Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169406 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей / А.К. Бахтин , Л.В. Выговская // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 298-320. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169406 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1694062020-06-13T01:27:07Z Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей Бахтин, А.К. Выговская, Л.В. 2018 Article Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей / А.К. Бахтин , Л.В. Выговская // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 298-320. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C75 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169406 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, А.К. Выговская, Л.В. |
| spellingShingle |
Бахтин, А.К. Выговская, Л.В. Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей Український математичний вісник |
| author_facet |
Бахтин, А.К. Выговская, Л.В. |
| author_sort |
Бахтин, А.К. |
| title |
Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей |
| title_short |
Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей |
| title_full |
Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей |
| title_fullStr |
Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей |
| title_full_unstemmed |
Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей |
| title_sort |
оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169406 |
| citation_txt |
Оценки внутренних радиусов симметричных неналегающих областей / А.К. Бахтин , Л.В. Выговская // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 298-320. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak ocenkivnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT vygovskaâlv ocenkivnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej |
| first_indexed |
2025-07-15T04:08:51Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:08:51Z |
| _version_ |
1837684524256854016 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 15 (2018), № 3, 298 – 320
Оценки внутренних радиусов симметричных
неналегающих областей
Александр К. Бахтин, Людмила В. Выговская
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В работе рассматривается задача об оценке функцио-
нала In(γ) = rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak), где r(Bk, ak) – внутренний ради-
ус области Bk относительно точки ak, при условии a0 = 0, |ak| = 1,
k = 1, n, ak ∈ Bk ⊂ C, где области Bk ∩ Bp = ∅, k ̸= p, k, p = 0, n,
причем области Bk, k = 1, n, обладают симметрией относительно
единичной окружности. Решение этой задачи в некоторых частных
случаях получено в работах [2–5]. Данная работа посвящена иссле-
дованию этой задачи при γ ∈ (1, n
1
3 ] и n ≥ 14.
2010 MSC. 30C75.
Ключевые слова и фразы. Inner radius of domain, non-overlapping
domains, extremal problems, separating transformation, quadratic di-
fferential, Green’s function.
Пусть N, R – множество натуральных и вещественных чисел, со-
ответственно, C – комплексная плоскость, C = C
∪
{∞} – расши-
ренная комплексная плоскость или сфера Римана. Пусть r(B, a) –
внутренний радиус области B ⊂ C, относительно точки a ∈ B (см.,
например, [1,7]). Внутренний радиус области B связан с обобщенной
функцией Грина gB(z, a) области B соотношениями
gB(z, a) = − ln |z − a|+ ln r(B, a) + o(1), z → a,
gB(z,∞) = ln |z|+ ln r(B,∞) + o(1), z → ∞.
Для произвольного набора различных точек единичной окружно-
сти {ak}nk=1, a1 = 1 введем обозначения αk :=
1
π
arg
ak+1
ak
, αn+1 := α1,
k = 1, n,
n∑
k=1
αk = 2.
Статья поступила в редакцию 27.04.2018
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 299
Рассмотрим следующую задачу.
Проблема. Найти максимум функционала
In(γ) = rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak), при γ ∈ (0, n], n ≥ 2,
где a0 = 0, |a1| = . . . = |an| = 1, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, где B0, . . . , Bn
— взаимно непересекающиеся области, причем области B1, . . . , Bn
симметричны относительно единичной окружности.
Нетрудно показать, что при γ > n задача не имеет решения. В
случае односвязных областей и конформных радиусов подобные за-
дачи рассматривались в работе [6]. При γ = 1 и n ≥ 2 эта задача была
поставлена в качестве открытой проблемы в работе [1]. В 2000 году
Л. В. Ковалев в работах [2, 3] получил ее решение. Для γ ∈ (0, 1] и
n ≥ 2 задача решена в работе [4]. В данной статье получен следующий
результат.
Теорема 1. Пусть n ∈ N, n ≥ 14, γ ∈ (1, γn], γn = n
1
3 . Тогда
для любых различных точек единичной окружности и любого на-
бора взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n,
a0 = 0, причем области Bk, k = 1, n, обладают симметрией отно-
сительно единичной окружности, справедливо неравенство
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤
(
4
n
)n
(
2γ
n2
) γ
n(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
[
n−
√
2γ
n+
√
2γ
]√2γ
. (1)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда ak и Bk, k =
0, n, являются, соответственно, полюсами и круговыми областями
квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
2n + 2(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (2)
Доказательство теоремы 1. Сначала рассмотрим случай, когда
α0
√
2γ > 2, α0 = max
1≤k≤n
αk. Следуя методу работы [7, Теорема 5.2.3],
получим
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) =
n∏
k=1
[r(B0, 0)r(Bk, ak)]
γ
n
[
n∏
k=1
r(Bk, ak)
]1− γ
n
.
(3)
300 Оценки внутренних радиусов...
Из теоремы М. А. Лаврентьева [8], следует неравенство
r(B0, 0)r(Bk, ak) ≤ 1.
Тогда
n∏
k=1
[r(B0, 0)r(Bk, ak)]
γ
n ≤ 1.
Ввиду того, что области Bk, k = 0, n, попарно взаимно не пересе-
каются, тогда по известной теореме В. Н. Дубинина [9], справедливо
неравенство
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤ 2n
n∏
k=1
αk.
Тогда очевидно, что[
n∏
k=1
r(Bk, ak)
]1− γ
n
≤
[
2n
n∏
k=1
αk
]1− γ
n
.
Легко видеть, что α0 = αk0 = max
k
αk, где k0 – некоторое нату-
ральное число, заключенное между 1 и n.
Применяя неравенство Коши и учитывая, что
n∑
k=1
αk = 2, получим
следующую цепочку неравенств
n∏
k=1
αk = αk0
n∏
k=1,k ̸=k0
αk ≤ αk0
1
n− 1
n∑
k=1,k ̸=k0
αk
n−1
= α0
(
2− α0
n− 1
)n−1
.
