Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях
Хочу поблагодарить рецензента за очень внимательное прочтение работы и ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению изложения результатов данной работы.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169371 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях / А.К. Бахтин // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 456-471. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169371 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1693712020-06-12T01:26:08Z Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях Бахтин, А.К. Хочу поблагодарить рецензента за очень внимательное прочтение работы и ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению изложения результатов данной работы. 2017 Article Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях / А.К. Бахтин // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 456-471. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C75 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169371 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Хочу поблагодарить рецензента за очень внимательное прочтение работы и ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению изложения результатов данной работы. |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, А.К. |
| spellingShingle |
Бахтин, А.К. Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях Український математичний вісник |
| author_facet |
Бахтин, А.К. |
| author_sort |
Бахтин, А.К. |
| title |
Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях |
| title_short |
Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях |
| title_full |
Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях |
| title_fullStr |
Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях |
| title_full_unstemmed |
Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях |
| title_sort |
разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169371 |
| citation_txt |
Разделяющее преобразование и экстремальные задачи о неналегающих односвязных областях / А.К. Бахтин // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 456-471. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak razdelâûŝeepreobrazovanieiékstremalʹnyezadačionenalegaûŝihodnosvâznyhoblastâh |
| first_indexed |
2025-07-15T04:06:54Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:06:54Z |
| _version_ |
1837684400921247744 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 14 (2017), № 4, 456 – 471
Разделяющее преобразование и экстремальные
задачи о неналегающих односвязных областях
Александр К. Бахтин
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В данной работе изучается известная проблема о ма-
ксимуме функционала
In(γ) = rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) ,
где B0, . . . , Bn попарно непересекающиеся области в C, a0 = 0, |ak| =
1, k = 1, n различные точки окружности, γ ∈ (0, n], r(B, a) — вну-
тренний радиус области B ⊂ C относительно точки a. В случае одно-
связных областей и n = 2, 3, 4 получено решение этой проблемы для
максимального на данный момент интервала значений параметра γ.
2010 MSC. 30C75.
Ключевые слова и фразы. Внутренний радиус области, непересе-
кающиеся области, лучевые системы точек, управляющий функци-
онал, разделяющее преобразование, квадратичный дифференциал,
функция Грина.
Пусть C — комплексная плоскость, C = C
∪
{∞} — одноточе-
чная компактификация комплексной плоскости или сфера Римана,
N, R — множество натуральных и вещественных чисел, соответствен-
но, R+ = (0,∞). Величина r(B, a) обозначает внутренний радиус
области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B. Экстремальные задачи о
неналегающих областях со свободными полюсами являются важным
направлением геометрической теории функций см. [1–23].
В данной работе изучается одна известная задача такого рода [1]:
Задача 1. При любом фиксированном значении γ ∈ (0, n] найти
максимум функционала
In(γ) = rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) , (1)
Статья поступила в редакцию 29.11.2017
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
А. К. Бахтин 457
где B0, B1, B2,...,Bn, n > 2, — произвольная система взаимно непере-
секающихся областей, точки |ak| = 1, 0 ∈ B0, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, и
описать все экстремали.
Задача 1 в качестве открытой проблемы была поставлена в рабо-
те [1]. В настоящее время эта проблема не решена, но в некоторых
частных случаях ее решение удалось получить. В данной работе эта
проблема изучается при n = 2, 3, 4 для случая односвязных областей
{Bk}nk=0 на основе метода разделяющего преобразования. Но предва-
рительно мы докажем один вспомагательный результат.
Система точек An := {ak}nk=1, называется n-лучевой системой то-
чек, если |ak| ∈ R+, k = 1, n, и 0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π.
Пусть αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1, k = 1, n.
Следующее утверждение обобщает один результат из [5].
Лемма 1. Пусть n > 2, n > γ > 0,∆ > 0 и An := {ak}nk=1 — n-
лучевая система точек такая, что
n∏
k=1
|ak| ≤ 1. Тогда для любого
набора взаимно непересекающихся областей {Bk}nk=0, ak ∈ Bk ⊂ C,
k = 0, n, a0 = 0 такого, что rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≥ ∆ справедливо
неравенство
r (B0, 0) ≤ n
− n
2(n−γ) ·∆− 1
n−γ . (2)
Лемма 1 обобщает аналогичный результат из работы [5] на случай
n-лучевых систем точек.
