Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних

Одержано точні за порядком оцінки деяких апроксимативних характеристик класів типу Нікольського–Бєсова періодичних функцій однієї та багатьох змінних у просторі B∞,1, норма в якому є не слабшою, ніж L∞–норма....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Гембарський, М.В., Гембарська, С.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2019
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169433
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних / М.В. Гембарський, С.Б. Гембарська // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 1. — С. 88-104. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-169433
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1694332020-06-14T01:26:27Z Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних Гембарський, М.В. Гембарська, С.Б. Одержано точні за порядком оцінки деяких апроксимативних характеристик класів типу Нікольського–Бєсова періодичних функцій однієї та багатьох змінних у просторі B∞,1, норма в якому є не слабшою, ніж L∞–норма. We obtained the exact-by-order estimates of some approximate characteristics of classes of the Nikol’skii–Besov type of periodic functions of one variable and many ones in the space B∞,1 such that the norm in it is not weaker than the L∞-norm. 2019 Article Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних / М.В. Гембарський, С.Б. Гембарська // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 1. — С. 88-104. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 42A10, 42B99 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169433 uk Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Одержано точні за порядком оцінки деяких апроксимативних характеристик класів типу Нікольського–Бєсова періодичних функцій однієї та багатьох змінних у просторі B∞,1, норма в якому є не слабшою, ніж L∞–норма.
format	Article
author	Гембарський, М.В. Гембарська, С.Б.
spellingShingle	Гембарський, М.В. Гембарська, С.Б. Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних Український математичний вісник
author_facet	Гембарський, М.В. Гембарська, С.Б.
author_sort	Гембарський, М.В.
title	Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних
title_short	Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних
title_full	Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних
title_fullStr	Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних
title_full_unstemmed	Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних
title_sort	апроксимативні характеристики класів bω,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2019
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169433
citation_txt	Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних / М.В. Гембарський, С.Б. Гембарська // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 1. — С. 88-104. — Бібліогр.: 20 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT gembarsʹkijmv aproksimativníharakteristikiklasívbōpthperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnih AT gembarsʹkasb aproksimativníharakteristikiklasívbōpthperíodičnihfunkcíjodníêítabagatʹohzmínnih
first_indexed	2025-07-15T04:15:12Z
last_indexed	2025-07-15T04:15:12Z
_version_	1837684925168353280