Отсюда вытекают следующие соотношения
[
n∏
k=1
r(Bk, ak)
]1− γ
n
≤
[
2nα0
(
2− α0
n− 1
)n−1
]1− γ
n
=
[
2nα0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)
]1− γ
n
.
В свою очередь, учитывая предыдущие рассуждения, приходим к
неравенству
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) 6
[
2nα0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)
]1− γ
n
. (4)
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 301
Рассмотрим полином
Tn(x) = x(2− x)n−1, x ∈ (0, 2].
T ′
n(x) = (2− x)n−2(2− nx).
T ′
n(x) = 0 ⇐⇒ x =
2
n
или x = 2.
Отсюда следует, что полином Tn(x) имеет единственный макси-
мум на промежутке (0, 2] в точке x = 2
n . Таким образом, полином
Tn(x) монотонно возрастает на промежутке
(
0, 2n
)
от значения Tn(0)=
0 к Tn
(
2
n
)
и монотонно убывает на промежутке
(
2
n , 2
)
от значения
Tn
(
2
n
)
к значению Tn(2) = 0. В дальнейшем будем рассматривать γ
такие, чтобы выполнялось условие 2√
2γ
≥ 2
n , то есть такие γ, при
которых выполняется неравенство γ ≤ n2
2 . Тогда, на промежутке
2√
2γ
6 x 6 2 (γ ∈ (1, 3
√
n]) выполняется неравенство
x(2− x)n−1 6 2n−1 2√
2γ
(
1− 1√
2γ
)n−1
=
2n√
2γ
(
1− 1√
2γ
)n−1
. (5)
Пусть
I0n(γ) = rγ
(
B
(0)
0 , 0
) n∏
k=1
r
(
B
(0)
k , a
(0)
k
)
,
где 0 ∪ {a(0)k }nk=1 и {B(0)
k }nk=0 являются соответственно полюсами и
круговыми областями квадратичного дифференциала (2). Из вида
квадратичного дифференциала следует, что полюсы a
(0)
k = ωk, k =
1, n, где ωk = e
2πki
n , k = 0, n− 1, то есть являются корнями n−той
степени из единицы.
Для дальнейшего нам важно вычислить величину I0n(γ) при всех
γ ∈ (1, n
1
3 ] и n > 2. Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. При условиях теоремы (1) выполняются равенства
I0n(γ) = rγ
(
B
(0)
0 , 0
) n∏
k=1
r
(
B
(0)
k , ω
(0)
k
)
=
(
4
n
)n
·
(
2γ
n2
) γ
n(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
·
(
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
)√
2γ
. (6)
302 Оценки внутренних радиусов...
Доказательство. Система круговых областей квадратичного диф-
ференциала (2) обладает n−кратной симметрией вращения относи-
тельно начала координат, а также симметрией относительно каждого
луча lk = {w : argw = 2πk
n }, k = 0, n− 1. Пусть P (0)
k := {w : argωk <
argw < argωk+1}. Применим разделяющее преобразование к систе-
ме круговых областей квадратичного дифференциала (2) с помощью
системы функций ζ = {πk(w)}nk=1, где πk(w) = (ωk ·w)
n
2 и ветвь фун-
кции t = ζ
n
2 выбрана так, что ζ
n
2
∣∣∣
ζ=x
= x
n
2 > 0 если x > 0. В случае
системы круговых областей квадратичного дифференциала (2), как
было показано выше, a(0)k = ωk, k = 1, n, a(0)0 = 0.
Пусть Ω
(1)
k , k = 1, n, обозначает область плоскости Cζ , получен-
ную в результате объединения связной компоненты множества
πk(B
(0)
k
∩
P k), содержащей точку πk(ωk), со своим симметричным от-
ражением относительно вещественной оси. В свою очередь, через
Ω
(2)
k , k = 1, n, обозначаем область плоскости Cζ , полученную в резуль-
тате объединения связной компоненты множества πk(B
(0)
k+1
∩
P k), со-
держащей точку πk(ωk+1), со своим симметричным отражением отно-
сительно вещественной оси, B(0)
n+1 := B
(0)
1 , πn(ωn+1) := πn(ω1). Кроме
того, Ω(0)
k будет обозначать область плоскости Cζ , полученную в ре-
зультате объединения связной компоненты множества πk(B
(0)
0
∩
P k),
содержащей точку ζ = 0, со своим симметричным отражением отно-
сительно вещественной оси. Из определения функций πk вытекает,
что
|πk(w)− ω
(1)
k | ∼ n
2
· |w − ωk|, w → ak, w ∈ Pk,
|πk(w)− ω
(2)
k | ∼ n
2
· |w − ωk+1|, w → ak+1, w ∈ Pk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → 0, w ∈ Pk.
Отметим, что в силу выше описанных симметрий системы круго-
вых областей B
(0)
k квадратичного дифференциала (2) и свойств ра-
зделяющего преобразования следует, что все области Ω
(1)
k , k = 1, n
совпадают при всех k с одной и той же областью Ω1. Точно так же,
все Ω
(2)
k , k = 1, n совпадают при всех k с одной и той же областью
Ω2. И, соответственно, области Ω
(0)
k , k = 1, n совпадают при всех k с
одной и той же областью Ω0, причем область Ω1 симетрична обла-
сти Ω2 относительно мнимой оси, а область Ω0 обладает симметрией
относительно мнимой оси.
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 303
Тогда используя свойства разделяющего преобразования и сим-
метрии областей B(0)
k получаем
r
(
B
(0)
0 , 0
)
=
[
n∏
k=1
r
4
n2
(
Ω
(0)
k , 0
)] 1
2
,
r
(
B
(0)
k , ω
(0)
k
)
=
[
2
n
r
(
Ω
(1)
k , 1
)
· 2
n
r
(
Ω
(2)
k ,−1
)] 1
2
, k = 1, n.
