О простых концах на римановых многообразиях

Изучается граничное поведение классов кольцевых отображений на римановых многообразиях, являющихся обобщением квазиконформных отображений по Герингу. В терминах простых концов регулярных областей получены теоремы о непрерывном продолжении указанных классов на границу области....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автори:	Ильютко, Д.П., Севостьянов, Е.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2018
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169410
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О простых концах на римановых многообразиях / Д.П. Ильютко, Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 358-382. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-169410
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1694102020-06-13T01:27:08Z О простых концах на римановых многообразиях Ильютко, Д.П. Севостьянов, Е.А. Изучается граничное поведение классов кольцевых отображений на римановых многообразиях, являющихся обобщением квазиконформных отображений по Герингу. В терминах простых концов регулярных областей получены теоремы о непрерывном продолжении указанных классов на границу области. We study the boundary behavior of the classes of ring mappings on Riemannian manifolds, which are a generalization of quasiconformal mappings by Gehring. In terms of the prime ends of regular domains, the theorems of continuous extension of those classes onto the boundary of a domain are presented. 2018 Article О простых концах на римановых многообразиях / Д.П. Ильютко, Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 358-382. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C65, 30D40, 31B15, 31C12 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169410 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Изучается граничное поведение классов кольцевых отображений на римановых многообразиях, являющихся обобщением квазиконформных отображений по Герингу. В терминах простых концов регулярных областей получены теоремы о непрерывном продолжении указанных классов на границу области.
format	Article
author	Ильютко, Д.П. Севостьянов, Е.А.
spellingShingle	Ильютко, Д.П. Севостьянов, Е.А. О простых концах на римановых многообразиях Український математичний вісник
author_facet	Ильютко, Д.П. Севостьянов, Е.А.
author_sort	Ильютко, Д.П.
title	О простых концах на римановых многообразиях
title_short	О простых концах на римановых многообразиях
title_full	О простых концах на римановых многообразиях
title_fullStr	О простых концах на римановых многообразиях
title_full_unstemmed	О простых концах на римановых многообразиях
title_sort	о простых концах на римановых многообразиях
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169410
citation_txt	О простых концах на римановых многообразиях / Д.П. Ильютко, Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 358-382. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT ilʹûtkodp oprostyhkoncahnarimanovyhmnogoobraziâh AT sevostʹânovea oprostyhkoncahnarimanovyhmnogoobraziâh
first_indexed	2025-07-15T04:09:05Z
last_indexed	2025-07-15T04:09:05Z
_version_	1837684538540556288
fulltext	Український математичний вiсник Том 15 (2018), № 3, 358 – 382 О простых концах на римановых многообразиях Денис П. Ильютко, Евгений А. Севостьянов (Представлена В. Я. Гутлянским) Аннотация. Изучается граничное поведение классов кольцевых отображений на римановых многообразиях, являющихся обобщени- ем квазиконформных отображений по Герингу. В терминах простых концов регулярных областей получены теоремы о непрерывном про- должении указанных классов на границу области. 2010 MSC. 30C65, 30D40, 31B15, 31C12. Ключевые слова и фразы. Простые концы, отображения с огра- ниченным и конечным искажением, модули, ёмкости. 1. Введение Основная цель настоящей работы – изложить наиболее важные результаты, касающиеся граничного поведения отображений между римановыми многообразиями в случае плохих границ. В статье рас- смотрены квазиконформные отображения и некоторые их обобщения, исследование которых осуществлено методом модулей. Одной из пер- вых работ в этом направлении является известная статья Някки [1], в которой предложено решение вопроса о граничном продолжении квазиконформных отображений евклидового пространства в терми- нах простых концов, см. также [2–7]. Приведём теперь необходимые для изложения сведения. Всюду ниже Mn и Mn ∗ – римановы многообразия размерности n > 2 с гео- дезическими расстояниями d и d∗ соответственно, D,D ′ – области, лежащие в Mn и Mn ∗ соответственно, а Q : Mn → [0,∞] – измери- мая относительно меры объёма функция, равная нулю вне задан- ной области D (при этом, при всех x ∈ D мы предполагаем, что Статья поступила в редакцию 14.02.2018 Исследование первого автора выполнено при поддержке РФФИ (грант № 19-01- 00775) и НШ (грант № 6399.2018.1). ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 359 0 < Q(x) < ∞). Мы считаем далее известными понятия римано- вой метрики, геодезического расстояния, объёма и длины на много- образии (см. [5]). По умолчанию замыкание A и граница ∂A мно- жества A ⊂ Mn понимаются в смысле геодезического расстояния на Mn. Мы также считаем известными понятия кривых и модуля се- мейств кривых (поверхностей), которые для многообразий также мо- гут быть найдены в работе [5] (см. также классическую работу Фу- гледе по этому поводу [8]). Всюду далее, если не оговорено противное, ∥x∥ = √ (x1)2 + . . .+ (xn)2, где x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Для удобства положим (r > 0) Bn := {x ∈ Rn \| ∥x∥ < 1}, Bn + := {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn \| ∥x∥ < 1, xn > 0}, Bn−1 := {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn \| ∥x∥ < 1, xn = 0}, S+(x0, r) = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn \| ∥x− x0∥ = r, xn > 0}, B+(x0, r) = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn \| ∥x− x0∥ < r, xn > 0} в Rn и B(x0, r) = {x ∈ Mn \| d(x,x0) < r}, S(x0, r) = {x ∈ Mn \| d(x,x0) = r}, A(x0, r1, r2) = {x ∈ Mn \| r1 < d(x,x0) < r2}, для любого многообразия Mn, где d(x,y) = ∥x−y∥ для случая Mn = Rn. Геодезическим расстоянием между множествами F, F ∗ ⊂ D ⊂ Mn, где D – область в Mn, будем называть величину d(F, F ∗) := inf x∈F,y∈F ∗ d(x,y). Также геодезическим диаметром F будем называть величину d(F ) := sup x,y∈F d(x,y). Определение 1.1. Гомеоморфизм f : D → D ′ между областями D ⊂ Mn и D ′ ⊂ Mn ∗ будем называть квазиконформным отображени- ем, если для каждого семейства кривых Γ в области D и некоторой постоянной 1 6 K <∞ мы имеем (1/K) ·M(Γ) 6M(f(Γ)) 6 K ·M(Γ), где M(Γ) обозначает модуль семейства кривых Γ (см., напр., [5, ра- здел 1.8]). 