Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем
В статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения решений нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи. При этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру–Пенроузу....
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Назва видання: | Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169127 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем / О.В. Несмелова // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 78-91. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169127 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1691272020-06-07T01:26:17Z Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем Несмелова, О.В. В статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения решений нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи. При этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру–Пенроузу. У статтi запропоновано оригiнальнi умови розв’язностi, а також схема знаходження розв’язкiв нелiнiйної нетерової диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. При цьому iстотно використано технiку псевдообернення матриць по Муру–Пенроузу. The article proposes original solvability conditions and the scheme for finding solutions of the nonlinear Noetherian differential-algebraic boundary value problem. And we use the matrix pseudo-inversion technique of Moore–Penrose. 2018 Article Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем / О.В. Несмелова // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 78-91. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1683-4720 DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-9 MSC: 34B15 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169127 517.9 ru Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения решений нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи. При этом существенно использована техника псевдообращения матриц по Муру–Пенроузу. |
| format |
Article |
| author |
Несмелова, О.В. |
| spellingShingle |
Несмелова, О.В. Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| author_facet |
Несмелова, О.В. |
| author_sort |
Несмелова, О.В. |
| title |
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем |
| title_short |
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем |
| title_full |
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем |
| title_fullStr |
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем |
| title_full_unstemmed |
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем |
| title_sort |
нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169127 |
| citation_txt |
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем / О.В. Несмелова // Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України. — Слов’янськ: ІПММ НАН України, 2018. — Т. 32. — С. 78-91. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Праці Інституту прикладної математики і механіки НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT nesmelovaov nelinejnyekraevyezadačidlânevyroždennyhdifferencialʹnoalgebraičeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-15T03:51:06Z |
| last_indexed |
2025-07-15T03:51:06Z |
| _version_ |
1837683406705524736 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Працi IПММ НАН України. 2018. Том 32
УДК 517.9
DOI: 10.37069/1683-4720-2018-32-9
c⃝2018. О.В. Несмелова
НЕЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕВЫРОЖДЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения решений
нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи. При этом существен-
но использована техника псевдообращения матриц по Муру–Пенроузу. Поставленная в статье
задача продолжает исследование условий разрешимости, а также схем нахождения решений
нелинейных нетеровых краевых задач, приведенных в монографиях А. Пуанкаре, А.М. Ляпу-
нова, И.Г. Малкина, Дж. Хейла, Ю.А. Рябова, А.М. Самойленко, Н.В. Азбелева, В.П. Макси-
мова, Л.Ф. Рахматуллиной и А.А. Бойчука. Исследован общий случай, когда линейный ограни-
ченный оператор, соответствующий однородной части линейной нетеровой дифференциально-
алгебраической краевой задачи, не имеет обратного. Найдены достаточные условия приводимо-
сти дифференциально-алгебраического уравнения к системе, объединяющей дифференциальное
и алгебраическое уравнение. Таким образом, дифференциально-алгебраическая краевая задача
приводится к нелинейной нетеровой краевой задаче для системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Изучен случай наличия простых корней уравнения для порождающих амплитуд.
Для нахождения решений поставленной задачи в критическом случае получены конструктивные
необходимые и достаточные условия существования, а также построена сходящаяся итераци-
онная схема. Предложенные условия разрешимости, а также схема нахождения решений нели-
нейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи подробно проиллюстриро-
ваны на примере нелинейной нетеровой дифференциально-алгебраической краевой задачи для
уравнения типа Дюффинга. Для контроля скорости сходимости итерационной схемы к точно-
му решению дифференциально-алгебраической краевой задачи для уравнения типа Дюффинга
использованы невязки полученных приближений в уравнении типа Дюффинга в пространстве
непрерывных функций.
MSC: 34B15.
Ключевые слова: нелинейная нетерова дифференциально-алгебраическая краевая задача, кри-
тический случай, уравнение типа Дюффинга.
1. Линейные краевые задачи для невырожденных дифференциаль-
но-алгебраических систем.
Исследуем задачу о построении решений
z(t) ∈ C1[a, b]
линейной дифференциально-алгебраической краевой задачи
A(t)z′(t) = B(t)z(t) + f(t), ℓz(·) = α, α ∈ Rk; (1)
здесь
A(t), B(t) ∈ Cm×n[a, b] := C[a, b]⊗ Rm×n
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Украины
(номер государственной регистрации 0118U003390).
78
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем
— непрерывные матрицы, f(t) ∈ C[a, b] — непрерывный вектор-столбец; ℓz(·) —
линейный ограниченный функционал:
ℓz(·) : C[a, b] → Rk.