Доказательство. Пусть d(E) — трансфинитный диаметр компактно-
го множества E ⊂ C. Тогда справедливо соотношение
r (B0, 0) = r
(
B+
0 ,∞
)
=
1
d(C \B+
0 )
≤ 1
d(
n∪
k=1
B
+
k )
, (3)
где B+ = {z; 1z ∈ B}. В силу известной теоремы Пойа [13, с. 292],
справедливо неравенство mE ≤ πd2(E), где mE обозначает лебегову
меру компактного множества E. Отсюда немедленно получаем, что
d(E) ≥
(
1
πmE
) 1
2 . Тогда из (3) следует, что
r (B0, 0) ≤
1
d(
n∪
k=1
B
+
k )
≤ 1√
1
πm(
n∪
k=1
B
+
k )
=
[
1
π
n∑
k=1
mB
+
k
]− 1
2
. (4)
458 Разделяющее преобразование и экстремальные...
Для ограниченной односвязной области B, a ∈ B рассмотрим класс
всех регулярных функций φ(z), φ(a) = 0, φ′(a) = 1, заданных в обла-
сти B и площадь образа области B при отображении произвольной
функцией φ(z). Из теоремы о минимизации площади [13, с. 34], сле-
дует, что ∫∫
B
|φ′(z)|2dxdy ≥ πr2 (B, a) , (5)
где r (B, a) — конформный радиус области B относительно точки a.
Полагая φ1(z) = (z − a) из (5) следует, что
S(B) = m(B) ≥ πr2 (B, a) . (6)
Из неравенства (4) непосредственно вытекает, что
r (B0, 0) ≤
[
1
π
n∑
k=1
mB
+
k
]− 1
2
≤
[
1
π
n∑
k=1
mB+
k
]− 1
2
≤
[
n∑
k=1
r2
(
B+
k , a
+
k
)]− 1
2
.
Отсюда следует неравенство
r (B0, 0) ≤
1[
n∑
k=1
r2
(
B+
k , a
+
k
)] 1
2
.
С учетом соотношения r
(
B+
k , a
+
k
)
= r(Bk,ak)
|ak|2
приходим к неравенству
r (B0, 0) ≤
1
n∑
k=1
r2(Bk,ak)
|ak|4
1
2
. (7)
Отсюда и из предположения леммы 1 вытекает соотношение
∆ ≤ rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤
n∏
k=1
r (Bk, ak)[
n∑
k=1
r2(Bk,ak)
|ak|4
] γ
2
.
Тогда не трудно получить следующее неравенство
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≥ ∆ ·
[
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] γ
2
. (8)
А. К. Бахтин 459
Из неравенства Коши автоматически получаем соотношение
1
n
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
≥
[
n∏
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] 1
n
.
Отсюда, используя неравенство
n∏
k=1
|ak| ≤ 1, нетрудно получить, что
[
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] γ
2
≥
n[ n∏
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] 1
n
γ
2
≥ n
γ
2
[
n∏
k=1
r (Bk, ak)
] γ
n
.
(9)
Из (8) и (9) непосредственно следует, что
[
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] γ
2
≥ n
γ
2
∆[ n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] γ
2
γ
n
= n
γ
2∆
γ
n
[
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] γ2
2n
.
Далее получаем, что
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
≥ n∆
2
n
[
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] γ
n
.
И наконец получаем, что[
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
]n−γ
n
≥ n∆
2
n .
Тогда [
n∑
k=1
r2 (Bk, ak)
|ak|4
] 1
2
≥
(
n∆
2
n
) n
2(n−γ)
= n
n
2(n−γ)∆
1
n−γ .
Отсюда и из соотношения (7) следует искомое неравенство
r (B0, 0) ≤ n
− n
2(n−γ) ·∆− 1
n−γ .
460 Разделяющее преобразование и экстремальные...
Теперь рассмотрим приложения леммы 1 к исследованию задачи 1
при n = 2, 3, 4.
Теорема 1. Пусть n ∈ {2, 3, 4}, γ2 = 1, 66, γ3 = 2, 1, γ4 = 2, 5,
γ ∈ (1, γn]. Тогда для произвольной системы различных точек едини-
чной окружности {ak}nk=1 и любых взаимно непересекающихся одно-
связных областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, a0 = 0 справедливо
неравенство
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6 rγ (Λ0, 0)
n∏
k=1
r (Λk, λk) , (10)
где Λk, λk, k = 0, n, λ0 = 0 — круговые области и, соответственно,
полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (11)
Доказательство. В силу работы [5, c. 26] теорему 1 при n = 2 необ-
ходимо доказать только при 1, 6 ≤ γ ≤ 1, 66.
