Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами
Методом характеристик та принципу стискуючих вiдображень встановлено глобальну розв’язнiсть багатоточкової задачi для виродженої квазiлiнiйної гiперболiчної системи рiвнянь першого порядку з внутрiшнiми вiльними (невiдомими) межами....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17187 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами / В.М. Кирилич // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 11-16. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-17187 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-171872011-02-24T12:03:35Z Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами Кирилич, В.М. Математика Методом характеристик та принципу стискуючих вiдображень встановлено глобальну розв’язнiсть багатоточкової задачi для виродженої квазiлiнiйної гiперболiчної системи рiвнянь першого порядку з внутрiшнiми вiльними (невiдомими) межами. By applying the method of characteristics and the principle of contracting mapping, the global solvability of a multipoint problem for a degenerate quasilinear hyperbolic system of equations of the first order with free (unknown) boundaries is established. 2009 Article Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами / В.М. Кирилич // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 11-16. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17187 517.956 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Кирилич, В.М. Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами |
| description |
Методом характеристик та принципу стискуючих вiдображень встановлено глобальну розв’язнiсть багатоточкової задачi для виродженої квазiлiнiйної гiперболiчної системи рiвнянь першого порядку з внутрiшнiми вiльними (невiдомими) межами. |
| format |
Article |
| author |
Кирилич, В.М. |
| author_facet |
Кирилич, В.М. |
| author_sort |
Кирилич, В.М. |
| title |
Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами |
| title_short |
Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами |
| title_full |
Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами |
| title_fullStr |
Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами |
| title_full_unstemmed |
Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами |
| title_sort |
багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17187 |
| citation_txt |
Багатоточкова задача для гіперболічної сингулярної квазілінійної системи рівнянь в області з невідомими межами / В.М. Кирилич // Доп. НАН України. — 2009. — № 7. — С. 11-16. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kiriličvm bagatotočkovazadačadlâgíperbolíčnoísingulârnoíkvazílíníjnoísistemirívnânʹvoblastíznevídomimimežami |
| first_indexed |
2025-07-02T18:24:24Z |
| last_indexed |
2025-07-02T18:24:24Z |
| _version_ |
1836560589247217664 |
| fulltext |
УДК 517.956
© 2009
В.М. Кирилич
Багатоточкова задача для гiперболiчної сингулярної
квазiлiнiйної системи рiвнянь в областi з невiдомими
межами
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Методом характеристик та принципу стискуючих вiдображень встановлено глобальну
розв’язнiсть багатоточкової задачi для виродженої квазiлiнiйної гiперболiчної системи
рiвнянь першого порядку з внутрiшнiми вiльними (невiдомими) межами.
Найбiльш природною з погляду застосувань є багатоточкова задача за просторовою змiн-
ною, коли додаткову iнформацiю задано не на прямих, паралельних до часової осi, а на
деяких невiдомих лiнiях, що пiдлягають визначенню i залежать вiд розв’язку задачi. Огляд
лiтератури з проблематики багатоточкових задач наведено в [1].
У роботi розглянуто мiшану задачу для гiперболiчної квазiлiнiйної системи рiвнянь пер-
шого порядку з внутрiшнiми невiдомими межами, причому частина рiвнянь є сингулярною
(характеристики системи перпендикулярнi до осi часу). Подiбнi задачi виникають у бага-
тьох прикладних питаннях [2–4]. Зокрема, їх можна iнтерпретувати як математичнi моделi
одновимiрних суцiльних середовищ, у яких частина збурень поширюється з обмеженими
швидкостями, а частина — з нескiнченними.
Для регулярних квазiлiнiйних гiперболiчних систем задачi з невiдомими (вiльними) ме-
жами дослiджувались у [5–7].
