К теории отображений класса Соболева с критическим показателем

В статье установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева W¹,¹loc с внешней дилатацией Ko(x, f) ∊ Lnⁿ⁻¹loc является так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Ko(x; f), а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). Это позволяет применить теорию граничного поведения кольцевых и...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2018
Hauptverfasser: Афанасьева, Е.С., Рязанов, В.И., Салимов, Р.Р.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2018
Schriftenreihe:Український математичний вісник
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169395
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:К теории отображений класса Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 154-176. — Бібліогр.: 49 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-169395
record_format dspace
spelling irk-123456789-1693952020-06-13T01:26:55Z К теории отображений класса Соболева с критическим показателем Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. В статье установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева W¹,¹loc с внешней дилатацией Ko(x, f) ∊ Lnⁿ⁻¹loc является так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Ko(x; f), а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). Это позволяет применить теорию граничного поведения кольцевых и нижних Q-гомеоморфизмов. В частности, найдены условия на внешнюю дилатацию Ko(x; f) и границы областей, при которых всякий гомеоморфизм класса Соболева W¹,¹loc допускает непрерывное и гомеоморфное продолжение на границу. It is established that any homeomorphism f of the Sobolev class W¹,¹loc with outer dilatation Ko(x, f) ∊ Lnⁿ⁻¹loc is the so-called lower Q-homeomorphism with Q(x) = Ko(x, f) and also a ring Q-homeomorphism with Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). This allows us to apply the theory of boundary behavior of ring and lower Q-homeomorphisms. In particular, we have found the conditions imposed on the outer dilatation Ko(x, f) and the boundaries of domains under which any homeomorphism of the Sobolev class W¹,¹loc admits continuous or homeomorphic extensions to the boundary. 2018 Article К теории отображений класса Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 154-176. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. Primary 30C62, 31A05, 31A20, 31A25, 31B25, 35Q15; Secondary 30E25, 31C05, 34M50, 35F45. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169395 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В статье установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева W¹,¹loc с внешней дилатацией Ko(x, f) ∊ Lnⁿ⁻¹loc является так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Ko(x; f), а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). Это позволяет применить теорию граничного поведения кольцевых и нижних Q-гомеоморфизмов. В частности, найдены условия на внешнюю дилатацию Ko(x; f) и границы областей, при которых всякий гомеоморфизм класса Соболева W¹,¹loc допускает непрерывное и гомеоморфное продолжение на границу.
format Article
author Афанасьева, Е.С.
Рязанов, В.И.
Салимов, Р.Р.
spellingShingle Афанасьева, Е.С.
Рязанов, В.И.
Салимов, Р.Р.
К теории отображений класса Соболева с критическим показателем
Український математичний вісник
author_facet Афанасьева, Е.С.
Рязанов, В.И.
Салимов, Р.Р.
author_sort Афанасьева, Е.С.
title К теории отображений класса Соболева с критическим показателем
title_short К теории отображений класса Соболева с критическим показателем
title_full К теории отображений класса Соболева с критическим показателем
title_fullStr К теории отображений класса Соболева с критическим показателем
title_full_unstemmed К теории отображений класса Соболева с критическим показателем
title_sort к теории отображений класса соболева с критическим показателем
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2018
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169395
citation_txt К теории отображений класса Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 154-176. — Бібліогр.: 49 назв. — рос.
series Український математичний вісник
work_keys_str_mv AT afanasʹevaes kteoriiotobraženijklassasobolevaskritičeskimpokazatelem
AT râzanovvi kteoriiotobraženijklassasobolevaskritičeskimpokazatelem
AT salimovrr kteoriiotobraženijklassasobolevaskritičeskimpokazatelem
first_indexed 2025-07-15T04:08:14Z
last_indexed 2025-07-15T04:08:14Z
_version_ 1837684485442764800
fulltext Український математичний вiсник Том 15 (2018), № 2, 154 – 176 К теории отображений класса Соболева с критическим показателем Елена С. Афанасьева, Владимир И. Рязанов, Руслан Р. Салимов (Представлена В. Я. Гутлянским) Аннотация. В статье установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева W 1,1 loc с внешней дилатацией KO(x, f) ∈ Ln−1 loc являе- тся так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = KO(x, f), а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Kn−1 O (x, f). Это позволяет применить теорию граничного поведения кольце- вых и нижних Q-гомеоморфизмов. В частности, найдены условия на внешнюю дилатацию KO(x, f) и границы областей, при которых всякий гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc допускает непрерывное и гомеоморфное продолжение на границу. 2010 MSC. Primary 30C62, 31A05, 31A20, 31A25, 31B25, 35Q15; Secondary 30E25, 31C05, 34M50, 35F45. Ключевые слова и фразы. Кольцевые Q-гомеоморфизмы, ни- жние Q-гомеоморфизмы, классы Соболева, отображения с конечным искажением, непрерывное продолжение, гомеоморфное продолже- ние, модули. 