Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞
Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі L∞ за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, які підпорядковані деяким умовам....
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169364 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ / О.В. Федуник-Яремчук, К.В. Соліч // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 345-360. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169364 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1693642020-06-11T01:26:57Z Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ Федуник-Яремчук, О.В. Соліч, К.В. Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі L∞ за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, які підпорядковані деяким умовам. We obtain exact-order estimates of the approximation of the classes BΩp,θ of periodic functions of several variables in the space L∞, by using operators of orthogonal projection, as well as linear operators subjected to some conditions. 2017 Article Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ / О.В. Федуник-Яремчук, К.В. Соліч // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 345-360. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 42B99 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169364 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Одержано точні за порядком оцінки наближення класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі L∞ за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, які підпорядковані деяким умовам. |
| format |
Article |
| author |
Федуник-Яремчук, О.В. Соліч, К.В. |
| spellingShingle |
Федуник-Яремчук, О.В. Соліч, К.В. Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ Український математичний вісник |
| author_facet |
Федуник-Яремчук, О.В. Соліч, К.В. |
| author_sort |
Федуник-Яремчук, О.В. |
| title |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_short |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_full |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_fullStr |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_full_unstemmed |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ |
| title_sort |
оцінки апроксимативних характеристик класів bωp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі l∞ |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169364 |
| citation_txt |
Оцінки апроксимативних характеристик класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності у просторі L∞ / О.В. Федуник-Яремчук, К.В. Соліч // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 345-360. — Бібліогр.: 24 назв. — укр. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT fedunikâremčukov ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervnostíuprostoríl AT solíčkv ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervnostíuprostoríl |
| first_indexed |
2025-07-15T04:06:27Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:06:27Z |
| _version_ |
1837684372572995584 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 3, 345 – 360
Оцiнки апроксимативних характеристик
класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй
багатьох змiнних iз заданою мажорантою
мiшаних модулiв неперервностi у просторi L∞
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч
(Представлена В. Я. Гутлянським)
Анотацiя. Oдержано точнi за порядком оцiнки наближення класiв
BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi L∞ за допо-
могою операторiв ортогонального проектування, а також лiнiйних
операторiв, якi пiдпорядкованi деяким умовам.
2010 MSC. 42B99.
Ключовi слова та фрази. Ортопроекцiйний поперечник, мiшаний
модуль неперервностi, лiнiйний оператор, ядро Валле Пуссена, ядро
Фейєра.
1. Вступ
Нехай Lp(πd), 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-перiодичних по кожнiй
змiннiй i сумовних у степенi p на кубi πd =
d∏
j=1
[0; 2π] функцiй f(x) =
f(x1, ..., xd), в якому норма визначається таким чином
∥f∥Lp(πd) = ∥f∥p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
) 1
p
.
Вiдповiдно L∞(πd) — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй сут-
тєво обмежених функцiй f(x) = f(x1, ..., xd) з нормою
∥f∥L∞(πd) = ∥f∥∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Стаття надiйшла в редакцiю 03.08.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
346 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
Всюди далi будемо вважати, що для функцiй f ∈ Lp(πd) викону-
ється додаткова умова∫ 2π
0
f(x)dxj = 0 , j = 1, d.
Для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, i t = (t1, ..., td), tj ≥ 0, j = 1, d,
розглянемо мiшаний модуль неперервностi порядку l
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
∥∆l
hf(·)∥p,
де l ∈ N, ∆l
hf(x) = ∆l
h1
. . .∆l
hd
f(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))) — мiшана
рiзниця порядку l з векторним кроком h = (h1, . . . , hd), а рiзниця l−го
порядку з кроком hj за змiнною xj визначається наступним чином
∆l
hj
f(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного моду-
ля неперервностi порядку l, яка задовольняє такi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) неперервна при tj ≥ 0, j = 1, d .
Будемо вважати, що Ω(t) задовольняє також умови (S) i (Sl), якi
називають умовами Барi–Стєчкiна [1]. Це означає наступне.
