К граничному поведению квазиконформных отображений

В статье обсуждаются открытые вопросы теории квазиконформных отображений, примыкающие к области исследований профессора Г. Д. Суворова, памяти которого посвящена эта работа....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автор:	Зорич, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2019
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169445
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К граничному поведению квазиконформных отображений / В.А. Зорич // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 2. — С. 289-300. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-169445
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1694452020-06-14T01:26:34Z К граничному поведению квазиконформных отображений Зорич, В.А. В статье обсуждаются открытые вопросы теории квазиконформных отображений, примыкающие к области исследований профессора Г. Д. Суворова, памяти которого посвящена эта работа. We discuss some open questions of the theory of quasiconformal mappings adjacent to the field of studies of Professor G. D. Suvorov. The present work is dedicated to his memory. 2019 Article К граничному поведению квазиконформных отображений / В.А. Зорич // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 2. — С. 289-300. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30C62, 30C65, 30D40, 30F25, 30L10, 31B25, 53D99 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169445 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В статье обсуждаются открытые вопросы теории квазиконформных отображений, примыкающие к области исследований профессора Г. Д. Суворова, памяти которого посвящена эта работа.
format	Article
author	Зорич, В.А.
spellingShingle	Зорич, В.А. К граничному поведению квазиконформных отображений Український математичний вісник
author_facet	Зорич, В.А.
author_sort	Зорич, В.А.
title	К граничному поведению квазиконформных отображений
title_short	К граничному поведению квазиконформных отображений
title_full	К граничному поведению квазиконформных отображений
title_fullStr	К граничному поведению квазиконформных отображений
title_full_unstemmed	К граничному поведению квазиконформных отображений
title_sort	к граничному поведению квазиконформных отображений
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2019
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/169445
citation_txt	К граничному поведению квазиконформных отображений / В.А. Зорич // Український математичний вісник. — 2019. — Т. 16, № 2. — С. 289-300. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT zoričva kgraničnomupovedeniûkvazikonformnyhotobraženij
first_indexed	2025-07-15T04:15:59Z
last_indexed	2025-07-15T04:15:59Z
_version_	1837684974555234304
fulltext	Український математичний вiсник Том 16 (2019), № 2, 289 – 300 К граничному поведению квазиконформных отображений Владимир А. Зорич (Представлена В. Я. Гутлянским) Аннотация. В статье обсуждаются открытые вопросы теории ква- зиконформных отображений, примыкающие к области исследований профессора Г. Д. Суворова, памяти которого посвящена эта работа. 2010 MSC. 30C62, 30C65, 30D40, 30F25, 30L10, 31B25, 53D99. Ключевые слова и фразы. Квазиконформное отображение, гра- ничное поведение, идеальная граница, простые концы, метрика Карно- Каратеодори. 1. Введение Каждому, кто слушал даже краткий курс комплексного анализа, известна теорема Римана о конформном отображении односвязной области плоскости на каноническую область – круг. Но мало кто зна- ет, как ведёт себя такое отображение на границе области. Граница отображаемой области, вообще говоря, может быть очень не похожа на привычную простую кривую. Что же тогда соответствует точке на граничной окружности круга, в который (или откуда) идёт ото- бражение? Соответствие границ при конформных отображениях изучил и описал Каратеодори, который дал ответ на поставленный вопрос [1]. По словам М. А. Лаврентьева [2], в этом смысле Каратеодори завер- шил теорему Римана. Сам