360 О простых концах на римановых многообразиях Следующие определения могут быть найдены в работе [2]. Пусть ω – область в Rk, k = 1, . . . , n−1. Непрерывное отображение σ : ω → Mn называется k-мерной поверхностью в Mn. Поверхностью будет на- зываться произвольная (n − 1)-мерная поверхность σ в Mn. Поверх- ность σ называется жордановой поверхностью, если σ(x) ̸= σ(y) при x ̸= y. Далее мы иногда будем использовать σ для обозначения все- го образа σ(ω) ⊂ Mn при отображении σ, σ вместо σ(ω) в Mn и ∂σ вместо σ(ω) \ σ(ω). Жорданова поверхность σ : ω → D в области D называется разрезом области D, если σ разделяет D, т. е. D \σ имеет больше одной компоненты, ∂σ ∩D = ∅ и ∂σ ∩ ∂D ̸= ∅. Последовательность σ1, σ2, . . . , σm, . . . разрезов области D называ- ется цепью, если: (i) множество σm+1 содержится в точности в одной компоненте dm множества D \ σm, при этом, σm−1 ⊂ D \ (σm ∪ dm); (ii) ∩ dm = ∅. Согласно определению, цепь разрезов {σm} определяет цепь обла- стей dm ⊂ D, таких, что ∂ dm ∩ D ⊂ σm и d1 ⊃ d2 ⊃ . . . ⊃ dm ⊃ . . .. Две цепи разрезов {σm} и {σ ′ k} называются эквивалентными, если для каждого натурального числа m ∈ N область dm содержит все области d ′ k за исключением конечного числа, и для каждого k ∈ N область d ′ k также содержит все области dm за исключением конечного числа. Определение 1.2. Конец области D – это класс эквивалентных це- пей разрезов области D. Пусть K – конец области D в Mn, {σm} и {σ ′ m} – две цепи в K, dm и d ′ m – области, соответствующие σm и σ ′ m. Тогда ∞∩ m=1 dm ⊂ ∞∩ m=1 d ′ m ⊂ ∞∩ m=1 dm , и, таким образом, ∞∩ m=1 dm = ∞∩ m=1 d ′ m , т. е. множество I(K) = ∞∩ m=1 dm зависит только от K и не зависит от выбора цепи разрезов {σm}. Множество I(K) называется телом конца K. Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 361 Хорошо известно, что I(K) является континуумом, т. е. связным компактным множеством, см., напр., [9, I(9.12)]. Кроме того, ввиду условий (i) и (ii), имеем, что I(K) = ∞∩ m=1 (∂dm ∩ ∂D) = ∂D ∩ ∞∩ m=1 ∂dm. Таким образом, получаем следующее утверждение. Предложение 1.1. Для каждого конца K области D в Mn I(K) ⊂ ∂D. Всюду далее, как обычно, Γ(E,F,D) обозначает семейство всех таких кривых γ : [a, b] → D, что γ(a) ∈ E и γ(b) ∈ F. Следуя [1], будем говорить, что конец K является простым концом, если K содержит цепь разрезов {σm}, такую, что M(Γ(σm, σm+1, D)) <∞ ∀ m ∈ N (1.1) и lim m→∞ M(Γ(C, σm, D)) = 0 (1.2) для произвольного континуума C в D. В дальнейшем используются следующие обозначения: множество простых концов, соответствую- щих области D, обозначается символом ED, а пополнение области D её простыми концами обозначается DP . Определение 1.3. Будем говорить, что граница области D в Mn яв- ляется локально квазиконформной, если каждая точка x0 ∈ ∂D имеет окрестность U в Mn, которая может быть отображена квазиконформ- ным отображением φ на единичный шар Bn ⊂ Rn так, что φ(∂D∩U) является пересечением Bn с координатной гиперплоскостью. Рассмотрим также следующее определение (см. [2]). Определение 1.4. Будем называть цепь разрезов {σm} регулярной, если σm ∩ σm+1 = ∅ при каждом m ∈ N и, кроме того, d(σm) → 0 при m → ∞. Если конец содержит по крайней мере одну регуляр- ную цепь, то этот конец будем называть регулярным. Говорим, что ограниченная область D в Mn регулярна, если D может быть ква- зиконформно отображена на область с локально квазиконформной границей и, кроме того, каждый простой конец из ED является регу- лярным. 362 О простых концах на римановых многообразиях Заметим, что в пространстве Rn каждый простой конец регуляр- ной области содержит цепь разрезов со свойством d(σm) → 0 при m→ ∞, и наоборот, если в конце указанное свойство имеет место, то он – простой (см. [1, теорема 5.1]). Как обычно, Mp обозначает p-модуль семейств кривых на мно- гообразии (см., напр., [10, раздел 1.3]). Для дальнейшего изложения будет полезным следующее определение (см. [11, разд. 13.3]). Определение 1.5. Будем говорить, что граница ∂D области D си- льно достижима в точке x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, если для любой окрестности U точки x0 найдется компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U точки x0 и число δ > 0, такие, что Mp(Γ(E,F,D)) > δ (1.3) для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V. Если p = n, то приставка «p-модуля» по отношению к (1.3), как правило, опуска- ется. Смысл условия (1.3) состоит в том, что при приближении кон- тинуума F фиксированного диаметра к точке границы области, мо- дуль семейств кривых, соединяющих этот континуум с некоторым фиксированным компактом, не стремится к нулю. Указанное свой- ство имеет место, в частности, для «хороших» областей в Rn: еди- ничного шара, всего пространства Rn, а также любой ограниченной выпуклой области. Несложно также привести примеры областей, в которых данное условие нарушается. Определение 1.6. Отображение f : X → Y будем называть дискре- тным, если для каждого y ∈ Y множество f −1(y) состоит только из изолированных точек. Отображение f : D → Mn ∗ , D ⊂ Mn, будем называть открытым, если для каждого открытого множества A ⊂ D множество f(A) открыто в Mn ∗ . Отображение f : D → Mn ∗ , D ⊂ Mn, будем называть замкнутым, если для каждого замкнутого множества A ⊂ D множе- ство f(A) замкнуто в f(D). Определение функций класса FMO (конечного среднего колеба- ния), использующееся далее по тексту, также могут быть найдены в работах [5, 10]. Ниже через DP и D ′ P мы обозначаем пополнение регулярных областей D ⊂ Mn и D ′ ⊂ Mn ∗ их простыми концами (см. замеча- ние 2.1 по этому поводу). Как будет показано ниже, DP и D ′ P можно Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 363 интерпретировать как метрические пространства относительно неко- торых метрик ρ и ρ∗, соответственно, и непрерывность какого-либо отображения f между DP и D′ P следует понимать именно относи- тельно них. Пусть теперь 0 < r1 < r2 < r0, A = A(x0, r1, r2) = {x ∈ Mn \| r1 < d(x,x0) < r2}, Si = S(x0, ri), i = 1, 2, – геодезические сферы с центром в точке x0 и радиусами r1 и r2 соответственно, а Γ (S1, S2, A) обозначает семей- ство всех кривых, соединяющих S1 и S2 внутри области A. Пусть p > 1, Q : Mn → [0,∞] – измеримая по Лебегу функция, Q(x) ≡ 0 при всех x ̸∈ D. Отображение f : D → Mn ∗ будем называть кольцевым Q- отображением относительно p-модуля в точке x0 ∈ ∂D, если для некоторого r0 = r(x0) > 0, такого, что шар B(x0, r0) лежит в некото- рой нормальной окрестности точки x0, произвольного “сферического” кольца A = A(x0, r1, r2), центрированного в точке x0, радиусами r1 и r2, 0 < r1 < r2 < r0, и любых континуумов E1 ⊂ B(x0, r1) ∩ D, E2 ⊂ Mn \B(x0, r2) ∩D отображение f удовлетворяет соотношению Mp (f (Γ (E1, E2, D))) 6 ∫ A Q(x)ηp(d(x,x0)) dv(x) (1.4) для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞], такой, что имеет место соотношение r2∫ r1 η(r)dr > 1 . (1.5) Основной результат настоящей статьи содержится в следующем утверждении. Теорема 1.1. Пусть n > 2, области D и D ′ имеют компактные замыкания, Q : Mn → [0,∞], Q(x) ≡ 0 на Mn \ D, p > 1, область D ⊂ Mn регулярна, а D ′ ⊂ Mn ∗ имеет локально квазиконформную границу, являющуюся сильно достижимой относительно p-модуля. Пусть также отображение f : D → D ′, D ′ = f(D), является коль- цевым Q-отображением относительно p-модуля в каждой точке x0 ∈ ∂D, кроме того, f является дискретным, открытым и замкну- тым. Тогда f продолжается до непрерывного отображения f : DP → D ′ P , f(DP ) = D ′ P , если выполнено одно из следующих условий: 364 О простых концах на римановых многообразиях 1) либо в каждой точке x0 ∈ ∂D при некотором ε0 = ε0(x0) > 0 и всех 0 < ε < ε0 ε0∫ ε dt t n−1 p−1 q 1 p−1 x0 (t) <∞ , ε0∫ 0 dt t n−1 p−1 q 1 p−1 x0 (t) = ∞ , (1.6) где qx0(r) := 1 rn−1 ∫ S(x0,r) Q(x) dA; 2) либо Q ∈ FMO(x0) в каждой точке x0 ∈ ∂D при условии, что p 6 n. 2. Аналог лемм Някки для многообразий Для дальнейшего изложения необходимы вспомогательные утвер- ждения о соответствии простых концов между областями, одна из ко- торых является квазиконформным образом области с локально ква- зиконформной границей. Для пространства Rn такие утверждения известны и доказаны Някки в его работе [1, теорема 4.1]. Так как справедливость этих результатов на многообразиях нам неизвестна, мы установим эти результаты путём прямого доказательства. Следу- ющее утверждение содержит расшифровку понятия локально квази- конформной границы в терминах соотношений вида (1.3). Его дока- зательство дословно повторяет доказательство [12, теорема 17.10], и потому опускается. Лемма 2.1. Пусть D ⊂ Mn – область с локально квазиконформ- ной границей, тогда граница этой области является слабо плоской и, в частности, является сильно достижимой. Более того,, окре- стность U в определении локально квазиконформной границы мо- жет быть взята сколь угодно малой, при этом, в этом определении можно считать φ(x0) = 0. Здесь, как обычно, граница ∂D области D называется слабой пло- ской в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 и для каждого P > 0 найдется окрестность V ⊂ U точки x0, такая, что для любых двух континуумов F и G, пересекающих ∂U и ∂V, выполняе- тся неравенство M(Γ(E,F,D)) > P (см. [11, разд. 13.9]). Граница ∂D области D будет называться слабой плоской, если она является сла- бо плоской в каждой точке x0 ∈ D. Справедлива также следующая лемма (см. [1, лемма 3.5]). Лемма 2.2. Предположим, D ⊂ Mn – область с локально квазикон- формной границей, такая, что D является компактом в Mn. Тогда Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 365 тело I(P ) простого конца P ∈ ED состоит из одной точки p ∈ ∂D и d(σk, σk+1) > 0. Доказательство. По предложению 1.1 имеем: I(P ) ⊂ ∂D. Заметим, прежде всего, что I(P ) ̸= ∅. Действительно, I(P ) = ∞∩ m=1 Dm, где Dm – соответствующая P последовательность областей. Тогда I(P ) ̸= ∅ ввиду компактности D ⊃ Dm и аксиомы Кантора (см. [13, (2 ′), § 41, гл. 4]). Покажем, что I(P ) – одноточечное множество. Предположим про- тивное, то есть, существуют, по крайней мере, две точки x,y ∈ I(P ). Тогда d(x,y) = r > 0. Пусть Dm, m = 1, 2, . . . , — последовательность областей в Mn, соответствующих простому концу P, тогда, согласно определению, I(P ) = ∞∩ m=1 Dm. В таком случае, найдутся последова- тельности xm,ym ∈ Dm, такие, что xm → x и ym → y при m → ∞. В силу неравенства треугольника, d(xm,ym) > r/2 при достаточно больших m > m0 ∈ N. Соединим точки xm и ym кривыми Cm в области Dm. По построению d(Cm) > r/2 при m > m0 ∈ N. Пусть U0 – произвольная окрестность точки x, не содержащая то- чки y. По лемме 2.1 область D имеет слабо плоскую границу, поэтому найдётся окрестность V0 ⊂ U0, такая, что для всяких континуумов F и G, пересекающих ∂U0 и ∂V0, выполняется условие M(Γ(E,F,D)) > 1/2. (2.1) Поскольку последовательность xm сходится к x, то при всех m > m1, m1 > m0, m1 ∈ N, все точки xm принадлежат окрестности V0. Таким образом, континуум Cm пересекает ∂U0 и ∂V0 ввиду [13, теорема 1.I.5, § 46]. Рассмотрим произвольную кривую C, соединяющую ∂U0 ∩D и ∂V0 ∩D. Тогда ввиду (2.1) мы будем иметь, что M(Γ(Cm, C,D)) > 1/2. С другой стороны, очевидно, при больших m > m2, m2 ∈ N, выпол- нено соотношение Γ(Cm, C,D) > Γ(σm, C,D), откуда в силу минори- рования модуля следует, что M(Γ(σm, C,D)) >M(Γ(Cm, C,D)) > 1/2 , что противоречит соотношению (1.2). Полученное противоречие ука- зывает на неверность предположения о наличии не менее двух точек в множестве I(P ). 366 О простых концах на римановых многообразиях Осталось показать, что d(σk, σk+1) > 0. Предположим противное, а именно, пусть при некотором k ∈ N выполнено d(σk, σk+1) = 0. Так как любое замкнутое подмножество компакта — компакт (см. [13, те- орема 2.II.4]), σk и σk+1 – непересекающиеся компактные подмноже- ства D. Заметим, что по определению 0 = d(σk, σk+1) = inf x∈σk,y∈σk+1 d(x,y) . В силу определения точной нижней грани найдутся последователь- ности xl ∈ σk, yl ∈ σk+1, такие, что d(xl,yl) → d(σk, σk+1) при l → ∞. Поскольку σk и σk+1 – компакты, без ограничения общности рассу- ждений мы можем считать, что обе последовательности xl и yl схо- дятся к точкам x0 ∈ σk и y0 ∈ σk+1 соответственно. Тогда в силу неравенства треугольника d(x0,y0) 6 d(x0,xl) + d(xl,yl) + d(yl,y0) → 0, l → ∞ , откуда следует x0 = y0. Таким образом, σk ∩ σk+1 ̸= ∅, то есть, найдётся точка p0 ∈ σk ∩σk+1. Заметим, что p0 ∈ ∂D. Выберем окре- стность U точки p0, такую, что ∂U ∩ σk ̸= ∅ ̸= σk+1 ∩ ∂U. Ввиду леммы 2.1 для каждого δ > 0 существует окрестность V ⊂ U этой же точки p0, такая, что M(Γ(E,F,D)) > δ как только E и F пересекают ∂U и ∂V. Ввиду условия p0 ∈ σk∩σk+1 мы можем считать, что условия ∂V ∩ σk ̸= ∅ ̸= σk+1 ∩ ∂V выполнены. Тогда M(Γ(σk, σk+1, D)) = ∞ ввиду произвольности δ > 0. Последнее противоречит свойству (1.1), входящего в определение простого конца. Полученное противоречие указывает на неверность предположения d(σk, σk+1) = 0. Лемма до- казана. Следующее утверждение для пространства Rn и областей с ло- кально квазиконформными границами также доказано в [1, лемма 3.5]. Лемма 2.3. Предположим, D ⊂ Mn – область с локально квазикон- формной границей, такая, что D является