Функцiя однiєї змiнної φ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (S), якщо
φ(τ)/τα майже зростає при деякому α > 0, тобто iснує така неза-
лежна вiд τ1 i τ2 стала C1 > 0, що
φ(τ1)
τα1
≤ C1
φ(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Функцiя φ(τ) ≥ 0 задовольняє умову (Sl), якщо φ(τ)/τγ майже
спадає при деякому 0 < γ < l, тобто iснує така незалежна вiд τ1 i τ2
стала C2 > 0, що
φ(τ1)
τγ1
≥ C2
φ(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 347
Будемо говорити, що Ω(t) задовольняє умови (S) i (Sl), якщо Ω(t)
задовольняє цi умови по кожнiй змiннiй tj при фiксованих ti, i ̸= j.
Нехай 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а Ω(t) — задана функцiя типу мi-
шаного модуля неперервностi порядку l. Тодi класи BΩ
p,θ означаються
наступним чином [2]:
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,θ
≤ 1
}
,
де
∥f∥BΩ
p,θ
=
{∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
} 1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
∥f∥BΩ
p,∞
= sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
,
(запис t > 0 для t = (t1, ..., td) рiвносильний tj > 0, j = 1, d).
Зазначимо, що при θ = ∞ класи BΩ
p,θ спiвпадають з класами HΩ
p , якi
були розглянутi М. М. Пустовойтовим в [3].
В подальших мiркуваннях нам буде зручно користуватися еквiва-
лентним (з точнiстю до абсолютних сталих) означенням класiв BΩ
p,θ.
Для цього нам знадобляться вiдповiднi позначення.
Кожному вектору s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть множину
ρ(s) =
{
k = (k1, ..., kd) : 2
sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z, j = 1, d
}
i для f ∈ Lp(πd), 1 < p <∞, позначимо
δs(f) := δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
де
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f , (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd.
Отже, нехай 1 < p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) — задана функцiя типу
мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови
(S) i (Sl). Тодi з точнiстю до абсолютних сталих класи BΩ
p,θ можна
означити наступним чином [2]:
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)∥δs(f)∥θp
) 1
θ
≤ 1
}
(1.1)
348 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
при 1 ≤ θ <∞ та
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,∞
= sup
s
∥δs(f)∥p
Ω(2−s)
≤ 1
}
. (1.2)
Тут i надалi Ω(2−s) = Ω(2−s1 , ..., 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Наведенi означення класiв BΩ
p,θ можна поширити i на крайнi ви-
падки p = 1 i p = ∞, дещо змiнивши в (1.1) i (1.2) "блоки" δs(f).
Нехай Vn(t) позначає ядро Валле Пуссена порядку 2n− 1, тобто
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k − n
n
)
cos kt.
Кожному вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, поставимо у
вiдповiднiсть полiном
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V
2sj−1(xj)
)
i для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, покладемо
As(f) := As(f, x) = (f ∗As)(x).
Тодi з точнiстю до абсолютних сталих класи BΩ
p,θ, 1 ≤ p ≤ ∞, мо-
жна означити наступним чином:
BΩ
p,θ=
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)∥As(f)∥θp
) 1
θ
≤ 1
}
(1.3)
при 1 ≤ θ <∞ та
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ∥f∥BΩ
p,∞
= sup
s
∥As(f)∥p
Ω(2−s)
≤ 1
}
. (1.4)
Зазначимо, що спiввiдношення (1.3) i (1.4) були отриманi в робо-
тах [4] i [3] вiдповiдно.
Зауважимо також, що при Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j , 0 < rj < l, класи BΩ
p,θ є
аналогами вiдомих класiв Бєсова Br
p,θ, 1 ≤ θ < ∞ та Нiкольського
Br
p,∞ = Hr
p (див., наприклад, [5]).
Нижче будемо дослiджувати класи BΩ
p,θ, якi визначаються фун-
кцiєю Ω(t) такого вигляду:
Ω(t) = Ω(t1, ..., td) =
d∏
j=1
trj(
log 1
tj
)bj
+
, якщо tj > 0, j = 1, d;
0, якщо
d∏
j=1
tj = 0.
(1.5)
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 349
Тут i надалi розглядаються логарифми за основою 2, i(
log
1
tj
)
+
= max
{
1, log
1
tj
}
.
Крiм цього будемо вважати, що 0 < r < l, а значить для функцiї
Ω(t) вигляду (1.5) виконуються властивостi 1 – 4 i умови (S) та (Sl).