М. А. Лаврентьев, развивая теорию конформных отображе- ний, не раз обращался к их граничному поведению [3]. Идеи работ Каратеодори и Лаврентьева, по-видимому, и дали основной импульс исследованиям Георгия Дмитриевича Суворова в этом направлении. Достаточно взглянуть на содержание и библиографию первой книги Г. Д. Суворова [4]. Статья поступила в редакцию 15.05.2019 ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 290 К граничному поведению квазиконформных... Более поздняя книга Г. Д. Суворова [5] содержит уже обширную библиографию работ как самого автора, так и его учеников, сотру- дников и коллег. Работы посвящены граничному поведению разли- чных классов отображений, исходно связанных с конформными ото- бражениями. 2. Теория Каратеодори Пусть вслед за Каратеодори мы желаем пополнить односвязную область плоскости идеальной границей, состоящей из некоторых эле- ментов, которые Каратеодори назвал простыми концами, и желаем на пополненной этой идеальной границей области ввести топологию так, чтобы при конформном отображении на круг простым концам соответствовали точки границы круга, а конформное отображение продолжалось на границу до гомеоморфизма замкнутых областей. Каратеодори осуществил такое пополнение. Не повторяя констру- кции Каратеодори, напомним лишь кое-что полезное для адекватного понимания дальнейшего. Возьмём на плоскости гантель: два больших круга, соединённых узкой полоской. Отобразим эту область конформно на круг так, что- бы в центр круга перешёл центр одного из двух кругов гантели. Тогда всё, что лежит за этим кругом при таком отображении, попадёт в ма- лую окрестность какой-то точки граничной окружности. Это будет так, даже если вы будете сильно раздувать вторую часть гантели или делать с ней ещё что-нибудь. Приведённый пример отражает следующее общее явление. При однолистном конформном отображении круга около каждой точки граничной окружности можно выделить стягивающуюся к ней после- довательность дуг с концами на границе, диаметр образов которых стремится к нулю. (Это верно и для квазиконформных отображений, и для отображений с ограниченным интегралом Дирихле, ...) Рассмотрим образы этих дуг. Это разрезы односязной области. Такая последовательность разрезов малого диаметра в любой одно- связной области порождает последовательность вложенных друг в друга областей, которые и дадут простой конец, которому при ото- бражении области на круг будет соответствовать точка граничной окружности. Эти разрезы можно делать, видя саму область, не прив- лекая больше отображение, игравшее вспомогательную роль. Пополнение метрического пространства, как известно, осуществ- ляется последовательностями Коши, а здесь роль фундаментальных последовательностей выполняют последовательности вложенных друг В. А. Зорич 291 в друга областей, относительная граница которых имеет диаметр, стремящийся к нулю. Конструкция Каратеодори, в общем-то, топологическая, хотя вы- полнена с оглядкой на конформные отображения. С учётом этого обстоятельства не удивительно, что соответствие границ по простым концам Каратеодори происходит не только при конформных отобра- жениях. (См., например, книгу [5] и библиографию в ней.) 3. Каратеодори, Кёбе и все, все, все Чтобы разбавить формальный текст, расскажу в этом месте не- большую историю собственного соприкосновения с теорией Каратео- дори. В конце пятидесятых – начале шестидесятых годов прошлого сто- летия началось интенсивное исследование квазиконформных отобра- жений областей пространства (размерности выше двух). Помню, что в 1960 году, на пятом (тогда завершающем) курсе мехмата МГУ я по- лучил от своего научного руководителя, Бориса Владимировича Ша- бата, задание: исследовать граничное поведение квазиконформных автоморфизмов шара. В дипломной работе я доказал, что такой авто- морфизм всегда продолжается до гомеоморфизма замкнутого шара. На этой задаче я приобрёл некоторый опыт работы с конформным ин- вариантом – конформной ёмкостью, которая квазиинвариантна при квазиконформных