О локальном поведении одного класса обратных отображений
Изучены семейства отображений, обратные к которым удовлетворят неравенству типа Полецкого в заданной области. Доказано, что эти семейства равностепенно непрерывны во внутренних точках, если исходная и отображённая области ограничены, а мажоранта, отвечающая за искажение модуля, интегрируема. Если же...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2018
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169412 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О локальном поведении одного класса обратных отображений / Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 399-417. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169412 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1694122020-06-13T01:27:16Z О локальном поведении одного класса обратных отображений Севостьянов, Е.А. Скворцов, С.А. Изучены семейства отображений, обратные к которым удовлетворят неравенству типа Полецкого в заданной области. Доказано, что эти семейства равностепенно непрерывны во внутренних точках, если исходная и отображённая области ограничены, а мажоранта, отвечающая за искажение модуля, интегрируема. Если же исходная область локально связна на своей границе, а граница отображённой области является слабо плоской, соответствующие семейства отображений равностепенно непрерывны во внутренних и граничных точках. We study the families of mappings such that the inverse ones satisfy an inequality of the Poletskii type in the given domain. It is proved that those families are equicontinuous at the inner points, if the initial and mapped domains are bounded, and the majorant responsible for a distortion of the modulus is integrable. But if the initial domain is locally connected on its boundary, and if the boundary of the mapped domain is weakly flat, then the corresponding families of mappings are equicontinuous at the inner and boundary points. 2018 Article О локальном поведении одного класса обратных отображений / Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 399-417. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C65, 31B15, 31B25 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169412 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучены семейства отображений, обратные к которым удовлетворят неравенству типа Полецкого в заданной области. Доказано, что эти семейства равностепенно непрерывны во внутренних точках, если исходная и отображённая области ограничены, а мажоранта, отвечающая за искажение модуля, интегрируема. Если же исходная область локально связна на своей границе, а граница отображённой области является слабо плоской, соответствующие семейства отображений равностепенно непрерывны во внутренних и граничных точках. |
| format |
Article |
| author |
Севостьянов, Е.А. Скворцов, С.А. |
| spellingShingle |
Севостьянов, Е.А. Скворцов, С.А. О локальном поведении одного класса обратных отображений Український математичний вісник |
| author_facet |
Севостьянов, Е.А. Скворцов, С.А. |
| author_sort |
Севостьянов, Е.А. |
| title |
О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_short |
О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_full |
О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_fullStr |
О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_full_unstemmed |
О локальном поведении одного класса обратных отображений |
| title_sort |
о локальном поведении одного класса обратных отображений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169412 |
| citation_txt |
О локальном поведении одного класса обратных отображений / Е.А. Севостьянов, С.А. Скворцов // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 3. — С. 399-417. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT sevostʹânovea olokalʹnompovedeniiodnogoklassaobratnyhotobraženij AT skvorcovsa olokalʹnompovedeniiodnogoklassaobratnyhotobraženij |
| first_indexed |
2025-07-15T04:09:12Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:09:12Z |
| _version_ |
1837684545896316928 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 15 (2018), № 3, 399 – 417
О локальном поведении одного класса
обратных отображений
Евгений А. Севостьянов, Сергей А. Скворцов
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Изучены семейства отображений, обратные к кото-
рым удовлетворят неравенству типа Полецкого в заданной области.
Доказано, что эти семейства равностепенно непрерывны во внутрен-
них точках, если исходная и отображённая области ограничены, а
мажоранта, отвечающая за искажение модуля, интегрируема. Если
же исходная область локально связна на своей границе, а граница
отображённой области является слабо плоской, соответствующие се-
мейства отображений равностепенно непрерывны во внутренних и
граничных точках.
2010 MSC. Обратные отображения, равностепенная непрерывность,
отображения с ограниченным и конечным искажением, модули, ём-
кости.
Ключевые слова и фразы. 30C65, 31B15, 31B25.
1. Введение
Локальное поведение квазиконформных отображений евклидова
пространства хорошо изучено в настоящее время (см., напр., [1, тео-
рема 19.2], [2, теорема 3.17] и [3, лемма 3.12, следствие 3.22]). Опреде-
лённое число работ посвящено, при этом, их поведению в замыкании
заданной области. Отметим, например, [4, теорема 3.1] и [5, теоре-
ма 3.1], см. также [6, 7] и [8]. Поставим теперь вопрос о том, каково
локальное поведение соответствующих обратных отображений?
В рамках класса квазиконформных гомеоморфизмов этот вопрос
бессодержателен. В самом деле, квазиконформность прямого отобра-
жения f влечёт квазиконформность отображения f −1 (при этом, по-
стоянная квазиконформности отображений одна и та же, см. напр., [1,
Статья поступила в редакцию 17.04.2018
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
400 О локальном поведении одного класса...
следствие 13.3]; см. также [1, теорема 34.3]). Таким образом, изуче-
ние отображений, обратных к квазиконформным, не приносит ничего
нового и поставленный вопрос снимается.
Ситуация существенно изменится, если вместо этого мы рассмо-
трим некоторый более общий класс гомеоморфизмов. Введём в рас-
смотрение этот класс. Пусть M обозначает модуль семейств кривых
(см. [1]), а dm(x) соответствует мере Лебега в Rn. Допустим, что в
области D ⊂ Rn, n > 2, задано отображение f : D → Rn, и оно
удовлетворяет неравенству вида
M(f(Γ)) 6
∫
D
Q(x) · ρn(x) dm(x) ∀ ρ ∈ admΓ (1.1)
где Q : D → [1,∞] – некоторая (заданная) фиксированная функция
(см., напр., [9]). Напомним, что ρ ∈ admΓ в том и только том случае,
если ∫
γ
ρ(x)|dx| > 1 ∀ γ ∈ Γ .
О выполнении оценок вида (1.1) в различных классах отображений
см., напр., [10, теоремы 4.6 и 6.10]. Отметим, что в случае произволь-
ной функции Q мы не можем заменить f на f −1 в (1.1); по этому
поводу см. пример 5.2, приведённый в конце работы. Изучение го-
меоморфизмов g, обратные к которым удовлетворяют соотношению
(1.1), является темой исследования настоящей статьи. Далее будет
построен пример семейства отображений с условием (1.1), которое не
является равностепенно непрерывным в заданной области, при этом,
«обратное» к нему семейство является таковым. Исходя из сказанно-
го, изучение локального поведения таких отображений имеет смысл.
