О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей
Работа посвящена исследованию одной достаточно общей проблемы геометрической теории функций об экстремальном разбиении комплексной плоскости.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169369 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей / Я.В. Заболотный, Л.В. Выговская // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 440-451. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169369 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1693692020-06-11T01:27:00Z О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей Заболотный, Я.В. Выговская, Л.В. Работа посвящена исследованию одной достаточно общей проблемы геометрической теории функций об экстремальном разбиении комплексной плоскости. The article is devoted to the study of a quite general problem of the geometric theory of functions on an extreme decomposition of the complex plane. 2017 Article О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей / Я.В. Заболотный, Л.В. Выговская // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 440-451. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C75 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169369 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Работа посвящена исследованию одной достаточно общей проблемы геометрической теории функций об экстремальном разбиении комплексной плоскости. |
| format |
Article |
| author |
Заболотный, Я.В. Выговская, Л.В. |
| spellingShingle |
Заболотный, Я.В. Выговская, Л.В. О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей Український математичний вісник |
| author_facet |
Заболотный, Я.В. Выговская, Л.В. |
| author_sort |
Заболотный, Я.В. |
| title |
О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей |
| title_short |
О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей |
| title_full |
О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей |
| title_fullStr |
О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей |
| title_full_unstemmed |
О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей |
| title_sort |
о произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169369 |
| citation_txt |
О произведении внутренних радиусов симметричных многосвязных областей / Я.В. Заболотный, Л.В. Выговская // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 3. — С. 440-451. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT zabolotnyjâv oproizvedeniivnutrennihradiusovsimmetričnyhmnogosvâznyhoblastej AT vygovskaâlv oproizvedeniivnutrennihradiusovsimmetričnyhmnogosvâznyhoblastej |
| first_indexed |
2025-07-15T04:06:47Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:06:47Z |
| _version_ |
1837684394251255808 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 3, 440 – 451
О произведении внутренних радиусов
симметричных многосвязных областей
Ярослав В. Заболотный, Людмила В. Выговская
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Работа посвящена исследованию одной достаточно
общей проблемы геометрической теории функций об экстремальном
разбиении комплексной плоскости. В статье рассматривается задача
о максимуме функционала
In(γ) = rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak),
где γ ∈ (0, 1], n ≥ 2, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, n, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n,
{Bk}nk=0 – система неналегающих многосвязных областей, причем
области {Bk}nk=1 симметричные относительно единичной окружно-
сти, r(B, a) – внутренний радиус области B ⊂ C относительно точки
a ∈ B.
2010 MSC. 30C75.
Ключевые слова и фразы. Inner radius of domain, non-overlapping
domains, radial system of points, separating transformation, quadratic
differential, Green’s function.
Пусть N и R множества натуральных и действительных чисел,
соответственно, C – комплексная плоскость, и пусть C = C
∪
{∞} –
расширенная комплексная плоскость или сфера Римана, R+ = (0,∞).
На расширенной комплексной плоскости рассмотрим систему про-
извольных неналегающих многосвязных областей {Bk}nk=0, n ∈ N,
n > 2 таких, что Bk ⊂ C, Bk ∩ Bm = ∅, k ̸= m, k,m = 0, n, при-
чем области {Bk}nk=1 обладают симметрией относительно единичной
Статья поступила в редакцию 25.09.2017
Авторы выражают благодарность профессору А.К. Бахтину за постановку
задачи, ценные советы и комментарии.
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская 441
окружности. Пусть r(B, a) – внутренний радиус области B ⊂ C отно-
сительно точки a ∈ B (см. [2, 8]).
Пусть n ∈ N. Множество точек An :=
{
ak ∈ C : k = 1, n
}
называ-
ется n-лучевой системой, если |ak| ∈ R+, k = 1, n, и
0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π.
Пусть α0 = max
k
αk, k = 1, n. Введем обозначение Pk = Pk(An) :=
{w : arg ak < argw < arg ak+1}, an+1 := a1,
α1 :=
1
π (arg a2 − arg a1), α2 :=
1
π (arg a3 − arg a2)...
αn := 1
π (2π − arg an), αn+1 := α1, k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
Рассмотрим следующую экстремальную задачу.
