К теории квазиконформных отображений
В статье обсуждаются открытые вопросы теории квазиконформных отображений, примыкающие к области исследований профессора Боярского, памяти которого посвящён этот выпуск журнала....
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2019
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169435 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К теории квазиконформных отображений / В.А. Зорич // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 1. — С. 141-147. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-169435 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1694352020-06-14T01:26:29Z К теории квазиконформных отображений Зорич, В.А. В статье обсуждаются открытые вопросы теории квазиконформных отображений, примыкающие к области исследований профессора Боярского, памяти которого посвящён этот выпуск журнала. The open questions of the theory of quasiconformal mappings that are adjacent to the field of studies of Professor Bogdan Bojarski are discussed. 2019 Article К теории квазиконформных отображений / В.А. Зорич // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 1. — С. 141-147. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1810-3200 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169435 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье обсуждаются открытые вопросы теории квазиконформных отображений, примыкающие к области исследований профессора Боярского, памяти которого посвящён этот выпуск журнала. |
| format |
Article |
| author |
Зорич, В.А. |
| spellingShingle |
Зорич, В.А. К теории квазиконформных отображений Український математичний вісник |
| author_facet |
Зорич, В.А. |
| author_sort |
Зорич, В.А. |
| title |
К теории квазиконформных отображений |
| title_short |
К теории квазиконформных отображений |
| title_full |
К теории квазиконформных отображений |
| title_fullStr |
К теории квазиконформных отображений |
| title_full_unstemmed |
К теории квазиконформных отображений |
| title_sort |
к теории квазиконформных отображений |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2019 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169435 |
| citation_txt |
К теории квазиконформных отображений / В.А. Зорич // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 1. — С. 141-147. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT zoričva kteoriikvazikonformnyhotobraženij |
| first_indexed |
2025-07-15T04:15:22Z |
| last_indexed |
2025-07-15T04:15:22Z |
| _version_ |
1837684934669500416 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 16 (2019), № 1, 141 – 147
К теории квазиконформных отображений
Владимир А. Зорич
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Статья посвящена памяти профессора Богдана Боярского
Аннотация. В статье обсуждаются открытые вопросы теории ква-
зиконформных отображений, примыкающие к области исследований
профессора Боярского, памяти которого посвящён этот выпуск жур-
нала.
1. Введение
Одним из ранних и центральных объектов исследований профес-
сора Боярского было уравнение Бельтрами в разнообразных его про-
явлениях и применениях. Интерес Богдана Боярского к этой теме,
по-видимому, в большой мере был стимулирован Ильёй Несторови-
чем Векуа. Практически одновременно появились ставшие классикой
работы Альфорса [1], Векуа [2] и Боярского [3]. В книге [4] Векуа дал
эффективное доказательство теоремы, которую после работы Аль-
форса и Берса [5] теперь часто называют, хотя и не совсем точно,
измеримой теоремой Римана (Measurable Riemann Mapping Theorem).
Компактное изложение теоремы с анализом голоморфной зависимо-
сти решения от параметра имеется, например, в [6].
Эта теорема, обобщающая классическую теорему Римана о кон-
формном отображении, как известно, играет ключевую аппаратную
роль почти во всех вопросах геометрической теории функций (ква-
зиконформные отображения, теория Тайхмюллера, голоморфная ди-
намика, собственно геометрия...).
История повторяется. И теперь, по-видимому, уже под влиянием
профессора Боярского, в этот круг вопросов вошёл и тоже пошёл
дальше Тадеуш Иванец, работы которого относятся и к уравнению
Бельтрами, и к общим вопросам уравнений эллиптического типа, и к
многомерным квазиконформным отображениям [7–9].
Статья поступила в редакцию 05.03.2019
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
142 К теории квазиконформных отображений
Ниже я остановлюсь на некоторых вопросах, с которыми мне
довелось встретится во время работы над многомерными квазикон-
формными отображениями, и которые, как мне кажется, пока оста-
ются открытыми.
