Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств

В настоящей работе определяется рациональный шейповый тип, а также сильный рациональный шейповый тип для класса шейпово односвязных пространств – естественного обобщения класса односвязных пространств, для которого в работе [10] была построена рациональная гомотопическая теория. С использованием кат...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Марченко, В.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2018
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169421
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств / В.В. Марченко // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 4. — С. 516-535. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-169421
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1694212020-06-13T01:27:27Z Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств Марченко, В.В. В настоящей работе определяется рациональный шейповый тип, а также сильный рациональный шейповый тип для класса шейпово односвязных пространств – естественного обобщения класса односвязных пространств, для которого в работе [10] была построена рациональная гомотопическая теория. С использованием категории обратных систем результат [10] об эквивалентности гомотопических теорий распространяется на класс шейпово односвязных пространств. A rational shape type and a strong rational shape type are defined for the class of spaces 1-connected by shape. This class is a natural generalization of the class of 1-connected spaces for which the rational homotopic theory was constructed in work [10]. With the use of the category of inverse systems, the result in [10] on the equivalence of homotopic theories is extended onto the class of spaces 1-connected by shape. 2018 Article Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств / В.В. Марченко // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 4. — С. 516-535. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 55P55, 55P62 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169421 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В настоящей работе определяется рациональный шейповый тип, а также сильный рациональный шейповый тип для класса шейпово односвязных пространств – естественного обобщения класса односвязных пространств, для которого в работе [10] была построена рациональная гомотопическая теория. С использованием категории обратных систем результат [10] об эквивалентности гомотопических теорий распространяется на класс шейпово односвязных пространств.
format	Article
author	Марченко, В.В.
spellingShingle	Марченко, В.В. Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств Український математичний вісник
author_facet	Марченко, В.В.
author_sort	Марченко, В.В.
title	Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств
title_short	Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств
title_full	Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств
title_fullStr	Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств
title_full_unstemmed	Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств
title_sort	рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169421
citation_txt	Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств / В.В. Марченко // Український математичний вісник. — 2018. — Т. 15, № 4. — С. 516-535. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT marčenkovv racionalʹnaâgomotopičeskaâteoriâšejpovoodnosvâznyhprostranstv
first_indexed	2025-07-15T04:13:40Z
last_indexed	2025-07-15T04:13:40Z
_version_	1837684832693387264
fulltext	Український математичний вiсник Том 15 (2018), № 4, 516 – 535 Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств Владимир В. Марченко (Представлена В. А. Деркачом) Аннотация. В настоящей работе определяется рациональный шей- повый тип, а также сильный рациональный шейповый тип для клас- са шейпово односвязных пространств – естественного обобщения класса односвязных пространств, для которого в работе [10] была построена рациональная гомотопическая теория. С использованием категории обратных систем результат [10] об эквивалентности гомо- топических теорий распространяется на класс шейпово односвязных пространств. 2010 MSC. 55P55, 55P62. Ключевые слова и фразы. Гомотопическая теория, рациональ- ная гомотопическая теория, теория шейпов, рациональная шейповая теория. 