Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости
Дослiджено стiйкiсть нульового розв’язку автономної нелiнiйної системи. Поставлено i розв’язано задачу знаходження змiнних, вiдносно яких розв’язок асимптотично стiйкий у випадку, коли вiдома функцiя Ляпунова зi знакосталою похiдною. Дослiдження побудовано на методi додаткових функцiй i виявляє взає...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17186 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 17-23. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-17186 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-171862011-02-24T12:03:34Z Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости Ковалев, А.М. Математика Дослiджено стiйкiсть нульового розв’язку автономної нелiнiйної системи. Поставлено i розв’язано задачу знаходження змiнних, вiдносно яких розв’язок асимптотично стiйкий у випадку, коли вiдома функцiя Ляпунова зi знакосталою похiдною. Дослiдження побудовано на методi додаткових функцiй i виявляє взаємозв’язок властивостей iнварiантностi та асимптотичної стiйкостi динамiчних систем. Конструктивнiсть здобутих результатiв продемонстровано на iлюстративному прикладi. The stability of the trivial solution of a nonlinear autonomous system is considered. The problem of finding the variables, with respect to which the solution is asymptotically stable, is formulated and solved in the case where a Lyapunov function with the semidefinite derivative is known. The investigation is based on the method of additional functions and shows the interconnection between the invariance and asymptotic stability properties of dynamical systems. The constructibility of the results obtained is demonstrated by an illustrative example. 2009 Article Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 17-23. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17186 531.36 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Ковалев, А.М. Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости |
| description |
Дослiджено стiйкiсть нульового розв’язку автономної нелiнiйної системи. Поставлено i розв’язано задачу знаходження змiнних, вiдносно яких розв’язок асимптотично стiйкий у випадку, коли вiдома функцiя Ляпунова зi знакосталою похiдною. Дослiдження побудовано на методi додаткових функцiй i виявляє взаємозв’язок властивостей iнварiантностi та асимптотичної стiйкостi динамiчних систем. Конструктивнiсть здобутих результатiв продемонстровано на iлюстративному прикладi. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.М. |
| author_facet |
Ковалев, А.М. |
| author_sort |
Ковалев, А.М. |
| title |
Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости |
| title_short |
Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости |
| title_full |
Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости |
| title_fullStr |
Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости |
| title_full_unstemmed |
Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости |
| title_sort |
метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17186 |
| citation_txt |
Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости / А.М. Ковалев // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 17-23. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevam metoddopolnitelʹnyhfunkcijvzadačahčastičnojustojčivosti |
| first_indexed |
2025-07-02T18:24:21Z |
| last_indexed |
2025-07-02T18:24:21Z |
| _version_ |
1836560586409771008 |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2009
Член-корреспондент НАН Украины А.М. Ковалев
Метод дополнительных функций в задачах частичной
устойчивости
Дослiджено стiйкiсть нульового розв’язку автономної нелiнiйної системи. Поставлено
i розв’язано задачу знаходження змiнних, вiдносно яких розв’язок асимптотично стiй-
кий у випадку, коли вiдома функцiя Ляпунова зi знакосталою похiдною. Дослiдження
побудовано на методi додаткових функцiй i виявляє взаємозв’язок властивостей iнва-
рiантностi та асимптотичної стiйкостi динамiчних систем. Конструктивнiсть здо-
бутих результатiв продемонстровано на iлюстративному прикладi.
Построение функции Ляпунова [1, 2] со знакоопределенной производной для систем Барба-
шина–Красовского [3], выполненное в работах [4–6], основано на использовании двух типов
функций, названных дополнительными, исходя из их роли в процессе получения функций
Ляпунова. Успешное применение этих функций для устойчивых систем, выполненное в дан-
ной работе, и перспективы рассмотрения с их помощью общей ситуации в задачах устойчи-
вости (и неустойчивости) позволяют говорить о создании метода дополнительных функций
в теории устойчивости. Данный метод является естественным развитием метода функций
Ляпунова и состоит в “подправке” функции Ляпунова с помощью дополнительных функ-
ций, исходя из свойств ее производной в силу системы.