2. Бельтрами и Лиувилль
Классическая теорема Римана о конформном отображении облaс-
тей плоскости связана с уравнением Коши–Римана. Тот же вопрос о
конформном отображении области поверхности на плоскость (как и
вопрос о конформно-евклидовой метрике на поверхности), как изве-
стно, приводит к уравнению Бельтрами. Нужное решение существу-
ет, что свидетельствует по крайней мере о локальной конформной
гибкости (эластичности) двумерных поверхностей.
В высших размерностях ситуация меняется радикально. Напри-
мер, в евклидовом пространстве, размерности выше двух, нет дру-
гих конформных отображений, кроме “дробно-линейных” (компози-
ций гомотетий, трансляций и инверсий). Это классическая теорема
Лиувилля о конформной жёсткости областей пространства. Причи-
на в том, что, в отличие от системы Коши–Римана, возникающей
в двумерном случае, условие конформности отображения в высших
размерностях приводит к переопределённой системе уравнений, все
решения которой указаны выше.
Но у Лиувилля есть и другая классическая теорема: о постоянстве
ограниченных целых функций. Она справедлива не только для голо-
морфных функций, но и для решений широкого класса уравнений,
причём без ограничения на конечную размерность пространства. На-
пример, такая теорема справедлива по отношению к квазиконформ-
ным отображениям евклидова пространства Rn в себя при n ≥ 2.
Известные мне доказательства этой теоремы для квазиконформ-
ных отображений относятся к любой, но конечной размерности. Ка-
ково доказательство в бесконечномерном случае, например, для се-
парабельного Гилбертова пространства?
Замечу, что теорема Лиувилля о конформных отображениях обла-
стей пространства доказана (практически теми же аргументами) и в
бесконечномерном случае [10].
Добавлю в этой связи следующее. Обобщая понятие конформ-
ного (квазиконформного) отображения областей римановых много-
образий одинаковой размерности, Громов предложил считать кон-
формным (квазиконформным) такое отображение метрических про-
странств, например, отображение F : Rm → Rn (m ≥ n), при ко-
тором в каждой точке отображаемой области бесконечно малый шар
В. А. Зорич 143
преобразуется в образе в бесконечно малый шар (соответственно, в
эллипсоид ограниченного общей константой экцентриситета) [11]. В
связи с таким расширением понятий конформности и квазиконформ-
ности отображения Громов естественно ставит вопрос о том, какие
факты классической теории распространяются и на эти отображе-
ния. В частности, верно ли, что если отображение F : Rn+1 → Rn
конформно и ограничено, то при n ≥ 2 оно постоянно?
3. Нелинейные операторы
Для квазиконформных отображений справедлива теорема, свя-
зывающая локальную и глобальную обратимость отображения. Эта
теорема может быть сформулирована следующим образом:
Если f : Rn → Rn – локально обратимое квазиконформное ото-
бражение и n > 2, то уравнение f(x) = y имеет и притом един-
ственное решение при любой правой части y ∈ Rn.
Остаётся открытым вопрос о том верна ли такая теорема для не-
линейных операторов, действующих в банаховом или гильбертовом
пространстве бесконечной размерности.
Независимо от того, насколько могут быть полезны или интере-
сны нелинейные операторы с указанным условием их квазиконформ-
ности, сама постановка такого вопроса влечёт за собой ряд естествен-
ных вопросов, относящихся уже к теории квазиконформных отобра-
жений в конечномерном случае. Напомним следующий.
Радиус инъективности.
Мартио, Риккман и Вяйсала [12] нашли следующее красивое ра-
звитие теоремы о глобальном гомеоморфизме, обобщающее заодно
на случай квазиконформных отображений близкий результат Джона
[13] относящийся к квазиизометриям.