Следует указать на наши публикации [11] и [12], в которых ис-
следовались аналогичные вопросы. Отметим, что основные теоремы
этих работ задействуют весьма сильные условия на геометрию обла-
стей и рассматриваемые отображения, поэтому по силе утверждений
они не сопоставимы с результатами данной статьи. В частности, мы
отказываемся от условий нормировки в исследуемых классах; как по-
казывает пример 5.1, приведённый, в конце работы, это существенно
обогащает результаты с точки зрения приложений. Немного неожи-
данным открытием для нас стало также то обстоятельство, что рав-
ностепенная непрерывность отображений внутри области никак не
связана с геометрией этой области. Относительно последней, мы тре-
буем лишь её ограниченность, а также ограниченность её образа при
отображении. Отметим, что все ранние результаты, учитывая и те,
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 401
что относятся к статьям [11] и [12], так или иначе включали в себя
какие-либо дополнительные условия на области и их границы.
Основные определения и обозначения, используемые ниже, могут
быть найдены в монографиях [1] и [13], и потому опускаются. Пусть
E, F ⊂ Rn – произвольные множества. В дальнейшем всюду симво-
лом Γ(E,F,D) мы обозначаем семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn,
которые соединяют E и F в D, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D
при t ∈ (a, b). Напомним, что область D ⊂ Rn называется локаль-
но связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки
x0 найдется окрестность V ⊂ U точки x0 такая, что V ∩ D связно.
Область D локально связна на ∂D, если D локально связна в ка-
ждой точке x0 ∈ ∂D. Граница области D называется слабо плоской
в точке x0 ∈ ∂D, если для каждого P > 0 и для любой окрестности
U точки x0 найдётся окрестность V ⊂ U этой же точки такая, что
M(Γ(E,F,D)) > P для произвольных континуумов E,F ⊂ D, пере-
секающих ∂U и ∂V. Граница области D называется слабо плоской,
если соответствующее свойство выполнено в каждой точке границы
D.
Для областей D,D ′ ⊂ Rn, n > 2, и произвольной измеримой по
Лебегу функции Q : Rn → [1,∞], Q(x) ≡ 0 при x ̸∈ D, обозначим
через RQ(D,D
′) семейство всех отображений g : D ′ → D таких,
что f = g−1 – гомеоморфизм области D на D ′ с условием (1.1).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.1. Предположим, что D и D ′ – компакты в Rn. Если
Q ∈ L1(D), то семейство RQ(D,D
′) равностепенно непрерывно в
D ′.
Для числа δ > 0, областей D,D ′ ⊂ Rn, n > 2, континуума A ⊂
D и произвольной измеримой по Лебегу функции Q : Rn → [1,∞],
Q(x) ≡ 0 при x ̸∈ D, обозначим через Sδ,A,Q(D,D
′) семейство всех
отображений g : D ′ → D таких, что f = g−1 – гомеоморфизм области
D на D ′ с условием (1.1), при этом, diam f(A) > δ. Справедливо
следующее утверждение.
Теорема 1.2. Предположим, что область D локально связна во
всех граничных точках, D и D ′ – компакты в Rn, а область D ′ име-
ет слабо плоскую границу. Предположим также, что любая компо-
нента связности ∂D ′ есть невырожденный континуум. Если Q ∈
L1(D), то каждое отображение g ∈ Sδ,A,Q(D,D
′) продолжается по
непрерывности до отображения g : D ′ → D, g|D ′ = g, при этом,
g(D ′) = D и семейство Sδ,A,Q(D,D ′), состоящее из всех продол-
женных отображений g : D ′ → D, равностепенно непрерывно в D ′.
402 О локальном поведении одного класса...
Замечание 1.1. Утверждение теоремы 1.1 впервые было установ-
лено авторами в метрических пространствах при весьма сильных до-
полнительных условиях на области D иD ′, см. [12, теорема 2]. Основ-
ным достижением настоящей статьи является утверждение этой те-
оремы без каких-либо условий на эти области, кроме их ограничен-
ности. Версия теоремы 1.2, относящаяся к метрическим пространс-
твам, опубликована в [12, теорема 3] и доказана в предположении,
что областьD ′ является QED-областью. Последнее условие является
более сильным по отношению к условию слабой плоскости границы,
см. [13, замечание 3.14]. Таким образом, в евклидовом пространстве
теорема 1.2 является более сильным утверждением по сравнению с
результатами из [12].
2. Вспомогательные сведения
Прежде всего, установим два элементарных утверждения, играю-
щих важную роль при доказательстве основных результатов. Пусть
I – открытый замкнутый, либо полуоткрытый интервал в R. Как
обычно, для кривой γ : I → Rn полагаем:
|γ| = {x ∈ Rn : ∃ t ∈ [a, b] : γ(t) = x} ,
при этом, |γ| называется носителем (образом) γ. Будем говорить, что
кривая γ лежит в области D, если |γ| ⊂ D, кроме того, будем гово-
рить, что кривые γ1 и γ2 не пересекаются, если не пересекаются их
носители. Кривая γ : I → Rn называется жордановой дугой, если γ
– гомеоморфизм на I. Следующее утверждение доказано в [12, пре-
дложение 1], однако, ради полноты изложения мы приведём его до-
казательство полностью.
Лемма 2.1. Пусть D – область в Rn, n > 2, локально связная на
своей границе. Тогда любые две пары различных точек a ∈ D, b ∈ D,
и c ∈ D, d ∈ D можно соединить непересекающимися между собой
кривыми γ1 : [0, 1] → D и γ2 : [0, 1] → D, такими, что γi(t) ∈ D при
всех t ∈ (0, 1), i = 1, 2, γ1(0) = a, γ1(1) = b, γ2(0) = c, γ2(1) = d.
Доказательство. Заметим, что точки области, локально связной на
границе, являются достижимыми изнутри области посредством кри-
вых (см. [13, предложение 13.2]). В таком случае, если n > 3, сое-
диним точки a и b произвольной жордановой дугой γ1 в области D,
не проходящей через точки c и d (что возможно ввиду локальной
связности D на границе и переходом от кривой к ломаной, если это
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 403
необходимо). Тогда γ1 не разбивает область D как множество топо-
логической размерности 1 (см. [14, следствие 1.5.IV]), что и обеспе-
чивает существование искомой кривой γ2. Таким образом, в случае
n > 3 утверждение леммы 2.1 установлено.