При n = 2 и γ2 = 1, 66 используя величину значения экстремаль-
ного функционала [4, c. 256], имеем
∆ = I02 (1, 66) =
4γ
γ
2
(1− γ
4 )
2+ γ
2
(
1−
√
γ
2
1 +
√
γ
2
)2
√
γ ∣∣∣
γ=1,66
≈ 0, 53773.
Из леммы 1 получаем
r (B0, 0) ≤ 2
− 1
0,34 (0, 53773)
− 1
0,34 = 0, 807375,
r0,66 (B0, 0) = 0, 868299.
Предполагая α0 ≥ 2√
1,66
(α0 = max
1≤k≤n
αk) с учетом известного нера-
венства Голузина [13, c. 165], получаем цепочку соотношений
I2(1, 66) ≤ r1,66 (B0, 0)
2∏
k=1
r (Bk, ak)
= r0,66 (B0, 0) (r (B0, 0) r (B1, a1) r (B2, a2))
≤ 0, 862204 · 128
81
√
3
sinπ(1− 1√
1, 66
) = 0, 50427,
I02 (1, 66) = 0, 53773.
А. К. Бахтин 461
Таким образом для α0 ≥ 2√
1,66
и γ2 = 1, 66
I2(1, 66) ≤ I02 (1, 66) = 0, 53773.
После того как установлено неравенство I2(1, 66) < I02 (1, 66) при
α0 ≥ 2√
1,66
необходимо также показать, что I2(γ) < I02 (γ) при γ ∈
[1, 6; 1, 66) и α0 ≥ 2√
γ .
В дальнейшем существенно используется свойство монотонного
убывания функции
I0n(γ) =
(
4
n
)n
(
4γ
n2
) γ
n(
1− γ
n2
)n+ γ
n
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
при каждом n ≥ 2 на промежутке 1 ≤ γ ≤ n.
Непосредственные вычисления показывают, что
[
ln I0n(γ)
]′
γ
=
1
n
ln
4γ
n2 − γ
+
1
√
γ
ln
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)
.
Покажем, что при 1 ≤ γ ≤ n,
[
ln I0n(γ)
]′
γ
< 0.
Обозначим
√
γ
n = x, тогда γ
n2 = x2, γ = n2x2,
√
γ = nx и 1
n ≤ x ≤
1√
n
.
Воспользовавшись известными формулами
ln(1− x) = −x− x2
2
− ...− xn
n
− ...
ln
1− x
1 + x
= −2x
(
1 +
1
3
x2 +
1
5
x4 + ...+
1
2k + 1
x2k + ...
)
получим, что
[
ln I0n(γ)
]′
γ
=
1
n
ln
4x2
1− x2
+
1
nx
ln
1− x
1 + x
=
1
n
ln 4 +
1
n
lnx2 − 1
n
ln(1− x2) +
1
nx
ln
1− x
1 + x
=
2
n
ln 2 +
2
n
lnx+
1
n
( ∞∑
n=1
x2n
n
)
− 2
n
( ∞∑
m=0
x2m
2m+ 1
)
462 Разделяющее преобразование и экстремальные...
≤ − 2
n
+
2
n
ln 2 +
2
n
ln
1√
n
+
1
n
(
1− 2
3
)
x2 +
1
n
(
1
2
− 2
5
)
x4
+...+
1
n
(
1
k
− 2
2k + 1
)
x2k + ...
=
2
n
(
−1 + ln 2− 1
2
lnn
)
+
1
n
1
3
x2 +
1
n
1
10
x4 + ...+
1
n
1
k(2k + 1)
x2k + ...
≤ 2
n
[
(−1 + 0, 693− 1
2
lnn) +
1
6
x2
1− x2
]
≤ − 2
n
(0, 653) < 0.
Следовательно
(
ln I0n(γ)
)′
γ
< 0, n ≥ 2, 1 ≤ γ ≤ n.
Таким образом I0n(γ) монотонно убывает по γ при всех n ≥ 2 на
промежутке 1 ≤ γ ≤ n.
