К теории отображений класса Соболева с критическим показателем
В статье установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева W¹,¹loc с внешней дилатацией Ko(x, f) ∊ Lnⁿ⁻¹loc является так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Ko(x; f), а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). Это позволяет применить теорию граничного поведения кольцевых и...
Gespeichert in:
Datum: | 2018 |
---|---|
Hauptverfasser: | , , |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169395 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | К теории отображений класса Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 154-176. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-169395 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1693952020-06-13T01:26:55Z К теории отображений класса Соболева с критическим показателем Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. В статье установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева W¹,¹loc с внешней дилатацией Ko(x, f) ∊ Lnⁿ⁻¹loc является так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Ko(x; f), а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). Это позволяет применить теорию граничного поведения кольцевых и нижних Q-гомеоморфизмов. В частности, найдены условия на внешнюю дилатацию Ko(x; f) и границы областей, при которых всякий гомеоморфизм класса Соболева W¹,¹loc допускает непрерывное и гомеоморфное продолжение на границу. It is established that any homeomorphism f of the Sobolev class W¹,¹loc with outer dilatation Ko(x, f) ∊ Lnⁿ⁻¹loc is the so-called lower Q-homeomorphism with Q(x) = Ko(x, f) and also a ring Q-homeomorphism with Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). This allows us to apply the theory of boundary behavior of ring and lower Q-homeomorphisms. In particular, we have found the conditions imposed on the outer dilatation Ko(x, f) and the boundaries of domains under which any homeomorphism of the Sobolev class W¹,¹loc admits continuous or homeomorphic extensions to the boundary. 2018 Article К теории отображений класса Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 154-176. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. Primary 30C62, 31A05, 31A20, 31A25, 31B25, 35Q15; Secondary 30E25, 31C05, 34M50, 35F45. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169395 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
В статье установлено, что любой гомеоморфизм f класса Соболева W¹,¹loc с внешней дилатацией Ko(x, f) ∊ Lnⁿ⁻¹loc является так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Ko(x; f), а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Koⁿ⁻¹(x, f). Это позволяет применить теорию граничного поведения кольцевых и нижних Q-гомеоморфизмов. В частности, найдены условия на внешнюю дилатацию Ko(x; f) и границы областей, при которых всякий гомеоморфизм класса Соболева W¹,¹loc допускает непрерывное и гомеоморфное продолжение на границу. |
format |
Article |
author |
Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. |
spellingShingle |
Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. К теории отображений класса Соболева с критическим показателем Український математичний вісник |
author_facet |
Афанасьева, Е.С. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. |
author_sort |
Афанасьева, Е.С. |
title |
К теории отображений класса Соболева с критическим показателем |
title_short |
К теории отображений класса Соболева с критическим показателем |
title_full |
К теории отображений класса Соболева с критическим показателем |
title_fullStr |
К теории отображений класса Соболева с критическим показателем |
title_full_unstemmed |
К теории отображений класса Соболева с критическим показателем |
title_sort |
к теории отображений класса соболева с критическим показателем |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2018 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169395 |
citation_txt |
К теории отображений класса Соболева с критическим показателем / Е.С. Афанасьева, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 2. — С. 154-176. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. |
series |
Український математичний вісник |
work_keys_str_mv |
AT afanasʹevaes kteoriiotobraženijklassasobolevaskritičeskimpokazatelem AT râzanovvi kteoriiotobraženijklassasobolevaskritičeskimpokazatelem AT salimovrr kteoriiotobraženijklassasobolevaskritičeskimpokazatelem |
first_indexed |
2025-07-15T04:08:14Z |
last_indexed |
2025-07-15T04:08:14Z |
_version_ |
1837684485442764800 |
fulltext |
Український математичний вiсник
Том 15 (2018), № 2, 154 – 176
К теории отображений класса Соболева
с критическим показателем
Елена С. Афанасьева, Владимир И. Рязанов,
Руслан Р. Салимов
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В статье установлено, что любой гомеоморфизм f
класса Соболева W 1,1
loc с внешней дилатацией KO(x, f) ∈ Ln−1
loc являе-
тся так называемым нижним Q-гомеоморфизмом с Q(x) = KO(x, f),
а также кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(x) = Kn−1
O (x, f).
Это позволяет применить теорию граничного поведения кольце-
вых и нижних Q-гомеоморфизмов. В частности, найдены условия
на внешнюю дилатацию KO(x, f) и границы областей, при которых
всякий гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc допускает непрерывное
и гомеоморфное продолжение на границу.
2010 MSC. Primary 30C62, 31A05, 31A20, 31A25, 31B25, 35Q15;
Secondary 30E25, 31C05, 34M50, 35F45.
Ключевые слова и фразы. Кольцевые Q-гомеоморфизмы, ни-
жние Q-гомеоморфизмы, классы Соболева, отображения с конечным
искажением, непрерывное продолжение, гомеоморфное продолже-
ние, модули.
1. Введение
В работе получены приложения теории так называемых кольце-
вых и нижних Q-гомеоморфизмов к исследованию граничного пове-
дения гомеоморфизмов с обобщенными производными по Соболеву,
см., например, монографию [32], а также статьи [1, 13] и [19].
Как известно, любой гомеоморфизм f класса W 1,1
loc с локально ин-
тегрируемой дилатацией Kf на плоскости является как кольцевым,
так и нижним Q−гомеоморфизмом с Q = Kf , см. [22] и [23]. Кроме
того, в работе [25], в частности, было показано, что гомеоморфизмы
f класса W 1,p
loc при p > n− 1 в Rn, n > 3, являются так называемыми
нижними Q-гомеоморфизмами с функцией Q(x), равной внешней ди-
латации Kf (x) отображения f , и кольцевыми Q∗-гомеоморфизмами
с Q∗(x) = [Kf (x)]
n−1.
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 155
Случай с критическим показателем p = n−1 оставался неизучен-
ным, чему и посвящена данная работа. Это продвижение оказалось
возможным, прежде всего, благодаря статье [47].
2. Определения и предварительные замечания
Пусть D — область в Rn, n > 2. Напомним, что гомеоморфизм
f : D → Rn называется отображением с конечным искажением,
если f ∈W 1,1
loc и
∥f ′(x)∥n 6 K(x) · |Jf (x)| (2.1)
для некоторой почти всюду конечной функции K(x) > 1, где f ′(x) —
якобиева матрица f, Jf (x) := det f ′(x) — якобиан отображения f , а
∥f ′(x)∥ — её операторная норма: ∥f ′(x)∥ := sup
|h|=1
|f ′(x) · h|.
