Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления

В работе предложен вариант теоремы Анскомбе для принципа больших уклонений траекторий случайного процесса. В качестве следствия получен принцип умеренно больших уклонений для обобщенных процессов восстановления....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
Hauptverfasser:	Логачёв, А.В., Могульский, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2017
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169322
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления / А.В. Логачёв, А.А. Могульский // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 2. — С. 201-219. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-169322
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1693222020-06-11T01:26:31Z Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления Логачёв, А.В. Могульский, А.А. В работе предложен вариант теоремы Анскомбе для принципа больших уклонений траекторий случайного процесса. В качестве следствия получен принцип умеренно больших уклонений для обобщенных процессов восстановления. An Anscombe-type theorem for the large deviations principle for trajectories of a random process is proved. As a consequence, the principle of moderate deviations for the compound renewal process is obtained. 2017 Article Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления / А.В. Логачёв, А.А. Могульский // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 2. — С. 201-219. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 60F10, 60J75, 60K05 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169322 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе предложен вариант теоремы Анскомбе для принципа больших уклонений траекторий случайного процесса. В качестве следствия получен принцип умеренно больших уклонений для обобщенных процессов восстановления.
format	Article
author	Логачёв, А.В. Могульский, А.А.
spellingShingle	Логачёв, А.В. Могульский, А.А. Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления Український математичний вісник
author_facet	Логачёв, А.В. Могульский, А.А.
author_sort	Логачёв, А.В.
title	Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления
title_short	Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления
title_full	Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления
title_fullStr	Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления
title_full_unstemmed	Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления
title_sort	теорема анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169322
citation_txt	Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления / А.В. Логачёв, А.А. Могульский // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 2. — С. 201-219. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT logačëvav teoremaanskombeiumerennobolʹšieukloneniâdlâtraektorijobobŝennogoprocessavosstanovleniâ AT mogulʹskijaa teoremaanskombeiumerennobolʹšieukloneniâdlâtraektorijobobŝennogoprocessavosstanovleniâ
first_indexed	2025-07-15T04:03:49Z
last_indexed	2025-07-15T04:03:49Z
_version_	1837684207212560384
fulltext	Український математичний вiсник Том 14 (2017), № 2, 201 – 219 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления Артём В. Логачёв, Анатолий А. Могульский (Представлена С. Я. Махно) Аннотация. В работе предложен вариант теоремы Анскомбе для принципа больших уклонений траекторий случайного процесса. В качестве следствия получен принцип умеренно больших уклонений для обобщенных процессов восстановления. 2010 MSC. 60F10, 60J75, 60K05. Ключевые слова и фразы. Теорема Анскомбе, принцип больших уклонений, принцип умеренно больших уклонений, обобщенный про- цесс восстановления, условие Крамера, функция уклонений. 1. Введение Теорема Ф. Анскомбе [1], доказанная в 1952 году, является удо- бным инструментом для получения различных предельных теорем (центральной предельной, закона больших чисел, закона повторного логарифма, см. [2–7]), в которых индекс, по которому осуществляе- тся предельный переход, является последовательностью случайных величин. Естественно ожидать, что для принципа больших уклонений (п.