Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова

Одержано точні за порядком оцінки відхилення функцій з анізотропних класів Нікольського–Бєсова Brp,θ(Rd) від їх відрізків інтеграла Фур’є. Похибка наближення вимірюється у метриці простору L∞(Rd)....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автор:	Янченко, C.Я.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2017
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169380
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова / C.Я. Янченко // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 595-604. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-169380
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1693802020-06-12T01:26:16Z Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова Янченко, C.Я. Одержано точні за порядком оцінки відхилення функцій з анізотропних класів Нікольського–Бєсова Brp,θ(Rd) від їх відрізків інтеграла Фур’є. Похибка наближення вимірюється у метриці простору L∞(Rd). We obtained exact order estimates of the deviation of functions from anisotropic Nikol’skii–Besov classes Brp,θ(Rd) from their sections of the Fourier integral. The error of the approximation is estimated in the metric of Lebesgue space L∞(Rd). 2017 Article Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова / C.Я. Янченко // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 595-604. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 41A30, 41A50, 41A63 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169380 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Одержано точні за порядком оцінки відхилення функцій з анізотропних класів Нікольського–Бєсова Brp,θ(Rd) від їх відрізків інтеграла Фур’є. Похибка наближення вимірюється у метриці простору L∞(Rd).
format	Article
author	Янченко, C.Я.
spellingShingle	Янченко, C.Я. Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова Український математичний вісник
author_facet	Янченко, C.Я.
author_sort	Янченко, C.Я.
title	Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова
title_short	Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова
title_full	Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова
title_fullStr	Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова
title_full_unstemmed	Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова
title_sort	порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів нікольського-бєсова
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2017
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169380
citation_txt	Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова / C.Я. Янченко // Український математичний вісник. — 2017. — Т. 14, № 4. — С. 595-604. — Бібліогр.: 17 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT ânčenkocâ porâdkovíocínkiaproksimativnihharakteristikfunkcíjzanízotropnihklasívníkolʹsʹkogobêsova