Метою роботи є встановлення точних за порядком оцiнок орто-
проекцiйних поперечникiв класiв BΩ
p,θ, 1 ≤ p <∞, в просторi L∞. На-
гадаємо, що поняття ортопроекцiйного поперечника ввiв В. М. Тем-
ляков [6].
Нехай {ui}Mi=1 — ортонормована система функцiй ui ∈ L∞(πd), f ∈
Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞. Покладемо
(f, ui) = (2π)−d
∫
πd
f(x)ui(x)dx,
де ui− функцiя комплексно-спряжена до функцiї ui.
Кожнiй функцiї f ∈ Lq(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, поставимо у вiдповiднiсть
апарат наближення вигляду
M∑
i=1
(f, ui)ui, тобто ортогональну прое-
кцiю функцiї f на пiдпростiр, породжений системою функцiй {ui}Mi=1.
Тодi для функцiонального класу F ⊂ Lq(πd) величина
d⊥M (F,Lq) = inf
{ui}Mi=1
sup
f∈F
∥∥∥∥f −
M∑
i=1
(f, ui)ui
∥∥∥∥
q
(1.6)
називається ортопроекцiйним поперечником (Фур’є–поперечником)
цього класу у просторi Lq(πd).
У роботi, крiм ортопроекцiйних поперечникiв, будемо дослiджу-
вати величини dBM (F,Lq), розглянутi також В. М. Темляковим (див.,
наприклад, [7]), i якi визначаються наступним чином:
dBM (F,Lq) = inf
G∈LM (B)q
sup
f∈F∩D(G)
∥f −Gf∥q . (1.7)
Через LM (B)q тут позначено множину лiнiйних операторiв, якi задо-
вольняють умови:
а) область визначення D(G) цих операторiв мiстить всi триго-
нометричнi полiноми, а їх область значень мiститься у пiдпросторi
розмiрностi M простору Lq(πd);
б) iснує число B ≥ 1 таке, що для всiх векторiв k = (k1, . . . , kd),
kj ∈ Z, j = 1, d, виконується нерiвнiсть
∥∥Gei(k,·)∥∥
2
≤ B.
350 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
Зазначимо, що до LM (1)2 належать оператори ортогонального
проектування на простори розмiрностi M , а також оператори, якi
задаються на ортонормованiй системi функцiй за допомогою мульти-
плiкатора, який визначається послiдовнiстю {λm} такою, що |λm| ≤ 1
для всiх m.
Iз (1.6) i (1.7) легко бачити, що величини d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq)
пов’язанi мiж собою нерiвнiстю
dBM (F,Lq) ≤ d⊥M (F,Lq). (1.8)
На сьогоднi вiдомо багато робiт, в яких дослiджувалися величини
d⊥M (F,Lq) i dBM (F,Lq) для тих чи iнших класiв функцiй. Тут згадає-
мо роботи [7–11], в яких вивчались величини (1.6) i (1.7) для класiв
функцiй багатьох змiнних W r
p,α, Hr
p , Br
p,θ та HΩ
p , i в яких можна озна-
йомитись з бiльш детальною бiблiографiєю. Для класiв функцiй HΩ
p ,
BΩ
p,θ двох змiнних, якi визначаються функцiєю Ω(t), що задана фор-
мулою (1.5), оцiнки величин (1.6) i (1.7) були знайденi вiдповiдно в
роботах [12] i [13]. Величини d⊥M (BΩ
p,θ, Lq) i dBM (BΩ
p,θ, Lq) для класiв
функцiй багатьох змiнних iз заданою функцiєю Ω(t) виду (1.5) при
умовi, що bj < r, j = 1, d, розглядались в роботах [14–17].
2. Допомiжнi твердження
Наведемо кiлька вiдомих тверджень, якi будемо використовувати
у подальших мiркуваннях.
Як зазначалось вище, Ω(t) – функцiя виду (1.5). Для натураль-
ного N покладемо
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d, Ω(2−s) ≥ 1
N
}
,
Q(N) =
∪
s∈χ(N)
ρ(s).
Зазначимо, що наближення певних класiв перiодичних функцiй
багатьох змiнних iз мiшаною узагальненою гладкiстю тригонометри-
чними полiномами з “номерами” гармонiк з множин, якi є аналогами
Q(N), було розпочато в роботi [18], а згодом наближення тригономе-
тричними полiномами з “номерами” гармонiк з множин Q(N) вивча-
лись в роботах [14,19,20] та iнших.