fulltext	Український математичний вiсник Том 16 (2019), № 1, 88 – 104 Апроксимативнi характеристики класiв B Ω p,θ перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних Михайло В. Гембарський, Свiтлана Б. Гембарська (Представлена В. П. Моторним) Анотацiя. Одержано точнi за порядком оцiнки деяких апроксима- тивних характеристик класiв типу Нiкольського–Бєсова перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних у просторi B∞,1, норма в якому є не слабшою, нiж L∞–норма. 2010 MSC. 42A10, 42B99. Ключовi слова та фрази. Класи типу Нiкольського–Бєсова, най- краще ортогональне тригонометричне наближення, схiдчастий гi- перболiчний хрест. 1. Вступ У роботi дослiджено деякi апроксимативнi характеристики уза- гальнених класiв Нiкольського–Бєсова перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних у просторi B∞,1, норма в якому є не слабшою, нiж L∞–норма. Як зазначалося у роботах [1–4], мотивацiєю до до- слiдження апроксимативних характеристик (найкращих наближень, поперечникiв, найкращих n-членних тригонометричних наближень тощо) класiв Br p,θ i BΩ p,θ у просторах B1,1 i B∞,1 була та обставина, що питання про їх порядки, особливо в багатовимiрному випадку, у просторах L1 i L∞ досi залишаються вiдкритими (див. [5]). Перш нiж перейти до формулювання одержаних результатiв вве- демо необхiднi позначення i дамо означення функцiональних класiв. Нехай Rd позначає d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i (x, y) = x1 y1+ . . .+xd yd – скалярний добуток елементiв Стаття надiйшла в редакцiю 24.02.2019 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 89 x, y ∈ Rd. Через Lp(πd), πd := d∏ j=1 [0, 2π), позначимо простiр 2π- перiодичних за кожною змiнною функцiй f(x), для яких ‖f‖p = ( (2π)−d ∫ πd \|f(x)\|p dx ) 1 p <∞, 1 ≤ p <∞, ‖f‖∞ = ess sup x∈Rd \|f(x)\| <∞. Надалi вважаємо, що для f ∈ Lp(πd) виконується умова 2π∫ 0 f(x)dxj = 0, j = 1, d, i множину таких функцiй позначимо L0 p(πd). Iнодi замiсть Lp(πd) i L0 p(πd) будемо вживати простiшi позначення Lp i L0 p вiдповiдно. Означимо l-ту рiзницю функцiї f ∈ L0 p, 1 ≤ p ≤ ∞, з кроком hj за змiнною xj згiдно з формулою △l hjf(x) = l∑ n=0 (−1)l−n Cnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj, xj+1, . . . , xd). Для f ∈ L0 p, 1 ≤ p ≤ ∞, h = (h1, . . . , hd) i t ∈ Rd+ введемо мiшану l-ту рiзницю △l hf(x) = △l hd . . .△l h1f(x) = △l hd (. . . (△l h1f(x))) i означимо мiшаний модуль неперервностi порядку l Ωl(f, t)p = sup \|hj \|≤tj j=1,d ‖△l hf(·)‖p. Нехай Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) – задана функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l. Це означає, що функцiя Ω задовольняє такi умови: 1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d i Ω(t) = 0, якщо d∏ j=1 tj = 0; 2) Ω(t) неперервна на Rd+; 3) Ω(t) не спадає за кожною змiнною tj ≥ 0, j = 1, d, при будь-яких фiксованих значеннях iнших змiнних ti, i 6= j; 90 Апроксимативнi характеристики класiв... 4) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤ C ( d∏ j=1 mj )l Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d, де C > 0 — деяка стала. Далi, наслiдуючи С. Н. Бернштейна [6], будемо називати функцiю однiєї змiнної ϕ(τ) майже зростаючою (майже спадною) на [ a, b ], якщо iснує стала C1 > 0 ( C2 > 0), яка не залежать вiд τ1, τ2 i така, що ϕ(τ1) ≤ C1 ϕ(τ2), a ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ b, у випадку майже зростання, i вiдповiдно ϕ(τ1) ≥ C2 ϕ(τ2), a ≤ τ1 ≤ τ2 ≤ b, у випадку майже спадання. Функцiю Ω(t), t ∈ Rd+ пiдпорядкуємо додатковим умовам (Sα) i (Sl), якi називають умовами Барi–Стєчкiна [7, 8]. Вони полягають у такому: а) функцiя однiєї змiнної ϕ(τ) ≥ 0, τ ∈ [ 0, 1 ], задовольняє