Напомним также, что впервые понятие отображения с конечным
искажением введено в случае плоскости для f ∈ W 1,2
loc в работе [15],
см. также [14]. Впоследствии это условие было заменено требованием
f ∈W 1,1
loc , предполагавшим однако дополнительно, что Jf ∈ L1
loc, см.,
напр., монографию [14], а также дальнейшие ссылки в монографии
[32].
Всюду далее m обозначает меру Лебега в Rn.
Замечание 2.1. Заметим, что условие Jf ∈ L1
loc излишне в случае
гомеоморфизмов. Действительно, для каждого гомеоморфизма f ме-
жду областями D и D′ в Rn, имеющего п.в. частные производные в D,
существует множество E лебеговой меры ноль, такое что f обладает
(N)-свойством Лузина в D \ E и∫
A
|Jf (x)| dm(x) = m(f(A)) (2.2)
для каждого измеримого по Лебегу множества A ⊂ D \E (см., напр.,
пункты 3.1.4, 3.1.8 и 3.2.5 в [6]).
Пусть Jf (x) — якобиан отображения f , имеющего все первые ча-
стные производные в точке x. Напомним, что внешняя дилатация
отображения f в точке x определяется равенством
KO(x, f) =
∥f ′(x)∥n
|Jf (x)|
, (2.3)
если Jf (x) ̸= 0; KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0; KO(x, f) = ∞ в осталь-
ных точках.
156 К теории отображений класса Соболева...
Внутренней дилатацией отображения f в точке x называется ве-
личина
KI(x, f) =
|Jf (x)|
l (f ′(x))n
(2.4)
где l (f ′(x)) = min
|h|=1
|f ′(x)h|, если Jf (x) ̸= 0; KI(x, f) = 1, если f ′(x) =
0; KI(x, f) = ∞ в остальных точках.
Замечание 2.2. Известно, что
KI(x, f) 6 Kn−1
O (x, f) , (2.5)
см., напр., раздел 1.2.1 в [40].
Следуя [32, разд. 9.2], далее k-мерной поверхностью S в Rn на-
зываем произвольное непрерывное отображение S : ω → Rn, где ω —
открытое множество в Rk и k = 1, . . . , n − 1. Функцией кратности
поверхности S называем число прообразов
N(S, y) = cardS −1(y) = card {x ∈ ω : S(x) = y}, y ∈ Rn . (2.6)
Другими словами, символ N(S, y) обозначает кратность накрытия
точки y поверхностью S. Известно, что функция кратности является
полунепрерывной снизу, т.е.
N(S, y) ≥ lim inf
m→∞
N(S, ym)
для любой последовательности ym ∈ Rn, m = 1, 2, . . . , такой что
ym → y ∈ Rn при m → ∞, см., напр., [38], с. 160. Таким образом,
функция N(S, y) измерима по Борелю и поэтому измерима относи-
тельно произвольной хаусдорфовой меры Hk, см., напр., секцию II.7
в [45].
Для борелевской функции ρ : Rn → [0,∞] ее интеграл по поверх-
ности S определяется равенством∫
S
ρ dA :=
∫
Rn
ρ(y)N(S, y) dHky. (2.7)
Пусть Γ — семейство k-мерных поверхностей S. Борелева фун-
кция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Γ, пишут
ρ ∈ admΓ, если ∫
S
ρk dA > 1 (2.8)
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 157
для каждой поверхности S ∈ Γ.
Модулем семейства Γ называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
Rn
ρn(x) dm(x) . (2.9)
В дальнейшем через ∆(E,F ;G) обозначаем совокупность всех кри-
вых γ : [0, 1] → Rn, соединяющих произвольные множества E и F во
множестве G ⊂ Rn, т.е. γ(0) ∈ E, γ(1) ∈ F и γ(t) ∈ G для всех
t ∈ (0, 1).
3. О кольцевых и нижних Q-гомеоморфизмах
Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, x0 ∈ D \ {∞}, Q : Rn →
(0,∞) — измеримая по Лебегу функция. Говорим, что гомеоморфизм
f : D → D′ является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D,
если соотношение
M(∆(f(K1), f(K2); f(D))) 6
∫
A∩D
Q(x)ηn(|x− x0|)dm(x) (3.1)
выполнено для любых двух континуумов K1, K2 из D, которые при-
надлежат разным компонентам дополнения в Rn кольца
A = A(x0, r1, r2) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2}, 0 < r1 < r2 <∞,
и для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r)dr > 1. Также говорим, что гомеоморфизм f : D → D′ есть
кольцевой Q-гомеоморфизм, если f является кольцевым Q-гомеомор-
физмом в каждой точке x0 ∈ D.
Понятие кольцевого Q-гомеоморфизма впервые было введено в
работе [44] в связи с исследованием уравнений Бельтрами на плоско-
сти, а позднее было распространено на пространственный случай в
работе [42], см. также монографии [10] и [32].
Говорят, см. [32, разд. 9.2], что измеримая по Лебегу функция
ρ : Rn → [0,∞] является обобщенно допустимой для семейства Γ,
состоящего из (n − 1) – мерных поверхностей S в Rn, пишут ρ ∈
ext admΓ, если ∫
S
ρn−1(x) dA > 1 (3.2)
158 К теории отображений класса Соболева...
для почти всех S ∈ Γ, т.е. за исключением подсемейства Γ нулевого
модуля.
Гомеоморфизм f : D → D′ будем называть нижним Q-гомео-
морфизмом в точке x0 ∈ D, если
M (f (Σε)) > inf
ρ∈ext admΣε
∫
D∩Aε
ρn(x)
Q(x)
dm(x) (3.3)
для каждого кольца Aε = A(x0, ε, ε0), ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d0), где d0 =
sup
x∈D
|x−x0|, а Σε обозначает семейство всех пересечений сфер S(x0, r)
с областью D, S(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| = r} , r ∈ (ε, ε0). Будем го-
ворить, что гомеоморфизм f : D → D′ является нижним Q-гомео-
морфизмом в областиD, если f является нижнимQ-гомеоморфизмом
в каждой точке x0 ∈ D.
Понятие нижнего Q-гомеоморфизма введено в работе [19] и те-
ория таких отображений нашла интересные приложения в изуче-
нии краевых задач для уравнений Бельтрами, а также локального и
граничного поведения классов Орлича-Соболева, см., например, ста-
тьи [23,25] и монографию [26].