б.у.) должен быть результат аналогичный теореме Анскомбе. В ра- зделе 2 данной работы доказана такая теорема. Удобство применения полученной теоремы будет продемонстрировано на примере доказа- тельства принципа умеренно больших уклонений (п.у.б.у.) для тра- екторий обобщенного процесса восстановления в разделе 3. Статья поступила в редакцию 27.04.2017 Работа выполнена при поддержке грантами РФФИ (N 05-01-00810), НШ (N 2139.2003.1) и INTAS (N 02-51-5019) ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 202 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... Обозначим произвольное метрическое пространство (м.п.) как Xρ, BXρ — борелевскую σ-алгебру его подмножеств, B, [B], (B) — соо- тветственно дополнение, замыкание, внутренность множества B. Напомним необходимые нам определения (см., например, [8–15]). Определение 1.1. Семейство случайных процессов sT удовлетворя- ет п.б.у. в м.п. Xρ с функционалом уклонений (ф.у.) I = I(f) : X → [0,∞] и нормирующей функцией (н.ф.) ψ(T ) : lim T→∞ ψ(T ) = ∞, если для любого c ≥ 0 множество {f ∈ X : I(f) ≤ c} является компактом в м.п. Xρ и для любого множества B ∈ BXρ выполнены неравенства lim sup T→∞ 1 ψ(T ) lnP( sT ∈ B ) ≤ −I([B]), lim inf T→∞ 1 ψ(T ) lnP( sT ∈ B ) ≥ −I((B)), где I(B) = inf y∈B I(y) для B ∈ BXρ , I(∅) = ∞. Везде далее фраза “семейство случайных процессов sT удовлетво- ряет (I, ψ(T ),Xρ)-п.б.у.” означает, что семейство случайных процес- сов sT удовлетворяет п.б.у. в м.п. Xρ с ф.у. I = I(f) и н.ф. ψ = ψ(T ). Определение 1.2. Семейство случайных процессов sT будем назы- вать экспоненциально плотным (э.п.) в м.п. Xρ с н.ф. ψ(T ), если для любого N > 0 найдется компакт KN ⊆ X такой, что lim sup T→∞ 1 ψ(T ) lnP( sT ∈ KN ) ≤ −N. Мы будем использовать следующие обозначения: Cd[0, c], d ∈ N — пространство d-мерных непрерывных на отрезке [0, c] функций с рав- номерной метрикой ρ(f, g) = sup t∈[0,c] ∥f(t)− g(t)∥, где ∥ · ∥ — евклидова норма; Dd[0, c] и Dd S [0, c] — пространства d-мерных функций непре- рывных справа и имеющих пределы слева на отрезке [0, c] с равно- мерной метрикой и метрикой Скорохода, соответственно; ACd 0[0, c] — множество d-мерных абсолютно непрерывных на отрезке [0, c] фун- кций, стартующих из нуля. Скалярное произведение в пространстве R2 будем обозначать ⟨·, ·⟩. Настоящая работа написана под впечатлением доклада А. А. Бо- ровкова “Обобщение теоремы Анскомбе на случайные процессы. Схо- димость обобщенных процессов восстановления” (30 марта 2017 г., Институт математики СО РАН). В этом докладе автор предложил А. В. Логачёв, А. А. Могульский 203 вариант теоремы Анскомбе для случайных процессов и в качестве следствия получил принцип инвариантности для обобщенных про- цессов восстановления (более подробно см. Замечание 3.3). Оставшаяся часть настоящей работы состоит из трех разделов. В разделе 2 предложен вариант теоремы Анскомбе о больших уклоне- ниях траекторий случайных процессов; в разделе 3 установлен п.у.б.у. для обобщенных процессов восстановления; раздел 4 посвящен вспо- могательным утверждениям. 2. Основной результат В этом разделе будет получена теорема Анскомбе о больших укло- нениях, что является основным результатом работы. Везде далее будем считать, что все случайные элементы, участву- ющие в формулировках утверждений, заданы на некотором вероятно- стном пространстве (Ω,F,P). Математическое ожидание и дисперсию относительно меры P будем обозначать E и D соответственно. Теорема 2.1. Пусть для фиксированного c > 0 выполнены следую- щие условия: 1) найдется ∆ > 0 такое, что семейство непрерывных случай- ных процессов sT (t), t ≥ 0 является э.п. в м.п. Cd[0, c +∆], d ≥ 1 с н.ф. ψ(T ); 2) стохастически непрерывный случайный процесс ηT (t) ∈ D[0, 1] неотрицателен и для любого δ > 0 lim sup T→∞ 1 ψ(T ) lnP ( sup t∈[0,1] \|ηT (t)− ct\| > δ ) = −∞. Тогда для любого ε > 0 lim sup T→∞ 1 ψ(T ) lnP ( sup t∈[0,1] ∥sT (ct)− sT (ηT (t))∥ > ε ) = −∞. Доказательство. В силу э.