В настоящей работе метод дополнительных функций применен к системам, для кото-
рых выполнены условия первой теоремы Ляпунова, с целью выяснения свойств асимпто-
тической устойчивости их решений. Постановка задачи и предварительный материал даны
в первых двух пунктах. Основным результатом является доказательство теоремы о части-
чной асимптотической устойчивости [7]. Установлено свойство максимальности множества,
относительно которого нулевое решение асимптотически устойчиво (п. 3). Полученные ре-
зультаты применены к исследованию на устойчивость нулевого решения нелинейной сис-
темы четвертого порядка (п. 4).
1. Устойчивость и частичная асимптотическая устойчивость. Рассматривается
устойчивость нулевого решения системы
ẋ = f(x), f(0) = 0; x ∈ D ⊂ R
n, t ∈ [t0,∞), (1)
где D — некоторая окрестность нуля, функция f(x) предполагается непрерывно диффе-
ренцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает дифференцирование по
времени t зависимой переменной x, а также функции V (x) в силу системы (1): V̇ (x) =
= 〈∇V (x), f(x)〉. Здесь ∇ — оператор дифференцирования, в применении к скалярной
функции он дает градиент, а к вектор-функции — матрицу Якоби; символ 〈, 〉 означает
скалярное произведение.
С целью изучения частичной асимптотической устойчивости введем обозначение xT =
= (yT, zT), где y ∈ D1 ⊆ Rk, z ∈ D2 ⊆ Rn−k, и перепишем систему (1) в виде
ẏ = f1(y, z), ż = f2(y, z). (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 17
Предполагаем, что нулевое решение системы (1) является изолированным и устойчивым,
а также известна функция Ляпунова, удовлетворяющая первой теореме Ляпунова.
Теорема 1 [1]. Пусть для системы (1) существует знакоопределенная функция V (x),
производная V̇ (x) которой в силу системы (1) является знакопостоянной, знака проти-
воположного V (x). Тогда нулевое решение системы (1) устойчиво.
Поставим следующую задачу.
Задача 1. Пусть для системы (1) известна функция V (x), удовлетворяющая теореме 1.
Требуется найти переменные y = g(x), относительно которых нулевое решение системы (1)
асимптотически устойчиво.
Для решения этой задачи могут быть применены следующие теоремы.
Теорема 2. Пусть для системы (1) существует знакоопределенная функция V (x),
производная V̇ (x) которой в силу системы (1) является функцией y-знакоопределенной,
знака противоположного V (x). Тогда нулевое решение системы (1) устойчиво и асим-
птотически y-устойчиво.
Теорема 3. Пусть для системы (1) существует знакоопределенная функция V (x),
производная V̇ (x) которой в силу системы (1) является знакопостоянной, знака про-
тивоположного V (x), обращающейся в нуль на множестве M . Кроме того, множество
{x : y = 0} инвариантно и множество M \{x : y = 0} не содержит целых полутраекторий.
Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически y-устойчиво.
Теорема 2 является следствием теоремы 5 работы [8] для автономных систем. Теоре-
ма 3 является, фактически, переформулировкой на рассматриваемый случай теоремы Ри-
зито [9], которая, в свою очередь, обобщает теорему Барбашина–Красовского [3] на случай
частичной устойчивости.
Отметим, что, как следует из теоремы 2, поставленную в данной работе задачу уже
рассматривал В.В. Румянцев в работе [8]. Теорема 3 показывает влияние свойства инвари-
антности на асимптотическую устойчивость: множество {x : y = 0} должно быть инвари-
антным. Впервые связь между инвариантностью и асимптотической устойчивостью была
выявлена Барбашиным и Красовским и проявлялась в отсутствие целых полутраекторий,
кроме нулевого решения, на множестве M . Дальнейший анализ показывает, что связь ме-
жду двумя указанными свойствами не является случайностью, а отражает ситуацию по
существу. Поэтому для решения поставленной выше задачи потребуются некоторые сведе-
ния по теории инвариантности.