умову (Sα), якщо ϕ(τ) τα майже зростає при деякому α > 0; б) функцiя ϕ(τ) ≥ 0, τ ∈ [ 0, 1 ], задовольняє умову (Sl), якщо ϕ(τ) τγ майже спадає при деякому 0 < γ < l, l ∈ N. Отже, у випадку d > 1 кажемо, що функцiя Ω(t), t ∈ Rd+ задовольняє умови (Sα) i (Sl), якщо вона задовольняє цi умови по кожнiй змiннiй tj при фiксованих ti, i 6= j. Тепер дамо означення функцiональних класiв BΩ p,θ, стосовно яких проводились дослiдження у роботi Sun Yongsheng, Wang Heping [9]. Нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω(t), t ∈ Rd+, – функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови 1)–4), (Sα) i (Sl). Тодi покладемо BΩ p,θ := {f ∈ L0 p : ‖f‖BΩ p,θ ≤ 1}, де ‖f‖BΩ p,θ = ‖f‖p + (∫ πd ( Ωl(f, t)p Ω(t) )θ d∏ j=1 dtj tj ) 1 θ , 1 ≤ θ <∞, ‖f‖BΩ p,∞ = ‖f‖p + sup t>0 Ωl(f, t) Ω(t) . Зауважимо, що у випадку, коли r = (r1, . . . , rd), 0 < rj < l, j = 1, d i Ω(t) = d∏ j=1 t rj j , – класи BΩ p,θ тотожнi аналогам класiв Бєсова Br p,θ, якi дослiджувалися у роботах [10,11]. У свою чергу, при θ = ∞ класи М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 91 Br p,∞ =: Hr p є аналогами класiв С. М. Нiкольського [12]. Дослiджен- ням класiв BΩ p,∞ ≡ HΩ p присвячена робота М. М. Пустовойтова [13]. У подальшому зручнiшим у використаннi є iнше нормування фун- кцiй, що належать класам BΩ p,θ. Поставимо у вiдповiднiсть кожному вектору s ∈ Nd множину ρ(s) := {k ∈ Z d : 2sj−1 ≤ \|kj \| < 2sj , j = 1, d} i для f ∈ L0 p, 1 < p <∞, покладемо δs(f) := δs(f, x) = ∑ k∈ρ(s) f̂(k)ei(k,x), де f̂(k) = (2π)−d ∫ πd f(t)e−i(k,t)dt – коефiцiєнти Фур’є функцiї f . Тепер нагадаємо таке: для виразiв a та b, якi залежать вiд деякої сукупностi параметрiв, запис a ∼ b означає, що iснують такi додатнi сталi c1 та c2, для яких c1b ≤ a ≤ c2b. Отже, якщо Ω(t), t ∈ Rd+, – задана функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови 1)–4), (Sα) i (Sl), то для f ∈ BΩ p,θ, 1 < p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, справедливi спiввiдношення ‖f‖BΩ p,θ ∼    ( ∑ s∈Nd (Ω(2−s))−θ ‖δs(f)‖θp ) 1 θ , 1 ≤ θ <∞, sup s∈Nd ‖δs(f)‖p Ω(2−s) , θ = ∞. (1.1) Тут, i у подальшому, Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d. Зауважимо, що при 1 ≤ θ < ∞ спiввiдношення (1.1) доведено у роботi [9], а при θ = ∞ – в [13]. Для норм функцiй з класiв BΩ p,θ при p = 1 i p = ∞ можна записати аналогiчнi (1.1) спiввiдношення, замiнивши “блоки” δs(f) на iншi. А саме, позначимо через Vm(t), m ∈ N, t ∈ R, ядро Валле Пуссена Vm(t) = 1 + 2 m∑ k=1 cos kt+ 2 2m−1∑ k=m+1 ( 2m− k m ) cos kt. Кожному вектору s ∈ Nd поставимо у вiдповiднiсть полiном As(x) = d∏ j=1 ( V2sj (xj)− V2sj−1(xj) ) , x ∈ R d, 92 Апроксимативнi характеристики класiв... i для f ∈ L0 p, 1 ≤ p ≤ ∞, покладемо As(f) := As(f, x) = (f ∗ As)(x), де ∗ – операцiя згортки. Тодi справедливi спiввiдношення ‖f‖BΩ p,θ ∼    ( ∑ s∈Nd (Ω(2−s))−θ ‖As(f)‖θp ) 1 θ , 1 ≤ θ <∞, sup s∈Nd ‖As(f)‖p Ω(2−s) , θ = ∞. (1.2) При 1 ≤ θ < ∞ спiввiдношення (1.2) доведено у роботi [14], а при θ = ∞ – в [13]. Нашi дослiдження стосуються класiв, якi визначаються за допо- могою специфiчної функцiї Ω типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, а саме Ω(t) = ω ( d∏ j=1 tj ) , (1.3) де ω(τ) – задана функцiя (однiєї змiнної) типу модуля неперервностi порядку l, яка задовольняє умови (Sα) i (Sl). Зрозумiло, що для функцiї Ω вигляду (1.3) виконуються властивостi 1)–4) функцiї типу мiшаного модуля неперервностi порядку l, а також умови (Sα), (Sl) i тому справедливими є наведенi вище