п. семейства процессов sT (t) для любого N > 0 найдется компакт KN ⊆ Cd[0, c+∆] такой, что при достаточно больших T P( sT ∈ KN ) ≤ exp {−Nψ(T )} . (2.1) В силу теоремы Асколи–Арцела найдется δ ∈ [0,∆] такое, что для любой функции f ∈ KN выполнено неравенство sup 0≤t,s≤1+∆/c c\|t−s\|≤δ ∥f(ct)− f(cs)∥ < ε 2 . (2.2) 204 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... Обозначив Aδ = {ω : sup t∈[0,1] \|ηT (t)− ct\| ≤ δ}, будем иметь P ( sup t∈[0,1] ∥sT (ct)− sT (ηT (t))∥ > ε ) ≤ P ( sup t∈[0,1] ∥sT (ct)− sT (ηT (t))∥ > ε,Aδ, sT ∈ KN ) + P(Aδ) +P( sT ∈ KN ) =: P1 +P2 +P3. (2.3) Обозначим Θ := { θ ∈ D[0, 1] : sup t∈[0,1] \|θ(t)\| ≤ 1 } . Из неравенства (2.2) следует, что{ ω : sup t∈[0,1] ∥sT (ct)− sT (ηT (t))∥ > ε,Aδ, sT ∈ KN } = { ω : sup t∈[0,1] ∥∥∥∥sT (ct)− sT ( ct+ δ ( ηT (t)− ct δ ))∥∥∥∥ > ε,Aδ, sT ∈ KN } ⊆ ω : sup t∈[0,1] θ∈Θ ∥sT (ct)− sT (ct+ δθ(t))∥ > ε, sT ∈ KN  = ∅, здесь мы воспользовались тем, что на событии Aδ траектории слу- чайного процесса ηT (t)−ct δ принадлежат множеству функций Θ. Значит, P1 = 0. Используя неравенства (2.1), (2.3) и условие 2) для любого ε > 0 получаем lim sup T→∞ 1 ψ(T ) lnP ( sup t∈[0,1] ∥sT (ct)− sT (ηT (t))∥ > ε ) = lim sup T→∞ 1 ψ(T ) ln(P2 +P3) ≤ lim sup T→∞ 1 ψ(T ) ln(2max{P2,P3}) ≤ −N. Предельный переход N → ∞ завершает доказательство теоремы. Замечание 2.2. Лемма 4.9 монографии [15] содержит похожий ре- зультат, но там требуется, чтобы семейства процессов sT (t) и ηT (t) были независимыми, константа c = 1, н.ф. имела вид ψ(T ) = T . А. В. Логачёв, А. А. Могульский 205 Нас будет интересовать п.б.у. в пространстве Dd[0, c] с равномер- ной метрикой, но из-за несепарабельности борелевская σ-алгебра, по- строенная по открытым относительно этой метрики множествам, бу- дет содержать множества неизмеримые для вероятностной меры P, см. [16, §18]. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать меру P на множествах из σ-алгебры, построенной по открытым цилиндриче- ским подмножествам пространства Dd[0, c]. Определение 2.3. Будем говорить, что семейства случайных про- цессов vT (t) и sT (t), траектории которых принадлежат м.п. Xρ, экви- валентны с точки зрения п.б.у. (vT L.D.∼ sT ), если для любого ε > 0 lim sup T→∞ 1 ψ(T ) lnP (ρ(vT , sT ) > ε) = −∞. Легко показать, что если vT L.D.∼ sT , м.п. Xρ является полным и одно из семейств процессов удовлетворяет п.б.у., то этому же п.б.у. удовлетворяет и второе семейство (см., например, [8] теорема 4.2.13). Определение 2.4. Будем говорить, что семейство стохастически не- прерывных случайных процессов vT (t) удовлетворяет C– (I, ψ(T ),Dd[0, c])-п.б.у., если существует эквивалентное ему с точки зрения п.б.у. семейство непрерывных случайных процессов sT (t), удов- летворяющее (I, ψ(T ),Cd[0, c])-п.б.у. Замечание 2.5. Если семейство процессов vT (t) удовлетворяет C– (I, ψ(T ),Dd[0, c])-п.б.у. и при этом P(vT ∈ Cd[0, c]) = 1, то оно удов- летворяет (I, ψ(T ),Cd[0, c])-п.б.у. Следствие 2.6. Пусть выполнены условия Теоремы 2.1. Тогда sT (ηT (t)) L.D.∼ sT (ct) и, следовательно, если семейство процессов sT (ct) удовлетворяет (I, ψ(T ),Cd[0, 1])-п.б.у., то семейство процессов sT (ηT (t)) будет удов- летворять C–(I, ψ(T ),Dd[0, 1])-п.б.у. Замечание 2.7. Очевидно, что из C–(I, ψ(T ),Dd[0, c])-п.б.у. следует (I, ψ(T ),Dd S [0, c])-п.б.у. Приведем простой пример применения Теоремы 2.1. Пусть на вероятностном пространстве заданы винеровский про- цесс w(t) и пуассоновский процесс ν(t) с параметром Eν(t) = ct. Рас- смотрим семейство случайных процессов wT (t) = 1 x(T ) w(tT ), 206 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... где функция x(T ) удовлетворяет условиям lim T→∞ x(T )√ T = ∞, lim T→∞ x(T ) T = 0. Нас будет интересовать п.у.б.у. для семейства процессов wT,ν(t) := 1 x(T ) w(ν(tT )). Из теоремы 5.3.2 [18] и Леммы 4.1 (i) (см. раздел 4) следует, что для любых фиксированных c > 0, ∆ ≥ 0 семейство случайных про- цессов wT (t) будет удовлетворять ( I, x 2(T ) T ,C[0, c+∆] ) -п.б.у., где I(f) = { 1 2 ∫ c+∆ 0 (f ′(t))2dt, если f ∈ AC0[0, c+∆], ∞, иначе. Поэтому из теоремы Пухальского [19] следует, что семейство процес- сов wT (t) является э.