Итак,
rγ
(
B
(0)
0 , 0
) n∏
k=1
r
(
B
(0)
k , ω
(0)
k
)
=
[
n∏
k=1
r
4
n2 γ
(
Ω
(0)
k , 0
)] 1
2
[
n∏
k=1
4
n2
r
(
Ω
(1)
k , 1
)
· r
(
Ω
(2)
k ,−1
)] 1
2
=
(
2
n
)n
[
n∏
k=1
r
4γ
n2
(
Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(1)
k , 1
)
r
(
Ω
(2)
k ,−1
)] 1
2
=
(
2
n
)n [
r
4γ
n2 (Ω0, 0) r (Ω1, 1) r (Ω2,−1)
]n
2
=
(
2
n
)n [
r
2γ
n2 (Ω0, 0) r
2γ
n2 (Ω∞,∞) r (Ω1, 1) r (Ω2,−1)
]n
2
=
(
2
n
)n
2
8γ
n2+6
(
8γ
n2
) 4γ
n2
(
2− 2
√
2γ
n
) 1
2
(
2− 2
√
2γ
n
)2 (
2 + 2
√
2γ
n
) 1
2
(
2+ 2
√
2γ
n
)2
n
4
,
где Ω∞ = {ζ ∈ C : 1
ζ
⊂ Ω0} и r (Ω0, 0) = r (Ω∞,∞) .
Используя несложные преобразования, получаем
A =
(
2− 2
√
2γ
n
) 1
2
(
2− 2
√
2γ
n
)2
= 2
2
(
1−
√
2γ
n
)2 (
1−
√
2γ
n
)2
(
1−
√
2γ
n
)2
,
B =
(
2 +
2
√
2γ
n
) 1
2
(
2+ 2
√
2γ
n
)2
= 2
2
(
1+
√
2γ
n
)2 (
1 +
√
2γ
n
)2
(
1+
√
2γ
n
)2
.
304 Оценки внутренних радиусов...
M =
(
1−
√
2γ
n
)2
(
1−
√
2γ
n
)2
=
(
1−
√
2γ
n
)2− 4
√
2γ
n
+ 4γ
n2
,
N =
(
1 +
√
2γ
n
)2
(
1+
√
2γ
n
)2
=
(
1 +
√
2γ
n
)2+ 4
√
2γ
n
+ 4γ
n2
.
Отсюда следует, что
MN =
(
1− 2γ
n2
)2
(
1+ 2γ
n2
)(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
) 4
√
2γ
n
,
и
AB = 2
4
(
1+ 2γ
n2
)
MN = 2
4
(
1+ 2γ
n2
)(
1− 2γ
n2
)2
(
1+ 2γ
n2
)(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
) 4
√
2γ
n
.
Таким образом,
I0n(γ) =
(
2
n
)n
2
8γ
n2+6
(
2
√
2γ
n
) 8γ
n2
2
4γ
n2+4
(
1− 2γ
n2
)(2+ 4γ
n2
)
(
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
) 4
√
2γ
n
n
4
.
Окончательно получаем, что утверждение леммы 1 справедливо.
Пусть
Jn(γ) =
In(γ)
I0n(γ)
=
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak)
rγ(B
(0)
0 , 0)
n∏
k=1
r(B
(0)
k , a
(0)
k )
.
Учитывая выше приведенные рассуждения, а также неравенство
(4) и соотношения (6), получим оценку
Jn(γ) 6
[
2n · α0(2− α0)
n−1(n− 1)−(n−1)
]1− γ
n
(
4
n
)n ·
(
2γ
n2
) γ
n ·
(
1− 2γ
n2
)−n
2
− γ
n ·
(
1−
√
2γ
n
1+
√
2γ
n
)√
2γ
6
[
2n · 2n√
2γ
(
1− 1√
2γ
)n−1
(n− 1)−(n−1)
]1− γ
n
(
4
n
)n ·
(
2γ
n2
) γ
n ·
(
1− 2γ
n2
)−n
2
− γ
n ·
(
1−
√
2γ
n
1+
√
2γ
n
)√
2γ
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 305
=
[
22n · 1√
2γ
]1− γ
n
·
[
1− 1√
2γ
]n−1−γ+ γ
n
·
(
1
n− 1
)n−1−γ+ γ
n
·
(n
4
)n
×
(
n2
2γ
) γ
n
·
(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
·
(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
)√
2γ
= 22n−2γ ·
(
1√
2γ
)1− γ
n
·
[
1− 1√
2γ
]n−1−γ+ γ
n
·
(
n
n− 1
)n−1−γ+ γ
n
×n−(n−1−γ+ γ
n
)+n+ 2γ
n · 2−2n · (2γ)−
γ
n ·
(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
·
(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
)√
2γ
= 2−2γ ·
(
1√
2γ
)1+ γ
n
·
[
1− 1√
2γ
]n−1−γ+ γ
n
·
(
n
n− 1
)n−1−γ+ γ
n
· n1+γ+ γ
n
×
(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
·
(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
)√
2γ
.
И окончательно получим
Jn(γ) 6
(n
4
)γ+1
·
[
1− 1√
2γ
]n−1−γ+ γ
n
·
(
4√
2γ
)
·
(
n√
2γ
) γ
n
·
(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
×
(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
)√
2γ
·
(
n
n− 1
)n−1−γ+ γ
n
.
Таким образом, нам удалось получить оценку величины Jn(γ) че-
рез пять элементарных функций, зависящих от n и γ. Введем обозна-
чения
Y1(n, γ) =
(n
4
)γ+1
·
[
1− 1√
2γ
]n−1−γ+ γ
n
,
Y2(n, γ) =
(
4√
2γ
)
·
(
n√
2γ
) γ
n
,
Y3(n, γ) =
(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
,
306 Оценки внутренних радиусов...
Y4(n, γ) =
(
1 +
√
2γ
n
1−
√
2γ
n
)√
2γ
, Y5(n, γ) =
(
n
n− 1
)n−1−γ+ γ
n
.
Сначала изучим поведение величины Jn(γ) при γ = n
1
3 . В этом
случае получаем следующие неравенства
Jn(n
1
3 ) 6
5∏
k=1
yk(n),
где
yk(n) = Yk(n, n
1
3 ), k = 1, 5,
y1(n) =
[n
4
]n 1
3+1
[
1− 1
√
2n
1
6
]n−1−n
1
3+n− 2
3
,
y2(n) =
(
4
√
2n
1
6
)
·
(
n
5
6
√
2
)n− 2
3
,
y3(n) =
(
1− 2n−
5
3
)n
2
+n− 2
3
, y4(n) =
(
1 +
√
2n−
5
6
1−
√
2n−
5
6
)√
2n
1
6
,
y5(n) =
(
n
n− 1
)n−1−n
1
3+n− 2
3
.