отображениях. Впоследствии я использовал этот опыт и конформную ёмкость для построения многомерного аналога теории Каратеодори для квазиконформных отображений шара. Че- рез три года, в 1963 году, это стало частью моей кандидатской дис- сертации. Но там было ещё кое-что побочное, о чём я сейчас и хочу сказать. Выучив классику и сделав что-то самостоятельно, я обратил вни- мание на то, что соответствие границ по простым концам Каратеодо- ри осуществляется не только при конформных или квазиконформных отображениях, для которых теория исходно и строилась. Возник есте- ственный вопрос о том, каков же максимально широкий класс ото- бражений, при которых соответствие границ описывается в рамках теории Каратеодори? Этот класс оказался следующим. (Приведу определение.) Расстояние между двумя множествами, лежащими в области, бу- дем измерять нижней гранью диаметров кривых, лежащих в области и соединяющих эти множества. Если эта величина равна нулю, будем говорить, что множества близки. Теперь в качестве множеств будем 292 К граничному поведению квазиконформных... брать только связные, а в качестве отображений только такие го- меоморфизмы открытой области (круга, шара), которые сохраняют близость связных подмножеств (т. е. образы близки тогда и только тогда, когда близки прообразы). Все конкретные классы отображений, подчиняющихся теории Ка- ратеодори (конформные, квазиконформные и дальше), обладают этим свойством. Можно показать, что указанное условие на самом деле не- обходимо и достаточно для того, чтобы граничное поведение отобра- жения круга (шара) происходило по простым концам Каратеодори [6]. В теории граничного поведения конформных отображений круга есть сравнительно простая, но весьма полезная теорема Кёбе, утвер- ждающая, что при конформном отображении круга множество точек границы, отвечающих достижимым точкам границы образа круга, всюду плотно на граничной окружности отображаемого круга. (Речь здесь идёт о точках граничной окружности, в которых ото- бражение имеет асимптотическое значение, т. е. имеется путь, лежа- щий в отображаемом круге и идущий в эту точку границы, вдоль которого отображение имеет предел.) В двумерном случае нетрудно показать, что отображение круга уважает теорию Каратеодори тогда и только тогда, когда оно уважа- ет теорему Кёбе. Мне очень хотелось доказать такую теорему о связи теории Кара- теодори и теоремы Кёбе для отображений шара. Но для этого было мало доказать всюду плотность таких точек на граничной сфере, а нужна была опять всюду плотность на любом континууме, что, коне- чно, намного тоньше. Для квазиконформных отображений с исполь- зованием конформной ёмкости это делается просто. Вся теория для квазиконформного случая у меня уже давно была готова, а с этой те- оремой Кёбе я никак не мог справиться. Понимал, что это, возможно, никому и не нужно, но было острое, наверное спортивное, желание иметь законченный результат. Потратив массу времени и сил, нако- нец, доказал такую теорему Кёбе. Почему я вдруг об этом здесь пишу? Доказательство я поместил в сборнике [6] трудов одной из конференций, главным организатором которых всегда был Георгий Дмитриевич Суворов. Этот материал, наряду с исходно главным, касавшимся квазиконформных отображе- ний, был помещён в мою кандидатскую диссертацию, оппонентами в которой были Алексей Иванович Маркушевич и Семён Яковле- вич Хавинсон. Защита прошла благополучно, а после защиты Семён Яковлевич мне говорит: “Ну я и намучился, разбирая Вашу мухобой- ную лемму к теореме Кёбе”. Не знаю, хватило ли ещё у кого-нибудь, В. А. Зорич 293 кроме оппонентов, терпения разбирать доказательство моей теоремы Кёбе и мухобойной, с длиннющим доказательством, леммы к ней, но, признаюсь, я тоже с этим намучился. Зря, не зря, – не обсуждаю; сделано и идём дальше. А Георгию Дмитриевичу Суворову низкий поклон за конференции и школы, которые он организовывал, и за публикацию их трудов, которую он стимулировал. 