1. Формулювання задачi та основнi припущення. У прямокутнику Π(T0) = {(x, t) |
0 6 x 6 ℓ, 0 6 t 6 T0}, де ℓ > 0, T0 > 0 — деякi константи, розглядаємо систему
∂ui
∂t
+ λi(x, t, u, v)
∂ui
∂x
= fi(x, t, u, v), i = 1, . . . ,m, (1)
∂vj
∂x
= qj(x, t, u, v), j = 1, . . . , n, (2)
ṡj = rj(t, s(t), u(sj(t), t), v(sj(t), t)), j = 1, . . . , n, (3)
де u = (u1, . . . , um), v = (v1, . . . , vn), s = (s1, . . . , sn).
Початковi та крайовi умови мають вигляд
ui(x, 0) = αi(x), i = 1, . . . ,m, 0 6 x 6 ℓ, (4)
sj(0) = cj , j = 1, . . . , n, 0 6 cj 6 ℓ, (5)
ui(0, t) = γ0
i (t, u(0, t)), i ∈ I0
+ = {i | sgn(λi(0, 0, 0, 0)) = 1}, (6)
ui(ℓ, t) = γℓ
i (t, u(ℓ, t)), i ∈ Iℓ
−
= {i | sgn(λi(ℓ, 0, 0, 0)) = −1}, (7)
vj(sj(t), t) = βj(t), j = 1, . . . , n, (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 11
де функцiї α = (α1, . . . , αm), β = (β1, . . . , βn), γ0
i (i ∈ I0
+), γℓ
i (i ∈ Iℓ
−
) i константи cj (j =
= 1, . . . , n) є заданими.
Позначимо w = (u, v) i розглянемо такi множини:
D(T0, P0) = Π(T0) × {w | w ∈ R
m+n, ‖w‖ 6 P0},
D1(T0, P0) = [0, T0] × {w | w ∈ R
m+n, ‖w‖ 6 P0},
D2(T0, P0) = [0, T0] × [0, ℓ]n × {w | w ∈ R
m+n, ‖w‖ 6 P0},
де P0 > 0 — деяка стала.
Припустимо, що виконуються такi умови:
H1. В областi D1(T0, P0) для i = 1, . . . ,m
sgn(λi(0, t, u, v)) = const, sgn(λi(ℓ, t, u, v)) = const. (9)
H2. Функцiї λi(x, t, w), fi(x, t, w) для i = 1, . . . ,m, qj(x, t, w) для j = 1, . . . , n визначенi
в областi D(T0, P0), а функцiї rj(x, t, w) для j = 1, n — в областi D2(T0, P0). Усi цi функ-
цiї обмеженi за модулем деякими константами Λ, F , Q, R вiдповiдно. Крiм того, функцiї
qj(x, t, w) для j = 1, . . . , n неперервнi за t.
H3. Iснують невiд’ємнi, сумовнi на [0, T0] (i [0, ℓ], вiдповiдно) функцiї Λ1(t), Λ2(t), F1(t),
F2(t), R1(t), R2(t), Q2(x) (Q2(x), крiм того, сумовна в квадратi) такi, що майже для всiх
t ∈ [0, T0] (x ∈ [0, ℓ]) при (x1, t, w1) ∈ D(T0, P0), (x2, t, w2) ∈ D(T0, P0), (x1, t, w1) ∈ D2(T0, P0),
(x2, t, w2) ∈ D2(T0, P0) (i при (x, t, w1) ∈ D(T0, P0), (x, t, w2) ∈ D(T0, P0), вiдповiдно) для
i = 1, . . . ,m та j = 1, . . . , n виконуються нерiвностi
|λi(x1, t, w1) − λi(x2, t, w2)| 6 Λ1(t)|x1 − x2| + Λ2(t)|w1 − w2|,
|fi(x1, t, w1) − fi(x2, t, w2)| 6 F1(t)|x1 − x2| + F2(t)|w1 − w2|,
|rj(x
1, t, w1) − rj(x
2, t, w2)| 6 R1(t)|x
1 − x2| + R2(t)|w1 − w2|,
|qj(x, t, w1) − qj(x, t, w2)| 6 Q2(x)|w1 − w2|.
