Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями
Для дифференциального уравнения второго порядка, содержащего в правой части сумму слагаемых с правильно и быстро меняющимися нелинейностями, устанавливаются условия существования и асимптотические представления быстро меняющихся решений при стремлении аргумента к особой точке....
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169385 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, Н.П. Колун // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 18-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169385 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1693852020-06-12T01:26:23Z Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями Евтухов, В.М. Колун, Н.П. Для дифференциального уравнения второго порядка, содержащего в правой части сумму слагаемых с правильно и быстро меняющимися нелинейностями, устанавливаются условия существования и асимптотические представления быстро меняющихся решений при стремлении аргумента к особой точке. For a second-order differential equation whose the right-hand side contains the sum of terms with regularly and rapidly varying nonlinearities, we establish the conditions of existence and asymptotic representations of rapidly varying solutions, as the argument tends to a singular point. 2018 Article Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, Н.П. Колун // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 18-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 34Е99 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169385 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для дифференциального уравнения второго порядка, содержащего в правой части сумму слагаемых с правильно и быстро меняющимися нелинейностями, устанавливаются условия существования и асимптотические представления быстро меняющихся решений при стремлении аргумента к особой точке. |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Колун, Н.П. |
| spellingShingle |
Евтухов, В.М. Колун, Н.П. Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями Український математичний вісник |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Колун, Н.П. |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_short |
Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_full |
Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_fullStr |
Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_full_unstemmed |
Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_sort |
быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169385 |
| citation_txt |
Быстро меняющиеся решения дифференциального уравнения второго порядка с правильно и быстро меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, Н.П. Колун // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 18-42. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm bystromenâûŝiesârešeniâdifferencialʹnogouravneniâvtorogoporâdkaspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT kolunnp bystromenâûŝiesârešeniâdifferencialʹnogouravneniâvtorogoporâdkaspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T04:07:41Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:07:41Z |
| _version_ |
1837684450394112000 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 15 (2018), № 1, 18 – 42
Быстро меняющиеся решения
дифференциального уравнения второго
порядка с правильно и быстро меняющимися
нелинейностями
Вячеслав М. Евтухов, Наталия П. Колун
(Представлена И. И. Скрыпником)
Аннотация. Для дифференциального уравнения второго порядка,
содержащего в правой части сумму слагаемых с правильно и быстро
меняющимися нелинейностями, устанавливаются условия существо-
вания и асимптотические представления быстро меняющихся реше-
ний при стремлении аргумента к особой точке.
2010 MSC. 34Е99.
Ключевые слова и фразы. Дифференциальные уравнения вто-
рого порядка, правильно меняющиеся нелинейности, быстро меняю-
щиеся нелинейности.
1. Введение
Рассматривается дифференциальное уравнение
y′′ =
m∑
i=1
αipi(t)φi(y), (1.1)
в котором αi ∈ {−1, 1} (i = 1,m), pi : [a, ω[→]0,+∞[ (i = 1,m) —
непрерывные функции, −∞ < a < ω ≤ +∞; φi : ∆Y0 →]0,+∞[ (i =
1,m), где ∆Y0 — односторонняя окрестность Y0, Y0 равно либо нулю,
либо ±∞, непрерывные функции при i = 1, l и дважды непрерывно
дифференцируемые при i = l + 1,m, такие, что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
φi(λy)
φi(y)
= λσi (i = 1, l) для любого λ > 0, (1.2)
Статья поступила в редакцию 28.02.2018
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 19
φ′
i(y) ̸= 0 при y ∈ ∆Y0 , lim
y→Y0
y∈∆Y0
φi(y) ∈ {0,+∞},
lim
y→Y0
y∈∆Y0
φ′′
i (y)φi(y)
φ′2
i (y)
= 1 (i = l + 1,m).
(1.3)
Функции, удовлетворяющие условиям (1.2), называются правиль-
но меняющимися при y → Y0 функциями порядков σi (i = 1, l) (см.
монографию Е. Сенеты [1], Гл. 1, § 1, С. 9). Для них имеют место
представления вида
φi(y) =| y |σi Li(y) (i = 1, l), (1.4)
где Li (i = 1, l) — медленно меняющиеся функции при y → Y0, т.е.
такие, что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
Li(λy)
Li(y)
= 1 для любого λ > 0. (1.5)
Из условий (1.3) непосредственно вытекают предельные соотно-
шения
lim
y→Y0
y∈∆Y0
yφ′
i(y)
φi(y)
= ±∞ (i = l + 1,m), (1.6)
в силу которых каждая из функций φi при i ∈ {l+1, ...,m} и ее прои-
зводная первого порядка являются быстро меняющимися функциями
при y → Y0 (см. монографию В. Марича [2], Гл. 3, § 3.4, Леммы 3.2,
3.3, С. 91–92).
Определение 1.1. Решение y уравнения (1.1) называется
Pω(Y0, λ0)-решением, где −∞ ≤ λ0 ≤ +∞, если оно определено на
промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[ и удовлетворяет следующим условиям
lim
t↑ω
y(t) = Y0, lim
t↑ω
y′(t) =
{
либо 0,
либо ±∞,
lim
t↑ω
y′2(t)
y′′(t)y(t)
= λ0. (1.7)
Известны результаты об асимптотическом поведении Pω(Y0, λ0)-
решений дифференциального уравнения (1.1) в случае, когда все сла-
гаемые в правой части уравнения (1.1) содержат правильно меняю-
щиеся нелинейности (см., например, работы [3, 4]). Предпосылкой
для таких исследований стали работы, в которых изучались двучлен-
ные дифференциальные уравнения второго порядка с отличной от
степенной функции нелинейностью (см., например, [5–10]).
В работах [11–15] рассматривались двучленные дифференциаль-
ные уравнения с быстро меняющейся нелинейностью. Случай, когда
20 Быстро меняющиеся решения...
в правой части дифференциального уравнения (1.1) присутствуют
слагаемые с нелинейностями разного типа ранее не исследовался.
Целью настоящей работы является установление условий суще-
ствования Pω(Y0, λ0)-решений при λ0 = 1 у уравнения (1.1), а та-
кже асимптотических при t ↑ ω представлений для таких решений
и их производных первого порядка в случае, когда для некоторого
s ∈ {1, ...,m}
lim
t↑ω
pi(t)φi(y(t))
ps(t)φs(y(t))
= 0 при i ∈ {1, ...,m} \ {s}, (1.8)
т.е. когда на каждом таком решении y уравнения (1.1) правая часть
уравнения эквивалентна при t ↑ ω одному слагаемому с правильно
или быстро меняющейся нелинейностью.
Для Pω(Y0, 1)-решений, как было установлено в работе [16], имеет
место предельное соотношение
lim
t↑ω
πω(t)y
′(t)
y(t)
= ±∞, (1.9)
в котором
πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞.
В силу (1.9) y(t) является быстро меняющимся решением при t ↑ ω.