1. Введение В работе получены приложения теории так называемых кольце- вых и нижних Q-гомеоморфизмов к исследованию граничного пове- дения гомеоморфизмов с обобщенными производными по Соболеву, см., например, монографию [32], а также статьи [1, 13] и [19]. Как известно, любой гомеоморфизм f класса W 1,1 loc с локально ин- тегрируемой дилатацией Kf на плоскости является как кольцевым, так и нижним Q−гомеоморфизмом с Q = Kf , см. [22] и [23]. Кроме того, в работе [25], в частности, было показано, что гомеоморфизмы f класса W 1,p loc при p > n− 1 в Rn, n > 3, являются так называемыми нижними Q-гомеоморфизмами с функцией Q(x), равной внешней ди- латации Kf (x) отображения f , и кольцевыми Q∗-гомеоморфизмами с Q∗(x) = [Kf (x)] n−1. ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 155 Случай с критическим показателем p = n−1 оставался неизучен- ным, чему и посвящена данная работа. Это продвижение оказалось возможным, прежде всего, благодаря статье [47]. 2. Определения и предварительные замечания Пусть D — область в Rn, n > 2. Напомним, что гомеоморфизм f : D → Rn называется отображением с конечным искажением, если f ∈W 1,1 loc и ∥f ′(x)∥n 6 K(x) · |Jf (x)| (2.1) для некоторой почти всюду конечной функции K(x) > 1, где f ′(x) — якобиева матрица f, Jf (x) := det f ′(x) — якобиан отображения f , а ∥f ′(x)∥ — её операторная норма: ∥f ′(x)∥ := sup |h|=1 |f ′(x) · h|. Напомним также, что впервые понятие отображения с конечным искажением введено в случае плоскости для f ∈ W 1,2 loc в работе [15], см. также [14]. Впоследствии это условие было заменено требованием f ∈W 1,1 loc , предполагавшим однако дополнительно, что Jf ∈ L1 loc, см., напр., монографию [14], а также дальнейшие ссылки в монографии [32]. Всюду далее m обозначает меру Лебега в Rn. Замечание 2.1. Заметим, что условие Jf ∈ L1 loc излишне в случае гомеоморфизмов. Действительно, для каждого гомеоморфизма f ме- жду областями D и D′ в Rn, имеющего п.в. частные производные в D, существует множество E лебеговой меры ноль, такое что f обладает (N)-свойством Лузина в D \ E и∫ A |Jf (x)| dm(x) = m(f(A)) (2.2) для каждого измеримого по Лебегу множества A ⊂ D \E (см., напр., пункты 3.1.4, 3.1.8 и 3.2.5 в [6]). Пусть Jf (x) — якобиан отображения f , имеющего все первые ча- стные производные в точке x. Напомним, что внешняя дилатация отображения f в точке x определяется равенством KO(x, f) = ∥f ′(x)∥n |Jf (x)| , (2.3) если Jf (x) ̸= 0; KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0; KO(x, f) = ∞ в осталь- ных точках. 156 К теории отображений класса Соболева... Внутренней дилатацией отображения f в точке x называется ве- личина KI(x, f) = |Jf (x)| l (f ′(x))n (2.4) где l (f ′(x)) = min |h|=1 |f ′(x)h|, если Jf (x) ̸= 0; KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0; KI(x, f) = ∞ в остальных точках. Замечание 2.2. Известно, что KI(x, f) 6 Kn−1 O (x, f) , (2.5) см., напр., раздел 1.2.1 в [40]. Следуя [32, разд. 9.2], далее k-мерной поверхностью S в Rn на- зываем произвольное непрерывное отображение S : ω → Rn, где ω — открытое множество в Rk и k = 1, . . . , n − 1. Функцией кратности поверхности S называем число прообразов N(S, y) = cardS −1(y) = card {x ∈ ω : S(x) = y}, y ∈ Rn . (2.6) Другими словами, символ N(S, y) обозначает кратность накрытия точки y поверхностью S. Известно, что функция кратности является полунепрерывной снизу, т.е. N(S, y) ≥ lim inf m→∞ N(S, ym) для любой последовательности ym ∈ Rn, m = 1, 2, . . . , такой что ym → y ∈ Rn при m → ∞, см., напр., [38], с. 160. Таким образом, функция N(S, y) измерима по Борелю и поэтому измерима относи- тельно произвольной хаусдорфовой меры Hk, см., напр., секцию II.7 в [45]. Для борелевской функции ρ : Rn → [0,∞] ее интеграл по поверх- ности S определяется равенством∫ S ρ dA := ∫ Rn ρ(y)N(S, y) dHky. (2.7) Пусть Γ — семейство k-мерных поверхностей S. Борелева фун- кция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Γ, пишут ρ ∈ admΓ, если ∫ S ρk dA > 1 (2.8) Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 157 для каждой поверхности S ∈ Γ. Модулем семейства Γ называется величина M(Γ) = inf ρ∈admΓ ∫ Rn ρn(x) dm(x) . (2.9) В дальнейшем через ∆(E,F ;G) обозначаем совокупность всех кри- вых γ : [0, 1] → Rn, соединяющих произвольные множества E и F во множестве G ⊂ Rn, т.е. γ(0) ∈ E, γ(1) ∈ F и γ(t) ∈ G для всех t ∈ (0, 1). 3. О кольцевых и нижних Q-гомеоморфизмах Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, x0 ∈ D \ {∞}, Q : Rn → (0,∞) — измеримая по Лебегу функция. Говорим, что гомеоморфизм f : D → D′ является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если соотношение M(∆(f(K1), f(K2); f(D))) 6 ∫ A∩D Q(x)ηn(|x− x0|)dm(x) (3.1) выполнено для любых двух континуумов K1, K2 из D, которые при- надлежат разным компонентам дополнения в Rn кольца A = A(x0, r1, r2) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2}, 0 < r1 < r2 <∞, и для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что r2∫ r1 η(r)dr > 1. Также говорим, что гомеоморфизм f : D → D′ есть кольцевой Q-гомеоморфизм, если f является кольцевым Q-гомеомор- физмом в каждой точке x0 ∈ D. Понятие кольцевого Q-гомеоморфизма впервые было введено в работе [44] в связи с исследованием уравнений Бельтрами на плоско- сти, а позднее было распространено на пространственный случай в работе [42], см. также монографии [10] и [32]. Говорят, см. [32, разд. 9.2], что измеримая по Лебегу функция ρ : Rn → [0,∞] является обобщенно допустимой для семейства Γ, состоящего из (n − 1) – мерных поверхностей S в Rn, пишут ρ ∈ ext admΓ, если ∫ S ρn−1(x) dA > 1 (3.2) 158 К теории отображений класса Соболева... для почти всех S ∈ Γ, т.