п. в м.п. C[0, c+∆], а значит, условие 1) Теоремы 2.1 выполнено. Проверим условие 2) Теоремы 2.1. Рассмотрим случайный процесс ηT (t) = ν(tT ) T . Обозначим ν̃(t) = ν(t)− ct. Используя неравенство Дуба (см., например, [17, глава 2, теорема 1.7]) для любого r > 0 будем иметь P ( sup t∈[0,1] \|ηT (tT )− ct\| > δ ) ≤ P ( sup t∈[0,1] rν̃(tT ) > rδT ) +P ( sup t∈[0,1] −rν̃(tT ) > rδT ) ≤ Eerν̃(tT ) erδT + Ee−rν̃(tT ) erδT = exp{(er − 1− r)cT − rδT}+ exp{(e−r − 1 + r)cT − rδT}. Оценим каждое слагаемое в правой части. Т.к. при r > 0 er − 1− r ≤ r2er, то выбирая r = x(T ) T , имеем (er − 1− r)cT − rδT ≤ x(T ) [ cx(T ) T e x(T ) T − δ ] . При достаточно большем T первое слагаемое в квадратных скобках будет меньше δ 2c . Поэтому при достаточно больших T получим exp{(er − 1− r)cT − rδT} ≤ exp { −δx(T ) 2 } . А. В. Логачёв, А. А. Могульский 207 Аналогичная оценка сверху верна и для слагаемого exp{(e−r − 1 + r)cT − rδT}. Следовательно, при достаточно больших T будем иметь P ( sup t∈[0,1] \|ηT (tT )− ct\| > δ ) ≤ 2 exp { −δx(T ) 2 } , откуда следует, что lim sup T→∞ T x2(T ) lnP ( sup t∈[0,1] \|ηT (t)− ct\| > δ ) = −∞. Значит, условие 2) Теоремы 2.1 выполнено. Таким образом, все условия Теоремы 2.1 выполнены, поэтому wT (ηT (t)) = wT,ν(t) L.D.∼ wT (ct) в м.п. D[0, 1]. Т.к. семейство случайных процессов wT (t) удовлетворяет( I, x 2(T ) T ,C[0, c] ) -п.б.у., то из Леммы 4.1 (ii) (см. раздел 4) следует, что семейство процессов wT (ct) будет удовлетворять ( Ĩ , x 2(T ) T ,C[0, 1] ) -п.б.у., где Ĩ(f) = { 1 2 ∫ 1 0 (f ′(t))2dt, если f ∈ AC0[0, 1], ∞, иначе. Таким образом, из Следствия 2.6 следует, что семейство процессов wT,ν(t) удовлетворяет C– ( Ĩ , x 2(T ) T ,D[0, 1] ) -п.б.у. Заметим, что нигде не требовалась независимость процессов w(t) и ν(t). 3. Принцип умеренно больших уклонений для траекторий обобщенных процессов восстановления Пусть задана последовательность независимых одинаково распре- деленных случайных векторов ξ = (τ, ζ), ξ2 = (τ2, ζ2), ξ3 = (τ3, ζ3), . . . , где τ > 0, и независимый от этой последовательности случайный вектор ξ1 = (τ1, ζ1), τ1 ≥ 0, имеющий, вообще говоря, другое, чем ξ = (τ, ζ), распределение. Положим T0 = Z0 = 0, обозначим Tn := n∑ j=1 τj , Zn := n∑ j=1 ζj , Sn := n∑ j=1 ξj = (Tn, Zn) при n ≥ 1. 208 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... Пусть при t > 0 η(t) := min{k ≥ 0 : Tk ≥ t}, ν(t) := max{k ≥ 0 : Tk < t}. (3.1) Ясно, что ν(t) = η(t)− 1. (3.2) Обобщенный процесс восстановления (о.п.в.) Z(t); t ≥ 0, опреде- ляется равенствами Z(t) := Zν(t) при t > 0, Z(0) = 0. (3.3) Наряду с о.п.в. Z(t) будет изучен также процесс Y (t) := Zη(t) = Z(t) + ζη(t) при t > 0, Y (0) = 0, Y (+0) = ζ1, который мы также будем называть о.п.в. Соглашение 1. Везде, если не оговорено противное, будем пред- полагать, что выполнено условие Крамера в следующем виде [C0]. Eev\|ξ\| <∞, Eev\|ξ1\| <∞ при некотором v > 0. Кроме того, мы будем предполагать, что случайный вектор ξ = (τ, ζ) является невырожденным, т.е. для любых λ ∈ R2, \|λ\| ̸= 0 и c ∈ R справедливо неравенство P(⟨λ, ξ⟩ = c) < 1. Эти два условия во избежание повторений в формулировках основных утверждений напоминаться не будут. Если распределение случайного вектора ξ1 совпадает с распре- делением ξ, то этот случай назовем однородным. Если вектора ξ1, ξ имеют различные распределения, то этот случай назовем неодноро- дным. Стандартная общепринятая модель о.п.в. предполагает, что вре- мя появления первого скачка τ1 и его величина ζ1 имеют совместное распределение, отличное, вообще говоря, от совместного распределе- ния (τ, ζ) (см., например, [18]). Это реализуется, например, для о.п.