Теперь рассмотрим оценки каждого из множителей yk(n), k = 1, 5.
Значения функций yk(n), k = 1, 5, и величины Jn(n
1
3 ) для n ∈
[13, 30] представлены в виде следующей таблице.
n y1 y2 y3 y4 y5 Jn(γ)
13 0,11914 2,55014 0,82816 2,07572 2,19631 1,14713
14 0,10336 2,50632 0,83644 2,00239 2,22009 0,96332
15 0,08911 2,46559 0,84375 1,93968 2,24138 0,80602
16 0,07641 2,42764 0,85027 1,88540 2,26056 0,67226
17 0,06521 2,39218 0,85613 1,83792 2,27796 0,55914
18 0,05541 2,35896 0,86142 1,79599 2,29381 0,46391
19 0,04691 2,32776 0,86624 1,75867 2,30834 0,38405
20 0,03958 2,29840 0,87065 1,72522 2,32170 0,31732
21 0,03330 2,27069 0,87471 1,69505 2,33404 0,26172
22 0,02794 2,24449 0,87845 1,66769 2,34549 0,21552
23 0,02338 2,21967 0,88192 1,64274 2,35612 0,17722
24 0,01953 2,19612 0,88514 1,61990 2,36605 0,14553
25 0,01628 2,17372 0,88815 1,59889 2,37533 0,11937
26 0,01354 2,15238 0,89096 1,57949 2,38403 0,09780
27 0,01124 2,13203 0,89360 1,56153 2,39221 0,08005
28 0,00932 2,11258 0,89608 1,54484 2,39992 0,06546
29 0,00772 2,09398 0,89842 1,52929 2,40719 0,05349
30 0,00638 2,07616 0,90063 1,51475 2,41407 0,04367
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 307
Из таблицы видно, что при всех 14 6 n 6 30, Jn(n
1
3 ) < 1.
Для значений n ∈ [31, 50] представим функцию ln y1(n) в следую-
щем виде
ln y1(n) = (n
1
3 +1) ln
(n
4
)
+n
(
1− n−1 − n−
2
3 + n−
5
3
)
ln
(
1− 1
√
2n
1
6
)
,
где
q1(n) = 1− n−1 − n−
2
3 + n−
5
3 ,
q2(n) = ln
(
1− 1
√
2n
1
6
)
.
Функция q1(x) монотонно возрастает на промежутке n > 14, тогда
справедливо неравенство q1(x) > q1(31) ≈ 0, 86968. Так как функция
q2(x) монотонно возрастает к нулю при всех n > 14, то выполняется
следующее соотношение q2(x) > q2(50) ≈ −0, 45951. Принимая во
внимание монотонность функций q1(x) и q2(x) и неравенство ln(n4 ) 6
n
1
4 , получим для функции y1(n) следующее неравенство
ln y1(n) = (n
1
3 + 1) ln
(n
4
)
+ nq1(n)q2(n)
6 (n
1
3 + 1) · n
1
4 + nq1(31)q2(50) 6 n
7
12 + n
1
4 − 0, 39963n.
Легко видеть, что функция
v1(x) = x
7
12 + x
1
4 − 0, 39963x.
монотонно убывает на промежутке x ∈ [31, 50], тогда выполняются
неравенства v(x) 6 v(31) ≈ −2, 61649 и y1(n) < 0, 07306, n ∈ [31, 50].
Рассмотрим функцию
y2(x) =
(
4
√
2x
1
6
)
·
(
x
5
6
√
2
)x− 2
3
.
Тогда
(ln y2(x))
′
x = x−
5
3
(
ln 2
3
+
5
9
ln
1
x
+
5
6
− x
2
3
6
)
.
Очевидно, что при n ∈ [31, 50] справедливо неравенство
y2(n) < y2(31) ≈ 2, 05908.
308 Оценки внутренних радиусов...
Ясно, что
y3(n) =
(
1− 2n−
5
3
)n
2
+n− 2
3
< 1, n ∈ [31, 50].
Функцию y4(n) представим в следующем виде
y4(n) =
(
1 +
√
2n−
5
6
)(n 5
6√
2
)(
√
2n− 5
6 )
√
2n
1
6 (
1−
√
2n−
5
6
)(−n
5
6√
2
)(
√
2n− 5
6 )
√
2n
1
6
.
Так как
(
1 +
√
2n−
5
6
)(n 5
6√
2
)
< e при n ∈ N и
(
1−
√
2n−
5
6
)(−n
5
6√
2
)
< 2, 9
при n > 31, то
y4(n) 6 (2, 9e)2n
− 2
3 |n=31 < 1, 51962 при n ∈ [31, 50].
Для функции y5(n) выполняется следующее соотношение
y5(n) =
(
n
n− 1
)n−1−n
1
3+n− 2
3
<
(
1 +
1
n− 1
)n−1
< e.
Таким образом, при n ∈ [31, 50] получаем, что
Jn(n
1
3 ) 6
5∏
k=1
yk(n) 6 0, 07306 · 2, 05908 · 1 · 1, 51962 · e
6 0, 62142 < 1.
Пусть теперь n > 51.
При 0 < x < 1 выполняется неравенство
ln(1− x) = −x− x2
2
− x3
3
− · · · − xn
n
− · · · < −x.
Отсюда вытекают соотношения
ln y1(n) 6 (n
1
3 + 1) ln
(n
4
)
+
(
n− 1− n
1
3 + n−
2
3
)
ln
(
1− 1
√
2n
1
6
)
6 (n
1
3 + 1) ln
(n
4
)
+
(
n− 1− n
1
3 + n−
2
3
)(
− 1
√
2n
1
6
)
= (n
1
3 + 1) ln
(n
4
)
− 1√
2
n
5
6
(
1− n−1 − n−
2
3 + n−
5
3
)
.