first_indexed	2025-07-15T04:07:24Z
last_indexed	2025-07-15T04:07:24Z
_version_	1837684432468705280
fulltext	Український математичний вiсник Том 14 (2017), № 4, 595 – 604 Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик функцiй з анiзотропних класiв Нiкольського–Бєсова Cергiй Я. Янченко (Представлена С. Я. Махно) Анотацiя. Одержано точнi за порядком оцiнки вiдхилення функцiй з анiзотропних класiв Нiкольського–Бєсова Br p,θ(Rd) вiд їх вiдрiзкiв iнтеграла Фур’є. Похибка наближення вимiрюється у метрицi про- стору L∞(Rd). 2010 MSC. 41A30, 41A50, 41A63. Ключовi слова та фрази. Анiзотропнi простори Нiкольського– Бєсова, цiла функцiя експоненцiального типу, перетворення Фур’є. 1. Вступ У роботi встановлюються порядковi оцiнки деяких апроксиматив- них характеристик класiв функцiй багатьох змiнних з анiзотропних просторiв Нiкольського–Бєсова Br p,θ(Rd), де r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, 1 6 p, θ 6 ∞. Простори Br p,θ(Rd) були введенi О. В. Бєсо- вим [1] i Br p,∞(Rd) = Hr p (Rd), де Hr p (Rd) — простори, якi ввiв С. М. Нi- кольський [2]. Вихiднi означення просторiв Hr p (Rd) та Br p,θ(Rd) у згаданих робо- тах були данi в термiнах певних обмежень на модулi гладкостi фун- кцiй з цих просторiв. У подальших дослiдженнях нам буде зручно користуватися еквiвалентним означення просторiв Br p,θ(Rd), яке вста- новлене П. I. Лiзоркiним [3] та базується на використанi перетворення Фур’є. Зауважимо, що анiзотропнi простори Нiкольського–Бєсова фун- кцiй багатьох змiнних, що визначенi на Rd з точки зору знаходження точних за порядком значень деяких апроксимативних характеристик дослiджувалися, зокрема, у роботах [4,5], а у випадку r1= . . .= rd = r, Стаття надiйшла в редакцiю 07.10.2017 ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 596 Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик... тобто iзотропнi простори Нiкольського–Бєсова Br p,θ(Rd), дослiджува- лися у роботах [6, 7]. 2. Основнi позначення та означення класiв Нiкольського–Бєсова Нехай Rd, d > 1 — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, ..., xd), (x,y) = x1y1 + ...+ xdyd. Lp(Rd), 1 6 p 6 ∞, — про- стiр вимiрних на Rd функцiй f(x) = f(x1, ..., xd) зi скiнченною нор- мою ∥f∥Lp(Rd) = ∥f∥p := ∫ Rd \|f(x)\|pdx  1 p , 1 6 p <∞, ∥f∥L∞(Rd) = ∥f∥∞ := ess sup x∈Rd \|f(x)\|. Нехай S = S(Rd) — простiр Л. Шварца основних нескiнченно ди- ференцiйовних на Rd комплекснозначних функцiй φ, що спадають на нескiнченностi разом зi своїми похiдними швидше за будь-який сте- пiнь функцiї (x21+. . .