спiввiдношення (1.1), (1.2) для норм функцiй з класiв BΩ p,θ. Надалi для класiв BΩ p,θ у випадку функцiї Ω вказаного вигляду вживаємо позначення Bω p,θ. Тепер дамо означення норми у пiдпросторах B∞,1. Для тригоно- метричних полiномiв τ вона означається згiдно з формулою ‖τ‖B∞,1 = ∑ s∈Nd∪{0} ‖As(τ)‖∞. Аналогiчним чином означається норма ‖f‖B∞,1 для функцiй f ∈ L1 за умови збiжностi ряду ∑ s∈Nd∪{0} ‖As(f)‖∞. При цьому зазначимо, що справедливе спiввiдношення ‖f‖∞ ≤ ‖f‖B∞,1 . (1.4) На завершення цього пункту зазначимо, що у подальшому викла- дi використовується поняття порядкового спiввiдношення: для двох невiд’ємних послiдовностей (an) ∞ n=1 i (bn) ∞ n=1 спiввiдношення (поряд- кова нерiвнiсть) an ≪ bn означає, що iснує стала C3 > 0, яка не зале- жить вiд n i така, що an ≤ C3 bn. Спiввiдношення an ≍ bn рiвносильне тому, що an ≪ bn i bn ≪ an. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 93 2. Апроксимативнi характеристики класiв B ω p,θ перiодичних функцiй однiєї змiнної У цьому пунктi ми доповнюємо результати iз [4], якi стосуються задач наближення класiв Bω p,θ перiодичних функцiй однiєї змiнної у просторi B∞,1. Спочатку означимо апроксимативнi характеристики, якi дослi- джуються. Нехай X ⊂ L0 1(π1) – деякий нормований функцiональний простiр з нормою ‖ · ‖X . Для f ∈ X i n ∈ N означимо E2n(f)X := ‖f − Sn(f)‖X , де Sn(f) := Sn(f, x) = n−1∑ s=1 δs(f, x), x ∈ R. Для функцiонального класу F ⊂ X покладемо E2n(F )X = sup f∈F E2n(f)X . Далi, нехай Θ1 M – довiльний набiр iз M чисел k1, ..., kM ∈ Z. Для f ∈ X в якостi агрегату наближення будемо використовувати триго- нометричнi полiноми вигляду tM(f) := tM (f, x) = M∑ j=1 f̂(kj)e ikjx, де f̂(kj) = 1 2π 2π∫ 0 f(t)e−ikjtdt – коефiцiєнти Фур’є функцiї f , що вiд- повiдають набору чисел з Θ1 M . Тодi для функцiї f ∈ X означимо e⊥M (f)X := inf Θ1 M ‖f − tM (f)‖X , i для класу F ⊂ X покладемо e⊥M (F )X = sup f∈F e⊥M (f)X . Величини e⊥M (f)X i e⊥M (F )X називають найкращими ортогональ- ними тригонометричними наближеннями вiдповiдно функцiї f i кла- су функцiй F у просторi X. Стосовно означених апроксимативних характеристик зауважимо, що вони пов’язанi спiввiдношеннями e⊥M (F )X ≤ E2n(F )X , 2n ≤M ≤ 2n+1 (2.1) Тепер перейдемо до формулювання i доведення результатiв. 94 Апроксимативнi характеристики класiв... Теорема 2.1. Нехай 1 < p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i ω(τ) задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 p i умову (Sl). Тодi E2n(Bω p,θ)B∞,1 ≍ ω(2−n)2 n p . (2.2) Доведення. Встановимо спочатку оцiнку зверху, зазначивши, що її достатньо одержати при θ = ∞, тобто для класiв Hω p = Bω p,∞. Нехай f ∈ Hω p . Тодi згiдно з означенням норми у просторi B∞,1 i властивiстю згортки, при n ≥ 3 можна записати E2n(f)B∞,1 = ∥∥∥∥f − n−1∑ s=1 δs(f) ∥∥∥∥ B∞,1 = ∥∥∥∥ ∞∑ s=n δs(f) ∥∥∥∥ B∞,1 = ∑ s∈N ∥∥∥∥As ∗ ∑ s′≥n δs′(f) ∥∥∥∥ ∞ ≤ ∞∑ s=n−1 ∥∥∥∥As ∗ s+1∑ s′=s−1 δs′(f) ∥∥∥∥ ∞ ≤ ∞∑ s=n−1 ‖As‖p′ ∥∥∥∥ s+1∑ s′=s−1 δs′(f) ∥∥∥∥ p , (2.3) де 1 p + 1 p′ = 1. Для продовження спiввiдношення (2.3) оцiнимо множники, якi мi- стяться пiд знаком суми в його правiй частинi. Оскiльки (див., на- приклад, [15, Ch1, §1]) ‖V2s‖p ≍ 2 s(1− 1 p ) , 1 ≤ p ≤ ∞, то для ‖As‖p′ можна записати ‖As‖p′ = ‖V2s − V2s−1‖p′ ≤ ‖V2s‖p′ + ‖V2s−1‖p′ ≍ 2 s p . (2.4) Далi, взявши до уваги, що для f ∈ Hω p , 1 < p < ∞, справедлива оцiнка [13] ‖δs′(f)‖p ≪ ω(2−s ′ ), одержимо ∥∥∥∥ s+1∑ s′=s−1 δs′(f) ∥∥∥∥ p ≤ s+1∑ s′=s−1 ‖δs′(f)‖p ≪ s+1∑ s′=s−1 ω(2−s ′ ) ≪ ω(2−s). (2.5) Пiдставивши (2.4) i (2.5) в (2.3), маємо М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 95 E2n(f)B∞,1 ≪ ∞∑ s=n−1 2 s pω(2−s) = ∞∑ s=n−1 2 −s(α− 1 p )ω(2 −s) 2−sα ≤ ω(2−n) 2−αn ∞∑ s=n−1 2−s(α− 1 p ) ≪ ω(2−n)2 n p . Для встановлення в (2.2) оцiнки знизу нагадаємо означення величини найкращого наближення E2n(F )X , яка у випадку, коли F = Bω p,θ i X = B∞,1, дослiджувалась у роботi [4]. Отже, нехай T (2n), n ∈ N, – множина тригонометричних полiно- мiв вигляду T (2n) = { t : t(x) = 2n−1∑ k=−2n−1 cke ikx } Тодi для функцiонального класу F ⊂ X означимо E2n(F )X := sup f∈F inf t∈T (2n) ‖f − t‖X . Легко бачити, що згiдно з означенням величин E2n(F )X i E2n(F )X справедливе спiввiдношення E2n(F )X ≤ E2n(F )X . (2.6) У роботi [4] для величини E2n(B ω p,θ)B∞,1 встановлено таке твер- дження. Теорема А. Нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞, а ω(τ) задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 p i умову (Sl). Тодi E2n(B ω p,θ)∞ ≍ E2n(B ω p,θ)B∞,1 ≍ ω(2−n)2 n p . (2.7) Таким чином, згiдно iз спiввiдношеннями (2.6) i (2.7) маємо E2n(Bω p,θ)B∞,1 ≥ E2n(B ω p,θ)B∞,1 ≍ ω(2−n)2 n p . Теорему 2.1 доведено. Зауважимо, що базуючись безпосередньо на мiркуваннях, якi ви- користовувалися при доведеннi теореми 2.1, з врахуванням (1.4) ви- водимо спiввiдношення: E2n(Bω p,θ)B∞,1 ≍ E2n(Bω p,θ)∞ ≍ ω(2−n)2 n p . У наступному твердженнi встановлено порядковi значення вели- чин e⊥M (Bω p,θ)B∞,1 i e⊥M (Bω p,θ)∞. 96 Апроксимативнi характеристики класiв... Теорема 2.2. Нехай 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, а ω(τ) задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 p i умову (Sl). Тодi e⊥M (Bω p,θ)∞ ≍ e⊥M (Bω p,θ)B∞,1 ≍ ω(M−1)M 1 p . (2.8) Доведення. Оскiльки згiдно з (1.4) справджується спiввiдношення e⊥M (Bω p,θ)∞ ≤ e⊥M (Bω p,θ)B∞,1 , то для доведення (2.8) достатньо одержати оцiнку зверху величини e⊥M (Bω p,θ)B∞,1 i знизу – величини e⊥M (Bω p,θ)∞. Стосовно оцiнки зверху величини e⊥M (Bω p,θ)B∞,1 зауважимо, що во- на є наслiдком теореми 2.1 за умови, що число n ∈ N вибрано iз спiввiдношення 2n ≤M ≤ 2n+1. Переходячи до встановлення оцiнки знизу величини e⊥M (Bω p,θ)∞, зазначимо, що її достатньо одержати при θ = 1. Виберемо число n ∈ N з нерiвностi 2n−3 ≤M ≤ 2n−2 i розглянемо функцiю g1(x) = C4ω(2 −n)2−n(1− 1 p )An+1(x), C4 > 0, де An+1(x) = V2n+1(x)− V2n(x). Оскiльки згiдно з властивiстю згортки функцiй i з врахуванням спiв- вiдношення (2.4) ‖g1‖Bω p,1 ≍ ω−1(2−n)‖An+1(g1)‖p ≪ ω−1(2−n)‖An+1‖1‖g1‖p ≪ 2 −n(1− 1 p ) 2 n(1− 1 p ) = 1, то при вiдповiдному виборi сталої C4 > 0 функцiя g1 належить класу Bω p,1. Далi, нехай SM (g1) – часткова сума ряду Фур’є функцiї g1, яка мiстить M гармонiк, вибраних довiльним чином. Тодi, взявши до уваги, що ‖An+1‖∞ ≍ 2n, будемо мати ‖g1 − SM(g1)‖∞ ≥ ‖g1‖∞ − ‖SM (g1)‖∞ ≫ ω(2−n)2−n(1− 1 p ) (2n −M) ≫ ≫ ω(2−n)2−n(1− 1 p ) 2n = ω(2−n)2 n p ≍ ω(M−1)M 1 p . Теорему 2.2 доведено. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 97 3. Апроксимативнi характеристики класiв B Ω p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних Спочатку означимо величини, якi дослiджуються в цiй частинi роботи. Для s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d, d ≥ 2 i n ∈ N, покладемо Qn = ⋃ (s,1)≤n ρ(s), (s, 1) = s1 + ...