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 309
Таким образом,
ln y1(n) 6 (n
1
3 + 1) ln
(n
4
)
− 1√
2
n
5
6 q1(n),
где
q1(n) = 1− n−1 − n−
2
3 + n−
5
3 .
Так как
ln
(n
4
)
6 1, 05 4
√
n при n > 14,
то
ln y1(n) 6
(
n
1
3 + 1
)
1, 05 4
√
n− 1√
2
n
5
6 q1(50) при n > 50.
Рассмотрим функцию v2(x) =
(
x
1
3 + 1
)
1, 05 4
√
x− 0, 7x
5
6 , x > 50.
Легко видеть, что функция v2(x) на промежутке x > 51 монотон-
но убывает и справедливы неравенства v1(x) < v1(51) ≈ −5, 32677,
y1(n) < ev1(51) ≈ 0, 00486, n ∈ [51,∞).
В силу выше указанной монотонности функции y2(x) на проме-
жутке x > 51, справедливо неравенство
y2(n) < y2(51) ≈ 1, 81751, n ∈ [51,∞).
Как и выше, ясно что
y3(n) =
(
1− 2n−
5
3
)n
2
+n− 2
3
< 1, n ∈ [51,∞).
Аналогично предыдущему, преобразуем функцию y4(n) следую-
щим образом
y4(n) =
(
1 +
√
2n−
5
6
)(n 5
6√
2
)(
√
2n− 5
6 )
√
2n
1
6 (
1−
√
2n−
5
6
)(−n
5
6√
2
)(
√
2n− 5
6 )
√
2n
1
6
.
Поскольку
(
1 +
√
2n−
5
6
)(n 5
6√
2
)
< e при n∈N и
(
1−
√
2n−
5
6
)(−n
5
6√
2
)
<
2, 8 при n > 51, то
y4(n) 6 (2, 8e)2n
− 2
3 < 1, 34335 при n ∈ [51,∞).
Для функции y5(n) ранее было установлено неравенство
y5(n) < e.
310 Оценки внутренних радиусов...
Таким образом,
Jn(n
1
3 ) 6
5∏
k=1
yk(n) 6 0, 00486 · 1, 81751 · 1 · 1, 34335 · e
6 0, 03226 < 1.
Таким образом, подытоживая все предыдущие рассуждения по-
лучим, что Jn
(
n
1
3
)
< 1 при n > 14 и α0
√
2γ > 2.
Теперь необходимо показать, что справедливо неравенство Jn (γ)<
1 при n > 14 и γ ∈ (1, n
1
3 ) и α0
√
2γ > 2. Для этого докажем следую-
щие утверждения.
Лемма 2. При каждом фиксированном n > 14, функция mn(γ) =[
4n√
2γ
(
1− 1√
2γ
)n−1
(n− 1)−(n−1)
]1− γ
n
монотонно возрастает по γ на
промежутке (1; n
1
3 ].
Доказательство. Справедливы соотношения
ln(mn(γ)) = (1− γ
n
)
[
n ln 4− 1
2
ln 2− 1
2
ln γ
+(n− 1) ln
(
1− 1√
2γ
)
− (n− 1) ln(n− 1)
]
,
[ln(mn(γ))]
′
γ = − ln 4 +
1
2n
ln 2 +
1
2n
ln γ − n− 1
n
ln
(
1− 1√
2γ
)
+
n− 1
n
ln(n− 1) + (1− γ
n
)
1
2γ
(
n− 1√
2γ − 1
− 1
)
.
Ввиду того, что справедливы следующие неравенства
0 < ln
(
1
4
)
+
13
14
ln 13 < ln
(
1
4
)
+
n− 1
n
ln(n− 1)
и
−n− 1
n
ln
(
1− 1√
2γ
)
> 0, (1− γ
n
)
1
2γ
(
n− 1√
2γ − 1
− 1
)
> 0,
легко видеть, что mn(γ) монотонно возрастает при указанных в лем-
ме параметрах n, γ. Лемма 2 доказана.
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 311
Лемма 3. При каждом фиксированном n > 14, функционал I0n(γ)
монотонно убывает по γ на промежутке (1; n
1
3 ].
Доказательство. В лемме 1 показано, что величина I0n(γ) удовлетво-
ряет следующему равенству
I0n(γ) =
(
4
n
)n
(
2γ
n2
) γ
n(
1− 2γ
n2
)n
2
+ γ
n
[
n−
√
2γ
n+
√
2γ
]√2γ
.
Так как
ln I0n(γ) = n ln
4
n
+
γ
n
ln
2γ
n2
−
(n
2
+
γ
n
)
ln(1− 2γ
n2
) +
√
2γ ln
[
n−
√
2γ
n+
√
2γ
]
,
то [
ln I0n(γ)
]′
γ
=
1
n
ln
2γ
n2 − 2γ
+
1√
2γ
ln
[
1−
√
2γ
n
1 +
√
2γ
n
]
.
Обозначив
√
2γ
n = x, получим, что γ = 1
2n
2x2,
√
γ = 1√
2
nx и
√
2
n ≤
x ≤
√
2n−
5
6 .
Используя указанные обозначения, преобразуем выражение лога-
рифмической производной I0n(γ) следующим образом
[
ln I0n(γ)
]′
γ
=
2
n
lnx− 1
n
ln(1− x2) +
1
nx
ln
[
1− x
1 + x
]
.
Далее используя известные формулы
ln(1− x) = −x− x2
2
− ...− xn
n
− ...,
ln
1− x
1 + x
= −2x
(
1 +
1
3
x2 +
1
5
x4 + ...+
1
2k + 1
x2k + ...
)
,
получим, что
[
ln I0n(γ)
]′
γ
=
2
n
lnx+
1
n
(
x2 +
x4
2
+ ...+
x2n
n
+ ...
)
− 2
n
[
1 +
1
3
x2 +
1
5
x4 + ...+
x2k
2k + 1
]
+ . . . .
312 Оценки внутренних радиусов...