Если отображение f : Bn → Rn единичного шара локально го-
меоморфно и k-квазиконформно, то при n > 2 имеется величина
r = r(k, n), зависящая только от коэффициента квазиконформно-
сти отображения и размерности пространства, такая что ото-
бражение гомеоморфно в шаре Bn(r) ⊂ Bn радиуса r(k, n).
Величина r(k, n) называется радиусом инъективности отображе-
ния.
Естественно теперь посмотреть, как зависит эта величина от n.
Верно ли, что существует функция ρ(k) > 0, зависящая только от
коэффициента квазиконформности отображения, которая может
144 К теории квазиконформных отображений
служить гарантированным радиусом инъективности в пространс-
тве Rn любой размерности n > 2?
Теорема о радиусе инъективности, как было сказано, обобщает
теорему о глобальном гомеоморфизме. Действительно, если вместо
единичного шара брать шар иного радиуса, то шар инъективности
отображения, очевидно, изменится пропорционально. В частности, он
будет бесконечным, если исходный шар совпадает со всем пространс-
твом. Это, правда, доказывает только инъективность отображения
f : Rn → Rn, но остальное, то есть то, что f(Rn) = Rn, уже просто.
Заметим, что для квазиизометрических отображений (когда огра-
ничены не только отношения локальных растяжений, но и сами ра-
стяжения) существование радиуса инъективности легко доказывае-
тся для любого локально обратимого квазиизометрического отобра-
жения шара, причём сразу в произвольном банаховом пространстве
любой (конечной или бесконечной) размерности. Это теорема Джона.
4. Теорема искажения
Доказательство теоремы Мартио, Риккмана и Вяйсала о радиу-
се инъективности опирается на экстремальное свойство кольца Тай-
хмюллера, а также на следующую теорему искажения для квазикон-
формных отображений.
Пусть f : D → Rn – гомеоморфное квазиконформное отображе-
ние области D евклидова пространства Rn размерности n ≥ 2 в
пространство Rn, и пусть B – шар с центром o, содержащийся в
области D. Если образ fB шара содержится в образе fD области
D вместе с некоторым содержащим fB шаром с центром f(o), то
отношение maxx∈∂B |f(x)−f(o)|/minx∈∂B |f(x)−f(o)| ограничено ве-
личиной ε = ε(k, n), зависящей только от коэффициента квазикон-
формности отображения и размерности пространства.
(Здесь, как обычно, ∂B – граница области B, то есть в данном
случае это граничная сфера S шара B.)
Если мы хотим исследовать поведение радиуса инъективности в
зависимости от размерности пространства (и подозреваем существо-
вание универсального радиуса, не зависящего от размерности про-
странства), то, учитывая доказательство теоремы Мартио, Риккман
и Вяйсала, данное авторами, естественно исследовать асимптотику
по размерности и модуля кольца Тайхмюллера, и величины ε(k, n),
фигурирующей в приведённой теореме искажения.
Aсимптотику конформной ёмкости кольца Тайхмюллера найдена
[14].
В. А. Зорич 145
Как и в случае радиуса инъективности, есть основание предпола-
гать существование универсальной оценки ǫ(k) в теореме искажения,
не зависящей от размерности пространства.
Более того, некоторые общие соображения позволяют даже
высказать гипотезу, что универсальная оценка в теореме искажения
реализуется в двумерном случае.
5. Изотопия
Одним из ключевых элементов теории Тайхмюллера является те-
орема о существовании экстремального (наименее неконформного)
квазиконформного отображения между двумя римановыми поверх-
ностями, и описание такого отображения. Это отображение имеет
постоянный коэффициент квазиконформности в любой точке. Исхо-
дным базисным элементом теоремы является известная не только
Тайхмюллеру лемма Грёча о линейности экстремального квазикон-
формного отображения между двумя прямоугольниками с соответ-
ствием вершин.