Матрицу A(t) предполагаем, вообще говоря, прямоугольной: m ̸= n, либо квад-
ратной, но вырожденной. Исследованию дифференциально-алгебраических урав-
нений при помощи центральной канонической формы и совершенных пар и тро-
ек матриц посвящены монографии [1–6]. В статьях [7, 8] предложена серия до-
статочных условий разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора
Грина задачи Коши для линейной дифференциально-алгебраической системы (1)
без использования центральной канонической формы и совершенных пар и троек
матриц. Существенным отличием дифференциально-алгебраической системы (1)
является бесконечномерность пространства ее решений [4], [9, c. 959]. В статье [10]
предложены условия разрешимости, а также конструкции обобщенного оператора
Грина краевой задачи линейной дифференциально-алгебраической системы (1).
При условии [7,8, 10]
PA∗(t) = 0, A+(t)B(t) ∈ Cn×n[a; b], A+(t)f(t) ∈ C[a; b] (2)
система (1) разрешима относительно производной
z′ = A+(t)B(t)z + F0(t, ν0(t)); (3)
здесь
rank A(t) := σ0 = m ≤ n.
Кроме того
F0(t, ν0(t)) := A+(t)f(t) + PAρ0 (t)ν0(t),
A+(t) — псевдообратная (по Муру – Пенроузу), PA∗(t) — ортопроектор [14]:
PA∗(t) : Rm → N(A∗(t)),
PAρ0 (t) — (n × ρ0)− матрица, составленная из ρ0 линейно-независимых столбцов
(n× n)− матрицы-ортопроектора
PA(t) : Rn → N(A(t)).
Обозначим X0(t) нормальную фундаментальную матрицу
X ′
0(t) = A+(t)B(t)X0(t), X0(a) = In
системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3). Заметим, что нормаль-
ная фундаментальная матрица X0(t) невырождена. При условии (2) система (3),
а следовательно и система (1), имеет решение вида
z(t, c) = X0(t)c+X0(t)
∫ t
a
X−1
0 (s)F0(s, ν0(s)) ds, c ∈ Rn.
79
О.В. Несмелова
По аналогии с классификацией импульсных краевых задач [10–12] случай (2) бу-
дем называть невырожденным. Подставляя общее решение
z(t, c) = X0(t)c+K
[
f(s), ν0(s)
]
(t), c ∈ Rn
задачи Коши z(a) = c для дифференциально-алгебраического уравнения (1) в
краевое условие (1), приходим к линейному алгебраическому уравнению
Qc = α− ℓK
[
f(s), ν0(s)
]
(·). (4)
Уравнение (4) разрешимо тогда и только тогда, когда
PQ∗
d
{
α− ℓK
[
f(s), ν0(s)
]
(·)
}
= 0. (5)
Здесь PQ∗ — ортопроектор: Rk → N(Q∗); матрица PQ∗
d
составлена из d линейно
независимых строк ортопроектора PQ∗ , кроме того Q := ℓX0(·) ∈ Rk×n. При усло-
вии (5) и только при нем общее решение уравнения (4)
c = Q+
{
α− ℓK
[
f(s), ν0(s)
]
(·)
}
+ PQr cr, cr ∈ Rr
определяет общее решение краевой задачи (1)
z(t, cr) = Xr(t)cr +X0(t)Q
+
{
α− ℓK
[
f(s), ν0(s)
]
(·)
}
+K
[
f(s), ν0(s)
]
(t).
Здесь PQ — матрица-ортопроектор: Rn → N(Q); матрица PQr ∈ Rn×r составлена
из r линейно независимых столбцов ортопроектора PQ. Таким образом, доказана
следующая лемма.
Лемма. При условии (2) система (1) имеет решение вида
z(t, c) = X0(t)c+K
[
f(s), ν0(s)
]
(t), c ∈ Rn
При условии (5) и только при нем для фиксированной непрерывной вектор-функции
ν0(t) ∈ C[a, b] общее решение дифференциально-алгебраической краевой задачи (1)
z(t, cr) = Xr(t)cr +G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t), cr ∈ Rr
определяет обобщенный оператор Грина дифференциально-алгебраической краевой
задачи (1)
G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t) := X0(t)Q
+
{
α− ℓK
[
f(s), ν0(s)
]
(·)
}
+K
[
f(s), ν0(s)
]
(t).
80
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем
2. Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциаль-
но-алгебраических систем.
Исследуем задачу о построении решений
z(t, ε) : z(·, ε) ∈ C1[a, b], z(t, ·) ∈ C1[0, ε0]
нелинейной дифференциально-алгебраической краевой задачи
A(t)z′(t, ε) = B(t)z(t, ε) + f(t) + εZ(z, t, ε), (6)
ℓz(·, ε) = α. (7)
Решения нетеровой (n ̸= k) краевой задачи (6), (7) ищем в малой окрестности
решения z0(t) ∈ C1[a, b] порождающей задачи
A(t)z′0(t) = B(t)z0(t) + f(t), ℓz0(·) = α. (8)
Здесь
A(t), B(t) ∈ Cm×n[a, b]
— непрерывные матрицы, f(t) ∈ C[a, b] — непрерывный вектор; Z(z, t, ε) — нели-
нейная функция, непрерывно дифференцируемая по неизвестной z(t) в малой
окрестности решения порождающей задачи, непрерывная по t ∈ [a, b] и непре-
рывная по малому параметру; ℓz(·, ε) — линейный векторный функционал:
ℓz(·, ε) : C[a, b] → Rk.