При изучении таких решений в дальнейшем, не ограничивая общно-
сти, будем считать, что
∆Y0 = ∆Y0(b),
где
∆Y0(b) =
{
[b, Y0[, если ∆Y0 − левая окрестность Y0,
]Y0, b], если ∆Y0 − правая окрестность Y0,
и число b удовлетворяет неравенствам
|b| < 1 при Y0 = 0,
b > 1 (b < −1) при Y0 = +∞ (Y0 = −∞).
В работе [15], с использованием результатов из монографии
N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels [17] (Гл. 3, п. 3.10, C. 178),
было показано, что дважды непрерывно дифференцируемая фун-
кция f : ∆Y0(b) →]0,+∞[, удовлетворяющая условиям
f ′(y) ̸= 0 при y ∈ ∆Y0(b), lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
f(y) = Z0 ∈ {0,+∞},
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 21
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
f ′′(y)f(y)
f ′2(y)
= 1,
принадлежит т.н. классу ΓY0(Z0), который был получен путем ра-
сширения класса Γ, введенного Л. Ханом (см., например, [17], Гл. 3,
п. 3.10, C. 175). При этом были указаны свойства таких функций,
которые будут использованы в дальнейшем.
Введем два числа
ν0 = sign b, ν1 =
{
1, если ∆Y0(b) = [b, Y0[,
−1, если ∆Y0(b) =]Y0, b].
Учитывая определение Pω(Y0, λ0)-решения дифференциального
уравнения (1.1), заметим, что числа ν0 и ν1 определяют знаки любо-
го Pω(Y0, λ0)-решения и его первой производной (соответственно) в
некоторой левой окрестности ω. При этом ясно, что условия
ν0ν1 = 1, если Y0 = 0, ν0ν1 = 1, если Y0 = ±∞
являются необходимыми для существования таких решений. Кроме
того, если выполняются условия (1.8), то при λ0 = 1 в силу (1.1) и
определения 1.1
αsν0 = 1. (1.10)
2. Случай, когда главным в правой части уравнения
(1.1) является слагаемое с правильно меняющейся
нелинейностью
Положим при s ∈ {1, ..., l}
Φs(y) =
y∫
Bs
du
φs(u)
,
где
Bs =
b, если
Y0∫
b
dy
φs(y)
= ±∞,
Y0, если
Y0∫
b
dy
φs(y)
= const .
Так как Φ′
s(y) =
1
φs(y)
> 0 при y ∈ ∆Y0(b), то функция Φs возра-
стающая на ∆Y0(b) и существует обратная функция Φ−1
s : ∆Zs(cs) →
∆Y0(b) такая, что
lim
z→Zs
z∈∆Zs
(cs)
Φ−1
s (z) = Y0, (2.1)
22 Быстро меняющиеся решения...
где
Zs = lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
Φs(y) =
0, если Bs = Y0,
+∞, если Bs = b < Y0,
−∞, если Bs = b > Y0,
∆Zs(cs) =
{
[cs, Zs[, если ∆Y0(b) = [b, Y0[,
]Zs, cs], если ∆Y0(b) =]Y0, b],
cs = Φs(b).
В силу представлений (1.4), свойств медленно меняющихся фун-
кций (см. [1], Гл. 1, § 2, С. 15) и правила Лопиталя
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
y
Φs(y)φs(y)
= 1− σs. (2.2)
Введем также вспомогательные функции
Js(t) =
t∫
As
ps(τ)dτ, Jss(t) =
t∫
Ass
Js(τ)dτ,
где каждый из пределов интегрирования As, Ass ∈ {a, ω} и выбран
по аналогии с выбором Bs в функции Φs так, чтобы каждый из ин-
тегралов Js и Jss стремился либо к 0, либо к ±∞ при t ↑ ω.
Теорема 2.1. Пусть для некоторого s ∈ {1, . . . , l} выполняется не-
равенство σs ̸= 1. Тогда для существования у дифференциального
уравнения (1.1) Pω(Y0, 1)-решений, удовлетворяющих условиям (1.8),
необходимо чтобы наряду с (1.10) выполнялось неравенство
αsν1(1− σs)Js(t) > 0 при t ∈]a, ω[, (2.3)
и условия
αs(1− σs) lim
t↑ω
Jss(t) = Zs, lim
t↑ω
ps(t)Jss(t)
J2
s (t)
= 1, (2.4)
lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
ps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
= 0 (2.5)
при любом i ∈ {1, ..., l} \ {s},
lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)(1 + δi)))
ps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
= 0 (2.6)
при каждом i ∈ {l + 1, ...,m}, где δi — любое число из некоторой
односторонней окрестности нуля. Более того, для каждого такого
решения имеют место асимптотические представления
y(t) = Φ−1
s (αs(1− σs)Jss(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω, (2.7)
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 23
y′(t) =
Js(t)Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t))
(1− σs)Jss(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.8)
Доказательство. Пусть y : [t0, ω[→ R — произвольное Pω(Y0, 1)- ре-
шение дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющее при
данном s ∈ {1, ..., l} условиям (1.8). Тогда в силу (1.1) и (1.8)
y′′(t) = αsps(t)φs(y(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.9)
Условие (2.3) и второе из условий (2.4) устанавливаются с исполь-
зованием схемы доказательства теоремы 3.3 из работы [18], которая
посвящена двучленному дифференциальному уравнению n-го поряд-
ка с правильно меняющейся нелинейностью. Кроме того, используя
схему доказательства данной теоремы, получим
Φs(y(t)) = αs(1− σs)Jss(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω, (2.10)
y′(t)
y(t)
=
Js(t)
(1− σs)Jss(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.11)
Из (2.10) следует выполнение первого из условий (2.4) и асимптоти-
ческое соотношение
y(t) = Φ−1
s (αs(1− σs)Jss(t)[1 + o(1)]) при t ↑ ω. (2.12)
Здесь Φ−1
s является правильно меняющейся функцией порядка 1
1−σs
при z → Zs как обратная для правильно меняющейся при y → Y0
функции Φs порядка 1− σs ̸= 0. Более того, в силу условий (2.4), су-
ществует t1 ∈ [t0, ω[ такое, что функция z(t) = αs(1−σs)Jss(t)[1+o(1)]
такова, что limt↑ω z(t) = Zs и z(t) ∈ ∆Zs(cs) при t ∈ [t1, ω[. Поэтому, с
учетом свойств правильно меняющихся функций, соотношение (2.12)
можно переписать в виде (2.7). Кроме того, из (2.11) и (2.7) следует
справедливость (2.8).
Далее, поскольку при s ∈ {1, ..., l} функции φi (i = 1, l) являются
правильно меняющимися при y → Y0, а функция z удовлетворяет
указанным выше условиям, то
φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)[1 + o(1)]))
= φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Тогда, в силу (2.7) при i ∈ {1, ..., l} \ {s}
lim
t↑ω
pi(t)φi(y(t))
ps(t)φs(y(t))
= lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))[1 + o(1)]
ps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))[1 + o(1)]
24 Быстро меняющиеся решения...
= lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
ps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
,
откуда, с учетом (1.8), при любом i ∈ {1, ..., l} \ {s} следует справе-
дливость условий (2.5).
При i ∈ {l+1, ...,m} из (2.12), с учетом свойств функции z, имеем
lim
t↑ω
pi(t)φi(y(t))
ps(t)φs(y(t))
= lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)[1 + o(1)]))
ps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
.
В силу монотонности функций φi(Φ−1
s (z)) (i = l + 1,m) на промежу-
тке ∆Zs(cs) для любых δi из некоторой односторонней окрестности
нуля существует t2 ∈ [t1, ω[ такое, что при t ∈ [t2, ω[
pi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)[1 + o(1)]))
ps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
≥ pi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)[1 + δi]))
ps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
≥ 0,
откуда, с учетом (1.8) и предыдущего предельного равенства при лю-
бом i ∈ {l + 1, ...,m} следует справедливость условий (2.6).
Теорема 2.2. Пусть для некоторого s ∈ {1, ..., l} выполняется не-
равенство σs ̸= 1, условия (1.10), (2.3)–(2.5) и при любом i ∈ {l +
1, ...,m}
lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)(1 + u)))
ps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
= 0 (2.13)
равномерно по u ∈ [−δ, δ] для некоторого 0 < δ < 1. Тогда у диф-
ференциального уравнения (1.1) существуют Pω(Y0, 1)-решения, до-
пускающие асимптотические представления (2.7) и (2.8), причем
таких решений существует однопараметрическое семейство в слу-
чае, когда σs > 1 и двупараметрическое — когда σs < 1 и αsν1 = 1.
Доказательство. Применяя к уравнению (1.1) преобразование
Φs(y(t)) = αs(1− σs)Jss(t)[1 + u1(t)],
y′(t)
y(t) = Js(t)
(1−σs)Jss(t) [1 + u2(t)],
(2.14)
получаем систему дифференциальных уравнений
u′1 = h(t)
[
(σs − 1)(1 + u1) +
G(t,u1)
αs(1−σs)Jss(t)(1 + u2)
]
,
u′2 = h(t)
[
(1− σs)(q(t)− 1)(1 + u2)− (1 + u2)
2+
+αs(1−σs)2Jss(t)q(t)
G(t,u1)
(1 +R(t, u1))
]
,
(2.15)
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 25
в которой
h(t) =
Js(t)
(1− σs)Jss(t)
, q(t) =
Jss(t)ps(t)
J2
s (t)
, G(t, u1) =
Y (t, u1)
φs(Y (t, u1))
,
Y (t, u1) = Φ−1
s (αs(1− σs)Jss(t)(1 + u1)), (2.16)
R(t, u1) =
m∑
i=1
i̸=s
αipi(t)φi(Y (t, u1))
αsps(t)φs(Y (t, u1))
. (2.17)
Учитывая первое из условий (2.4), подберем число t0 ∈ [a, ω[ так,
чтобы при |u1| ≤ δ
αs(1− σs)Jss(t)(1 + u1) ∈ ∆Zs(cs), Y (t, u1) ∈ ∆Y0(b)
и рассмотрим систему (2.15) на множестве
Ω = [t0, ω[×D, где D = {(u1, u2) : |u1| ≤ δ, i = 1, 2}.
В силу (2.1) и первого из условий (2.4)
lim
t↑ω
Y (t, u1) = Y0 равномерно по u1 ∈ [−δ, δ]. (2.18)
Отсюда, с учетом (2.4) и вида функции G, следует что
lim
t↑ω
G(t, u1)
Φs(Y (t, u1))
= 1− σs равномерно по u1 ∈ [−δ, δ],
т.е.
G(t, u1) = [1− σs +R1(t, u1)]Φs(Y (t, u1))
и
1
G(t, u1)
=
1/(1− σs) +R2(t, u1)
Φs(Y (t, u1))
,
где функции Ri (i = 1, 2) удовлетворяют условиям
lim
t↑ω
Ri(t, u1) = 0 равномерно по u1 ∈ [−δ, δ]. (2.19)
Следовательно, с учетом вида функции Y (t, u1), имеют место пред-
ставления
G(t, u1) = αs(1− σs)[1− σs +R1(t, u1)]Jss(t)(1 + u1), (2.20)
1
G(t, u1)
=
1/(1− σs) +R2(t, u1)
αs(1− σs)Jss(t)(1 + u1)
. (2.21)
26 Быстро меняющиеся решения...
Кроме того, покажем что
lim
t↑ω
R(t, u1) = 0 равномерно по u1 ∈ [−δ, δ]. (2.22)
Так как функции φi при i ∈ {1, ..., l} являются правильно меняющи-
мися при y → Y0 (y ∈ ∆Y0(b)) порядков σi, то в силу представлений
(1.4), с учетом свойств медленно меняющихся функций, имеем
φi(Y (t, u1)) = φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)(1 + u1)))
= |Φ−1
s (αs(1− σs)Jss(t)(1 + u1))|σiLi(Φ−1
s (αs(1− σs)Jss(t)(1 + u1)))
= |Φ−1
s (αs(1− σs)Jss(t)(1 + u1))|σi
×Li(Φ−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))(1 + ri(t, u1))
= φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))(1 + u1)
σi(1 + ri(t, u1)), (i = 1, l)
где функции ri таковы, что
lim
t↑ω
ri(t, u1) = 0 равномерно по u1 ∈ [−δ, δ].
С учетом этих условий
lim
t↑ω
l∑
i=1
i ̸=s
αipi(t)φi(Y (t, u1))
αsps(t)φs(Y (t, u1))
= 0 равномерно по u1 ∈ [−δ, δ], (2.23)
поскольку в силу условий (2.5)
lim
t↑ω
l∑
i=1
i ̸=s
αipi(t)φi(Y (t, u1))
αsps(t)φs(Y (t, u1))
= lim
t↑ω
l∑
i=1
i̸=s
αipi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))(1 + u1)
σi [1 + ri(t, u1)]
αsps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))(1 + u1)σs [1 + rs(t, u1)]
= lim
t↑ω
l∑
i=1
i̸=s
αipi(t)φi(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
αsps(t)φs(Φ
−1
s (αs(1− σs)Jss(t)))
= 0
равномерно по u1 ∈ [−δ, δ]. Из (2.23) и (2.13), в силу вида функции
R, следует (2.22). Учитывая (2.17), (2.20) и (2.21), систему диффе-
ренциальных уравнений (2.15) запишем в виде
u′1 = h(t) [f1(t, u1, u2) + (1− σs)u2 + V1(u1, u2)] ,
u′2 = h(t) [f2(t, u1, u2)− u1 − 2u2 + V2(u1, u2)] ,
(2.24)
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 27
где
f1(t, u1, u2) = R1(t, u1)(1 + u1)(1 + u2),
f2(t, u1, u2) = (q(t)− 1)((1 + u1)
−1 + (σs − 1)(1 + u2))
+(1− σs)q(t)R2(t, u1)(1 + u1)
−1
+q(t)(1 + (1− σs)R2(t, u1))R(t, u1)(1 + u1)
−1,
V1(u1, u2) = (1− σs)u1u2, V2(u1, u2) = u21(1 + u1)
−1 − u22.