Теорема Бельтрами с описанием зависимости нормированного ре-
шения (отображения) от параметра, полезна не только в комплексной
динамике. Такая теорема позволяет деформировать (изотопировать)
отображение в тождественное, причём так, что коэффициент квази-
конформности отображения в каждой точке непрерывно и монотонно
стремится к единице.
В пространственном случае такая изотопия возможна далеко не
всегда. Но, если, например, коэффициент квазиконформности ото-
бражения имеет изолированный локальный максимум, то, всё же,
отображение можно локально изотопировать так, чтобы общий коэф-
фициент квазиконформности уменьшился. Как показывает теорема
Тайхмюллера, в двумерном случае снятие “напряжений” доводится
до полного постоянства коэффициента квазиконформности экстре-
мального отображения.
6. Заключительный комментарий
Этот краткий обзор написан на основе статей [14–16], где при необ-
ходимости можно найти некоторые подробности, пояснения, а также
то, что привело к самой постановке изложенных выше вопросов.
Мы оставили здесь только те из них, которые примыкают к
творчеству профессора Боярского, памяти которого посвящён этот
выпуск журнала.
146 К теории квазиконформных отображений
Один из следующий выпусков журнала будет посвящён памяти
Георгия Дмитриевича Суворова. Там я предполагаю изложить ещё
несколько открытых вопросов, которые уже больше связаны с грани-
чным поведением отображений, т. е. с той тематикой, которой много
занимался Г. Д. Суворов.
Литература
[1] L. Ahlfors, Conformality with respect to Riemanian metrics // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A. I., 206 (1955), 22.
[2] И. Н. Векуа, Задача приведения к каноническому виду дифференциальных
форм эллиптического типа и обобщённая система Коши–Римана // ДАН
СССР, 100 (1955), No. 2, 197–200.
[3] Б. В. Боярский, Гомеоморфные решения систем Бельтрами // ДАН СССР,
102 (1955), No. 4, 661–664.
[4] И. Н. Векуа, Обобщённые аналитические функции, М., Наука, 1959.
[5] L. Ahlfors, L. Bers, Riemann’s mapping theorem for variable metrics // Ann.
Math., Ser. 2, 72 (1960), No. 2, 385–404.
[6] Л. Aльфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, М., Мир, 1969.
[7] B. Bojarski, T. Iwaniec, Analytical Foundations of the Theory of Quasiconformal
Mappings // Annales Acad. Sci. Fenn., (1982), 257–324.
[8] T. Iwaniec, G. Martin, Geometric Functional Theory and Nonlinear Analysis,
Oxford University Press (2001).
[9] T. Iwaniec, G. Martin, The Beltrami Equation, Memoirs of the American
Mathematical Society 2008.
[10] R. Nevanlinna, On differentiable mappings // Princeton Math. Ser. 90 (1984), 4,
571–574.
[11] M. Gromov, https://www.ihes.fr/ gromov/wp-content/uploads
/2018/08/problems-sept2014-copy.pdf
[12] O. Martio, S. Rickman, J. Väisälä, Topological and metric properties of quasi-
regular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I., Math. 488 (1971), 1–31.
[13] F. John, On quasi-isimetric mappings, II // Comm. Pure Appl. Math., 22 (1969),
41–66.
[14] В. А. Зорич, Несколько замечаний о многомерных квазиконформных отобра-
жениях // Матем. сб., 208 (2017), No. 3, 72–95.
[15] В. А. Зорич, Квазиконформные отображения и асимптотическая геоме-
трия многообразий // Успехи матем. наук, 57 (2002), No. 3 (345), 3–28.
В. А. Зорич 147
[16] В. А. Зорич, К задаче изотопии квазиконформного отображения // Труды
Математического Института им. В. А. Стеклова, 298 (2017), 139–143.
Сведения об авторах
Владимир
Антонович Зорич
Московский государственный
университет им. М. В. Ломоносова,
Москва, Россия
E-Mail: vzor@mccme.ru
|