Нелинейная дифференциально-алгебраическая краевая задача (6) обобщает мно-
гочисленные постановки нелинейных нетеровых краевых задач [13,14]. Предполо-
жим, что порождающая краевая задача (8) невырождена, при этом система (6)
разрешима относительно производной
z′ = A+(t)B(t)z + F0(t, ν0(t)) + εA+(t)Z(z, t, ε). (9)
Общее решение порождающей дифференциально-алгебраической краевой задачи
(8) для фиксированной непрерывной вектор-функции ν0(t) ∈ C[a, b] имеет вид
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t), cr ∈ Rr.
Решения краевой задачи (7), (9) ищем в малой окрестности решения порождающей
задачи:
z(t, ε) = z0(t, cr) + x(t, ε).
Фиксируя одну из констант cr ∈ Rr, для нахождения вектора
x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C1[a, b], x(t, ·) ∈ C1[0, ε0], x(t, 0) ≡ 0
81
О.В. Несмелова
аналогично [14], приходим к задаче
x′ = A+(t)B(t)x+ εA+(t)Z(z0 + x, t, ε), ℓx(·, ε) = 0. (10)
3. Критический случай.
Предположим, что для дифференциально-алгебраической краевой задачи (6),
(7) имеет место критический случай (PQ∗ ̸= 0). Предположим также, что диф-
ференциально-алгебраическое уравнение (8) невырождено. При этом порождаю-
щая задача (8) разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие (5) и для
фиксированной непрерывной вектор-функции ν0(t) ∈ C[a, b] имеет r− линейно-
независимых решений
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t), cr ∈ Rr.
В критическом случае в малой окрестности решения порождающей задачи краевая
задача (7), (9) разрешима тогда и только тогда, когда
PQ∗
d
ℓK
[
Z(z(s, ε), s, ε), ν0(s)
]
(·) = 0 (11)
и для фиксированной непрерывной вектор-функции ν0(t) ∈ C[a, b] имеет r− линейно-
независимых решений
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t), cr ∈ Rr.
Предположим также, что нелинейная дифференциально-алгебраическая краевая
задача (6), (7) имеет решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) =
z0(t, c
∗
r). При дополнительном условии
A+(·)Z(z, ·, ε) ∈ C[a; b], A+(t)Z(·, t, ε) ∈ C[||z − z0|| < q] (12)
для существования решений нелинейной дифференциально-алгебраической крае-
вой задачи (6), (7) необходимо выполняется условие
F (c∗r) := PQ∗
d
ℓK
[
Z(z0(s, c
∗
r), s, 0), ν0(s)
]
(·) = 0. (13)
Фиксируя одно из решений c∗r ∈ Rr уравнения (13), решение
z(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + x(t, ε)
дифференциально-алгебраической краевой задачи (6), (7) ищем в окрестности по-
рождающего решения
z0(t, c
∗
r) = Xr(t)c
∗
r +G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t).
82
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем
Таким образом, аналогично [14], приходим к задаче
x′(t, ε) = A+(t)B(t)x(t, ε) + εA+(t)Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε), (14)
ℓx(·, ε) = 0. (15)
Решения дифференциально-алгебраической краевой задачи (14), (15) при этом
определяет операторная система [14,15]
z(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), x(t, ε) = Xr(t)c(ε) + x(1)(t, ε),
x(1)(t, ε) = G
[
A+(s)Z(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε); ν0(s); ε
]
(t).
Используя непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции
Z(z0(t, c
∗
r)+x(t, ε), t, ε) в окрестности порождающего решения, разлагаем эту функ-
цию в окрестности точек x = 0 и ε = 0 :
Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) = Z(z0(t, c
∗
r), t, 0)+
+A1(t)x(t, ε) +R(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε), (16)
где A1(t) = Z ′
z(z0(t, c
∗
r), t, 0). Остаток R(z0(t, c∗r)+ x(t, ε), t, ε) разложения функции
Z(z0(t, c
∗
r) + x(t, ε), t, ε) при условии Z ′
ε(z0(t, c
∗
r), t, 0) ≡ 0 более высокого порядка
малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0, чем первые два члена
разложения, поэтому
R(z, t, ε)
∣∣∣∣∣∣∣∣ z = z0(t, c
∗
r),
ε = 0
≡ 0,
∂R(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣ z = z0(t, c
∗
r),
ε = 0
≡ 0.
