Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁

Одержано точні за порядком оцінки колмогоровських, лінійних та тригонометричних поперечників класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі B₁,₁, норма в якому є більш сильною, ніж L₁-норма....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Гембарський, М.В., Гембарська, С.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2018
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169386
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁ / М.В. Гембарський, С.Б. Гембарська // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 43-56. — Бібліогр.: 25 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-169386
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1693862020-06-12T01:26:22Z Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁ Гембарський, М.В. Гембарська, С.Б. Одержано точні за порядком оцінки колмогоровських, лінійних та тригонометричних поперечників класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі B₁,₁, норма в якому є більш сильною, ніж L₁-норма. We have obtaіned the exact-by-order estimates of Kolmogorov, linear, and trigonometric widths of the classes BΩp,θ of periodic functions of many variables in the space B₁,₁ the norm in which is stronger than the L₁-norm. 2018 Article Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁ / М.В. Гембарський, С.Б. Гембарська // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 43-56. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 42B99 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169386 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Одержано точні за порядком оцінки колмогоровських, лінійних та тригонометричних поперечників класів BΩp,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі B₁,₁, норма в якому є більш сильною, ніж L₁-норма.
format	Article
author	Гембарський, М.В. Гембарська, С.Б.
spellingShingle	Гембарський, М.В. Гембарська, С.Б. Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁ Український математичний вісник
author_facet	Гембарський, М.В. Гембарська, С.Б.
author_sort	Гембарський, М.В.
title	Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁
title_short	Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁
title_full	Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁
title_fullStr	Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁
title_full_unstemmed	Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁
title_sort	поперечники класів bωр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі в₁,₁
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169386
citation_txt	Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁ / М.В. Гембарський, С.Б. Гембарська // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 1. — С. 43-56. — Бібліогр.: 25 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT gembarsʹkijmv poperečnikiklasívbōrthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorív11 AT gembarsʹkasb poperečnikiklasívbōrthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorív11
first_indexed	2025-07-15T04:07:45Z
last_indexed	2025-07-15T04:07:45Z