е. за исключением подсемейства Γ нулевого модуля. Гомеоморфизм f : D → D′ будем называть нижним Q-гомео- морфизмом в точке x0 ∈ D, если M (f (Σε)) > inf ρ∈ext admΣε ∫ D∩Aε ρn(x) Q(x) dm(x) (3.3) для каждого кольца Aε = A(x0, ε, ε0), ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d0), где d0 = sup x∈D |x−x0|, а Σε обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r) с областью D, S(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| = r} , r ∈ (ε, ε0). Будем го- ворить, что гомеоморфизм f : D → D′ является нижним Q-гомео- морфизмом в областиD, если f является нижнимQ-гомеоморфизмом в каждой точке x0 ∈ D. Понятие нижнего Q-гомеоморфизма введено в работе [19] и те- ория таких отображений нашла интересные приложения в изуче- нии краевых задач для уравнений Бельтрами, а также локального и граничного поведения классов Орлича-Соболева, см., например, ста- тьи [23,25] и монографию [26]. Следующее утверждение устанавливает связь между нижними и кольцевыми Q-гомеоморфизмами в Rn, см. следствие 5 в [25]. Предложение 3.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, и фун- кция Q : Rn → (0,∞) интегрируема в степени n − 1 в некоторой окрестности точки x0 ∈ D. Если f : D → D′ — нижний Q-гомео- морфизм в точке x0, то f является кольцевым Q∗-гомеоморфизмом в точке x0 с Q∗(x) = Qn−1(x). Замечание 3.1. В определениях нижних и кольцевых Q-гомеомор- физмов функцию Q достаточно задать только в области D или про- должить нулем вне D. По замечанию 8 в [25], заключение предложе- ния 3.1 остается в силе, если функция Q интегрируема в степени n−1 лишь на почти всех сферах достаточно малых радиусов с центром в точке x0. 4. О некоторых свойствах отображений класса Соболева W 1,n−1 loc По теореме 1.1 из недавней работы [47] имеет место следующее утверждение. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 159 Предложение 4.1. Пусть D — область в Rn, n > 2, и f : D → Rn – непрерывное открытое дискретное отображение класса W 1,n−1 loc (D) с локально интегрируемой внутренней дилатацией. Тогда отобра- жение f дифференцируемо почти всюду. При n > 3 этот результат был новым даже для гомеоморфизмов. При n = 2 по известной теореме Геринга-Лехто любое непрерывное открытое отображение, имеющее п.в. частные производные, диффе- ренцируемо п.в., см., например, [8] или [28]. Заметим, что последний результат для гомеоморфизмов был доказан еще Меньшовым в ра- боте [31] и его доказательство без изменений проходило и для непре- рывных открытых отображений. По теореме Вяйсяля заключение со- храняет силу для непрерывных открытых отображений класса W 1,p loc при любых p > n − 1 и n > 3, см. лемму 3 в [49]. В то же время, известны примеры функций f ∈ W 1,n loc ⊂ W 1,n−1 loc , которые нигде не дифференцируемы, см., например, [46]. Следствие 4.1. Если открытое дискретное отображение f : D → Rn класса W 1,n−1 loc (D) имеет внешнюю дилатацию локально инте- грируемую в степени n− 1, то f дифференцируемо почти всюду. Далее, по теореме 1.3 работы [5] имеем следующий важный ре- зультат. Предложение 4.2. Пусть f : C → Rn, n > 2, — гомеоморфизм класса W 1,n−1 loc (C) в единичном кубе C := (0, 1)n. Тогда f обладает (N)-свойством Лузина относительно (n − 1) – мерной меры Хаус- дорфа на почти всех гиперплоскостях P, параллельных произвольной фиксированной координатной гиперплоскости P0, т.е., для любого множества E ⊂ P, если Hn−1(E) = 0, то Hn−1(f(E)) = 0. Этот результат был распространен на произвольные непрерывные открытые дискретные отображения f : D → Rn класса W 1,n−1 loc , см. предложение 3.3 в [47]. Более того, любое непрерывное отображение f : D → Rm, m > 1, класса W 1,p loc при p > n − 1 обладает указанным свойством, см., например, теорему 3 в [25]. Однако, это неверно да- же для гомеоморфизмов f : D → Rn в классах W 1,p loc ни при каком p < n−1. Действительно, известны примеры С. П. Пономарева гомео- морфизмов g : Rn → Rn, принадлежащих классу W 1,p loc (R n) для прои- звольного p < n, и не обладающих (N)-свойством Лузина, см. [37]. Если теперь g(x) — такой пример в Rn−1, то f(x, y) := (g(x), y), x ∈ Rn−1, y ∈ R, не удовлетворяет (N)-свойству Лузина на всех ги- перплоскостях y = const. 160 К теории отображений класса Соболева... Лемма 4.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc (D) с KO ∈ Ln−1 loc (D). Тогда ∥f ′∥ ∈ Ln−1 loc (D). Доказательство. Пусть V — компакт в D. Тогда, применяя неравен- ство Гёльдера с показателями p = n и p′ = n n−1 , будем иметь∫ V ∥f ′(x)∥n−1 dm(x) = ∫ V K n−1 n O (x) · J n−1 n f (x) dm(x) 6  ∫ V Kn−1 O (x) dm(x)  1 n  ∫ V Jf (x) dm(x) n−1 n < ∞ и заключение леммы следует из замечания 2.1. Следствие 4.2. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc (D) с KO ∈ Ln−1 loc (D). Тогда f ∈W 1,n−1 loc (D). 