При условии PB∗
0
= 0 по меньшей мере одно решение краевой задачи (14), (15)
определяет операторная система
x(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x(1)(t, ε),
B0 cr(ε) = PQ∗
d
ℓK
[
A1(s)x
(1)(s, ε) +R(z(s, ε), s, ε)
]
(·),
x(1)(t, ε) = εG
[
Z(z0(s, c
∗
r) + x(s, ε), s, ε); ν0(s);α
]
(t),
эквивалентная задаче о построении решения системы уравнений (14), удовлетво-
ряющих краевому условию (15); здесь
B0 = PQ∗
d
ℓK
[
A1(s)Xr(s), ν0(s)
]
(·)
83
О.В. Несмелова
— постоянная (d × r) – матрица. Для построения решений этой операторной си-
стемы применим [14,15] метод простых итераций; таким образом получаем итера-
ционную схему
xk+1(t, ε) = Xr(t)crk+1
(ε) + x
(1)
k+1(t, ε),
crk+1
(ε) = B−1
0 PQ∗
d
ℓK
[
A1(s)c
(1)
rk+1
(s, ε)+ (17)
+R(z0(s, c
∗
r) + xrk+1
(s, ε), s, ε)
]
(·), k = 0, 1, 2, ... ,
x
(1)
k+1(t, ε) = εG
[
Z(z0(s, c
∗
r) + xk(s, ε), s, ε); ν0(s);α
]
(t).
Достаточные условие существования решения нелинейной дифференциально-алге-
браической краевой задачи (6), (7) в критическом случае определяет следующая
теорема.
Теорема. Предположим, что дифференциально-алгебраическое уравнение (8)
невырождено. В критическом случае (PQ∗ ̸= 0) порождающая задача (8) разре-
шима тогда и только тогда, когда выполнено условие (5) и для фиксированной
непрерывной вектор-функции ν0(t) ∈ C[a, b] имеет r− линейно-независимых ре-
шений
z0(t, cr) = Xr(t)cr +G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t), cr ∈ Rr.
При условии PB∗
0
= 0 для каждого корня c∗r ∈ Rr уравнения (13) для порождаю-
щих амплитуд при условии PB∗
0
= 0 и дополнительном условии (12) нелинейная
дифференциально-алгебраическая краевая задача (6), (7) имеет по меньшей мере
одно решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c
∗
r). Для
построения решений
z(t, ε) = z0(t, c
∗
r) + x(t, ε)
нелинейной дифференциально-алгебраической краевой задачи (6), (7) применима
сходящаяся при ε ∈ [0, ε∗] итерационная схема (17).
Доказанная теорема обобщает соответствующие утверждения [14] на случай
нелинейной невырожденной дифференциально-алгебраической краевой задачи (6),
(7) в критическом случае.
Пример. Требованиям доказанной теоремы удовлетворяет нелинейная диф-
ференциально-алгебраическая краевая задача для уравнения типа Дюффинга
A(t) z′(t, ε) = B(t)z(t, ε) + f(t) + εZ(z, ε), ℓz(·, ε) = 0, (18)
где
A(t) :=
(
1 0 0
0 1 0
)
, B(t) :=
(
0 1 0
−1 0 1
)
,
84
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем
кроме того
f(t) :=
(
0
cos 3t
)
, ℓz(·, ε) := Υ (z(0, ε)− z(2π, ε)).
z(t, ε) :=
za(t, ε)
zb(t, ε)
zc(t, ε)
, Υ :=
(
1 0 0
0 1 0
)
, Z(z(t, ε), t, ε) :=
(
0
z3a(t, ε)
)
.
Поскольку условие (2) выполнено, постольку система (18) невырождена и име-
ет решение вида
z(t, c) = X0(t)c+K
[
f(s), ν0(s)
]
(t), c ∈ R3,
где
X0(t) =
cos t sin t 1− cos t
− sin t cos t sin t
0 0 1
, K
[
f(s), ν0(s)
]
(t) =
1
8
cos t− cos 3t
sin 3t− sin t
0
.
В данном случае матрица A(t) прямоугольная, при этом
ρ0 = 1 ̸= 0, PA(t) =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
, PAρ0 (t) =
0
0
1
,
поэтому найденное решение зависит от произвольной непрерывной скалярной функ-
ции; в данном случае ν0(t) := 0. Общее решение однородной части для порожда-
ющей задачи (18) определяет матрица
Q = 0, PQ = PQr = I3, PQ∗ = I2.
Таким образом, дифференциально-алгебраическая краевая задача (18) представ-
ляет критический случай, при этом выполнено условие разрешимости (5). Общее
решение неоднородной части для порождающей задачи (18)
z(t, cr) = Xr(t)cr +G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t), cr ∈ R3;
определяет обобщенный оператор Грина
G
[
f(s); ν0(s);α
]
(t) = K
[
f(s), ν0(s)
]
(t) =
1
8
cos t− cos 3t
3 sin 3t− sin t
0
,
а также матрица Xr(t) = X0(t). В случае нелинейной дифференциально-алгебра-
ической краевой задачи (18) уравнение (13) имеет решение
c∗r = −1
8
1
0
0
,
85
О.В. Несмелова
которому соответствует решение порождающей задачи
z(t, c∗r) =
1
8
− cos 3t
3 sin 3t
0
,
а также матрица полного ранга
B0 =
3π
128
(
0 1 0
−1 0 1
)
.