4. Замечания о метризации Итак, Каратеодори пополнил область идеальной границей и на пополненной области определил топологию так, что конформное ото- бражение круга на эту область продолжается до гомеоморфного ото- бражения замкнутого круга на пополненную идеальной границей об- ласть. Знания одного этого факта достаточно, чтобы понять, что проце- дура Каратеодори допускает метризацию в том смысле, что в одно- связной области можно определить новую метрику, стандартная про- цедура пополнения по которой присоединит в точности простые кон- цы по Каратеодори. Такая метрика, конечно, не единственна, что и подтверждают работы многих авторов (см., например, библиографию в [5]). Изучались различные относительные расстояния и их измене- ния при отображениях различных классов. Метрику, отвечающую простым концам Каратеодори, можно вво- дить также через конформную ёмкость. Такая метрика инвариантна при конформных отображениях и квазиинвариантна при квазикон- формных отображениях. Конформная ёмкость бывает полезна и в других связанных с иде- альной границей аспектах. Так она позволяет определить конформ- ный тип многообразия, который, в свою очередь, отвечает за свойства функций и отображений. Например, классическая теорема Лиувил- ля о постоянстве целой ограниченной голоморфной функции на пло- скости на самом деле отражает тот факт, что евклидова плоскость и плоскость Лобачевского (единичный круг) имеют различный кон- формный тип, причём первая не допускает погружения во вторую. Голоморфность тут не нужна, нужно только поведение функции (ото- бражения) на бесконечности. То же касается, например, так называе- мой основной теоремы алгебры о существовании комплексного корня многочлена. Тут важен не многочлен, а его старший член, который в окрестности бесконечности определяет степень отображения. Когда от топологических конструкций Каратеодори переходят к их метрическим вариантам, то естественно появляются вопросы оцен- ки возможного изменения такой метрики при изучаемых отображе- 294 К граничному поведению квазиконформных... ниях. Мы скажем об этом ниже. А здесь заметим только, что даже то- пологическая структура идеальной границы не всегда описана даже в очень конкретных случаях. Например, если идеальная граница вво- дится посредством конформной ёмкости, то, как известно, в случае евклидова пространства это всегда точка, для пространства Лоба- чевского это сфера соответствующей размерности, а вот для группы Гейзенберга, наделённой инвариантной римановой метрикой, по мо- ему, соответствующая идеальная граница не описана, хотя разумное предположение на этот счёт сделать можно. Так, в случае трёхмер- ной группы Гейзенберга она, скорее всего, гомеоморфна одномерной окружности. 5. Проявления многомерности Более детальное по сравнению с топологическим описание грани- чного поведения отображений нужного класса не только интересно само по себе, но порой имеет замечательные последствия. Рассмотрим уже упоминавшийся пример квазиконформных авто- морфизмов единичного шара. Мы уже знаем, что такой автоморфизм продолжается до гомеоморфизма замкнутого шара. В работе [7] Ге- ринг установил, что квазиконформный автоморфизм открытого ша- ра не только продолжается до гомеоморфизма замкнутого шара, но что возникающее при этом отображение граничной сферы оказывае- тся квазиконформным. Это обстоятельство было с успехом использовано Мостовым в его красивой работе [8] о жесткости пространственных гиперболических форм. Мостов, в частности, показал, что если два компактных ри- мановых многообразия одинаковой постоянной отрицательной кри- визны диффеоморфны, а их размерность больше двух, то они изоме- тричны. Вспоминая теорему униформизации Клейна–Пуанкаре–Кёбе и мо- дель Пуанкаре планиметрии Лобачевского в круге, нетрудно понять, что это находится в полном контрасте с существованием модулей кон- формных структур на двумерных поверхностях. Добавим ещё кое-что, связанное со спецификой многомерного слу- чая. Круг можно конформно отобразить на круг с выброшенным ра- диусом, а шар нельзя отобразить на шар с выброшенным