В этой системе уравнений нелинейные слагаемые V1 и V2 удовлетво-
ряют условиям
lim
|u1|+|u2|→0
Vi(u1, u2)
|u1|+ |u2|
= 0 (i = 1, 2),
а в силу второго из условий (2.4), с учетом (2.19) и (2.22),
lim
t↑ω
fi(t, u1, u2) = 0 равномерно по ui ∈ [−δ, δ] (i = 1, 2).
Кроме того,
ω∫
t0
h(τ) dτ =
1
1− σs
ω∫
t0
Js(τ)
Jss(τ)
dτ =
1
1− σs
ln |Jss(τ)|
∣∣∣∣∣
ω
t0
= ±∞.
Запишем характеристическое уравнение матрицы коэффициентов
стоящих при u1 и u2 в квадратных скобках системы (2.24)
ρ2 + 2ρ+ 1− σs = 0.
Так как σs ̸= 1, то это уравнение не имеет корней с нулевой дей-
ствительной частью. Тем самым показано, что для системы (2.24)
выполняются все условия теоремы 2.2 из работы [19]. Согласно этой
теореме система дифференциальных уравнений (2.24) имеет хотя бы
одно решение u = (u1, u2) : [t∗, ω[→ R2 (t∗ ≥ t0), стремящееся к
нулю при t ↑ ω. Каждому такому решению системы (2.24) в силу
замен (2.14) соответствует решение дифференциального уравнения
(1.1), допускающее при t ↑ ω асимптотические представления (2.7)
и (2.8), причем это решение является Pω(Y0, 1)-решением уравнения
(1.1). Более того, из этой теоремы следует, что уравнение (1.1) имеет
однопараметрическое семейство таких решений в случае, когда σs > 1
и двупараметрическое — когда σs < 1 и αsν1 = 1.
28 Быстро меняющиеся решения...
3. Случай, когда главным в правой части
уравнения (1.1) является слагаемое с быстро меняю-
щейся нелинейностью
Положим при s ∈ {l + 1, ...,m}
µs = signφ′
s(y)
и введем функцию
Φs(y) =
y∫
Bs
du
|u|
1
2φ
1
2
s (u)
,
в которой
Bs =
Y0, если
Y0∫
b
dy
|y|
1
2 φ
1
2
s (y)
= const,
b, если
Y0∫
b
dy
|y|
1
2 φ
1
2
s (y)
= ±∞.
Функция Φs сохраняет знак на промежутке ∆Y0(b), стремится ли-
бо к нулю, либо к ±∞ при y → Y0 и является возрастающей на ∆Y0(b),
поскольку на этом промежутке Φ′
s(y) = |y|−
1
2φ
− 1
2
s (y) > 0. Поэтому су-
ществует обратная возрастающая функция Φ−1
s : ∆Zs(cs) → ∆Y0(b),
где в силу второго из условий (1.3)
Zs = lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
Φs(y) =
{
либо 0,
либо +∞,
∆Zs(cs) =
{
[cs, Zs[, если ∆Y0(b) = [b, Y0[,
]Zs, cs], если ∆Y0(b) =]Y0, b],
cs = Φs(b).
(3.1)
Далее, заметим, что φ
1
2
s (y)
|y|
1
2φ′
s(y)
′
=
1
|y|
1
2φ
1
2
s (y)
[
1
2
− 1
2
φs(y)
yφ′
s(y)
− φ′′
s(y)φs(y)
φ′2
s (y)
]
.
Отсюда с учетом условий (1.3) и (1.6) получим соотношение φ
1
2
s (y)
|y|
1
2φ′
s(y)
′
=
1
|y|
1
2φ
1
2
s (y)
[
−1
2
+ o(1)
]
при y → Y0.
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 29
Интегрируя это предельное соотношение на промежутке от Bs до y
и учитывая правило выбора предела интегрирования Bs в функции
Φs, получим
Φs(y) = − 2φ
1
2
s (y)
|y|
1
2φ′
s(y)
[1 + o(1)] при y → Y0, (3.2)
откуда с учетом знака φ′
s также следует, что
signΦs(y) = −µs при y ∈ ∆Y0(b). (3.3)
В силу (3.2) и (1.6) также имеем что
Φ′
s(y)
Φs(y)
∼ −1
2
φ′
s(y)
φs(y)
при y → Y0,
Φ′′
s(y)Φs(y)
Φ′2
s (y)
∼ 1 при y → Y0.
Таким образом, функция Φs принадлежит классу ΓY0(Zs) и согласно
лемме 2.5 из работы [15] в качестве дополняющей функции для Φs
соответственно может быть выбрана одна из эквивалентных функций
Φ′
s(y)
Φ′′
s(y)
∼ Φs(y)
Φ′
s(y)
∼ −2φs(y)
φ′
s(y)
при y → Y0. (3.4)
Так как
lim
z→Zs
z(φs(Φ
−1
s (z)))′
φs(Φ
−1
s (z))
= lim
z→Zs
zφ′
s(Φ
−1
s (z))|Φ−1
s (z)|
1
2φ
1
2
s (Φ−1
s (z))
φs(Φ
−1
s (z))
= lim
y→Y0
Φs(y)φ
′
s(y)|y|
1
2
φ
1
2
s (y)
= −2,
то функция φs(Φ
−1
s (z)) является правильно меняющейся функцией
порядка -2 при z → Zs.
Далее, введем также вспомогательные функции
J1s(t) =
t∫
A1s
p
1
2
0s(τ) dτ, J2s(t) =
t∫
A2s
p0s(τ)φs(Φ
−1
s (ν1J1s(τ))) dτ,
q1s(t) =
αsν1J2s(t)
p
1
2
0s(t)|Φ
−1
s (ν1J1s(t)|
1
2φ
1
2
s (Φ
−1
s (ν1J1s(t))
,
30 Быстро меняющиеся решения...
q2s(t) =
πω(t)p
1
2
0s(t)φ
1
2
s (Φ−1
s (ν1J1s(t)))
|Φ−1
s (ν1J1s(t)|
1
2
,
H1s(t) =
yφ′
s(y)
φs(y)
∣∣∣∣∣
y=Φ−1
s (ν1J1s(t))
, H2s(t) =
y
(
φ′
s(y)
φs(y)
)′
φ′
s(y)
φs(y)
∣∣∣∣∣
y=Φ−1
s (ν1J1s(t))
,
в которых p0s : [a, ω[→]0,+∞[ — непрерывная функция, такая, что
p0s(t) ∼ ps(t) при t ↑ ω, а пределы интегрирования A1s, A2s при-
надлежат множеству {a, ω} и выбраны по аналогии с выбором Bs в
функции Φs так, чтобы каждый из интегралов J1s и J2s стремился
либо к 0, либо к ±∞ при t ↑ ω.