в. со стационарными приращениями. Обозначим для t ≥ 0 Z1(t) := Z(t)− at, Y1(t) := Y (t)− at, Z2(t) := Z(t)− aζν(t), Y2(t) := Y (t)− aζη(t), Z3(t) := aζ ( ν(t)− 1 aτ t ) , Y3(t) := aζ ( η(t)− 1 aτ t ) , где a := aζ aτ , aζ := Eζ, aτ := Eτ . А. В. Логачёв, А. А. Могульский 209 Легко видеть, что Z2(t) = Z1(t)− Z3(t), Y2(t) = Y1(t)− Y3(t), t ≥ 0. (3.4) Фиксируем функцию x = x(T ), такую, что lim T→∞ x(T )√ T = ∞, lim T→∞ x(T ) T = 0. (3.5) Везде далее, там где это не мешает изложению, аргумент T у фун- кции x(T ) будет опускаться. Основной объект изучения — два процесса zT = zT (t) = (z1,T (t), z3,T (t)) := ( 1 x Z1(tT ), 1 x Z3(tT ) ) , 0 ≤ t ≤ 1; yT = yT (t) = (y1,T (t), y3,T (t)) := ( 1 x Y1(tT ), 1 x Y3(tT ) ) , 0 ≤ t ≤ 1. Эти процессы лежат в пространстве D2[0, 1]. В пространстве D2[0, 1] будем использовать равномерную метрику ρ = ρ(f, g). Для α = (α1, α2) ∈ R2 рассмотрим функцию уклонений Λ(α) := 1 2 αAαT = 1 2 2∑ i,j=1 Aijαiαj , (3.6) где A = ∥Aij∥ — матрица, обратная к ковариационной матрице B = ∥Eθiθj∥ случайного вектора θ = (θ1, θ2) := (ζ − aτ, aζ − aτ). Для любой функции f ∈ D2[0, 1] положим I(f) = { aτ ∫ 1 0 Λ(f ′(t))dt, если f ∈ AC2 0[0, 1], ∞, иначе. Теорема 3.1. (п.у.б.у. для о.п.в.) Каждый из процессов zT = zT (t) = (z1,T (t), z3,T (t)), yT = yT (t) = (y1,T (t), y3,T (t)) удовлетворяет C–(I, x 2 T ,D 2[0, 1])-п.б.у. Обозначим z2,T (t) := 1 x Z2(tT ), y2,T (t) := 1 x Y2(tT ). Определим далее три функционала уклонений I1(f), I2(f), I3(f), f ∈ D[0, 1], положив Ii(f) := aτ 2σ2i I0(f), I0(f) := { ∫ 1 0 (f ′(t))2dt, если f ∈ AC0[0, 1], ∞, иначе, 210 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... где σ21 = D(ζ − aτ), σ22 = Dζ, σ23 = a2Dτ . Т.к. zi,T (t) = β (i) 1 z1,T (t)+β (i) 2 z3,T (t), где β(1)1 = 1, β(1)2 = 0; β(2)1 = 1, β (2) 2 = −1; β(3)1 = 0, β(3)2 = 1, то используя Лемму 4.2 (см. раздел 4) выводим из Теоремы 3.1 Следствие 3.2. Каждый из процессов zi,T (t), yi,T (t) удовлетворяет C–(Ii, x 2 T ,D[0, 1])-п.б.у., i = 1, 2, 3. Замечание 3.3. Как уже отмечалось во введении, отправной точкой настоящей работы является доклад А. А. Боровкова (см. введение), в котором автор установил, в частности, при минимальном условии E\|ξ\|2 < ∞ принцип инвариантности для процессов Z1(t), Y1(t), т.е. слабую сходимость процессов Z1(tT ) σ1 √ T , Y1(tT ) σ1 √ T ; t ∈ [0, 1] к винеровскому процессу. Следствие 3.2 распространяет, таким обра- зом, при условии [C0], принцип инвариантности (в логарифмической форме) на область умеренно больших уклонений, определяемую фун- кцией x(T ) вида (3.5). Доказательство Теоремы 3.1. Выполним для первого процесса zT = zT (t) = (z1,T (t), z3,T (t)), 0 ≤ t ≤ 1. Доказательство для второго процесса yT = yT (t) = (y1,T (t), y3,T (t)), 0 ≤ t ≤ 1, осуществляется аналогичным образом. Нам понадобятся следующие обозначения. Через Z̃(t) обозначим непрерывную случайную ломаную (н.с.л.), построенную по узловым точкам (Tk, (Zk − aTk, aζk − aTk)), k = 0, 1, 2, · · · . Через S̃(t) обозначим н.с.л., построенную по узловым точкам (k, (Zk − aTk, aζk − aTk)), k = 0, 1, 2, · · · . Через ν̃(t) обозначим н.с.л., построенную по узловым точкам (Tk, k), k = 0, 1, 2, · · · . Тогда легко видеть, что справедлива формула Z̃(t) = S̃(ν̃(t)), t ≥ 0. (3.7) А. В. Логачёв, А. А. Могульский 211 Обозначим далее z̃T (t) := 1 x Z̃(tT ), 0 ≤ t ≤ 1; s̃T (t) := 1 x S̃(tT ), 0 ≤ t <∞; ν̃T (t) := 1 T ν̃(tT ), 0 ≤ t <∞. Тогда, в силу (3.7) имеем z̃T (t) = s̃T (ν̃T (t)), 0 ≤ t ≤ 1. (3.8) Для того, чтобы воспользоваться Теоремой 2.1, проверим выпол- нение условий этой теоремы. Лемма 3.4. (i) Для любого c > 0 семейство случайных процессов s̃T = s̃T (t); 0 ≤ t ≤ c, удовлетворяет (Ic, x2 T ,C 2[0, c])-п.б.у., где Ic определяется как Ic := { ∫ c 0 Λ(f ′(t))dt, если f ∈ AC2 0[0, c], ∞, иначе. (ii) Для любого c > 0 семейство случайных процессов s̃T = s̃T (t); 0 ≤ t ≤ c является э.п. в м.п. C2[0, c] с н.ф. x2 T . (iii) Имеет место соотношение ν̃T L.D.∼ 1 aτ h в пространстве C[0, 1], где функция h(t) = t. (iv) Имеет место соотношение z̃T L.D.∼ zT в пространстве D2[0, 1]. Лемма 3.4 будет доказана ниже, а сейчас вернемся к доказатель- ству Теоремы 3.1. Поскольку в силу утверждений (i)−(iii) Леммы 3.4 все условия Теоремы 2.1 выполнены, то в силу этой теоремы, Лем- мы 4.1 (см. раздел 4) и Следствия 2.6 имеем: семейство процессов z̃T удовлетворяет ( I, x 2 T ,C 2[0, 1] ) -п.б.у. Привлекая далее утвержде- ние (iv) Леммы 3.4, получаем в силу Определения 2.4 утверждение Теоремы 3.1. 