Пусть теперь n = 2, тогда снова точки c и d не разбивают область
D ( [14, следствие 1.5.IV]). В таком случае, также можно соединить
точки a и b жордановой дугой γ1 в D, не проходящей через точки
c и d. Ввиду теоремы Антуана (см. [15, теорема 4.3, § 4]) область D
можно отобразить на некоторую область D ∗ посредством плоского
гомеоморфизма φ : R2 → R2 так, что φ(γ1) = J и J – отрезок в D ∗.
Заметим также, что точки границы области D ∗ являются достижи-
мыми изнутри D ∗ посредством кривых. Таким образом, мы можем
соединить точки φ(c) и φ(d) вD ∗ жордановой кривой α2 : [0, 1] → D ∗,
которая целиком лежит в D ∗, кроме, может быть, своей концевой то-
чки α2(1) = φ(d).
Осталось показать, что кривую α2 можно выбрать так, что она
не будет пересекать отрезок J. В самом деле, пусть α2 пересекает J,
и пусть t1 и t2 – соответственно, наибольшее и наименьшее значение
t ∈ [0, 1], для которых α2(t) ∈ |J |. Пусть также
J = J(s) = φ(a) + (φ(b)− φ(a))s, s ∈ [0, 1]
– параметризация отрезка J. Пусть s̃1 и s̃2 ∈ (0, 1) таковы, что J(s̃1) =
α2(t1) и J(s̃2) = α2(t2). Положим s2 = max{s̃1, s̃2}. Пусть e1 = φ(b)−
φ(a) и e2 – единичный вектор, ортогональный e1, тогда множество
Pε = {x = φ(a) + x1e1 + x2e2, x1 ∈ (−ε, s2 + ε), x2 ∈ (−ε, ε)} , ε > 0 ,
представляет собой прямоугольник, содержащий |J1|, где J1 – суже-
ние J на отрезок [0, s2] (см. рисунок 1). Выберем ε > 0 так, что
φ(c) ̸∈ Pε, dist (Pε, ∂D
∗) > ε. Ввиду [16, теорема 1.I, гл. 5, § 46])
кривая α2 пересекает ∂Pε при некоторых T1 < t1 и T2 > t2. Пусть
α2(T1) = y1 и α2(T2) = y2. Так как ∂Pε \ {z0}, z0 := φ(a) + (s2 + ε)e1,
– связное множество, можно соединить точки y1 и y2 кривой α ∗(t) :
[T1, T2] → ∂Pε \ {z0}. Окончательно, положим
α ∗
2 (t) =
{
α2(t), t ∈ [0, 1] \ [T1, T2],
α ∗(t), t ∈ [T1, T2]
и γ ∗
2 := φ−1 ◦α ∗
2 . Тогда γ1 соединяет a и b в D, а γ ∗
2 соединяет c и d в
D, при этом, γ1 и γ ∗
2 не пересекаются, что и следовало установить.
Выше мы ввели в рассмотрение понятие слабо плоской границы
области, не упоминая, при этом, о внутренних точках. Следующая
404 О локальном поведении одного класса...
d
1g
a
b
ñ
*
2
1*
2 ajg o
-=
D
D
*
y1
y2
( )bj
( )cj
( )aj
( )dj
eP
*
2a
Рис. 1: Возможность соединения двух пар точек кривыми в области
лемма содержит в себе утверждение о том, что в указанных точках
свойство “слабой плоскости” всегда имеет место.
Лемма 2.2. Пусть D – область в Rn, n > 2, и x0 ∈ D. Тогда для
каждого P > 0 и для любой окрестности U точки x0 найдётся окре-
стность V ⊂ U этой же точки такая, что M(Γ(E,F,D)) > P для
произвольных континуумов E,F ⊂ D, пересекающих ∂U и ∂V.
Доказательство. Пусть U – произвольная окрестность точки x0. Вы-
берем ε0 > 0 так, чтобы B(x0, ε0) ⊂ D ∩ U. Пусть cn – положитель-
ная постоянная, определённая в соотношении (10.11) в [1], а число
ε ∈ (0, ε0) настолько мало, что cn · log ε0
ε > P. Положим V := B(x0, ε).
Пусть E,F – произвольные континуумы, пересекающие ∂U и ∂V, то-
гда также E и F пересекают S(x0, ε0) и ∂V (см. [16, теорема 1.I, гл. 5, §
46]). Необходимое заключение вытекает на основании [1, разд. 10.12],
поскольку
M(Γ(E,F,D)) > cn · log ε0
ε
> P .
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 405
3. Доказательство теоремы 1.1
Проведём доказательство теоремы 1.1 от противного. Предполо-
жим, что семейство RQ(D,D
′) не является равностепенно непрерыв-
ным в некоторой точке y0 ∈ D ′, другими словами, найдутся y0 ∈ D ′
и ε0 > 0, такие что для любого m ∈ N существует элемент ym ∈ D ′,
|ym − y0| < 1/m, и гомеоморфизм gm ∈ RQ(D,D
′), для которых
|gm(ym)− gm(y0)| > ε0 . (3.1)
Проведём через точки gm(ym) и gm(y0) прямую r = rm(t) = gm(y0) +
(gm(ym)−gm(y0))t,−∞ < t <∞ (см. рисунок 2). Заметим, что указан-
m
2x
m
1x
m
1z
m
2z
mG
Qm
Pm
g (y )m 0
g (y )m m
D
fm
gm
D
p1
p2
f (P )m m
f ( )m mQ
f ( )m
m
1z
f ( )m
m
2z
f ( )m mG
ym
y0
Рис. 2: К доказательству теоремы 1.1
ная прямая r = rm(t) при t > 1 обязана пересекать границу области
D ввиду [16, теорема 1.I, гл. 5, § 46]), поскольку область D ограни-
чена; таким образом, существует tm1 > 1 такое, что rm(tm1 ) = xm1 ∈
∂D. Не ограничивая общности, можно считать, что rm(t) ∈ D при
всех t ∈ [1, tm1 ), тогда отрезок γm1 (t) = gm(y0) + (gm(ym) − gm(y0))t,
t ∈ [1, tm1 ], принадлежит D при всех t ∈ [1, tm1 ), γm1 (tm1 ) = xm1 ∈ ∂D и
γm1 (1) = gm(ym). Ввиду аналогичных соображений, найдутся tm2 < 0
и отрезок γm2 (t) = gm(y0) + (gm(ym) − gm(y0))t, t ∈ [tm2 , 0], такие, что
γm2 (tm2 ) = xm2 ∈ ∂D, γm2 (0) = gm(y0) и γm2 (t) принадлежит D при
всех t ∈ (tm2 , 0]. Положим fm := g−1
m . Так как fm – гомеоморфизм, то
при каждом фиксированном m ∈ N предельные множества C(fm, xm1 )
и C(fm, x
m
2 ) отображений fm в соответствующих граничных точках
xm1 , x
m
2 ∈ ∂D лежат на ∂D ′ (см. [13, предложение 13.5]). Следователь-
но, найдётся точка zm1 ∈ D∩|γm1 | такая, что dist (fm(zm1 ), ∂D ′) < 1/m.