В силу убывания I02 (γ) на 1 ≤ γ ≤ 2 для γ ∈ [1, 65; 1, 66) справе-
дливы неравенства
I02 (γ) > I02 (1, 66),
[
2I02 (γ)
] γ−1
2−γ >
[
2I02 (1, 66)
] γ−1
2−γ >
[
2I02 (1, 66)
] 0,63
0,37 ,
так как функция γ−1
2−γ возрастает на [1, 2], а величина
(
2I02 (1, 66)
)
> 1.
Тогда для α0 ≥ 2√
γ (α0 = max[α1, α2]).
I02 (γ) ≤
[
2I02 (γ)
]− γ−1
2−γ
128
81
√
3
sinπ(1− 1
√
γ
)
≤
[
2I02 (1, 66)
]− 0,63
0,37
128
81
√
3
sinπ(1− 1√
1, 66
)
= 0, 522141 < 0, 53773 ≈ I02 (1, 66) ≤ I02 (γ).
Далее, учитывая, что I02 (1, 63) ≈ 0, 548904, аналогично получаем для
промежутка 1, 60 ≤ γ ≤ 1, 63 и α ≥ 2√
γ
I02 (γ) ≤
[
2I02 (γ)
]− γ−1
2−γ
128
81
√
3
sinπ(1− 1
√
γ
)
≤
[
2I02 (1, 65)
]− 0,6
0,4
128
81
√
3
sinπ(1− 1√
1, 63
)
А. К. Бахтин 463
= 0, 499309 < 0, 548904 = I02 (1, 63) ≤ I02 (γ).
Таким образом при 1, 60 ≤ γ ≤ 1, 66 и α0 ≥ 2√
γ экстремальных
конфигураций не существует. Остается исследовать случай 0 < α0 <
2√
γ .
Аналогично работам [4,5] применяя разделяющее преобразование
к оценке функционала In(γ) получаем
In(γ) ≤
(
n∏
k=1
αk
)[
n∏
k=1
rα
2
kγ(D
(0)
k , 0)r(D
(1)
k ,−i)r(D(2)
k , i)
] 1
2
,
где D
(0)
k — область полученная в результате объединения связной
компоненты множества πk(B0
∩
Γk) содержащей точку ζ = 0 со своим
симметричным отражением относительно мнимой оси.D(1)
k — область
полученная в результате объединения связной компоненты множе-
ства πk(Bk
∩
Γk) содержащей точку πk(ak) со своим симметричным от-
ражением относительно мнимой оси. D(2)
k — область полученная в ре-
зультате объединения связной компоненты множества πk(Bk+1
∩
Γk)
содержащей точку πk(ak+1) со своим симметричным отражением отно-
сительно мнимой оси, где πk(w) есть та однозначная ветвь много-
значной аналитической функции ζ = −i
(
e−iθkw
) 1
αk , θk = arg ak,
αk = arg
ak+1
ak
, которая реализует однолистное отображение обла-
сти Γk =: {w : argαk < argw < argαk+1} на правую полуплоскость
Reζ > 0, k = 1, n.
В работе [8] полностью исследована задача о максимуме функци-
онала
rσ(B
(0)
k , 0)r(B
(1)
k ,−i)r
(
B
(2)
k , i
)
на тройках попарно непересекающихся областей B0, B1, B2, ak ∈ Bk ⊂
C, a0 = 0, ak = (−1)ki, k = 1, 2 и получено следующее точное нера-
венство
rσ(B
(0)
k , 0)r(B
(1)
k ,−i)r(B(2)
k , i)
≤ P (σ) := 2σ
2+6σσ
2
(2− σ)−
1
2
(2−σ)2(2 + σ)−
1
2
(2+σ)2 , σ ∈ (0, 2],
где знак равенства достигается, когда области B0, B1, B2 являются
круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 =
(4− σ2)w2 − σ2
w2(w2 + 1)2
dw2.
464 Разделяющее преобразование и экстремальные...
На основании выше приведенных рассуждений и аналогично ра-
ботам [4,5] получаем неравенство
In(γ) ≤
[
1
√
γ
]n [ n∏
k=1
P (αk
√
γ)
] 1
2
(12)
и необходимое условие экстремума правой части неравенства (12) в
следующем виде
P ′(α0
k
√
γ)
P (α0
k
√
γ)
=
P ′(α0
p
√
γ)
P (α0
p
√
γ)
, α0
k < α0
p <
2
√
γ
(13)
P ′(α0
k
√
γ)
P (α0
k
√
γ)
≤ P ′(2)
P (2)
, α0
k < α0
p =
2
√
γ
,
где
n∏
k=1
P (α0
k
√
γ) = max∑
αk=2,0<αk≤ 2√
γ
n∏
k=1
P (αk
√
γ) и x0k = α0
k
√
γ — эк-
стремальные точки реализующие максимум правой части (12). Гра-
фик функции t(x) = [logP (x)]′ представлен на Рис. 1.