1. Введение В 60–70-х годах XX века была построена теория рационального гомотопического типа односвязных топологических пространств. Ее авторами считаются Д.Квиллен [10] и Д.Салливан [11], хотя вклад в её создание внесли многие видные топологи мира. Ее появление яви- лось результатом того, что к этому времени была осознана сложность классической теории гомотопий, в частности вычисления гомотопи- ческих групп сфер. Теория существенно упрощается, если при изуче- нии пространств игнорировать кручения в гомотопических группах, т. е. вместо данного пространства рассматривать другое, гомотопиче- ские группы которого изоморфны группам данного, тензорно умно- женным на Q. Этим и занимается рациональная гомотопическая те- ория. Одной из наиболее полных монографий, посвященных теории рационального гомотопического типа, является [5]. Статья поступила в редакцию 08.04.2018 Публикация подготовлена при поддержке Программы РУДН "5-100". ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України В. В. Марченко 517 Подход Салливана состоит в переходе от пространств к т. н. ми- нимальным Q-алгебрам, которые полностью определяют рациональ- ный гомотопический тип пространств. Однако этот переход позволя- ет изучать лишь сами пространства, но не отображения между ними. Другими словами, при таком подходе отсутствует функториальность. Однако преимущество этого подхода состоит в наглядности и легко- сти вычислений. Это, в частности, позволило в работе [2] распро- странить подход Салливана на случай нильпотентных множеств ко- нечного ранга, а в [7] теория Сулливана распространяется на случай локально нильпотентных симплициальных множеств произвольного ранга. Подход Квиллена менее удобный с вычислительной точки зрения, однако является функториальным. При этом как общая, так и рациональная гомотопические теории являются содержательными лишь для некоторого (достаточно узко- го) класса топологических пространств. Одновременно с появлением теории рациональных гомотопий получила развитие теория шейпов — обобщение гомотопической теории на более широкий класс про- странств. Ее автором является польский математик К.Борсук [1]. В работе [8] для изложения теории шейпов используется оригинальный подход, основанный на обратных системах. Дальнейшее развитие те- ории привело к построению сильной теории шейпов (см. [7–9]). Целью настоящей работы является определение (сильной) раци- ональной шейповой категории шейпово односвязных пространств и обобщение на этот случай результатов Д.Квиллена. 2. Рациональная теория CW-комплексов Рассматриваемые в этой главе топологические пространства бу- дем предполагать связными и имеющими гомотопический тип CW- комплекса. Рациональная гомотопическая теория есть изучение топологиче- ских пространств по модулю кручения. Это означает, что тополо- гическое пространство X заменяется другим, более простым т. н. Q-пространством X0, гомотопические группы π∗(X0) которого яв- ляются векторными пространствами над Q и изоморфны группам π∗(X) ⊗ Q. При этом для некоммутативной группы π1(X) группа π1(X)⊗Q понимается как пополнение по Мальцеву. Определение 2.1. Локализацией пространства X называется такое Q-пространство X0 вместе с отображением f0 : X → X0, что для лю- бого Q-пространства Y и любого отображения f : X → Y существует 518 Рациональная гомотопическая теория... единственное с точностью до гомотопии отображение g : X0 → Y , такое, что диаграмма Y X f ??~~~~~~~~ f0 // X0 g ``AAAAAAAA гомотопически коммутативна, т. е. g ◦ f0 ≃ f . Для построения локализации односвязного пространства может быть использована, например, конструкция башни Постникова. Бо- лее широкий класс пространств, для которых существует локализа- ция, – это класс нильпотентных пространств. Определение 2.2. Пространство X называется нильпотентным, ес- ли группа π1(X) нильпотентна и её действие на группах πn(X), n > 2, нильпотентно, т. е. существует последовательность вложенных под- групп πn(X) = Π0 ⊃ Π1 ⊃ . . . ⊃ Πs = {0}, каждая из которых инвариантна относительно действия π1(X), при- чём индуцированное действие π1(X) на фактор-группах Πi−1/Πi три- виально. Теорема 2.1. 