Має мiсце твердження.
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 351
Лема 2.1. [11] Для кiлькостi елементiв множини Q(N) виконую-
ться порядковi рiвностi:
|Q(N)| ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
+ν−1
,
якщо b1 ≤ . . . ≤ bν < r < bν+1 ≤ . . . ≤ bd;
|Q(N)| ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r ,
якщо r ≤ b1 ≤ . . . ≤ bd, b2 > r.
Тут i далi для додатних функцiй µ1(N) та µ2(N) запис µ1 ≪ µ2
означає, що iснує стала C > 0 така, що ∀N ∈ N виконується нерiв-
нiсть µ1(N) ≤ Cµ2(N). Спiввiдношення µ1 ≍ µ2 рiвносильне тому, що
виконуються порядковi нерiвностi µ1 ≪ µ2 та µ1 ≫ µ2. Зауважимо
також, що всi сталi Ci, i = 1, 2, . . . , якi будуть зустрiчатися у робо-
тi, можуть залежати тiльки вiд параметрiв, що входять в означення
класу та розмiрностi d простору Rd.
Для формулювання наступних тверджень зауважимо, що згiдно
(1.5) означення множини χ(N) запишеться наступним чином:
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
d∏
j=1
2rsjs
bj
j ≤ N
}
.
Вiдповiдно
χ⊥(N) = Nd \ χ(N).
Далi, нехай
Θ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
1
2lN
≤ Ω(2−s) <
1
N
}
.
У [21] встановлено, що для кiлькостi елементiв множини Θ(N) має
мiсце порядкова рiвнiсть
|Θ(N)| ≍ (logN)d−1.
Лема 2.2. [11] Для функцiї Ω(t), яка визначена рiвнiстю (1.5) при
0 < β < r, 0 < p <∞ справедливе спiввiдношення∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2∥s∥1β
)p ≪ ∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)2∥s∥1β
)p
,
де ||s||1 = s1 + . . .+ sd.
352 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
Лема 2.3. [11] Якщо γ1 ≤ . . . ≤ γν < 1 < γν+1 ≤ . . . ≤ γd, то
∑
s∈Θ(N)
d∏
j=1
s
−γj
j ≍
(
logN
)−γ1−...−γν+ν−1
.
Якщо 1 ≤ γ1 ≤ . . . ≤ γd, γ2 > 1, то
∑
s∈Θ(N)
d∏
j=1
s
−γj
j ≍
(
logN
)−γ1 .
Теорема 2.1. [22] Нехай Tn – тригонометричний полiном порядку
n = (n1, . . . , nd), тобто
Tn(x) =
∑
|k1|≤n1
. . .
∑
|kd|≤nd
ck1,...,kde
i(k,x),
де nj, j = 1, d, — натуральнi числа, ck1,...,kd — довiльнi коефiцiєнти.
Тодi при 1 ≤ p < q ≤ ∞ виконується нерiвнiсть
∥Tn∥q ≤ 2d
( d∏
j=1
nj
) 1
p
− 1
q
∥Tn∥p . (2.1)
Нерiвнiсть (2.1) була встановлена С.М. Нiкольським i отрима-
ла назву “нерiвностi рiзних метрик”. В одновимiрному випадку при
p = ∞ вiдповiдну нерiвнiсть довiв Д. Джексон [23].
3. Основнi результати
Переходячи до формулювання i доведення отриманих результатiв
будемо вважати, що M = |Q(N)|. Cпочатку розглянемо випадок b1 ≤
. . . ≤ bν < r < bν+1 ≤ . . . ≤ bd. Тодi, згiдно з лемою 2.1, отримаємо
M ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
+ν−1
,
logM ≍ logN, N ≍M r
(
logM
)b1+...+bν−(ν−1)r
.
