Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних

Отримано порядкові оцінки ентропійних чисел класів типу Ніыкольського–Бєсова періодичних функцій багатьох змінних у просторі Лебега. Дані класи при відповідному виборі мажорантної функції для мішаного модуля неперервності співпадають із класами Нікольського–Бєсова....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Пожарська, К.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2018
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169411
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних / К.В. Пожарська // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 383-398. — Бібліогр.: 29 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-169411
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1694112020-06-13T01:27:12Z Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних Пожарська, К.В. Отримано порядкові оцінки ентропійних чисел класів типу Ніыкольського–Бєсова періодичних функцій багатьох змінних у просторі Лебега. Дані класи при відповідному виборі мажорантної функції для мішаного модуля неперервності співпадають із класами Нікольського–Бєсова. The ordinal estimates of entropy numbers of the Nikol’skii–Besov classes of periodic functions of many variables in the Lebesgue space are constructed. For the corresponding choice of a majorant function for the mixed modulus of continuity, those classes coincide with the classes Nikol’skii–Besov 2018 Article Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних / К.В. Пожарська // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 383-398. — Бібліогр.: 29 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 42A10, 42B99 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169411 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Отримано порядкові оцінки ентропійних чисел класів типу Ніыкольського–Бєсова періодичних функцій багатьох змінних у просторі Лебега. Дані класи при відповідному виборі мажорантної функції для мішаного модуля неперервності співпадають із класами Нікольського–Бєсова.
format	Article
author	Пожарська, К.В.
spellingShingle	Пожарська, К.В. Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних Український математичний вісник
author_facet	Пожарська, К.В.
author_sort	Пожарська, К.В.
title	Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних
title_short	Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних
title_full	Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних
title_fullStr	Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних
title_full_unstemmed	Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних
title_sort	ентропійні числа класів типу нікольського-бєсова періодичних функцій багатьох змінних
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169411
citation_txt	Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних / К.В. Пожарська // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 383-398. — Бібліогр.: 29 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT požarsʹkakv entropíjníčislaklasívtipuníkolʹsʹkogobêsovaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih
first_indexed	2025-07-15T04:09:09Z
last_indexed	2025-07-15T04:09:09Z
_version_	1837684542120394752