Задача 1. Показать, что максимум функционала
In(γ) = rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak), (1.1)
где γ ∈ R+,B0, . . . , Bn (n ≥ 2) — попарно непересекающиеся области в
C, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, n, достигается для некоторой конфигурации
из областей Bk и точек ak, причем ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n и области
B1, . . . , Bn симметричные относительно единичной окружности.
В 1968 г. П. М. Тамразов в работе [1] впервые привлек внимание
специалистов к изучению эктремальных задач, которым соответству-
ют квадратичные дифференциалы со свободными полюсами. В 1994
г. В. Н. Дубинин сформулировал Задачу 1, которая является одной из
задач со свободными полюсами на окружности, как открытую про-
блему в работе [2]. Частный вариант данной задачи был поставлен
гораздо ранее – в 1984 г. для симметричных односвязных областей со
свободными полюсами (см. работу [3]). В 2000 г. при γ = 1 и для всех
n > 2 эту задачу решил Л. В. Ковалев [4, 5]. В 2017 году в работе [7]
Задача 1 исследована в случае n = 2 и γ ∈ (0, 2]. В данной статье
рассматривается задача для любого γ ∈ (0, 1] и n ≥ 2.
Справедлива теорема.
Теорема 1.1. Пусть n ∈ N, n ≥ 2, γ ∈ (0, 1]. Тогда для прои-
звольного набора точек ak, таких, что a0 = 0, |ak| = 1, a1 = 1,
k = 1, n, и любого набора взаимно непересекающихся областей Bk,
a0 = 0 ∈ B0 ⊂ C, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, причем области Bk,
442 О произведении внутренних радиусов...
k = 1, n, обладают симметрией относительно единичной окружно-
сти |w| = 1, справедливо неравенство
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤
(
4
n
)n
·
(
2γ
n2
) γ
n(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
·
(
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
)√
2γ
. (1.2)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда ak и Bk, k =
0, n, являются, соответственно, полюсами и круговыми областями
квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
2n + 2(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (1.3)
Доказательство. Доказательство теоремы 1.1 основывается на ме-
тодах и идеях работ [4–8]. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Пусть α0 > 2√
2γ
. Заметим, что в таком случае нам
достаточно рассматривать только такие γ, которые удовлетворяют
неравенство 1
2 < γ ≤ 1.
Покажем, что при условии α0 > 2√
2γ
, значение функционала (1.1)
удовлетворяет соотношение (1.2). Справедлива следующая цепочка
неравенств:
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) =
n∏
k=1
[r(B0, 0)r(Bk, ak)]
γ
n
[
n∏
k=1
r(Bk, ak)
]1− γ
n
6
[
n∏
k=1
|ak|2
] γ
n
·
[
2n
n∏
k=1
αk
]1− γ
n
6
[
2n
n∏
k=1
αk
]1− γ
n
6
[
2nα0
(
2− α0
n− 1
)n−1
]1− γ
n
=
[
2nα0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)
]1− γ
n
,
где α0 = max
k
αk и 2 − α0 6 2 − 2√
2γ
, α0 > 2
n . С другой стороны,
из результатов работы [8] и свойств разделяющего преобразования,
получаем
I0n(γ) = rγ
(
B
(0)
0 , 0
) n∏
k=1
r
(
B
(0)
k , a
(0)
k
)
=
(
4
n
)n
·
(
2γ
n2
) γ
n(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
·
(
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
)√
2γ
,
Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская 443
где B(0)
k , a(0)k , k = 0, n, a(0)0 = 0, это, соответственно, круговые обла-
сти и полюсы квадратичного дифференциала (1.3). Далее, введем
обозначение (см. [8]). Пусть
Jn(γ) =
In(γ)
I0n(γ)
=
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak)
rγ(B
(0)
0 , 0)
n∏
k=1
r(B
(0)
k , a
(0)
k )
.
Справедливо следующее неравенство:
Jn(γ) 6
[
4n · 1√
2γ
(1− 1√
2γ
)n−1(n− 1)−(n−1)
]1− γ
n
(
4
n
)n · (
2γ
n2
) γ
n(
1− 2γ
n2
)n
2 +
γ
n
·
(
1−
√
2γ
n
1+
√
2γ
n
)√
2γ
6 1
4γ
·
(
1 +
1
n− 1
)n−1−γ+ γ
n
· nγ+1+ γ
n ·
(
1− 1√
2γ
)n−1−γ+ γ
n
(1.4)
×
(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
)√
2γ
·
(
1
2γ
) 1
2
+ γ
2n
.