+x2d) − 1 2 (див., наприклад, [8]). Через S′ позначи- мо простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв на S. Зазначимо, що елементами простору S′ є узагальненi функцiї. Якщо f ∈ S′ i φ ∈ S, то ⟨f, φ⟩ позначає значення f на φ. Перетворення Фур’є Fφ : S → S визначається згiдно з формулою (Fφ)(λ) = 1 (2π)d/2 ∫ Rd φ(t)e−i(λ,t)dt ≡ φ̃(λ). Обернене перетворення Фур’є F−1φ : S → S задається таким чи- ном: (F−1φ)(t) = 1 (2π)d/2 ∫ Rd φ(λ)ei(λ,t)dλ ≡ φ̂(t). Перетворення Фур’є узагальнених функцiй f ∈ S′ (для нього ми зберiгаємо те ж позначення) визначається згiдно з формулою ⟨Ff, φ⟩ = ⟨f,Fφ⟩ (⟨f̃ , φ⟩ = ⟨f, φ̃⟩), де φ ∈ S. Обернене перетворення Фур’є узагальненої функцiї f ∈ S′ також позначимо F−1f , i визначається воно аналогiчно до прямого перетво- рення Фур’є згiдно з формулою ⟨F−1f, φ⟩ = ⟨f,F−1φ⟩ (⟨f̂ , φ⟩ = ⟨f, φ̂⟩). C. Я. Янченко 597 Зазначимо, що кожна функцiя f ∈ Lp(Rd), 1 6 p 6 ∞, визначає лiнiйний неперервний функцiонал на S згiдно з формулою ⟨f, φ⟩ = ∫ Rd f(x)φ(x)dx, φ ∈ S, i, як наслiдок, у цьому сенсi вона є елементом S′. Тому перетворення Фур’є функцiї f ∈ Lp(Rd), 1 6 p 6 ∞, можна розглядати як перетво- рення Фур’є узагальненої функцiї ⟨f, φ⟩. Носiєм узагальненої функцiї f будемо називати замикання N такої множини точок N ⊂ Rd, що для довiльної φ ∈ S, яка дорiвнює нулю в N, виконується рiвнiсть ⟨f, φ⟩ = 0. Носiй узагальненої функцiї f будемо позначати через supp f . Також будемо говорити, що функцiя f зосереджена на множинi G, якщо supp f ⊆ G. У подальшому будемо користуватися такими позначеннями. Не- хай функцiя f представлена iнтегралом Фур’є f(x) = 1 (2π)d/2 ∫ Rd f̃(λ)ei(λ,x)dλ. Тодi вiдрiзком iнтегралу Фур’є функцiї f назвемо вираз Sσ(f) = 1 (2π)d/2 σ1∫ −σ1 . . . σd∫ −σd f̃(λ)ei(λ,x)dλ, де f̃(λ) — перетворення Фур’є функцiї f ∈ Lp(Rd). Крiм того, для Sσ(f) можемо записати (див. [8]) Sσ(f) = 1 πd ∫ Rd f(y) d∏ j=1 sinσj(xj − yj) xj − yj dy. Таким чином Sσ(f) — цiла функцiя степеня σ. Нехай Das = Das1,...,a s d — паралелепiпед: \|λj \| < asj , j = 1, d, s∈ N∪ {0}, а Γas = Das −Das−1 при s > 1 i Γa0 = Da0 . Покладемо fas = Sas(f)− Sas−1(f) = ∫ Γas f̃(λ)ei(λ,x)dλ, s > 1, i fa0 = Sa0(f) = ∫ Γa0 f̃(λ)ei(λ,x)dλ. 598 Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик... Представлення функцiї f у виглядi f = fa0 + ∞∑ s=1 fas = ∞∑ s=0 fas будемо називати розшаруванням f (a-розшаруванням f). У випадку, коли f ∈ Lp, p > 2, Sas(f) розумiють, взагалi кажучи, як результат дiї на f деякого оператора, який в образах Фур’є зводиться до множення на характеристичну функцiю областi Das (див. [8, §3, гл. 1]). Далi для вектора r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d, введемо величи- ну g(r) = ( 1 d d∑ j=1 1 rj )−1 . (2.1) Зауважимо, що при r1 = r2 = . . . = rd = r маємо g(r) = r. Тодi анiзотропнi простори Br p,θ(Rd) можна означити таким чи- ном [3]: Br p,θ(Rd) = { f ∈ Lp(Rd) : ∥f∥Br p,θ <∞ } , де ∥f∥Br p,θ(Rd) ≍ ( ∞∑ s=0 bsθ∥fas∥θp ) 1 θ <∞, при 1 6 θ <∞, (2.2) ∥f∥Br p,∞(Rd) ≍ sup s>0 bs∥fas∥p <∞, (2.3) а b = 2g(r) i aj = 2g(r)/rj , j = 1, d. Далi, зберiгаючи тi самi позначення, будемо розглядати класи Br p,θ(Rd), тобто одиничнi кулi у просторах Br p,θ(Rd): Br p,θ(Rd) := { f ∈ Lp(Rd) : ∥f∥Br p,θ(Rd) 