+ sd. Множина Qn називається схiдчастим гiперболiчним хрестом. Через SQn(f) позначимо схiдчасто-гiперболiчну суму Фур’є фун- кцiї f ∈ L1(πd) вигляду SQn(f) := SQn(f, x) = ∑ (s,1)≤n δs(f, x), x ∈ R d. Якщо X ⊂ L1(πd) – деякий функцiональний простiр з нормою ‖ · ‖X , то для класу функцiй F ⊂ X покладемо EQn(F )X := sup f∈F ‖f − SQn(f)‖X . Нагадаємо також означення величини найкращого ортогонально- го тригонометричного наближення, яке адаптоване до багатовимiр- ного випадку, тобто для d ≥ 2. Отже, нехай Θd M – довiльний набiр iз M d-вимiрних векторiв k1, ..., kM , kj = (kj1, ..., k j d), j = 1,M , з цiло- числовими координатами. Для будь-якої функцiї f ∈ X розглянемо її часткову суму Фур’є SM(f) вигляду SM (f) := SM (f, x) = M∑ j=1 f̂(kj)ei(k j ,x), де f̂(kj) = (2π)−d ∫ πd f(t)e−i(k j ,t)dt – коефiцiєнти Фур’є функцiї f , що вiдповiдають набору векторiв з Θd M . Тодi для f ∈ X означимо e⊥M (f)X := inf Θd M ‖f − SM (f)‖X , i для класу F ⊂ X покладемо e⊥M (F )X = sup f∈F e⊥M (f)X . 98 Апроксимативнi характеристики класiв... Зазначимо, що величини EQn(F )X i e⊥M (F )X у випадках, коли F = Br p,θ або F = BΩ p,θ, а X = L∞, вивчались у роботах [16–20], де мо- жна ознайомитися з бiблiографiєю стосовно iнших функцiональних класiв. Тепер перейдемо до формулювання i доведення одержаних ре- зультатiв. Теорема 3.1. Нехай d ≥ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, 1 < p <∞, а Ω(t) = ω( d∏ j=1 tj), де ω(τ) задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 p i умову (Sl). Тодi EQn(B Ω p,θ)B∞,1 ≍ ω(2−n)2 n p n(d−1)(1− 1 θ ). (3.1) Доведення. Спочатку встановимо в (3.1) оцiнку зверху. Отже, не- хай f ∈ BΩ p,θ. Тодi, вiдштовхуючись вiд означення норми у просторi B∞,1, згiдно з властивiстю згортки, також врахувавши спiввiдноше- ння (2.4), можна записати EQn(f)B∞,1 = ∥∥∥∥f − ∑ (s,1)≤n δs(f) ∥∥∥∥ B∞,1 = ∥∥∥∥ ∑ (s,1)>n δs(f) ∥∥∥∥ B∞,1 = ∑ s∈Nd ∥∥∥∥As ∗ ∑ s′∈Nd (s′,1)>n δs′(f) ∥∥∥∥ ∞ ≤ ∑ (s,1)>n−d ∥∥∥∥As ∗ ∑ s′∈Nd ‖s−s′‖∞≤1 δs′(f) ∥∥∥∥ ∞ ≤ ∑ (s,1)>n−d ‖As‖p′ ∥∥∥∥ ∑ s′∈Nd ‖s−s′‖∞≤1 δs′(f) ∥∥∥∥ p ≪ ∑ (s,1)>n−d 2(s,1) 1 p ∑ s′∈Nd ‖s−s′‖∞≤1 ‖δs′(f)‖p ≤ ∑ (s,1)>n−d 2 d p ∑ s′∈Nd ‖s−s′‖∞≤1 2 (s′,1) 1 p ‖δs′(f)‖p ≪ ∑ (s,1)>n−2d 2(s,1) 1 p ‖δs(f)‖p =: I1 (3.2) Для продовження оцiнки величини I1 розглянемо кiлька випадкiв, в залежностi вiд значень параметра θ. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 99 I. Нехай θ ∈ (1,∞). Тодi, якщо 1 θ + 1 θ′ = 1, то застосувавши нерiвнiсть Гельдера, матимемо I1 ≤ ( ∑ (s,1)>n−2d ω−θ(2−(s,1))‖δs(f)‖θp ) 1 θ × ( ∑ (s,1)>n−2d ωθ ′ (2−(s,1))2(s,1) θ′ p ) 1 θ′ ≪ ‖f‖BΩ p,θ ( ∑ (s,1)>n−2d ωθ ′ (2−(s,1))2 (s,1) 1 p θ′ ) 1 θ′ ≤ ( ∑ (s,1)>n−2d ωθ ′ (2−(s,1))2 (s,1) θ ′ p ) 1 θ′ =: I2. (3.3) Позначимо m := n− 2d. Врахувавши, що при (s, 1) > m ω(2−(s,1)) 2−α(s,1) ≤ C5 ω(2−m) 2−αm , C5 > 0, продовжимо оцiнку величини I2: I2 ≪ ω(2−m) 2−αm ( ∑ (s,1)>m 2−(s,1)(α− 1 p )θ′ ) 1 θ′ = ω(2−m) 2−αm ( ∑ j>m 2−j(α− 1 p )θ′ ∑ (s,1)=j 1 ) 1 θ′ ≪ ω(2−m) 2−αm 2 −m(α− 1 p ) m d−1 θ′ = ω(2−m)2 m p m(d−1)(1− 1 θ ) (3.4) II. При θ = 1 продовження оцiнки величини I1 таке: I1 ≤ sup s:(s,1)>m ω(2−(s,1))2 (s,1) 1 p ∑ (s,1)>m ω−1(2−(s,1))‖δs(f)‖p ≪ ω(2−m)2 m p ‖f‖BΩ p,1 ≪ ω(2−m)2 m p . (3.5) III. У випадку θ = ∞ для величини I1 можна записати I1 ≤ sup s:(s,1)>m ‖δs(f)‖p ω(2−(s,1)) ∑ (s,1)>m ω(2−(s,1))2(s,1) 1 p 100 Апроксимативнi характеристики класiв... ≪ ‖f‖BΩ p,∞ ∑ (s,1)>m ω(2−(s,1)) 2−α(s,1) 2−(α− 1 p )(s,1) ≪ ω(2−m) 2−αm 2 −(α− 1 p )m md−1 = ω(2−m)2 m p md−1. (3.6) Таким чином, взявши до уваги спiввiдношення (3.2)–(3.6) приходимо до шуканої оцiнки зверху величини EQn(B Ω p,θ)B∞,1 . Вiдповiдна оцiнка знизу в (3.1) випливає з наступного твердження iз [20]. Теорема Б. Нехай d ≥ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, 1 < p <∞, а Ω(t) = ω ( d∏ j=1 tj ) , де ω(τ) задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 p i умову (Sl). Тодi EQn(B Ω p,θ)∞ ≍ ω(2−n)2 n p n(d−1)(1− 1 θ ). (3.7) Отже, оскiльки EQn(B Ω p,θ)B∞,1 ≥ EQn(B Ω p,θ)∞, то скориставшись (3.7) отримаємо шукану оцiнку знизу. Теорему 3.1 доведено. У наступному твердженнi встановлено порядковi значення вели- чин e⊥M (BΩ p,θ)∞ i e⊥M (BΩ p,θ)∞,1. Теорема 3.2. Нехай d ≥ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞, 1 < p <∞, а Ω(t) = ω( d∏ j=1 tj), де ω(τ) задовольняє умову (Sα) з деяким α > 1 p i умову (Sl). Тодi для будь-якої послiдовностi M = (Mn) ∞ n=1 натуральних чисел такої, що виконується спiввiдношення M ≍ 2nnd−1, справедливi порядковi оцiнки e⊥M (BΩ p,θ)∞ ≍ e⊥M (BΩ p,θ)B∞,1 ≍ ω(2−n)2 n p n(d−1)(1− 1 θ ). (3.8) Доведення. Оскiльки e⊥M (BΩ p,θ)B∞,1 ≥ e⊥M (BΩ p,θ)∞, то для доведення спiввiдношення (3.8) достатньо встановити оцiнку зверху величини e⊥M (BΩ p,θ)B∞,1 i вiдповiдно знизу – величини e⊥M (BΩ p,θ)∞. Вiдразу зауважимо, що оцiнка зверху величини e⊥M (BΩ p,θ)B∞,1 є на- слiдком спiввiдношення (3.1) за умови, що числа M i n пов’язанi не- рiвностями \|Qn−1\| ≤M < \|Qn\| (де \|A\| – кiлькiсть елементiв множини A), тобто M ≍ 2nnd−1. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 101 Переходячи до встановлення оцiнки знизу величини e⊥M (BΩ p,θ)∞, розглянемо такi множини: Ωn = {s ∈ N d : (s, 1) = n}; Qn = ⋃ s∈Ωn ρ(s). Зауважимо, що \|Qn\| ≍ 2nnd−1. Далi вважаємо, що число n ∈ N пiдiбрано вiдповiдно до не- рiвностей \|Qn\| ≤ 4M < \|Qn+1\|, тобто M ≍ 2nnd−1. Нехай для s = (s1, ..., sd), sj ∈ N, j = 1, d, f(s)(x) = d∏ j=1 (V2sj+1 (xj)− V2sj (xj)). Тодi з (2.4) випливає оцiнка ‖f(s)‖p ≪ 2(s,1)(1− 1 p ), 1 ≤ p ≤ ∞. (3.9) Тепер розглянемо функцiї g2(x) = C6ω(2 −n)2n( 1 p −1)n− d−1 θ ∑ s∈Ωn f(s)(x), C6 > 0 при 1 ≤ θ <∞, i вiдповiдно g3(x) = C7ω(2 −n)2n( 1 p −1) ∑ s∈Ωn f(s)(x), C7 > 0 при θ = ∞. Легко переконатися, що функцiї g2 i g3 з деякими сталими C6 > 0 i C7 > 0 належать до класiв BΩ p,θ, 1 ≤ θ < ∞ i BΩ p,∞ ≡ HΩ p вiдпо- вiдно. Справдi, скориставшись спiввiдношеннями (2.4) i (3.9), можна записати ‖g2‖BΩ p,θ ≍ ( ∑ s∈Nd ω−θ(2−(s,1))‖As(g2)‖θp ) 1 θ ≪ ω(2−n)2n( 1 p −1)n− d−1 θ ( ∑ n−1≤(s,1)≤n+1 ω−θ(2−(s,1))‖fs‖θp ) 1 θ ≪ ω(2−n)2n( 1 p −1)n− d−1 θ ω−1(2−(n+1)) ( ∑ n−1≤(s,1)≤n+1 2(s,1)(1− 1 p )θ ) 1 θ 102 Апроксимативнi характеристики класiв... ≍ 2 n( 1 p −1) n− d−1 θ 2 n(1− 1 p ) n d−1 θ ≪ 1. Що стосується функцiї g3, то для неї отримаємо ‖g3‖BΩ p,∞ ≍ sup s∈Nd ‖As(g3)‖p ω(2−(s,1)) ≪ ω(2−n)2n( 1 p −1) sup n−1≤(s,1)≤n+1 ‖fs‖p ω(2−(s,1)) ≍ ω(2−n)2n( 1 p −1) 1 ω(2−n) sup n−1≤(s,1)≤n+1 2(s,1)(1− 1 p ) ≪ 2n( 1 p −1)2n(1− 1 p ) ≪ 1. Далi, нехай SM (g2) – часткова сума ряду Фур’є функцiї g2, яка мiстить M гармонiк, вибраних довiльним чином. Оскiльки згiдно з (3.9) ‖ ∑ s∈Ωn f(s)‖∞ ≍ 2nnd−1, то маємо ‖g2 − SM(g2)‖∞ ≥ ‖g2‖∞ − ‖SM (g2)‖∞ ≫ ω(2−n)2n( 1 p −1)n− d−1 θ 2nnd−1 ≫ ω(2−n)2n( 1 p −1) n− d−1 θ (2nnd−1 −M) = ω(2−n)2 n p n(d−1)(1− 1 θ ). Аналогiчно для функцiї g3 знаходимо ‖g3 − SM (g3)‖∞ ≫ ω(2−n)2 n p nd−1. Оцiнки знизу величини e⊥M (BΩ p,θ)∞ встановленi. Теорему 3.1 доведено. Acknowlegements Автори висловлюють вдячнiсть професору Романюку А. С. за увагу i кориснi поради при написаннi роботи. Лiтература [1] А. С. Романюк, Энтропийные числа и поперечники классов Br p,θ периоди- ческих функций многих переменных // Укр. мат. журн., 68 (2016), No. 10, 