fulltext	Український математичний вiсник Том 15 (2018), № 3, 383 – 398 Ентропiйнi числа класiв типу Нiкольського–Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiнних Катерина В. Пожарська (Представлена В. Я. Гутлянським) Анотацiя. Отримано порядковi оцiнки ентропiйних чисел класiв типу Нiкольського–Бєсова перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi Лебега. Данi класи при вiдповiдному виборi мажорантної функцiї для мiшаного модуля неперервностi спiвпадають iз класами Нiкольського–Бєсова. 2010 MSC. 42A10, 42B99. Ключовi слова та фрази. Ентропiйнi числа, ентропiя, схiдчастий гiперболiчний хрест, мiшаний модуль неперервностi. Нехай Rd, d ≥ 1, – d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i (x,y) = x1y1 + · · ·+ xdyd, x,y ∈ Rd. Через Lq := Lq(πd), πd = d∏ j=1 [0, 2π], 1 ≤ q ≤ ∞, позначимо простiр функцiй f(x), якi є 2π-перiодичними за кожною змiнною, зi скiнченною нормою ∥f∥q := ∥f∥Lq(πd) = ( (2π)−d ∫ πd \|f(x)\|q dx ) 1 q , 1 ≤ q <∞, ∥f∥∞ := ∥f∥L∞(πd) = ess sup x∈πd \|f(x)\|. У подальших мiркуваннях вважаємо, що для f ∈ L1 виконується умова 2π∫ 0 f(x) dxj = 0, j = 1, d. Стаття надiйшла в редакцiю 11.05.2018 ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 384 Ентропiйнi числа класiв перiодичних функцiй... У роботi встановлено порядковi оцiнки ентропiйних чисел класiв типу Нiкольського–Бєсова BΩ p,θ у метрицi простору Lq, при деяких умовах на функцiю Ω та параметри p, q i θ. Ентропiя, або близька до неї характеристика – ентропiйнi числа, є однiєю з важливих характеристик компактiв, адже володiючи iнфор- мацiєю про ентропiю або поведiнку ентропiйних чисел компактної множини можна дiйти висновку, наскiльки великою (масивною) є ця множина i якими апроксимативними властивостями вона воло- дiє. Питання, пов’язанi з оцiнками ентропiйних чисел класiв функцiй багатьох змiнних, зокрема, Соболєва W r β,p, Нiкольського–Бєсова Br p,θ (Br p,∞ ≡ Hr p ) та їх аналогiв дослiджувалися багатьма авторами (див., наприклад, [1–14]), i при цьому одержано низку глибоких та заверше- них результатiв. З бiльш детальною бiблiографiєю можна ознайоми- тися в оглядi [12]. З iншого боку, практично зовсiм не дослiдженими навiть в одновимiрному виипадку у цьому напрямi залишалися кла- си BΩ p,θ, якi при θ = ∞ (позначення HΩ p ) були вперше розглянутi М. М. Пустовойтовим у роботi [15], а потiм поширенi S. Yongsheng, W. Heping у [16] на випадок 1 ≤ θ < ∞ i є узагальненням за гладкi- сним параметром класiв Br p,θ (див., наприклад, [17–19]). Детальнiшi коментарi щодо питань, пов’язаних iз результатами даної статтi, мi- стяться у зауваженнях до встановлених тверджень. Переходимо до означення дослiджуваних в роботi класiв. Класи BΩ p,θ визначаються за допомогою мажорантної функцiї Ω(t), t ∈ Rd +, для мiшаного модуля неперервностi Ωl(f, t)p l-го поряд- ку, l ∈ N, функцiї f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, та числового параметра θ, 1 ≤ θ ≤ ∞. Отже, нехай для f ∈ Lp Ωl(f)p := Ωl(f, t)p = sup \|hj \|6tj j=1,d ∥∆l hf∥p – мiшаний модуль неперервностi порядку l, l ∈ N, функцiї f , де ∆l hf(x) = ∆l hd · · ·∆l h1 f(x) = ∆l hd ( ∆l hd−1 · · · (∆l h1 f(x)) ) , h = (h1, . . . , hd), – мiшана l-та рiзниця з кроком hj за змiнною xj , j = 1, d, а ∆l hj f(x) = l∑ n=0 (−1)l−nCn l f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd). Розглянемо далi множину Ψl,d функцiй Ω(t), t ∈ Rd +, типу мiша- ного модуля неперервностi l-го порядку, якi задовольняють умови К. В. Пожарська 385 1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0, d∏ j=1 tj = 0; 2) Ω(t) неперервна на Rd +; 3) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй tj ≥ 0, j = 1, d, при будь-яких фiксованих значеннях iнших змiнних ti, i ̸= j; 4) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) 6 C ( d∏ j=1 mj )l Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d, C > 0 — деяка стала. Варто зазначити, що для кожної f ∈ Lp ї ї модуль неперервностi Ωl(f)p ∈ Ψl,d. При формулюваннi та доведеннi результатiв, на функцiї Ω накла- демо додатково умови (Sα) i (Sl) Барi–Стєчкiна [20]. Для