Следующее утверждение устанавливает связь между нижними и
кольцевыми Q-гомеоморфизмами в Rn, см. следствие 5 в [25].
Предложение 3.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, и фун-
кция Q : Rn → (0,∞) интегрируема в степени n − 1 в некоторой
окрестности точки x0 ∈ D. Если f : D → D′ — нижний Q-гомео-
морфизм в точке x0, то f является кольцевым Q∗-гомеоморфизмом
в точке x0 с Q∗(x) = Qn−1(x).
Замечание 3.1. В определениях нижних и кольцевых Q-гомеомор-
физмов функцию Q достаточно задать только в области D или про-
должить нулем вне D. По замечанию 8 в [25], заключение предложе-
ния 3.1 остается в силе, если функция Q интегрируема в степени n−1
лишь на почти всех сферах достаточно малых радиусов с центром в
точке x0.
4. О некоторых свойствах отображений класса
Соболева W 1,n−1
loc
По теореме 1.1 из недавней работы [47] имеет место следующее
утверждение.
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 159
Предложение 4.1. Пусть D — область в Rn, n > 2, и f : D → Rn –
непрерывное открытое дискретное отображение класса W 1,n−1
loc (D)
с локально интегрируемой внутренней дилатацией. Тогда отобра-
жение f дифференцируемо почти всюду.
При n > 3 этот результат был новым даже для гомеоморфизмов.
При n = 2 по известной теореме Геринга-Лехто любое непрерывное
открытое отображение, имеющее п.в. частные производные, диффе-
ренцируемо п.в., см., например, [8] или [28]. Заметим, что последний
результат для гомеоморфизмов был доказан еще Меньшовым в ра-
боте [31] и его доказательство без изменений проходило и для непре-
рывных открытых отображений. По теореме Вяйсяля заключение со-
храняет силу для непрерывных открытых отображений класса W 1,p
loc
при любых p > n − 1 и n > 3, см. лемму 3 в [49]. В то же время,
известны примеры функций f ∈ W 1,n
loc ⊂ W 1,n−1
loc , которые нигде не
дифференцируемы, см., например, [46].
Следствие 4.1. Если открытое дискретное отображение f : D →
Rn класса W 1,n−1
loc (D) имеет внешнюю дилатацию локально инте-
грируемую в степени n− 1, то f дифференцируемо почти всюду.
Далее, по теореме 1.3 работы [5] имеем следующий важный ре-
зультат.
Предложение 4.2. Пусть f : C → Rn, n > 2, — гомеоморфизм
класса W 1,n−1
loc (C) в единичном кубе C := (0, 1)n. Тогда f обладает
(N)-свойством Лузина относительно (n − 1) – мерной меры Хаус-
дорфа на почти всех гиперплоскостях P, параллельных произвольной
фиксированной координатной гиперплоскости P0, т.е., для любого
множества E ⊂ P, если Hn−1(E) = 0, то Hn−1(f(E)) = 0.
Этот результат был распространен на произвольные непрерывные
открытые дискретные отображения f : D → Rn класса W 1,n−1
loc , см.
предложение 3.3 в [47]. Более того, любое непрерывное отображение
f : D → Rm, m > 1, класса W 1,p
loc при p > n − 1 обладает указанным
свойством, см., например, теорему 3 в [25]. Однако, это неверно да-
же для гомеоморфизмов f : D → Rn в классах W 1,p
loc ни при каком
p < n−1. Действительно, известны примеры С. П. Пономарева гомео-
морфизмов g : Rn → Rn, принадлежащих классу W 1,p
loc (R
n) для прои-
звольного p < n, и не обладающих (N)-свойством Лузина, см. [37].
Если теперь g(x) — такой пример в Rn−1, то f(x, y) := (g(x), y),
x ∈ Rn−1, y ∈ R, не удовлетворяет (N)-свойству Лузина на всех ги-
перплоскостях y = const.
160 К теории отображений класса Соболева...
Лемма 4.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, f : D → D′
— гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc (D) с KO ∈ Ln−1
loc (D). Тогда
∥f ′∥ ∈ Ln−1
loc (D).
Доказательство. Пусть V — компакт в D. Тогда, применяя неравен-
ство Гёльдера с показателями p = n и p′ = n
n−1 , будем иметь∫
V
∥f ′(x)∥n−1 dm(x) =
∫
V
K
n−1
n
O (x) · J
n−1
n
f (x) dm(x)
6
∫
V
Kn−1
O (x) dm(x)
1
n
∫
V
Jf (x) dm(x)
n−1
n
< ∞
и заключение леммы следует из замечания 2.1.
Следствие 4.2. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, f : D → D′
— гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc (D) с KO ∈ Ln−1
loc (D). Тогда
f ∈W 1,n−1
loc (D).
5. Лемма об абсолютной непрерывности
Лемма 5.1. Пусть D — область в Rn, n > 2, f : D → Rn — го-
меоморфизм класса Соболева W 1,1
loc (D) с KO ∈ Ln−1
loc (D) и пусть C —
куб в Rn с гранями параллельными координатным гиперплоскостям,
такой что C ⊂ D. Тогда сужение отображения f на C абсолютно
непрерывно относительно (n−1) – мерной меры Хаусдорфа на почти
всех гиперплоскостях P, параллельных произвольной фиксированной
координатной гиперплоскости P0. Кроме того, на почти всех таких
гиперплоскостях P выполнено условие Hn−1(f(E)) = 0 как только
f ′ = 0 на измеримом множестве E ⊂ P.
Доказательство. По лемме 4.1 ∥f ′(x)∥ ∈ Ln−1(C) и по теореме Фу-
бини, см., например, теорему III(8.1) в [45], на почти всех гипер-
плоскостях P, параллельных произвольной фиксированной коорди-
натной гиперплоскости P0,∫
C∩P
∥f ′(x)∥n−1dA <∞ ,
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 161
а по следствию 4.1 и предложению 4.2 можно считать дополнитель-
но, что отображение f дифференцируемо в почти всех точках мно-
жества C ∩ P и обладает там (N)-свойством Лузина относительно
(n − 1) – мерной меры Хаусдорфа. Зафиксируем произвольную ги-
перплоскость P∗ с указанными свойствами.