Поскольку выполнено условие PB∗
0
= 0, постольку по меньшей мере одно реше-
ние нелинейной дифференциально-алгебраической краевой задачи (18) определяет
итерационная схема (17). Таким образом, находим
z1(t, ε) =
z1a(t, ε)
z1b(t, ε)
z1c(t, ε)
,
где
z1a(t, ε) =
ε
327 680
(
31ε− 124 ε cos t− 40 960 cos 3t+ 60 ε cos 3t+ 2 ε cos 9t
)
,
x1b(t, ε) =
2 ε
327 680
(
62 ε sin t+ 61 440 sin 3t− 90 ε sin 3t− 9 ε sin 9t
)
.
x1c(t, ε) =
31 ε
327 680
.
Аналогично находим
z2(t, ε) =
z2a(t, ε)
z2b(t, ε)
z2c(t, ε)
,
где
z2a(t, ε) =
31 ε
327 680
+
37 059 ε2
18 790 481 920
− 2 343 800 971 ε3
275 152 784 850 944 000
+
+
1 150 416 221 963 ε4
36 402 933 558 007 771 955 200
−31 ε cos t
81 920
− 129 ε2 cos t
117 440 512
+
755 013 771 ε3 cos t
68 788 196 212 736 000
−
− 3 054 692 099 539 ε4 cos t
91 007 333 895 019 429 888 000
− 961 ε3 cos 2t
214 748 364 800
− 961 ε4 cos 2t
4 398 046 511 104 000
−
−cos 3t
8
+
3 ε cos 3t
16 384
− 273 ε2 cos 3t
335 544 320
+
34 233 ε3 cos 3t
6 871 947 673 600
− 311 981 ε4 cos 3t
70 368 744 177 664 000
−
− 961 ε3 cos 4t
1 073 741 824 000
+
2 883 ε4 cos 4t
2 199 023 255 552 000
+
31 ε2 cos 5t
167 772 160
− 279 ε4 cos 5t
703 687 441 776 640
−
− 93 ε4 cos 6t
1 468 006 400
+
2 883 ε4 cos 6t
15 032 385 536 000
− 279 ε4 cos 6t
1 924 145 348 608 000
+
31 ε2 cos 7t
335 544 320
−
86
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем
− 961 ε3 cos 7t
3 435 973 836 800
+
13 919 ε4 cos 7t
70 368 744 177 664 000
+
961 ε4 cos 8t
92 358 976 733 184 000
+
cos 9t
163 840
−
− 3 ε2 cos 9t
104 857 600
+
153 ε3 cos 9t
3 435 973 836 800
− 1 167 ε4 cos 9t
28 147 497 671 065 600
+
961 ε4 cos 10t
145 135 534 866 432 000
−
+− 31 ε3 cos 11t
8 589 934 592 000
− 31 ε4 cos 11t
175 921 860 444 160 000
+
93 ε3 cos 12t
61 418 032 332 800
−
− 279 ε4 cos 12t
125 784 130 217 574 400
− 31 ε3 cos 13t
12 025 908 428 800
+
93 ε2 cos 13t
24 629 060 462 182 400
−
− 3 ε3 cos 15t
9 395 240 960
+
183 ε4 cos 15t
192 414 534 860 800
− 279 ε4 cos 15t
394 064 967 394 918 400
+
+
31 ε4 cos 17t
844 424 930 131 968 000
− 93 ε4 cos 18t
5 682 276 092 346 368 000
+
31 ε4 cos 19t
1 055 531 162 664 960 000
+
+
3 ε3 cos 21t
377 957 122 048 000
− 9 ε4 cos 21t
774 056 185 954 304 000
− ε4 cos 27t
12 807 111 440 334 848 000
−
−93π ε2 sin t
20 971 520
− 93 ε2t sin t
20 971 520
+
2 697π ε3 sin t
429 496 729 600
+
2 697t ε3 sin t
429 496 729 600
−
− 441 471π ε4 sin t
17 592 186 044 416 000
− 441 471 t ε4 sin t
17 592 186 044 416 000
,
x2b(t, ε) = −93π ε2 cos t
20 971 520
− 93 ε2 cos t
20 971 520
+
2 697π ε3 cos t
429 496 729 600
+
2 697t ε3 cos t
429 496 729 600
−
− 441 471π ε4 cos t
17 592 186 044 416 000
− 441 471 t ε4 cos t
17 592 186 044 416 000
+
31 ε sin t
81 920
− 1 959 ε2 sin t
587 202 560
−
− 323 062 251 ε3 sin t
68 788 196 212 736 000
+
770 888 449 411 ε4 sin t
91 007 333 895 019 429 888 000
+
961 ε3 sin 2t
107 374 182 400
−
− 961 ε4 sin 2t
2 199 023 255 552 000
+
3 sin 3t
8
− 9 ε sin 3t
16 384
+
819 ε2 sin 3t
335 544 320
− 102 699 ε3 sin 3t
6 871 947 673 600
+
+
935 943 ε4 sin 3t
70 368 744 177 664 000
+
961 ε3 sin 4t
268 435 456 000
− 2 883 ε4 sin 4t
549 755 813 888 000
− 31 ε2 sin 5t
33 554 432
+
+
279 ε4 sin 5t
140 737 488 355 328
+
279 ε2 sin 6t
734 003 200
− 8 649 ε3 sin 6t
7 516 192 768 000
+
837 ε4 sin 6t
962 072 674 304 000
−
− 217 ε2 sin 7t
335 544 320
+
6 727 ε3 sin 7t
3 435 973 836 800
− 97 433 ε4 sin 7t
70 368 744 177 664 000
− 961 ε4 sin 8t
11 544 872 091 648 000
−
−9 ε sin 9t
163 840
+
27 ε2 sin 9t
104 857 600
− 1 377 ε3 sin 9t