_version_	1837684454045253632
fulltext	Український математичний вiсник Том 15 (2018), № 1, 43 – 56 Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi B1,1 Михайло В. Гембарський, Свiтлана Б. Гембарська (Представлена В. П. Моторним) Анотацiя. Одержано точнi за порядком оцiнки колмогоровських, лiнiйних та тригонометричних поперечникiв класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi B1,1, норма в якому є бiльш сильною, нiж L1-норма. 2010 MSC. 42B99. Ключовi слова та фрази. Колмогоровський поперечник, лiнiй- ний поперечник, тригонометричний поперечник, схiдчастий гiпербо- лiчний хрест, найкраще наближення. 1. Вступ. У роботi встановлено точнi за порядком оцiнки колмогоровських, лiнiйних та тригонометричних поперечникiв класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi B1,1, норма в якому є бiльш сильною нiж L1 - норма. Мотивацiєю до дослiдження згаданих апро- ксимативних характеристик була та обставина, що їх порядки у про- сторi L1, за винятком окремих випадкiв, залишаються досi невiдоми- ми. Бiльш детально про це мова буде йти в коментарях до одержаних результатiв, а спочатку наведемо необхiднi позначення та означення. Нехай Rd, d – вимiрний простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i (x, y) = x1 y1 + . . . + xd yd – скалярний добуток елементiв x, y ∈ Rd. Через Lp(πd), πd = d∏ j=1 [0, 2π) позначимо простiр 2π-перiодичних за кожною змiнною функцiй f(x), для яких \|\|f \|\|p = ( (2π)−d ∫ πd \|f(x)\|p dx )1/p <∞, 1 ≤ p <∞, Стаття надiйшла в редакцiю 24.02.2018 ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 44 Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй... \|\|f \|\|∞ = ess sup x∈Rd \|f(x)\| <∞. Надалi будемо вважати, що для f ∈ Lp(πd) виконана умова 2π∫ 0 f(x)dxj = 0, j = 1, d, i множину таких функцiй позначимо Lop(πd). Крiм цього для зру- чностi замiсть Lp(πd) будемо вживати позначення Lp i вiдповiдно Lop замiсть Lop(πd). Означимо l – ту рiзницю функцiї f ∈ Lop, 1 ≤ p ≤ ∞, з кроком hj за змiнною xj згiдно з формулою △l hj f(x) = l∑ n=0 (−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd). Для f ∈ Lop, 1 ≤ p ≤ ∞ i h = (h1, . . . , hd) введемо мiшану l — ту рiзницю △l hf(x) = △l hd . . .△l h1f(x) = △l hd (. . . (△l h1f(x))) i означимо мiшаний модуль неперервностi порядку l Ωl(f, t)p = sup \|hj \|≤tj j=1,d ∥△l hf(·)∥p. Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — задана функцiя типу мiшаного моду- ля неперервностi порядку l. Це означає, що функцiя Ω(t) задовольняє такi умови: 1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d i Ω(t) = 0, якщо d∏ j=1 tj = 0; 2) Ω(t) зростає по кожнiй змiннiй; 3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤ ( d∏ j=1 mj )l Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d; 4) Ω(t) неперервна при tj > 0, j = 1, d. Наслiдуючи С. Н. Бернштейна [1], будемо називати функцiю однi- єї змiнної φ(τ) майже зростаючою (майже спадною) на [a, b], якщо iснує стала C1 > 0, (C2 > 0), яка не залежить вiд τ1, τ2, така, що φ(τ1) ≤ C1 φ(τ2), a ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ b, М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 45 у випадку