Тогда каждое измеримого множество E ⊂ C ∩ P∗ допускает ра-
зложение E = E0 ∪ E∗, где Hn−1(E0) = 0, и E∗ :=
∞∪
k=1
Ek, где
Ek, k = 1, 2, . . ., — измеримые множества, такие, что отображения
fk := f |Ek являются липшицевыми, см. теорему 3.1.8 в [6]. По постро-
ению Hn−1(f(E0)) = 0, а каждое отображение fk допускает липши-
цево продолжение на всю гиперплоскость P∗ по теореме Кирсбрауна,
см., например, теорему 2.10.43 в [6]. Таким образом, по теореме 3.2.5
в [6] и счетной аддитивности интеграла имеем равенство:
Hn−1(f(E)) =
∫
E∗
Jn−1(x) dA ,
где Jn−1 обозначает (n− 1) – мерный якобиан отображения f на ги-
перплоскости P∗ и, наконец, по пункту 1.7.6 в [6] получаем оценку
Hn−1(f(E)) 6
∫
E
∥f ′(x)∥n−1dA .
Отсюда приходим к абсолютной непрерывности отображения f на ги-
перплоскости P∗ в силу абсолютной непрерывности неопределенного
интеграла, а также — ко второму заключению леммы.
Заметим тот очевидный факт, что хаусдорфовы меры квазиин-
вариантны при квазиизометриях, а классы Соболева W 1,p
loc инвариан-
тны, см., например, секцию 1.1.7 в монографии [35]. По свойству Лин-
делефа в Rn, см., например, секцию I.5.XI в [27], множество D \ {x0}
для любого x0 ∈ Rn может быть покрыто счетным числом открытых
сегментов сферических колец в D \ {x0} с центром в точке x0, и ка-
ждый такой сегмент может быть отображен на единичный куб в Rn
посредством квазиизометрии, переводящих куски сфер в куски ги-
перплоскостей. Поэтому, применяя лемму 6.1, а также предложение
4.2, приходим к следующим выводам, сравни со следствием 3.4 в ра-
боте [47].
Следствие 5.1. Пусть D — область в Rn, n > 2, и пусть f : D →
Rn — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n−1
loc (D). Тогда отображение
f обладает (N)-свойством Лузина относительно (n − 1) – мерной
162 К теории отображений класса Соболева...
меры Хаусдорфа на почти всех сферах S с центром в произвольной
точке x0 ∈ Rn. Более того, если дополнительно KO ∈ Ln−1
loc (D), то
отображение f на почти всех таких сферах S локально абсолютно
непрерывно и, кроме того, Hn−1(f(E)) = 0 как только f ′ = 0 на
измеримом множестве E ⊂ S.
6. Основная лемма и ее следствие
Лемма 6.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, f : D → D′ —
гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D). Тогда гомео-
морфизм f является нижним Q-гомеоморфизмом в произвольной
точке x0 ∈ D с Q(x) = KO(x, f) в D.
Доказательство. Обозначим через B (борелевское) множество всех
точек x ∈ D, где отображение f имеет полный дифференциал f ′(x) и
Jf (x) ̸= 0. Применяя теорему Кирсбрауна и используя единствен-
ность аппроксимативного дифференциала, см., например, соответ-
ственно теоремы 2.10.43 и 3.1.2 в [6], заключаем, что множество B
представляет собой счетное объединение борелевских множеств Bl,
l = 1, 2, . . ., таких что отображения fl = f |Bl являются билипшице-
выми гомеоморфизмами, см., напр., лемму 3.2.2 и теоремы 3.1.4 и
3.1.8 в [6]. Без ограничения общности можно считать, что множества
Bl попарно не пересекаются. Обозначим также через B∗ оставшееся
множество всех точек x ∈ D, где f имеет полный дифференциал,
однако, f ′ = 0.
По следствию 4.1 множество B0 := D \ (B ∪B∗) имеет лебегову
меру нуль. Поэтому AS(B0) = 0 для почти всех гиперповерхностей S
в Rn и, в частности, для почти всех сфер Sr := S(x0, r) с центром в
точке x0 ∈ D, см., например, теорему 2.4 в [21] или теорему 9.1 в [32].
Таким образом, по следствию 5.1 получаем, что AS∗
r
(f(B0)) = 0 =
AS∗
r
(f(B∗)) для почти всех Sr, где S∗
r = f(Sr).
Пусть Γ обозначает семейство всех пересечений сфер Sr, r ∈ (ε, ε0),
ε0 < d0 = sup
x∈D
|x − x0|, с областью D. Для произвольной функции
ρ∗ ∈ adm f(Γ), такой что ρ∗ ≡ 0 вне f(D), полагаем ρ ≡ 0 вне D и на
B0, и ρ(x) := ρ∗(f(x))∥f ′(x)∥ при x ∈ D \B0.
Рассуждая покусочно на каждом Bl, l = 1, 2, . . ., согласно 1.7.6
в [6], получаем, что∫
Sr
ρn−1 dA =
∫
Sr
ρn−1
∗ (f(x))∥f ′(x)∥n−1 dA >
∫
S∗
r
ρn−1
∗ dA∗ > 1 (6.1)
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 163
для почти всех Sr, и, следовательно, ρ ∈ ext admΓ.
Используя замену переменных на каждом Bl, l = 1, 2, . . ., см.,
напр., теорему 3.2.5 в [6], ввиду счетной аддитивности интеграла, по-
лучаем оценку∫
D
ρn(x)
KO(x, f)
dm(x) 6
∫
f(D)
ρn∗ (y) dm(y) , (6.2)
что и завершает доказательство.
Комбинируя предложение 3.1 и лемму 6.1, получаем еще одно ва-
жное следствие.
Следствие 6.1. Пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Со-
болева W 1,1
loc (D) с KO ∈ Ln−1
loc (D). Тогда f является кольцевым Q∗-
гомеоморфизмом с Q∗(x) = Kn−1
O (x, f).
7. О регулярных областях
Напомним, что область D ⊂ Rn, n > 2, называется локально свя-
зной в точке x0 ∈ ∂D, если для каждой окрестности U точки x0
найдётся окрестность V ⊂ U точки x0, такая что множество V ∩ D
является связным.
Говорят, что граница области D является слабо плоской в точке
x0 ∈ ∂D, если для каждой окрестности U точки x0 и любого P > 0
найдётся окрестность V ⊂ U точки x0, такая что
M (∆(E,F,D)) > P (7.1)
для всех континуумов E и F , лежащих в области D и пересекающих
∂U и ∂V . Также говорят, что граница области D слабо плоская, если
она является слабо плоской в каждой точке ∂D.