Теорема 3.1. Нехай 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < ∞, а Ω(t) — функцiя
виду (1.5). Тодi при 1
p < r < l,
bj
rp > 1, j = ν + 1, . . . , d, мають мiсце
спiввiдношення
d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) ≍ dBM (BΩ
p,θ, L∞)
≍M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1−...−bν+(ν−1)
(
r+1− 1
p
− 1
θ
)
. (3.1)
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 353
Доведення. Встановимо спочатку в (3.1) оцiнки зверху. Згiдно (1.8)
достатньо встановити оцiнку зверху для ортопроекцiйного попере-
чника d⊥M (BΩ
p,θ, L∞). З цiєю метою розглянемо наближення функцiй
f ∈ BΩ
p,θ тригонометричними полiномами tQ(N) виду
tQ(N)(x) =
∑
s∈χ(N)
δs(f, x).
Нехай q0 — довiльне число, яке задовольняє умову p < q0 <∞. То-
дi, скориставшись нерiвнiстю Мiнковского, нерiвнiстю рiзних метрик
Нiкольського, а також спiввiдношенням
∥δs(f)∥q0 ≍ ∥As(f)∥q0 , 1 < q0 <∞,
для f ∈ BΩ
p,θ будемо мати
∥f − tQ(N)∥∞ =
∥∥∥∥f −
∑
s∈χ(N)
δs(f)
∥∥∥∥
∞
≤
∑
s∈χ⊥(N)
∥δs(f)∥∞
≪
∑
s∈χ⊥(N)
2
∥s∥1
q0 ∥δs(f)∥q0 ≍
∑
s∈χ⊥(N)
2
∥s∥1
q0 ∥As(f)∥q0
≪
∑
s∈χ⊥(N)
2
∥s∥1
q0 2
∥s∥1
(
1
p
− 1
q0
)
∥As(f)∥p
=
∑
s∈χ⊥(N)
Ω(2−s)2
∥s∥1
p Ω−1(2−s)∥As(f)∥p = I1.
Застосувавши до I1 нерiвнiсть Гельдера з показником θ (з приро-
дною модифiкацiєю при θ = 1) i скориставшись лемою 2.2, одержимо
I1 ≤
( ∑
s∈χ⊥(N)
Ω−θ(2−s)∥As(f)∥θp
) 1
θ
( ∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2
∥s∥1
p
) θ
θ−1
)1− 1
θ
≪ ∥f∥BΩ
p,θ
( ∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)2
∥s∥1
p
) θ
θ−1
)1− 1
θ
≪
( ∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)2
∥s∥1
p
) θ
θ−1
)1− 1
θ
≪ N−1
( ∑
s∈Θ(N)
2
∥s∥1 θ
p(θ−1)
)1− 1
θ
= I2.
Далi враховуючи, що для s ∈ Θ(N)
2∥s∥1 ≍ N
1
r
d∏
j=1
s
−
bj
r
j ,
354 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
i скориставшись лемою 2.3 iз bj
rp > 1, j = ν + 1, . . . , d, будемо мати
I2 ≍ N
−1+ 1
rp
( ∑
s∈Θ(N)
d∏
j=1
s
−
bjθ
rp(θ−1)
j
)1− 1
θ
≍ N
−1+ 1
rp
(
logN
)− b1
pr
−...− bν
pr
+(ν−1)
(
1− 1
θ
)
≍
(
M r
(
logM
)b1+...+bν−(ν−1)r
)−1+ 1
pr (
logM
)− b1
pr
−...− bν
pr
+(ν−1)
(
1− 1
θ
)
=M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1−...−bν+(ν−1)
(
r+1− 1
p
− 1
θ
)
.
Таким чином, згiдно з означенням ортопроекцiйного поперечника
з проведених мiркувань отримаємо оцiнку зверху для d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) i
вiдповiдно для величини dBM (BΩ
p,θ, L∞).
Перейдемо до встановлення в (3.1) оцiнок знизу. Оскiльки має
мiсце нерiвнiсть (1.8), то достатньо отримати оцiнку знизу для вели-
чини dBM (BΩ
p,θ, L∞).
За допомогою мiркувань, аналогiчних до тих, що були проведенi
в [24], можна показати iснування такої множини Θ1(N) ⊂ Θ(N), що
для s = (s1, ..., sd) ∈ Θ1(N) будуть виконуватись спiввiдношення
sj ≍ logN, j = 1, d i |Θ1(N)| ≍
(
logN
)d−1
.