Рис. 1: График функции t(x)
Функция t(x) = [logP (x)]′ монотонно убывает на отрезке (0, y0) и
монотонно возрастает на промежутке (y0, 2), y0 ≈ 1, 32466. Поэтому
уравнение t = [logP (x)]′, t ∈ [t(y0), 1] имеет два решения x1(t) и
x2(t).Непосредственные вычисления представлены в виде следующей
таблицы
А. К. Бахтин 465
k tk x1(tk) x2(tk) x1(tk) + x2(tk+1)
1 1 0,69733 2,0000
2 0,54 0,814413 1,883985 2,581315
3 0,26 0,915658 1,768098 2,582511
4 0,08 1,006181 1,664642 2,580300
5 -0,03 1,083141 1,578639 2,58482
6 -0,10 1,152867 1,502748 2,585889
7 -0,145 1,223411 1,488081 2,580948
8 -0,165 1,286883 1,362736 2,586147
9 -0,16817 1,32464 1,32466 2,611543
Из анализа таблицы значений функции t = [logP (x)]′ следует, что
min
t∈[t(yo),1]
(x1(t) + x2(t)) = σ0 > 2, 58.
Тогда для 1, 6 ≤ γ ≤ 1, 66 экстремальные точки x01 = α0
1
√
γ, x02 =
α0
2
√
γ принадлежат интервалу (0, y0] так, как
2
√
γ = x01 + x02 < 2
√
1, 66 < 2, 58.
Отсюда с учетом необходимого условия экстремума (13) приве-
денного выше, получаем что
x01 = x02 =
2
√
γ
2
=
√
γ, 1, 6 ≤ γ ≤ 1, 66.
Подытоживая предыдущие рассуждения получаем из (12) и
свойств разделяющего преобразования, следующую цепочку соотно-
шений при всех γ ∈ [1, 6; 1, 66]
I2(γ) ≤
[
1
√
γ
]2 [ 2∏
k=1
P (αk
√
γ)
] 1
2
≤ 1
√
γ
P (
√
γ)
= I02 (γ) = [r(Λ0, 0)]
γ
2∏
k=1
r(Λk, λk),
где Λk и λk, k = 0, 2, λ0 = 0 — круговые области и, соответственно,
полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(4− γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)2
dw2.
При n = 2 теорема доказана.
466 Разделяющее преобразование и экстремальные...
При n = 3 теорему 1 достаточно доказать только для значений
γ из промежутка 2 ≤ γ ≤ 2, 1 так, как для γ ∈ [1; 2] это доказано в
работе [5].
Полагая, как и выше, в лемме 1
∆ = I03 (2, 1) =
(
4
3
)3 (49γ)
γ
3
(1− γ
9 )
3+ γ
3
(
1−
√
γ
3
1 +
√
γ
3
)2
√
γ ∣∣∣
γ=2,1
.
Так как I03 (2, 1) ≈ 0, 284609, то
r(B0, 0) ≤ 0, 647423, [r(B0, 0)]
2,1 ≤ 0, 401324.
Аналогично предыдущему при α0 ≥ 2√
2,1
, α0 = max{α1, α2, α3}
используя теорему Голузина [13, c. 165], получаем оценку
I03 (γ) ≤ [r(B0, 0)]
2,1 64
81
√
3
|a1 − a2||a1 − a3||a2 − a3|
≤ 0, 401324
64
81
√
3
· 8 sinπ(1− 1√
2, 1
) sin2
π
2
(1− 1√
2, 1
) ≈ 0, 26509.
Следовательно I3(2, 1) < I03 (2, 1) при α0 ≥ 2√
2,1
.
Отсюда следует, что I3(γ) < I03 (γ) при α0 ≥ 2√
γ .
Действительно, из монотонности убывания функции I3(γ) следует
неравенство I03 (γ) > I3(γ) при 2, 06 ≤ γ < 2, 1. Тогда легко видеть,
что [
31,5I03 (γ)
]− γ
n−γ <
[
31,5I03 (2, 1)
]− γ
n−γ <
[
31,5I03 (2, 1)
]− 2,06
3−2,06 .