Оценим данное выражение при n ≥ 6. Отдельно рассмотрим слу-
чаи для n = 2, 5. Так,(
1 +
1
n− 1
)n−1−γ+ γ
n
< e.
Далее,
(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
< 1 и
(
1
2γ
) 1
2
+ γ
2n
< 1. Выражение
(
1+
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
)√
2γ
убывает по n при фиксированном γ. Тогда(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
)√
2γ
≤
(
1 +
√
2γ
6
1−
√
2γ
6
)√
2γ
< 1.9728.
Таким образом, получим следующее неравенство
Jn(γ) < 5.3627 · 1
4γ
· nγ+1+ γ
n ·
(
1− 1√
2γ
)n−1−γ+ γ
n
. (1.5)
Поскольку выражение 1
4γ · nγ+1+ γ
n ·
(
1− 1√
2γ
)n−1−γ+ γ
n возрастает
по γ при γ ∈ (0.5; 1], то получим оценку
1
4γ
· nγ+1+ γ
n ·
(
1− 1√
2γ
)n−1−γ+ γ
n
<
1
4
· n2+
1
n ·
(
1− 1√
2
)n−2+ 1
n
.
444 О произведении внутренних радиусов...
Учитывая убывание последнего выражения по n при n ≥ 6, имеем
1
4γ
· nγ+1+ γ
n ·
(
1− 1√
2γ
)n−1−γ+ γ
n
≤ 0.0728.
Принимая во внимание последнее неравенство и неравенство (1.5)
получим, что при 1
2 < γ ≤ 1 и n ≥ 6, справедливо неравенство
Jn(γ) < 5.3627 · 0.0728 < 0.3924 < 1.
Таким образом, при n ≥ 6 и α0 > 2√
2γ
теорема доказана.
Рассмотрим выражение (1.4) при n = 5. Тогда(
1 +
1
4
)4−γ+ γ
5
< 2.0423.
Далее,
(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
< 1 и
(
1
2γ
) 1
2
− 2γ
n
< 1,
(
1+
√
2γ
5
1−
√
2γ
5
)√
2γ
< 2.2761.
Тогда 1
4γ · 5γ+1+ γ
5 ·
(
1− 1√
2γ
)4−γ+ γ
5
< 0.1695.
Из написаного выше получается, что функционал (1.4) ограничен
Jn(γ) < 2.0423 · 2.2761 · 0.1695 < 0.7880 < 1.
Пусть n = 4. Аналогичным образом получаем(
1 +
1
3
)3−γ+ γ
4
< 1.9104.
Далее,
(
1− γ
8
)2+ γ
4 < 0.7405 и
(
1
2γ
) 1
2
+ γ
2n
< 0.6484,
(
1+
√
2γ
4
1−
√
2γ
4
)√
2γ
<
2.8437. В то же время 1
4γ · 4γ+1+ γ
4 ·
(
1− 1√
2γ
)3−γ+ γ
4
< 0.3571.
Из написаного выше получается, что
Jn(γ) < 1.9104 · 0.7405 · 2.8437 · 0.3571 · 0.6484 < 0.9315 < 1.
Пусть n = 3. Тогда функционал упростится к следующему
I3(γ) =
(
3∏
k=0
r (Bk, ak)
)γ ( 3∏
k=1
r (Bk, ak)
)1−γ
.
Используя работу Г. В. Кузьминой [11] и теорему Г. М. Голузина
[12, с. 165], будем иметь
I3(γ) ≤
(
9
4
8
3
)γ ( 64
81
√
3
)1−γ
(|a1 − a2| · |a1 − a3| · |a2 − a3|)1−
1
3
γ .
Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская 445
В связи с тем, что αk ≥ 2√
2γ
, то
I3(γ) ≤
(
9
4
8
3
)γ ( 64
81
√
3
)1−γ
×
(
8 sin2
π
2
(
1− 1√
2γ
)
sinπ
(
1− 1√
2γ
))1− 1
3
γ
.