6 1 } . Крiм цього, для спрощення записiв, замiсть Br p,θ(Rd) та Hr p (Rd) буде- мо використовувати позначення Br p,θ та Hr p . Зазначимо, що при встановленнi результатiв важливим є те, що простори Br p,θ зi зростанням значення параметра θ розширюються (див., наприклад, [9, с. 278]), тобто Br p,1 ⊂ Br p,θ ⊂ Br p,θ′ ⊂ Br p,∞ = Hr p , 1 6 θ < θ′ 6 ∞. (2.4) C. Я. Янченко 599 3. Допомiжнi твердження та основний результат Важливе значення при доведеннi одержаного результату вiдiграє теорема встановлена О. В. Бєсовим [1] (теорема 2.1), яку сформулю- ємо у такiй формi. Теорема 3.1. Нехай 1 6 p 6 p′ 6 ∞, θ′ > θ, κ = 1− ( 1 p − 1 p′ ) d∑ j=1 1 rj > 0. Тодi, якщо f ∈ Br p,θ, то f ∈ Bρ p′,θ′, де ρj = rjκ, j = 1, d, i при цьому має мiсце нерiвнiсть ∥f∥Bρ p′,θ′ 6 C∥f∥Br p,θ , де C — деяка константа, яка не залежить вiд f . Наведемо ще одне твердження для цiлих функцiй експоненцiаль- ного типу, яке одержане С. М. Нiкольським [2], (див., також, [9, c. 150]). Теорема 3.2. Якщо 1 6 p1 6 p2 6 ∞, то для цiлої функцiї експо- ненцiального типу g = gν ∈ Lp1(Rd) має мiсце “нерiвнiсть рiзних метрик” ∥gν∥Lp2 (Rd) 6 2d  d∏ j=1 νk  1 p1 − 1 p2 ∥gν∥Lp1 (Rd). (3.1) Далi для функцiї f ∈ L∞(Rd) розглянемо величину EDan (f)∞ = ∥f − San−1(f)∥∞, n ∈ N, (3.2) яка називається наближенням функцiї f її an-вiдрiзками iнтеграла Фур’є. Вiдповiдно для функцiонального класу F ⊂ L∞(Rd) покладемо EDan (F )∞ = sup f∈F EDan (f)∞. (3.3) Справедливе таке твердження. Теорема 3.3. Нехай 1 < p < ∞, 1 6 θ 6 ∞. Тодi для g(r) > d p має мiсце порядкове спiввiдношення EDan (B r p,θ)∞ ≍ 2 −n ( g(r)− d p ) , (3.4) де aj = 2g(r)/rj , j = 1, d. 600 Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик... Зауважимо, що виконання умови g(r) > d p , згiдно з теоремою 3.1, забезпечує належнiсть функцiй f ∈ Br p,θ до простору L∞(Rd). Доведення. Спочатку отримаємо в (3.4) оцiнку зверху. Оскiльки (див. (2.4)) Br p,θ ⊂ Br p,∞ = Hr p , 1 6 θ < ∞, то шукану оцiнку достатньо отримати для величини EDan (H r p )∞. Згiдно з (2.3) для f ∈ Hr p маємо ∥fas∥p ≪ 2−sg(r). Тому, скори- ставшись нерiвнiстю Мiнковського, нерiвнiстю (3.1), врахувавши, що aj = 2g(r)/rj та беручи до уваги (2.1), отримаємо EDan (f)∞ = ∥f − San−1(f)∥∞ = ∥∥∥ ∞∑ s=0 fas − San−1(f) ∥∥∥ ∞ = ∥∥∥ ∞∑ s=n fas ∥∥∥ ∞ 6 ∞∑ s=n ∥fas∥∞ 6 ∞∑ s=n 2d  d∏ j=1 asj  1 p ∥fas∥p ≪ ∞∑ s=n 2 sd p ∥fas∥p ≪ ∞∑ s=n 2 sd p 2−sg(r) = ∞∑ s=n 2 −s ( g(r)− d p ) ≪ 2 −n ( g(r)− d p ) . Оцiнку зверху для величини EDan (H r p )∞ встановлено. Отримаємо тепер в (3.4) оцiнку знизу. Оскiльки Br p,1 ⊂ Br p,θ, 1 < θ 6 ∞, то шукану оцiнку достатньо отримати для величини EDan (B r p,1)∞. Iншими словами достатньо оцiнити знизу величину ∥f − San−1(f)∥∞ для деякої функцiї f ∈ Br p,1. З цiєю метою розглянемо функцiю (див. [10]) g1(x) = C12 −n ( g(r)+ d p′ ) Fn(x), де n = (n, . . . , n) ∈ Nd, 1/p+ 1/p′ = 1, C1 > 0 i Fn(x) = d∏ j=1 √ 2 π sin anj