функцiї φ(τ), τ ∈ R+, це означає наступне: а) φ ∈ (Sα), φ > 0, α > 0, якщо функцiя φ(τ) τα майже зростає, тобто якщо iснує така стала C1 > 0, яка не залежить вiд τ1 та τ2, 0 < τ1 6 τ2 6 1, що φ(τ1) τα1 6 C1 φ(τ2) τα2 . б) φ ∈ (Sl), φ > 0, l ∈ N, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке що φ(τ) τγ майже спадає, тобто iснує не залежна вiд τ1 та τ2, 0 < τ1 6 τ2 6 1, стала C2 > 0, така що φ(τ1) τγ1 > C2 φ(τ2) τγ2 . Зауважимо, що умови, еквiвалентнi до умов (Sα) i (Sl), розгляда- лися ранiше С. М. Лозинським [21]. У багатовимiрному випадку будемо говорити, що Ω(t), t ∈ Rd +, d > 1, задовольняє умови (Sα) та (Sl), якщо Ω(t) як функцiя однiєї змiнної tj , j = 1, d, задовольняє цi умови при будь-яких фiксованих значеннях iнших змiнних ti, i ̸= j. Функцiя f ∈ Lp належить простору BΩ p,θ, 1 ≤ p, θ ≤ ∞, Ω ∈ (Sl) ∩ (Sα) ∩Ψl,d, якщо для неї скiнченна напiвнорма \|f \|BΩ p,θ =  ( ∫ πd ( Ωl(f,t)p Ω(t) )θ d∏ j=1 dtj tj ) 1 θ , 1 ≤ θ <∞, sup tj≥0 j=1,d Ωl(f,t)p Ω(t) , θ = ∞. 386 Ентропiйнi числа класiв перiодичних функцiй... Норму у просторi BΩ p,θ визначимо наступним чином ∥f∥BΩ p,θ = ∥f∥p + \|f \|BΩ p,θ , 1 ≤ p, θ ≤ ∞, та будемо розглядати далi одиничнi кулi в цьому просторi, викори- стовуючи для них те ж саме позначення, що i для всього простору, тобто BΩ p,θ = { f ∈ BΩ p,θ : ∥f∥BΩ p,θ ≤ 1 } . Зауважимо, що при θ = ∞ покладають BΩ p,∞ ≡ HΩ p , де класи HΩ p – аналоги класiв Нiкольського Hr p (див., наприклад, [22]). Крiм цього, при Ω(t) = d∏ j=1 t rj j , rj > 0, j = 1, d, класи BΩ p,θ спiвпадають iз класами Нiкольського – Бєсова Br p,θ (див., наприклад, [17, 19]). Для доведення результатiв використовуємо еквiвалентне представ- лення норми ∥f∥BΩ p,θ в термiнах так званого декомпозицiйного норму- вання. Отже, кожному вектору s = (s1, . . . , sd) ∈ Nd поставимо у вiдпо- вiднiсть множину ρ(s) = { k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd : 2sj−1 ≤ \|kj \| < 2sj , j = 1, d } , i для f ∈ Lp покладемо δs(f) := δs(f,x) = ∑ k∈ρ(s) f̂(k)ei(k,x), де f̂(k) = (2π)−d ∫ πd f(t)e−i(k,t) dt – коефiцiєнти Фур’є функцiї f . Вiдомо [16], що при 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω ∈ (Sl) ∩ (Sα) ∩Ψl,d, мають мiсце спiввiдношення: ∥f∥BΩ p,θ ≍  ( ∑ s∈Nd (Ω(2−s)) −θ ∥δs(f)∥θp ) 1 θ , 1 ≤ θ <∞, sup s∈Nd ∥δs(f)∥p Ω(2−s) , θ = ∞, (0.1) де Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d. Зазначимо, що за допомогою деякої модифiкацiї норми можна за- писати подiбне до (0.1) зображення i для граничних значень параме- тра p, а саме для p = 1 i p = ∞ (див., наприклад, [15,23]). К. В. Пожарська 387 У роботi розглянуто функцiї Ω типу мiшаного модуля неперерв- ностi порядку l, l ∈ N, якi мають вигляд Ω(t) = Ω(t1 · · · td) = ω ( d∏ j=1 tj ) , де ω ∈ Ψl,d — функцiя однiєї змiнної типу модуля неперервностi по- рядку l, яка задовольняє умови (Sα) i (Sl) Барi –Стєчкiна. Тепер означимо дослiджувану апроксимативну характеристику. Нехай X – банахiв простiр i BX (y, r) = {x ∈ X : ∥x− y∥X ≤ r} – куля радiуса r з центром в точцi y. Для компактної множини A ⊂ X i ε > 0 через Nε(A,X ) позна- чимо Nε(A,X ) = min { n : ∃y1, . . . ,yn ∈ X : A ⊆ n∪ j=1 BX (yj , ε) } . Тодi ε-ентропiєю множини A вiдносно банахового простору X нази- вають величину [24] Hε(A,X ) = logNε(A,X ). (0.2) (Тут i надалi пiд записом log будемо розумiти log2). З ε-ентропiєю множини A тiсно пов’язане поняття її ентропiйних чисел (див., наприклад, [25]) εk(A,X ) = inf { ε : ∃y1, . . . ,y2k ∈ X : A ⊆ 2k∪ j=1 BX (yj , ε) } . (0.3) Зазначимо, що отримавши оцiнки ентропiйних чисел деякої мно- жини A, можна, як наслiдок, записати вiдповiднi оцiнки її ε-ентропiї, оскiльки з наведених вище означень величин εk(A,X ) та Hε(A,X ) випливає, що при k < Hε(A,X ) ≤ k+1 виконуються спiввiдношення εk+1(A,X ) ≤ ε ≤ εk(A,X ). В процесi доведення одержаних результатiв використанi також числа Mε(A,X )=max { n : ∃x1, . . . ,xn ∈ A : ∥xi−xj∥X > ε, i ̸= j, i, j=1, d } . 