Теорема 3.1. Пусть для некоторого s ∈ {l + 1, ...,m} функция ps
представима в виде
ps(t) = p0s(t)[1 + rs(t)], где lim
t↑ω
rs(t) = 0, (3.5)
p0s : [a, ω[→]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемая функция, rs :
[a, ω[→]− 1,+∞[ — непрерывная функция, и справедливы условия
φs(y)φ
′
i(y)
φ′
s(y)φi(y)
= O(1) (i = l + 1,m) при y → Y0. (3.6)
Тогда для существования у дифференциального уравнения (1.1)
Pω(Y0, 1) — решений, удовлетворяющих условиям (1.8), необходимо
чтобы наряду с (1.10) соблюдались условия
µsν1J1s(t) < 0 при t ∈]a, ω[, (3.7)
ν1 lim
t↑ω
J1s(t) = Zs, lim
t↑ω
πω(t)J
′
1s(t)
J1s(t)
= ±∞, (3.8)
lim
t↑ω
q1s(t) = 1, lim
t↑ω
q2s(t) = ±∞, (3.9)
lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
ps(t)φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
= 0 при i ∈ {1, ...,m} \ {s}. (3.10)
Более того, для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω
асимптотические представления
y(t) = Φ−1
s (ν1J1s(t))
[
1 +
o(1)
H1s(t)
]
, (3.11)
y′(t) = ν1p
1
2
0s(t)φ
1
2
s (Φ
−1
s (ν1J1s(t)))|Φ−1
s (ν1J1s(t))|
1
2 [1 + o(1)]. (3.12)
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 31
Доказательство. Пусть y : [t0, ω[→ R — произвольное Pω(Y0, 1)-ре-
шение дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющее при не-
котором s ∈ {l + 1, ...,m} условиям (1.8). Тогда в силу (1.1), (1.8) и
(3.5)
y′′(t) = αsp0s(t)φs(y(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.13)
Кроме того, для этого решения согласно (1.9)
y′′(t) =
y′′(t)
y′(t)
· y
′(t)
y(t)
· y(t) ∼
(
y′(t)
y(t)
)2
y(t) при t ↑ ω.
В силу этого соотношения и (3.13) имеем(
y′(t)
y(t)
)2
= αsp0s(t)
φs(y(t))
y(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда с учетом неравенства (1.10)(
y′(t)
y(t)
)2
= p0s(t)
φs(y(t))
|y(t)|
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Из этого соотношения с учетом знаков y и y′ находим
y′(t)
y(t)
= ν0ν1p
1
2
0s(t)
(
φs(y(t))
y(t)
) 1
2
[1 + o(1)] при t ↑ ω
или
y′(t)
|y(t)|
1
2φ
1
2
s (y(t))
= ν1p
1
2
0s(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.14)
Интегрируя соотношение (3.14) на промежутке от t1 (t1 ∈ [t0, ω[) до
t получим
y(t)∫
y(t1)
ds
|s|
1
2φ
1
2
s (s)
= ν1
t∫
t1
p
1
2
os(τ)[1 + o(1)] dτ при t ↑ ω.
Поскольку согласно определению Pω(Y0, 1)-решения y(t) → Y0 при
t ↑ ω, то отсюда следует, что несобственные интегралы
Y0∫
y(t0)
ds
|s|
1
2φ
1
2
s (s)
и
ω∫
t0
p
1
2
0s(τ) dτ
сходятся или расходятся одновременно. Ввиду этого факта и прави-
ла выбора пределов интегрирования A1s и B1s в введенных раннее
32 Быстро меняющиеся решения...
функциях J1s и Φ1s, установленное выше соотношение может быть
записано в виде
Φs(y(t)) = ν1J1s(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.15)
Отсюда с учетом условий (3.1) и (3.3) следует, что справедливо нера-
венство (3.7) и первое из условий (3.8). Кроме того, из (3.14) и (3.15)
имеем
y′(t)
|y(t)|
1
2φ
1
2
s (y(t))Φs(y(t))
=
p
1
2
0s(t)
J1s(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω
и поэтому в силу (3.2)
πω(t)y
′(t)
y(t)
· y(t)φ
′
s(y(t))
φs(y(t))
= −2
πω(t)J
′
1s(t)
J1s(t)
[1+ o(1)] при t ↑ ω, (3.16)
откуда ввиду (1.6) и соотношения (1.9) вытекает справедливость вто-
рого из условий (3.8). Из (3.15) следует, что
y(t) = Φ−1
s (ν1J1s(t)[1 + o(1)]) при t ↑ ω. (3.17)
Так как выполняется первое из условий (3.8), функция Φ−1
s (z) явля-
ется медленно меняющейся, а φs(Φ−1
s (z)) — правильно меняющейся
при z → Zs порядка -2, то согласно теореме о равномерной сходимо-
сти для медленно меняющихся функций (см., например, [1])
Φ−1
s (ν1J1s(t)[1 + o(1)]) = Φ−1
s (ν1J1s(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω,
φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)[1 + o(1)])) = φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Ввиду этих асимптотических соотношений и (3.17) из (3.14) и (3.13)
следует, что имеют место асимптотические представления (3.12) и
y′′(t) = αsp0s(t)φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.18)
Интегрируя последнее соотношение на промежутке от t2 до t, где
t2 ∈ [t1, ω[ выбрано таким, чтобы ν1J1s(t) ∈ ∆Zs(cs) при t ∈ [t2, ω[,
получим с учетом определения Pω(Y0, 1) – решения соотношение вида
y′(t) = αsJ2s(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда и из (3.12) следует выполнение первого из условий (3.9). Вто-
рое из условий (3.9) следует из (3.12), (3.18) и того факта, что для
Pω(Y0, 1)-решений уравнения (1.1) limt↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t) = ±∞.
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 33
Справедливость представления (3.11) непосредственно вытекает
из (3.17) и леммы 2.3 из работы [15], если учесть, что функция Φs ∈
ΓY0(Zs) и в качестве дополняющей функции выбрать gs(y) = −2φs(y)
φ′
s(y)
.
Функции φi (i = 1, l) являются правильно меняющимися при y →
Y0. Φ−1
s является медленно меняющейся при z → Zs, как обратная
от быстро меняющейся функции Φs. Кроме того, функция z(t) =
ν1J1s(t)[1+ o(1)], с учетом первого из условий (3.8) и того факта, что
ν1J1s(t) ∈ ∆Zs(cs) при t ∈ [t1, ω[ (это вытекает из (3.15)), такова, что
существует t2 ∈ [t1, ω[, для которого limt↑ω z(t) = Zs и z(t) ∈ ∆Zs(cs)
при t ∈ [t2, ω[. Следовательно, имеем
φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)[1 + o(1)])) = φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))[1 + o(1)] (3.19)
при t ↑ ω (i = 1, l). Если же i ∈ {l + 1, ...,m} \ {s}, то каждая
из функций φi удовлетворяет условиям леммы 2.2 из работы [15] и
в качестве их дополняющих функций могут быть выбраны соответ-
ственно функции gi(y) =
φi(y)
φ′
i(y)
. Тогда, согласно этой лемме с учетом
условий lim
t↑ω
Φ−1
s (ν1J1s(t)) = Y0, Φ−1
s (ν1J1s(t)) ∈ ∆Y0(b) при t ∈ [t2, ω[
и (3.6), получим
lim
t↑ω
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
o(1)
)
φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
φi
(
y + gi(y)
φ′
i(y)φs(y)
φi(y)φ′
s(y)
o(1)
)
φi(y)
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
φi
(
y + gi(y)O(1)o(1)
)
φi(y)
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
φi
(
y + gi(y)o(1)
)
φi(y)
= 1.