xj xj − d∏ j=1 √ 2 π sin an−1 j xj xj та F0(x) = d∏ j=1 √ 2 π sinxj xj . Для перетворення Фур’є функцiї Fn(x) справедливе спiввiдно- шення (див., наприклад, [11]) FFn(x) = χn(λ) = d∏ j=1 χn(λj), C. Я. Янченко 601 де χn(λj) =  1, an−1 j < \|λj \| < anj , 1 2 , \|λj \| = an−1 j або \|λj \| = anj , 0 — в iнших випадках, χ0(xj) =  1, \|λj \| < 1; 1 2 , \|λj \| = 1; 0, \|λj \| > 1. Вiдповiдно для оберненого перетворення будемо мати F−1χn(λ) = Fn(x). Зазначимо, що Fn(x) — цiла функцiя з Lp(Rd), носiй перетворення Фур’є якої зосереджений в Γan i крiм цього ∥Fn∥p ≍ 2 dn p′ , 1 < p <∞. (3.5) В [10] показано, що з деякою константою C1 > 0 функцiя g1 на- лежить класу Br p,1(Rd), а саме, згiдно з (2.2) та (3.5), маємо ∥g1∥Br p,1 ≍ ∑ s 2sg(r)∥fas(g1)∥p ≍ ∑ s 2sg(r)2 −n ( g(r)+ d p′ ) ∥Fn∥p ≪ 2 −n ( g(r)+ d p′ ) 2ng(r)2 dn p′ = 1. Перш нiж перейти до встановлення оцiнки знизу в (3.4), одержимо порядок величини ∥Fn∥∞ = ∥∥∥∥ d∏ j=1 √ 2 π sin anj xj xj − d∏ j=1 √ 2 π sin an−1 j xj xj ∥∥∥∥ ∞ . (3.6) Для оцiнки зверху будемо мати ∥Fn∥∞ = ∥∥∥∥ d∏ j=1 √ 2 π sin anj xj xj − d∏ j=1 √ 2 π sin an−1 j xj xj ∥∥∥∥ ∞ 6 ∥∥∥∥ d∏ j=1 √ 2 π sin anj xj xj ∥∥∥∥ ∞ + ∥∥∥∥ d∏ j=1 √ 2 π sin an−1 j xj xj ∥∥∥∥ ∞ = sup x∈Rd ∣∣∣ d∏ j=1 √ 2 π sin anj xj xj ∣∣∣+ sup x∈Rd ∣∣∣ d∏ j=1 √ 2 π sin an−1 j xj xj ∣∣∣ 602 Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик... = ( 2 π ) d 2 d∏ j=1 sup xj∈R ∣∣∣sin anj xj xj ∣∣∣+ ( 2 π ) d 2 d∏ j=1 sup xj∈R ∣∣∣sin an−1 j xj xj ∣∣∣ ≪  d∏ j=1 anj + d∏ j=1 an−1 j  =  d∏ j=1 2ng(r)/rj + d∏ j=1 2(n−1)g(r)/rj  = ( 2dn + 2d(n−1) ) ≪ 2dn. (3.7) Оцiнюючи ∥Fn∥∞ знизу, одержимо ∥Fn∥∞ = ∥∥∥∥ d∏ j=1 √ 2 π sin anj xj xj − d∏ j=1 √ 2 π sin an−1 j xj xj ∥∥∥∥ ∞ > ∣∣∣∣∥∥∥ d∏ j=1 √ 2 π sin anj xj xj ∥∥∥ ∞ − ∥∥∥ d∏ j=1 √ 2 π sin an−1 j xj xj ∥∥∥ ∞ ∣∣∣∣ ≫ ∣∣∣∣∣∣ d∏ j=1 anj − d∏ j=1 an−1 j ∣∣∣∣∣∣≫ (2dn − 2d(n−1)) ≫ 2dn. (3.8) Спiвставивши (3.7) i (3.8), можемо записати порядкове спiввiдно- шення ∥Fn∥∞ ≍ 2dn. (3.9) Оскiльки, для функцiї g1 має мiсце спiввiдношення San−1(g1) = 0, то скориставшись (3.9) приходимо до шуканої оцiнки знизу EDan (B r p,1)∞ > EDan (g1)∞ = ∥g1 − San−1(g1)∥∞ = ∥g1∥∞ ≫ 2 −n ( g(r)+ d p′ ) ∥Fn∥∞ ≫ 2 −n ( g(r)+ d p′ ) 2dn = 2 −n ( g(r)− d p ) . Оцiнку знизу в (3.4) встановлено. Теорему 3.3 доведено. На завершення роботи зробимо деякi коментарi. Точнi за порядком значення величини EDan (B r p,θ)q, 1 < p 6 q <∞ встановлено в [10]. У випадку r1 = . . . = rd = r, тобто для iзотропних класiв Нiколь- ського–Бєсова Br p,θ(Rd), оцiнку (3.4) встановлено у роботi [7]. В одно- вимiрному випадку (d = 1) анiзотропнi класи Нiкольського–Бєсова збiгаються з класами Нiкольського–Бєсова мiшаної гладкостi, якi до- слiджувалися у роботах [11,12]. Зазначимо також, що деякi апроксимативнi характеристик iзотро- пних та анiзотропних класiв Нiкольського–Бєсова перiодичних фун- кцiй багатьох змiнних дослiджувалися, зокрема, у