406 О локальном поведении одного класса...
Так как D ′ – компакт, то можно считать, что последовательность
fm(zm1 ) → p1 ∈ ∂D ′ при m → ∞. Аналогично, найдётся последо-
вательность zm2 ∈ D ∩ |γm2 | такая, что dist (fm(zm2 ), ∂D ′) < 1/m и
fm(zm2 ) → p2 ∈ ∂D ′ при m→ ∞.
Пусть Pm – часть отрезка γm1 , заключённая между точек gm(ym)
и zm1 , а Qm – часть отрезка γm2 , заключённая между точек gm(y0)
и zm2 . По построению и ввиду (3.1), dist (Pm, Qm) > ε0 > 0. Пусть
Γm = Γ(Pm, Qm, D), тогда функция
ρ(x) =
{ 1
ε0
, x ∈ D,
0, x /∈ D
является допустимой для семейства Γm, поскольку для произволь-
ной (локально спрямляемой) кривой γ ∈ Γm выполнено
∫
γ
ρ(x)|dx| >
l(γ)
ε0
> 1 (где l(γ) обозначает длину кривой γ). Поскольку по условию
отображения fm удовлетворяют (1.1), получаем:
M(fm(Γm)) 6 1
εn0
∫
D
Q(x) dm(x) := c <∞ , (3.2)
т.к. Q ∈ L1(D). С другой стороны, diam fm(Pm) > |ym − fm(zm1 )| >
(1/2) · |y0−p1| > 0 и diam fm(Qm) > |y0−fm(zm2 )| > (1/2) · |y0−p2| > 0
при больших m ∈ N, кроме того,
dist (fm(Pm), fm(Qm)) 6 |ym − y0| → 0, m→ ∞ .
Тогда ввиду леммы 2.2
M(fm(Γm)) =M(Γ
(
fm(Pm), fm(Qm), D ′)
)
→ ∞ , m→ ∞ ,
что противоречит соотношению (3.2). Полученное противоречие ука-
зывает на ошибочность предположения в (3.1), что и завершает до-
казательство теоремы. 2
4. О поведении отображений в замыкании области
Перейдём к вопросу о глобальном поведении отображений. Сле-
дующее утверждение указывает на то, что для достаточно хороших
областей и отображений с условием (1.1) образ фиксированного кон-
тинуума при этих отображениях не может приближаться к границе
соответствующей области, как только евклидов диаметр образа этого
континуума ограничен снизу (см. также [1, теоремы 21.13 и 21.14]).
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 407
Лемма 4.1. Предположим, что область D локально линейно свя-
зна на D, D и D ′ – компакты в Rn, n > 2, D ′ имеет слабо плоскую
границу, Q ∈ L1(D) и никакая связная компонента границы ∂D ′
не вырождается в точку. Пусть fm : D → D ′ – последователь-
ность гомеоморфизмов области D на область D ′ с условием (1.1).
Пусть также найдутся континуум A ⊂ D и число δ > 0 такие,
что diam fm(A) > δ > 0 при всех m = 1, 2, . . . . Тогда найдётся δ1 > 0
такое, что
dist (fm(A), ∂D ′) > δ1 > 0 ∀ m ∈ N .
Доказательство. Предположим противное, т.е., предположим что для
каждого k ∈ N существует m = mk : dist (fmk
(A), ∂D ′) < 1/k. Без
ограничения общности мы можем считать последовательность mk
монотонно возрастающей. По условию D ′ – компакт, поэтому и ∂D ′
также компакт как замкнутое подмножество компакта D ′. Кроме то-
го, fmk
(A) – компакт как непрерывный образ компакта A при ото-
бражении fmk
. Тогда найдутся xk ∈ fmk
(A) и yk ∈ ∂D ′ такие, что
dist (fmk
(A), ∂D ′) = |xk − yk| < 1/k (см. рисунок 3). Так как ∂D ′ –
A
kG
D
Uk Uk
DD
D
zk
kg
U
wk
xk y0
V
yk
gmk
(| k|)
gmk
fmk
fmk
(A)
f
mk
(
k )
Рис. 3: К доказательству леммы 4.1
компакт, можно считать, что yk → y0 ∈ ∂D ′, k → ∞; тогда также
xk → y0 ∈ ∂D ′, k → ∞ .
408 О локальном поведении одного класса...
Пусть K0 – связная компонента ∂D ′, содержащая точку y0, тогда,
очевидно, K0 – континуум в Rn. Поскольку D ′ имеет слабо плоскую
границу, при каждом k ∈ N отображение gmk
:= f −1
mk
продолжа-
тся до непрерывного отображения gmk
: D ′ → D (см. [13, теоре-
ма 4.6]), более того, gmk
равномерно непрерывно на D ′ как отобра-
жение, непрерывное на компакте. Тогда для всякого ε > 0 найдётся
δk = δk(ε) < 1/k такое, что
|gmk
(x)− gmk
(x0)| < ε ∀ x, x0 ∈ D ′, |x− x0| < δk , δk < 1/k .
(4.1)
Пусть далее ε > 0 – произвольное число с условием
ε < (1/2) · dist (∂D,A) , (4.2)
где A – континуум из условия леммы. При каждом фиксированном
k ∈ N рассмотрим множество
Bk :=
∪
x0∈K0
B(x0, δk) , k ∈ N .