Поскольку последнее выражение возрастает по γ при 1
2 < γ ≤ 1,
то функционал будет ограничен некоторым числом
I3(γ) < 0.2595.
В то же время I03 (γ) убывает при 1
2 < γ ≤ 1, а значит при данных γ
имеем, что I03 (γ) ≥ I03 (1) > 0.5349.
Тогда, при n = 3 и α0 > 2√
2γ
, справедливо неравенство
J3(γ) < 1.
Осталось рассмотреть случай для n = 2. Тогда функционал при-
мет вид
I2(γ) =
(
2∏
k=0
r (Bk, ak)
)γ ( 2∏
k=1
r (Bk, ak)
)1−γ
.
Используя результат Г. М. Голузина [12, с. 165] и теорему М. А. Лав-
рентьева [13], получим неравенство
I2(γ) ≤
(
64
81
√
3
)γ
(|a1 − a2|)2−γ .
А учитывая, что αk ≥ 2√
2γ
, то
I2(γ) ≤
(
64
81
√
3
)γ (
sinπ
(
1− 1√
2γ
))2−γ
.
Последнее выражение возрастает по γ при 1
2 < γ ≤ 1, тогда спра-
ведливо, что значение функционала I2(γ) будет ограничено некото-
рой константой, то есть
I2(γ) < 0.3629.
В то же время I02 (γ) убывает при 1
2 < γ ≤ 1, а значит при данных γ
справедливо неравенство I02 (γ) ≥ I02 (1) > 0.6613.
446 О произведении внутренних радиусов...
Таким образом, при n = 2 и α0 > 2√
2γ
выполняется неравенство
J2(γ) < 1.
Таким образом, при n ≥ 2 и α0 > 2√
2γ
случай 1 полностью доказан.
Случай 2. Остается рассмотреть случай, когда αk <
2√
2γ
, k =
1, n. Для этого будем использовать метод разделяющего преобразо-
вания, разработанный в работах [2, 8, 9]. Аналогично работе [8], мы
используем разделяющее преобразование каждой из областей Bk соо-
тветственно подходящей семьи функций {πk(w)}nk=1 = −i
(
e−iθkw
) 1
αk ,
которая конформно отображает области на верхнюю полуплоскость
относительно углов {Pk}nk=1.
Пусть D
(1)
k , k = 1, n, обозначим область множества Cζ , полу-
ченную в результате объединения связной компоненты множества
πk(Bk
∩
P k), содержащая точку πk(ak) с собственным симметричным
отражением относительно мнимой оси. В свою очередь, через D(2)
k ,
k = 1, n, обозначим такую область множества Cζ , которая получена в
результате объединения связной компоненты множества πk(Bk+1
∩
P k)
и содержащая точку πk(ak+1) с собственным симметричным отраже-
нием относительно мнимой оси, Bn+1 := B1, πn(an+1) := πn(a1). Кро-
ме того, обозначим через D(0)
k такую область множества Cζ , которая
получена в результате объединения связной компоненты множества
πk(B0
∩
P k), содержащая точку ζ = 0 с собственным симметричным
отражением относительно мнимой оси. Из определения функции πk,
следует, что
|πk(w)− πk(ak)| ∼
1
αk
|ak|
1
αk
−1 · |w − ak|, w → ak, w ∈ Pk,
|πk(w)− πk(ak+1)| ∼
1
αk
|ak+1|
1
αk
−1 · |w − ak+1|, w → ak+1, w ∈ Pk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → 0, w ∈ Pk.