212 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... Осталось выполнить Доказательство Леммы 3.1. (i) − (ii). Рассмотрим сначала одноро- дный случай, когда распределения случайных векторов ξ1 и ξ сов- падают. Утверждения (i) − (ii) Леммы 3.1 следуют из теорем 5.2.1, 5.2.2 [18], Лемм 4.1, 4.3 (см. раздел 4). Пусть теперь распределения случайных векторов ξ1 и ξ различны. Тогда можно считать, что на вероятностном пространстве определе- ны независимые случайные векторы ξ∗1 = (τ∗1 , ζ ∗ 1 ), ξ1 = (τ1, ζ1), ξ2 = (τ2, ζ2), · · · , и при этом векторы ξ1, ξ2, · · · имеют общее распределение, отличное от распределения вектора ξ∗1 . Тогда однородному случаю соответству- ет последовательность ξ1 = (τ1, ζ1), ξ2 = (τ2, ζ2), · · · , и по ней строится н.с.л. s̃T = s̃T (t); 0 ≤ t ≤ c; неоднородному случаю соответствует последовательность ξ∗1 = (τ∗1 , ζ ∗ 1 ), ξ2 = (τ2, ζ2), · · · , и по ней строится н.с.л. s̃ ∗ T = s̃ ∗ T (t); 0 ≤ t ≤ c. Легко видеть, что в этом случае ρ(s̃T , s̃ ∗ T ) = sup 0≤t≤c \|̃sT (t)− s̃ ∗ T (t)\| ≤ 1 x (\|ζ1 − ζ∗1 \|+ \|a\|(\|τ1 − τ∗1 \|)) ≤ 1 x (\|ζ1\|+ \|ζ∗1 \|+ \|a\|(τ1 + τ∗1 )). Из последнего, в силу условия [C0], легко вытекает соотношение s̃T L.D.∼ s̃ ∗ T . Тем самым, мы доказали утверждения (i), (ii) для общего случая. (iii). Доказательство утверждения (iii) осуществим сначала для однородного случая. Легко видеть, что {ν(T ) < N} = {TN ≥ T}. Поэтому {ν(T ) ≥ N} = {TN < T}, и для N = [cT ] при aτN > T в силу экспоненциального неравенства Чебышева имеем P(ν(T ) ≥ [cT ]) = P(TN < T ) ≤ e−NΛτ ( T N ) = e−T N T Λτ ( T N ), (3.9) А. В. Логачёв, А. А. Могульский 213 где Λτ (α) := sup λ {λα− lnEeλτ} — функция уклонений случайной величины τ . Поскольку функция уклонений Λτ (α) убывает на интервале (0, aτ ), то при T N ≤ aτ 2 имеем Λτ ( T N ) ≥ Λτ (aτ 2 ) =: δ, N T Λτ ( T N ) ≥ 2 aτ Λτ ( T N ) ≥ 2 aτ δ =: γ1 > 0. Следовательно, при c = 3 aτ для всех достаточно больших T в силу (3.9) имеем P(ν(T ) ≥ [cT ]) ≤ e−Tγ1 . (3.10) Оценим теперь на событии {ν(T ) ≤ [cT ]} значение ρ ( ν̃T , 1 aτ h ) . Поскольку ν(Tk + 0) = k, то ν̃(Tk) = k, и, следовательно, ρ ( ν̃T , 1 aτ h ) = max 0≤t≤1 ∣∣∣∣ 1T ν̃(tT )− 1 aτ t ∣∣∣∣ = 1 T max 0≤u≤T ∣∣∣∣ν̃(u)− 1 aτ u ∣∣∣∣ ≤ 1 T max 1≤k≤[cT ]+1 ∣∣∣∣k − 1 aτ Tk ∣∣∣∣ . Поэтому P ( ρ ( ν̃T , 1 aτ h ) ≥ δ, ν(T ) ≤ [cT ] ) ≤ ([cT ] + 1) max 1≤k≤[cT ]+1 P (∣∣∣∣k − 1 aτ Tk ∣∣∣∣ ≥ Tδ ) . Оценим при 1 ≤ k ≤ [cT ] + 1 с помощью экспоненциального неравен- ства Чебышева вероятность Pk := P (∣∣∣∣k − 1 aτ Tk ∣∣∣∣ ≥ Tδ ) = P(Tk ≥ kaτ+Tδaτ )+P(Tk ≤ kaτ−Tδaτ ). Имеем Pk ≤ e−kΛτ (aτ+ 1 k Tδaτ ) + e−kΛτ (aτ− 1 k Tδaτ ). Поскольку при \|α\| ≥ δaτ c+1 в силу условия [C0] для некоторого r = rδ > 0 выполняется Λτ (aτ + α) ≥ r\|α\|, то kΛτ ( aτ ± 1 k Tδaτ ) ≥ kr 1 k Tδaτ = Trδaτ . 214 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... Получили равномерную по k в пределах 1 ≤ k ≤ [cT ] + 1 оценку Pk ≤ 2e−Tγ2 , γ2 := rδaτ , откуда получаем P ( ρ ( ν̃T , 1 aτ h ) ≥ δ, ν(T ) ≤ [cT ] ) ≤ 2(cT + 1)e−Tγ2 . (3.11) Из оценок (3.10), (3.11) вытекает утверждение (iii). Доказательство (iii) в неоднородном случае легко сводится к до- казательству в однородном случае. Для этого формулу (3.9) следует заменить на P(ν(T ) ≥ [cT ] + 1) = P(TN+1 < T ) ≤ P(τ2 + . . . τn+1+ < T ) ≤ e−NΛτ ( T N ) = e−T N T Λτ ( T N ), а затем повторить приведенное выше доказательство. При этом будет получено неравенство (3.10) и в неоднородном случае. Доказательство (iv) осуществим сразу в общем (неоднородном) случае. Имеем ρT := ρ(z̃T , zT ) = sup 0≤t≤1 \|z̃T (t)− zT (t)\| = 1 x sup 0≤u≤T ∣∣∣Z̃(u)− Z(u) ∣∣∣ . Поскольку процессы Z̃(u), Z(u) совпадают при u = Tk, k = 0, 1, · · · , то на событии {ν(T ) ≤ [cT ]} имеем ρT ≤ 1 x max 1≤k≤[cT ]+1 Xk, где Xk := √ (ζk − aτk)2 + (aζ − aτk)2. Поэтому P (ρT > δ, ν(T ) ≤ [cT ]) ≤ ([cT ] + 1)max{P(X1 ≥ xδ),P(X2 ≥ xδ)}. Случайные величины X1, X2 удовлетворяют условию [C0], поэто- му для некоторых M <∞ и r2 > 0 соответствующие X1, X2 функции уклонений удовлетворяют при всех α > 0 неравенствам ΛX1(α) ≥ −M + r2α, ΛX2(α) ≥ −M + r2α. Учитывая, что для всех достаточно больших T выполняется x ≥√ T , получаем (cT + 1)e−xγ3 = o(1) и P (ρT > δ, ν(T ) ≤ [cT ]) ≤ eM−xγ3 , γ3 := 1 2 r2δ. (3.12) Из оценок (3.10), (3.12) вытекает утверждение (iv) доказываемой лем- мы. А. В. Логачёв, А. А. Могульский 215 4. Вспомогательные результаты Докажем несколько вспомогательных лемм. Лемма 4.1. (i) Пусть для любой функции x, удовлетворяющей ус- ловию (3.5) семейство непрерывных процессов sT (t) := 1 xS(tT ) удов- летворяет ( I, x 2 T ,C d[0, 1] ) -п.