радиусом не только конформно, но даже квазиконформно (со сколь угодно боль- шим, но конечным коэффициентом квазиконформности). Для дока- зательства этого факта достаточно пространственного аналога тео- рии Каратеодори. В. А. Зорич 295 Интересно, что даже если вместо шара с выброшенным радиусом взять жорданову область с остриём направленным внутрь вдоль ра- диуса, то ситуация не изменится, а если вы добавите к шару такое остриё, – шип, торчащий наружи, то отображение уже возможно. Например, шар можно квазиконформно отобразить на бесконечный цилиндр. Эти запреты, в конечном счёте, – наследие конформной жёсткости областей пространства. В многомерном случае, в отличие от двумерного случая, про- странство Тайхмюллера, квазиконформно не эквивалентных между собой топологических шаров, оказывается не только бесконечномер- ным, но даже не сепарабельным [9]. 6. Устранимые и неустранимые особенности Хорошо известно, что если голоморфная функция ограничена в окрестности изолированной особой точки, то функция продолжается в эту точку, оставаясь голоморфной. Такая теорема об устранении изолированной особенности справедлива и для гармонических фун- кций, и для решений уравнения Бельтрами и, вообще, для решений уравнений эллиптического типа. Если же голоморфная функция в изолированной особой точке не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного), то, по классической теореме Пикара, в любой проколотой окрестности такой особой то- чки функция обязана принимать все значения в расширенной ком- плексной плоскости, за возможным исключением только двух. Такая же теорема верна для решений уравнения Бельтрами, т. е. для квазирегулярных (однолистных и неоднолистных квазиконформ- ных) отображений, называемых также отображениями с ограничен- ным искажением. В многомерном случае для квазирегулярных отображений, рас- сматриваемых в евклидовом пространстве Rn при n > 2, тоже имеет место подобная теорема, но количество выпускаемых значений, хотя и конечно, может быть любым. Оно зависит от коэффициента квази- конформности (квазирегулярности) отображения. Если же известно, что отображение f : U \ o → Rn локально го- меоморфно в проколотой окрестности U \ o некоторой точки o (т. е. не имеет в U \ o ветвлений или, как в этом случае говорят геометры, является погружением U \ o в Rn), то при n > 2 найдётся меньшая проколотая окрестность той же точки, где отображение f однолистно (т. е. инъективно или, в геометрической терминологии, является вло- жением). 296 К граничному поведению квазиконформных... Эта теорема является обобщением теоремы о глобальном гомео- морфизме, утверждающей, что квазиконформное погружение f :Rn→ Rn при n > 2 всегда является вложением и f(Rn) = Rn. Таким образом, если квазиконформное отображение f : Rn → Rn обратимо локально, то при n > 2 оно обратимо и в целом. Открытым остаётся следующий модельный вопрос о возможности усиления этой теоремы путём усиления теоремы о поведении квази- конформного погружения в проколотой окрестности точки. Пусть n = 3. Заменим точку o отрезком I и рассмотрим проколо- тую окрестность U \ I отрезка I в R3. Пусть известно, что квазикон- формное отображение f : U \ I → R3 локально однолистно. Верно ли, что тогда найдётся меньшая проколотая окрестность этого отрезка, где отображение уже однолистно? Добавим ещё кое-что по поводу теоремы Пикара. Выше мы всю- ду говорили, что отображение идёт в евклидово пространство Rn. Рассмотрим теперь погружение (иммерсию) одного риманова много- образия размерности n > 2 в другое риманово многообразие той же размерности. Опишем поведение вложения в неустранимой изолиро- ванной особой точке, предполагая, что вложение квазиконформно в проколотой окрестности этой точки. Оказывается, в этом случае исключительных значений не будет вообще. Более того (и вот это надо проверить!) многообразие, куда идёт отображение, должно иметь очень специальный топологический вид (иначе неустранимости точки не будет). Многообразие образа должно быть гомеоморфно либо тору