компактом в Mn. Тогда для каждой точки x0 ∈ ∂D найдётся простой конец P, для которого I(P ) = {x0}. Доказательство. Пусть x0 ∈ ∂D и φ – квазиконформное отобра- жение из определения локально квазиконформной границы. Ввиду леммы 2.1 мы можем считать, что φ(x0) = 0. Легко видеть, что найдётся последовательность сфер S(0, 1/2k), k = 1, 2, . . . , и убыва- ющая последовательность окрестностей Vk точки x0, для которых φ(Vk) = B(0, 1/2k), φ(∂Vk ∩D) = S(0, 1/2k)∩Bn +. В самом деле, выбе- рем окрестность V ⊂ U, содержащую точку x0. Если 0 < r < 1, Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 367 то шар B(0, r) лежит строго внутри Bn. Поскольку φ – гомеомор- физм в U, то, в частности, φ−1 – непрерывное отображение. В таком случае, найдётся 0 < r < 1 со следующим свойством: из условия \|φ(x)\| < r вытекает, что x ∈ V. Кроме того, если φ(x) ∈ Bn + ∪ Bn−1 и \|φ(x)\| < r, то x ∈ V ∩ D. Полагая Ur := φ−1(B(0, r)), мы заме- тим, что Ur ⊂ V и Ur является окрестностью точки x0, при этом, φ−1(S(0, r) ∩ Bn +) = ∂Ur ∩ D, поскольку φ – гомеоморфизм. При- веденные рассуждения доказывают существование требуемой после- довательности Vk, так как достаточно теперь положить r = 1/2k и Vk := U1/2k . Заметим, что последовательность областей Vk соответствует про- стому концу P с требуемыми свойствами, где σk := ∂Vk ∩D. Для доказательства этого заметим, прежде всего, что σk, дей- ствительно, является разрезом, поскольку Vk и D \ Vk, действитель- но, являются различными компонентами связности D \ σk, при этом, σk+1 ⊂ Vk. Условия ∂σk∩D = ∅ и ∂σk∩∂D ̸= ∅, участвующие в опре- делении разреза, выполняются (как мы отметили ранее, σk отожде- ствляется с поверхностью σk = φ−1 ◦ Sk, где Sk : ω → Rn обозначает некоторую параметризацию полусферы S(0, 1/2k), и ω – соответству- ющая этой параметризации область в пространстве Rn−1). Проверим теперь условия (i) и (ii) из определения цепи и требо- вания (1.1) и (1.2). Как уже было отмечено выше, σk+1 содержится в Vk, кроме того, σk−1 ⊂ D \ Vk по построению. Наконец, ∞∩ k=1 Vk = ∅, поскольку, в противном случае, мы имели бы точку p0 ∈ ∞∩ k=1 Vk, одна- ко, тогда также φ(p0) ∈ ∞∩ k=1 B+(0, 1/2 k), что не имеет места. Условие (ii), таким образом, также выполняется. Осталось убедиться в выполнении условий (1.1) и (1.2). Действи- тельно, так как σk и σk+1 не пересекаются, то r := dist (σk, σk+1) > 0. Тогда функция ρ(x), равная 1/r при x ∈ D и ρ(x) = 0 при x ̸∈ D, допустима для семейства Γ(σk, σk+1, D). Так как D – компакт, мно- жество D имеет конечный объём v(D), поскольку D можно покрыть конечным числом окрестностей конечного объёма. Значит, M(Γ(σk, σk+1, D)) 6 ∫ Mn dv(x) rn 6 v(D) rn <∞ . Чтобы проверить условие (1.2), выберем произвольный континуум C ⊂ D. Заметим, что C ⊂ D \Vk при некотором достаточно большом 368 О простых концах на римановых многообразиях k ∈ N. Тогда Γ(C, σm, D) > Γ(∂Vk ∩D,σm, Vk ∩D) (2.2) при всех m > k. Кроме того, заметим, что φ(Γ(∂Vk ∩D,σm, Vk ∩D)) = Γ(S+(0, 1/2 k), S+(0, 1/2 m), B+(0, 1/2 k)) (2.3) и что согласно [12, разд. 7.5] M(Γ(S+(0, 1/2 k), S+(0, 1/2 m), B+(0, 1/2 k)) 6 6M(Γ(S(0, 1/2k), S(0, 1/2m), B(0, 1/2k) \B(0, 1/2m))) = = ωn−1( log 2m 2k )n−1 → 0, m→ ∞ , (2.4) где ωn−1 – площадь единичной сферы ∂Bn в Rn. Окончательно, из (2.2), (2.3) и (2.4) ввиду свойства минорирования модуля вытекает, что M(φ(Γ(C, σm, D))) 6 ωn−1 (log 2m 2k )n−1 → 0, m→ ∞ . Однако, так как φ – квазиконформное отображение, то из последнего соотношения также вытекает, что M(Γ(C, σm, D)) → 0 при m → ∞, что и завершает доказательство леммы. Следующее фундаментальное утверждение также доказано Няк- ки в случае Rn (см. [1, теорема 4.1]). Теорема 2.1. Пусть D, D ′ – области с компактными замыканиями на римановых многообразиях Mn и Mn ∗ соответственно, и пусть D – область с локально квазиконформной границей. Предположим, f – квазиконформное отображение области D на D ′. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между точками границы обла- сти D и простыми концами области D ′. Доказательство. Прежде всего, установим, что между простыми кон- цами областей D и D ′ имеется взаимно однозначное соответствие. Действительно, пусть P – простой конец в D и σk, k = 1, 2, . . . , – соответствующая ему цепь разрезов. Заметим, прежде всего, что по- следовательность f(σk), k = 1, 2, . . ., также образует цепь разрезов. В самом деле, если D \ σk состоит из двух и более компонент, то f(D) \ f(σk) также не может быть связным множеством. Кроме того, если ∂σk ∩D = ∅ и ∂σk ∩ ∂D ̸= ∅, то ввиду гомеоморфности отобра- жения f также и ∂f(σk) ∩ f(D) = ∅ и ∂f(σk) ∩ ∂f(D) ̸= ∅. Заметим Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 369 также, что выполнены условия (i) и (ii) из определения цепи разре- зов: (i) множество f(σm+1) содержится в точности в одной компоненте f(dm) множества f(D) \ f(σm), при этом, f(σm−1) ⊂ f(D) \ (f(σm) ∪ f(dm)); (ii) ∩ f(dm) = ∅, где f(dm) — компонента f(D) \ f(σm), содержащая f(σm+1). Наконец, условия вида (1.1) и (1.2) выполнены для последова- тельности f(σm), m = 1, 2, . . . , ввиду квазиконформности f. Таким образом, отображение f может быть продолжено до отображения f : DP → D ′ P , которое сюръективно и инъективно. Таким образом, для доказательства утверждения теоремы 2.1 до- статочно установить взаимно однозначное соответствие между ED и ∂D. Будем следовать схеме доказательства [1, теорема 4.1]. Построим отображение h : DP → D, положив h тождественным отображением на D и h(P ) = I(P ) для P ∈ ED. Ввиду леммы 2.2 множество I(P ) состоит из единственной грани- чной точки b ∈ ∂D, а по лемме 2.3 указанное соответствие является сюръективным отображением ED на ∂D.Покажем, что h является та- кже и инъективным отображением на множестве ED. Предположим противное, а именно, что найдётся точка b ∈ ∂D и два различных простых конца P1 ̸= P2, P1, P2 ∈ ED, такие, что I(P1) = I(P2) = b. Предположим, Di – последовательность областей, соответствующая простому концу P1. Согласно определению ∞∩ i=1 Di = b . (2.5) Пусть Gi, i = 1, 2, . . . , — последовательность областей, соответству- ющая простому концу P2, тогда также ∞∩ i=1 Gi = b . (2.6) Так как по предположению P1 ̸= P2, то соответствующие им цепи разрезов не эквивалентны, т.