майже зростання, i вiдповiдно φ(τ1) ≥ C2 φ(τ2), a ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ b, у випадку майже спадання. Будемо вважати, що функцiя Ω(t), t ∈ Rd+ задовольняє також умо- ви (Sα) i (Sl), якi називають умовами Барi–Стєчкiна [2, 3]. Це означає наступне. Функцiя однiєї змiнної φ(τ) ≥ 0, τ ∈ [0, 1], задовольняє умову (Sα), якщо φ(τ) τα майже зростає при деякому α > 0. Функцiя φ(τ) ≥ 0, τ ∈ [0, 1], задовольняє умову (Sl), якщо φ(τ) τγ майже спадає при деякому 0 < γ < l, l ∈ N. У випадку d > 1 будемо говорити, що Ω(t), t ∈ Rd+ задовольняє цi умови по кожнiй змiннiй tj при фiксованих ti, i ̸= j. Тепер дамо означення функцiональних класiв BΩ p,θ, якi було роз- глянуто Sun Yongsheng, Wang Heping [4]. Нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i функцiя Ω(t) типу мiшаного модуля непе- рервностi порядку l, яка задовольняє умови 1) – 4), (Sα) i (Sl). Тодi клас BΩ p,θ визначається таким чином BΩ p,θ = {f ∈ Lop : ∥f∥BΩ p,θ ≤ 1}, де ∥f∥BΩ p,θ = (∫ πd ( Ωl(f, t)p Ω(t) )θ d∏ j=1 dtj tj ) 1 θ , 1 ≤ θ ≤ ∞, ∥f∥BΩ p,∞ = sup t>0 Ωl(f, t) Ω(t) . Зауважимо, що в тому випадку, коли r = (r1, . . . , rd), 0 < rj < l, j = 1, d i Ω(t) = d∏ j=1 t rj j класи BΩ p,θ спiвпадають з аналогами класiв Бєсова Br p,θ, якi розглядалися у роботах [5, 6]. Крiм того, при θ = ∞ класи Br p,∞ = Hr p є аналогами класiв Нiкольського [7]. Класи BΩ p,∞ = HΩ p розглядалися у роботi М. М. Пустовойтова [8]. В подальших мiркуваннях нам буде зручно користуватися озна- ченням класiв BΩ p,θ в дещо iншому виглядi. Для цього нагадаємо по- няття порядкового спiввiдношення. Для двох невiд’ємних послiдовностей (an) ∞ n=1 i (bn)∞n=1 спiввiдно- шення (порядкова нерiвнiсть) an ≪ bn означає, що iснує стала C3 > 0, яка не залежить вiд n i така, що an ≤ C3 bn. Спiввiдношення an ≍ bn рiвносильне тому, що an ≪ bn i bn ≪ an. 46 Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй... Поставимо у вiдповiднiсть кожному вектору s ∈ Nd множину ви- гляду ρ(s) = {k ∈ Zd : 2sj−1 ≤ \|kj \| < 2sj , j = 1, d} i для f ∈ Lop, 1 < p <∞, покладемо δs(f) := δs(f, x) = ∑ k∈ρ(s) f̂(k)ei(k,x), де f̂(k) = (2π)−d ∫ πd f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f . Отже, для f ∈ BΩ p,θ, 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, де Ω(t) задана фун- кцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови 1) – 4), (Sα) i (Sl) справедливi спiввiдношення ∥f∥BΩ p,θ ≍  ( ∑ s∈Nd Ω−θ(2−s)∥δs(f)∥θp ) 1 θ , 1 ≤ θ <∞, sup s∈Nd ∥δs(f)∥p Ω(2−s) , θ = ∞, (1) тут i далi Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d. Зауважимо, що випадок 1 ≤ θ <∞ в (1) було розглянуто у роботi [4], а θ = ∞ – у роботi [8]. Для норм функцiй з класiв BΩ p,θ можна записати зображення ана- логiчнi (1) у випадках p = 1 i p = ∞, дещо видозмiнивши при цьому “блоки” δs(f). Позначимо через Vm(t), m ∈ N, t ∈ R, ядро Валле Пуссена Vm(t) = 1 + 2 m∑ k=1 cos kt+ 2 2m−1∑ k=m+1 ( 2m− k m ) cos kt. Кожному вектору s ∈ Nd поставимо у вiдповiднiсть полiном As(x) = d∏ j=1 (V2sj (xj)− V 2sj−1(xj)), x ∈ Rd i для f ∈ Lop, 1 ≤ p ≤ ∞, покладемо As(f) := As(f, x) = (f ∗As)(x), де “*” — операцiя згортки. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 47 Тодi справедливi спiввiдношення ∥f∥BΩ p,θ ≍  ( ∑ s∈Nd Ω−θ(2−s)∥As(f)∥θp ) 1 θ , 1 ≤ θ <∞, sup s∈Nd ∥As(f)∥p Ω(2−s) , θ = ∞. (2) Зазначимо, що в (2) випадок 1 ≤ θ <∞ було розглянуто у роботi [9], а випадок θ = ∞ – у роботi [8]. В подальших дослiдженнях ми будемо розглядати класи BΩ p,θ, якi визначаються функцiєю типу мiшаного модуля неперервностi поряд- ку l деякого спецiального вигляду, а саме Ω(t) = ω ( d∏ j=1 tj ) , (3) де ω(τ) – задана функцiя (однiєї змiнної) типу модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови (Sα) i (Sl). Зрозумiло, що для Ω(t) вигляду (3) виконуються властивостi 1) – 4) функцiї типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, а також умови (Sα), (Sl) i тому спра- ведливими є наведенi вище зображення (1), (2) для норм функцiй з класiв BΩ p,θ. Тепер перейдемо до означення апроксимативних характеристик, якi будемо дослiджувати. Нехай W – центрально-симетрична множина в нормованому про- сторi X . Тодi величина dM (W,X ) = inf LM sup w∈W inf u∈LM ∥w − u∥X , де LM ⊂ X — пiдпростiр розмiрностi M , називається колмогоров- ським поперечником. Поперечник dM (W,X ) введений в 1936 р. А. М. Колмогоровим [10]. Лiнiйним поперечником множини W у просторi X називається величина λM (W,X ) = inf A sup w∈W ∥w −Aw∥X , де iнфiмум береться по всiх дiючих в X лiнiйних операторах A, роз- мiрнiсть областi значень яких не перевищуєM . Поперечник λM (W,X ) введений в 1960 р. В. М. Тихомировим [11]. Нехай F ⊂ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞ – деякий функцiональний клас i t(ΘM ) := t(ΘM , x) = M∑ j=1 cje i(kj ,x), 48 Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй... де ΘM = {k1, . . . , kM} – всеможливi набори векторiв kj = (kj1, . . . , k j d) ∈ Zd, cj ∈ C, j = 1,M . Тодi величина d⊤M (F,Lq) = inf ΘM sup f∈F inf t(ΘM ) ∥f − t(ΘM )∥q називається тригонометричним поперечником класу F у просторi Lq. Поперечник d⊤M (F,Lq) був введений в 1974 р. Р. С. Iсмагiловим [12]. Легко бачити, що для означених апроксимативних характеристик справедливi спiввiдношення: dM (W,X ) ≤ λM (W,X ), dM (F,Lq) ≤ d⊤M (F,Lq). (4) Зауважимо, що друге спiввiдношення в (4) справедливе i в тому випадку, коли замiсть простору Lq розглядається простiр B1,1. Зазначимо також, що колмогоровськi, лiнiйнi та тригонометричнi поперечники класiв Нiкольського–Бєсова Br p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторах Лебега вивчались у роботах [13–20]. Що стосується дослiдження цих характеристик на iнших класах функцiй багатьох змiнних, то з детальною бiблiографiєю можна ознайомитися в монографiях [21, 22], а також оглядовiй статтi [23]. В значно меншiй мiрi дослiдженi згаданi вище поперечники кла- сiв BΩ p,θ в просторi L1, точнiше вiдомi тiльки окремi результати для лiнiйних поперечникiв λM (BΩ p,θ, L1) [24]. В зв’язку з цим природно постає питання про поведiнку цих величин у просторi B1,1, норма в якому визначається згiдно з формулою ∥f∥B1,1 = ∑ s∈Nd ∥As(f)∥1 i вона є бiльш сильною нiж L1-норма, тобто ∥f∥1 ≤ ∥f∥B1,1 . 