2. Инвариантные соотношения и дополнительные функции. В качественной те-
ории дифференциальных уравнений со свойством инвариантности связаны два следующих
понятия: инвариантное множество и инвариантное соотношение.
Определение 1. Множество G ⊂ D называется инвариантным множеством систе-
мы (1), если всякое решение x(t) системы (1), имеющее с G общую точку x(t∗), целиком
принадлежит этому множеству: x(t) ∈ G, t ∈ [t0,∞).
Определение 2. Соотношение ϕ(x) = 0 называется инвариантным соотношением сис-
темы (1), если определяемое им множество содержит инвариантное множество системы (1).
Инвариантные множества играют важную роль при описании динамики систем и опи-
сываются уравнениями Леви-Чивита [10].
Теорема 4. Для того чтобы уравнения Vi(x) = 0 (i = 1, . . . , l) определяли инвариантное
множество системы (1), необходимо и достаточно, чтобы функции Vi(x) удовлетворяли
системе линейных дифференциальных уравнений в частных производных
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
〈f(x),∇Vi(x)〉 =
l∑
j=1
λij(x)Vj(x), i = 1, . . . , l, (3)
где функции λij(x) не имеют особенностей в рассматриваемой области.
Для проверки, является ли заданное соотношение инвариантным соотношением систе-
мы (1), используем следующую теорему.
Теорема 5 [11]. Порождаемое инвариантным соотношением ϕ(x) = 0 инвариантное
множество G системы (1) определено уравнениями
ϕki(x) = 0, i = 0, 1, . . . , l, (4)
где l — число функционально независимых функций в последовательности
ϕ(x), ϕ̇(x), ϕ̈(x), . . . , (5)
при этом ∇ϕ(x) 6= 0 для x ∈ G.
С использованием теоремы 5 устанавливается важное свойство, необходимое для по-
строения функции Ляпунова со знакоопределенной производной [5, 6].
Лемма 1. Если множество N = {x : ϕ(x) = 0, ∇ϕ(x) 6= 0} ⊂ D не содержит целых
полутраекторий, то для каждой точки x0 ∈ N найдется k такое, что ϕk(x0) 6= 0.
Данное свойство дало возможность получить [4–6] дополнительные функции, добавле-
ние которых к исходной функции Ляпунова при выполнении условий теоремы Барбашина–
Красовского последовательно сужает множество обращения в нуль ее производной, начиная
с исходного множества M и до нулевой точки, сохраняя знакоопределенность самой функ-
ции и ее производной в остальных точках.
Для построения дополнительных функций важное значение имеет структура множе-
ства M , определяемая его геометрическими и дифференциальными особенностями. Во-пер-
вых (геометрические особенности), множество M может быть суммой подмножеств: M =
=
s⋃
i=1
Mi, Mi = {x : ϕi(x) = 0, ∇ϕi(x) 6= 0}. Кроме того, попарные пересечения Mk
⋂
Mm
могут содержать ненулевые точки для некоторых k, m, что также необходимо учитывать.
Во-вторых (дифференциальные особенности), для некоторых множеств Mi вопрос о суще-
ствовании инвариантного множества может не решаться первыми двумя членами последо-
вательности (5), т. е. в лемме 1 для точек x0 ∈ Mi имеем k > 1.
Приведем два типа дополнительных функций [4–6], с использованием которых стро-
ится функция Ляпунова со знакоопределенной производной. В простейшем случае, когда
множество M обращения в нуль производной V̇ (x) описывается одной функцией ϕ(x): M =
= {x : ϕ(x) = 0, ∇ϕ(x) 6= 0} и задача существования инвариантного множества решает-
ся первыми двумя членами последовательности (5), в качестве дополнительной функции
принимается следующая функция:
Va = 〈∇ϕ(x), f(x)〉2m〈〈∇ϕ(x), f(x)〉, ϕ(x)〉. (6)
Функция типа
Vai = 〈∇ϕi(x), f(x)〉2m〈〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x)〉
s∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x) (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 19
принимается в качестве дополнительной функции для множества Mi в случае, когда мно-
жество M состоит из нескольких множеств: M =
s⋃
i=1
Mi, для каждого из которых задача
существования инвариантного множества решается первыми двумя членами последователь-
ности (5).