б.у. Тогда для любого c > 0 это семей- ство также будет удовлетворять ( Ĩ , x 2 T ,C d[0, c] ) -п.б.у., где Ĩ(f) = I(g) для g(t) = 1√ c f(tc). (ii) Пусть для любой функции x, удовлетворяющей условию (3.5) семейство непрерывных случайных процессов sT (t) := 1 xS(tT ) удовле- творяет ( I, x 2 T ,C d[0, c] ) -п.б.у. Тогда семейство процессов sT (ct) бу- дет удовлетворять ( Ĩ , x 2 T ,C d[0, 1] ) -п.б.у., где Ĩ(f) = I(g) для g(t) = f(t/c). Доказательство. Доказательство утверждения (i). Из (3.5) следует, что семейство scr(t) := 1√ cx(r/c) S(tr), удовлетворяет ( I, x 2(r/c) r/c ,Cd[0, 1] ) - п.б.у. Тогда произведя замену переменной T = r c получим, что семей- ство случайных процессов scTc(t) := 1√ cx(T ) S(tT c) будет удовлетворять( I, x 2(T ) T ,Cd[0, 1] ) -п.б.у. Рассмотрим непрерывный оператор F действующий из Cd[0, 1] в Cd[0, c], который отображает функцию f(t) в √ cf(t/c). Очевидно, что FscTc(·) = sT (·), поэтому, (см., например, теорему 3.1 [14]) получаем, что семейство процессов sT (t) удовлетворяет ( Ĩ , x 2(T ) T ,Cd[0, c] ) -п.б.у., где Ĩ(f) = I(g), g(t) = 1√ c f(tc). Утверждение (ii) доказывается аналогичными рассуждениями. Лемма 4.2. Семейство процессов β1z1,T (t)+β2z3,T (t), где \|β1\|+\|β2\| > 0 удовлетворяет C– ( Î , x 2 T ,D[0, 1] ) -п.б.у., где Î(f) := { aτ 2D(β1θ1+β2θ2) ∫ 1 0 (f ′(t))2dt, если f ∈ AC0[0, 1], ∞, иначе. Доказательство. Поскольку для вектор-функции g = (g1, g2) опера- тор F(g) := β1g1 + β2g2 действующий из D2[0, 1] в D[0, 1] непрерывен, то используя “contraction principle” (см., например, теорему 3.1 [14]), 216 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... получаем, что семейство процессов β1z1,T (t)+ β2z3,T (t) будет удовле- творять п.б.у. с функционалом уклонений Î(f) = inf g: β1g1+β2g2=f I(g). Покажем, что функционал Î(f) имеет заявленный выше вид. Если f ̸∈ AC0[0, 1], то ее прообраз не содержит функций из мно- жества AC2 0[0, 1], а значит, inf g: β1g1+β2g2=f I(g) = ∞. Пусть f ∈ AC0[0, 1] и β1 ̸= 0 (случай β2 ̸= 0 рассматривается полностью аналогично), тогда inf g: β1g1+β2g2=f I(g) = inf g: β1g1+β2g2=f aτ 2∆B ∫ 1 0 (B22(g ′ 1(t)) 2 − 2B12g ′ 1(t)g ′ 2(t) +B11(g ′ 2(t)) 2)dt = inf g2 aτ 2∆B ∫ 1 0 ( B22 β21 (f ′(t)− β2g ′ 2(t)) 2 − 2B12 β1 (f ′(t)− β2g ′ 2(t))g ′ 2(t) +B11(g ′ 2(t)) 2 ) dt = : inf g2 aτ 2∆B ∫ 1 0 u(f ′(t), g′2(t))dt. где ∆B — определитель ковариационной матрицы B = ∥Eθiθj∥, B11 = Dθ1, B12 = Eθ1θ2, B22 = Dθ2. Выделяя полный квадрат получаем u(f ′(t), g′2(t)) = D(β1θ1 + β2θ2) β21 ( g′2(t)− f ′(t) B12β1 +B22β2 D(β1θ1 + β2θ2) )2 + (f ′(t))2 ∆B D(β1θ1 + β2θ2) . Следовательно, инфимум достигается на функции g2(t) = f(t) B12β1 +B22β2 D(β1θ1 + β2θ2) , а значит, inf g2 aτ 2∆B ∫ 1 0 u(f ′(t), g′2(t))dt = aτ 2D(β1θ1 + β2θ2) ∫ 1 0 (f ′(t))2dt. Везде далее [T ] — целая часть числа T . А. В. Логачёв, А. А. Могульский 217 Лемма 4.3. Пусть для любой функции x, удовлетворяющей усло- вию (3.5) последовательность непрерывных случайных процессов s[T ](t) := 1 x([T ])S(t[T ]) удовлетворяет ( I, x 2([T ]) [T ] ,Cd[0, 1] ) -п.б.у. Тогда семейство sT (t) будет удовлетворять ( I, x 2(T ) T ,Cd[0, 1] ) -п.б.у. Доказательство. Из Леммы 4.1 (i) и теоремы Пухальского [19] сле- дует, что последовательность s[T ](t) будет экспоненциально плотной в м.п. Cd[0, 1+∆] с нормирующей функцией x2([T ]) [T ] . Поэтому, выбирая ηT (t) := tT [T ] , 0 ≤ t ≤ 1 мы попадаем в условия Теоремы 2.1. Значит, в силу равенства lim T→∞ T [T ] = 1, Следствия 2.6 и Замечания 2.5 получаем: для семейства 1 x([T ]) S(tT ), 0 ≤ t ≤ 1, выполнен ( I, x 2([T ]) T ,Cd[0, 1] ) -п.б.у. Дальнейшее доказательство проведем методом от противного. Ес- ли для семейства sT не выполнен ( I, x 2(T ) T ,Cd[0, 1] ) -п.