1. Всякое нильпотентное пространство X допу- скает локализацию f : X → X0; 2. Для того чтобы отображение f являлось локализацией, необ- ходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих эквивалентных условий: • πn(X0) ∼=−→ πn(X)⊗Z Q; • Hn(X0;Z) ∼=−→ Hn (X;Z)⊗Z Q; • Hn(X0;Z) ∼=−→ Hn (X;Z)⊗Z Q. В случае если топологическое пространство не является CW-ком- плексом, описанная теория, вообще говоря, не работает. Примером может служить т. н. “варшавская окружность” W – замыкание Ḡ в R2 графика G функции y = sin π x , x ∈ (0; 1], объединённое с простой дугой с концами (0; 1), (1; 0), пересекающейся с Ḡ лишь в этих двух точках. Гомотопические группы π∗ (W ) (а значит, и рациональные В. В. Марченко 519 гомотопические группы π∗(W )⊗Q) все равны нулю, хотя W не гомо- топно точке. В этом случае теорема Уайтхеда перестаëт быть верной и, таким образом, обычная гомотопическая теория оказывается не- пригодной для изучения пространства W . 3. Обратные системы и категория шейпов Теорию шейпов в настоящем параграфе изложим, следуя [8]. Определение 3.1. Пусть C – произвольная категория. Обратная система X = (Xλ, pλλ′ ,Λ) над категорией C состоит из направлен- ного множества индексов Λ, объектов Xλ из C, λ ∈ Λ, и морфизмов pλλ′ : Xλ′ → Xλ из C для λ 6 λ′. Более того, должны быть выполнены следующие условия: 1. pλλ = 1Xλ : Xλ → Xλ — тождественный морфизм (часто его кратко обозначают 1λ); 2. pλλ′pλ′λ′′ = pλλ′′ всякий раз, когда λ 6 λ′ 6 λ′′. Морфизмы pλλ′ : Xλ′ → Xλ будем называть граничными морфи- змами. Определение 3.2. Морфизм обратных систем (fµ, φ) : X → Y =( Yµ, qµµ′ ,M ) состоит из функции φ : M → Λ и набора морфизмов fµ : Xφ(µ) → Yµ в C (для каждого µ — единственный морфизм fµ), причем для каждой пары индексов µ 6 µ′ ∈ M существует такой индекс λ ∈ Λ, что λ > φ(µ), φ(µ′) и fµpφ(µ),λ = qµµ′f ′ µpφ′(µ),λ, т. е. следующая диаграмма коммутативна. Xλ pφ(µ),λ \|\|yy yy yy yy pφ′(µ),λ ""FFFF FFFF Xφ(µ) fµ �� Xφ′(µ) f ′µ �� Yµ Yµ′ qµµ′oo (3.1) Если Z = (Zν , rνν′ , N) — обратная система в C и (gν , ψ) : Y → Z – ещë один морфизм обратных систем, композицию (gν , ψ)(fµ, φ) = (hν , χ) : X → Z определим следующим образом: χ = φψ : N → Λ и hν = gνfψ(ν) : Xχ(ν) → Zν . Можно проверить, что определённый таким образом морфизм действительно удовлетворяет всем условиям определения 3.2 (см. [8]). 520 Рациональная гомотопическая теория... Тождественный морфизм систем X → X состоит из тожде- ственной функции 1Λ : Λ → Λ и набора тождественных морфизмов 1λ : Xλ → Xλ. Так как pλλ = 1λ, то диаграмма (3.1) в этом случае действительно коммутативна. Заметим, что (fµ, φ)(1λ,1Λ) = (fµ, φ) и (1µ,1M )(fµ, φ) = (fµ, φ). Таким образом, построена категория inv-C, объектами которой являются все обратные системы в C, а морфизмами – морфизмы обра- тных систем, описанные выше. Определение 3.3. Говорят, что два морфизма (fµ, φ), (f ′ µ, φ ′) : X → Y обратных систем эквивалентны, и пишут (fµ, φ) ∼ (f ′µ, φ ′), если для всякого индекса µ ∈ M существует такой индекс λ ∈ Λ, что λ > φ(µ), φ′(µ) и диаграмма Xλ \|\|yy yy yy yy ""FFFFF FFF Xφ(µ) fµ ""EEEEE EEE Xφ′(µ) f ′µ\|\|xx xx xx xx x Yµ (3.2) коммутативна. Введeнное отношение действительно удовлетворяет всем аксио- мам отношения эквивалентности (см. [8]). Далее, если (fµ, φ) ∼ (f ′µ, φ ′), (gν , ψ) ∼ (g′ν , ψ ′), то (gν , ψ)(fµ, φ) ∼ (g′ν , ψ ′)(f ′µ, φ ′). Таким образом, может быть корректно определе- на композиция классов f : X → Y и g : Y → Z эквивалентных морфизмов обратных систем как класс, содержащий композицию (gν , ψ)(fµ, φ). Определим 1X : X → X как класс, содержащий морфизм (1λ,1Λ). Тогда, по определению композиции, будем иметь 1Y f = f , f1X = f для любого класса f : X → Y эквивалентных морфизмов. Таким образом, может быть дано Определение 3.4. Категорией pro-C для категории C называется категория, объектами которой являются обратные системы в C, а морфизмами – классы эквивалентных морфизмов обратных систем. Определение 3.5. Морфизм (fλ, ϕ) : X = (Xλ, pλλ′ ,Λ) → Y = (Yλ, qλλ′ ,Λ) двух обратных систем с одним и тем же множеством индексов будем называть уровневым, если В. В. Марченко 521 1. ϕ = 1Λ; 2. для λ 6 λ′ диаграмма Xλ fλ �� Xλ′ oo fλ′ �� Yλ Yλ′oo коммутативна. Определение 3.6. Упорядоченное множество (Λ,6) называется ко- финитным, если для всякого λ ∈ Λ множество {λ′ ∈ Λ\|λ′ 6 λ} всех его предшественников конечно. В [8] получены следующие результаты. Теорема 3.1. Для всякой обратной системы X = (Xλ, pλλ′ ,Λ) ∈ pro-C существует изоморфная ей в pro-C обратная система Y =( Yµ, qµµ′ ,M ) с кофинитным множеством индексов M . Теорема 3.2. Пусть (fµ, φ) : X → Y = ( Yµ, qµµ′ ,M ) ∈ pro-C – морфизм обратных систем. Тогда существует морфизм систем (gµ, ψ) : X → Y , такой, что функция ψ является возрастающей и морфизмы (gµ, ψ) и (fµ, φ) равны в pro-C. Теорема 3.3. Пусть f : X → Y – морфизм в pro-C. Тогда суще- ствуют обратные системы X ′, Y ′ с одним и тем же кофинитным направленным множеством индексов. Более того, существуют изо- морфизмы i : X → X ′ и j : Y → Y ′, а также морфизм f ′ : X ′ → Y ′ в pro-C, такие, что диаграмма X f �� i // X ′ f ′ �� Y j // Y ′ коммутативна. При этом в классе f ′ существует представитель, являющийся уровневым морфизмом. Пусть HTop – гомотопическая категория топологических про- странств, объектами которой являются топологические пространс- тва, а морфизмами – классы гомотопных отображений. Пусть также HCW – полная подкатегория HTop, объектами которой являются CW-комплексы. 522 Рациональная гомотопическая теория... Определение 3.7. Резольвентой Мардешича топологического про- странства X будем называть обратную систему X = {Xλ, pλλ′ ,Λ} над категорией HTop вместе с отображением в pro-HTop p : X → X1, обладающие следующим универсальным свойством. Для любой обратной системы Y = { Yµ, qµµ′ ,M } над HCW и лю- бого морфизма в pro-HTop q : X → Y существует единственный та- кой морфизм в pro-Top f : X → Y , что диаграмма X p // q �� X f�� Y коммутативна, т. е. f ◦ p = q. Теорема 3.4. Резольвента Мардешича топологического пространс- тва всегда существует. Если существуют две резольвенты p : X → X и p′ : X → X ′, то X и X ′ естественно изоморфны. Предположим, что p : X → X , p′ : X → X ′ – две резольвенты Мар- дешича пространства X ∈ HTop, q : Y → Y , q′ : Y → Y ′ – две резоль- венты Мардешича пространства Y ∈ HTop, i : X → X ′, j : X → X ′ – соответствующие естественные изоморфизмы. Определение 3.8. Говорят, что морфизмы f : X → Y и f ′ : X ′ → Y ′ в pro-HTop эквивалентны, f ∼ f ′, если диаграмма X i // f �� X ′ f ′ �� Y j // Y ′ коммутативна в pro-HTop. Очевидно, что введённое отношение есть действительно эквива- лентность. Заметим также, что для заданных морфизмов p, q, f, p′, q′ существует единственный такой морфизм f ′, что f ∼ f ′. Определение 3.9. Шейповым морфизмом двух топологических пространств X → Y будем называть класс экивалентности отобра- жения f : X → Y в pro-HTop. 1При этом X рассматривается как тривиальная обратная система. В. В. Марченко 523 Таким образом, шейповый морфизм F : X → Y задаётся следую- щей диаграммой. X f �� X poo Y Y qoo Композиция шейповых морфизмов F : X → Y и G : Y → Z опре- деляется через композицию представителей f : X → Y и g : Y → Z. Тождественный морфизм 1X : X → X определяется как 1X : X → X . Класс морфизмов {X → Y } есть множество, т. к. множеством явля- ется (pro-HTop) (X,Y ). Теорема 3.5. Для любого морфизма f : X → Y в HTop и для резоль- вент p : X → X, q : Y → Y существует единственный морфизм в pro-HTop f : X → Y , такой, что диаграмма X f �� X p oo f �� Y Yq oo коммутативна в pro-HTop. При этом если p′ : X → X ′, q′ : Y → Y ′ суть резольвенты, а f ′ : X ′ → Y ′ – такой морфизм в pro-HTop, что f ′ ◦ p′ = q′ ◦ f , то f ∼ f ′. Следовательно, для каждого морфизма f ∈ HTop (X,Y ) постав- лен в соответствие единственный шейповый морфизм Sh(f) : X → Y , т. е. класс эквивалентности f ∈ pro-HTop (X,Y ). Определение 3.10. Объектами шейповой категории Sh (HTop) являются топологические пространства, а морфизмами – шейпо- вые морфизмы топологических пространств. Ковариантный функтор Sh : HTop→ Sh(HTop) называется шейповым функтором. 4. Замкнутые модельные категории и гомотопические теории Квиллена Определение 4.1. Категория C называется замкнутой модельной категорией (в смысле Квиллена), если в ней выделены три класса морфизмов, называемых расслоениями, корасслоениями и слабыми эквивалентностями, так, что выполнены условия: 524 Рациональная гомотопическая теория... • Категория C замкнута относительно конечных прямых и обра- тных пределов; • Если в последовательности W f→ X g→ Y ∈ C любые два из отображений f, g, gf являются слабыми эквивалентностями, то слабой эквивалентностью является и третье отображение; • Если отображение f является ретрактом отображения g, т. е. если существует коммутативная диаграмма V f �� u // X g �� v // V f �� W ũ // Y ṽ // W такая, что v ◦ u = idV , ṽ ◦ ũ = idW , и g — слабая эквивален- тность, расслоение или корасслоение, — то и f — слабая экви- валентность, расслоение