Поэтому при i ∈ {l + 1, ...,m} \ {s}
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
o(1)
)
= φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))[1 + o(1)] при t ↑ ω,
откуда, с учетом (1.6) и (3.11) имеем
φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)[1 + o(1)]))
= φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))[1 + o(1)] при t ↑ ω (i = l + 1,m). (3.20)
34 Быстро меняющиеся решения...
Из (3.11), (3.19) и (3.20) имеем
lim
t↑ω
pi(t)φi(y(t))
ps(t)φs(y(t))
= lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))[1 + o(1)]
ps(t)φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))[1 + o(1)]
= lim
t↑ω
pi(t)φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
ps(t)φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
(i = 1,m).
Из последнего равенства и (1.8) следует справедливость условий (3.10).
При установлении следующего результата наряду с введенными
ранее будем использовать также обозначения
hs(t) =
ν1Φ
−1
s (ν1J1s(t))
p0s(t)φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
·
p 1
2
0s(t)φ
1
2
s (Φ−1
s (ν1J1s(t)))
|Φ−1
s (ν1J1s(t))|
1
2
′
,
ψs(t) =
∫ t
t0
p
1
2
0s(τ)|φ
′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(τ)))|
1
2dτ,
где t0 — некоторое число из промежутка [a, ω[.
Теорема 3.2. Пусть для некоторого s ∈ {l + 1, ...,m} функция ps
представима в виде (3.5), выполняются условия (1.10), (3.6)–(3.10)
и существуют конечные или равные ±∞ пределы
γs = lim
t↑ω
H2s(t), lim
t↑ω
hs(t),
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
(
φ′
s(y)
φs(y)
)′
(
φ′
s(y)
φs(y)
)2
√∣∣∣yφ′
s(y)
φs(y)
∣∣∣, lim
t↑ω
ψs(t)ψ′′
s (t)
ψ′2
s (t)
.
(3.21)
Тогда:
1) если αsµs = 1, то у дифференциального уравнения (1.1) суще-
ствует однопараметрическое семейство Pω(Y0, 1)-решений, допуска-
ющих асимптотические представления (3.11), (3.12), причем та-
ких, производная которых удовлетворяет при t ↑ ω асимптотиче-
скому соотношению
y′(t) = (Φ−1
s (ν1J1s(t)))
′[1 + |H1s(t)|−
1
2 o(1)]; (3.22)
2) если αsµs = −1 и соблюдаются условия
γs ̸= −1
5
,−1, lim
t↑ω
ψs(t)rs(t) = 0, lim
t↑ω
ψ2
s(t)[rs(t)− hs(t)] = 0, (3.23)
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 35
lim
t↑ω
ψ2
s(t)
m∑
i=1
i ̸=s
pi(t)φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
ps(t)φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
= 0, (3.24)
то у дифференциального уравнения (1.1) существуют Pω(Y0, 1)-ре-
шения, допускающие при t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = Φ−1
s (ν1J1s(t))
[
1 +
o(1)
ψs(t)H1s(t)
]
, (3.25)
y′(t) = (Φ−1
s (ν1J1s(t)))
′
[
1 +
o(1)
ψs(t)|H1s(t)|
1
2
]
, (3.26)
причем таких решений существует двупараметрическое семейство
в случае, когда γs ∈
(
−1,−1
5
)
.
Доказательство. С использованием второго из предельных соотно-
шений (3.9) нетрудно показать, что в случае существования конечно-
го или равного ±∞ второго из пределов (3.21), он может быть равен
только нулю. Кроме того, в работе А. Г. Черниковой [12] с заменой в
ней функции φ на φs было показано, что третий из пределов (3.21)
также равен нулю. Таким образом, имеем
lim
t↑ω
hs(t) = 0 и lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
(
φ′
s(y)
φs(y)
)′
(
φ′
s(y)
φs(y)
)2
√∣∣∣∣yφ′
s(y)
φs(y)
∣∣∣∣ = 0. (3.27)
Кроме того, в силу (3.7), первого из условий (3.8), (3.1), (3.3) и
(1.6) существует число t0 ∈ [a, ω[ такое, что Φ−1
s (ν1J1s(t)) ∈ ∆Y0(b)
при t ∈ [t0, ω[, и
lim
t↑ω
Φ−1
s (ν1J1s(t)) = Y0, lim
t↑ω
H1s(t) = ±∞. (3.28)
Применяя к уравнению (1.1) преобразование
y(t) = Φ−1
s (ν1J1s(t))
[
1 + y1(t)
H1s(t)
]
,
y′(t) = ν1p
1
2
0s(t)φ
1
2
s (Φ−1
s (ν1J1s(t)))|Φ−1
s (ν1J1s(t))|
1
2 [1 + y2(t)],
(3.29)
получим систему дифференциальных уравнений
y′1 = h(t)H1s(t)
[
H2s(t)
H1s(t)
y1 + y2
]
,
y′2 = h(t)
[
rs(t)− hs(t) + (1 + rs(t))y1 − (1 + hs(t))y2+
+(1 + rs(t))(R(t, y1) +R1(t, y1)(R(t, y1) + 1 + y1))
]
,
(3.30)
36 Быстро меняющиеся решения...
в которой
h(t) =
ν0ν1q2s(t)
πω(t)
,
R(t, y1) =
φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
) − 1− y1,
R1(t, y1) =
m∑
i=1
i̸=s
αipi(t)φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
αsps(t)φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
) .
Функция R(t, y1) такова, что для любого ε > 0 существуют δ ∈
]0, 1[ и t1 ∈ [t0, ω[ такие, что
|R(t, y1)| ≤ (1 + ε)|y1|2 при t ∈ [t1, ω[ и y1 ∈ D1δ, (3.31)
где
y1 ∈ D1δ = {y1 : |y1| ≤ δ}.
Выбрав произвольным образом число ε > 0, далее систему урав-
нений (3.30) рассмотрим на множестве
Ω = [t1, ω[×D1δ ×D2δ, где Diδ = {yi : |yi| ≤ δ} (i = 1, 2).