3 435 973 836 800
+
10503 ε4 sin 9t
28 147 497 671 065 600
−
− 961 ε4 sin 10t
14 513 553 486 643 200
+
341 ε3 sin 11t
8 589 934 592 000
+
341 ε4 sin 11t
175 921 860 444 160 000
−
− 279 ε3 sin 12t
15 354 508 083 200
+
837 ε4 sin 12t
31 446 032 554 393 600
+
403 ε3 sin 13t
12 025 908 428 800
−
87
О.В. Несмелова
− 1 209 ε4 sin 13t
24 629 060 462 182 400
+
9 ε2 sin 15t
1 879 048 192
− 549 ε3 sin 15t
38 482 906 972 160
−
− 837 ε4 sin 15t
78 812 993 478 983 680
− 527 ε4 sin 17t
844 424 930 131 968 000
+
837 ε4 sin 18t
2 841 138 046 173 184 000
−
− 589 ε4 sin 19t
1 055 531 162 664 960 000
− 63 ε3 sin 21t
377 957 122 048 000
+
+
189 ε4 sin 21t
774 056 185 954 304 000
+
27 ε4 sin 27t
12 807 111 440 334 848 000
.
x2c(t, ε) =
31 ε
327 680
− 921 ε2
3 758 096 384
−
− 556 415 371 ε3
275 152 784 850 944 000
+
1 032 284 380 167 ε4
182 014 667 790 038 859 776 000
.
Для оценки точности найденных приближений к решению нелинейной диффе-
ренциально-алгебраической краевой задачи (18) определим невязки ∆k(ε) нулево-
го и первого приближения к решению краевой задачи (18). Положив ε := 0, 1 , k =
0, 1, 2, имеем
∆0(0, 1) ≈ 0, 000 195 312, ∆1(0, 1) ≈ 2, 23 935× 10−7,
∆2(0, 1) ≈ 1, 62 572× 10−9.
Аналогично, имеем
∆0(0, 01) ≈ 0, 0000 195 312, ∆1(0, 01) ≈ 2, 24 013× 10−9,
∆2(0, 01) ≈ 1.62 658× 10−12.
Отметим также, что нулевое и первое приближения к решению краевой задачи (18)
в точности удовлетворяет краевому условию. В то же время, второе приближения
к решению краевой задачи (18) содержит невязку в краевом условии
ℓz2(·, ε) =
93π ε2
10 485 760
− 2 697π ε3
214 748 364 800
+
441 471π ε4
8 796 093 022 208 000
,
вызванную линеаризацией условия разрешимости (11), использованной при на-
хождении вектора cr2(ε). Избежать невязки в краевом условии для второго при-
ближения к решению краевой задачи (18) можно при нахождении вектора cr2(ε)
непосредственно из условия разрешимости (11), в данном случае, нелинейного
уравнения, аналогично [18,19].
Цитированная литература
1. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и
исследования. – Новосибирск: Наука, 1998. – 224 с.
88
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем
2. Самойленко А.М., Шкiль М.I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з
виродженням. – К.: Вища школа, 2000. – 296 c.
3. Campbell S.L. Singular Systems of differential equations. – San Francisco–London–Melbourne:
Pitman Advanced Publishing Program, 1980. – 178 p.
4. Campbell S.L., Petzold L.R. Canonical forms and solvable singular systems of differential equa-
tions // SIAM J. Alg. Descrete Methods. – 1983. – № 4. – P. 517–521.
5. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. – Ново-
сибирск: Наука, 1996. – 280 с.
6. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и
дифференциально-алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999. – 686 с.
7. Чуйко С.М. Линейные нетеровы краевые задачи для дифференциально-алгебраических си-
стем // Комп. исследов. и моделирование. – 2013. – 5, № 5. – С. 769–783.
8. Chuiko S.M. A generalized matrix differential-algebraic equation // Journal of Mathematical
Sciences (N.Y.). – 2015. – 210, № 1. – P. 9–21.
9. Бойчук А.А., Покутный А.А., Чистяков В.Ф. О применении теории возмущений к иссле-
дованию разрешимости дифференциально-алгебраических уравнений // Журнал вычисли-
тельной математики и математической физики. – 2013. – 53, № 6. – С. 958–969.
10. Чуйко С.М. О понижении порядка в дифференциально алгебраической системе // Укр. мат.