Не трудно видеть, что справедливо следующее соотношение
[
ln I0n(γ)
]′
γ
=
2
n
lnx− 2
n
+
x2
n
(
1− 2
3
)
+
x4
n
(
1
2
− 2
5
)
+ . . .+
x2n
n
(
1
k
− 2
2k + 1
)
+ . . . .
Учитывая, что n > 14,
√
2
n ≤ x ≤
√
2n−
5
6 и 1
k − 2
2k+1 = 1
k(2k+1) 6
1
3 , k > 1, получим
[
ln I0n(γ)
]′
γ
6 − 2
n
+
2
n
lnx+
1
14
(
1
3
x2 +
1
3
x4 + ...+
1
3
x2k + ...
)
= − 2
n
+
2
n
lnx+
1
42
(
x2
1− x2
)
.
В силу монотонного возрастания функции x2
1−x2 на промежутке
[0, 1), для x ∈ [
√
2
n ,
√
2n−
5
6 ], справедливы неравенства
[
ln I0n(γ)
]′
γ
6 − 2
n
(
1 + ln
1
x
)
+
1
42
(
2
n
5
3 − 2
)
< − 2
n
(
1 + ln
n
5
6
√
2
)
+
1
42
(
2
n
5
3 − 2
)
6 − 2
n
0, 65 +
5
6
lnn− 1
42
1
n
2
3
1
1− 2
n
5
3
6 − 2
n
(
0, 65− 1
n
2
3
)
< 0,
поскольку
1
42
1
1− 2
n
5
3
< 1, n > 14.
Очевидно, что 0, 65− 1
n
2
3
> 0 при всех n > 14.
Таким образом, I0n(γ) монотонно убывает по γ на всем промежутке
γ ∈ (1, n
1
3 ].
Лемма 3 доказана.
Принимая во внимание результаты лемм 2, 3 получаем, что спра-
ведливы следующие соотношения
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 313
Jn(γ) 6
mn(γ)
I0n(γ)
<
mn(n
1
3 )
I0n(n
1
3 )
< 1.
Таким образом, при n > 14 и γ ∈ (1, n
1
3 ] и α0
√
2γ > 2 выполня-
ется неравенство In(γ) < I0n(γ), а это означает, что для указанных
параметров n, γ, α0 экстремальных конфигураций не существует.
Осталось рассмотреть случай, когда α0
√
2γ < 2. В этом случае
применим метод разделяющего преобразования. Рассмотрим систему
функций πk(w) =
(
e−iθkw
) 1
αk , k = 1, n. Семейство функций
{πk(w)}nk=1 называется допустимим для разделяющего преобразова-
ния областей Bk, k = 0, n относительно углов {Pk}nk=1, Pk := {w :
arg ak < argw < arg ak+1}. Пусть Ω
(1)
k , k = 1, n, обозначает область
плоскости Cζ , полученную в результате объединения связной компо-
ненты множества πk(Bk
∩
P k), содержащей точку πk(ak), со своим
симметричным отражением относительно вещественной оси. В свою
очередь, через Ω
(2)
k , k = 1, n, обозначаем область плоскости Cζ , по-
лученную в результате объединения связной компоненты множества
πk(Bk+1
∩
P k), содержащей точку πk(ak+1), со своим симметричным
отражением относительно вещественной оси, Bn+1 := B1, πn(an+1) :=
πn(a1). Кроме того, Ω(0)
k будет обозначать область плоскости Cζ , по-
лученную в результате объединения связной компоненты множества
πk(B0
∩
P k), содержащей точку ζ = 0, со своим симметричным отра-
жением относительно вещественной оси. Обозначим
πk(ak) := ω
(1)
k = 1, πk(ak+1) := ω
(2)
k = −1, k = 1, n, πn(an+1) := ω(2)
n .
Из определения функций πk вытекает, что справедливы следую-
щие асимптотические соотношения
|πk(w)− 1| ∼ 1
αk
|ak|
1
αk
−1 · |w − ak|, w → ak, w ∈ Pk,
|πk(w) + 1| ∼ 1
αk
|ak+1|
1
αk
−1 · |w − ak+1|, w → ak+1, w ∈ Pk,
|πk(w)| ∼ |w|
1
αk , w → 0, w ∈ Pk.
В соответствии с методом, предложенным В. Н. Дубининым (см.
[9]), получаем оценки
314 Оценки внутренних радиусов...
r (B0, 0) 6
[
n∏
k=1
rα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)] 1
2
,
r (Bk, ak) 6
[
αkr
(
Ω
(1)
k , 1
)
· αk−1r
(
Ω
(2)
k ,−1
)] 1
2
,
тогда
In(γ) = rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak)
6
[
n∏
k=1
rγα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)] 1
2
[
n∏
k=1
α2
kr
(
Ω
(1)
k , 1
)
r
(
Ω
(2)
k ,−1
)] 1
2
=
n∏
k=1
αk
[
n∏
k=1
rγα
2
k
(
Ω
(0)
k , 0
)
r
(
Ω
(1)
k , 1
)
r
(
Ω
(2)
k ,−1
)] 1
2
. (7)
Аналогично работе [12], произведем оценку функционала
rα
2
kγ(G0, 0)r(G1, 1)r(G2,−1), где области G0, G1, G2 являются попар-
но непересекающимися областями комплексной плоскости, причем
0 ∈ G0, 1 ∈ G1, −1 ∈ G2 и области G1, G2 обладают симметрией
относительно единичной окружности. К областям G0, G1, G2 приме-
ним разделяющее преобразование следующего вида. Пусть
Mk := {z : (−1)k+1Imz > 0}, k ∈ {1, 2},
D1 =M1∩K1, D2 = C\K1∩M1, D3 =M2∩K1, D4 = C\K1∩M2,
ζ = β(z) =
2z
1 + z2
,
где K1 – открытый единичный круг комплексной плоскости. Из опре-
деления функции β(z), получаем следующие асимптотические соо-
тношения
|β(z)| ∼ 2|z|, z → 0, z ∈ Dk,
|β(z)− 1| ∼ 1
2
|z − 1|2 , z → 1, z ∈ Dk,
|β(z) + 1| ∼ 1
2
|z + 1|2 , z → −1, z ∈ Dk.