(10)
H4. Функцiї λi(x, t, w), fi(x, t, w), rj(x, t, w), qj(x, t, w) вимiрнi в областi D(T0, P0) для
всiх i = 1, . . . ,m та j = 1, . . . , n вiдповiдно.
H5. Виконуються умови погодження нульового порядку
γ0
i (0, α(0)) = αi(0), i ∈ I0
+, γℓ
i (0, α(ℓ)) = αi(ℓ), i ∈ Iℓ
−
. (11)
H6. Функцiї rj(t, 0, u, v) > 0, якщо cj = 0, i нехай rj(t, ℓ, u, v) 6 0 при cj = ℓ.
H7. Нехай iснує невiд’ємна сумовна на [0, ℓ] функцiя x → M(x) така, що
|qj(x, t, w)| 6 M(x)|v|, j = 1, . . . , n.
Крiм того, припускаємо, що квадрат M(x) також є сумовною функцiєю.
H8. Функцiї x → αi(x), i = 1, . . . ,m, лiпшiцевi з константою A1 та обмеженi за модулем
зверху константою A.
H9. Функцiї (t, u) → γ0
i (t, u) (i ∈ I0
+), (t, u) → γℓ
i (t, u) (i ∈ Iℓ
−
), t → βj(t) локально
лiпшiцевi за t, u з константами Γ1, Γ2 i B1 вiдповiдно.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
H10. Нехай γ0
i (t, u) (i ∈ I0
+) не залежить вiд тих uk, для яких k ∈ I0
+, а γℓ
i (t, u) (i ∈ Iℓ
−
)
не залежить вiд тих uk, для яких k ∈ Iℓ
−
. Нехай T ∈ (0, T0].
H11. Iснують такi сталi ε0 ∈ (0, ℓ) i Λ0 > 0, що всi значення λi(x, t, w) (i ∈ I0
+) при
0 6 x 6 ε0 та −λi(x, t, w) (i ∈ Iℓ
−
) при ℓ− ε0 6 x 6 ℓ не меншi вiд Λ0 при (t, w) ∈ D1(T0, P0).
Якщо cj 6= 0 i cj 6= ℓ, то для таких j приймемо
D0
j = {(x, t) ∈ Π(T ) | 0 6 x 6 cj − RT ; 0 6 t 6 T},
Dℓ
j = {(x, t) ∈ Π(T ) | cj + RT 6 x 6 ℓ; 0 6 t 6 T},
Dc
j = Π(T ) \ (D0
j
⋃
Dℓ
j) = {(x, t) ∈ Π(T )|cj − RT 6 x 6 cj + RT ; 0 6 t 6 T}.
Якщо ж cj = 0, то приймемо
D0
j = ∅,Dℓ
j = {(x, t) ∈ Π(T ) | cj + RT 6 x 6 ℓ; 0 6 t 6 T},Dc
j = Π(T ) \ Dℓ
j .
Аналогiчними будуть мiркування, коли cj = ℓ. Позначимо
‖v‖ = max
j
max
{
max
D0
j
(|vj(x, t)| exp(−H(cj − RT − x))),max
Dc
j
|vj(x, t)|,
max
Dℓ
j
(|vj(x, t)| exp(−H(x − cj − RT )))
}
,
‖u‖ = max
Π(T )
|u|, ‖w‖ = max{‖u‖, ‖v‖}, ‖s‖ = max
[0,T ]
|s|,
де H > 0 — деяка константа.
Зауваження 1. Нехай U > 0 — деяка константа. Припускаємо, що ‖u‖ 6 U . З (2), (3)
i властивостей функцiй qj, rj за допомогою леми Гронуолла вiдразу отримуємо апрiорнi
оцiнки: ‖v‖ 6 V , ‖s‖ 6 S, де V , S — деякi сталi.