е., либо область Di (при некотором i ∈ N) не содержит бесконечное число областей Gk, либо область Gm (при некотором m ∈ N) не содержит бесконечное число областей Gs. Другими словами, выполнено одно из двух условий: 1) либо найдутся i ∈ N, возрастающая последовательность чисел kl, l = 1, 2, . . . , и элементы akl ∈ Gkl , такие, что akl ∈ D \Di; 370 О простых концах на римановых многообразиях 2) либо найдутся m ∈ N, возрастающая последовательность чисел rl, l = 1, 2, . . . , и элементы crl ∈ Drl , такие, что crl ∈ D \Gm. Так как D – компакт, то мы можем считать, что и в первом, и во втором случае последовательности akl и crl являются сходящимися, причём ввиду (2.5) и (2.6) они могут сходиться только к точке b. В любом из этих двух случаев мы имеем последовательность элементов bl, l = 1, 2, . . . , сходящуюся при l → ∞ к b и лежащую в D \ Di (либо в D \Gm) при всех l ∈ N. Пусть для определённости указанная последовательность bl лежит в D \Di при всех l = 1, 2, . . . , и пусть σk – цепь разрезов, соответствующих последовательности областей Dk. Докажем, что при сделанных предположениях b ∈ σk при всех k > i. Если b ̸∈ σk хотя бы при одном k > i, то найдётся окре- стность U точки b, такая, что U ∩ σk = ∅, при этом, для некоторого квазиконформного отображения φ : U → Rn выполнялись бы усло- вия φ(U) = Bn и φ(U ∩ D) = Bn +, так как по предположению D имеет локально квазиконформную границу. Таким образом, множе- ство U ∩ D является связным и, значит, оно принадлежит только одной из связных компонент D \ σk, а именно либо U ∩D ⊂ Dk, либо U ∩D ⊂ D\Dk. Так как последовательность bl сходится при l → ∞ к точке b, то bl ∈ U∩D при больших l > l0, поэтому случай U∩D ⊂ Dk, k > i, невозможен, поскольку по предположению bl лежит в D \Di при всех l = 1, 2, . . . . В таком случае, U ∩ D ⊂ D \ Dk, k > i, что также не может иметь места, так как ввиду соотношения (2.5) мы можем найти последовательность элементов am ∈ Dm, m = 1, 2, . . . , сходящуюся к b при m→ ∞, т.е., U∩D∩Dm ̸= ∅ при больших m > k и, в частности, U ∩D ∩Dk ̸= ∅. Полученное противоречие говорит о том, что b ∈ σk при всех k > i. Тогда d(σk, σk+1) = 0, что противоре- чит утверждению леммы 2.2. Указанное противоречие говорит о том, что исходное предположение о наличии различных простых концов P1 ̸= P2, P1, P2 ∈ ED, таких что I(P1) = I(P2) = b, было неверным. Теорема доказана. Следствие 2.1. Пусть D, D ′ – области с компактными замыкани- ями на римановых многообразиях Mn и Mn ∗ соответственно, имею- щие локально квазиконформную границу. Предположим, f : D → D ′ – квазиконформное отображение области D на D ′. Тогда f продол- жается до гомеоморфизма D на D ′. Доказательство. Пусть xm ∈ D, где xm d→ x0 ∈ D при m → ∞, – произвольная последовательность. Нужно показать, что существует Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 371 lim m→∞ f(xm) в метрике d∗. Если x0 – внутренняя точка D, доказывать нечего. Пусть x0 ∈ ∂D. По теореме 2.1 найдётся единственный простой конец P0 ∈ ED такой, что x0 = I(P0). По этой же теореме простому концу P0 соответствует единственный простой конец области D ′, а именно простой конец f(P0), более того, найдётся точка y0 ∈ D ′, такая, что y0 = I(f(P0)). Пусть φ – квазиконформное отображение из определения локаль- но квазиконформной границы, соответствующее точке x0. Ввиду лем- мы 2.1 мы можем считать, что φ(x0) = 0. Следуя началу доказатель- ства леммы 2.3, заключаем, что найдётся последовательность сфер S(0, 1/2k), k = 1, 2, . . . , и убывающая последовательность окрестно- стей Vk точки x0, для которых φ(Vk) = B(0, 1/2k), φ(∂Vk ∩ D) = S(0, 1/2k)∩Bn +. Заметим, что последовательность областей Vk соответ- ствует простому концу P0 с требуемыми свойствами, где σk := ∂Vk∩D (этот факт был установлен при доказательстве леммы 2.3). Отсюда следует, что xm ∈ Vk при каждом фиксированном k ∈ N и всех m > m0(k), где m0 ∈ N. Выберем произвольно ε > 0. Так как y0 = I(f(P0)), найдётся номер k0(ε) ∈ N : f(Vk) ⊂ B(y0, ε) при всех k > k0. Положим M(ε) := m0(k0(ε)). Тогда при m > M(ε) имеем d∗(f(xm),y0) < ε, поскольку xm ∈ Vk0 , а f(Vk0) ∈ B(y0, ε). Отсюда следует, что f(xm) d∗→ y0, что и доказывает непрерывность отображения f : D → D ′. Осталось установить, что f(D) = D ′. Очевидно, f(D) ⊂ D ′. Пока- жем обратное включение. Пусть y0 ∈ D ′. Если y0 ∈ D ′, то, очевидно, y0 ∈ f(D). Пусть теперь y0 ∈ ∂D ′. По теореме 2.1 найдутся единственные простые концы P0 ∈ ED и f(P ) ∈ ED ′ , такие, что y0 = I(f(P0)) и, кроме того, найдётся x0 ∈ ∂D, такая, что x0 = I(P0). Следовательно, найдётся также последовательность xk ∈ D, такая, что xk d→ x0. По доказанному выше f(x0) = y0. Следствие доказано. Замечание 2.1. Обозначим DP := D∪ED, где ED – множество всех простых концов области D. Пусть D, D ′ – области с компактными замыканиями на римановых многообразиях Mn и Mn ∗ соответственно, и пусть D – область с локально квазиконформной границей. Руковод- ствуясь теоремой 2.1, положим h : DP → D, где h(x) = x при x ∈ D и h(P ) = I(P ) при P ∈ ED. Ввиду теоремы 2.1 отображение h взаимно- однозначно отображает DP на D; в частности, h взаимнооднозначно отображает ED на ∂D. 372 О простых концах на римановых многообразиях Если D ′ P является пополнением регулярной области D ′ её про- стыми концами и g0 является квазиконформным отображением обла- стиD с локально квазиконформной границей на D ′, то оно естествен- ным образом определяет в D ′ P метрику ρ0(p1,p2) = d ( h(g−1 0 (p1)), h(g −1 0 (p2)) ) . Если g∗ является другим квазиконформным отображением неко- торой области D∗ с локально квазиконформной границей на область D ′, то соответствующая метрика ρ∗(p1,p2) = d ( h(g−1 ∗ (p1)), h(g −1 ∗ (p2)) ) (2.7) порождает ту же самую сходимость и, следовательно, ту же самую топологию в D ′ P как и метрика ρ0, поскольку g−1 0 ◦ g∗ является ква- зиконформным отображением между областями D∗ и D, которое по теореме 2.1 продолжается до гомеоморфизма между D∗ и D. В даль- нейшем, будем называть данную топологию в пространстве D ′ P то- пологией простых концов и понимать непрерывность отображений F : DP → D ′ P как раз относительно этой топологии. Замечание 2.2. Пусть D, D ′ – области с компактными замыкани- ями на римановых многообразиях Mn и Mn ∗ соответственно, и пусть D – область с локально квазиконформной границей. Заметим, что метрическое пространство (D ′ P , ρ0) компактно. В самом деле, пусть у нас есть последовательность элементов xk ∈ D ′ P , k = 1, 2, . . . , и g0 является квазиконформным отображением области D с локаль- но квазиконформной границей на D ′, которому соответствует ме- трика ρ0, определённая соотношением из замечания 2.1. Тогда zk := h(g−1 0 (xk)) – последовательность элементов в D, где h определено в замечании 2.1. Так как D предполагалось компактным множеством, то из последовательности zk можно извлечь сходящуюся подпосле- довательность zkl , l = 1, 2, . . . , к некоторой точке z0 ∈ D. Точке z0 соответствует некоторый простой конец P0 ∈ ED (точка P0 ∈ D), которому, в свою очередь, соответствует простой конец f(P0) ∈ ED ′ (точка f(P0) ∈ D ′). Из теоремы 2.1 и замечания 2.1 вытекает следующее утвержде- ние, обобщающее классический результат Някки для пространства Rn (см. [1, теорема 4.2]). Теорема 2.2. Пусть D, D ′ – области с компактными замыкания- ми на римановых многообразиях Mn и Mn ∗ соответственно, и пусть Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 373 D – область с локально квазиконформной границей. Предположим, f – квазиконформное отображение области D на D ′. Тогда отобра- жение f продолжается до гомеоморфизма f : D → D ′ P . 