменные характеристики при этом являются функциями суммарной влажности, а уравнение влагопереноса записывается относительно некоторого «фиктивного» содержания влаги. Учитывая направления миграции влаги относительно фронта промерзания/таяния существенным считаем конвек- тивный теплоперенос относительно вертикальной оси координат, что позволяет достигать достаточного совпадения с экспериментальными данными. Цель работы. Для поставленной осесимметричной начально-краевой задачи сформулировать со- ответствующую обобщенную задачу в форме Галеркина и исследовать точность построенных методом конечных элементов непрерывного по времени и полностью дискретного приближенных обобщенных решений. Результаты. Предложен алгоритм построения приближенного обобщенного решения осесиммет- ричной начально-краевой задачи для системы уравнений влаго- и теплопереноса, которая моделирует нестационарные неизотермические процессы во влажных грунтах. Получены оценки скорости сходимо- сти непрерывного по времени и дискретного приближенных решений, построенных методом конечных элементов. Ключевые слова: влагоперенос, теплоперенос, осесимметрическая начально-краевая задача, обобщенное решение, метод конечных элементов (МКЭ), схема Кранка – Николсона. mailto:tsamoil@i.ua mailto:tsamoil@i.ua О.О. МАРЧЕНКО, Т.А. САМОЙЛЕНКО 52 ISSN 2707-4501. Кібернетика та комп'ютерні технології. 2020, № 1 UDC 517.9:519.6 O. Marchenko, T. Samoilenko CONSTRUCTING THE APPROXIMATE SOLUTION OF AXISYMMETRIC PROBLEM ON THE DYNAMICS OF ANISOTHERMAL MOISTURE TRANSFER V.M. Glushkov Institute of Cybernetics, Kyiv, Ukraine Correspondence: tsamoil@i.ua Introduction. Calculation of dynamics of the anisothermal moisture transfer processes in axisymmetric formulation is essential in the study of wet soils condition around, for example, vertical drains, wells, piles, etc. In this paper, we formulate the initial boundary value problem for the system of moisture and heat transfer non- stationary equations. The problem is considered for isotropic medium in cylindrical coordinate system under the inhomogeneous mixed boundary conditions. The obtained results are important for future research in cylin- drical coordinates of problems that model the migration of moisture during the seasonal freezing of the soil, taking into account phase transitions from unfrozen water to ice in the entire volume of the soil mass without highlighting the crystallization front. In this case moisture exchange and heat transfer characteristics appear as functions of the total humidity. Consequently, the equation of moisture transfer is written relative to the "ficti- tious" moisture content. Because of the main direction of moisture migration relative to the freezing/melting front, the convective heat transfer along the vertical coordinate axis is considered to be essential that leads to sufficient coincidence with the experimental data. The purpose of the paper is to formulate the appropriate generalized problem in the Galorkin form for the axisymmetric initial-boundary value problem. The important goal is to investigate the accuracy of the con- tinuous in time and completely discrete approximate generalized solutions based on the finite elements method. Results. The algorithm for constructing of approximate generalized solution of the axisymmetric initial- boundary value problem for the system of filtration and heat transfer equations is proposed. The estimates of the convergence rate for the continuous in time and discrete approximate solutions based on the finite elements method are obtained. Keywords: moisture transfer, heat transfer, axisymmetric initial boundary value problem, generalized so- lution, finite elements method, Crank – Nicolson scheme. mailto:tsamoil@i.ua

Побудова наближеного розв’язку осесиметричної задачі динаміки неізотермічного вологопереносу

Institution

Ähnliche Einträge