роботах [13–17]. C. Я. Янченко 603 Лiтература [1] О. В. Бесов, Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 60 (1961), 42–81. [2] С. М. Никольский, Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 38 (1951), 244–278. [3] П. И. Лизоркин, Обобщенные гельдеровы пространства B (r) p,θ и их соотно- шения с пространствами Соболева L (r) p // Сиб. мат. журн., 9 (1968), No. 5, 1127–1152. [4] Jiang Yanjie, Liu Yongping, Average Widths and Optimal Recovery of Multivari- ate Besov Classes in Lp(Rd) // J. of Approx. Theory, 102 (2000), 155–170. [5] Jiang Yanjie, Optimal recovery of anisotropic Besov–Wiener classes // Anal. Math., 28 (2002), 77–88. [6] С. Я. Янченко, Наближення функцiй з класiв Бєсова цiлими функцiями у просторi Lq(Rd) // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 7 (2010), No. 1, 380–391. [7] С. Я. Янченко, Наближення функцiй з iзотропних класiв Нiкольського– Бєсова у рiвномiрнiй та iнтегральнiй метриках // Укр. мат. журн., 67 (2015), No. 10, 1423–1433. [8] П. И. Лизоркин, Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых фун- кций // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 105 (1969), 89–167. [9] С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., Наука, 1969. [10] S. Ya. Yanchenko, The best approximation of functions from anisotropic Nikol’skii-Besov classes defined in Rd // Arxiv preprint, arXiv:1703.10699v1, (2017), 11 рр. [11] Wang Heping, Sun Yongsheng, Approximation of multivariate functions with a certain mixed smoothness by entire functions // Northeast. Math. J., 11 (1995), No. 4, 454–466. [12] С. Я. Янченко, Наближення класiв Sr p,θB(Rd) функцiй багатьох змiнних цi- лими функцiями спецiального вигляду // Укр. мат. журн., 62 (2010), No. 8, 1124–1138. [13] А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики изотропных классов периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн., 61 (2009), No. 4, 513–523. [14] А. С. Романюк, В. С. Романюк, Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн., 61 (2009), No. 10, 1348–1366. [15] Gensun Fang, Fred J. Hickernell, Huan Li, Approximation on anisotropic Besov classes with mixed norms by standard information // J. of Complexity, 21 (2005), 294–313. [16] В. В. Миронюк, Тригонометричнi наближення та колмогорiвськi попере- чники анiзотропних класiв Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн., 66 (2014), No. 8, 1117–1132. 604 Порядковi оцiнки апроксимативних характеристик... [17] В. В. Миронюк, Поперечники анiзотропних класiв Бєсова перiодичних фун- кцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн., 68 (2016), No. 8, 1080–1091. Вiдомостi про авторiв Сергiй Якович Янченко Iнститут математики НАН України, Київ, Україна E-Mail: Yan.Sergiy@gmail.com

Порядкові оцінки апроксимативних характеристик функцій з анізотропних класів Нікольського-Бєсова

Репозитарії

Схожі ресурси