388 Ентропiйнi числа класiв перiодичних функцiй... Легко переконатися (див., наприклад, [24]), що Nε(A,X ) ≤Mε(A,X ) ≤ N ε 2 (A,X ). (0.4) Результати роботи сформульовано у термiнах порядкових спiввiд- ношень. Для невiд’ємних послiдовностей {a(n)}∞n=1 i {b(n)}∞n=1 спiв- вiдношення (порядкова нерiвнiсть) a(n) ≪ b(n) означає, що iснує ста- ла C3 > 0 така, що a(n) ≤ C3b(n). Спiввiдношення a(n) ≍ b(n) рiв- носильне тому, що a(n) ≪ b(n) i b(n) ≪ a(n). Зазначимо, що сталi Ci, якi далi будуть зустрiчатися у порядкових спiввiдношеннях, мо- жуть залежати вiд деяких параметрiв. Цi параметри iнколи будемо вказувати, у рештi випадкiв вони будуть зрозумiлими з контексту. Якщо M – деяка скiнченна множина, то через \|M\| будемо позна- чати кiлькiсть елементiв цiєї множини. 1. Допомiжнi твердження Для G ⊂ Zd через T (G) i T (G)q, 1 ≤ q ≤ ∞, позначимо наступнi множини тригонометричних полiномiв: T (G) = { t : t(x) = ∑ k∈G cke i(k,x) } ; T (G)q = {t ∈ T (G) : ∥t∥q ≤ 1} . Далi, нехай Qn = ∪ (s,1)≤n ρ(s), 1 = (1, . . . , 1) ∈ Nd, – “схiдчастий гi- перболiчний хрест” [22, с. 7]. Вiдомо (див., наприклад, [22, с. 70]), що \|Qn\| ≍ 2nnd−1. Теорема 1.1. [2, Лема 2.2]. Нехай 2 ≤ q < ∞. Тодi справедлива оцiнка εM (T (Qn)2, Lq) ≪ {∣∣Qn ∣∣M−1 ( log (∣∣Qn ∣∣M−1 ))2 , 2M ≤ \|Qn\| , 2−M \|Qn\|−1 , 2M ≥ \|Qn\| . Зауважимо, що аналогiчнi до встановлених у теоремi 1.1 оцiнки справедливi також для множини △Qn = Qn \Qn−1. Позначимо через SQn(f) схiдчасто гiперболiчну суму Фур’є фун- кцiї f , тобто SQn(f) := SQn(f,x) = ∑ k∈Qn f̂(k)ei(k,x). К. В. Пожарська 389 Теорема 1.2. [16, Теорема 6]. Нехай 1 < p < q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) = ω ( d∏ j=1 tj ) , де ω задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 p − 1 q . Тодi sup f∈BΩ p,θ ∥f − SQn(f)∥q ≍ ω ( 2−n ) 2 n ( 1 p − 1 q ) n (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + , де a+ = max{a, 0}. 2. Основнi результати Теорема 2.1. Нехай 2 ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а Ω(t) = ω ( d∏ j=1 tj ) , де функцiя ω задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 2 − 1 q та умову (Sl), l ∈ N. Тодi для будь-яких натуральних M i m, таких що M =M(m) ≍ 2mmd−1, справедлива оцiнка εM ( BΩ p,θ, Lq ) ≪ ω ( 2−m ) (logM) (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.1) Доведення. Внаслiдок вкладення BΩ p,θ ⊂ BΩ 2,θ, 2 ≤ p ≤ ∞, достатньо встановити оцiнку (2.1) у випадку p = 2. При цьому, для f ∈ BΩ 2,θ, 1 ≤ θ ≤ ∞, скористаємося оцiнкою величини ∥∥∥∥ ∑ (s,1)=n δs(f) ∥∥∥∥ 2 , яку було одержано пiд час доведення теореми 1 у роботi [27], а саме:∥∥∥∥ ∑ (s,1)=n δs(f) ∥∥∥∥ 2 ≪ ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ , 1 ≤ θ ≤ ∞. (2.2) Далi, виберемо згiдно з M число m ∈ N так, щоб \|Qm−1\| < M ≤ \|Qm\|. Тодi, оскiльки \|Qm\| ≍ \|Qm−1\| ≍ 2mmd−1, то M =M(m) ≍ 2mmd−1. Визначимо числа β та Mn наступним чином: β = 1 2 min {( α− ( 1 2 − 1 q )) ; 1 2 − 1 q } ; (2.3) Mn = { C4(β)M2− 1 2 (m−n), n < m, C4(β)M2−β(n−m), n ≥ m, (2.4) де стала C4(β) > 0 така, що ∞∑ n=1 Mn ≤ M . Зазначимо, що пiдiбрати таку сталу C4(β) можна, оскiльки, згiдно з (2.3), ∞∑ n=1 Mn = m−1∑ n=1 C4(β)M2− 1 2 (m−n) + ∞∑ n=m C4(β)M2−β(n−m) ≪M. 390 Ентропiйнi числа класiв перiодичних функцiй... Нехай тепер Mn = [ Mn ] , де [a] – цiла частина числа a. Тодi ∞∑ n=1 Mn ≤M i, крiм цього, Mn = 0, якщо C4(β)M2−β(n−m) < 1, тобто при n > m1 = m+ β−1 log(C4(β)M). (2.5) Покладемо