Наконец, говорят, что точка x0 ∈ ∂D является сильно достижи-
мой, если для каждой окрестности U точки x0 найдётся компакт E,
лежащий в областиD, окрестность V ⊂ U точки x0 и некоторое число
δ > 0, такие что
M (∆(E,F,D)) > δ (7.2)
для всех континуумов F , лежащих в области D и пересекающих ∂U
и ∂V . Говорят, что граница области является сильно достижимой,
если каждая её точка является сильно достижимой, см., [42].
164 К теории отображений класса Соболева...
Замечание 7.1. В определениях сильно достижимой и слабо пло-
ской границы, в качестве окрестностей U и V точки x0, можно брать
открытые (замкнутые) шары с центром в точке x0, либо окрестности
точки x0 из любой другой фундаментальной системы окрестностей.
Замечание 7.2. Приведенные выше понятия естественным образом
могут быть распространены на случай расширенного пространства
Rn и точки x0 = ∞. В последнем случае в приведённых выше опре-
делениях необходимо брать соответствующие окрестности бесконечно
удаленной точки.
Из определений следует, что, если область D в Rn является слабо
плоской в точке x0 ∈ ∂D, то точка x0 является сильно достижимой
из D. Более того, было показано, что, если область D в Rn является
слабо плоской в точке x0 ∈ ∂D, то D является локально связной в
этой точке, см., напр., лемму 5.1 в [19], либо лемму 3.15 в [32].
Понятия сильной достижимости и слабой плоскости, относящиеся
к граничным точкам некоторой области в Rn, впервые были введены
в работе [18]. Данные понятия являются локализацией и обобщением
соответствующих более ранних понятий, рассматривавшихся в пред-
шествующих работах [33, 34]. В связи с этим упомянем также свой-
ства P1 и P2 по Вяйсяля, см. [48], а также свойства квазиконформной
достижимости и квазиконформной плоскости по Някки, см., напр.,
в [36]. Заметим, что множество результатов, связанных с гомеомор-
фным продолжением на границу квазиконформных отображений и
их обобщений, имеют место при условии слабой плоскости границ
соответствующих областей. Условие сильной достижимости играет
аналогичную роль для непрерывного продолжения отображений на
границу.
Область D ⊂ Rn называется областью квазиэкстремальной дли-
ны, сокр. QED-областью, см. [9], если при некоторой постоянной
K > 1 и любых непересекающихся континуумов E и F вD выполнено
соотношение
M
(
∆(E,F,Rn
)
6 K ·M (∆(E,F,D)) . (7.3)
Замечание 7.3. Хорошо известно, см., напр., теорему 10.12 в [48],
что для произвольных множеств E и F в Rn, n > 2, пересекающих
все сферы S(x0, ϱ), ϱ ∈ (r,R), выполнено неравенство
M (∆(E,F,Rn)) > cn log
R
r
. (7.4)
Следовательно, QED-области имеют слабо плоские границы. Один из
примеров в [32], см. разд. 3.8, показывает, что обратное утверждение,
вообще говоря, неверно даже для односвязных плоских областей.
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 165
8. Непрерывное продолжение на границу
Здесь и в дальнейшем мы используем обозначение предельных
множеств отображения f : D → Rn для множеств X ⊂ D,
C(X, f) :=
{
y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk), xk → x0 ∈ X, xk ∈ D
}
. (8.1)
Заметим, что для произвольного гомеоморфизма f : D → D′ имеет
место включение C(∂D, f) ⊂ ∂D′, см., напр., предложение 13.5 в [32].
В силу леммы 6.1, а также теоремы 6.1 в [19], см. лемму 9.4 в [32],
имеем следующее утверждение.
Лемма 8.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, x0 ∈ ∂D. Предпо-
ложим, что область D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, а граница
области D′ сильно достижима. Пусть f : D → D′ — гомеоморфизм
класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D). Если выполнено условие
ε0∫
0
dr
∥KO∥n−1(r)
= ∞, (8.2)
где 0 < ε0 < d0 = sup
x∈D
|x− x0| и
∥KO∥n−1(r) = ∥KO∥n−1(x0, r) =
∫
D∩S(x0,r)
Kn−1
O (x, f) dA
1
n−1
,
(8.3)
то отображение f продолжается в точку x0 по непрерывности в
Rn.
Следствие 8.1. В частности, заключение леммы 8.1 верно, если
kx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
(8.4)
при r → 0, где kx0(r) — интегральное среднее значение Kn−1
O по сфере
S(x0, r) = {x ∈ D : |x− x0| = r}.
Ввиду следствия 6.1, получаем также следующие следствия из
результатов работы [29] для кольцевых Q-гомеоморфизмов.
166 К теории отображений класса Соболева...
Лемма 8.2. Пусть D и D′ – ограниченные области в Rn, n > 2, D
локально связна в x0 ∈ ∂D, и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм
класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D) такой, что ∂D′ сильно до-
стижима хотя бы в одной точке предельного множества C(x0, f).
Предположим, что∫
D∩A(x0,ε,ε0)
Kn−1
O (x, f) · ψn(|x− x0|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) (8.5)
при ε→ 0 и ε0 > 0, где ψ(t) — неотрицательная измеримая функция
на (0,∞), такая что
0 < I(ε, ε0) =
ε0∫
ε
ψ(t) dt <∞
для всех ε ∈ (0, ε0). Тогда f имеет непрерывное продолжение в точку
x0.
Замечание 8.1. Отметим также, что (8.5) выполнено, в частности,
если ∫
|x−x0|<ε0
Kn−1
O (x, f) · ψn(|x− x0|) dm(x) <∞ (8.6)
для некоторого ε0 > 0 и I(ε, ε0) → ∞ при ε → 0. Другими словами,
для продолжимости по непрерывности f в точку x0 ∈ ∂D достато-
чно, чтобы интеграл (8.6) сходился для некоторой неотрицательной
функции ψ(t), которая локально интегрируема на (0, ε0], но имеет
неинтегрируемую особенность в нуле.
Говорят, что вещественная функция φ ∈ L1
loc(D) имеет ограничен-
ное среднее колебание в области D ⊂ Rn, пишут φ ∈ BMO(D), либо
просто φ ∈ BMO, если
∥φ∥∗ = sup
B⊂D
1
|B|
∫
B
|φ(x)− φB| dm(x) <∞, (8.7)
где точная нижняя грань в (8.7) берётся по всем шарам B, лежащим
в области D, а
φB = −
∫
B
φ(x) dm(x) : =
1
|B|
∫
B
φ(x) dm(x) (8.8)
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 167
обозначает среднее интегральное значение функции φ по шару B.