б.у., то тогда найдутся δ > 0, N <∞, множество B ∈ BCd[0,1] и подпоследователь- ность Rk, lim k→∞ Rk = ∞ такие, что для всех k будет выполнено хотя бы одно из трех условий lim sup k→∞ Rk x2(Rk) lnP( sRk ∈ B ) ≥ −I([B]) + δ, I([B]) <∞; lim sup k→∞ Rk x2(Rk) lnP( sRk ∈ B ) ≥ −N, I([B]) = ∞; lim inf k→∞ Rk x2(Rk) lnP( sRk ∈ B ) ≤ −I((B))− δ. Пусть для определенности выполнено первое условие (для остальных условий доказательство полностью аналогичное). Очевидно, что можно считать, что Rk −Rk−1 > 1. Определим x̃(T ) следующим образом x̃(T ) = { x(Rk), если T ∈ [[Rk], [Rk] + 1), akT + bk, если T ∈ [[Rk] + 1, [Rk+1]), где ak и bk подобраны так, чтобы ak([Rk] + 1) + bk = x(Rk), ak[Rk+1] + bk = x(Rk+1). 218 Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения... Очевидно, что функция x̃(T ) удовлетворяет условию (3.5). Тогда в силу того, что для семейства случайных процессов sT,x̃ := 1 x̃([T ])S(tT ) выполнен ( I, x̃ 2([T ]) T ,Cd[0, 1] ) -п.б.у., будем иметь −I([B]) ≥ lim sup k→∞ Rk x̃2([Rk]) lnP( sRk,x̃ ∈ B ) = lim sup k→∞ Rk x2(Rk) lnP( sRk ∈ B ) ≥ −I([B]) + δ. Полученное противоречие завершает доказательство. Литература [1] F. J. Anscombe, Large sample-theory of sequential estimation // Proc. Cambridge Philos. Soc., 48 (1952), 600–607. [2] J. R. Blum, D. L. Hanson, J. I. Rosenblatt, On the central limit theorem for the sum of a random number of independent random variables // Z. Wahrsch. verw. Gebiete 1, 1963, 389–393. [3] M. Csörgő, L. Horváth, J. Steinebach, Invariance principles for renewal processes // Ann. Probab., 15 (1987), 1441–1460. [4] M. Csörgő, Z. Rychlik, Weak convergence of sequences of random elements with random indices // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. , 88 (1980), 171–174. [5] M. Csörgő, Z. Rychlik, Asymptotic properties of randomly indexed sequences of random variables // Canad. J. Statist., 9 (1981), 101–107. [6] A. Gut, On the law of the iterated logarithm for randomly indexed partial sums with two applications // Studia Sci. Math. Hungar., 20 (1985), 63–69. [7] A. Gut, Anscombe laws of the iterated logarithm // Probab. Math. Statist., 12 (1991), 127–137. [8] A. Dembo, O. Zeitouni, Large Deviations Techniques and Applications, NY, 1998. [9] J. D. Deuschel, D. W. Stroock, Large Deviation, Boston, 1989. [10] F. Hollander, Large Deviations, Fields Institute Monographs 14, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. [11] E. Olivieri, M. E. Vares, Large deviations and metastability, Cambridge University Press, Cambridge, 2005. [12] A. Puhalskii, Large Deviations and Idempotent Probability, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2001. [13] S. R. Varadhan, Large Deviations and Applications, Philadelphia, 1984. [14] А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин, Флуктации в динамических системах под действием малых случайных возмущений, М., 1979. [15] J. Feng, T. Kurtz, Large Deviations for Stochastic Processes // Math. Surveys Monogr. 131, American Mathematical Society, Providence, 2006. [16] П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, М., 1977. [17] D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, Third Edition, 1999. А. В. Логачёв, А. А. Могульский 219 [18] А. А. Боровков, Асимптотический анализ случайных блужданий. Быстро убывающие распределения приращений, М., 2013. [19] А. А. Пухальский, К теории больших уклонений // Теория вероятностей и ее применения, 38 (1993), No. 3, 490–497. Сведения об авторах Артём Васильевич Логачёв Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирский государственный университет, Сибирский государственный университет геосистем и технологий, Новосибирский государственный университет экономики и управления, Новосибирск, Россия E-Mail: omboldovskaya@mail.ru Анатолий Альфредович Могульский Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия E-Mail: mogul@math.nsc.ru

Теорема Анскомбе и умеренно большие уклонения для траекторий обобщенного процесса восстановления

Institution

Ähnliche Einträge