Далее, используя результат работ [2, 9], получаем неравенства
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤
(
n∏
k=1
αk
)
(1.6)
×
[
n∏
k=1
rα
2
kγ
(
G
(0)
k , 0
)
r
(
G
(1)
k , 1
)
r
(
G
(2)
k ,−1
)] 1
2
,
Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская 447
где G(0)
k , G
(1)
k , G
(2)
k – круговые области квадратичного дифференциа-
ла
G(w)dw2 =
(4− α2
kγ)w
2 + α2
kγ
w2(w2 − 1)2
dw2
Снова применяя к областям G
(0)
k , G
(1)
k , G
(2)
k разделяющее преобра-
зование, где π(w) = 2w
1+w2 , и используя методы работ [4,7,8] получаем
оценку для функционала
Jn(γ)6
(
n∏
k=1
αk
)[
n∏
k=1
22(1−α
2
kγ)
{
rα
2
kγ
(
D
(0)
k , 0
)
r
(
D
(1)
k , 1
)
r
(
D
(2)
k ,−1
)}] 1
4
,
гдеD(0)
k ,D(1)
k ,D(2)
k неналегающие области в C. Принимая во внимание
Теорему 1 работы [7] и метод, разработанный в работе [2], получим
функцию
Jn(γ)6
(
n∏
k=1
1√
2γ
)[
n∏
k=1
28 · (αk
√
2γ)
α2
k·2γ+4
(2− αk
√
2γ)−
(2−αk
√
2γ)2
2
] 1
4
×
[
n∏
k=1
(2 + αk
√
2γ)−
(2+αk
√
2γ)2
2
] 1
4
6
(
n∏
k=1
1√
2γ
)
·
[
n∏
k=1
Ψ(xk)
] 1
4
,
где
Ψ(x) = 28 ·xx2+4 ·(2−x)−
1
2
(2−x)2 ·(2+x)−
1
2
(2+x)2 , x = αk
√
2γ, x ∈ [0, 2].
Рассмотрим экстремальную задачу
n∏
k=1
Ψ(xk) −→ max,
n∑
k=1
xk = 2
√
2γ,
xk = αk
√
2γ, 0 < xk ≤ 2.
Пусть F (x) = ln (Ψ(x)) и X(0) =
{
x
(0)
k
}n
k=1
– произвольная эк-
стремальная точка выше указанной задачи. Повторяя рассуждения
работы [6] получаем утверждение: если 0 < x
(0)
k < x
(0)
j < 2, k ̸= j,
тогда имеет место соотношение
F ′(x
(0)
k ) = F ′(x
(0)
j ),
где k, j = 1, n, k ̸= j, F ′(x) = 2x lnx+(2−x) ln(2−x)−(2+x) ln(2+x)+ 4
x
(см. Рис. 1).
448 О произведении внутренних радиусов...
Рис. 1: График функции F ′(x)
Убедимся, что имеет место утверждение: если функция
Z(x1, . . . , xn) =
n∑
k=1
F (xk) достигает максимума в точке (x
(0)
1 , . . . , x
(0)
n )
при условиях 0 < x
(0)
k < 2, k = 1, n,
n∑
k=1
x
(0)
k = 2
√
2γ, тогда
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x(0)n .
Пусть для простоты x
(0)
1 6 x
(0)
2 6 . . . 6 x
(0)
n . Функция
F ′′(x) = ln
(
x2
4− x2
)
− 4
x2
строго возрастает на (0, 2) и существует x0 ≈ 1, 768828 такое, что
signF ′′(x) ≡ sign(x− x0).
Учитывая свойства функции F ′(x) и условия теоремы, а также
опираясь на метод, разработанный в [6], имеем, что для F ′(x) всегда
выполняется соотношение (x1 − 1, 45)n + (x2 − x1) > 0 для n > 2.
Отсюда nx1 + (x2 − x1) > 1, 45n. И, окончательно, получаем
(n− 1)x1 + x2 > 2
√
2γn, n > 2.
Таким образом, в случае n > 2 набор точек
{
x
(0)
k
}n
k=1
не может быть
экстремальным при условии x
(0)
n ∈ (x0; 2]. Следовательно, для эк-
стремального набора
{
x
(0)
k
}n
k=1
возможен только случай, когда x(0)k ∈
Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская 449
(0, x0], k = 1, n, и x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x
(0)
n . Для всех γ < 1, n > 2, все
предыдущие рассуждения сохраняются.