3. Основная лемма о регулярных концах В настоящем разделе рассматриваются области, содержащие ре- гулярные цепи разрезов. Следующее утверждение обобщает [2, лем- ма 1] на римановы многообразия. Лемма 3.1. Каждый регулярный конец K области D ⊂ Mn, имею- щей компактное замыкание D ⊂ Mn, содержит в себе цепь разрезов σm, лежащих на сферах Sm с центром в некоторой точке x0 ∈ ∂D и геодезическими радиусами ρm → 0 при m→ ∞. Доказательство. Пусть {σm} – цепь разрезов в конце K и xm – последовательность точек в σm. Без ограничения общности можем считать, что xm → x0 ∈ ∂D при m → ∞, поскольку D – компакт. Положим ρ−m := d(x0, σm) . По неравенству треугольника d(x0, σm) 6 d(x0,xm) + d(xm, σm) 6 d(x0,xm)+d(σm). Поскольку d(σm) → 0 при m→ ∞, отсюда следует, что ρ−m → 0, m→ ∞ . Кроме того, ρ+m := H(x0, σm) = sup x∈σm d(x,x0) = sup x∈σm d(x,x0) – хаусдорфово расстояние между компактными множествами {x0} и σm в D. В силу всё того же неравенства треугольника d(x0,x) 6 d(x0,xm)+ d(xm,x) 6 d(x0,xm)+ d(σm) для x ∈ σm. Отсюда следует, что ρ+m → 0, m→ ∞ . Ввиду регулярности конца K мы можем считать, что ρ−m > 0 при всех m ∈ N. Кроме того, переходя, если это нужно к подпоследова- тельности, мы можем считать, что ρ+m+1 < ρ−m для всех m = 1, 2, . . . Положим δm = ∆m \ dm+1, 374 О простых концах на римановых многообразиях где ∆m = Sm ∩ dm и Sm = { x ∈ Mn \| d(x0,x) = 1 2 ( ρ−m + ρ+m+1 )} . Очевидно, что ∆m и δm относительно замкнуты в dm. Заметим, что dm+1 содержится в одной из компонент связности открытого множества dm \ δm. Действительно, предположим, что па- ра точек x1 и x2 ∈ dm+1 находится в различных компонентах Ω1 и Ω2 множества dm \ δm. Поскольку на римановых многообразиях открытые связные множества являются также и линейно связными (см. [11, предложение 13.1]), точки x1 и x2 могут быть соединены кривой γ : [0, 1] → dm+1. Однако, по построению, dm+1, а поэтому и γ, не пересекают δm, следовательно, [0, 1] = ∞∪ k=1 ωk, где ωk = γ−1(Ωk), Ωk – перенумерация компонент dm \ δm (поскольку многообразие Mn локально связно, все компоненты Ωk множества dm \ δm открыты и их не более, чем счётно, см. [13, теоремы 4 и 6, разд. 6.49.II]). Но ωk является открытым в [0, 1], поскольку Ωk открыто и γ непрерывна. Последнее противоречит связности [0, 1], так как ω1 ̸= ∅ и ω2 ̸= ∅ и, кроме того, ωi и ωj попарно не пересекаются при i ̸= j. Пусть d∗m – компонента dm \ δm, содержащая dm+1. Тогда по по- строению dm+1 ⊂ d∗m ⊂ dm. Покажем, что ∂d∗m \ ∂D ⊂ δm. Во- первых, очевидно, что ∂d∗m \ ∂D ⊂ δm ∪ σm. (Действительно, если бы нашлась точка x ∈ (∂d∗m \ ∂D) \ (δm ∪ σm), то ввиду включений d∗m ⊂ dm, и ∂dm ∩D ⊂ σm, мы имели бы x ∈ (dm \ ∂D) \ (δm ∪ σm) ⊂ (σm ∪ dm) \ (δm ∪ σm) = dm \ δm. С другой стороны, всякая точка в dm \ δm принадлежит либо d∗m, либо другой компоненте dm \ δm, и поэтому не принадлежит границе d∗m, ввиду относительной замкнуто- сти δm в dm. Полученное противоречие указывает на справедливость включения ∂d∗m\∂D ⊂ δm∪σm). Таким образом, достаточно доказать, что σm ∩ ∂d∗m \ ∂D = ∅. Предположим противное, а именно, что существует точка x∗ ∈ σm в ∂d∗m\∂D. Покажем, что найдется точка y∗ ∈ d∗m, достаточно близкая к σm, такая, что d(x0,y∗) > 1 2 ( ρ−m + ρ+m+1 ) . (3.1) В самом деле, по определению точной нижней грани ρ−m 6 d(x0,x∗). Поскольку согласно сделанному выше предположению x∗ ∈ ∂d∗m \ ∂D ∩ σm, найдётся последовательность xk ∈ d∗m \ ∂D, k = 1, 2, . . . , такая, что d(xk,x∗) < 1/k. По неравенству треугольника d(x0,x∗) < Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 375 1/k+d(x0,xk). Так как неравенство ρ+m+1 < ρ−m – строгое, то из после- днего неравенства при некотором достаточно большом k ∈ N имеем d(x0,xk) > d(x0,x∗)− 1/k > ρ−m − 1/k > 1 2 ( ρ−m + ρ+m+1 ) , что совпадает с неравенством (3.1) при y∗ = xk. На основании аналогичных рассуждений, найдется точка z∗ ∈ dm+1, достаточно близкая к σm+1, такая, что d(x0, z∗) < 1 2 ( ρ−m + ρ+m+1 ) . Кроме того, точки z∗ и y∗ могут быть соединены кривой γ : [0, 1] → d∗m. Заметим, что множества γ−1(d∗m \ dm+1) состоят из счетного на- бора открытых непересекающихся интервалов из [0, 1] и интервала (t0, 1] с t0 ∈ (0, 1), и z0 = γ(t0) ∈ σm+1. Таким образом, d(x0, z0) < 1 2 ( ρ−m + ρ+m+1 ) , (3.2) поскольку d(x0, z0) 6 ρ+m+1 и ρ+m+1 < ρ−m. Из (3.1) и (3.2), в силу непрерывности функции φ(t) = d(x0, γ(t)), вытекает существование точки τ0 ∈ (t0, 1) такой, что d(x0,y0) = 1 2 ( ρ−m + ρ+m+1 ) , где y0 = γ(τ0) ∈ d∗m\dm+1 в силу выбора γ. Полученное противоречие, состоящее в том, что одновременно y0 ∈ d∗m \dm+1 и y0 ∈ S(x0,∆m)∩ dm, показывает, что наше предположение о наличии точки x∗ ∈ σm в ∂d∗m \ ∂D не является верным. Таким образом, ∂d∗m \ ∂D ⊂ δm. В наших рассуждениях в качестве цепи разрезов следует взять множества δm, а в качестве последовательности соответствующих обла- стей – последовательность d∗m, m = 1, 2, . . . Остаётся показать, что данные множества δm действительно образуют цепь разрезов в смысле свойств (i) и (ii), приведенных в первой части работы. Заметим, прежде всего, что множества δm удовлетворяют опреде- лению разреза, а именно, проверим следующие условия: 1) множество D \ δm имеет больше одной компоненты, 2) ∂δm ∩D = ∅ и 3) ∂δm ∩ ∂D ̸= ∅. В самом деле, 1) область d ∗ m является одной из компонент D \ δm ввиду определения d ∗ m, кроме того, если бы D \ δm состояло из 376 О простых концах на римановых многообразиях одной компоненты связности, то любые две точки x1, x2 ∈ D \ δm можно было бы связать кривой γ в D \ δm (так как открытое связное множество на римановом многообразии является линейно связным, см. [11, следствие 13.1]). Выберем x1 ∈ d ∗ m, x2 ∈ D \ dm. Заметим, что x1 и x2 лежат в D \ δm по построению. Поскольку d ∗ m ⊂ dm, то кривая γ, соединяющая точки x1 и x2, не лежит целиком ни в d∗m, ни в D\d∗m, поэтому эта кривая ввиду [13, теорема 1.I.5, § 46]) пересекает ∂d ∗ m∩D ⊂ δm, что противоречит сделанному предположению. Значит, D \ δm имеет более одной компоненты. Осталось установить условия 2) и 3). Для этого установим