5. Лемма об абсолютной непрерывности Лемма 5.1. Пусть D — область в Rn, n > 2, f : D → Rn — го- меоморфизм класса Соболева W 1,1 loc (D) с KO ∈ Ln−1 loc (D) и пусть C — куб в Rn с гранями параллельными координатным гиперплоскостям, такой что C ⊂ D. Тогда сужение отображения f на C абсолютно непрерывно относительно (n−1) – мерной меры Хаусдорфа на почти всех гиперплоскостях P, параллельных произвольной фиксированной координатной гиперплоскости P0. Кроме того, на почти всех таких гиперплоскостях P выполнено условие Hn−1(f(E)) = 0 как только f ′ = 0 на измеримом множестве E ⊂ P. Доказательство. По лемме 4.1 ∥f ′(x)∥ ∈ Ln−1(C) и по теореме Фу- бини, см., например, теорему III(8.1) в [45], на почти всех гипер- плоскостях P, параллельных произвольной фиксированной коорди- натной гиперплоскости P0,∫ C∩P ∥f ′(x)∥n−1dA <∞ , Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 161 а по следствию 4.1 и предложению 4.2 можно считать дополнитель- но, что отображение f дифференцируемо в почти всех точках мно- жества C ∩ P и обладает там (N)-свойством Лузина относительно (n − 1) – мерной меры Хаусдорфа. Зафиксируем произвольную ги- перплоскость P∗ с указанными свойствами. Тогда каждое измеримого множество E ⊂ C ∩ P∗ допускает ра- зложение E = E0 ∪ E∗, где Hn−1(E0) = 0, и E∗ := ∞∪ k=1 Ek, где Ek, k = 1, 2, . . ., — измеримые множества, такие, что отображения fk := f |Ek являются липшицевыми, см. теорему 3.1.8 в [6]. По постро- ению Hn−1(f(E0)) = 0, а каждое отображение fk допускает липши- цево продолжение на всю гиперплоскость P∗ по теореме Кирсбрауна, см., например, теорему 2.10.43 в [6]. Таким образом, по теореме 3.2.5 в [6] и счетной аддитивности интеграла имеем равенство: Hn−1(f(E)) = ∫ E∗ Jn−1(x) dA , где Jn−1 обозначает (n− 1) – мерный якобиан отображения f на ги- перплоскости P∗ и, наконец, по пункту 1.7.6 в [6] получаем оценку Hn−1(f(E)) 6 ∫ E ∥f ′(x)∥n−1dA . Отсюда приходим к абсолютной непрерывности отображения f на ги- перплоскости P∗ в силу абсолютной непрерывности неопределенного интеграла, а также — ко второму заключению леммы. Заметим тот очевидный факт, что хаусдорфовы меры квазиин- вариантны при квазиизометриях, а классы Соболева W 1,p loc инвариан- тны, см., например, секцию 1.1.7 в монографии [35]. По свойству Лин- делефа в Rn, см., например, секцию I.5.XI в [27], множество D \ {x0} для любого x0 ∈ Rn может быть покрыто счетным числом открытых сегментов сферических колец в D \ {x0} с центром в точке x0, и ка- ждый такой сегмент может быть отображен на единичный куб в Rn посредством квазиизометрии, переводящих куски сфер в куски ги- перплоскостей. Поэтому, применяя лемму 6.1, а также предложение 4.2, приходим к следующим выводам, сравни со следствием 3.4 в ра- боте [47]. Следствие 5.1. Пусть D — область в Rn, n > 2, и пусть f : D → Rn — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n−1 loc (D). Тогда отображение f обладает (N)-свойством Лузина относительно (n − 1) – мерной 162 К теории отображений класса Соболева... меры Хаусдорфа на почти всех сферах S с центром в произвольной точке x0 ∈ Rn. Более того, если дополнительно KO ∈ Ln−1 loc (D), то отображение f на почти всех таких сферах S локально абсолютно непрерывно и, кроме того, Hn−1(f(E)) = 0 как только f ′ = 0 на измеримом множестве E ⊂ S. 6. Основная лемма и ее следствие Лемма 6.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Тогда гомео- морфизм f является нижним Q-гомеоморфизмом в произвольной точке x0 ∈ D с Q(x) = KO(x, f) в D. Доказательство. Обозначим через B (борелевское) множество всех точек x ∈ D, где отображение f имеет полный дифференциал f ′(x) и Jf (x) ̸= 0. Применяя теорему Кирсбрауна и используя единствен- ность аппроксимативного дифференциала, см., например, соответ- ственно теоремы 2.10.43 и 3.1.2 в [6], заключаем, что множество B представляет собой счетное объединение борелевских множеств Bl, l = 1, 2, . . ., таких что отображения fl = f |Bl являются билипшице- выми гомеоморфизмами, см., напр., лемму 3.2.2 и теоремы 3.1.4 и 3.1.8 в [6]. Без ограничения общности можно считать, что множества Bl попарно не пересекаются. Обозначим также через B∗ оставшееся множество всех точек x ∈ D, где f имеет полный дифференциал, однако, f ′ = 0. По следствию 4.1 множество B0 := D \ (B ∪B∗) имеет лебегову меру нуль. Поэтому AS(B0) = 0 для почти всех гиперповерхностей S в Rn и, в частности, для почти всех сфер Sr := S(x0, r) с центром в точке x0 ∈ D, см., например, теорему 2.4 в [21] или теорему 9.1 в [32]. Таким образом, по следствию 5.1 получаем, что AS∗ r (f(B0)) = 0 = AS∗ r (f(B∗)) для почти всех Sr, где S∗ r = f(Sr). Пусть Γ обозначает семейство всех пересечений сфер Sr, r ∈ (ε, ε0), ε0 < d0 = sup x∈D |x − x0|, с областью D. Для произвольной функции ρ∗ ∈ adm f(Γ), такой что ρ∗ ≡ 0 вне f(D), полагаем ρ ≡ 0 вне D и на B0, и ρ(x) := ρ∗(f(x))∥f ′(x)∥ при x ∈ D \B0. Рассуждая покусочно на каждом Bl, l = 1, 2, . . ., согласно 1.7.6 в [6], получаем, что∫ Sr ρn−1 dA = ∫ Sr ρn−1 ∗ (f(x))∥f ′(x)∥n−1 dA > ∫ S∗ r ρn−1 ∗ dA∗ > 1 (6.1) Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 163 для почти всех Sr, и, следовательно, ρ ∈ ext admΓ. Используя замену переменных на каждом Bl, l = 1, 2, . . ., см., напр., теорему 3.2.5 в [6], ввиду счетной аддитивности интеграла, по- лучаем оценку∫ D ρn(x) KO(x, f) dm(x) 6 ∫ f(D) ρn∗ (y) dm(y) , (6.2) что и завершает доказательство. Комбинируя предложение 3.1 и лемму 6.1, получаем еще одно ва- жное следствие. Следствие 6.1. Пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Со- болева W 1,1 loc (D) с KO ∈ Ln−1 loc (D). Тогда f является кольцевым Q∗- гомеоморфизмом с Q∗(x) = Kn−1 O (x, f). 