Заметим, что Bk – открытое множество, содержащее K0, другими
словами, Bk – некоторая окрестность континуума K0. Ввиду [17, лем-
ма 2.2] существует окрестность Uk ⊂ Bk континуума K0, такая, что
Uk ∩D ′ связно. Не ограничивая общности, можно считать, что Uk –
открытое множество, тогда Uk ∩ D ′ также линейно связно (см. [13,
предложение 13.1]). Пусть diamK0 = m0, тогда найдутся z0, w0 ∈ K0
такие, что diamK0 = |z0 −w0| = m0. Следовательно, можно выбрать
последовательности yk ∈ Uk ∩ D ′, zk ∈ Uk ∩ D ′ и wk ∈ Uk ∩ D ′ так,
что zk → z0, yk → y0 и wk → w0 при k → ∞. Можно считать, что
|zk − wk| > m0/2, ∀ k ∈ N . (4.3)
Соединим последовательно точки zk, yk и wk кривой γk в Uk ∩ D ′
(это возможно, поскольку Uk ∩D ′ линейно связно). Пусть |γk| – как
обычно, носитель (образ) кривой γk в D ′. Тогда gmk
(|γk|) – компакт в
D. Пусть x ∈ |γk|, тогда найдётся x0 ∈ K0 : x ∈ B(x0, δk). Зафиксиру-
ем ω ∈ A ⊂ D. Поскольку x ∈ |γk|, то x – внутренняя точка области
D ′, так что мы вправе писать gmk
(x) вместо gmk
(x) для указанных
x. В таком случае, из (4.1) и (4.2), ввиду неравенства треугольника,
для больших k ∈ N получаем:
|gmk
(x)− ω| > |ω − gmk
(x0)| − |gmk
(x0)− gmk
(x)|
> dist (∂D,A)− (1/2) · dist (∂D,A) = (1/2) · dist (∂D,A) > ε . (4.4)
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 409
Переходя в (4.4) к inf по всем x ∈ |γk| и всем ω ∈ A, мы получим:
dist (gmk
(|γk|), A) > ε, ∀ k = 1, 2, . . . . (4.5)
Ввиду (4.5) длина произвольной кривой, соединяющей gmk
(|γk|) и A
в D, не меньше ε. Положим Γk := Γ(gmk
(|γk|), A,D), тогда функция
ρ(x) = 1/ε при x ∈ D и ρ(x) = 0 при x ̸∈ D допустима для Γk,
поскольку
∫
γ
ρ(x)|dx| > l(γ)
ε > 1 для γ ∈ Γk (где l(γ) обозначает длину
кривой γ). По определению отображений fmk
в (1.1), имеем:
M(fmk
(Γk)) 6
1
εn
∫
D
Q(x) dm(x) = c = c(ε,Q) <∞ , (4.6)
поскольку по условию Q ∈ L1(D).
Покажем теперь, что мы приходим к противоречию с (4.6) ввиду
слабой плоскости границы ∂D ′. Выберем в точке y0 ∈ ∂D ′ шар U :=
B(y0, r0), где r0 > 0 и r0 < min{δ/4,m0/4}, δ – число из условия
леммы, а diamK0 = m0. Заметим, что |γk| ∩ U ̸= ∅ ̸= |γk| ∩ (D ′ \ U)
при достаточно больших k ∈ N, поскольку diam |γk| > m0/2 > m0/4 и
yk ∈ |γk|, yk → y0 при k → ∞. Ввиду тех же соображений fmk
(A)∩U ̸=
∅ ̸= fmk
(A) ∩ (D ′ \ U). Так как |γk| и fmk
(A) – континуумы, то
fmk
(A) ∩ ∂U ̸= ∅, |γk| ∩ ∂U ̸= ∅ , (4.7)
см. [16, теорема 1.I, гл. 5, § 46]. Для фиксированного P > 0, пусть
далее V ⊂ U – окрестность точки y0, соответствующая определе-
нию слабо плоской границы, т.е., такая, что для любых континуумов
E,F ⊂ D ′ с условием E ∩ ∂U ̸= ∅ ̸= E ∩ ∂V и F ∩ ∂U ̸= ∅ ̸= F ∩ ∂V
выполнено неравенство
M(Γ(E,F,D ′)) > P . (4.8)
Заметим, что при достаточно больших k ∈ N
fmk
(A) ∩ ∂V ̸= ∅, |γk| ∩ ∂V ̸= ∅ . (4.9)
В самом деле, yk ∈ |γk|, xk ∈ fmk
(A), где xk, yk → y0 ∈ V при k → ∞,
поэтому |γk| ∩ V ̸= ∅ ̸= fmk
(A) ∩ V при больших k ∈ N. Кроме
того, diamV 6 diamU = 2r0 < m0/2 и, поскольку diam|γk| > m0/2
ввиду (4.3), то |γk| ∩ (D ′ \ V ) ̸= ∅. Тогда |γk| ∩ ∂V ̸= ∅ (см. [16,
теорема 1.I, гл. 5, § 46]). Аналогично, diamV 6 diamU = 2r0 < δ/2
и, поскольку diam fmk
(A) > δ по условию леммы, то fmk
(A) ∩ (D ′ \
410 О локальном поведении одного класса...
V ) ̸= ∅. Ввиду [16, теорема 1.I, гл. 5, § 46] имеем: fmk
(A) ∩ ∂V ̸= ∅.
Соотношения в (4.9) установлены.
Таким образом, согласно (4.7), (4.8) и (4.9), мы получим, что
M(Γ(fmk
(A), |γk|, D ′)) > P . (4.10)
Заметим, что Γ(fmk
(A), |γk|, D ′) = fmk
(Γ(A, gmk
(|γk|), D)) = fmk
(Γk),
так что неравенство (4.10) может быть переписано в виде
M(Γ(fmk
(A), |γk|, D ′)) =M(fmk
(Γk)) > P ,
что противоречит неравенству (4.6). Полученное противоречие ука-
зывает на неверность предположения dist (fmk
(A), ∂D ′) < 1/k. Лем-
ма доказана. 2
Доказательство теоремы 1.2. Поскольку D ′ имеет слабо пло-
скую границу, каждое g ∈ Sδ,A,Q(D,D
′) продолжается до непрерыв-
ного отображения g : D ′ → D (см. [13, теорема 4.6]).