2. Основнi результати. Теорема 1. Нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞, Ω(t) = ω( d∏ j=1 tj), де ω(τ) задо- вольняє умову (Sα) з деяким α > 0 i умову (Sl). Тодi для будь-якої М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 49 послiдовностi M = (Mn) ∞ n=1 натуральних чисел такої, що виконує- ться спiввiдношення M ≍ 2n nd−1 справедливi порядковi оцiнки dM (BΩ p,θ, B1,1) ≍ λM (BΩ p,θ, B1,1) ≍ d⊤M (BΩ p,θ, B1,1) ≍ ω(2−n)n(d−1)(1− 1 θ ). (5) Доведення. Спочатку встановимо в (5) оцiнки зверху, зауваживши при цьому, що оскiльки BΩ p,θ ⊂ BΩ 1,θ, 1 < p ≤ ∞, то їх достатньо одержати для класiв BΩ 1,θ. Таким чином для заданого M пiдберемо n ∈ N, n ≥ 2d iз спiввiдношення M ≍ 2n nd−1 i розглянемо наближе- ння функцiй f ∈ BΩ 1,θ полiномами вигляду tn = ∑ (s,1)<n As(f). (6) Нехай θ ∈ [ 1,∞ ). Тодi згiдно з означенням норми (2) можемо записати ∥f − tn∥B1,1 = ∥ ∑ (s,1)≥n As(f)∥B1,1 = ∑ s∈Nd ∥As ∗ ∑ (s,1)≥n As(f)∥1 ≤ ∑ (s,1)≥n−d ∥As∗ ∑ ∥s−s′∥∞≤1 As′(f)∥1 ≤ ∑ (s,1)≥n−d ∥As∥1∥ ∑ ∥s−s′∥∞≤1 As′(f)∥1 ≪ ∑ (s,1)≥n−d ∑ ∥s−s′∥∞≤1 ∥As′(f)∥1 ≪ ∑ (s,1)≥n−2d ∥As(f)∥1 = ∑ (s,1)≥n−2d ω−1(2−(s,1))∥As(f)∥1ω(2−(s,1)) = J1. (7) Далi, застосувавши нерiвнiсть Гельдера з показником θ (з вiдповiд- ною модифiкацiєю при θ = 1), будемо мати J1 ≤ ( ∑ (s,1)≥n−2d ω−θ(2−(s,1)) ∥As(f)∥θ1 ) 1 θ ( ∑ (s,1)≥n−2d ωθ ′ (2−(s,1)) ) 1 θ′ ≤ ∥f∥BΩ 1,θ ( ∑ (s,1)≥n−2d ωθ ′ (2−(s,1)) ) 1 θ′ ≤ ( ∑ (s,1)≥n−2d ωθ ′ (2−(s,1)) ) 1 θ′ = J2. (8) Покладемо n−2d = m. Тодi легко бачити, що 2mmd−1 ≍ 2nnd−1 ≍ M . Таким чином, з врахуванням того, що ω(2−(s,1)) 2−α(s,1) ≤ C4 ω(2−m) 2−αm , (s, 1) ≥ m (9) 50 Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй... продовжимо оцiнку величини J2: J2 ≪ ω(2−m) 2−αm ( ∑ (s,1)≥m 2−(s,1)αθ′ ) 1 θ′ = ω(2−m) 2−αm (∑ j≥m 2−jα θ ′ ∑ (s,1)=j 1 ) 1 θ′ = ω(2−m) 2−αm (∑ j≥m 2−jα θ ′ jd−1 ) 1 θ′ = ω(2−m)m(d−1)(1− 1 θ ). (10) Спiвставивши (7), (8) i (10) приходимо до шуканих оцiнок зверху вiдповiдних поперечникiв в (5) при θ ∈ [ 1,∞ ). Нехай тепер θ = ∞. Тодi згiдно з (7) можемо записати J1 ≪ sup s∈Nd ∥As(f)∥1 ω(2−(s,1)) ∑ (s,1)≥n−2d ω(2−(s,1)) ≪ ∥f∥BΩ 1,∞ ∑ (s,1)≥n−2d ω(2−(s,1)) ≪ ∑ (s,1)≥n−2d ω(2−(s,1)) = J3. (11) Прийнявши до уваги (9), продовжимо оцiнку J3: J3 ≪ ω(2−m) 2−αm ∑ (s,1)≥m 2−α(s,1) ≪ ω(2−m) 2−αm (∑ j≥m 2−j α ∑ (s,1)=j 1 ) = ω(2−m) 2−αm ∑ j≥m 2−j α j d−1 ≍ ω(2−m)md−1. (12) Спiвставивши (7), (11) i (12) одержимо оцiнки зверху вiдповiдних величин. Переходячи в (5) до оцiнок знизу зауважимо, що згiдно з (4) доста- тньо одержати необхiдну оцiнку для колмогоровського поперечника dM (BΩ ∞,θ, B1,1). Для цього нам знадобляться деякi позначення i до- помiжне твердження. Нехай Sn = { s : s = (s1, . . . , sd) : (s, 1) = n, sj − парнi числа, j = 1, d }, ρ+(s) = { k : k = (k1, . . . , kd) : 2 sj−1 ≤ kj < 2sj , j = 1, d }, Qn = ∪ s∈Sn ρ+(s). М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 51 Для вектора m = (m1, . . . ,md), mj ∈ Z+, j = 1, d, через RT (m) позначимо множину дiйсних тригонометричних полiномiв t(x) = ∑ \|kj \|≤mj t̂(k) ei(k,x). Далi, через ks будемо позначати вектор ks = (ks11 , . . . , k sd d ), де k sj j = { 2sj−1 + 2sj−2, sj ≥ 2, 1, sj = 1, j = 1, d, i T (Qn) = { t(x) = ∑ s∈Sn ts(x) e i(ks, x), ts ∈ RT (2s−2) } . Для g ∈ T (Qn) покладемо