1403–1417. [2] М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська, Поперечники класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi B1,1 // Укр. мат. вiсник, 15 (2018), No. 1, 43–57. [3] А. С. Романюк, В. С. Романюк, Апроксимацiйнi характеристики класiв пе- рiодичних функцiй багатьох змiнних у просторi B∞,1 // Укр. мат. журн., 71 (2019), No. 2, 271–282. М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська 103 [4] М. В. Гембарський, С. Б. Гембарська, К. В. Солiч, Найкращi наближення i поперечники класiв перiодичних функцiй однiєї та багатьох змiнних у про- сторi B∞,1 // Мат. студiї (в друцi). [5] Dinh Dung, V. N. Temlyakov, T. Ullrich, Hyperbolic Cross Approximation, arXiv: 1601.03978 v3 [math. NA] 21 Apr. 2017. [6] С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. т.II. Конструктивная теория фун- кций (1931–1953), М., Изд. АН СССР, 1954. [7] С. Б. Стечкин, О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР, Сер. мат., 15 (1951), 219–242. [8] Н. К. Бари, С. Б. Стечкин, Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. матем. о-ва, 5 (1956), 483–522. [9] Sun Yongsheng, Wang Heping, Representation and approximation of multivari- ate periodic functions with bounded mixed moduli of smoothness // Тр. МИАН СССР, 219 (1997), 356–377. [10] Т. И. Аманов, Теоремы представления и вложения для функциональных про- странств S (r) p,θB(Rn) и S (r)∗ p,θ , (0 ≤ xj ≤ 2π; j = 1, . . . , n) // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 77 (1965), 5–34. [11] П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной глад- кости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 187 (1989), 143–161. [12] С. М. Никольский, Функции с доминирующей смешанной производной, удов- летворяющей кратному условию Гельдера // Сиб. мат. журн., 4 (1963), No. 6, 1342–1364. [13] Н. Н. Пустовойтов, Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности // Anal. Math., 20 (1994), 35–48. [14] С. А. Стасюк, О. В. Федуник, Апроксимативнi характеристики класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Укр. мат. журн., 58 (2006), No. 5, 692–704. [15] V. N. Temlyakov Approximation of periodic functions, New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. [16] А. С. Романюк Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных // Пр. Iн-ту математики НАН України, 93 (2012), 353 с. [17] А. С. Романюк, Наилучшие тригонометрические приближения классов пе- риодических функций многих переменных в равномерной метрике // Мат. заметки, 82 (2007), No. 2, 247–261. 104 Апроксимативнi характеристики класiв... [18] А. С. Романюк, Приближение классов Br p,θ периодических функций многих переменных линейными методами и наилучшие приближения // Мат. сб., 195 (2004), No. 2, 91–116. [19] А. С. Романюк, Поперечники и наилучшие приближения классов Br p,θ пери- одических функций многих переменных // Anal. Math., 37 (2011), 181–213. [20] С. А. Стасюк, Наближення класiв BΩ p,θ перiодичних функцiй багатьох змiн- них у рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн., 54 (2002), No. 11, 1551–1559. Вiдомостi про авторiв Михайло Вiталiйович Гембарський Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi Українки, Луцьк, Україна E-Mail: hembarskyi@gmail.com Свiтлана Борисiвна Гембарська Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iменi Лесi Українки, Луцьк, Україна E-Mail: gembarskaya72@gmail.com

Апроксимативні характеристики класів BΩ,p,θ періодичних функцій однієї та багатьох змінних

Репозитарії

Схожі ресурси