7. О регулярных областях Напомним, что область D ⊂ Rn, n > 2, называется локально свя- зной в точке x0 ∈ ∂D, если для каждой окрестности U точки x0 найдётся окрестность V ⊂ U точки x0, такая что множество V ∩ D является связным. Говорят, что граница области D является слабо плоской в точке x0 ∈ ∂D, если для каждой окрестности U точки x0 и любого P > 0 найдётся окрестность V ⊂ U точки x0, такая что M (∆(E,F,D)) > P (7.1) для всех континуумов E и F , лежащих в области D и пересекающих ∂U и ∂V . Также говорят, что граница области D слабо плоская, если она является слабо плоской в каждой точке ∂D. Наконец, говорят, что точка x0 ∈ ∂D является сильно достижи- мой, если для каждой окрестности U точки x0 найдётся компакт E, лежащий в областиD, окрестность V ⊂ U точки x0 и некоторое число δ > 0, такие что M (∆(E,F,D)) > δ (7.2) для всех континуумов F , лежащих в области D и пересекающих ∂U и ∂V . Говорят, что граница области является сильно достижимой, если каждая её точка является сильно достижимой, см., [42]. 164 К теории отображений класса Соболева... Замечание 7.1. В определениях сильно достижимой и слабо пло- ской границы, в качестве окрестностей U и V точки x0, можно брать открытые (замкнутые) шары с центром в точке x0, либо окрестности точки x0 из любой другой фундаментальной системы окрестностей. Замечание 7.2. Приведенные выше понятия естественным образом могут быть распространены на случай расширенного пространства Rn и точки x0 = ∞. В последнем случае в приведённых выше опре- делениях необходимо брать соответствующие окрестности бесконечно удаленной точки. Из определений следует, что, если область D в Rn является слабо плоской в точке x0 ∈ ∂D, то точка x0 является сильно достижимой из D. Более того, было показано, что, если область D в Rn является слабо плоской в точке x0 ∈ ∂D, то D является локально связной в этой точке, см., напр., лемму 5.1 в [19], либо лемму 3.15 в [32]. Понятия сильной достижимости и слабой плоскости, относящиеся к граничным точкам некоторой области в Rn, впервые были введены в работе [18]. Данные понятия являются локализацией и обобщением соответствующих более ранних понятий, рассматривавшихся в пред- шествующих работах [33, 34]. В связи с этим упомянем также свой- ства P1 и P2 по Вяйсяля, см. [48], а также свойства квазиконформной достижимости и квазиконформной плоскости по Някки, см., напр., в [36]. Заметим, что множество результатов, связанных с гомеомор- фным продолжением на границу квазиконформных отображений и их обобщений, имеют место при условии слабой плоскости границ соответствующих областей. Условие сильной достижимости играет аналогичную роль для непрерывного продолжения отображений на границу. Область D ⊂ Rn называется областью квазиэкстремальной дли- ны, сокр. QED-областью, см. [9], если при некоторой постоянной K > 1 и любых непересекающихся континуумов E и F вD выполнено соотношение M ( ∆(E,F,Rn ) 6 K ·M (∆(E,F,D)) . (7.3) Замечание 7.3. Хорошо известно, см., напр., теорему 10.12 в [48], что для произвольных множеств E и F в Rn, n > 2, пересекающих все сферы S(x0, ϱ), ϱ ∈ (r,R), выполнено неравенство M (∆(E,F,Rn)) > cn log R r . (7.4) Следовательно, QED-области имеют слабо плоские границы. Один из примеров в [32], см. разд. 3.8, показывает, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно даже для односвязных плоских областей. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 165 8. Непрерывное продолжение на границу Здесь и в дальнейшем мы используем обозначение предельных множеств отображения f : D → Rn для множеств X ⊂ D, C(X, f) := { y ∈ Rn : y = lim k→∞ f(xk), xk → x0 ∈ X, xk ∈ D } . (8.1) Заметим, что для произвольного гомеоморфизма f : D → D′ имеет место включение C(∂D, f) ⊂ ∂D′, см., напр., предложение 13.5 в [32]. В силу леммы 6.1, а также теоремы 6.1 в [19], см. лемму 9.4 в [32], имеем следующее утверждение. Лемма 8.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, x0 ∈ ∂D. Предпо- ложим, что область D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, а граница области D′ сильно достижима. Пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Если выполнено условие ε0∫ 0 dr ∥KO∥n−1(r) = ∞, (8.2) где 0 < ε0 < d0 = sup x∈D |x− x0| и ∥KO∥n−1(r) = ∥KO∥n−1(x0, r) =  ∫ D∩S(x0,r) Kn−1 O (x, f) dA  1 n−1 , (8.3) то отображение f продолжается в точку x0 по непрерывности в Rn. Следствие 8.1. В частности, заключение леммы 8.1 верно, если kx0(r) = O ([ log 1 r ]n−1 ) (8.4) при r → 0, где kx0(r) — интегральное среднее значение Kn−1 O по сфере S(x0, r) = {x ∈ D : |x− x0| = r}. Ввиду следствия 6.1, получаем также следующие следствия из результатов работы [29] для кольцевых Q-гомеоморфизмов. 166 К теории отображений класса Соболева... Лемма 8.2. Пусть D и D′ – ограниченные области в Rn, n > 2, D локально связна в x0 ∈ ∂D, и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D) такой, что ∂D′ сильно до- стижима хотя бы в одной точке предельного множества C(x0, f). Предположим, что∫ D∩A(x0,ε,ε0) Kn−1 O (x, f) · ψn(|x− x0|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) (8.5) при ε→ 0 и ε0 > 0, где ψ(t) — неотрицательная измеримая функция на (0,∞), такая что 0 < I(ε, ε0) = ε0∫ ε ψ(t) dt <∞ для всех ε ∈ (0, ε0). Тогда f имеет непрерывное продолжение в точку x0. Замечание 8.1. Отметим также, что (8.5) выполнено, в частности, если ∫ |x−x0|<ε0 Kn−1 O (x, f) · ψn(|x− x0|) dm(x) <∞ (8.6) для некоторого ε0 > 0 и I(ε, ε0) → ∞ при ε → 0. Другими словами, для продолжимости по непрерывности f в точку x0 ∈ ∂D достато- чно, чтобы интеграл (8.6) сходился для некоторой неотрицательной функции ψ(t), которая локально интегрируема на (0, ε0], но имеет неинтегрируемую особенность в нуле. Говорят, что вещественная функция φ ∈ L1 loc(D) имеет ограничен- ное среднее колебание в области D ⊂ Rn, пишут φ ∈ BMO(D), либо просто φ ∈ BMO, если ∥φ∥∗ = sup B⊂D 1 |B| ∫ B |φ(x)− φB| dm(x) <∞, (8.7) где точная нижняя грань в (8.7) берётся по всем шарам B, лежащим в области D, а φB = − ∫ B φ(x) dm(x) : = 1 |B| ∫ B