ПустьG(0)
k , k = 1, 4, обозначает область плоскости Cζ , полученную
в результате объединения связной компоненты множества β(G0
∩
Dk),
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 315
содержащей точку 0, со своим симметричным отражением относи-
тельно вещественной оси. Через G
(1)
k , k = 1, 4, обозначим область
плоскости Cζ , полученную в результате объединения связной компо-
ненты множества β(G1
∩
Dk), содержащей точку 1, со своим симме-
тричным отражением относительно вещественной оси. Кроме того,
пусть G(2)
k , k = 1, 4, обозначает область плоскости Cζ , полученную в
результате объединения связной компоненты множества β(G2
∩
Dk),
содержащей точку −1, со своим симметричным отражением относи-
тельно вещественной оси.
Тогда имеем неравенства
r (G0, 0) ≤
[
1
2
r
(
G
(1)
0 , 0
)
· 1
2
r
(
G
(2)
0 , 0
)] 1
2
,
r (G1, 1) ≤
[
2r
(
G
(1)
1 , 1
)
2r
(
G
(2)
1 , 1
)
2r
(
G
(3)
1 , 1
)
2r
(
G
(4)
1 , 1
)] 1
8
,
r (G2,−1)≤
[
2r
(
G
(1)
2 ,−1
)
2r
(
G
(2)
2 ,−1
)
2r
(
G
(3)
2 ,−1
)
2r
(
G
(4)
2 ,−1
)] 1
8
.
Поскольку области G1, G2, обладают симметрией относительно еди-
ничной окружности, то области G
(1)
1 , G
(3)
1 , G
(1)
2 , G
(3)
2 , совпадают со-
ответственно с областями G
(2)
1 , G
(4)
1 , G
(2)
2 G
(4)
2 , и справедливы нера-
венства
r (G1, 1) ≤
[
24r2
(
G
(1)
1 , 1
)
r2
(
G
(3)
1 , 1
)] 1
8
=
[
22r
(
G
(1)
1 , 1
)
r
(
G
(3)
1 , 1
)] 1
4
,
r (G2,−1) ≤
[
24r2
(
G
(1)
2 ,−1
)
r2
(
G
(3)
2 ,−1
)] 1
8
=
[
22r
(
G
(1)
2 ,−1
)
r
(
G
(3)
2 ,−1
)] 1
4
.
И окончательно получим
rα
2
kγ (G0, 0) r (G1, 1) r (G2,−1)
≤ 21−α2
kγ
[
r2α
2
kγ
(
G
(1)
0 , 0
)
r
(
G
(1)
1 , 1
)
r
(
G
(1)
2 ,−1
)] 1
2
×
[
r2α
2
kγ
(
G
(3)
0 , 0
)
r
(
G
(3)
1 , 1
)
r
(
G
(3)
2 ,−1
)] 1
2
.
316 Оценки внутренних радиусов...
В случае когда 2α2
kγ ≤ 4, в силу известных результатов [9, 12],
получаем
r2α
2
kγ
(
G
(s)
0 , 0
)
r
(
G
(s)
1 , 1
)
r
(
G
(s)
2 ,−1
)
≤ r2α
2
kγ
(
G̃
(s)
0 , 0
)
r
(
G̃
(s)
1 , 1
)
r
(
G̃
(s)
2 ,−1
)
=
22γα
2
k+6(αk
√
2γ)2γα
2
k
(2− αk
√
2γ)
1
2
(2−αk
√
2γ)2(2 + αk
√
2γ)
1
2
(2+αk
√
2γ)2
, s = 1, 3,
где G̃
(0)
0 , G̃
(0)
1 , G̃
(0)
2 являются круговыми областями квадратичного
дифференциала
Q(z)dz2 = −
(4− 2α2
kγ)z
2 + 2α2
kγ
z2(z2 − 1)2
dz2, (8)
и 0 ∈ G̃
(0)
0 , 1 ∈ G̃
(0)
1 , −1 ∈ G̃
(0)
2 .
Учитывая, что α2
kγ ≤ 2, то из всего выше приведенного следует,
что
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤
(
1√
2γ
)n n∏
k=1
(
αk
√
2γ
)
2
1−α2
kγ
2
×
[
22γα
2
k+6(αk
√
2γ)2γα
2
k
(2− αk
√
2γ)
1
2
(2−αk
√
2γ)2(2 + αk
√
2γ)
1
2
(2+αk
√
2γ)2
] 1
4
=
(
1√
2γ
)n n∏
k=1
[
28 (αk
√
2γ)2γα
2
k+4
(2− αk
√
2γ)
1
2
(2−αk
√
2γ)2(2 + αk
√
2γ)
1
2
(2+αk
√
2γ)2
] 1
4
.
Введем в рассмотрение следующую функцию
Ψ(x) = 28 · xx2+4 · (2− x)−
1
2
(2−x)2 · (2 + x)−
1
2
(2+x)2 ,
где x = αk
√
2γ, x ∈ [0, 2].
Рассмотрим экстремальную задачу
n∏
k=1
Ψ(xk) −→ max,
n∑
k=1
xk = 2
√
2γ, xk = αk
√
2γ, 0 < xk < 2. (9)
Пусть F (x) = ln (Ψ(x)) и X(0) =
{
x
(0)
k
}n
k=1
– произвольная система
экстремальных точек задачи (9).
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 317
Аналогично рассуждениям, приведенным в работе [10] получаем
утверждение: если 0 < x
(0)
k < x
(0)
j < 2, k ̸= j, тогда имеет место
соотношение
F ′(x
(0)
k ) = F ′(x
(0)
j ),
и если некоторое x(0)j = 2, тогда для произвольного x(0)k < 2,
F ′(x
(0)
k ) 6 F ′(x
(0)
j ) = F ′(2) = 1,
где k, j = 1, n, k ̸= j, F ′(x) = 2x lnx+(2−x) ln(2−x)−(2+x) ln(2+x)+ 4
x
(см. Рис. 1).