Замечание 1. Для упрощения функций (6), (7) вместо функции f(x) можно использовать
ее значение fN (x), вычисленное для x ∈ M , x ∈ Mi [3].
3. Основная теорема. Вернемся к решению задачи 1. Предполагаем, что множество M ,
на котором производная V̇ (x) обращается в нуль, представляется в виде суммы множеств:
M =
s⋃
i=1
Mi, Mk
⋂
Mm = ∅ (k,m = 1, . . . , s); Mi = {x : ϕi(x) = 0, ∇ϕi(x) 6= 0}. С помощью
теоремы 5 исследуем множества Mi на инвариантность. Возможны два случая. В первом
случае уравнения (4) для i = 1, . . . , s допускают только нулевое решение, т. е. все множе-
ства Mi не содержат инвариантного множества и для системы (1) выполнены условия тео-
ремы Барбашина–Красовского. Получаем, что нулевое решение асимптотически устойчиво
по всем переменным, и для системы (1) строится функция Ляпунова со знакоопределенной
производной методом дополнительных функций [4–6].
Во втором случае наряду с множествами Mi, не содержащими инвариантных множеств,
имеются множества M1, . . . ,Mc, содержащие инвариантные множества, описываемые функ-
циями ϕp1(x), . . . , ϕpc(x) : ϕpi(x) = 0, i = 1, . . . , c. Пусть среди функций ϕpi(x) имеется k
независимых. Примем их в качестве новых переменных yi = ϕpi(x), i = 1, . . . , k. Тогда до-
полнительные функции сохраняют знакоопределенность исходной функции Ляпунова, при
этом функции, соответствующие первой группе, обеспечивают знакоопределенность произ-
водной на соответствующих множествах, а функции второй группы приводят к знакоопре-
деленности лишь по отношению к переменным yi. Поэтому построенная по предложенной
схеме функция V (x) будет знакоопределенной, а ее производная V̇ (x) — y-знакоопределен-
ной. Таким образом, в данном случае нулевое решение будет асимптотически y-устойчивым.
Более точно, справедлива следующая теорема.
Теорема 6. Пусть для системы (1) существует знакоопределенная функция V (x),
производная которой в силу системы (1) является знакопостоянной, знака противополо-
жного V (x). Множество M = {x : V̇ (x) = 0} представляется суммой множеств M =
=
s,si⋃
i=1
j=1
Mij ,
Mij = {x : ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 0, . . . , ϕ
(kj−1)
i (x) = 0, ϕ
(kj)
i (x) 6= 0, ∇ϕi(x) 6= 0},
Mij
⋂
Mkl = ∅.
(8)
Предполагаем, что V (x), ϕij(x) — функции, дифференцируемые достаточное число раз,
знакоопределенность функции V (x) определяется формой конечного порядка, знакопосто-
янство V̇ (x) и неравенства ϕ
(kj)
i (x) 6= 0 определяются членами разложения в окрестности
нуля конечного порядка. Тогда существуют числа mij, αij такие, что функция
Vf (x) = V (x) +
s,sj∑
i,j=1
αijVaij(x) (9)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
будет знакоопределенной, а ее производная V̇f (x) будет y-знакоопределенной, знака проти-
воположного V (x), и нулевое решение системы (1) будет устойчиво по всем переменным
и асимптотически y-устойчиво. Здесь функции Vaij(x) определены формулой (7), yT =
= (y1, . . . , yk), где yi являются независимыми функциями yi = ϕpi(x), с помощью которых
описываются инвариантные множества, содержащиеся в множествах Mij .
Замечание 2. В качестве дополнительных функций Vaij(x) можно использовать упро-
щенные функции, указанные в замечании 1.
Замечание 3. В теореме 6 частичная асимптотическая устойчивость устанавливается
относительно переменной y, обладающей тем же свойством, что и в теореме Ризито: мно-
жество {x : y = 0} является инвариантным.