сначала соотношение δm ∩ ∂D ̸= ∅ . (3.3) Заметим, что сфера Sm = 1 2 ( ρ−m + ρ+m+1 ) при достаточно больших m лежит в нормальной окрестности точки x0. Таким образом, Sm яв- ляется связным множеством на многообразии Mn, так как в локаль- ных координатах множество Sm представляет собой евклидову сферу (см. [14, лемма 5.10 и следствие 6.11]). Тогда (Sm ∩ δm)∩Sm \ δm ̸= ∅ ввиду связности Sm, δm = ∆m \ dm+1 и ∆m = Sm ∩ dm (см. [13, опре- деление 5.I.46]). Пусть ζ0 ∈ (Sm ∩ δm) ∩ Sm \ δm, тогда, в частности, ζ0 ∈ Sm ∩ δm = Sm ∩ Sm ∩ dm \ dm+1 ⊂ Sm ∩ dm ⊂ dm . (3.4) Так как ζ0 ∈ Sm \ δm = Sm \ ((dm ∩ Sm) \ dm+1), то найдётся после- довательность ζk ∈ Sm \ ((dm ∩ Sm) \ dm+1), такая, что ζ0 = lim k→∞ ζk. Возможны две ситуации: 1) когда бесконечное число элементов последовательности ζk прина- длежат множеству Sm \ dm; 2) данному множеству принадлежат только конечное число элемен- тов данной последовательности. В ситуации 1) мы имеем ζ0 ∈ Sm \ dm, но в силу (3.4) мы также имеем, что ζ0 ∈ dm. Тогда ζ0 ∈ ∂dm, что ввиду соотношения (∂dm \ ∂D) ∩ Sm = σm ∩ Sm = ∅ (выполненного по построению сферы Sm) может быть возможно лишь в ситуации ζ0 ∈ ∂D. В ситуации 2) имеем ζ0 ∈ dm+1. Снова ввиду соотношения (3.4) имеем ζ0 ∈ Sm \ dm+1, откуда вытекает, что ζ0 ∈ ∂dm+1. Так как по построению (∂dm+1 \ ∂D) ∩ Sm = σm+1 ∩ Sm = ∅, то последнее снова возможно лишь в случае ζ0 ∈ ∂D. Итак, в обеих ситуациях 1) и 2) мы имеем точку ζ0 ∈ ∂D, причём ввиду (3.4) выполнено ζ0 ∈ δm, что и указывает на справедливость соотношения (3.3). Покажем теперь справедливость условия 2) ∂δm∩D = ∅. В самом деле, если бы нашлась точка ξ0 ∈ ∂δm = ∂(∆m \ dm+1) = ∆m \ dm+1 \ Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 377 (∆m \dm+1), то это означало бы, что нашлась бы последовательность ξk, k = 1, 2, . . . , такая что ξk ∈ Sm ∩ dm \ dm+1 и ξk → ξ0 при k → ∞. Возможны две ситуации: либо ξ0 ∈ dm, либо ξ0 ̸∈ dm. Тогда, соответственно, либо ξ0 ∈ ∂dm ∩ Sm, либо ξ0 ∈ ∂dm+1 ∩ Sm. Так как по построению (∂dm \∂D)∩Sm = σm∩Sm = ∅ и (∂dm+1 \∂D)∩Sm = σm+1 ∩ Sm = ∅, каждый из этих двух случаев возможен лишь при ξ0 ∈ ∂D. Условие 2) ∂δm ∩ D = ∅ установлено. Наконец, условие 3) ∂δm ∩ ∂D ̸= ∅ является следствием условия 2) и соотношения (3.3). Наконец, проверим условия цепи разрезов: (i) множество δm+1 содержится в точности в одной компоненте d ∗ m множества D \ δm, при этом, δm−1 ⊂ D \ (δm ∪ d ∗ m); (ii) ∩ d ∗ m = ∅, где d ∗ m — компонента D \ δm, содержащая δm+1. Действительно, δm+1 ⊂ dm+1 ⊂ d ∗ m по построению, причём d ∗ m — некоторая компонента связности множества D \ δm. Пусть, кроме то- го, x ∈ δm−1, тогда x ̸∈ d∗m, поскольку по построению d∗m ⊂ d∗m−1 и d∗m−1 ⊂ dm−1 \ δm−1. В силу сказанного, δm−1 ⊂ D \ (δm ∪ d∗m), т.е., выполнено условие (i). Наконец, пусть y ∈ ∩ d ∗ m. Тогда также y ∈ ∩ dm ввиду свойства dm+1 ⊂ d ∗ m ⊂ dm, m = 1, 2, . . . . Но последнее невозможно, так как исходная последовательность областей dm обра- зовывала пустое пересечение. Полученное противоречие указывает на выполнение условия (ii). Лемма полностью доказана. В дальнейшем, для заданной области D в Mn, n > 2, говорим, что последовательность точек xk ∈ D, k = 1, 2, . . ., сходится к кон- цу K, если для каждой цепи {σm} в K и каждой области dm все точки xk, за исключением, быть может, конечного числа, принадле- жат dm. В этом случае, мы пишем: xk ρ→ P при k → ∞, или даже xk → P, если недоразумение невозможно. Из определения метрики в пространстве простых концов вытекает, что сходимость в указанном выше смысле эквивалентна сходимости в пространстве DP в смысле соотношения (2.7). 4. Доказательство основного результата Следующее утверждение в Rn установлено в [15, теорема 3.3]. Его доказательство для римановых многообразий аналогично случаю Rn, и потому опускается. Предложение 4.1. Пусть n > 2, D – область на римановом мно- гообразии Mn, и пусть f : D → Mn ∗ – дискретное, открытое и за- мкнутое отображение в риманово многообразие Mn ∗ . Тогда f также является сохраняющим границу и собственным отображением. 378 О простых концах на римановых многообразиях Имеет место следующее утверждение, доказательство которого аналогично [15, лемма 3.7], и потому опускается. Предложение 4.2. Пусть n > 2, D – область в Mn, имеющая ком- пактное замыкание D ⊂ Mn, f : D → Mn ∗ – дискретное, открытое и замкнутое отображение, β : [a, b) → Mn ∗ – кривая и точка x ∈ f−1 (β(a)) . Тогда кривая β имеет максимальное поднятие α : [a, c) → D при отображении f с началом в точке x, при этом c = b. Кро- ме того, если β продолжается до замкнутой кривой β : [a, b] → Mn ∗ , то и кривая α продолжается до замкнутой кривой α : [a, b] → D, причём f(α(t)) = β(t), t ∈ [a, b]. Для доказательства основного результата – теоремы 1.1 – мы до- кажем сначала некое вспомогательное утверждение, содержащее в себе заключение указанной теоремы в большей степени общности. Следующая лемма для случая гомеоморфизмов на плоскости дока- зана в [3, лемма 5.1]. В нашем случае речь идёт о ситуации римановых многообразий и отображений со значительно более общими свойства- ми. Лемма 4.1. Пусть n > 2, p > 1, области D и D ′ имеют компа- ктные замыкания в Mn и Mn ∗ соответственно, область D ⊂ Mn регулярна, а D ′ ⊂ Mn ∗ имеет локально квазиконформную границу, являющуюся сильно достижимой относительно p-модуля. Пусть также отображение f : D → D ′, D ′ = f(D), является кольцевым Q-отображением относительно p-модуля во всех точках x0 ∈ ∂D, кроме того, f является дискретным, открытым и замкнутым. То- гда f продолжается до непрерывного отображения f : DP → D ′ P , f(DP ) = D ′ P , если найдётся измеримая по Лебегу функция ψ : (0,∞) → [0,∞], такая, что I(ε, ε0) := ε0∫ ε ψ(t)dt <∞ (4.1) при всех ε ∈ (0, ε0) и, кроме того, I(ε, ε0) → ∞ при ε → 0, и при ε→ 0 ∫ ε<d(x0,x)<ε0 Q(x) · ψp(d(x0,x)) dv(x) = o (Ip(ε, ε0)) . (4.2) Доказательство. Так как область D ′ имеет локально квазиконфор- мную границу, то D ′ P = D ′ ввиду теоремы 2.1. В силу метризуемо- сти пространства DP достаточно доказать, что для каждого простого Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 379 конца P области D предельное множество L = C(f, P ) := { y ∈ Mn ∗ \|y = lim m→∞ f(xm), xm → P, xm ∈ D } состоит из единственной точки y0 ∈ ∂D ′. Заметим, что L ̸= ∅ в силу компактности множестваD ′, и L явля- ется подмножеством ∂D ′ ввиду предложения 4.1. Предположим, что существуют, по крайней мере, две точки y0 и z0 ∈ L, т.