Рис. 1: График функции F ′(x)
Убедимся, что при условиях теоремы 1 выполняется условие
x
(0)
1 = x
(0)
2 = . . . = x(0)n .
Функция
F ′′(x) = ln
(
x2
4− x2
)
− 4
x2
строго возрастает на (0, 2) и существует x0, x0 ≈ 1, 768828 такое, что
F ′′(x0) = 0.
Тогда функция t=F ′(x) монотонно убывает на промежутке (0, x0]
и монотонно возрастает на промежутке [x0, 2]. На промежутке [t0, t1],
где t0 = F ′(x0) ≈ −1, 059, а значение t1 = F ′(2) ≈ −0, 78, имеются
318 Оценки внутренних радиусов...
два решения x1(t) и x2(t) уравнения F ′(x) = t, где t ∈ [t0, t1], причем
1, 45 < x1(t) 6 x0 6 x2(t) < 2.
Предположим, что существует система экстремальных точек x(0)k
задачи (9) такая, что одна из этих точек принадлежит интервалу
(x0, 2). Тогда имеет место неравенство (x1 − 1, 45)n + (x2 − x1) > 0
для n > 14. Отсюда (n− 1)x1 + x2 > 1, 45n.
С другой стороны необходимо, чтобы (n− 1)x1 + x2 = 2
√
2γ.
Таким образом, 2
√
2γ > 1, 45n, то есть γ > 0, 2625n2.
Следовательно, для того, чтобы одна из экстремальных точек,
а именно x2(t) ∈ [x0, 2) необходимо, чтобы выполнялось неравенство
γ > 0, 2625n2. С другой стороны, γ ∈ (1, n
1
3 ), тогда необходимо, чтобы
выполнялось неравенство 0, 2625n2 < n
1
3 , а это не возможно при n ≥
14. Таким образом, x2(t) обязано лежать на промежутке (0, x0]. Тогда
с учетом леммы 1 получается, что все x(0)k = 2
√
2γ
n .
rγ(B0, 0)
n∏
k=1
r(Bk, ak) ≤
(
1√
2γ
)n [
Ψ
(
2
n
√
2γ
)]n
4
=
(
4
n
)n
(
2γ
n2
) γ
n[
1− 2γ
n2
]n
2
+ γ
n
[
n−
√
2γ
n+
√
2γ
]√2γ
.
Поскольку для экстремального случай все αk = 2
n , то квадрати-
чный дифференциал (8) принимает вид
Q(z)dz2 = −(n2 − 2γ)z2 + 2γ
z2(z2 − 1)2
dz2. (10)
Делая в квадратичном дифференциале (10) замену переменной по
формуле z = 2w
n
2 /(1 + wn), получаем квадратичный дифференциал
(2), который описывает экстремальную конфигурацию.
Теорема 1 доказана. 2
Следствие 1. Пусть n ∈ N, n ≥ 14, γ ∈ (1, γn], γn = n
1
3 . Тогда
для любых различных точек единичной окружности и любого набора
взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 0, n, a0 =
0, причем области Bk, k = 1, n, обладают симметрией относительно
единичной окружности, справедливо неравенство
rγ (B0, 0)
n∏
k=1
r (Bk, ak) ≤ rγ
(
B
(0)
0 , 0
) n∏
k=1
r
(
B
(0)
k , a
(0)
k
)
, (11)
А. К. Бахтин, Л. В. Выговская 319
где a(0)k и B
(0)
k , k = 0, n, являются, соответственно, полюсами и кру-
говыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −γw
2n + 2(n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (12)
Литература
[1] В. Н. Дубинин, Метод симметризации в геометрической теории функций
комплексного переменного // Успехи мат. наук, 49 (295) (1994), No. 1, 3–76.
[2] Л. Koвалев, О внутренних радиусах симметричных неналегающих обла-
стей // Изв. вузов. Матем., (2000), No. 6, 80–81.
[3] , Л. Koвалев, О трех непересекающихся областях // Дальневост. матем.
журн., 1 (2000), No. 1, 3–7.
[4] Я. В. Заболотный, Л. В. Выговская, О произведении внутренних радиусов
симметричных многосвязных областей // Укр. матем. вiсник, 14 (2017),
No. 3, 441–452.
[5] L. V. Vyhivska, On the problem of V.N. Dubinin for symmetric multiply connected
domains // Journal of Mathematical Sciences, 229 (2018), No. 1, 108–113.
[6] Г. Бахтина, О конформных радиусах симметричных неналегающих обла-
стей // Современ. вопр. веществен. и комплексн. анализа, Ин–т матем. АН
УССР, Киев, (1984), 21–27.
[7] A. Бахтин, Г. Бахтина, Ю. Зелинский, Тополого-алгебраические структуры и
методы в комплексном анализе // Труды Ин–та математики НАН Украины,
73 (2008), 308.
[8] М. Лаврентьев, К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та
АН СССР., 5 (1934), 159–245.
[9] В. Дубинин, Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремаль-
ном разбиении // Аналитическая теория чисел и теория функций, Зап. на-
учн. сем. ЛОМИ, 168, Изд–во “Наука”, Ленинград. отд., Л., (1988), 48–66.
[10] Л. Koвалев, К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами
на окружности // Дальневост. матем. сб., 2 (1996), 96–98.
[11] А. К. Бахтин. Оценки внутренних радиусов для взаимно непересекающихся
областей // Зб. пр. Iнституту математики НАН України, 14 (2017), No. 1,
25–33.
[12] А. К. Бахтин, Г. П.Бахтина, И. В. Денега, Экстремальное разбиение ком-
плексной плоскости с фиксированными полюсами // Зб. праць Iн-ту матем.
НАН України, 14 (2017), No. 1, 34–38.
320 Оценки внутренних радиусов...
[13] Дж. А. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, М.,
Издательство иностр. лит., 1962.
Сведения об авторах
Александр
Константинович
Бахтин
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: abahtin@imath.kiev.ua
Людмила
Вячеславовна
Выговская
Институт математики НАН Украины,
Киев, Украина
E-Mail: liudmylavygivska@ukr.net
|