δs(g) := δs(g, x) = ∑ k∈ρ+(s) ĝ(k)ei(k,x). В прийнятих позначеннях справедливе твердження. Лема А [25]. Нехай M ≤ \|Qn\| 4 . Тодi для довiльного простору Ψ ∈ L1, розмiрнiсть якого не перевищує M , знайдеться функцiя g ∈ T (Qn) така, що ∥δs(g)∥∞ ≤ \|Sn\|− 1 2 , s ∈ Sn, ∥g∥2 ≥ C5(d) > 0, i для будь-якого ψ ∈ Ψ виконується умова (g, ψ) = 0. Тепер перейдемо безпосередньо до встановлення оцiнки знизу. Нехай M задано. Знайдемо парне число n таке, що \|Qn−2\| < 4M ≤ \|Qn\|. Далi, нехай задано довiльний пiдпростiр Ψ ⊂ L1 розмiрностi не бiльшої за M i функцiя g, задовольняє умови леми А. Розглянемо функцiю g1(x) = C6 ω(2 −n)\|Sn\| 1 2 n− d−1 θ g(x), C6 > 0 i покажемо, що при певному виборi сталої C6 вона належить класу BΩ ∞, θ. 52 Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй... Нехай спочатку 1 ≤ θ <∞. Тодi згiдно з означенням норми фун- кцiї з класу BΩ ∞, θ можемо записати ∥g1∥BΩ ∞, θ ≍ ( ∑ s∈Nd ω−θ(2−(s,1)) ∥As(g1)∥θ∞ ) 1 θ ≪ ω(2−n)\|Sn\| 1 2 n− d−1 θ ( ∑ s∈Sn ω−θ(2−(s,1)) ∥δs(g)∥θ∞ ) 1 θ ≪ ω(2−n)\|Sn\| 1 2 n− d−1 θ \|Sn\|− 1 2 ω−1(2−n) ( ∑ s∈Sn 1 ) 1 θ ≍ n− d−1 θ n d−1 θ = 1. Звiдси робимо висновок, що функцiя g1 з вiдповiдною сталою C6 > 0 належить класу BΩ ∞, θ, 1 ≤ θ ≤ ∞. Аналогiчно при θ = ∞ розглянемо функцiю g2(x) = C7 ω(2 −n)\|Sn\| 1 2 g(x), C7 > 0. Тодi ∥g2∥BΩ ∞,∞ ≍ sup s ∥As(g2)∥∞ ω(2−(s,1)) ≪ ω(2−n)\|Sn\| 1 2 sup s ∥δs(g)∥∞ ω(2−(s,1)) ≪ ω(2−n)\|Sn\| 1 2 ω−1(2−n)\|Sn\|− 1 2 = 1. Таким чином, функцiя g2 з вiдповiдною сталою C7 > 0 належить класу BΩ ∞,∞. Нехай ψ ∈ Ψ. Оцiнимо ∥g1 − ψ∥B1,1 . Розглянемо величину δ = (g1 − ψ, g). Тодi з одного боку, враховуючи умови ∥g∥2 ≥ C5(d) i (g, ψ) = 0, ψ ∈ Ψ, можемо записати δ = (g1, g) ≥ ω(2−n)\|Sn\| 1 2 n− d−1 θ C2 5 (d). (13) З iншого боку, прийнявши до уваги, що ∥δs(g)∥∞ ≤ \|Sn\|− 1 2 , s ∈ Sn одержимо δ = ∑ s∈Sn (δs(g1 − ψ), δs(g)) = ∑ s∈Sn (( ∑ ∥s−s′∥∞≤1 As′(g1 − ψ) ) , δs(g) ) ≤ max s∈Sn ∥δs(g)∥∞ ∑ s ∥As(g1 − ψ)∥1 ≤ \|Sn\|− 1 2 ∥g1 − ψ∥B1,1 . (14) М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 53 Спiвставивши (13) i (14) будемо мати ∥g1 − ψ∥B1,1 ≥ ω(2−n)\|Sn\|n− d−1 θ C2 5 (d). Звiдси випливає шукана оцiнка знизу колмогоровського попере- чника dM (BΩ p,θ, B1,1), скориставшись якою, згiдно з (4) одержимо вiд- повiднi оцiнки для лiнiйного i тригонометричного поперечникiв. Теорема 1 доведена. Прокоментуємо одержанi результати. Спочатку, як наслiдок теореми 1 сформулюємо твердження сто- совно найкращого наближення класiв BΩ p,θ у просторi B1,1 тригоно- метричними полiномами з “номерами” гармонiк зi схiдчастого гiпер- болiчного хреста. Розглянемо множину Qn = ∪ (s,1)<n ρ(s), яку називають схiдчастим гiперболiчним хрестом i позначимо T (Qn) = {t : t(x) = ∑ k∈Qn ck e i(k,x)}. Для f ∈ B1,1 покладемо EQn(f)B1,1 = inf t∈T (Qn) ∥f − t∥B1,1 i вiдповiдно для функцiонального класу BΩ p,θ ⊂ B1,1 позначимо EQn(B Ω p,θ)B1,1 = sup f∈BΩ p,θ EQn(f)B1,1 . Наслiдок 1. Нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω( d∏ j=1 tj), де ω(τ) за- довольняє умову (Sα) з деяким α > 0 i умову (Sl). Тодi справедлива оцiнка EQn(B Ω p,θ)B1,1 ≍ ω(2−n)n(d−1)(1− 1 θ ). (15) Оцiнка зверху в (15) встановлена при доведеннi теореми 1, оскiль- ки полiноми виду (6) належать до множини T (Qn+d). Що ж стосу- ється вiдповiдної оцiнки знизу, то вона отримується з (5) згiдно зi спiввiдношеннями EQn(B Ω p,θ)B1,1 ≫ dM (BΩ p,θ, B1,1) ≍ ω(2−n)n(d−1)(1− 1 θ ), M ≍ 2n nd−1. 