Аналогично предыдущему для 2, 06 ≤ γ < 2, 1 и α0 ≥ 2√
2,1
полу-
чаем неравенства
I03 (γ) ≤ [r(B0, 0)]
γ 64
81
√
3
8 sinπ
(
1− 1
√
γ
)
sin2
π
2
(
1− 1
√
γ
)
≤
[
31,5I03 (2, 1)
]− 2,06
0,94
64
81
√
3
8 sinπ
(
1− 1√
2, 1
)
sin2
π
2
(
1− 1√
2, 1
)
= [5, 196152 · 0, 284609]−2,1914893, 649424 · 0, 826964 · 0, 218873
= (1, 471187)−2,191489 · 0, 660546 = 0, 429099 · 0, 660546
= 0, 283403 < 0, 284609 = I03 (2, 1) < I03 (γ).
А. К. Бахтин 467
Для интервала 2 ≤ γ < 2, 06 получаем аналогичные неравенства
I03 (γ) ≤ [r(B0, 0)]
γ 64
81
√
3
8 sinπ
(
1− 1
√
γ
)
sin2
π
2
(
1− 1
√
γ
)
≤
[
31,5I03 (2, 06)
]− 2
3−2
64
81
√
3
8 sinπ
(
1− 1√
2, 06
)
sin2
π
2
(
1− 1√
2, 06
)
= [1, 518747]−23, 649424 · 0, 815007 · 0, 210274
= 0, 43354 · 3, 649424 · 0, 815007 · 0, 210274 ≤ 0, 271145
< I03 (2, 06) = 0, 292283 < I03 (γ).
Таким образом получаем, что на всем промежутке 2 ≤ γ < 2, 1 при
условии α0 ≥ 2√
γ выполняется неравенство I3(γ) < I03 (γ).
Остается рассмотреть случай когда 0 < α0 <
2√
γ . Но в этом случае
теорема 1 следует из теоремы 2 работы [16].
В случае n = 4 теорему 1 как видно из работы [23] следует дока-
зать только для 2, 09 ≤ γ < 2, 5.
В этом случае в качестве ∆ в лемме 1 возьмем величину
I04 (2, 5) =
(γ4 )
γ
4
(1− γ
16)
4+ γ
4
(
1−
√
γ
4
1 +
√
γ
4
)2
√
γ ∣∣∣
γ=2,5
.
Тогда справедливы соотношения
I4(2, 5) ≈ 0, 116258, r(B0, 0) ≤ [16I04 (2, 5)]
− 1
1,5 = 0, 661157,
[r(B0, 0)]
2,5 ≤ 0, 355436.
Тогда также как в теореме 5.2.3 из [4] получим неравенство при
условии, что α0 ≥ 2√
2,5
I4(2, 5) ≤ 0, 355436 · 16 · α0
(
2− α0
3
)3
≤ 5, 686977
(
2
3
)3 2√
2, 5
(
1− 1√
2, 5
)3
≤ 0, 105827 < 0, 116258 = I04 (2, 5).
Отсюда следует неравенство I4(γ) < I04 (γ) при 2 ≤ γ ≤ 2, 5 и α0 ≥
2√
γ . Действительно, в силу монотонного убывания величины I04 (γ)
и возрастания функции γ
4−γ при γ ∈ [1, 4] справедливы следующие
неравенства для 2, 45 ≤ γ ≤ 2, 5
468 Разделяющее преобразование и экстремальные...
[
16I04 (γ)
] γ
n−γ >
[
16I04 (2, 5)
] γ
n−γ >
[
16I04 (2, 5)
] 2,45
1,55 .
Тогда легко видеть, что при 2, 45 ≤ γ ≤ 2, 5 и α0 ≥ 2√
γ
I4(γ) ≤
[
16I04 (γ)
]− γ
4−γ 32
(
2
3
)3 1
√
γ
(
1− 1
√
γ
)3
≤
[
16I04 (2, 5)
]− 2,45
1,55
256
27
1√
2, 5
(
1− 1√
2, 5
)3
≤ 0, 11163 < I04 (2, 5) ≤ I04 (γ).
Далее при 2, 3 ≤ γ ≤ 2, 45 и α0 ≥ 2√
γ аналогично получаем
I4(γ) ≤
[
16I04 (γ)
]− γ
4−γ
256
27
1
√
γ
(
1− 1
√
γ
)3
≤
[
16I04 (2, 45)
]− 2,3
1,7 9, 481481
1√
2, 45
(
1− 1√
2, 45
)3
= 0, 11824
< I04 (2, 45) ≤ I04 (γ).