или корасслоение соответственно; • В любой коммутативной диаграмме A i �� u // E p �� X v // B где i – корасслоение, p – расслоение, существует отображение f : X → E такое, что диаграмма A i �� u // E p �� X f >>} } } } v // B коммутативна (в этом случае еще говорят, что i обладает свой- ством левого поднятия относительно p или что p обладает свой- ством правого поднятия относительно i) в каждом из следую- щих случаев: – i – слабая эквивалентность, – p – слабая эквивалентность; • Любое отображение f из C может быть двумя способами разло- жено в композицию: В. В. Марченко 525 – f = pi, где i – корасслоение и слабая эквивалентность, p – расслоение, – f = qj, где j – корасслоение, q – расслоение и слабая экви- валентность. Структура замкнутой модельной категории C может быть обоб- щена на обратные системы pro-C и inj-C (см. [6], §3.3), если частично упорядоченное направленное множество индексов Λ является кофи- нитным. В частности, отображение f : X → Y , которое есть набор послой- ных отображений fλ : Xλ → Yλ, есть слабая эквивалентность, если для каждого λ ∈ Λ отображение fλ является слабой эквивалентно- стью. Для всякой замкнутой модельной категории C Квиллен построил гомотопическую категорию Ho(C). Ее объектами являются объекты из C, а морфизмы получены путем формального обращения слабых эквивалентностей. Им показано, что Ho(C) эквивалентна другой го- мотопической категории ho(C), в которой объектами являются фиб- рантно-кофибрантные объекты из C, а отображениями – гомотопиче- ские классы отображений. 5. Функторы Квиллена В [10] рассмотрены следующие категории: • T2 – категория односвязных топологических пространств с отмеченной точкой и непрерывных отображений, сохраняющих отмеченную точку; • S2 – категория 2-редуцированных симплициальных множеств (полная подкатегория категории симплициальных множеств, состоящая из таких K, что Kq содержит лишь вырожденный симплекс для q = 0, 1); • (SGP )1 – категория редуцированных симплициальных групп (полная подкатегория категории симплициальных групп, состо- ящая из таких G, что G0 = {e0}); • (SCHA)1 – категория редуцированных симплициальных пол- ных алгебр Хопфа над Q; • (SLA)1 – категория редуцированных симплициальных алгебр Ли над Q; 526 Рациональная гомотопическая теория... • (DGL)1 – категория редуцированных дифференциальных гра- дуированных алгебр Ли над Q; • (DGC)2 – категория 2-редуцированных дифференциальных градуированных (кокоммутативных, коассоциативных) коал- гебр над Q. На каждой из указанных категорий, за исключением категории T2, Квиллен вводит структуру замкнутой модельной категории. Вме- сто T2 рассматривается категория T (2,Z0), состоящая из односвя- зных топологических пространств со следующими тремя выделен- ными классами отображений: • корасслоения: такие отображения f : X → Y , которые являются ретрактами последовательных композиций CW-отображений; • слабые эквивалентности: отображения, индуцирующие изомор- физмы для функтора Z−10 π∗; • расслоения: расслоения Серра, такие, у которых слой π∗X яв- ляется Z0-однозначноделимой гомотопической группой2. Для каждой из этих категорий K Квиллен строит локализацию HoQK = S−1K, где S – семейство рациональных гомотопических эквивалентностей, т. е. таких отображений f , что π∗f ⊗Z Q есть изо- морфизм. Определение 5.1. Рациональная гомотопическая категория одно- связных пространств HoT (2,Z0) есть локализация категории T (2,Z0) относительно семейства слабых эквивалентностей. Далее, Квилленом построена цепочка сопряженных функторов: T2 E2Sing−→←− \|\| S2 G −→←− W (SGP )1 Q̂ −→←− G (SCHA)1 Û −→←− P (SLA)1 N∗ −→←− N (DGL)1 L −→←− C (DGC)2, где • \| \|, E2Sing: \| \| – функтор геометрической реализации, SingX – сингулярный комплекс пространства X. Для симплициального множества с отмеченной точкой K E2K есть подкомплекс Эй- ленберга, состоящий из симплексов комплекса K с точкой в ка- честве одномерного остова. 