Пространство BMO, введенное Джоном и Ниренбергом в работе
[16], на сегодняшний день является одним из важнейших понятий
гармонического анализа, комплексного анализа, теории уравнений с
частными производными и смежных областей, см. монографии [11]
и [39]. В частности, ВМО тесно связано с теорией квазиконформных
отображений, см., напр., [2–4,7, 17, 39] и [39].
Следуя [42], говорим, что функция φ : D → R имеет конечное
среднее колебание в точке x0 ∈ D, сокр. φ ∈ FMO(x0), если
lim
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
|φ(x)− φ̃ε| dm(x) <∞ , (8.9)
где
φ̃ε = −
∫
B(x0,ε)
φ(x) dm(x)
– интегральное среднее значение функции φ(x) по шару B(x0, ε) =
= {x ∈ Rn : |x− x0| < ε}.
Теорема 8.1. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D
локально связна в x0 ∈ ∂D, ∂D′ сильно достижима, D′ – компакт,
и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈
Ln−1
loc (D). Если Kn−1
O (x, f) имеет конечное среднее колебание в точке
x0 ∈ D, то f продолжим в x0 по непрерывности в Rn.
Следствие 8.2. В частности, заключение теоремы 8.1 имеет ме-
сто, если
lim
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
Kn−1
O (x, f) dm(x) < ∞ . (8.10)
Выбирая в лемме 8.2 функцию ψ(t) ≡ 1/t, приходим к следующей
теореме.
Теорема 8.2. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2, D
локально связна в x0 ∈ ∂D, ∂D′ сильно достижима, D′ – компакт,
и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈
Ln−1
loc (D). Если ∫
ε<|x−x0|<ε0
Kn−1
O (x, f)
dm(x)
|x− x0|n
= o
([
log
1
ε
]n)
(8.11)
при ε→ 0, то f продолжим в точку x0 по непрерывности в Rn.
168 К теории отображений класса Соболева...
Замечание 8.2. Полагая в лемме 8.2 функцию ψ(t) = 1/(t log 1/t)
вместо ψ(t) = 1/t, мы можем заменить условие (10.4) более слабым
условием ∫
ε<|x−x0|<ε0
Kn−1
O (x, f) dm(x)(
|x− x0| log 1
|x−x0|
)n = o
([
log log
1
ε
]n)
(8.12)
и (10.2) условием
kx0(r) = o
([
log
1
r
log log
1
r
]n−1
)
. (8.13)
Мы могли бы здесь привести целую шкалу соответствующих условий
логарифмического типа, используя функции ψ(t) = 1
(t log··· log 1/t) .
Обратная функция Φ−1 может быть корректно определена для
любой неубывающей функции Φ : [0,∞] → [0,∞] :
Φ−1(τ) = inf
Φ(t)>τ
t . (8.14)
Как обычно, inf в (8.14) равен ∞, если множество t ∈ [0,∞], таких
что Φ(t) > τ, пусто. Заметим, что функция Φ−1 также является не-
убывающей. Кроме того, заметим, что если h : [0,∞] → [0,∞] —
сохраняющий ориентацию гомеоморфизм и φ : [0,∞] → [0,∞] — неу-
бывающая функция, то
(φ ◦ h)−1 = h−1 ◦ φ−1 . (8.15)
Замечание 8.3. Из определения очевидно, что
Φ−1(Φ(t)) 6 t ∀ t ∈ [0,∞] (8.16)
с равенством в (8.16), исключая интервалы постоянства функции
Φ(t).
Напомним, что функция Φ : [0,∞] → [0,∞] называется выпуклой,
если
Φ(λt1 + (1− λ)t2) 6 λ Φ(t1) + (1− λ) Φ(t2)
при всех t1, t2 ∈ [0,∞] и λ ∈ [0, 1].
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 169
Теорема 8.3. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n >
2, D локально связна на границе, а D′ имеет сильно достижимую
границу и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc .
Если ∫
D
Φ
(
Kn−1
O (x, f)
)
dm(x) <∞ (8.17)
для неубывающей выпуклой функции Φ : [0,∞] → [0,∞], такой что
∞∫
δ
dτ
τ [Φ−1(τ)]
1
n−1
= ∞ (8.18)
при некотором δ > Φ(0), то f имеет непрерывное продолжение f :
D → D′.
Условие (8.18) является не только достаточным, но и необходи-
мым для непрерывного продолжения на границу отображений f с
интегральными ограничениями вида (8.17), см., напр., замечание 5.1
в работе [20].
9. Продолжение на границу обратных отображений
Следующая лемма о предельных множествах лежит в основе до-
казательства теоремы о продолжении на границу обратных гомео-
морфизмов с конечным искажением. Эта лемма вытекает из леммы
9.1 в статье [19], см. лемму 9.5 в монографии [32], а также леммы 6.1.
Лемма 9.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, z1 и z2 — ра-
зличные точки ∂D, z1 ̸= ∞, а f : D → D′ — гомеоморфизм класса
Соболева W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D). Предположим, что функция KO
является (n− 1)-интегрируемой на множествах
D(r) = {x ∈ D : |x− z1| = r} = D ∩ S(z1, r) (9.1)
для некоторого множества E чисел r < |z1 − z2|, имеющего поло-
жительную линейную меру. Если D локально связна в точках z1 и
z2, а ∂D′ является слабо плоской, то
C(z1, f) ∩ C(z2, f) = ∅. (9.2)
Из леммы 9.1 непосредственно следует следующая теорема.
170 К теории отображений класса Соболева...
Теорема 9.1. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, D локально
связна на своей границе, а граница области D′ является слабо пло-
ской и пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc с
KO ∈ Ln−1(D). Тогда отображение f−1 имеет продолжение в за-
мыкание области D′ по непрерывности в Rn.
Доказательство. Действительно, ввиду теоремы Фубини, множество
E = {r ∈ R : KO|D(r) ∈ Ln−1(D(r))} (9.3)
имеет положительную лебегову меру, поскольку KO ∈ Ln−1(D).
Замечание 9.1. Из приведенного доказательства следует, что в тео-
реме 9.1 достаточно предполагать, что функция KO является (n−1)-
интегрируемой лишь в окрестности границы области D, и мы можем
применить лемму 9.1.