Проверим равенство g(D ′) = D. В самом деле, по определению
g(D ′) ⊂ D. Осталось показать обратное включение D ⊂ g(D ′). Пусть
x0 ∈ D, тогда покажем, что x0 ∈ g(D ′). Если x0 ∈ D, то либо x0 ∈ D,
либо x0 ∈ ∂D. Если x0 ∈ D, то доказывать нечего, так как по условию
g(D ′) = D. Пусть теперь x0 ∈ ∂D, тогда найдутся xk ∈ D и yk ∈ D ′
такие, что xk = g(yk) и xk → x0 при k → ∞. Поскольку D ′ – компакт,
можно считать, что yk → y0 ∈ D ′ при k → ∞. Так как f = g−1 –
гомеоморфизм, то y0 ∈ ∂D ′.Поскольку g−1 непрерывно вD ′, g(yk) →
g(y0). Однако, в таком случае, g(y0) = x0, ибо g(yk) = xk и xk → x0,
k → ∞. Значит, x0 ∈ g(D ′). ВключениеD ⊂ g(D ′) доказано и, значит,
D = g(D ′), что и требовалось установить.
Равностепенная непрерывность семейства Sδ,A,Q(D,D ′) во вну-
тренних точках D ′ есть результат теоремы 1.1. Осталось показать,
что это семейство равностепенно непрерывно в граничных точках.
Проведём доказательство от противного. Допустим, найдётся точка
z0 ∈ ∂D ′, число ε0 > 0 и последовательности zm ∈ D ′, zm → z0 при
m→ ∞ и gm ∈ Sδ,A,Q(D,D ′) такие, что
|gm(zm)− gm(z0)| > ε0, m = 1, 2, . . . . (4.11)
Положим gm := gm|D ′ . Так как gm по непрерывности продолжается
на границу D ′, можно считать, что zm ∈ D ′ и, значит, gm(zm) =
gm(zm). Кроме того, найдётся ещё одна последовательность z ′
m ∈ D ′,
z ′
m → z0 при m → ∞, такая, что |gm(z ′
m) − gm(z0)| → 0 при m → ∞.
Так как D – компакт, мы можем считать, что последовательности
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 411
gm(zm) и gm(z0) являются сходящимися приm→ ∞. Пусть gm(zm) →
x1 и gm(z0) → x2 при m → ∞. По непрерывности модуля из (4.11)
вытекает, что x1 ̸= x2, более того, так как гомеоморфизмы сохраняют
границу, x2 ∈ ∂D. Пусть x1 и x2 – произвольные различные точки
континуума A, ни одна из которых не совпадает с x1. По лемме 2.1
можно соединить точки x1 и x1 кривой γ1 : [0, 1] → D, а точки x2 и
x2 – кривой γ2 : [0, 1] → D так, что |γ1| ∩ |γ2| = ∅, γi(t) ∈ D при всех
t ∈ (0, 1), i = 1, 2, γ1(0) = x1, γ1(1) = x1, γ2(0) = x2 и γ2(1) = x2. Так
как D локально связна на своей границе, найдутся окрестности U1
и U2 точек x1 и x2, замыкания которых не пересекаются, такие что
Wi := D∩Ui – линейно связное множество. Уменьшая окрестности Ui,
если это необходимо, мы можем считать, что U1∩|γ2| = ∅ = U2∩|γ1|.
Не ограничивая общности, мы можем считать, что gm(zm) ∈ W1 и
gm(z ′
m) ∈ W2 при всех m ∈ N. Пусть a1 и a2 – произвольные точки,
принадлежащие |γ1|∩W1 и |γ2|∩W2. Пусть t1, t2 таковы, что γ1(t1) =
a1 и γ2(t2) = a2. Соединим точку a1 с точкой gm(zm) кривой αm :
[t1, 1] → W1 такой, что αm(t1) = a1 и αm(1) = gm(zm). Аналогично,
соединим точку a2 с точкой gm(z ′
m) кривой βm : [t2, 1] → W2 такой,
что βm(t2) = a2 и βm(1) = gm(z ′
m) (см. рисунок 4). Положим теперь
D
D
A
x1
x2gm m(z ) a1
gm m(z ) a2
m
Cm
1
Cm
2
x1
x2 fm
gm
f (x )m 1
f (x )m 2
fm( )m
z0
zm
zmfm
(| |)
Cm
1
fm
(| |)
Cm
2
Рис. 4: К доказательству теоремы 1.2
C1
m(t) =
{
γ1(t), t ∈ [0, t1],
αm(t), t ∈ [t1, 1],
C2
m(t) =
{
γ2(t), t ∈ [0, t2],
βm(t), t ∈ [t2, 1].
Пусть, как обычно, |C1
m| и |C2
m| – носители кривых C1
m и C2
m, соответ-
ственно. Заметим, что по построению |C1
m| и |C2
m| – два непересека-
ющихся континуума в D, причём dist (|C1
m|, |C2
m|) > l0 > 0 при всех
412 О локальном поведении одного класса...
m = 1, 2, . . . . Можно взять, например,
l0 = min{dist (|γ1|, |γ2|),dist (|γ1|, U2),dist (|γ2|, U1),dist (U1, U2)}.
Пусть теперь Γm – семейство кривых, соединяющих |C1
m| и |C2
m| в D.