φ(x) dm(x) (8.8) Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 167 обозначает среднее интегральное значение функции φ по шару B. Пространство BMO, введенное Джоном и Ниренбергом в работе [16], на сегодняшний день является одним из важнейших понятий гармонического анализа, комплексного анализа, теории уравнений с частными производными и смежных областей, см. монографии [11] и [39]. В частности, ВМО тесно связано с теорией квазиконформных отображений, см., напр., [2–4,7, 17, 39] и [39]. Следуя [42], говорим, что функция φ : D → R имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ D, сокр. φ ∈ FMO(x0), если lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) |φ(x)− φ̃ε| dm(x) <∞ , (8.9) где φ̃ε = − ∫ B(x0,ε) φ(x) dm(x) – интегральное среднее значение функции φ(x) по шару B(x0, ε) = = {x ∈ Rn : |x− x0| < ε}. Теорема 8.1. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D локально связна в x0 ∈ ∂D, ∂D′ сильно достижима, D′ – компакт, и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Если Kn−1 O (x, f) имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ D, то f продолжим в x0 по непрерывности в Rn. Следствие 8.2. В частности, заключение теоремы 8.1 имеет ме- сто, если lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) Kn−1 O (x, f) dm(x) < ∞ . (8.10) Выбирая в лемме 8.2 функцию ψ(t) ≡ 1/t, приходим к следующей теореме. Теорема 8.2. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D локально связна в x0 ∈ ∂D, ∂D′ сильно достижима, D′ – компакт, и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Если ∫ ε<|x−x0|<ε0 Kn−1 O (x, f) dm(x) |x− x0|n = o ([ log 1 ε ]n) (8.11) при ε→ 0, то f продолжим в точку x0 по непрерывности в Rn. 168 К теории отображений класса Соболева... Замечание 8.2. Полагая в лемме 8.2 функцию ψ(t) = 1/(t log 1/t) вместо ψ(t) = 1/t, мы можем заменить условие (10.4) более слабым условием ∫ ε<|x−x0|<ε0 Kn−1 O (x, f) dm(x)( |x− x0| log 1 |x−x0| )n = o ([ log log 1 ε ]n) (8.12) и (10.2) условием kx0(r) = o ([ log 1 r log log 1 r ]n−1 ) . (8.13) Мы могли бы здесь привести целую шкалу соответствующих условий логарифмического типа, используя функции ψ(t) = 1 (t log··· log 1/t) . Обратная функция Φ−1 может быть корректно определена для любой неубывающей функции Φ : [0,∞] → [0,∞] : Φ−1(τ) = inf Φ(t)>τ t . (8.14) Как обычно, inf в (8.14) равен ∞, если множество t ∈ [0,∞], таких что Φ(t) > τ, пусто. Заметим, что функция Φ−1 также является не- убывающей. Кроме того, заметим, что если h : [0,∞] → [0,∞] — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм и φ : [0,∞] → [0,∞] — неу- бывающая функция, то (φ ◦ h)−1 = h−1 ◦ φ−1 . (8.15) Замечание 8.3. Из определения очевидно, что Φ−1(Φ(t)) 6 t ∀ t ∈ [0,∞] (8.16) с равенством в (8.16), исключая интервалы постоянства функции Φ(t). Напомним, что функция Φ : [0,∞] → [0,∞] называется выпуклой, если Φ(λt1 + (1− λ)t2) 6 λ Φ(t1) + (1− λ) Φ(t2) при всех t1, t2 ∈ [0,∞] и λ ∈ [0, 1]. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 169 Теорема 8.3. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D локально связна на границе, а D′ имеет сильно достижимую границу и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc . Если ∫ D Φ ( Kn−1 O (x, f) ) dm(x) <∞ (8.17) для неубывающей выпуклой функции Φ : [0,∞] → [0,∞], такой что ∞∫ δ dτ τ [Φ−1(τ)] 1 n−1 = ∞ (8.18) при некотором δ > Φ(0), то f имеет непрерывное продолжение f : D → D′. Условие (8.18) является не только достаточным, но и необходи- мым для непрерывного продолжения на границу отображений f с интегральными ограничениями вида (8.17), см., напр., замечание 5.1 в работе [20]. 9. Продолжение на границу обратных отображений Следующая лемма о предельных множествах лежит в основе до- казательства теоремы о продолжении на границу обратных гомео- морфизмов с конечным искажением. Эта лемма вытекает из леммы 9.1 в статье [19], см. лемму 9.5 в монографии [32], а также леммы 6.1. Лемма 9.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, z1 и z2 — ра- зличные точки ∂D, z1 ̸= ∞, а f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Предположим, что функция KO является (n− 1)-интегрируемой на множествах D(r) = {x ∈ D : |x− z1| = r} = D ∩ S(z1, r) (9.1) для некоторого множества E чисел r < |z1 − z2|, имеющего поло- жительную линейную меру. Если D локально связна в точках z1 и z2, а ∂D′ является слабо плоской, то C(z1, f) ∩ C(z2, f) = ∅. (9.2) Из леммы 9.1 непосредственно следует следующая теорема. 170 К теории отображений класса Соболева... Теорема 9.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, D локально связна на своей границе, а граница области D′ является слабо пло- ской и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1(D). Тогда отображение f−1 имеет продолжение в за- мыкание области D′ по непрерывности в Rn. Доказательство. Действительно, ввиду теоремы Фубини, множество E = {r ∈ R : KO|D(r) ∈ Ln−1(D(r))} (9.3) имеет положительную лебегову меру, поскольку KO ∈ Ln−1(D). Замечание 9.1. Из приведенного доказательства следует, что в тео- реме 9.1 достаточно предполагать, что функция KO является (n−1)- интегрируемой лишь в окрестности границы области D, и мы можем применить лемму 9.1. Кроме того, ввиду леммы 6.1, по теореме 9.2 в [19], см. также теорему 9.7 в [32], мы получаем справедливость следующего заклю- чения. Теорема 9.2. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, D локально свя- зна на своей границе, а граница области D′ является слабо плоской. Предположим, что f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D) и, кроме того, δ(x0)∫ 0 dr ∥KO∥n−1(x0, r) = ∞ ∀ x0 ∈ ∂D (9.4) при некотором δ(x0) < d(x0) = sup x∈D |x − x0|, где величина ∥KO∥n−1(x0, r) определена в (8.3). Тогда отображение f−1 продол- жается в замыкание области D′ по непрерывности в Rn. 10. Гомеоморфное продолжение на границу Комбинируя результаты предыдущих двух разделов, получаем следующие теоремы. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 171 Теорема 10.1. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, область D локально связна на своей границе, а область D′ имеет слабо плоскую границу. Предположим, что f : D → D′ — гомеомор- физм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Предположим, что δ(x0)∫ 0 dr ∥KO∥n−1(x0, r) = ∞ ∀ x0 ∈ ∂D, (10.1) где величина ∥KO∥n−1(x0, r) определена в (8.3) при некотором δ(x0) < d(x0) = sup x∈D |x− x0|. Тогда отображение f имеет гомеомор- фное продолжение f : D → D′. Следствие 10.1. В частности, заключение теоремы 10.1 верно, если kx0(r) = O ([ log 1 r ]n−1 ) ∀ x0 ∈ ∂D (10.2) при r → 0, где kx0(r) — интегральное среднее значение Kn−1 O по сфере S(x0, r) = {x ∈ D : |x− x0| = r}. В качестве следствия из теоремы 10.1, мы получаем обобщение хорошо известной теоремы Геринга–Мартио о гомеоморфном про- должении на границу квазиконформных отображений между QED- областями, см. [9]. Следствие 10.2. Пусть D и D′ — ограниченные области со слабо плоскими границами в Rn, n > 2, отображение f : D → D′ — гомео- морфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Если условие (10.1) выполнено в каждой точке x0 ∈ ∂D, то f имеет гомеоморфное про- должение f : D → D′. Лемма 10.1. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D локально связна на границе, ∂D′ — слабо плоская, и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Предположим, что∫ D∩A(x0,ε,ε0) Kn−1 O (x, f) · ψn(|x− x0|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) ∀ x0 ∈ ∂D (10.3) 172 К теории отображений класса Соболева... при ε → 0 и некотором ε0 = ε(x0) > 0, где ψ(t) — неотрицательная измеримая функция на (0,∞), такая что 0 < I(ε, ε0) = ε0∫ ε ψ(t) dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0) . Тогда f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D′. Выбирая в лемме 10.1 функцию ψ(t) ≡ 1/t, приходим к следую- щей теореме. Теорема 10.2. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D локально связна на границе, ∂D′ — слабо плоская, и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Предположим, что∫ ε<|x−x0|<ε0 Kn−1 O (x, f) dm(x) |x− x0|n = o ([ log 1 ε ]n) ∀ x0 ∈ ∂D (10.4) при ε→ 0. Тогда f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D′. Теорема 10.3. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D локально связна в x0 ∈ ∂D, ∂D′ — слабо плоская, и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n−1 loc с KO ∈ Ln−1 loc (D). Если Kn−1 O (x, f) 6 Q(x) п.в., где Q ∈ FMO(∂D), то f имеет гомеомор- фное продолжение f : D → D′. Следствие 10.3. В частности, заключение теоремы 10.3 имеет место, если lim ε→0 − ∫ B(x0,ε) Kn−1 O (x, f) dm(x) <∞ ∀ x0 ∈ ∂D . (10.5) Теорема 10.4. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D локально связна на границе, а D′ имеет слабо плоскую границу и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1 loc . Если∫ D Φ ( Kn−1 O (x, f) ) dm(x) <∞ (10.6) Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 173 для неубывающей выпуклой функции Φ : [0,∞] → [0,∞], такой что ∞∫ δ dτ τ [Φ−1(τ)] 1 n−1 = ∞ (10.7) при некотором δ > Φ(0), то f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D′. Заметим, что условие (10.7) является не только достаточным, но и необходимым для непрерывного продолжения на границу отображе- ний f с интегральными ограничениями вида (10.6) (см., напр., [20]). Литература [1] Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Об отображениях в клас- сах Орлича–Соболева на римановых многообразиях // Укр. мат. вiсник, 8 (2011), No. 3, 319–342; transl. in J. Math. Sci., 181 (2012), No. 1, 1–17. [2] Andreian Cazacu C., Stanciu V., BMO-mappings in the plane. Topics in analysis and its applications, 11-30, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., 147, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2004. [3] K. Astala, A remark on quasiconformal mappings and BMO-functions // Mi- chigan Math. J., 80 (1983), 209–212. [4] K. Astala, F. W. Gehring, Injectivity, the BMO norm and the universal Tei- chmfiller space // J. Analyse Math., 46 (1986), 16–57. [5] M. Csörnyei, S. Hencl, J. Maly, Homeomorphisms in the Sobolev space W 1,n−1// J. Reine Angew. Math., 644 (2010), 221–235. [6] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, Москва, 1987. [7] F. W. Gehring, Characteristic Properties of Quasidisks, Les presses de l’Universite de Montreal, 1982. [8] F. W. Gehring, O. Lehto, On the total differentiability of functions of a complex variable // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 272 (1959), 3–8. [9] F. W. Gehring, O. Martio, Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings // J. Anal. Math., 45 (1985), 181–206. [10] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami Equation: A Geometric Approach, Developments in Mathematics, 26, Springer, New York etc., 2012. [11] J. Heinonen, T. Kilpelainen, O. Martio, Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford–New York–Tokio, 1993. 174 К теории отображений класса Соболева... [12] А. А. Игнатьев, В.И. Рязанов, Конечное среднее колебание в теории ото- бражений // Укр. мат. вiсник, 2 (2005), № 3, 395–417; transl. in Ukrainian Math. Bull., 2 (2005), № 3, 403–424. [13] А. А. Игнатьев, В.