2То есть каноническое отображение π∗X → Z0 −1π∗X является изоморфизмом. В. В. Марченко 527 • G, W̄ : Для редуцированного симплициального множества K GK есть симплициальная группа, построенная Каном, игра- ющая роль пространства петель для K. Для симплициальной группы G W̄G есть симплициальное множество, действующее как его классифицирующее пространство. • Q̂,G: Для группыG Q̂G есть полная алгебра Хопфа, полученная пополнением группового кольца QG степенями его аугментаци- онного идеала. Для полной алгебры Хопфа R GR есть группа, состоящая из её групповых элементов. Эти функторы распро- страняются по каждой размерности на симплициальные группы и симплициальные полные алгебры Хопфа и обозначаются теми же буквами. • Û ,P: Для алгебры Ли над Q g Ûg есть полная алгебра Хопфа, полученная пополнением универсальной обертывающей алге- бры Ug степенями её аугментационного идеала. Для полной ал- гебры Хопфа R PR есть алгебра Ли её примитивных элемен- тов. К симплициальным объектам эти функторы применяются по каждой размерности. • N∗, N : Для симплициальной алгебры Ли L NL есть её нормали- зованный цепной комплекс, который является дифференциаль- ной градуированной алгеброй Ли со скобкой, определяемой с помощью отображения Эйленберга–Зильбера ⊗. N∗ есть левый сопряженный функтор для N . • L, C: Для дифференциальной градуированной коалгебры C LC есть алгебра Ли примитивных элементов кобар-конструкции C. CL есть обобщение на дифференциальные градуированные ал- гебры Ли L дифференциальной градуированной коалгебры го- мологий алгебры Ли. Теорема 5.1 (Квиллен). Указанные функторы индуцируют сопря- женные эквивалентности HoT2 Ẽ2Sing−→←− \|̃\| HoS2 G̃ −→←− W̃ Ho(SGP )1 ˜̂ Q −→←− G̃ Ho(SCHA)1 ˜̂ U −→←− P̃ −→ ←−Ho(SLA)1 Ñ∗ −→←− Ñ Ho(DGL)1 L̃ −→←− C̃ Ho(DGC)2. Таким образом, рациональная гомотопическая теория односвя- зных пространств оказывается функториально эквивалентной гомо- топическим теориям вышеуказанных алгебраических категорий. 528 Рациональная гомотопическая теория... 6. Функтор Боусфилда–Кана Q∞ В [4] построен функтор Q-пополнения Q∞ : S∗ → S∗ для катего- рии S∗ симплициальных множеств, обладающий следующими свой- ствами: 1. Отображение f : X → Y индуцирует изоморфизм H̃∗(X,Q) ∼= H̃∗(Y,Q) тогда и только тогда, когда оно индуцирует гомотопи- ческую эквивалентность Q∞X ∼= Q∞Y ; 2. Для нильпотентного3 пространства X ∈ S∗ с отмеченной то- чкой • пространство Q∞X и группа π∗(Q∞X) являются Q-ниль- потентными (см. [4], гл. 3, §5; гл. 5, §3), • отображение φ : X → Q∞X индуцирует изоморфизм H̃∗(X,Q) ∼= H̃∗(Q∞X,Q); • группы π∗(X) ⊗ Q и π∗(Q∞X), а также H̃∗(X,Z) ⊗ Q и H̃∗(Q∞X,Z) изоморфны. (Для цепного комплекса C Hn(C) ∼= { H̃n(C), n 6= 0, H̃0(C)⊕ Z, n = 0 ( [3], гл. 4, §3.1).) Оказывается, что для нильпотентных пространств понятие Q-по- полнения есть не что иное, как Q-локализация с точностью до гомо- топии. Гомотопическая теория симплициальных множеств эквивалентна гомотопической теории топологических пространств ( [4], гл. 8, § 3), и понятие локализации для нильпотентных пространств эквивалентно понятию Q-пополнению Боусфилда–Кана ( [4], гл. 5, § 4). 7. Рациональная шейповая категория Определение 7.1. Для любого топологического пространства X его рациональной резольвентой Мардешича назовём отображение в pro-HTop p Q : X → XQ, где p Q (X) = Q∞ ◦ p(X) есть композиция резольвенты Мардешича p и функтора Боусфилда–Кана Q∞. 3Понятие нильпотентности для симплициального множества аналогично по- нятию нильпотентности для топологического пространства. В. В. Марченко 529 Если X p Q−→ X Q∞−→ X∞, X p′ Q−→ X ′ Q∞−→ X ′∞ – две рациональные резольвенты Мардешича, то в силу естественной изоморфности X и X ′ обратные системы XQ и X ′Q также естественно изоморфны. Определение 7.2. Два морфизма f Q = Q∞ ◦ f и f ′ Q∞ = Q∞ ◦ f ′ назовём эквивалентными, если эквивалентны f и f ′. Это отношение действительно удовлетворяет всем аксиомам экви- валентности. Таким образом, может быть дано следующее Определение 7.3. Рациональным шейповым морфизмом двух топо- логических пространств X → Y назовём класс эквивалентных мор- физмов fQ : XQ → Y Q. Таким образом, рациональный шейповый морфизм FQ : X → Y задаётся диаграммой XQ fQ �� X f �� Q∞oo X poo Y Q Y Q∞oo Y qoo Композиция рациональных шейповых морфизмов FQ : X → Y и G : Y → Z определяется через композицию представителей fQ : XQ → Y Q и gQ : Y Q → ZQ, которая, в свою очередь, определяется как gQ ◦ fQ = Q∞ (g ◦ f). Тождественный морфизм 1X определяется как 1XQ : XQ → XQ. Класс морфизмов {X → Y } есть множе- ство, т. к. множеством является (pro-HTop) (X,Y ), а значит, и (pro-HTop) ( XQ, Y Q ) . Для всякого морфизма f ∈ HTop(X,Y ) поставлен в соответствие единственный рациональный шейповый морфизм f Q : X → Y ShQ(f), т. е. класс эквивалентности f Q ∈ pro-HQTop ( XQ, Y Q ) . Определение 7.4. Объектами рациональной шейповой категории ShQ (HTop) являются топологические пространства, а морфизмами – рациональные шейповые морфизмы топологических пространств. Ковариантный функтор ShQ = Q∞ ◦ Sh : HTop → ShQ (HTop) бу- дем называть рациональным шейповым функтором. 