вестник. – 2018. – 15, № 1. – C. 1–17.
11. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздей-
ствием. – Киев: Вища шк., 1987. – 287 с.
12. Chuiko S.M. A Generalized Green operator for a boundary value problem with impulse action //
Differential Equations. – 2001. – 37, № 8. – P. 1189–1193.
13. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.:
Наука, 1979. – 432 с.
14. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value
problems (2-th edition). – Berlin; Boston: De Gruyter, 2016. – 298 p.
15. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой за-
дачи // Нелiнiйнi коливання. – 2005. – 8, № 2. – С. 278–288.
16. Chuiko S.M. Generalized Green Operator of Noetherian boundary-value problem for matrix
differential equation // Russian Mathematics. – 2016. – 60, № 8. – P. 64–73.
17. Chuiko S.М., Starkova О.V. About an approximate solution of autonomous boundary-value
problem with a least-squares methods // Nonlinear oscillation. – 2009. – 12, № 4. – P. 556–573.
18. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 744 с.
19. Chuiko S.M. To the generalization of the Newton-Kantorovich theorem // Visnyk of V.N. Karazin
Kharkiv National University. Ser. mathematics, applied mathematics and mechanics. – 2017. –
85, № 1. – P. 62–68.
References
1. Boyarintsev, Yu.E., Chistyakov, V.F. (1998). Algebro-differentsialnyie sistemyi. Metodyi resheniya
i issledovaniya. Novosibirsk: Nauka (in Russian).
2. Samoylenko, A.M., Shkil, M.I., Yakovets, V.P. (2000). Liniyni sistemi diferentsIalnih rivnyan z
virodzhennyam. K.: Vischa shkola (in Ukrainian).
3. Campbell, S.L. (1980). Singular Systems of differential equations. San Francisco-London-Mel-
bourne: Pitman Advanced Publishing Program.
4. Campbell, S.L., Petzold, L.R. (1983). Canonical forms and solvable singular systems of differential
equations. SIAM J. Alg. Descrete Methods, 4, 517-521.
5. Chistyakov, V.F. (1996). Algebro-differentsialnyie operatoryi s konechnomernyim yadrom. Novo-
sibirsk: Nauka (in Russian).
6. Hayrer, E., Vanner, G. (1999). Reshenie obyiknovennyih differentsialnyih uravneniy. Zhestkie i
differentsialno-algebraicheskie zadachi. Moscow: Mir (in Russian).
7. Chuiko, S.M. (2013). Lineynyie neterovyi kraevyie zadachi dlya differentsialno-algebraicheskih
89
О.В. Несмелова
sistem. Komp. issledov. i modelirovanie, 5 (5), 769-783 (in Russian).
8. Chuiko, S.M. (2015). A generalized matrix differential-algebraic equation. Journal of Mathematical
Sciences (N.Y.), 210 (1), 9-21.
9. Boychuk, A.A., Pokutnyiy, A.A., Chistyakov, V.F. (2013). O primenenii teorii vozmuscheniy
k issledovaniyu razreshimosti differentsialno-algebraicheskih uravneniy. Zhurnal vyichislitelnoy
matematiki i matematicheskoy fiziki, 53 (6), 958-969 (in Russian).
10. Chuiko, S.M. (2018). O ponizhenii poryadka v differentsialno algebraicheskoy sisteme. Ukr. mat.
vestnik, 15 (1), 1-17 (in Russian).
11. Samoylenko, A.M., Perestyuk, N.A. (1987). Differentsialnyie uravneniya s impulsnyim vozdey-
stviem. Kiev: Vischa shk. (in Russian).
12. Chuiko, S.M. (2001). A Generalized Green operator for a boundary value problem with impulse
action. Differential Equations, 37 (8), 1189-1193 (in Russian).
13. Grebenikov, E.A., Ryabov, Yu.A. (1979). Konstruktivnyie metodyi analiza nelineynyih system.
Moscow: Nauka (in Russian).
14. Boichuk, A.A., Samoilenko, A.M. (2016). Generalized inverse operators and Fredholm boundary-
value problems (2-th edition). Berlin; Boston: De Gruyter.
15. Chuiko, A.S. (2005). Oblast shodimosti iteratsionnoy protseduryi dlya slabonelineynoy kraevoy
zadachi. Neliniyni kolivannya, 8 (2), 278-288 (in Russian).
16. Chuiko, S.M. (2016). Generalized Green Operator of Noetherian boundary-value problem for
matrix differential equation. Russian Mathematics, 60 (8), 64-73.
17. Chuiko, S.M., Starkova, O.V. (2009). About an approximate solution of autonomous boundary-
value problem with a least-squares methods. Nonlinear oscillation, 12 (4), 556-573.
18. Kantorovich, L.V., Akilov, G.P. (1977). Funktsionalnyiy analiz. Moscow: Nauka (in Russian).
19. Chuiko, S.M. (2017). To the generalization of the Newton-Kantorovich theorem. Visnyk of V.N. Ka-
razin Kharkiv National University. Ser. mathematics, applied mathematics and mechanics, 85 (1),
62-68.