В связи с теоремой 6 и замечанием 3 рассмотрим вопрос о том, можно ли расширить
полученное в теореме 6 множество частичной асимптотической устойчивости, построив,
например, другую функцию Ляпунова. Ответ на этот вопрос — отрицательный. Причиной
этому наличие следующих двух свойств построенного множества Mp частичной асимпто-
тической устойчивости:
1) множество Mp = {x : y = 0} является инвариантным;
2) для точек x ∈ Mp выполнено условие V̇f (x) = 0.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6. Тогда множество, относительно
которого нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво, является максималь-
но возможным, т. е. не допускает расширения.
4. Пример. Применим полученные результаты к исследованию на устойчивость нуле-
вого решения следующей системы:
ẋ1 = λ1x1 + ax2
2 + bx3
3,
ẋ2 = −ax1x2 + cx2x3x4,
ẋ3 = ωx4 + λ2x
2
2x3 − bx1x
2
3,
ẋ4 = −ωx3 − cx2
2x3.
(10)
При λ1λ2ωac 6= 0 для системы (10) нуль является изолированной особой точкой. Для
исследования устойчивости нулевого решения рассмотрим функцию
V = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4.
Для ее производной находим выражение
V̇ = 2(λ1x
2
1 + λ2x
2
2x
2
3).
На основании теоремы 2 заключаем, что при λ1 < 0, λ2 < 0 нулевое решение систе-
мы (10) устойчиво (по всем переменным) и асимптотически x1-устойчиво. Применим тео-
рему 6 для нахождения максимального множества, относительно которого нулевое реше-
ние системы (10) асимптотически устойчиво. Отдельно рассмотрим два случая: 1) λ1 < 0,
λ2 < 0, ωabc 6= 0; 2) λ1 < 0, λ2 < 0, ωac 6= 0, b = 0. Исследование начнем с изучения
множества M , на котором V̇ (x) = 0.
В первом случае множество M состоит из трех множеств M = M1
⋃
M2
⋃
M3, где
M1 = {x : ϕ11 = x1 = 0, ϕ12 = x2 = 0},
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 21
M2 = {x : ϕ21 = x1 = 0, ϕ22 = x3 = 0},
M3 = M1
⋂
M2 = {x : ϕ31 = x1 = 0, ϕ32 = x2 = 0, ϕ33 = x3 = 0}.
При этом предполагается, что точки множества M1
⋂
M2 исключены из множеств M1, M2.
Рассмотрим поведение производных функций ϕi(x) на множествах Mi. На множестве M1
имеем ϕ̇11 = bx2
3, ϕ̇12 = 0, поэтому ϕ̇11 6= 0, так как точки множества M1, для которых
x3 = 0, отнесены к множеству M3. На множестве M2 имеем ϕ̇21 = ax2
2, ϕ̇22 = ωx4, поэтому
ϕ̇2
11 + ϕ̇2
22 > 0. На множестве M3 имеем ϕ̇31 = 0, ϕ̇32 = 0, ϕ̇33 = ωx4, поэтому ϕ̇33 6= 0. На
основании теоремы 6 существуют числа m1, m2, m3, α1, α2, α3 такие, что функция
Vf = x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 + α1(bx
2
3)
2m1bx2
3x1(x
2
1 + x2
3)(x
2
1 + x2
2 + x2
3) +
+ α2(a
2x4
2 + ωx2
4)
m2(ax2
2x1 + ωx4x3)(x
2
1 + x2
2)(x
2
1 + x2
2 + x2
3) +
+ α3(ωx4)
2m3ωx4x3(x
2
1 + x2
2)(x
2
1 + x2
3) (11)
будет определенно положительной, а ее производная в силу системы (10) — определенно
отрицательной. Таким образом, в первом случае нулевое решение системы (10) является
асимптотически устойчивым. Отметим, что при построении функции (11) в соответствии
с замечанием 2 использованы упрощенные дополнительные функции.