Кроме того, ввиду леммы 6.1, по теореме 9.2 в [19], см. также
теорему 9.7 в [32], мы получаем справедливость следующего заклю-
чения.
Теорема 9.2. Пусть D и D′ — области в Rn, n > 2, D локально свя-
зна на своей границе, а граница области D′ является слабо плоской.
Предположим, что f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева
W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D) и, кроме того,
δ(x0)∫
0
dr
∥KO∥n−1(x0, r)
= ∞ ∀ x0 ∈ ∂D (9.4)
при некотором δ(x0) < d(x0) = sup
x∈D
|x − x0|, где величина
∥KO∥n−1(x0, r) определена в (8.3). Тогда отображение f−1 продол-
жается в замыкание области D′ по непрерывности в Rn.
10. Гомеоморфное продолжение на границу
Комбинируя результаты предыдущих двух разделов, получаем
следующие теоремы.
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 171
Теорема 10.1. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2,
область D локально связна на своей границе, а область D′ имеет
слабо плоскую границу. Предположим, что f : D → D′ — гомеомор-
физм класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D). Предположим, что
δ(x0)∫
0
dr
∥KO∥n−1(x0, r)
= ∞ ∀ x0 ∈ ∂D, (10.1)
где величина ∥KO∥n−1(x0, r) определена в (8.3) при некотором
δ(x0) < d(x0) = sup
x∈D
|x− x0|. Тогда отображение f имеет гомеомор-
фное продолжение f : D → D′.
Следствие 10.1. В частности, заключение теоремы 10.1 верно,
если
kx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
∀ x0 ∈ ∂D (10.2)
при r → 0, где kx0(r) — интегральное среднее значение Kn−1
O по сфере
S(x0, r) = {x ∈ D : |x− x0| = r}.
В качестве следствия из теоремы 10.1, мы получаем обобщение
хорошо известной теоремы Геринга–Мартио о гомеоморфном про-
должении на границу квазиконформных отображений между QED-
областями, см. [9].
Следствие 10.2. Пусть D и D′ — ограниченные области со слабо
плоскими границами в Rn, n > 2, отображение f : D → D′ — гомео-
морфизм класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D). Если условие (10.1)
выполнено в каждой точке x0 ∈ ∂D, то f имеет гомеоморфное про-
должение f : D → D′.
Лемма 10.1. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2,
D локально связна на границе, ∂D′ — слабо плоская, и пусть f :
D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D).
Предположим, что∫
D∩A(x0,ε,ε0)
Kn−1
O (x, f) · ψn(|x− x0|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) ∀ x0 ∈ ∂D
(10.3)
172 К теории отображений класса Соболева...
при ε → 0 и некотором ε0 = ε(x0) > 0, где ψ(t) — неотрицательная
измеримая функция на (0,∞), такая что
0 < I(ε, ε0) =
ε0∫
ε
ψ(t) dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0) .
Тогда f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D′.
Выбирая в лемме 10.1 функцию ψ(t) ≡ 1/t, приходим к следую-
щей теореме.
Теорема 10.2. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2,
D локально связна на границе, ∂D′ — слабо плоская, и пусть f :
D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D).
Предположим, что∫
ε<|x−x0|<ε0
Kn−1
O (x, f)
dm(x)
|x− x0|n
= o
([
log
1
ε
]n)
∀ x0 ∈ ∂D (10.4)
при ε→ 0. Тогда f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D′.
Теорема 10.3. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2,
D локально связна в x0 ∈ ∂D, ∂D′ — слабо плоская, и пусть f : D →
D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,n−1
loc с KO ∈ Ln−1
loc (D). Если
Kn−1
O (x, f) 6 Q(x) п.в., где Q ∈ FMO(∂D), то f имеет гомеомор-
фное продолжение f : D → D′.
Следствие 10.3. В частности, заключение теоремы 10.3 имеет
место, если
lim
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
Kn−1
O (x, f) dm(x) <∞ ∀ x0 ∈ ∂D . (10.5)
Теорема 10.4. Пусть D и D′ — ограниченные области в Rn, n > 2,
D локально связна на границе, а D′ имеет слабо плоскую границу и
пусть f : D → D′ — гомеоморфизм класса Соболева W 1,1
loc . Если∫
D
Φ
(
Kn−1
O (x, f)
)
dm(x) <∞ (10.6)
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 173
для неубывающей выпуклой функции Φ : [0,∞] → [0,∞], такой что
∞∫
δ
dτ
τ [Φ−1(τ)]
1
n−1
= ∞ (10.7)
при некотором δ > Φ(0), то f имеет гомеоморфное продолжение
f : D → D′.
Заметим, что условие (10.7) является не только достаточным, но и
необходимым для непрерывного продолжения на границу отображе-
ний f с интегральными ограничениями вида (10.6) (см., напр., [20]).
Литература
[1] Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Об отображениях в клас-
сах Орлича–Соболева на римановых многообразиях // Укр. мат. вiсник, 8
(2011), No. 3, 319–342; transl. in J. Math. Sci., 181 (2012), No. 1, 1–17.
[2] Andreian Cazacu C., Stanciu V., BMO-mappings in the plane. Topics in analysis
and its applications, 11-30, NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem., 147, Kluwer
Acad. Publ., Dordrecht, 2004.
[3] K. Astala, A remark on quasiconformal mappings and BMO-functions // Mi-
chigan Math. J., 80 (1983), 209–212.
[4] K. Astala, F. W. Gehring, Injectivity, the BMO norm and the universal Tei-
chmfiller space // J. Analyse Math., 46 (1986), 16–57.
[5] M. Csörnyei, S. Hencl, J. Maly, Homeomorphisms in the Sobolev space W 1,n−1//
J. Reine Angew. Math., 644 (2010), 221–235.
[6] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, Москва, 1987.
[7] F. W. Gehring, Characteristic Properties of Quasidisks, Les presses de
l’Universite de Montreal, 1982.
[8] F. W. Gehring, O. Lehto, On the total differentiability of functions of a complex
variable // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 272 (1959), 3–8.
[9] F. W. Gehring, O. Martio, Quasiextremal distance domains and extension of
quasiconformal mappings // J. Anal. Math., 45 (1985), 181–206.
[10] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami Equation:
A Geometric Approach, Developments in Mathematics, 26, Springer, New York
etc., 2012.