Розглянемо простiр E неперервних функцiй w : Π(T ) → R
m+n, причому функцiї (x, t) →
→ u(x, t) будемо вважати лiпшiцевими за x, t, а функцiї (x, t) → v(x, t) — лiпшiцевими за x.
Нехай E0(T ) — куля ‖w‖ 6 P0 = max{U, V } у цьому просторi.
Через E1(T,L) позначимо множину функцiй (u, v) ∈ E0(T ) таких, що константи Лiпшiца
для функцiї (x, t) → u(x, t) i для функцiї (x, t) → v(x, t) обмеженi зверху величиною L > 0.
Розв’язок задачi
dx
dt
= λi(x, t, w(x, t)), x(t̆) = x̆, w ∈ E0(T ), i = 1, . . . ,m (12)
(де рiвнiсть розумiємо в значеннi рiвностi майже всюди), будемо називати характеристикою
i-ї сiм’ї, що вiдповiдає функцiї w, i позначати через ϕi(t; x̆, t̆, w). Вiдповiдно, розв’язок задачi
dsj
dt
= rj(t, s(t), w(sj(t), t)), sj(0) = cj , w ∈ E0(T ), j = 1, . . . , n (13)
(де рiвнiсть розумiємо також у значеннi рiвностi майже всюди), будемо позначати через
sj(t;w) i називати j-ю (внутрiшньою) межею.
На пiдставi умов H2–H4 та за умови, що w ∈ E0(T ), функцiї λi, rj задовольняють умови
Каратеодорi, а тому узагальненi (абсолютно неперервнi) розв’язки задач (12), (13) iснують,
єдинi та можуть бути продовженi до межi прямокутника Π(T ).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 13
Через χi(x̆, t̆, w) позначимо найменше значення аргументу t, для якого визначений роз-
в’язок ϕi(t; x̆, t̆, w).
Для i = 1, . . . ,m введемо множини
Πα
i (w) = {(x, t) ∈ Π(T ) | χi(x, t, w) = 0},
Π0
i (w) = {(x, t) ∈ Π(T ) | χi(x, t, w) > 0, ϕi(χi(x, t, w);x, t, w) = 0},
Πℓ
i(w) = {(x, t) ∈ Π(T ) | χi(x, t, w) > 0, ϕi(χi(x, t, w);x, t, w) = ℓ}
i позначимо
Ri[w](x, t) =
αi(ϕi(0;x, t, w)), i = 1,m, (x, t) ∈ Πα
i (w),
γ0
i (χi(x, t, w), u(0, χi(x, t, w))), i ∈ I0
+, (x, t) ∈ Π0
i (w),
γℓ
i (χi(x, t, w), u(ℓ, χi(x, t, w))), i ∈ Iℓ
−
, (x, t) ∈ Πℓ
i(w),
(14)
Ii[w](x, t) =
t∫
χi(x,t,w)
fi(ϕi(τ ;x, t, w), τ, w(ϕi(τ ;x, t, w), τ))dτ, (15)
Ai[w](x, t) = Ri[w](x, t) + Ii[w](x, t), i = 1, . . . ,m, (16)
Bj [w](x, t) = βj(t) +
x∫
sj(t;w)
qj(ξ, t, w(ξ, t))dξ, j = 1, . . . , n. (17)
Означення. Нехай неперервна функцiя w = (u, v) : Π(T ) → R
m+n задовольняє систему
{
ui(x, t) = Ai[w](x, t), i = 1, . . . ,m,
vj(x, t) = Bj [w](x, t), j = 1, . . . , n,
(18)
причому u — лiпшiцева за x, t; а v — лiпшiцева за x. Тодi w будемо називати узагальненим
неперервним розв’язком задачi (1)–(8).
Iнтегруванням уздовж характеристик легко показати, що класичний розв’язок зада-
чi (1)–(8) є одночасно її узагальненим неперервним розв’язком.
2. Розв’язнiсть задачi.