O.V. Nesmelova
Nonlinear boundary value problems for nondegenerate differential-algebraic systems.
The article proposes original solvability conditions and the scheme for finding solutions of the nonlinear
Noetherian differential-algebraic boundary value problem. And we use the matrix pseudo-inversion
technique of Moore–Penrose. The posed problem in the article continues the study of conditions of
solvability and schemes for finding solutions of the nonlinear Noetherian boundary-value problems given
in the monographs by A. Poincare, A.M. Lyapunov, I.G. Malkin, J. Hale, Yu.A. Ryabov, A.M. Samoy-
lenko, N.V. Azbelev, V.P. Maksimov, L.F. Rakhmatullina and A.A. Boychuk. We studied a general
case, when a linear bounded operator corresponding to the homogeneous part of the linear Noetherian
differential-algebraic boundary value problem has no inverse. Sufficient conditions for reducibility of
the differential algebraic equation to the system uniting a differential and algebraic equation are
found. Thus, the differential-algebraic boundary value problem is reduced to the nonlinear Noetherian
boundary value problem for the system of ordinary differential equations. We studied the case of
the presence of simple roots of the equation for generating amplitudes. Constructive necessary and
sufficient conditions of existence were obtained to find solutions to the problem in the critical case,
and the converging iterative scheme was constructed. The proposed solvability conditions, and the
scheme for finding solutions of the nonlinear Noetherian differential-algebraic boundary value problem
are illustrated in detail by the example from the nonlinear Noetherian differential-algebraic boundary
value problem for Duffing type equations. For control of the rate of the iterative scheme convergence to
the exact solution of the differential-algebraic boundary value problem for the Duffing type equation,
90
Нелинейные краевые задачи для невырожденных дифференциально-алгебраических систем
we used the residuals of the obtained approximations in the Duffing type equation in the space of
continuous functions.
Keywords: nonlinear Noetherian differential-algebraic boundary value problem, critical case, Duffing
type equation.
О.В. Нєсмєлова
Нелiнiйнi крайовi задачi для невироджених диференцiально-алгебраїчних систем.
У статтi запропоновано оригiнальнi умови розв’язностi, а також схема знаходження розв’язкiв
нелiнiйної нетерової диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. При цьому iстотно викори-
стано технiку псевдообернення матриць по Муру–Пенроузу. Поставлена в статтi задача продов-
жує дослiдження умов розв’язностi, а також схем знаходження розв’язкiв нелiнiйних нетерових
крайових задач, наведених у монографiях А. Пуанкаре, О.М. Ляпунова, I.Г. Малкiна, Дж. Хейла,
Ю.О. Рябова, А.М. Самойленко, М.В. Азбелева, В.П. Максiмова, Л.Ф. Рахматуллiної та О.А. Бой-
чука. Дослiджено загальний випадок, коли лiнiйний обмежений оператор, який вiдповiдає од-
норiднiй частини лiнiйної нетерової диференцiально-алгебраїчної крайової задачi, не має обер-
неного. Знайдено достатнi умови звiдностi диференцiально-алгебраїчного рiвняння до системи,
яка об’єднує диференцiальне та алгебраїчне рiвняння. Таким чином, диференцiально-алгебраїчна
крайова задача зводиться до нелiнiйної нетерової крайової задачi для системи звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь. Вивчено випадок наявностi простих коренiв рiвняння для породжуючих
амплiтуд. Для знаходження розв’язкiв поставленої задачi в критичному випадку отриманi кон-
структивнi необхiднi i достатнi умови iснування, а також побудована збiжна iтерацiйна схема.
Запропонованi умови розв’язностi, а також схема знаходження розв’язкiв нелiнiйної нетерової
диференцiально-алгебраїчної крайової задачi, детально проiлюстрованi на прикладi нелiнiйної
нетерової диференцiально-алгебраїчної крайової задачi для рiвняння типу Дюффiнга. Дослiдже-
на в статтi нелiнiйна нетерова диференцiально-алгебраїчна крайова задача для рiвняння Дюф-
фiнга не є диференцiальною, на вiдмiну вiд найбiльш вивчених крайових задач для звичайних
диференцiальних рiвнянь, а також традицiйних постановок перiодичних крайових задач для ди-
ференцiальних рiвнянь Дюффiнга, Льєнара i Ван дер Поля. Для контролю швидкостi збiжностi
iтерацiйної схеми до точного розв’язку диференцiально-алгебраїчної крайової задачi для рiвнян-
ня типу Дюффiнга використанi нев’язки отриманих наближень в рiвняннi типу Дюффiнга в
просторi неперервних функцiй.
Ключовi слова: нелiнiйна нетерова диференцiально-алгебраїчна крайова задача, критичний
випадок, рiвняння типу Дюффiнга.
Институт прикладной математики и механики НАН Украины,
Донбасский государственный педагогический университет,
Славянск
star-o@ukr.net
Получено 27.12.18
91
|