530 Рациональная гомотопическая теория... 8. Изоморфизм pro-категорий как замкнутых модельных категорий Теорема 8.1. Пусть A и B – замкнутые модельные категории, а A : A−→←−B : B (8.3) есть пара сопряженных ковариантных функторов, индуцирующих сопряженные эквивалентности HoA : HoA−→←−HoB : HoB. (8.4) Тогда можно построить пару сопряженных ковариантных функто- ров A : pro-A−→←−pro-B : B, (8.5) которые при ограничениях на гомотопические категории дадут со- пряженные эквивалентности HoA : Ho(pro-A)−→←−Ho(pro-B) : HoB. (8.6) Доказательство. Для каждого объекта X = (Xλ, pλλ′ ,Λ) ∈ pro-A определим AX ∈ pro-B как обратную систему (AXλ,Apλλ′ ,Λ). Тот факт, что фукторы A : A−→←−B : B сопряжены, а функторы HoA : HoA−→←−HoB : HoB. эквивалентны, означает, что: 1. Существуют функторные морфизмы ϕ : 1A → BA и ψ : 1B → AB, т. е. для каждого λ ∈ Λ существует отображение ϕλ : Xλ → BAXλ, такое, что для λ′ > λ диаграмма Xλ′ ϕλ′ // pλλ′ �� BAXλ′ BApλλ′ �� Xλ ϕλ // BAXλ (8.7) В. В. Марченко 531 коммутативна. Аналогично, для µ′ > µ ∈ M коммутативной является диаграмма Yµ′ ψµ′ // qµµ′ �� ABYµ′ ABqµµ′ �� Yµ ψµ // ABXµ (8.8) 2. Aϕ = ψA, Bψ = ϕB в гомотопических категориях HoA и HoB соответственно, т. е. для каждого X ∈ A и Y ∈ B отображение Aϕ(X) слабо эквивалентно отображению ψA(X), а Bψ(Y ) слабо эквивалентно ϕB(Y ). Определим функторные морфизмы ϕ : idpro-A → BA и ψ : idpro-B → AB следующим образом. Каждому объекту X = (Xλ, pλλ′ ,Λ) ∈ pro-A поставим в соответствие объект ϕX = (ϕXλ,BApλλ′ ,Λ) ∈ pro-A. Аналогично, для каждого Y =( Yµ, qµµ′ ,M ) ∈ pro-B положим ψY = ( ψYµ,ABqµµ′ ,M ) ∈ pro-B. Пусть (fλ, f) : X̃ → X ∈ pro-C – отображение обратных систем. Диаграмма Xλ ϕλ // BAXλ X̃f(λ) fλ OO φλ′ // BAX̃f(λ) BAfλ OO коммутативна в силу сопряженности функторов A и B. Пусть теперь (f ′λ, f ′) : X̃ → X ∈ pro-C – морфизм обратных си- стем, равный морфизму (fλ, f), т. е. для всякого λ ∈ Λ найдется λ′ > f(λ), f ′(λ), такой, что диаграмма Xλ′ \|\|xx xx xx xx ""EE EE EE EE X̃f ′(λ) f ′λ ""FF FF FF FF X̃f(λ) fλ\|\|yy yy yy yy Xλ коммутативна. Так как функтор сохраняет композицию, то 532 Рациональная гомотопическая теория... диаграмма BAXλ′ xxqqqqqqqqqq &&MMMMMMMMMM BAX̃BAf ′(λ) BAf ′λ &&MMMMMMMMMM BAX̃BAf(λ) BAfλxxqqqqqqqqqq BAXλ также коммутативна, т. е. морфизмы (BAfλ, f) и (BAf ′λ, f) равны в pro-C. Таким образом, диаграмма X ϕ // BAX X̃ f OO ϕ // BAX̃ BAf OO коммутативна. Аналогичным образом, коммутативна диаграмма Y ψ // ABY Ỹ g OO ψ // ABỸ ABg OO Таким образом, функторы A : pro-A−→←−pro-B : B, сопряжены. Более того, так как ϕ : Xλ → BAXλ есть изоморфизм в pro-A, то для всякого λ ϕ : Xλ → BAXλ есть слабая эквивалентность. Сле- довательно, ϕ : X → BAX, будучи морфизмом обратных систем, является послойной слабой эквивалентностью, т. е. изоморфизмом в Ho(pro-A). Аналогично, ψ : Y → ABY есть изоморфизм в Ho(pro-B). Это означает, что функторы HoA : Ho(pro-A) → Ho(pro-B) и HoB : Ho(pro-B) → Ho(pro-A) суть сопряженные эквивалентно- сти. Следствие. Существуют сопряженные функторы pro-T (2,Z0) pro-E2Sing−→←− pro-\|\| pro-S2 pro-G −→←− -W pro-(SGP )1 pro-Q̂ −→←− pro-G pro-(SCHA)1 pro-Û −→←− pro-P −→ ←−pro-(SLA)1 pro-N∗ −→←− pro-N pro-(DGL)1 pro-L −→←− pro-C pro-(DGC)2, В. В. Марченко 533 которые индуцируют сопряженные эквивалентности Ho (pro-T (2,Z0)) Ho(pro-E2Sing) −→ ←− Ho(pro-\|\|) Ho(pro-S2) Ho(pro-G) −→ ←− Ho(pro-W ) Ho(pro-(SGP )1) Ho(pro-Q̂) −→ ←− Ho(pro-G) −→ ←−Ho(pro-(SCHA)1) Ho(pro-Û) −→ ←− Ho(pro-P) Ho(pro-(SLA)1) Ho(pro-N∗) −→ ←− Ho(pro-N) −→ ←−Ho(pro-(DGL)1) Ho(pro-L) −→ ←− Ho(pro-C) Ho(pro-(DGC)2). 