Осталось изучить промежуток 2 ≤ γ ≤ 2, 3 для которого анало-
гично получаем
I4(γ) ≤
[
16I04 (2, 3)
]−1
9, 481481
1√
2, 3
(
1− 1√
2, 3
)3
= 0, 117459 < 0, 131466 = I04 (2, 3) ≤ I04 (γ).
Таким образом для всех γ ∈ [2; 2, 5] при условии α0 ≥ 2√
γ справе-
дливо неравенство I4(γ) ≤ I04 (γ).
Следовательно при 2 ≤ γ ≤ 2, 5 и α0 ≥ 2√
γ экстремальных кон-
фигураций нет. Остается рассмотреть ситуацию когда 0 < α0 <
2√
γ .
В этом случае учитывая 12 и 13 и теорему 2 работы [16] получаем
утверждение теоремы 1.
Теорема 1 доказана.
Рассмотрим другое применение леммы 1 к обобщенной задаче 1.
Задача 2. При фиксированном γ ∈ [0, n] найти максимум функ-
ционала
In(γ) = rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak), (14)
А. К. Бахтин 469
где An := {ak}nk=1, n ≥ 2 — произвольная n-лучевая система такая,
что Mγ(An) ≤ 1 и M0(An) ≤ 1, а {Bk}nk=0, произвольная система
попарно непересекающихся областей, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n, 0 ∈ B0 ⊂
C. Где
M(γ)(An) :=
n∏
k=1
[
χ
(∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣ 1
2αk
)]1− 1
2
γα2
k
n∏
k=1
|ak|1+
1
4
γ(αk+αk−1),
M(0)(An) :=
n∏
k=1
χ
(∣∣∣ ak
ak+1
∣∣∣ 1
2αk
)
· |ak|.
При n = 2 для односвязных областей справедлив следующий резуль-
тат.
Теорема 2. Пусть γ2 = 1, 2, γ ∈ (1; γ2]. Тогда для произвольной 2-
лучевой системы точек A2 := {ak}2k=1, M
(γ)(A2) ≤ 1, M (0)(A2) ≤ 1
и любой системы взаимно непересекающихся односвязных областей
{Bk}2k=0, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, 2, 0 ∈ B0 ⊂ C справедливо неравенство
rγ(B0, 0)
2∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ rγ(Λ0, 0)
2∏
k=1
r(Λk, λk),
где {Λk}2k=0, {λk}2k=0, λ0 = 0 круговые области и, соответственно,
полюсы квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −(4− γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)2
dw2.
Доказательство. Отметим, что здесь нельзя воспользоваться специ-
фикой единичной окружности как в теореме 1.
Аналогично доказательству теоремы 5.2.3 работы [4] и используя
лемму 1 получаем цепочку неравенств при γ = 1, 2 и α0 ≥ 2√
γ
I2(1, 2) = r1,2(B0, 0)
2∏
k=1
r(Bk, ak)
≤
[
2I02 (1, 2)
]− 1,2
0,8
2∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ 0, 67691 ≤ 0, 761634 = I02 (1, 2).
Покажем теперь, что I2(γ) < I02 (γ) при 1, 1 ≤ γ ≤ 1, 2 и α0 ≥ 2√
γ .
Действительно
470 Разделяющее преобразование и экстремальные...
I2(γ) ≤
[
2I02 (γ)
]− γ
n−γ 16
1
√
γ
(
1− 1
√
γ
)
≤
[
2I02 (2, 1)
]− 1,1
0,9 16
1√
1, 2
(
1− 1√
1, 2
)
= 0, 760799 < 0, 761634 = I02 (1, 2) ≤ I02 (γ).
Далее при 1 ≤ γ ≤ 1, 1 и α0 ≥ 2√
γ получим неравенства
I2(γ) ≤
[
2I02 (1, 1)
]−1
16
1√
1, 1
(
1− 1√
1, 1
)
= 0, 426907 < 0, 8315 = I02 (1, 1) ≤ I02 (γ).
Таким образом при 1 ≤ γ ≤ 1, 2 и α0 ≥ 2√
γ получаем соотношение
I2(γ) ≤ I02 (γ) и следует изучить ситуацию 0 < α0 ≤ 2√
γ . Но в этом
случае теорема следует из работы [16].