S△Qn ( BΩ 2,θ ) = { g : g(x) = ∑ k∈△Qn f̂(k)ei(k,x), f ∈ BΩ 2,θ } , ∥∥S△Qn ( BΩ 2,θ )∥∥ q = sup g∈S△Qn(BΩ 2,θ) ∥g∥q . Тодi для ентропiйних чисел εM ( BΩ 2,θ, Lq ) можемо записати εM ( BΩ 2,θ, Lq ) ≤ ∑ n εMn ( S△Qn ( BΩ 2,θ ) , Lq ) = ∑ n≤m1 εMn ( S△Qn ( BΩ 2,θ ) , Lq ) + ∑ n>m1 εMn ( S△Qn ( BΩ 2,θ ) , Lq ) ≤ ∑ n≤m1 εMn ( S△Qn ( BΩ 2,θ ) , Lq ) + ∑ n>m1 ∥∥S△Qn ( BΩ 2,θ )∥∥ q = I1 + I2. (2.6) Оцiнимо спочатку доданок I2. Для цього встановимо оцiнку зверху величини ∥∥∥S△Qn ( BΩ 2,θ )∥∥∥ q . Скориставшись властивiстю Lq-норми, для f ∈ BΩ 2,θ отримаємо ∥∥S△Qn ( BΩ 2,θ )∥∥ q ≤ ∥∥SQn(f)− SQn−1(f) + f − f ∥∥ q ≤ ∥f − SQn(f)∥q + ∥∥f − SQn−1(f) ∥∥ q . (2.7) Враховуючи результат теореми 1.2, iз (2.7) матимемо ∥∥S△Qn ( BΩ 2,θ )∥∥ q ≪ ω ( 2−n ) 2 n ( 1 2 − 1 q ) n (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + . (2.8) Отже, беручи до уваги (2.8) та врахувавши ту обставину, що фун- К. В. Пожарська 391 кцiя ω задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 2 − 1 q , знаходимо I2 = ∑ n>m1 ∥∥S△Qn ( BΩ 2,θ )∥∥ q ≪ ∑ n>m1 ω ( 2−n ) 2 n ( 1 2 − 1 q ) n (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + = ∑ n>m1>m ω (2−n) 2−αn 2−αnω ( 2−n ) 2 n ( 1 2 − 1 q ) n (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + ≪ ω (2−m) 2−αm ∑ n>m1 2 n ( 1 2 − 1 q −α ) n (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + ≪ ω ( 2−m ) 2αm2 m1 ( 1 2 − 1 q −α ) m (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + 1 . (2.9) Оскiльки M = M(m) ≍ 2mmd−1, то iз (2.5) робимо висновок, що m1 ≍ m+ β−1 log(C4(β)2 mmd−1) ≪ m, i тому з (2.9) отримаємо I2 ≪ ω ( 2−m ) 2αm2 m1 ( 1 2 − 1 q −α ) m (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + . (2.10) Далi розглянемо випадки 1 2 − 1 q < α < 2 ( 1 2 − 1 q ) i α ≥ 2 ( 1 2 − 1 q ) . Нехай 1 2− 1 q < α < 2 ( 1 2 − 1 q ) . Тодi, згiдно з (2.3) та (2.5), одержимо β = 1 2 ( α− ( 1 2 − 1 q )) , m1 = m+ 2 α− ( 1 2 − 1 q ) log(C4(β)M). Пiдставляючи у праву частину спiввiдношення (2.10) значення m1 та враховуючи, що M =M(m) ≍ 2mmd−1, будемо мати I2 ≪ ω ( 2−m ) 2αm2 m ( 1 2 − 1 q −α ) M−2m (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + = ω ( 2−m ) 2 m ( 1 2 − 1 q ) M−2m (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + ≍ ω ( 2−m ) 2 m ( 1 2 − 1 q −2 ) m (d−1) (( 1 q − 1 θ ) + −1 ) ≪ ω ( 2−m ) m (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.11) Нехай тепер α ≥ 2 ( 1 2 − 1 q ) . Тодi β = 1 2 ( 1 2 − 1 q ) , i, вiдповiдно, 392 Ентропiйнi числа класiв перiодичних функцiй... m1 = m+ 2 1 2 − 1 q log(C4(β)M). У цьому випадку, з (2.10) отримаємо I2 ≪ ω ( 2−m ) 2αm2 m ( 1 2 − 1 q −α ) M 1− 2 q−2α 1 2− 1 q m (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + = ω ( 2−m ) 2 m ( 1 2 − 1 q ) M 1− 2 q−2α 1 2− 1 q m (d−1) ( 1 q − 1 θ ) + ≍ ω ( 2−m ) 2 m ( 1 2 − 1 q ) 2 m ( 1− 2 q−2α 1 2− 1 q ) m (d−1) ( 1− 2 q−2α 1 2− 1 q + ( 1 q − 1 θ ) + ) ≪ ω ( 2−m ) m (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.12) Об’єднавши (2.12), (2.11) та (2.10), запишемо оцiнку для виразу I2: I2 ≪ ω ( 2−m ) m (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.13) Оцiнимо тепер доданок I1 iз (2.6). З цiєю метою представимо його у виглядi I1 = ∑ n≤m1 εMn ( S△Qn ( BΩ 2,θ ) , Lq ) = ∑ n≤m εMn ( S△Qn ( BΩ 2,θ ) , Lq ) + ∑ m<n≤m1 εMn ( S△Qn ( BΩ 2,θ ) , Lq ) . Беручи до уваги означення множини T (△Qn)2 i частинних сум S△Qn ( BΩ 2,θ ) та спiввiдношення (2.2), запишемо I1 ≪ ∑ n≤m εMn (T (△Qn)2 , Lq)ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ + ∑ m<n≤m1 εMn (T (△Qn)2 , Lq)ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ = I3 + I4. (2.14) Далi, для оцiнки доданку I3 скористаємося теоремою 1.1. Отже, оскiльки