9. Сильная рациональная шейповая категория Рассмотрим топологическое пространство с отмеченной точкой (X, ∗) и его полиэдральную резольвенту p : (X, ∗) → (X, ∗) = ((Xλ, ∗), pλλ′ ,Λ). Такая резольвента единственна с точностью до изо- морфизма в категории pro-Top. Определение 9.1. Назовём пространство (X, ∗) шейпово односвя- зным, если pro-π1(Xλ, ∗) = 0. Как следует из [12], это означает, что обратная система X изо- морфна некоторой другой обратной системе X ′, все члены которой односвязны. Поэтому заранее без потери общности будем считать все Xλ односвязными. Пример 9.1. В декартовой системе координат в R3 рассмотрим поверхность W 2, являющуюся графиком уравнения x2 + z2 =( 2 + sin 1 y ) 2, с евклидовой топологией. Это топологическое про- странство является обратным пределом обратной системы односвя- зных пространств – аппроксимирующих окрестностей и отображений вложения. Таким образом, топологическое пространство W 2 является шей- пово односвязным пространством. Определение 9.2. Если C – замкнутая модельная категория, то рациональным гомотопическим типом обратной системы X = (Xλ, pλλ′ ,Λ) ∈ pro-C, назовем класс объектов, изоморфных обратной системе X в гомотопической категории Ho(pro-C). Определение 9.3. Определим сильный рациональный шейповый тип шейпово односвязного пространства X как рациональный го- мотопический тип обратной системы E2SingX . Таким образом, сильной рациональной шейповой категорией яв- ляется гомотопическая категория Ho (pro-S2). 534 Рациональная гомотопическая теория... Теорема 9.1. Сильная рациональная шейповая теория шейпово од- носвязных пространств эквивалентна рациональной гомотопиче- ской теории pro-C, где C есть любая из следующих замкнутых мо- дельных категорий: • редуцированные симплициальные группы; • редуцированные симплициальные полные алгебры Хопфа над Q; • редуцированные симплициальные алгебры Ли над Q; • редуцированные дифференциальные градуированные алгебры Ли над Q; • 2-редуцированные градуированные коалгебры над Q. Следствие (из теоремы 8.1). Рациональная гомотопическая теория обратных систем односвязных топологических пространств эквива- лентна рациональной гомотопической теории обратных систем сле- дующих пространств: • 2-редуцированных симплициальных множеств; • редуцированных симплициальных групп; • редуцированных симплициальных полных алгебр Хопфа над Q; • редуцированных симплициальных алгебр Ли над Q; • редуцированных дифференциальных градуированных алгебр Ли над Q; • 2-редуцированных дифференциальных градуированных коал- гебр над Q. Утверждения следующей теоремы непосредственно следует из те- орем 5.1 и 8.1 и того факта, что послойная слабая эквивалентность в замкнутой модельной категории pro-C является изоморфизмом в Ho (pro-C). Теорема 9.2. Сильная рациональная шейповая теория шейпово од- носвязных пространств эквивалентна рациональной гомотопиче- ской теории pro-C, где C – любая из следующих замкнутых модель- ных категорий: • редуцированные симплициальные группы; • редуцированные симплициальные полные алгебры Хопфа над Q; В. В. Марченко 535 • редуцированные симплициальные алгебры Ли над Q; • редуцированные дифференциальные градуированные алгебры Ли над Q; • 2-редуцированные градуированные коалгебры над Q. Литература [1] К. Борсук, Теория шейпов, М., Мир, 1976. [2] О. Н. Боусфилд, В. К. А. М. Гугенхейм, О PL-теории де Рама и рациональном гомотопическом типе, Математика, 25, М., Мир, 1981. [3] Э. Спеньер, Алгебраическая топология, М., Мир, 1971. [4] A. K. Bousfield, D. M. Kan, Homotopy Limits, Completions and Localizations, Lecture Notes in Math., Vol. 304, Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York, 1972. [5] Y. Félix, S. Galperin, J.-C. Thomas, Rational Homotopy Theory, Springer–Verlag, New-York, 2001. [6] D. A. Edwards, H. M. Hastings, Čech and Steenrod Homotopy Theories with Appli- cations to Geometric Topology, Lecture Notes in Math., Vol. 542, Springer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York, 1976. [7] Ju. T. Lisica, Rational Homotopy Type, Rational Proper Homotopy Type And Rati- onal Homotopy Type At Infinity // Topology Proceedings, 37 (2011), 1–51. [8] S. Mardešić, J. Segal, Shape Theory, Vol. 26, North–Holland Publishing Company, Amsterdam, New York, Oxford, 1982. [9] J. B. Quigley, An exact sequence from the nth to (n − 1)st fundamental group // Fund. Math., 77 (1973), 195–210. [10] D. G. Quillen, Rational Homotopy Theory // Ann. of Math., 90 (1969), 205–295. [11] D. Sullivan, Infinitesimal computations in topology // Publications Mathéma- tiques de l’IHÉS, 47 (1977), 269–331. [12] Š. Ungar, n-connectedness of inverse systems and applications to shape theory // Glasnik matematički, 13 (1978), 371–396. Сведения об авторах Владимир Викторович Марченко Российский университет дружбы народов, Москва, Россия E-Mail: marchenko-vv@pfur.ru

Рациональная гомотопическая теория шейпово односвязных пространств

Institution

Ähnliche Einträge