Покажем, что функция R1(t, y1) такова, что
lim
t↑ω
R1(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ D1δ. (3.32)
Так как функции φi при i ∈ {1, ..., l} являются правильно меня-
ющимися при y → Y0 (y ∈ ∆Y0(b)) порядков σi, то в силу пред-
ставлений (1.4) с учетом свойств медленно меняющихся функций и
последнего из условий (3.28), имеем
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
φ′
s
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)y1)
= φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
[
1 +
y1
H1s(t)
])
=
∣∣∣∣∣Φ−1
s (ν1J1s(t))
[
1 +
y1
H1s(t)
] ∣∣∣∣∣
σi
Li
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
[
1 +
y1
H1s(t)
])
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 37
=
∣∣∣∣∣Φ−1
s (ν1J1s(t))
[
1 +
y1
H1s(t)
] ∣∣∣∣∣
σi
Li(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))(1 + ri(t, y1))
= φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
[
1 +
y1
H1s(t)
]σi
(1 + ri(t, y1)), (i = 1, l), (3.33)
где функции ri(t, y1) таковы, что
lim
t↑ω
ri(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ D1δ. (3.34)
Поскольку функция φs принадлежит классу ΓY0(Zs) и в каче-
стве ее дополняющей функции может быть выбрана функция gs(y) =
φs(y)
φ′
s(y)
, то на основании леммы 2.3 из работы [15] получим
lim
t↑ω
φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
= lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
φs
(
y + φs(y)
φ′
s(y)
· y1
)
φs(y)
= ey1 .
Поэтому
φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
= ey1φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))[1 + rs(t, y1)] при t ↑ ω, (3.35)
где функция rs(t, y1) такова, что
lim
t↑ω
rs(t, y1) = 0 равномерно по y1 ∈ D1δ. (3.36)
В силу (1.6), (3.10), (3.33)–(3.36) имеем
lim
t↑ω
l∑
i=1
αipi(t)φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
αsps(t)φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
= lim
t↑ω
l∑
i=1
αipi(t)φi(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
[
1 + y1
H1s(t)
]σi
(1 + ri(t, y1))
αsps(t)ey1φs(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))(1 + rs(t, y1))
= 0 равномерно по y1 ∈ D1δ. (3.37)
38 Быстро меняющиеся решения...
Если же i ∈ {l + 1, ...,m} \ {s}, то в силу выполнения условий (3.6)
для любого Ci > 1 существует t2i ∈ [t1, ω[ такое, что при t ∈ [t2i, ω[
ввиду монотонности функции φi на промежутке ∆Y0(b)
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))−
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
φ′
i
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)Ci|y1|)
≤ φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
φ′
s
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)y1)
≤ φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
φ′
i
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)Ci|y1|) . (3.38)
Так как функция φi при i ∈ {l + 1, ...,m} принадлежит классу
ΓY0(Zi) и имеет дополняющую функцию вида gi(y) = φi(y)
φ′
i(y)
, то пе-
реходя в неравенстве (3.38) к пределу при t ↑ ω, с учетом свойств
функций из класса ΓY0(Zi) (см. работу [15]) получим
e−Ci|y1| lim
t↑ω
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
≤ lim
t↑ω
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
φ′
s
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)y1)
≤ eCi|y1| lim
t↑ω
φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
.
В силу последнего неравенства и (3.35) для каждого i ∈ {l+1, ...,m}\
{s} имеем
lim
t↑ω
pi(t)e
−Ci|y1|φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
ps(t)ey1φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
(1 + rs(t, y1))
≤ lim
t↑ω
pi(t)φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
ps(t)φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
≤ lim
t↑ω
pi(t)e
Ci|y1|φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
ps(t)ey1φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t))
)
(1 + rs(t, y1))
,
откуда, с учетом (3.10) и (3.36), следует, что
lim
t↑ω
m∑
i=l+1
i̸=s
αipi(t)φi
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
)
αsps(t)φs
(
Φ−1
s (ν1J1s(t)) +
φs(Φ−1
s (ν1J1s(t)))
φ′
s(Φ
−1
s (ν1J1s(t)))
y1
) = 0
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 39
равномерно по y1 ∈ D1δ. Из последнего соотношения и (3.37) следует
справедливость (3.32).
Далее, применяя к системе (3.30) преобразование
τ = ψs(t), y1(t) = z1(τ), y2(t) = |H1s(t)|−
1
2 z2(τ), (3.39)
получим систему дифференциальных уравнений
z′1 = c11(τ)z1 + c12(τ)z2,
z′2 = f(τ) + c21(τ)z1 + c22(τ)z2 + Z1(τ, z1) + Z2(τ, z1),
(3.40)
в которой
f(τ(t)) = αsν1[rs(t)− hs(t)],
c11(τ(t)) =
ν0ν1H2s(t)
|H1s(t)|
1
2
, c12(τ(t)) = ν1µs, c21(τ(t)) = αsν1(1+ rs(t)),
c22(τ(t)) = αsν1|H1s(t)|−
1
2
[
−1
2
− hs(t) +
1
2
H2s(t)
]
,
Z1(τ(t), z1) = αsν1R(t, z1)(1 + rs(t)),
Z2(τ(t), z1) = αsν1R1(t, z1)(R(t, z1) + z1 + 1)(1 + rs(t)).
Так как τ ′(t) > 0 при t ∈ [t1, ω[ и τ(t) → +∞ при t ↑ ω, то система
(3.40) задана на множестве [0,+∞[×D1δ ×D2δ, причем в ней в силу
(1.6), (3.5), (3.27), (3.31) и (3.32)
lim
τ→+∞
f(τ) = 0, lim
τ→+∞
c11(τ) = 0, lim
τ→+∞
c12(τ) = ν1µs,
lim
τ→+∞
c21(τ) = αsν1, lim
τ→+∞
c22(τ) = 0,
|Z1(τ, z1)| ≤ (1 + ε)|z1|2 при τ ∈ [0,+∞[ и |z1| ≤ δ,
lim
τ→+∞
Z2(t, z1) = 0 равномерно по z1 ∈ D1δ.
Характеристическое уравнение предельной матрицы коэффициентов
линейной части (3.40) имеет вид
ρ2 − αsµs = 0. (3.41)
Если αsµs = 1, то корни алгебраического уравнения (3.41) являются
вещественными числами разных знаков. В этом случае, согласно тео-
реме 2.2 из работы [19], система дифференциальных уравнений (3.40)
имеет однопараметрическое семейство решений (z1, z2) : [τ∗,+∞[→
R2 (τ∗ ≥ 0), стремящихся к нулю при τ → +∞. Каждому из них,
40 Быстро меняющиеся решения...
в силу замен (3.29) и (3.39), соответствует решение y : [t∗, ω[→ R
(t∗ ∈ [a, ω[) дифференциального уравнения (1.1), допускающее асим-
птотические представления (3.11) и (3.22). Следовательно, справе-
дливо первое утверждение теоремы.
Пусть теперь αsµs = −1. Тогда корни уравнения (3.41) являются
чисто мнимыми и поэтому данный случай является “критическим”.