для n ≤ m Mn = [ C4(β)M2− 1 2 (m−n) ] , а M = M(m) ≍ 2mmd−1, \| △Qn\| ≍ 2nnd−1, то 2Mn ≍ 2 · 2 n+m 2 md−1 ≥ \| △Qn\| ≍ 2nnd−1. К. В. Пожарська 393 Тому, для виразу I3 можемо записати I3 ≪ ∑ n≤m 2−Mn\|△Qn\|−1 ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≪ ∑ n≤m 2−C4(β)M2− 1 2 (m−n)2−nn−(d−1) ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≪ ∑ n≤m ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.15) Звiдси, враховуючи, що функцiя ω задовольняє умову (Sl), l ∈ N, отримаємо I3 ≪ ∑ n≤m ω (2−n) 2−γn 2−γnn (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≪ ω (2−m) 2−γm ∑ n≤m 2−γnn (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≪ ω ( 2−m ) m (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.16) Переходячи до розгляду випадку 2Mn = 2 [ C4(β)M2−β(n−m) ] ≤ \| △ Qn\| зауважимо, що використання теореми 1.1 не приводить до встановлення бажаної оцiнки доданку I4 з (2.14). У зв’язку з цим, для проведення подальших мiркувань, доведемо допомiжне твердження. Лема 2.1. Нехай 2 < q <∞. Тодi справедлива оцiнка εM (T (∆Qn)2, Lq) ≪ (∣∣∆Qn ∣∣M−1 ) ν 2 , 2M ≤ \|∆Qn\| , де ν = 1− 2 q + η, а η > 0 – деяке достатньо мале число. Доведення. Нехай X — банахiв простiр з нормою ∥ · ∥X . Через BN 2 та SN−1 позначимо, вiдповiдно, одиничну евклiдову кулю в RN та її межу. Нехай також σ = σN — нормована мiра Лебега на SN−1, MX = ∫ SN−1 ∥f∥X dσ. Нехай далi для множини G ⊂ Zd, X G q – банахiв простiр триго- нометричних полiномiв t ∈ TR(G) = {t ∈ T (G) : ck = c−k,k ∈ G} з дiйсними коефiцiєнтами зi звичайною Lq-нормою. Позначимо MG q ≡ MX G q . Е. С. Белiнським [7, с. 123] показано, що εM ( BN 2 , Lq ) ≤ 2 ( εM ( BN 2 , Lt ))ν ≤ 2 (√ N M MG t )ν (2.17) 394 Ентропiйнi числа класiв перiодичних функцiй... для будь-якого t > q i 1 q = 1−ν 2 + ν t . Тому, скориставшись оцiнкою [7, Лема 3.4] MG t ≪ √ t, 2 < q < t <∞, iз (2.17) отримаємо εM ( BN 2 , Lq ) ≪ ( N M ) ν 2 , M ≤ N. Зазначимо, що для доведення леми достатньо розглянути множи- ну TR(∆Qn)2, тобто евклiдову кулю BN 2 у RN , N = \|∆Qn\| 2 . Отже, лема 2.1 доведена. Повернемося до доведення теореми 2.1. Застосовуючи лему 2.1 для оцiнки доданку I4 iз (2.14), та враховуючи, що функцiя ω задо- вольняє умову (Sα) з деяким α > 1 2 − 1 q , отримаємо I4 = ∑ m<n≤m1 εMn (T (△Qn)2 , Lq)ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≪ ∑ m<n≤m1 ( \| △Qn\| Mn ) ν 2 ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≍ ∑ m<n≤m1 ( 2nnd−1 M2−β(n−m) ) ν 2 ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≍ ∑ m<n≤m1 ( 2n(1+β)nd−1 2m(1+β)md−1 ) ν 2 ω ( 2−n ) n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ = ∑ m<n≤m1 ω (2−n) 2−αn 2−αn2− mν 2 (1+β)m− ν 2 (d−1) × 2 nν 2 (1+β)n ν 2 (d−1)n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≪ ω (2−m) 2−αm 2− mν 2 (1+β)m− ν 2 (d−1) × ∑ m<n≤m1 2n( ν 2 (1+β)−α)n ν 2 (d−1)n (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.18) Покажемо, що ν 2 (1 + β) − α < 0. Для цього розглянемо випадки 1 2 − 1 q < α < 2 ( 1 2 − 1 q ) i α ≥ 2 ( 1 2 − 1 q ) . К. В. Пожарська 395 Нехай 1 2 − 1 q < α < 2 ( 1 2 − 1 q ) , β = 1 2 ( α− ( 1 2 − 1 q )) . Тодi ν 2 (1 + β)− α = ν 2 ( 1 + 1 2 ( α− ( 1 2 − 1 q ))) − α = ν 2 + ( 1 2 ν 2 − 1 ) α− 1 2 ν 2 ( 1 2 − 1 q ) . Оскiльки ν = 1− 2 q + η, η > 0, то, виконавши елементарнi перетворе- ння, будемо мати ν 2 (1 + β)− α = ( 1− 1 2 ( 1 2 − 1 q ) − η 2 )( 1 2 − 1 q − α+ η ) . Звiдси легко бачити, що можна пiдiбрати η таким чином, що при 1 2 − 1 q < α < 2 ( 1 2 − 1 q ) справедлива нерiвнiсть ν 2 (1 + β)− α < 0. У випадку α ≥ 2 ( 1 2 − 1 q ) , β = 1 2 ( 1 2 − 1 q ) , виконавши аналогiчнi перетворення, можемо переконатися, що ν 2 (1 + β)− α < 0. Отже, iз (2.18) отримаємо I4 ≪ ω (2−m) 2−αm 2− mν 2 (1+β)m− ν 2 (d−1)2m( ν 2 (1+β)−α)m ν 2 (d−1)m (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ = ω ( 2−m ) m (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.19) Об’єднуючи (2.19), (2.16) iз (2.14), приходимо до оцiнки I2 ≪ ω ( 2−m ) m (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . (2.20) Накiнець, спiвставляючи (2.20), (2.13) i (2.6), та враховуючи, що M = M(m) ≍ 2mmd−1, отримуємо шукану оцiнку зверху: εM ( BΩ 2,θ, Lq ) ≪ ω ( 2−m ) m (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ ≍ ω ( 2−m ) (logM) (d−1)( 1 2 − 1 θ )+ . Теорему 2.1 доведено. Слiд зазначити, що результат теореми 2.1 є новим i в одновимiр- ному випадку. При цьому справедливе наступне твердження. Теорема 2.2. Нехай d = 1, 2 ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а функцiя ω задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 2 − 1 q та умову (Sl), l ∈ N. Тодi справедлива оцiнка εM ( Bω p,θ, Lq ) ≪ ω ( M−1 ) . 396 Ентропiйнi числа класiв перiодичних функцiй... Зауважимо також, що з теореми 2.1 випливає нова порядкова оцiнка вiдповiдних ентропiйних чисел для класiв Бєсова Br p,θ у ви- падку r = (r1, . . . , r1) ∈ Rd +, r1 > 1 2 − 1 q , 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞. Теорема 2.3. Нехай 2 ≤ p ≤ ∞, 2 ≤ q < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а r = (r1, . . . , r1) ∈ Rd +, r1 > 1 2 − 1 q . Тодi справедлива оцiнка εM ( Br p,θ, Lq ) ≪M−r1(logM) (d−1) ( r1+( 1 2 − 1 θ )+ ) . Зауваження 2.1. Для класiв Бєсова Br p,θ, 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ < ∞, r1 > 1, оцiнки ентропiйних чисел у просторi Lq, 1 ≤ q < ∞, встановлено А. С. Романюком [10,11]. Оцiнки величини εM ( Br p,θ, Lq ) , 1 < p, q < ∞, r = (r1, . . . , r1) ∈ Rd, iншими методами отримано також у роботi D. Dung [8]. Для класiв НiкольськогоHr p оцiнки зверху ентропiйних чисел отримано в роботах В. М. Темлякова [2] та, iншим методом, Е .С. Белiнського [7]. Що стосується класiв BΩ p,θ, то оцiнка зверху ентропiйних чисел εM ( BΩ p,θ, Lq ) досi була вiдома [29] лише для випадку 2 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, 1 ≤ q < ∞, Ω(t) = ω ( d∏ j=1 tj ) , при умовi, що функцiя ω задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 та умову (Sl), l ∈ N. Оцiнку знизу ентропiйних чисел класiв BΩ ∞,θ, 1 ≤ θ ≤ ∞, у про- сторi L1 встановлено у теоремi 2 роботи [27]. Звiдси, спiвставивши вiдповiднi результати, приходимо до наступного твердження. Теорема 2.4. Нехай 2 ≤ p, θ ≤ ∞, 2 ≤ q < ∞, а Ω(t) = ω ( d∏ j=1 tj ) , де функцiя ω задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 2 − 1 q та умову (Sl), l ∈ N. Тодi для будь-яких натуральних M i n, таких що M = M(n) ≍ 2nnd−1, справедливе спiввiдношення εM ( BΩ p,θ, Lq ) ≍ ω ( 2−n ) (logM)(d−1)( 1 2 − 1 θ ). Лiтература [1] В. Н. Темляков, Об оценках ε-энтропии и поперечников классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Докл. АН СССР, 301 (1988), No. 2, 288–291. [2] В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 189 (1989), 138–168. К. В. Пожарська 397 [3] E. S. Belinskii, Approximation of functions of several variables by trigonometric polinomials with given number of harmonics, and estimates of ε-entropy // Anal. Math., 15 (1989), 67–74. [4] Е. С. Белинский, Асимптотические характеристики классов функций с условиями на смешанную производную (смешанную разность) // Исследова- ния по теории функций многих вещественных переменных, Ярославль, Яро- слав. ун-т, 1990, 22–37. [5] Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, О наилучших m - членных приближениях и энтропии множеств в пространстве L1 // Матем. заметки, 56 (1994), No. 5, 57–86. [6] V. N. Temlyakov, An inequality for trigonometric polynomials and its application for estimating the entropy numbers // J. Complexity, 11 (1995), 293–307. [7] E. S. Belinskii, Estimates of entropy numbers and Gaussian measures for classes of functions with bounded mixed derivative // J. Approx. Theory, 93 (1998), 114–127. [8] D. Dung, Non-linear approximations using sets of finite cardinality or finite pseudo-dimension // J. Complexity, 17 (2001), No. 2, 467–492. [9] V. N. Temlyakov, An inequality for the entropy numbers and its application // J. Approxim. Theory, 173 (2013), 110–121. [10] А. С. Романюк, Оценки энтропийных чисел и ε-энтропии классов Никольского–Бесова периодических функций многих переменных // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 11 (2014), No. 3, 196–213. [11] А. С. Романюк, Оценки энтропийных чисел и колмогоровских поперечников классов Никольского–Бесова периодических функций многих переменных // Укр. мат. журн., 67 (2015), No. 11, 1540–1556. [12] D. Dung , V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Bi- rkhauser, 2018. [13] V. N. Temlyakov, On the entropy numbers of the mixed smoothness function classes // J. Approxim. Theory, 217 (2017), 26–56. [14] А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi B∞,1 // Укр. мат. журн., 71 (2019), No. 2, 271–282. [15] Н. Н. Пустовойтов, Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным модулем непрерывности // Anal. Math., 20 (1994), No. 2, 35–48. [16] S. Yongsheng, W. Heping, Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН, 219 (1997), 356–377. [17] Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S (r) p,θB(Rn) и S (r)∗ p,θ B, (0 ≤ xj ≤ 2π; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77 (1965, 5–34. [18] Т. И. Аманов, Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной, Алма-Ата, Наука, 1976. [19] П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187 (1989), 143–161. 398 Ентропiйнi числа класiв перiодичних функцiй... [20] Н. К. Бари, С. Б. Стечкин, Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. об-ва, 5 (1956), 483– 522. [21] С. М. Лозинский, Обращение теорем Джексона // Докл. АН СССР, 83 (1952), No. 5, 645–647. [22] В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной произво- дной // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 178 (1986), 1–112. [23] С. А. Стасюк, О. В. Федуник, Апроксимативнi характеристики класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн., 58 (2006), No. 5, 692–704. [24] А. Н. Колмогоров, В. М. Тихомиров, ε-энтропия и ε-емкость множеств в функциональных пространствах // Успехи матем. наук, 14 (1959), No. 2, 3–86. [25] K. Höllig, Diameters of classes of smooth functions // Quant. Approxim, New York, Acad. Press, 1980, 163–176. [26] С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., Наука, 1977. [27] К. В. Пожарська, Оцiнки ентропiйних чисел класiв BΩ p,θ перiодичних фун- кцiй багатьох змiнних у рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн., 70 (2018), No. 9, 1249–1263. [28] Г. Харди, И. Е. Литтлвуд, Дж. Пойа, Неравенства, М., Изд-во иностр. лит., 1948. [29] А. Ф. Конограй, А. П. Мусiєнко, Оцiнки ентропiйних чисел BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Диференцiальнi рiвняння i сумiжнi питання аналiзу: Зб. праць Iн-ту математики НАН України, 14 (2017), No. 3, 222–239. Вiдомостi про авторiв Катерина Вiталiївна Пожарська Iнститут математики НАН України, Київ, Україна E-Mail: kate.shvai@gmail.com

Ентропійні числа класів типу Нікольського-Бєсова періодичних функцій багатьох змінних

Institution

Ähnliche Einträge