Аналогiчно можна стверджувати, що iснує множина
Θ
(ν)
1 (N)={s ∈ Θ(N) : sj ≍ logN, j = 1, . . . , ν, sj = 1, j = ν+1, . . . , d}
така, що
|Θ(ν)
1 (N)| ≍
(
logN
)ν−1
.
Нехай Kn — ядро Фейєра порядку n, тобто
Kn(t) =
∑
|k|≤n
(
1− |k|
n+ 1
)
eikx.
Покладемо
g1(x) =
∑
s∈Θ(ν)
1 (N)
K(ν)
s (x)
d∏
j=ν+1
eixj ,
де
K(ν)
s (x) =
ν∏
j=1
eik
sj
j xjK
2sj−2(xj),
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 355
k
sj
j =
{
2sj−1 + 2sj−2, sj ≥ 2;
1, sj = 1, j = 1, ν.
Розглянемо функцiю
g2(x) = C3N
−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
) 1
p
−1(
logN
)− ν−1
θ g1(x), C3 > 0,
i покажемо, що при вiдповiдному виборi сталої C3 вона належить до
класу BΩ
p,θ.
Дiйсно, скориставшись тим, що для ядра Фейєра
||Kn||p ≍ n
1− 1
p , 1 ≤ p ≤ ∞,
будемо мати ∥∥∥K(ν)
s
∥∥∥
p
≍ 2
∥s∥1
(
1− 1
p
)
, 1 ≤ p ≤ ∞,
i, таким чином, можемо записати
∥g2∥BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)∥As(g2)∥θp
) 1
θ
≪ N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
) 1
p
−1(
logN
)− ν−1
θ
×
∑
s∈Θ(ν)
1 (N)
Ω−θ(2−s)∥As(g1)∥θp
1
θ
≪
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
) 1
p
−1(
logN
)− ν−1
θ
×
∑
s∈Θ(ν)
1 (N)
2
∥s∥1
(
1− 1
p
)
θ
1
θ
= I3. (3.2)
Тепер враховуючи, що для s ∈ Θ
(ν)
1 (N) ⊂ Θ(N) виконуються спiввiд-
ношення
2∥s∥1 ≍ N
1
r
d∏
j=1
s
−
bj
r
j
i
sj ≍ logN, j = 1, . . . , ν, sj = 1, j = ν+1, . . . d, |Θ(ν)
1 (N)| ≍
(
logN
)ν−1
,
356 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
будемо мати
I3 ≍
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
) 1
p
−1(
logN
)− ν−1
θ
×
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
)1− 1
p |Θ(ν)
1 (N)|
1
θ
≍
(
logN
)− ν−1
θ
(
logN
) ν−1
θ = 1. (3.3)
Тому спiвставляючи (3.2) i (3.3) приходимо до висновку, що g2 ∈
BΩ
p,θ iз вiдповiдною сталою C3 > 0.
У роботi [11] встановлено, що iснує вектор y∗ = (y∗1, ..., y
∗
d) такий,
що для G ∈ LM (B)∞ виконується спiввiдношення
∥g1(x− y∗)−Gg1(x− y∗)∥∞ ≫M. (3.4)
Таким чином, скориставшись оцiнкою (3.4), отримаємо
∥g2(x− y∗)−Gg2(x− y∗)∥∞
≫ N−1
(
N
1
r
(
logN
)− b1
r
−...− bν
r
+ν−1
) 1
p
−1(
logN
)(ν−1)
(
1− 1
p
− 1
θ
)
×∥g1(x− y∗)−Gg1(x− y∗)∥∞
≫M−r( logM)−b1−...−bν+(ν−1)r
M
1
p
−1(
logM
)(ν−1)
(
1− 1
p
− 1
θ
)
M
=M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1−...−bν+(ν−1)
(
r+1− 1
p
− 1
θ
)
.
Оцiнки знизу в (3.1) встановлено. Теорему 3.1 доведено.
В наступному твердженнi розглянемо iншi спiввiдношення мiж
числами r, b1, . . . , bd. Тобто нехай r ≤ b1 ≤ . . . ≤ bd, b2 > r. В цьому
випадку, згiдно з лемою 2.1, отримаємо
M ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r ,
logM ≍ logN, N ≍M r
(
logM
)b1 .
Припустимо, що
b1 = . . . = bν < bν+1 ≤ . . . ≤ bd.