Далее пусть F ′(x) = t, y0 6 t 6 −0, 78, y0 ≈ −1, 059. Рассмо-
трим следующие значения t: t1 = −0, 78, t2 = −0, 80, t3 = −0, 85,
t4 = −0, 90, · · · , t11 = −1, 05, t12 = −1, 059. Найдем решение уравне-
ния F ′(x) = tk, k = 1, 12. Для ∀tk ∈ [y0,−0, 78) уравнение имеет два
решения: x1(t) ∈ (0, x0], x2(t) ∈ (x0, 2], x0 ≈ 1, 768828. Непосредствен-
ные вычисления представлены в таблице, приведенной ниже.
k tk x1(tk) x2(tk) x1(tk) + x2(tk+1) 2x1(tk) + x2(tk+1)
1 -0,78 1,458417 1,998914
2 -0,80 1,470034 1,994779 3,453196 4,911613
3 -0,85 1,501193 1,980165 3,450199 4,920233
4 -0,90 1,536275 1,959964 3,461157 4,962350
5 -0,95 1,577242 1,932788 3,469063 5,005338
6 -1,00 1,628755 1,894239 3,471481 5,048723
7 -1,01 1,641325 1,884177 3,512932 5,141687
8 -1,02 1,655169 1,872815 3,514140 5,155465
9 -1,03 1,670801 1,859641 3,514810 5,169979
10 -1,04 1,689217 1,843656 3,514457 5,185258
11 -1,05 1,712998 1,822285 3,511502 5,200719
12 -1,059 1,768589 1,769066 3,482064 5,195062
Учитывая свойства функции F ′(x) и условия теоремы, получаем
неравенство
n∑
k=1
xk(t) > (n− 1)x1(tk) + x2(tk+1) > 2
√
2γn,
где tk 6 t 6 tk+1, k = 1, 11. Таким образом, для экстремального
набора X(0) возможен только случай, когда
{
x
(0)
k
}n
k=1
∈ (0, x0], x0 ≈
1, 7688283, и, следовательно, x(0)1 = x
(0)
2 = · · · = x
(0)
n .
А значит максимум произведения
∏n
k=1Ψ(xk) достигается при
условии, когда все xk равны между собой. Таким образом, справе-
дливо неравенство
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤
(
1√
2γ
)n [
Ψ
(
2
n
√
2γ
)]n
4
.
Используя выражение для Ψ(x), окончательно получаем неравен-
ство (1.2). Знак равенства проверяется непосредственно. Теорема 1.1
полностью доказана.
450 О произведении внутренних радиусов...
Литература
[1] П. М. Тамразов, Экстремальные конформные отображения и по- люсы ква-
дратичных дифференциалов // Изв. АН СССР. Серия мат., 32 (1968), No. 5,
1033–1043.
[2] В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного // Успехи мат. наук, 49 (1994), No. 1 (295), 3–76.
[3] Г. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих обла-
стей // Современ. вопр. веществен. и комплексн. анализа, Ин–т матем. АН
УССР, Киев, (1984), 21–27.
[4] Л. Koвалев, О внутренних радиусах симметричных неналегающих обла-
стей // Изв. вузов. Матем., (2000), No. 6, 80–81.
[5] Л. Koвалев, О трех непересекающихся областях // Дальневост. матем.
журн., 1:1, (2000), 3–7.
[6] Л. Koвалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами
на окружности // Дальневост. матем. сб., 2 (1996), 96–98.
[7] A. Bakhtin, G. Bakhtina, I. Denega, An extremal decomposition of complex plain
with fixed poles // Zb. Institute of mathematics of NAS, 14 (1) (2017), 34–38.
[8] A. Бахтин, Г. Бахтина, Ю. Зелинский, Тополого-алгебраические структуры и
методы в комплексном анализе // Труды Ин–та математики НАН Украины,
73, 2008, C. 308.
[9] В. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремаль-
ном разбиении // Аналитическая теория чисел и теория функций, Зап. на-
учн. сем. ЛОМИ, 168, Изд–во “Наука“, Ленинград. отд., Л., (1988), 48–66.
[10] В. Дубинин, Метод симметризации в задачах о неналегающих областях //
Матем. сб., 128(170) (1985), No. 1(9), 110–123.
[11] Г. Кузьмина, К задаче о максимуме произведения конформных радиусов не-
налегающих областей // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1980, 131–145.
[12] Г. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, М.,
Наука, 1966.
[13] М. Лаврентьев, К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та
АН СССР., 5 (1934), 159–245.
Сведения об авторах
Ярослав
Владимирович
Заболотный
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: yaroslavzabolotnii@gmail.com
Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская 451
Людмила
Вячеславовна
Выговская
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: liudmylavygivska@ukr.net
|