Теорема 1. У разi виконання умов H1–H11 в прямокутнику Π(T ), T < T0, iснує
єдиний узагальнений неперервний розв’язок задачi (1)–(8).
Доведення цiєї теореми грунтується на тому, що при виконаннi припущень п. 1 для
достатньо великого значення L i достатньо малого T > 0 другий степiнь оператора S =
= (A1, . . . ,Am,B1, . . . ,Bn) у просторi E2(T,L, P ) = {w ∈ E1(T,L) | max{‖v‖, ‖u − α(x)‖} 6
6 P} має єдину нерухому точку, яка i є узагальненим неперервним розв’язком задачi (1)–(8).
Крiм того, цей розв’язок у просторi E1(T,L) неперервно залежить вiд вихiдних даних задачi.
Теорема 2. У разi виконання умов H1–H11 у прямокутнику Π(T0) може iснувати не
бiльше одного неперервного узагальненого розв’язку задачi (1)–(8).
Доведення. Перш за все зазначимо, що узагальнений неперервний розв’язок w(x, t)
задачi (1)–(8) у прямокутнику Π(T0) є узагальненим неперервним розв’язком такої задачi
в будь-якому прямокутнику [0, ℓ] × [t1, t2], де 0 6 t1 6 t2 6 T0, причому початковi умови
мають вигляд u(x, t1) =
o
u (x, t1) i cj = sj(t1;w).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
Припустимо тепер, що iснує точка (x0, t0) ∈ Π(T0) така, що w1(x0, t0) 6= w2(x0, t0),
де w1(x, t), w2(x, t) — два узагальненi розв’язки задачi (1)–(8). Введемо множину M =
= {t | w1(x, t) 6= w2(x, t)}. Нехай t∗ = inf M. Тодi t∗ ∈ M, оскiльки в iншому випадку,
з огляду на неперервнiсть w1, w2, величина t∗ не могла б бути нижньою гранню. Тому
w1(x, t∗) = w2(x, t∗) для x ∈ [0, ℓ].
З iншого боку, оскiльки t∗ — точна нижня грань, то для довiльного ε > 0 знайдеться
така точка (x, t), що w1(x, t) 6= w2(x, t), 0 < t − t∗ < ε. Перенесемо початок вiдлiку часу
в t∗ i скористаємось зробленим на початку доведення зауваженням. Тодi отримаємо су-
перечнiсть з доведеним у теоремi 1 iснуванням областi [0, ℓ] × [t∗, T ], у якiй оператор S
2
є стиском, що й завершує доведення теореми.
Розглянемо далi питання про глобальну розв’язнiсть задачi (1)–(8).
Позначимо через Ẽ(T ) пiдпростiр простору E(T ), утворений функцiями w(x, t) =
= {u(x, t), v(x, t)}, якi є неспадними за аргументом x. Через Ẽ1(T,L) будемо познача-
ти вiдповiдний пiдпростiр простору E1(T,L) i, нарештi, позначимо Ẽ2(T,L, P ) = {w ∈
∈ Ẽ1(T,L) | max{‖v(x, t)‖, ‖u(x, t) − α(x)‖} 6 P}.
Припустимо тепер, що всi функцiї λi, fi, qj, rj визначенi в D(T0,∞) = Π(T0) × R
m+n
i для кожного P0 > 0 виконуються умови H1–H11, а також такi умови:
G1. Функцiї λi(x, t, u, v) (i = 1, . . . ,m) неспаднi за x, u, v для кожного фiксованого t.
G2. Функцiї αi(x) (i = 1, . . . ,m) неспаднi.
G3. Функцiї γ0
i (i ∈ I0
+) є незростаючими, а функцiї γℓ
i (i ∈ Iℓ
−
) — неспадними за t i u.