[11] J. Heinonen, T. Kilpelainen, O. Martio, Nonlinear Potential Theory of
Degenerate Elliptic Equations, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon
Press, Oxford–New York–Tokio, 1993.
174 К теории отображений класса Соболева...
[12] А. А. Игнатьев, В.И. Рязанов, Конечное среднее колебание в теории ото-
бражений // Укр. мат. вiсник, 2 (2005), № 3, 395–417; transl. in Ukrainian
Math. Bull., 2 (2005), № 3, 403–424.
[13] А. А. Игнатьев, В.И. Рязанов, К теории граничного поведения пространс-
твенных отображений // Укр. мат. вiсник, 3 (2006), № 2, 199–211; transl.
in Ukrainian Math. Bull., 3 (2006), № 2, 189–201.
[14] T. Iwaniec, G. Martin, Geometrical Function Theory and Non–linear Analysis,
Clarendon Press, Oxford, 2001.
[15] T. Iwaniec, V. Šverák, On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer.
Math. Soc., 118 (1993), 181–188.
[16] F. John, L. Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation // Comm. Pure
Appl. Math., 14 (1961), 415–426.
[17] P. W. Jones, Extension theorems for BMO // Indiana Univ. Math. J., 29 (1980),
41–66.
[18] Д. Ковтонюк, В. Рязанов, К теории границ пространственных областей
// Труды ИПММ НАН Украины, 13 (2006), 110–120.
[19] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, К теории нижних Q-гомеоморфизмов //
Укр. мат. вiсник, 5 (2008), № 2, 159–184; transl. in Ukr. Math. Bull. 5 (2008),
no. 2, 157–181.
[20] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, On the boundary behavior of generalized quasi-
isometries // J. Anal. Math., 115 (2011), 103–119.
[21] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, On the theory of mappings with finite area distorti-
on // J. Anal. Math., 104 (2008), 291–306.
[22] D. Kovtonyuk, I. Petkov, V. Ryazanov, On the boundary behaviour of solutions
to the Beltrami equations // Complex Var. Elliptic Equ., 58 (2013), no. 5, 647–
663.
[23] Д. А. Ковтонюк, И. В. Петков, В. И. Рязанова, Р. Р. Салимов, Граничное
поведение и задача Дирихле для уравнений Бельтрами // Алгебра и анализ,
25 (2013), № 4, 101–124; transl. in St. Petersburg Math. J., 25 (2014), No. 4,
587–603.
[24] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанова, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории
классов Орлича–Соболева // Алгебра и анализ, 25 (2013), № 6, 50–102; transl.
in St. Petersburg Math. J., 25 (2014), no. 6, 929–963.
[25] D. Kovtonyuk, V. Ryazanov, R. Salimov, E. Sevost’yanov, On mappings in the
Orlicz–Sobolev classes // Annals of the University of Bucharest (mathematical
series), 3 (LXI) (2012), 67–78.
[26] Д. А. Ковтонюк, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории отображе-
ний классов Соболева и Орлича–Соболева (под общей ред. Рязанова В.И.),
Наукова думка, Киев, 2013.
Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов 175
[27] К. Куратовский, Топология 1, Мир, Москва, 1966.
[28] O. Lehto, K. Virtanen, Quasiconformal Mappings in the Plane, Springer–Verlag,
New York, 1973.
[29] Т. В. Ломако, О распространении некоторых обобщений квазиконформных
отображений на границу // Укр. мат. журн., 61 (2009), № 10, 1329–1337.
[30] J. Maly, O. Martio, Lusin’s condition (N) and mappings of the class W 1,n // J.
Reine Angew. Math., 485 (1995), 19–36.
[31] D. Menchoff, Sur les differencelles totales des fonctions univalentes // Math.
Ann., 105 (1931), 75–85.
[32] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping
Theory, Springer, New York etc., 2009.
[33] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On Q-homeomorphisms //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., 30 (2005), 49–69.
[34] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Q-homeomorphisms //
Contemporary Math., 364 (2004), 193–203.
[35] В.Г. Мазья, Пространства С.Л. Соболева, Ленинград: ЛГУ, 1985.
[36] R. Nakki, Boundary behavior of quasiconformal mappings in n-space // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1 Math., 484 (1970), 1–50.
[37] С. П. Пономарёв, Об N-свойстве гомеоморфизмов класса W 1
p // Сиб. матем.
журн., 28 (1987), № 2, 140–148.
[38] T. Rado, P.V. Reichelderfer, Continuous Transformations in Analysis, Springer-
Verlag, Berlin, 1955.
[39] H. M. Reimann, T. Rychener, Functions of bounded mean oscillation and quasi-
conformal mappings // Comment. Math. Helv., 49 (1974), 260–276.
[40] Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным иска-
жением, Наука, Новосибирск, 1982.
[41] В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Слабо плоские пространства и границы в
теории отображений // Укр. мат. вiсник, 4, (2007), N 2, 199–234.
[42] В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, Равностепенно непрерывные классы коль-
цевых Q-гомеоморфизмов // Сиб. матем. журн., 48 (2007), № 6, 1361–1376;
transl. in Siberian Math. J., 48 (2007), no. 6, 1093–1105.
[43] V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Integral conditions in the mapping theory
// Укр. мат. вiсник, 7 (2010), № 1, 73–87; transl. in Math. Sci. J., 173 (2011),
No. 4, 397–407.
[44] V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On ring solutions of Beltrami equation //
J. Anal. Math., 96 (2005), 117–150.
176 К теории отображений класса Соболева...
[45] С. Сакс, Теория интеграла, ИЛ, М., 1949.
[46] J. Serrin, On the differentiability of functions of several variables // Arch. Rati-
onal Mech. Anal., 7 (1961), 359–372.
[47] V. Tengvall, Differentiability in the Sobolev space W 1,n−1 // Calc. Var. Partial
Differential Equations, 51 (2014), no. 1–2, 381–399.
[48] J. Väisälä, Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes
in Math., 229, Springer–Verlag, Berlin, 1971.
[49] J. Väisälä, On quasiconformal mappings in space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1 Math., 298 (1961), 1–36.
Сведения об авторах
Елена Сергеевна
Афанасьева
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Славянск, Украина
E-Mail: es.afanasjeva@gmail.com
Владимир Ильич
Рязанов
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Славянск, Украина
E-Mail: vl.ryazanov1@gmail.com
Руслан Радикович
Салимов
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: ruslan.salimov1@gmail.com
CoverUMB_V15_N2.pdf
Страница 1
Страница 2
|