В заключение хочу поблагодарить рецензента за очень вниматель-
ное прочтение работы и ряд ценных замечаний, способствовавших
улучшению изложения результатов данной работы.
Литература
[1] В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного // Успехи мат. наук, 49 (295) (1994), No. 1, 3–76.
[2] В. Н. Дубинин, Емкости конденсаторов и симметризация в геометрической
теории функций комплексного переменного, Владивосток, Дальнаука ДВО
РАН, 2009.
[3] V. N. Dubinin, Condenser capacities and symmetrization in geometric function
theory, Birkhäuser/Springer, Basel, 2014.
[4] А. К. Бахтин, Г. П. Бахтина, Ю. Б. Зелинский, Тополого-алгебраические
структуры и геометрические методы в комплексном анализе // Працi iн-ту
мат-ки НАН України, 2008.
[5] А. К. Бахтин. Оценки внутренних радиусов для взаимно непересекающихся
областей // Зб. пр. Iнституту математики НАН України, 14 (2017), No. 1,
25–33.
[6] Г. П. Бахтина, А. К. Бахтин, Разделяющее преобразование и задачи о нена-
легающих областях // Комплексний аналiз i течiї з вiльними границями /
Збiрник праць Iн-ту мат-ки НАН України, Київ, Iн-т матем. НАН України,
3 (2006), No. 4, 273–281.
[7] В. Н. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстре-
мальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР,
168 (1988), 48–66.
[8] Л. В. Ковалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полю-
сами на окружности // Дальневосточный матем. сборник, 2 (1996), 96–98.
А. К. Бахтин 471
[9] Г. В. Кузьмина, Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы //
Зап. науч. сем. ПОМИ, 276 (2001), 253–275.
[10] Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, М.,
Издательство иностр. лит., 1962.
[11] Г. П. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих обла-
стей // Современные вопросы вещественного и комплексного анализа, Киев,
Ин-т математики АН УССР (1984), 21–27.
[12] М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат.
ин-та АН СССР, 5 (1934), 159–245.
[13] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного,
М., Наука, 1966.
[14] Г. В. Кузьмина, Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме
произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей при
наличии свободных параметров // Зап. науч. сем. ПОМИ, 302 (2003), 52–67.
[15] Е. Г. Емельянов, К задаче о максимуме произведения степеней кон- формных
радиусов неналегающих областей // Зап. науч. семин. ПОМИ, 286 (2002),
103–114.
[16] A. K. Bakhtin, I. V. Denega, Addendum to a theorem on extremal decomposition
of the complex plane // Bulletin de la société des sciences et des lettres de Lódź,
Recherches sur les déformations, 62 (2012), No. 2, 83–92.
[17] I. V. Denega, Generalization of some extremal problems on non-overlapping
domains with free poles // Annales universitatis Mariae Curie-Skladovska, Lublin-
Polonia, LXVII (2013), No. 1, 11–22.
[18] A. Bakhtin, I. Dvorak, I. Denega, Separating transformation and extremal
decomposition of the complex plane // Bulletin de la societe des sciences et des
lettres de Lodz, Recherches sur les deformations, LXVI (2016), No. 2, 13–20.
[19] G. V. Kuz’mina. Geometric function theory. Jenkins results. The method of
modules of curve families // Аналитическая теория чисел и теория функций.
Зап. научн. сем. ПОМИ, 445 (2016), No. 31, 181–249.
[20] A. Bakhtin, L. Vygivska, I. Denega, N-Radial Systems of Points and Problems for
Non-Overlapping Domains // Lobachevskii Journal of Mathematics, 38 (2017),
No. 2, 229–235.
[21] A. K. Bahtin, Ya. V. Zabolotnii, Estimates of a product of the inner radii of
nonoverlapping domains // Ukr. Mat. Visn., 13 (2016), No. 2, 148–156; transl.
in Journal of Mathematical Sciences, 221 (2017), No. 5, 623–629.
[22] А. К. Бахтин, Неравенства для внутренних радиусов неналегающих обла-
стей и открытых множеств // Доп. НАН України, (2006), No. 10, 7–13.
[23] О. К. Бахтiн, I. Я. Дворак, Я. В. Заболотний. Оцiнки добутку внутрiшнiх ра-
дiусiв п’яти взаємно неперетинних областей // Укр. мат. журн., 69 (2017),
No. 2, 261–267.
Сведения об авторах
Александр
Константинович
Бахтин
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: abahtin@imath.kiev.ua
|