И. Рязанов, К теории граничного поведения пространс- твенных отображений // Укр. мат. вiсник, 3 (2006), № 2, 199–211; transl. in Ukrainian Math. Bull., 3 (2006), № 2, 189–201. [14] T. Iwaniec, G. Martin, Geometrical Function Theory and Non–linear Analysis, Clarendon Press, Oxford, 2001. [15] T. Iwaniec, V. Šverák, On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc., 118 (1993), 181–188. [16] F. John, L. Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation // Comm. Pure Appl. Math., 14 (1961), 415–426. [17] P. W. Jones, Extension theorems for BMO // Indiana Univ. Math. J., 29 (1980), 41–66. [18] Д. Ковтонюк, В. Рязанов, К теории границ пространственных областей // Труды ИПММ НАН Украины, 13 (2006), 110–120. [19] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр. мат. вiсник, 5 (2008), № 2, 159–184; transl. in Ukr. Math. Bull. 5 (2008), no. 2, 157–181. [20] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, On the boundary behavior of generalized quasi- isometries // J. Anal. Math., 115 (2011), 103–119. [21] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, On the theory of mappings with finite area distorti- on // J. Anal. Math., 104 (2008), 291–306. [22] D. Kovtonyuk, I. Petkov, V. Ryazanov, On the boundary behaviour of solutions to the Beltrami equations // Complex Var. Elliptic Equ., 58 (2013), no. 5, 647– 663. [23] Д. А. Ковтонюк, И. В. Петков, В. И. Рязанова, Р. Р. Салимов, Граничное поведение и задача Дирихле для уравнений Бельтрами // Алгебра и анализ, 25 (2013), № 4, 101–124; transl. in St. Petersburg Math. J., 25 (2014), No. 4, 587–603. [24] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанова, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории классов Орлича–Соболева // Алгебра и анализ, 25 (2013), № 6, 50–102; transl. in St. Petersburg Math. J., 25 (2014), no. 6, 929–963. [25] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, R. Salimov, E. Sevost’yanov, On mappings in the Orlicz–Sobolev classes // Annals of the University of Bucharest (mathematical series), 3 (LXI) (2012), 67–78. [26] Д. А. Ковтонюк, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории отображе- ний классов Соболева и Орлича–Соболева (под общей ред. Рязанова В.И.), Наукова думка, Киев, 2013. Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 175 [27] К. Куратовский, Топология 1, Мир, Москва, 1966. [28] O. Lehto, K. Virtanen, Quasiconformal Mappings in the Plane, Springer–Verlag, New York, 1973. [29] Т. В. Ломако, О распространении некоторых обобщений квазиконформных отображений на границу // Укр. мат. журн., 61 (2009), № 10, 1329–1337. [30] J. Maly, O. Martio, Lusin’s condition (N) and mappings of the class W 1,n // J. Reine Angew. Math., 485 (1995), 19–36. [31] D. Menchoff, Sur les differencelles totales des fonctions univalentes // Math. Ann., 105 (1931), 75–85. [32] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping Theory, Springer, New York etc., 2009. [33] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 30 (2005), 49–69. [34] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Q-homeomorphisms // Contemporary Math., 364 (2004), 193–203. [35] В.Г. Мазья, Пространства С.Л. Соболева, Ленинград: ЛГУ, 1985. [36] R. Nakki, Boundary behavior of quasiconformal mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math., 484 (1970), 1–50. [37] С. П. Пономарёв, Об N-свойстве гомеоморфизмов класса W 1 p // Сиб. матем. журн., 28 (1987), № 2, 140–148. [38] T. Rado, P.V. Reichelderfer, Continuous Transformations in Analysis, Springer- Verlag, Berlin, 1955. [39] H. M. Reimann, T. Rychener, Functions of bounded mean oscillation and quasi- conformal mappings // Comment. Math. Helv., 49 (1974), 260–276. [40] Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным иска- жением, Наука, Новосибирск, 1982. [41] В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вiсник, 4, (2007), N 2, 199–234. [42] В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, Равностепенно непрерывные классы коль- цевых Q-гомеоморфизмов // Сиб. матем. журн., 48 (2007), № 6, 1361–1376; transl. in Siberian Math. J., 48 (2007), no. 6, 1093–1105. [43] V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Integral conditions in the mapping theory // Укр. мат. вiсник, 7 (2010), № 1, 73–87; transl. in Math. Sci. J., 173 (2011), No. 4, 397–407. [44] V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On ring solutions of Beltrami equation // J. Anal. Math., 96 (2005), 117–150. 176 К теории отображений класса Соболева... [45] С. Сакс, Теория интеграла, ИЛ, М., 1949. [46] J. Serrin, On the differentiability of functions of several variables // Arch. Rati- onal Mech. Anal., 7 (1961), 359–372. [47] V. Tengvall, Differentiability in the Sobolev space W 1,n−1 // Calc. Var. Partial Differential Equations, 51 (2014), no. 1–2, 381–399. [48] J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math., 229, Springer–Verlag, Berlin, 1971. [49] J. Väisälä, On quasiconformal mappings in space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math., 298 (1961), 1–36. Сведения об авторах Елена Сергеевна Афанасьева Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Славянск, Украина E-Mail: es.afanasjeva@gmail.com Владимир Ильич Рязанов Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Славянск, Украина E-Mail: vl.ryazanov1@gmail.com Руслан Радикович Салимов Институт математики НАН Украины, Киев, Украина E-Mail: ruslan.salimov1@gmail.com CoverUMB_V15_N2.pdf Страница 1 Страница 2