Хо- пфа (фактору пространства Rn по группе гомотетий x 7→ 2x или, что то же самое, Sn−1 × S1 ), либо прямому произведению Rk×Tn−k пространства Rk и стандартного тора Tn−k при 1 ≤ k < n. 7. Каратеодори в математике и физике Мы начали с теории Каратеодори, относящейся к граничному поведению конформных и более общих отображений. В математике имя Каратеодори, как известно, появляется в разных областях и по разным поводам. Но Каратеодори, как и Пуанкаре, известен также своими работами физического содержания. Упомянем здесь исследо- вания Каратеодори, относящиеся к математической формализации классической (феноменологической) термодинамики, связавшие её с анализом и геометрией [11]. В классической термодинамике с термодинамической системой (через законы сохранения энергии – первое начало термодинамики) В. А. Зорич 297 связывается опредлённая 1-форма ω, называемая формой притока тепла. Она отвечает за теплообмен системы с окружением. Перехо- ды из одного термодинамического состояния системы в другое, прои- сходящие без обмена теплом с окружающей средой, называются ади- абатическими переходами. Таким образом, адиабатические переходы идут вдоль нулей (ядер kerω) этой 1-формы притока тепла. Каратеодори сформулировал следующий, абсолютно понятный фи- зикам, принцип: в любой окрестности термодинамического состояния системы есть состояния, в которые невозможно перейти адиабатиче- ски. Нарушение этого принципа означало бы нарушение общеприня- того второго начала термодинамики. Собственно, формулируя этот принцип, Каратеодори как раз и хотел дать математически последо- вательное изложение второго начала термодинамики. Будем считать, что я пояснил мотивировку того, к чему теперь перехожу. Предположим, что в пространстве, например в R3, имеется 1- форма ω. Её ядра kerω образуют распределение плоскостей (гипер- плоскостей) в пространстве. Разрешается ходить только по путям, касающимся плоскостей распределения. Пусть известно, что в любой окрестности любой точки пространства имеются точку, в которые нельзя перейти по такому (допустимому для данного распределения, в указанном смысле контактному) пути. Доказанная Каратеодори теорема утверждает, что в этом случае распределение {kerω} гиперплоскостей интегрируемо (имеет инте- гральные поверхности, которых оно касается). В физической интерпретации это приводит к существованию фун- кции энтропии – ключевого объекта второго начала термодинамики. Но мы остановимся на математических связях. По существу Каратеодори доказал, что соединимость точек про- странства путями, допустимыми для данного распределения, во- зможна в том и только в том случае, когда распределение не явля- ется интегрируемым. Вопрос же интегрируемости пфаффовых форм и соответствую- щих им распределений решает классическое условие (теорема) Фро- бениуса. Это делает теорему Каратеодори при ответе на вопрос со- единимости точек пространства путями, допустимыми для данного распределения, в той же мере эффективной, в какой эффективна те- орема Фробениуса при ответе на вопрос об интегрируемости самого распределения. 298 К граничному поведению квазиконформных... 8. Метрика Карно–Каратеодори Если при наличии распределения пространство оказывается свя- зным (допустимыми для распределения путями), то в пространстве естественно возникает новая метрика, в которой расстояние между точками измеряется нижней гранью длин допустимых путей, соеди- няющих точки. Эту метрику называют метрикой Карно–Каратеодо- ри или C-C-метрикой. Её термодинамические корни описаны выше. Квазиконформные отображения рассматривают и в этой метрике. В частности, для такого субриманова пространства Карно–Каратео- дори тоже имеет место теорема о глобальном гомеоморфизме для квазиконформных погружений. Отметим, наконец, что если на пространство R3 с декартовыми координатами (x, y, z) смотреть как на группу Гейзенберга H1 и, взяв в начале координат плоскость z = 0, разнести её под действием груп- повой операции по всему пространству R3, мы получим неинтегри- руемое