е., найдётся не менее двух последовательностей xk, x ′ k ∈ D, таких, что xk → P и x ′ k → P при k → ∞, и при этом, f(xk) → y0 и f(x ′ k) → z0 при k → ∞. В силу определения регулярной области и леммы 3.1 каждый про- стой конец P ∈ ED содержит цепь разрезов σm, лежащую на сферах Sm с центром в некоторой точке x0 ∈ ∂D и геодезическими радиу- сами rm → 0 при m → ∞. Пусть Dk – области, ассоциированные с разрезами σk, k = 1, 2, . . . Не ограничивая общности рассуждений, переходя к подпоследовательности, если это необходимо, мы можем считать, что xk, x ′ k ∈ Dk. В самом деле, так как последовательности xk и x ′ k сходятся к простому концу P, найдётся номер k1 ∈ N, такой, что xk1 , x ′ k1 ∈ D1. Далее, найдётся номер k2 ∈ N, k2 > k1, такой, что xk2 , x ′ k2 ∈ D2. И так далее. Вообще, на m-м шаге мы найдём номер km ∈ N, km > km−1, такой, что xkm , x ′ km ∈ Dm. Продолжая этот про- цесс, мы получим две последовательности xkm и x ′ km , принадлежащие области Dm, сходящиеся к P при m → ∞ и такие, что f(xkm) → y0 и f(x ′ km ) → y0 при m → ∞. Переобозначая, если это необходимо, xkm 7→ xm, мы получаем последовательности xm и x ′ m с требуемыми свойствами. По определению сильно достижимой границы в точке y0 ∈ ∂D ′ относительно p-модуля, для любой окрестности U этой точки найду- тся компакт C ′ 0 ⊂ D ′, окрестность V точки y0, V ⊂ U, и число δ > 0, такие, что Mp(Γ(C ′ 0, F,D ′)) > δ > 0 (4.3) для произвольного континуума F, пересекающего ∂U и ∂V. Так как отображение f — замкнутое, ввиду предложения 4.1 для множества C0 := f −1(C ′ 0) выполнено условие C0 ∩ ∂D = ∅. Поскольку I(P ) = ∞∩ m=1 Dm ⊂ ∂D (см. предложение 1.1), то не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что C0 ∩ Dk = ∅ для каждого k ∈ N. Соединим точки xk и x ′ k кривой γk, лежащей в Dk. Заметим, что f(xk) ∈ V и f(x ′ k) ∈ D \ U при всех достаточно больших k ∈ N. В таком случае, найдётся номер k0 ∈ N, такой, что согласно (4.3) Mp(Γ(C ′ 0, \|f(γk)\|, D ′)) > δ > 0 (4.4) 380 О простых концах на римановых многообразиях при всех k > k0 ∈ N. При каждом фиксированном k ∈ N, k > k0, рассмотрим семей- ство Γ ′ k (полных) поднятий α : [a, b] → D семейства Γ (C ′ 0, \|f(γk)\|, D ′) с началом в множестве \|γk\|, т.е., f ◦ α = β, β ∈ Γ (C ′ 0, \|f(γk)\|, D ′) и α(a) ∈ \|γk\|. (Такое семейство определено корректно ввиду предложе- ния 4.2). По определению β(b) ∈ C ′ 0, так что α(b) ∈ C0 по опреде- лению множества C0. Значит, α ∈ Γ(\|γk\|, C0, D). Погрузим компакт C0 в некоторый континуум C1, всё ещё полностью лежащий в обла- сти D (см. [16, лемма 1]). Можно снова считать, что C1 ∩ Dk = ∅, k = 1, 2, . . . Заметим, что Γ(\|γk\|, C0, D) > Γ(σk, C1, D), при этом, \|γk\| и C0 – континуумы в D, а σk — разрез, соответствующий области Dk. Поэтому к семейству кривых Γ(σk, C1, D) можно применить опреде- ление кольцевогоQ-отображения (1.4). Как уже было отмечено выше, σk ⊂ S(x0, rk) для некоторой точки x0 ∈ ∂D и некоторой последова- тельности rk > 0, rk → 0 при k → ∞. Здесь, не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что dist (x0, C1) > ε0. Кроме того, за- метим, что функция ηk(t) = { ψ(t)/I(rk, ε0), t ∈ (rk, ε0), 0, t ∈ R \ (rk, ε0) , где I(ε, ε0) := ε0∫ ε ψ(t)dt удовлетворяет условию нормировки (1.5). По доказанному Γ ′ k ⊂ Γ(\|γk\|, C0, D), так что Mp(f(Γ ′ k)) 6Mp(f(Γ(\|γk\|, C0, D))) . Поэтому, в силу определения кольцевого Q-отображения в граничной точке относительно p-модуля, а также ввиду условий (4.1) и (4.2), Mp(f(Γ ′ k)) 6Mp(f(Γ(\|γk\|, C0, D))) 6Mp(f(Γ(σk, C1, D)) 6 ∆(k) , (4.5) где ∆(k) → 0 при k → ∞. Однако, f(Γ ′ k) = Γ(C ′ 0, \|f(γk)\|, D ′), поэтому из (4.5) получим, что при k → ∞ Mp(Γ(C ′ 0, \|f(γk)\|, D ′)) =Mp ( f(Γ ′ k) ) 6 ∆(k) → 0 . (4.6) Однако, соотношение (4.6) противоречит неравенству (4.4), что и до- казывает лемму. Доказательство теоремы 1.1 сводится к лемме 4.1 на основании подбора функций ψ из этой леммы в подходящем для нас виде (см. по этому поводу [10, доказательство теорем 1.1 и 2.1]). 2 Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов 381 Литература [1] R. Näkki, Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math, 35 (1979), 13–40. [2] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, Простые концы и классы Орлича– Соболева // Алгебра и анализ, 27 (2015), No. 5, 81–116. [3] V. Ya. Gutlyanskii, V. I. Ryazanov, E. Yakubov, The Beltrami equations and prime ends // Journal of Mathematical Sciences, 210 (2015), No. 1, 22–51. [4] Е. С. Афанасьева, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Об отображениях в классах Орлича–Соболева на римановых многообразиях // Укр. мат. вiсник, 8 (2011), No. 3, 319–342. [5] Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов, Об открытых дискретных отображени- ях с неограниченной характеристикой на римановых многообразиях // Мат. cборник, 207 (2016), No. 4, 65–112. [6] V. Ya. Gutlyanskĭi, O. Martio, V. I. Ryazanov, M. Vuorinen, On convergence theorems for space qusiregular mappings // Forum Math., 10 (1998), 353–375. [7] V. Ya. Gutlyanskĭi, O. Martio, V. I. Ryazanov, M. Vuorinen, On local injectivity and asymptotic linearity of quasiregular mappings // Studia Math., 128 (1998), No. 3, 243–271. [8] B. Fuglede, Extremal length and functional completion // Acta Math., 98 (1957), 171–219. [9] G. T. Whyburn, Analytic topology, American Mathematical Society, Rhode Island, 1942. [10] Д. П. Ильютко, Е. А. Севостьянов, О граничном поведении открытых дис- кретных отображений на римановых многообразиях // Матем. сб., 209 (2018), No. 5, 3–53; translate: Boundary behaviour of open discrete mappings on Riemannian manifolds // Sb. Math., 209 (2018), No. 5, 605–651. [11] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping Theory, New York, Springer Science + Business Media, LLC, 2009. [12] J. Väisälä, Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes in Math. 229, Berlin etc., Springer–Verlag, 1971. [13] K. Куратовский, Топология, т. 2, М., Мир, 1969. [14] J. M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, New York, Spri- nger, 1997. [15] M. Vuorinen, Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1. Math. Dissertationes, 11 1976, 1–44. [16] Е. С. Смоловая, Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в ме- трических пространствах // Укр. матем. ж., 62 (2010), No. 5, 682–689. 382 О простых концах на римановых многообразиях Сведения об авторах Денис Петрович Ильютко Кафедра дифференциальной геометрии и приложений, мехмат факультет, МГУ имени М. В. Ломоносова Москва, Россия E-Mail: ilyutko@yandex.ru Евгений Александрович Севостьянов Житомирский государственный университет имени Ивана Франко Житомир, Украина, Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Славянск, Украина E-Mail: esevostyanov2009@gmail.com

О простых концах на римановых многообразиях

Репозитарії

Схожі ресурси