Тодi для ν = 1 буде виконуватись r ≤ b1 < b2. Якщо ж ν ≥ 2, то
b1 > r.
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 357
Теорема 3.2. Нехай 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ θ < ∞, а Ω(t)− функцiя виду
(1.5). Тодi при 1
p < r < l, b2rp > 1 мають мiсце спiввiдношення
d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) ≍ dBM (BΩ
p,θ, L∞) ≍M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1 . (3.5)
Доведення. Оскiльки при 1 ≤ θ < ∞ виконується вкладення BΩ
p,θ ⊂
HΩ
p , то оцiнки зверху в (3.5) випливають iз вiдповiдної оцiнки
d⊥M (HΩ
p , L∞), одержаної в [11].
Для доведення в (3.5) оцiнок знизу, достатньо отримати оцiнку
знизу для величини dBM (BΩ
p,θ, L∞).
Виберемо вектор s̃ = (s̃1, . . . , s̃d) ∈ Θ(N) таким чином, щоб
s̃1 ≍ logN, s̃2 = . . . = s̃d = 1,
i покладемо
g3(x) = Ks̃(x) = ei(k
s̃,x)K2s̃1−2(x1),
де ks̃ = (2s̃1−1 + 2s̃1−2, 1, . . . , 1).
Розглянемо функцiю
g4(x) = C4N
−12
||s̃||1
(
1
p
−1
)
g3(x), C4 > 0.
Покажемо, що функцiя g4 при вiдповiдному виборi сталої C4 на-
лежить до класу BΩ
p,θ.
Дiйсно, скориставшись властивостями ядра Фейєра, будемо мати
∥g4∥BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)∥As(g4)∥θp
) 1
θ
≪ N−12
||s̃||1
(
1
p
−1
) (
Ω−θ(2−s̃)∥As̃(g3)∥θp
) 1
θ
≪ 2
||s̃||1
(
1
p
−1
)
∥As̃(g3)∥p ≍ 2
||s̃||1
(
1
p
−1
)
2
||s̃||1
(
1− 1
p
)
= 1.
Отже, g4 ∈ BΩ
p,θ з вiдповiдною сталою C4 > 0.
У роботi [11] встановлено, що iснує вектор y∗ = (y∗1, ..., y
∗
d) такий,
що для G ∈ LM (B)∞ виконується спiввiдношення
∥g3(x− y∗)−Gg3(x− y∗)∥∞ ≫M. (3.6)
Враховуючи, що
2∥s̃∥1 ≍ N
1
r
(
logN
)− b1
r ,
358 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
а також скориставшись оцiнкою (3.6), отримаємо
∥g4(x− y∗)−Gg4(x− y∗)∥∞
≫ N−12
||s̃||1
(
1
p
−1
)
∥g3(x− y∗)−Gg3(x− y∗)∥∞
≫M−r( logM)−b1M 1
p
−1
M =M
−r+ 1
p
(
logM
)−b1 .
Оцiнки знизу в (3.5) встановлено. Теорему 3.2 доведено.
Зауваження 3.1. Результати теорем 3.1 i 3.2 для класiв HΩ
p вста-
новленi М. М. Пустовойтовим в [11], причому при виконаннi умов
теореми 3.2 мають мiсце порядковi рiвностi
d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) ≍ dBM (BΩ
p,θ, L∞) ≍ d⊥M (HΩ
p , L∞) ≍ dBM (HΩ
p , L∞),
тобто оцiнки величин d⊥M (BΩ
p,θ, L∞) i dBM (BΩ
p,θ, L∞) не залежать вiд
параметра θ.
Лiтература
[1] Н. К. Бари, С. Б. Стечкин, Наилучшие приближения и дифференциальные
свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва, 5 (1956), 483–
522.
[2] S un Yongsheng, Wang Heping, Representation and approximation of multivariate
periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та
им. В.А. Стеклова, 219 (1997), 356–377.
[3] Н. Н. Пустовойтов, Представление и приближение периодических функций
многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности //
Anal. Math., 20, (1994), 35–48.
[4] С. А. Стасюк, О. В. Федуник, Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ
перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн., 58 (2006), No. 5,
692–704.
[5] П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной глад-
кости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стекло-
ва, 187 (1989), 143–161.