Применяя к системе (3.40) последовательно преобразования
z1(τ) = u1(τ), z2(τ) =
ν0ν1
2τ
u1(τ) + u2(τ), (3.42)(
u1(τ)
u2(τ)
)
=
(
cos τ −αsν1 sin τ
αsν1 sin τ cos τ
)(
w1(τ)
w2(τ)
)
, (3.43)
wi(τ) =
xi(τ)
τ
(i = 1, 2), (3.44)
получим систему дифференциальных уравнений вида
x′i = p(τ)xi + g(τ)
2∑
m=1
Zim(τ, x1, x2) (i = 1, 2), (3.45)
в которой
p(τ) =
1
2
(c11(τ) + c22(τ)) +
1
τ
, g(τ) =
1
τ
,
функции Zij (i, j = 1, 2) непрерывны на множестве [τ0,+∞[×R2
0,
где R2
0 — некоторая окрестность точки (0,0), и в силу условий (3.23),
(3.24) таковы, что
Zi2(τ, 0, 0) ≡ 0 (i = 1, 2) на промежутке [τ0,+∞[,
lim
τ→+∞
Zi1(τ, x1, x2) = 0 (i = 1, 2) равномерно по x1, x2 ∈ [−δ, δ],
lim
|x1|+|x2|→0
Zi2(τ, x1, x2)
|x1|+ |x2|
= 0 (i = 1, 2)
равномерно по τ ∈ [τ0,+∞[.
Кроме того, выполняются условия
p(τ) ̸= 0 при τ ∈ [τ0,+∞[,
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
τ0
p(x) dx
∣∣∣∣∣∣ = +∞,
lim
τ→+∞
g(τ)
p(τ)
=
2(γs + 1)
5γs + 1
.
В. М. Евтухов, Н. П. Колун 41
Поэтому для системы (3.45) выполнены все условия теоремы 1.2 из
работы [19]. Согласно этой теореме, система дифференциальных урав-
нений (3.45) имеет хотя бы одно решение (x1, x2) : [τ1,+∞[→ R2 (τ1 ≥
τ0), стремящееся к нулю при τ → +∞, причем, если γs ∈ (−1,−1/5),
то таких решений существует целое двупараметрическое семейство.
Каждому такому решению системы (3.45) в силу замен (3.29), (3.39),
(3.42)–(3.44) соответствует решение y : [t2, ω[→ R (t2 ∈ [a, ω[) диффе-
ренциального уравнения (1.1) с асимптотическими представлениями
(3.25), (3.26).
Выводы
В настоящей работе впервые для уравнения (1.1) установлены
условия существования Pω(Y0, 1)–решений. Также найдены асимпто-
тические представления при t ↑ ω (ω ≤ +∞) для таких решений и их
производных первого порядка и выяснен вопрос о их количестве.
Литература
[1] Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, М., Наука, 1985.
[2] V. Maric, Regular Variation and Differential Equations. Lecture Notes in
Mathematics 1726, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2000.
[3] В. М. Евтухов, В. А. Касьянова, Асимптотическое поведение неограничен-
ных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
I // Укр. Мат. журнал, 57 (2005), No. 3, 338–355.
[4] В. М. Евтухов, В. А. Касьянова, Асимптотическое поведение неограничен-
ных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
II // Укр. Мат. журнал, 58 (2006), No. 7, 901–921.
[5] В. М. Евтухов, Л. А. Кириллова, Об асимптотике решений нелинейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения, 41
(2005), No. 8, 1053–1061.
[6] T. Kusano, J. Manojlovic, V. Maric, Increasing solutions of Thomas-Fermi type
differential equations - the sublinear case // Bull. T. de Acad. Serbe Sci. Arts,
Classe Sci. Mat. Nat., Sci. Math., CXLIII (2011), No. 36, 21–36.
[7] V. Maric, J. Manojlovic, An asymptotic analysis of positive solutions of Thomas-
Fermi type sublinear differential equations // Mem. Differential Equations Math.
Phys., 57 (2012), No. 1, 75–94.
[8] V. Maric, Z. Radasin, Asymptotic behavior of solutions of the equation y′′ =
f(t)Φ(Ψ(y)) // Glasnik matematicki, 23 (1988), No. 1, 27–34.
[9] V. Maric, M. Tomic, Asymptotics of solutions of a generalised Thomas-Fermi
equations // Differential Equations, 35 (1980), No. 1, 36–44.
[10] S. D. Taliaferro, Asymptotic behavior of solutions of y′′ = φ(t)f(y) // SIAM J.
Math. Anal., 12 (1981), No. 6, 853–865.
[11] В. М. Евтухов, В. М. Харьков, Асимптотические представления решений
существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка //
Дифференц. уравнения, 43 (2007), No. 9, 1311–1323.
42 Быстро меняющиеся решения...
[12] А. Г. Черникова, Асимптотика быстро изменяющихся решений диффе-
ренциальных уравнений второго порядка с быстро меняющейся нелинейно-
стью // Вiсник Од. нац. ун-ту. Мат. i мех., 20 (2015), No. 2, 52–68.
[13] В. М. Евтухов, А. Г. Черникова, Асимптотика медленно меняющихся ре-
шений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений второго по-
рядка с быстро меняющейся нелинейностью // Нелинейные колебания, 19
(2016), No. 4, 458–475.
[14] В. М. Евтухов, А. Г. Черникова, Асимптотическое поведение медленно ме-
няющихся решений обыкновенных двучленных дифференциальных уравнений
второго порядка с быстро меняющейся нелинейностью // Нелинейные ко-
лебания, 20 (2017), No. 3, 346–360.
[15] В. М. Евтухов, А. Г. Черникова, Асимптотическое поведение решений
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с быстро ме-
няющимися нелинейностями // Укр. мат. журн., 69 (2017), No. 10, 1345–
1363.
[16] В. М. Евтухов, Асимптотические представления решений неавтономных
обыкновенных дифференциальных уравнений: Дис... д-ра. физ.-мат. наук:
01.01.02, Одесский гос. ун-т им. И. И. Мечникова, Одесса, 1997.
[17] N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation. Encyclopedia of
mathematics and its applications, Cambridge university press, Cambridge, 1987.
[18] В. М. Евтухов, А. М. Самойленко, Асимптотические представления реше-
ний неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений с правиль-
но меняющимися нелинейностями // Дифференциальные уравнения, 47
(2011), No. 5, 628–650.
[19] В. М. Евтухов, А. М. Самойленко, Условия существования исчезающих в осо-
бой точке решений у вещественных неавтономных систем квазилинейных
дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн., 62 (2010), No. 1, 52–80.
Сведения об авторах
Вячеслав
Михайлович
Евтухов
Одесский национальный университет
имени И. И. Мечникова
Одесса, Украина
E-Mail: emden@farlep.net
Наталия Павловна
Колун
Одесский национальный университет
имени И. И. Мечникова
Одесса, Украина
E-Mail: nataliiakolun@ukr.net
|