54 Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй... Крiм цього цiкаво порiвняти оцiнки лiнiйних поперечникiв λM (BΩ p,θ, B1,1), якi встановленi в (5), з оцiнками вiдповiдних вели- чин у просторi L1. З цiєю метою наведемо твердження для лiнiйних поперечникiв λM (BΩ p,θ, L1) [ 24 ]. Теорема А. Нехай 2 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω( d∏ j=1 tj), де ω(τ) задо- вольняє умову (Sα) з деяким α > 0 i умову (Sl). Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn) ∞ n=1 натуральних чисел такої, що виконує- ться спiввiдношення M ≍ 2n nd−1 справедлива порядкова оцiнка λM (BΩ p,θ, L1) ≍ ω(2−n)n(d−1)( 1 2 − 1 θ ). (16) Таким чином, спiвставивши (5) i (16) бачимо, що при d ≥ 2 i ви- конаннi умов теореми А на параметри p i θ величини λM (BΩ p,θ, L1) i λM (BΩ p,θ, B1,1) вiдрiзняються за порядком. Що ж стосується одно- вимiрного випадку, то лiнiйнi поперечники класiв BΩ p,θ при тих же умовах на параметри p i θ у просторах L1 i B1,1 мають однаковi по- рядки. Зауваження 1. Питання про порядки поперечникiв dM (BΩ p,θ, L1) i d⊤M (BΩ p,θ, L1) при 1 ≤ p, θ ≤ ∞, а також лiнiйних поперечникiв λM (BΩ p,θ, L1) при 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ < 2 i 1 ≤ p < 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ в багатовимiрному випадку (d ≥ 2) залишається вiдкритим. Зауваження 2. В тому випадку, коли r = (r1, . . . , r1) ∈ Rd+, 0 < r1 < l, j = 1, d i Ω(t) = d∏ j=1 tr1j (тобто класи BΩ p,θ спiвпадають з класами Br p,θ) вiдповiднi теоремi 1 результати були одержанi в [20]. При цьому слiд зазначити, що оцiнка знизу в [ 20 ] була встановлена за допомогою методу, який принципово вiдрiзняється вiд того, що використовувався при доведеннi теореми 1. Лiтература [1] С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений, т. II. Конструктивная теория фун- кций (1931 – 1953), М., Изд. АН СССР, 1954. [2] С. Б. Стечкин, О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат., 15 (1951), 219–242. [3] Н. К. Бари, С. Б. Стечкин, Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. общества, 5 (1956), 483–522. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 55 [4] Sun Yongsheng, Wang Heping, Representation and approximation of multivari- ate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. МИАН СССР, 219 (1997), 356–377. [5] Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных про- странств S(r) p,θB(Rn) и S (r) p,θ (0 ≤ xj ≤ 2π; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77 (1965), 5–34. [6] П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной глад- кости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187 (1989), 143–161. [7] С. М. Никольский, Функции с доминирующей смешанной производной, удов- летворяющей кратному условию Гельдера // Сиб. мат. журн., 4 (1963), No. 6, 1342–1364. [8] Н. Н. Пустовойтов, Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. Math., 20 (1994), 35–48. [9] С. А. Стасюк, О. В. Федуник, Апроксимативнi характеристики класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн., 58 (2006), No. 5, 692–704. [10] A. Kolmogoroff, Über die beste Annäherung von Fukctionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. of Math., 37 (1936), 107–110. [11] В. М. Тихомиров, Поперечники множеств в функциональных пространс- твах и теория наилучших приближений // Успехи мат. наук, 15 (1960), No. 3, 81–120. [12] Р. С. Исмагилов, Поперечники множеств в линейных нормированных про- странствах и приближение функций тригонометрическими многочлена- ми // Успехи мат. наук, 29 (1974), No. 3, 161–178. [13] А. С. Романюк, О наилучших приближениях и колмогоровских попе- речниках классов Бесова периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн., 47 (1995), No. 1, 79–92. [14] А. С. Романюк, Линейные поперечники классов Бесова периодических фун- кций многих переменных. I // Укр. мат. журн., 53 (2001), No. 5, 647–661. [15] А. С. Романюк, Линейные поперечники классов Бесова периодических фун- кций многих переменных. II // Укр. мат. журн., 53 (2001), No. 6, 820–829. [16] А. С. Романюк, Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова Br p,θ периодических функций многих переменных // Мат. сб., 197 (2006), No. 1, 71–96. [17] А. С. Романюк, Наилучшие приближения и поперечники классов периоди- ческих функций многих переменных // Мат. сб., 199 (2008), No. 2, 93–114. 56 Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй... [18] А. С. Романюк, Поперечники и наилучшее приближение классов Br p,θ пери- одических функций многих переменных // Anal. Math., 37 (2011), 181–213. [19] А. С. Романюк, Оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Никольского-Бесова периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн., 67 (2015), No. 11, 1540–1556. [20] А. С. Романюк, Энтропийные числа и поперечники классов Br p,θ периоди- ческих функций многих переменных // Укр. мат. журн., 68 (2016), No. 10, 1403–1417. [21] В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной произво- дной // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178 (1986), 1–112. [22] А. С. Романюк, Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных // Пр. Iн-ту математики НАН України, 93 (2012), 353. [23] D. Ding, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation // arXiv: 1601. 03978 v 3 [ math.NA ] 21 Apr. 2017. [24] О. В. Федуник, Оцiнки лiнiйних поперечникiв класiв BΩ p,θ перiодичних фун- кцiй багатьох змiнних // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання, Зб. праць Iн-ту мат. НАН України, 4 (2007), No. 1, 376–389. [25] В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 189 (1989), 138–168. Вiдомостi про авторiв Михайло Вiталiйович Гембарський Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi Українки, Луцьк, Україна E-Mail: hembarskyi@gmail.com Свiтлана Борисiвна Гембарська Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi Українки, Луцьк, Україна E-Mail: gembarskaya72@gmail.com

Поперечники класів BΩр,θ періодичних функцій багатьох змінних у просторі В₁,₁

Institution

Ähnliche Einträge