распределение. Тогда в R3 будет, с одной стороны, метрика Карно–Каратеодори, а, с другой стороны, инвариантная риманова метрика на группе Гейзенберга. Интересно, что метрическая размер- ность R3 по отношению к первой метрике равна 4, а по отношения ко второй 3. При этом в первом случае пространство будет иметь кон- формно параболический тип с одноточечной идеальной границей, а во втором случае оно будет конформно гиперболического типа. Имен- но в этом последнем случае, как мы говорили выше, обсуждая вопро- сы пополнения пространства, естественная идеальная граница, ско- рее всего, будет гомеоморфна одномерной окружности. Поскольку группа Гейзенберга с инвариантной римановой метри- кой не допускает квазиконформных погружений в себя [12], это ещё раз показывает, что теорема о глобальном гомеоморфизме, скорее всего, может быть распространена и на n-мерные римановы много- образия конформно гиперболического типа, граница которых имеет размерность, меньшую, чем n− 1. При доказательстве, конечно, уже надо использовать более тонкие факты о граничном поведении ква- зиконформных отображений, частично упомянутые выше. Полезно иметь в виду, что квазиконформное отображение не меняет конформ- ную размерность риманова многообразия. Уже по топологическим со- ображениям это означает, что если граница n-мерного многообразия имела размерность, меньшую чем n − 1, то такое риманово много- образие не допускает квазиконформного погружения в себя. В. А. Зорич 299 9. Заключительный комментарий Этот краткий обзор написан на основе источников [13–15], где при необходимости можно найти некоторые подробности, пояснения, а также дополнительную информацию по темам, которых мы здесь не касались. Литература [1] C. Carathéodory, Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete // Math. Ann., 73 (1913), 323–370. [2] М. А. Лаврентьев, Избранные труды. Математика и Механика, М., Наука, 1990. [3] М. А. Лаврентьев, О непрерывности однолистных функций в замкнутых областях // Докл. АН СССР, 4 (1936), No. 5, 207–210. [4] Г. Д. Суворов, Семейства плоских топологических отображений, Новоси- бирск, Сибирское отделение Академии Наук СССР, 1965. [5] Г. Д. Суворов, Обобщённый принцип длины и площади в теории отображе- ний, Киев, Наукова Думка, 1985. [6] В. А. Зорич, Класс Каратеодори и пространственный аналог теоремы Кёбе // Теория отображений, её обобщения и приложения, Сборник научных трудов, Киев, Наукова Думка, 1982, 92–101. [7] F. W. Gehring, Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc., 103 (1962), 353–393. [8] G. D. Mostow, Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms // Publ. IHES, 34 (1968), 53–104. [9] F. W. Gehring, J. Väisälä, The coefficients of quasiconformality of domains in space // Acta Math., 114 (1965), 1–70. [10] В. А. Зорич, Квазиконформные погружения римановых многообразий и те- орема пикаровского типа // Функц. анализ и его прил., 34 (2000), No. 3, 37–48. [11] C. Carathéodory, Untersuhungen über die Grundlagen der Thermodynamik // Mathematische Annalen, 67 (1909), 355–386. [12] I. Hololpainen, S. Rickman, Quasiregular mappings, Heisenberg group, and Pi- card’s theorem // Proceeings of the Fourth Finnish–Polish Summer School in Complex Analysis, Jyväskylä, Finland, 1992 / ed. J.Lawrinowicz et al. Jyväskylä Mathematisches Institut, Jyväskylä Univ., 1993, 25–35, Ber. Univ. Jyväskylä Math. Inst., V. 55. [13] В. А. Зорич, Квазиконформные отображения и асимптотическая геоме- трия многообразий // Успехи матем. наук, 57 (2002), No. 3 (345), 3–28. 300 К граничному поведению квазиконформных... [14] В. А. Зорич, Граничное поведение автоморфизмов гиперболического про- странства // Успехи матем. наук, 72 (2017), No. 4 (436), 67–94. [15] В. А. Зорич, Математические аспекты классической термодинамики, М., МЦНМО, 2019. Сведения об авторах Владимир Антонович Зорич Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия E-Mail: vzor@mccme.ru

К граничному поведению квазиконформных отображений

Репозитарії

Схожі ресурси