Второй случай отличается от первого только тем, что на множестве M1 имеем ϕ̇11 =
= ϕ̇12 = 0 (также и все высшие производные равны нулю). На основании теоремы 5 заклю-
чаем, что множество M1 является инвариантным. Функция Vf будет иметь вид (11), где
надо положить b = 0, и останется положительно определенной, а ее производная, в отли-
чие от первого случая, будет отрицательно постоянной и будет обращаться в нуль только
на множестве M1, т. е. будет отрицательно (x1, x2)-определенной. Таким образом, на осно-
вании теоремы 6 во втором случае нулевое решение системы (10) является устойчивым
(по всем переменным) и асимптотически (x1, x2)-устойчивым. Максимальность множества
частичной асимптотической устойчивости демонстрируется тем, что для x1 = 0, x2 = 0 сис-
тема принимает вид ẋ3 = ωx4, ẋ4 = ωx3. Движение по x3, x4 является устойчивым в силу
наличия интеграла Vf0 = x2
3 + x2
4. Движение в малой окрестности нуля можно охаракте-
ризовать как вращательное, стремящееся при t → ∞ к вращению по окружности x1 = 0,
x2 = 0, x2
3 + x2
4 = c2.
Таким образом, в работе выявлена и изучена взаимосвязь двух свойств-антагонистов ди-
намических систем — асимптотической устойчивости и инвариантности: с одной стороны,
отсутствие инвариантных множеств приводит к асимптотической устойчивости, устанавли-
ваемой теоремой Барбашина–Красовского, а с другой — инвариантное множество является
предельным для частично асимптотически устойчивых движений, устанавливаемых теоре-
мой, доказанной в настоящей работе.
Следует отметить, что инвариантное множество может иметь достаточно сложную
структуру, что проявляется в его описании с использованием цепочки производных. Анализ
этого множества необходим для построения дополнительных функций, а также для описа-
ния множества, относительно которого решения асимптотически устойчивы. Проделанное
исследование привело к уточнению свойств цепочки производных и к необходимости более
детального ее изучения, что требует отдельного рассмотрения.
Поставленная в работе задача и полученные при ее решении теоремы связаны с резуль-
татами А.М. Ляпунова [1, 2], Е.А. Барбашина, Н.Н. Красовского [3], В.В. Румянцева [7, 8].
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
В основе выполненного исследования лежит метод дополнительных функций [4–6], приме-
ненный к задачам частичной асимптотической устойчивости. В дальнейшем предполагается
расширение круга решаемых с помощью данного метода задач с целью создания конструк-
тивной теории устойчивости.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1950. –
472 с.
2. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. – Москва; Ленинград: Изд-во АН СССР, 1956. – Т. 2. – 476 с.
3. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. – 1952. –
86, № 3. – С. 453–456.
4. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для систем, удовле-
творяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72, вып. 2. –
С. 266–272.
5. Ковалев А.М., Суйков А.С. Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–
Красовского // Докл. НАН Украины. – 2008. – № 12. – С. 22–27.
6. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих теореме Барбашина–
Красовского // Пробл. управления и информатики. – 2008. – № 6. – С. 5–15.
7. Румянцев В. В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части пе-
ременных. – Москва: Наука, 1987. – 256 с.
8. Румянцев В. В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по отношению к части
переменных // Прикл. математика и механика. – 1971. – 35, вып. 1. – С. 138–143.
9. Risito C. Sulla stabilita asintotica parziale // Ann. math. pura ed appl. – 1970. – 84. – P. 279–292.
10. Levi-Civita T., Amaldi U. Lezioni di Meccanica Razionale. – Bologna: Zanichelli, 1952. – Vol. 2. – 671 p.=
Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1951. –
Т. 2, ч. 2. – 555 с.
11. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Механика
твердого тела. – Киев: Наук. думка, 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
Поступило в редакцию 26.02.2009Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.M. Kovalev
Method of additional functions in the partial stability problems
The stability of the trivial solution of a nonlinear autonomous system is considered. The problem
of finding the variables, with respect to which the solution is asymptotically stable, is formulated
and solved in the case where a Lyapunov function with the semidefinite derivative is known. The
investigation is based on the method of additional functions and shows the interconnection between
the invariance and asymptotic stability properties of dynamical systems. The constructibility of the
results obtained is demonstrated by an illustrative example.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 23
|