G4. Функцiї fi(x, t, u, v) (i = 1, . . . ,m) неспаднi за x, u, v при фiксованому t, причому
fi(x, t, u, v) > 0, i ∈ I0
+, (x, t, u, v) ∈ D(T0,∞),
fi(x, t, u, v) 6 0, i ∈ Iℓ
−
, (x, t, u, v) ∈ D(T0,∞);
якщо ж i /∈ I0
+
⋃
Iℓ
−
, то обмежень на знак fi(x, t, u, v) нема.
G5. Функцiї qj(x, t, u, v) > 0 (j = 1, . . . , n) при (x, t, u, v) ∈ D(T0,∞).
G6. Iснує невiд’ємна неперервна на max{[0, T0], [0, ℓ]} функцiя M̃(t) така, що в областi
D(T0,∞) виконуються нерiвностi
|fi(x, t, u, v)| 6 M̃(t)|w|, |rj(s, t, w)| 6 M̃(t)|s|, i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n.
Крiм того, нехай функцiя M(x) з умови H7 є неперервною.
G7. Припускаємо, що функцiї Λ1(t), Λ2(t), F1(t), F2(t), R1(t), R2(t), Q2(x) обмеженi
зверху константами Λ1, Λ2, F1, F2, R1, R2, Q2 вiдповiдно.
Теорема 3. За зроблених припущень теореми 1 та виконання умов G1–G7 узагаль-
нений неперервний розв’язок задачi (1)–(8) iснує та єдиний у всьому Π(T0) i, крiм того,
вiн є неспадною функцiєю за x.
Цю теорему доводимо за схемою, запропонованою в [7, 8], з використанням теореми про
нерухому точку, причому стискуючим буде оператор S
3.
Зауваження 2. Якщо додатково вимагати виконання умов, подiбних до умов H1–H11,
G1–G7, для похiдних першого порядку вiд вихiдних функцiй задачi (1)–(8) та умов по-
годження першого порядку, то виконуються теореми про локальну та глобальну гладку
розв’язнiсть задачi (1)–(8).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №7 15
Зауваження 3. Аналогiчнi теореми виконуються для випадку, коли в задачi (1)–(8) за-
мiсть (1) розглядати систему, записану в канонiчнiй формi Шаудера:
n∑
j=1
lij(x, t, u, v)
{
∂uj
∂t
+ λi(x, t, u, v)
∂uj
∂x
}
= fi(x, t, u, v), i = 1, . . . ,m.
Автор висловлює подяку професору А.М. Фiлiмонову за поради та зауваження.
1. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
2. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. – Москва: Наука, 1998. – 448 с.
3. Trustrum K. Rotating and stratified fluid flow // J. Fluid Mech. – 1964. – 19. – P. 415–432.
4. Верещагин И.К., Кокин С.М., Селезнев В.А. Старение электролюминофоров // Изв. АН СССР.
Физика. – 1985. – 49, № 10. – С. 1940–1943.
5. Li Ta-tsien. Global classical solutions for quasilinear hyperbolic systems. – Paris: Masson, 1994. – 328 p.
6. Bassanini P., Turo J. Generalized solutions to free boundary problems for hyperbolic systems of functional
partial differential equations // Ann. mat. pura appl. – 1990. – 156, No 4. – P. 211–230.
7. Андрусяк Р.В., Кирилич В.М., Мышкис А.Д. Локальная и глобальная разрешимости квазилинейной
гиперболической задачи Стефана на прямой // Дифференц. уравнения. – 2006. – 42, № 4. – С. 489–503.
8. Мышкис А.Д., Филимонов А.М. О глобальной непрерывной разрешимости смешанной задачи для
одномерных гиперболических систем квазилинейных уравнений // Там же. – 2008. – 44, № 3. –
С. 394–407.
Надiйшло до редакцiї 04.11.2008Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
V.M. Kyrylych
Multipoint problem for a hyperbolic singular quasilinear system
of equations in the area with unknown boundaries
By applying the method of characteristics and the principle of contracting mapping, the global
solvability of a multipoint problem for a degenerate quasilinear hyperbolic system of equations of
the first order with free (unknown) boundaries is established.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №7
|