[6] В. Н. Темляков, Поперечники некоторых классов функций нескольких пере-
менных // Докл. АН СССР, 267 (1982), No. 2, 314–317.
[7] В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной произво-
дной // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова, 178 (1986), 1–112.
[8] В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций
с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та им.
В.А.Стеклова, 189 (1989), 138–168.
О. В. Федуник-Яремчук, К. В. Солiч 359
[9] А. С. Романюк, Наилучшие приближения и поперечники классов периоди-
ческих функций многих переменных // Мат. сб., 199 (2008), No. 2, 93–114.
[10] А. С. Романюк, Поперечники и наилучшие приближения классов Brp,θ пери-
одических функций многих переменных // Anal. Math., 37 (2011), 181–213.
[11] Н. Н. Пустовойтов, Ортопоперечники классов многомерных периодических
функций, мажоранта смешанных модулей непрерывности которых содер-
жит как степенные, так и логарифмические множители // Anal. Math.,
34 (2008), 187–224.
[12] Н. Н. Пустовойтов, Ортопоперечники некоторых классов периодических
функций двух переменных с заданной мажорантой смешанных модулей не-
прерывности // Изв. РАН. Серия матем., 64 (2000), 123–144.
[13] А. Ф. Конограй, Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ пе-
рiодичних функцiй двох змiнних iз заданою мажорантою мiшаних модулiв
неперервностi // Укр. мат. журн., 63 (2011), No. 2, 176–186.
[14] А. Ф. Конограй, Оценки аппроксимативных характеристик классов BΩ
p,θ пе-
риодических функций многих переменных с заданной мажорантой смешан-
ных модулей непрерывности // Мат. заметки, 95 (2014), No. 5, 734–749.
[15] А. Ф. Конограй, О. В. Федуник–Яремчук, Оцiнки апроксимативних хара-
ктеристик класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою
мажорантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення фун-
кцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 10
(2013), No. 1, 148–160.
[16] А. Ф. Конограй, О. В. Федуник–Яремчук, Оцiнки ортопроекцiйних попере-
чникiв класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою мажо-
рантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення функцiй та
сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 11 (2014), No. 3,
146–165.
[17] А. Ф. Конограй, О. В. Федуник–Яремчук, Оцiнки ортопроекцiйних попере-
чникiв класiв BΩ
∞,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних iз заданою ма-
жорантою мiшаних модулiв неперервностi // Теорiя наближення функцiй
та сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 12 (2015),
No. 4, 205–215.
[18] А. С. Романюк, О приближении классов периодических функций многих пе-
ременных // Укр. мат. журн., 44 (1992), No. 5, 662–672.
[19] С. А. Стасюк, Наилучшие приближения периодических функций многих пе-
ременных из классов BΩ
p,θ // Мат. заметки, 87 (2010), No. 1, 108–121.
[20] С. А. Стасюк, Приближение суммами Фурье и колмогоровские поперечники
классов MBΩ
p,θ периодических функций нескольких переменных // Тр. ИММ
УрО РАН, 20 (2014), No. 1, 247-257.
360 Оцiнки апроксимативних характеристик класiв BΩ
p,θ
[21] Н. Н. Пустовойтов, Приближение многомерных функций с заданной ма-
жорантой смешанных модулей непрерывности // Мат. заметки, 65 (1999),
No. 1, 107–117.
[22] С. М. Никольский, Неравенства для целых функций конечной степени и их
применение в теории дифференцируемых функций многих переменных //
Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 38 (1951), 244–278.
[23] D. Jakson, Certain problem of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc.,
39 (1933), 889–906.
[24] Н. Н. Пустовойтов, О приближении и характеризации периодических фун-
кций многих переменных, имеющих мажоранту смешанных модулей непре-
рывности специального вида // Anal. Math., 29 (2003), 201–218.
Вiдомостi про авторiв
Оксана
Володимирiвна
Федуник-Яремчук
Схiдноєвропейський нацiональний
унiверситет iменi Лесi Українки,
Луцьк, Україна
E-Mail: fedunyk@ukr.net
Катерина
Василiвна Солiч
Схiдноєвропейський нацiональний
унiверситет iменi Лесi Українки,
Луцьк, Україна
E-Mail: solichkatia@gmail.com
|