Тогда функция
ρ(x) =
{ 1
l0
, x ∈ D
0, x /∈ D
является допустимой для семейства Γm, поскольку
∫
γ
ρ(x)|dx| > l(γ)
l0
>
1 для γ ∈ Γm (где l(γ) обозначает длину кривой γ). По условию
отображения fm, fm = g−1
m , удовлетворяют (1.1) при Q ∈ L1(D),
ввиду чего получаем:
M(fm(Γm)) 6 1
ln0
∫
D
Q(x) dm(x) := c = c(l0, Q) <∞ . (4.12)
С другой стороны, по лемме 4.1 найдётся число δ1 > 0 такое, что
dist (fm(A), ∂D ′) > δ1 > 0, m = 1, 2, . . . . Отсюда получим, что
diam fm(|C1
m|) > |zm − fm(x1)| > (1/2) · dist (fm(A), ∂D ′) > δ1/2 ,
diam fm(|C2
m|) > |z ′
m − fm(x2)| >
> (1/2) · dist (fm(A), ∂D ′) > δ1/2 (4.13)
при некотором M0 ∈ N и всех m > M0. Выберем в точке z0 ∈ ∂D ′
шар U := B(z0, r0), где r0 > 0 и r0 < δ1/4, где δ1 – число из соотно-
шений в (4.13). Заметим, что fm(|C1
m|)∩U ̸= ∅ ̸= fm(|C1
m|)∩ (D ′ \U)
при достаточно больших m ∈ N, поскольку diam fm(|C1
m|) > δ1/2 и
zm ∈ fm(|C1
m|), zm → z0 при m → ∞. Ввиду тех же соображений
fm(|C2
m|)∩U ̸= ∅ ̸= fm(|C2
m|)∩ (D ′ \U). Так как fm(|C1
m|) и fm(|C2
m|)
– континуумы, то
fm(|C1
m|) ∩ ∂U ̸= ∅, fm(|C2
m|) ∩ ∂U ̸= ∅ , (4.14)
см. [16, теорема 1.I, гл. 5, § 46]. Для фиксированного P > 0, пусть
далее V ⊂ U – окрестность точки z0, соответствующая определе-
нию слабо плоской границы, т.е., такая, что для любых континуумов
E,F ⊂ D ′ с условием E ∩ ∂U ̸= ∅ ̸= E ∩ ∂V и F ∩ ∂U ̸= ∅ ̸= F ∩ ∂V
выполнено неравенство
M(Γ(E,F,D ′)) > P . (4.15)
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 413
Заметим, что при достаточно больших m ∈ N
fm(|C1
m|) ∩ ∂V ̸= ∅, fm(|C2
m|) ∩ ∂V ̸= ∅ . (4.16)
В самом деле, zm ∈ fm(|C1
m|), z ′
m ∈ fm(|C2
m|), где zm, z ′
m → z0 ∈ V
при m→ ∞, поэтому fm(|C1
m|) ∩ V ̸= ∅ ̸= fm(|C2
m|) ∩ V при больших
m ∈ N. Кроме того, diamV 6 diamU = 2r0 < δ1/2 и, поскольку
diamfm(|C1
m|) > δ1/2 ввиду (4.13), то fm(|C1
m|) ∩ (D ′ \ V ) ̸= ∅. Тогда
fm(|C1
m|) ∩ ∂V ̸= ∅ (см. [16, теорема 1.I, гл. 5, § 46]). Аналогично,
diamV 6 diamU = 2r0 < δ1/2 и, поскольку diam fm(|C2
m|) > δ1/2
ввиду (4.13), то fm(|C2
m|) ∩ (D ′ \ V ) ̸= ∅. Тогда по [16, теорема 1.I,
гл. 5, § 46] имеем: fm(|C2
m|)∩∂V ̸= ∅. Таким образом, (4.16) доказано.
Согласно (4.15) и учитывая (4.14) и (4.16), мы получим, что
M(fm(Γm)) =M(Γ(fm(|C1
m|), fm(|C2
m|), D ′)) > P ,
что противоречит неравенству (4.12). Полученное противоречие ука-
зывает на неверность изначального предположения, сделанного в
(4.11). Теорема доказана. 2
5. Некоторые примеры
Начнём с простого примера отображений на комплексной плоско-
сти.
Пример 5.1. Как известно, дробно-линейные автоморфизмы еди-
ничного круга D ⊂ C на себя задаются формулой f(z) = eiθ z−a
1−az ,
z ∈ D, a ∈ C, |a| < 1, θ ∈ [0, 2π). Указанные отображения f являются
1-гомеоморфизмами; все условия теоремы 1.2 выполняются, кроме
условия diam f(A) > δ, которое, вообще говоря, может нарушаться.
Если, например, θ = 0 и a = 1/n, n = 1, 2, . . . , то fn(z) =
z−1/n
1−z/n =
nz−1
n−z . Положим A = [0, 1/2], тогда fn(0) = −1/n → 0 и fn(1/2) =
n−2
2n−1 → 1/2, n→ ∞. Отсюда видно, что последовательность fn удов-
летворяет условию diam fn(A) > δ, например, при δ = 1/4. Путём не-
посредственных вычислений убеждаемся в том, что f −1
n (z) = z+1/n
1+z/n
и, значит, f −1
n равномерно сходится к f −1(z) ≡ z. Таким образом,
последовательность f −1
n (z) равностепенно непрерывна в D.
Если же положить f −1
n (z) = z−(n−1)/n
1−z(n−1)/n = nz−n+1
n−nz+1 , то, как лег-
ко видеть, такая последовательность локально равномерно сходится
к −1 внутри D; в то же время, f −1
n (1) = 1. Учитывая это, путём
непосредственных вычислений, заключаем, что последовательность
414 О локальном поведении одного класса...
f −1
n не является равностепенно непрерывной в точке 1; в этом случае
fn(z) =
z+(n−1)/n
1+z(n−1)/n и условие diam fn(A) > δ ни при каком δ > 0, не
зависящем от n, не может быть выполнено ввиду теоремы 1.2.
Из сказанного следует, что в условиях теоремы 1.2 от дополни-
тельного требования diam f(A) > δ, вообще говоря, нельзя отказа-
ться.
Пример 5.2. Пусть p > 1 настолько велико, что число n/p(n − 1)
меньше 1, и пусть, кроме того, α ∈ (0, n/p(n− 1)) – произвольное чи-
сло. Определим последовательность отображений fm : Bn → B(0, 2)
шара Bn на шар B(0, 2) следующим образом:
fm(x) =
{
1+|x|α
|x| · x , 1/m 6 |x| 6 1,
1+(1/m)α
(1/m) · x , 0 < |x| < 1/m .
Заметим, что fm удовлетворяют (1.1) при Q =
(
1+|x|α
α|x|α
)n−1
∈ L1(Bn)
(см. [11, доказательство теоремы 7.1]) и что B(0, 2) имеет слабо пло-
скую границу (см. [18, лемма 4.3]). По построению отображения fm
фиксируют бесконечное число точек единичного шара при всех m >
2.
Установим равностепенную непрерывность отображений gm :=
f −1
m в B(0, 2) (для удобства используем обозначение gm также для
непрерывного продолжения gm в B(0, 2)). Нетрудно убедиться, что
gm(y) := f−1
m (y) =
{
y
|y|(|y| − 1)1/α , 1 + 1/mα 6 |y| < 2,
(1/m)
1+(1/m)α · y , 0 < |y| < 1 + 1/mα .
Отображения gm отображаютB(0, 2) на Bn. Зафиксируем y0 ∈ B(0, 2).
Возможны следующие три ситуации:
1) |y0| < 1. Выберем δ0 = δ0(y0) так, что B(y0, δ0) ⊂ B(0, 1). Для
числа ε > 0 положим δ1 = δ1(ε, y0) := min{δ0, ε}. В таком случае, при
y ∈ B(y0, δ1) и всех m = 1, 2, . . . мы имеем, что |gm(y) − gm(y0)| =
(1/m)
1+(1/m)α |y−y0| < |y−y0| < ε, что доказывает равностепенную непре-
рывность семейства gm в точке y0.
2) |y0| > 1. По определению отображений gm найдётся m0 =
m0(y0) ∈ N и δ0 = δ0(y0) > 0 такие, что gm(y) = y
|y|(|y| − 1)1/α
при всех B(y0, δ0) ∩ B(0, 2) и всех m > m0. Берём ε > 0. Положив
g(y) = y
|y|(|y|−1)1/α, заметим, что |gm(y)−gm(y0)| = |g(y)−g(y0)| < ε
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 415
при m > m0 и некотором δ = δ(ε, y0), δ < δ0, поскольку отображение
g(y) = y
|y|(|y| − 1)1/α непрерывно в B(0, 2).
3) Рассмотрим, наконец, «пограничный» случай y0 ∈ Sn−1 = ∂Bn.
Пусть δ0 = δ0(y0) таково, что B(y0, δ0) ⊂ B(0, 2). По определению,
имеем gm(y0) =
(1/m)
1+(1/m)α · y0, m = 1, 2, . . . . Заметим, что
|gm(y)− gm(y0)| 6
6 max
{∣∣∣∣ (1/m)
1 + (1/m)α
· y0 −
y
|y|
(|y| − 1)1/α
∣∣∣∣ , (1/m)
1 + (1/m)α
|y − y0|
}
.
Для числа ε > 0 найдём номер m1 = m1(ε) > 0, такой что 1/m < ε/2.
Положим δ0 = δ0(ε, y0) = min{1, ε/2, δ0}. Используя неравенство тре-
угольника и то, что 1/α > 1, получим:
∣∣∣ y
|y|(|y| − 1)1/α − (1/m)
1+(1/m)α · y0
∣∣∣ 6
(|y| − 1)1/α + 1/m < ε/2 + ε/2 = ε при m > m1 и |y − y0| < δ0. После-
днее соотношение при 1 6 m 6 m1 также выполнено при |y−y0| < δm
и некотором δm = δm(ε, y0) > 0 ввиду непрерывности отображений
gm. Очевидно, также (1/m)
1+(1/m)α |y − y0| < ε при |y − y0| < δ0 и всех
m = 1, 2, . . . . Окончательно, имеем: |gm(y) − gm(y0)| < ε при всех
m ∈ N и y ∈ B(y0, δ), где δ := {δ0, δ1, . . . , δm1}. Равностепенная непре-
рывность gm в B(0, 2) установлена.
Следует отметить, что семейство G = {gm}∞m=1 равностепенно не-
прерывно в B(0, 2), в то время как таковым не является “обратное”
к нему семейство F = {fm}∞m=1 (в самом деле, |fm(xm) − f(0)| =
1 + 1/m ̸→ 0 при m→ ∞, где |xm| = 1/m).
Семейство G содержит в себе бесконечное число отображений
gmk
:= f −1
mk
, fmk
∈ F, не удовлетворяющих соотношению (1.1). В
самом деле, в противном случае согласно теореме 1.1 “обратное” к G
семейство F было бы равностепенно непрерывным в Bn.
Работа опубликована в виде электронного препринта в [19].
Литература
[1] J. Väisälä, Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes
in Math. 229, Berlin etc., Springer–Verlag, 1971.
[2] O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Distortion and singularities of quasiregular
mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 465 (1970), 1–13.
[3] V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Finite mean oscillation and the Beltrami
equation // Israel Math. J., 153 (2006), 247–266.
416 О локальном поведении одного класса...
[4] R. Näkki, B. Palka, Uniform equicontinuity of quasiconformal mappings // Proc.
Amer. Math. Soc., 37 (1973), No. 2, 427–433.
[5] R. Näkki, B. Palka, Boundary regularity and the uniform convergence of quasi-
conlormal mappings // Comment. Math. Helvetici, 54 (1979), 458–476.
[6] V. Ya. Gutlyanskii, V. I. Ryazanov, E. Yakubov, The Beltrami equations and
prime ends // Journal of Mathematical Sciences, 210 (2015), No. 1, 22–51.
[7] V. Ya. Gutlyanskĭi, O. Martio, V. I. Ryazanov, M. Vuorinen, On convergence
theorems for space qusiregular mappings // Forum Math., 10 (1998), 353–375.
[8] V. Ya. Gutlyanskĭi, O. Martio, V. I. Ryazanov, M. Vuorinen, On local injectivity
and asymptotic linearity of quasiregular mappings // Studia Math., 128 (1998),
No. 3, 243–271.
[9] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, On Q-homeomorphisms // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 30 (2005), No. 1, 49–69.
[10] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Mappings with finite length
distortion // J. d’Anal. Math., 93 (2004), 215–236.
[11] Е. А. Севостьянов, О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов с не-
ограниченной характеристикой // Математические труды, 15 (2012), No. 1,
178–204; transl. Equicontinuity of homeomorphisms with unbounded characteri-
stic // Siberian Advances in Mathematics, 23 (2013), No. 2, 106–122.
[12] Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов, О сходимости отображений в метри-
ческих пространствах с прямыми и обратными модульными условиями //
Укр. мат. журн., 70 (2018), No. 7, 952–967.
[13] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping
Theory, New York, Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
[14] W. Hurewicz, H. Wallman, Dimension Theory, Princeton: Princeton Univ. Press,
1948.
[15] Л. В. Келдыш, Топологические вложения в евклидово пространство // Тр.
МИАН СССР, 81 (1966), 3–184.
[16] K. Куратовский, Топология, T. 2, М., Мир, 1969.
[17] J. Herron, P. Koskela, Quasiextremal distance domains and conformal mappings
onto circle domains // Compl. Var. Theor. Appl., 15 (1990), 167–179.
[18] M. Vuorinen, On the existence of angular limits of n-dimensional quasiconformal
mappings // Ark. Mat., 18, 157–180.
[19] E. Sevost’yanov, S. Skvortsov, On behavior of homeomorphisms with inverse
modulus conditions // www.arxiv.org, arXiv:1801.01808, 1–14.
Е. А. Севостьянов, С. А. Скворцов 417
Сведения об авторах
Евгений
Александрович
Севостьянов
Житомирский государственный
университет имени Ивана Франко
Житомир, Украина,
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Славянск, Украина
E-Mail: esevostyanov2009@gmail.com
Сергей
Александрович
Скворцов
Житомирский государственный
университет имени Ивана Франко
Житомир, Украина,
E-Mail: serezha.skv@gmail.com
|