Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона
Получены полные асимптотические разложения для величин точных верхних граней приближений функций из классов Wʳ₁, r ∈ N, и W¯ʳ₁,r ∈ N∖{1}, их бигармоническими интегралами Пуассона....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172472 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона / И.В. Кальчук, Ю.И. Харкевич // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1105–1115. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-172472 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1724722020-11-04T01:27:35Z Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона Кальчук, И.В. Харкевич, Ю.И. Статті Wʳ₁ Получены полные асимптотические разложения для величин точных верхних граней приближений функций из классов Wʳ₁, r ∈ N, и W¯ʳ₁,r ∈ N∖{1}, их бигармоническими интегралами Пуассона. Complete asymptotic decompositions are obtained for values of exact upper bounds of approximations of functions from the classes Wʳ₁, r ∈ N, and W¯ʳ₁,r ∈ N∖{1}, by their biharmonic Poisson integrals. 2007 Article Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона / И.В. Кальчук, Ю.И. Харкевич // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1105–1115. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172472 517.5 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Wʳ₁ Статті Wʳ₁ |
| spellingShingle |
Статті Wʳ₁ Статті Wʳ₁ Кальчук, И.В. Харкевич, Ю.И. Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона Український математичний журнал |
| description |
Получены полные асимптотические разложения для величин точных верхних граней приближений функций из классов Wʳ₁, r ∈ N, и W¯ʳ₁,r ∈ N∖{1}, их бигармоническими интегралами Пуассона. |
| format |
Article |
| author |
Кальчук, И.В. Харкевич, Ю.И. |
| author_facet |
Кальчук, И.В. Харкевич, Ю.И. |
| author_sort |
Кальчук, И.В. |
| title |
Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона |
| title_short |
Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона |
| title_full |
Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона |
| title_fullStr |
Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона |
| title_full_unstemmed |
Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона |
| title_sort |
асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів пуассона |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті Wʳ₁ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172472 |
| citation_txt |
Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона / И.В. Кальчук, Ю.И. Харкевич // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1105–1115. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kalʹčukiv asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona AT harkevičûi asimptotikaveličinnabližennâvserednʹomuklasívdiferencíjovnihfunkcíjzadopomogoûbígarmoníjnihíntegralívpuassona |
| first_indexed |
2025-07-15T08:46:44Z |
| last_indexed |
2025-07-15T08:46:44Z |
| _version_ |
1837702006872997888 |
| fulltext |
UDK 517.5
G. I. Xarkevyç, I. V. Kal\çuk (Volyn. un-t, Luc\k)
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ
V SEREDN|OMU KLASIV DYFERENCIJOVNYX FUNKCIJ
ZA DOPOMOHOG BIHARMONIJNYX
INTEHRALIV PUASSONA
Complete asymptotic decompositions are obtained for values of exact upper bounds of approximations
of functions from the classes W r
1 , r ∈ N, and W r
1 , r N∈ { }\ 1 , by their biharmonic Poisson
integrals.
Poluçen¥ poln¥e asymptotyçeskye razloΩenyq dlq velyçyn toçn¥x verxnyx hranej prybly-
Ωenyj funkcyj yz klassov W r
1 , r ∈ N, y W r
1 , r N∈ { }\ 1 , yx byharmonyçeskymy yntehralamy
Puassona.
Nexaj C — prostir 2π -periodyçnyx neperervnyx funkcij, u qkomu norma
zada[t\sq za dopomohog rivnosti f C = max ( )
t
f t ; L∞ — prostir 2π-periodyç-
nyx vymirnyx sutt[vo obmeΩenyx funkcij iz normog f ∞ = ess sup ( )
t
f t ; L —
prostir 2π-periodyçnyx sumovnyx na periodi funkcij, de normu zadano takym
çynom: f L = f 1 =
−∫ π
π
f t( ) dt.
Çerez Wp
r
(de p = 1 abo p = ∞) poznaçymo mnoΩynu 2π-periodyçnyx
funkcij, qki magt\ absolgtno neperervni poxidni do (r – 1)-ho porqdku vklgç-
no, i f tr
p
( )( ) ≤ 1, qkwo p = 1, ∞. Wp
r
— klas funkcij, sprqΩenyx do funk-
cij iz klasu Wp
r
, tobto
Wp
r = f f x f x t t dt f Wp
r: ( ) ( ) ctg ,= − + ∈
−
∫1
2 2π π
π
, (1)
de intehral rozumi[mo v sensi joho holovnoho znaçennq, tobto
−
∫ +
π
π
f x t t dt( ) ctg
2
= lim ( ) ctg
ε
π
ε
ε
π
→ +
−
−
∫ ∫+
+
0 2
f x t t dt
(dyv., napryklad, [1, s.522]).
Nexaj f L∈ . Velyçyna
B f xδ( , ) = 1
π
π
π
δ
−
∫ +f t x K t dt( ) ( ) , δ > 0, – π ≤ x < π, (2)
nazyva[t\sq biharmonijnym intehralom Puassona funkci] f, de
K tδ( ) = 1
2
+
k
kk e e kt
=
∞
− −∑ + −( )
1
21
2
1 / / cosδ δ
(3)
— biharmonijne qdro Puassona (dyv. [2]).
Dali pid poznaçennqm Bδ budemo rozumity periodyçne prodovΩennq funkci]
B f xδ( , ), x ∈ −[ ; )π π , na vsg çyslovu vis\.
© G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1105
1106 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
Poznaçymo
� �( , )Bδ 1 =
sup ( ) ( , )
f
f x B f x
∈
−
�
δ 1, (4)
� �( , )B Cδ =
sup ( ) ( , )
f
Cf x B f x
∈
−
�
δ , (5)
de � ≡ Wp
r
, abo � ≡ Wp
r
, p = 1, ∞.
Qkwo v qvnomu vyhlqdi znajdeno funkcig g( )δ = g( ; )� δ taku, wo pry δ →
→ ∞ ma[ misce toçna asymptotyçna rivnist\
� �( , )B Xδ = g( )δ + o g( )δ( ), (6)
to, naslidugçy O.5I.5Stepancq [3, s.5198], budemo hovoryty, wo rozv’qzano zadaçu
Kolmohorova – Nikol\s\koho dlq danoho klasu � i operatora B f xδ( , ) u met-
ryci prostoru X.
Formal\nyj rqd
n ng=
∞∑ 0
( )δ budemo nazyvaty povnym asymptotyçnym roz-
kladom abo povnog asymptotykog funkci] f ( )δ pry δ → ∞ , qkwo pry vsix
n N∈
gn +1( )δ = o gn( )δ( ) (7)
i pry bud\-qkomu natural\nomu N
f g o g
n
N
n N( ) ( ) ( )δ δ δ= + ( )
=
∑
0
, δ → ∞ . (8)
Korotko budemo zapysuvaty cej fakt tak: f ( )δ ≅
n ng=
∞∑ 0
( )δ .
Metog dano] roboty [ otrymannq povnyx asymptotyçnyx rozkladiv velyçyn
(4) pry � = W r
1 , r N∈ , ta � = W r
1 , r N∈ \ {}1 , za stepenqmy
1
δ
pry δ → ∞.
Teorema 1. Ma[ misce povnyj asymptotyçnyj rozklad
�( ; )W B
k
k k1
1
1
2
12 1 1
δ π δ
ν
δ
≅ +
=
∞
∑ , δ → ∞ , (9)
de
νk
1 = ( )
!
− −−
−1
11
1
k
k
k
k
σ , k = 2, 3, … , (10)
σ j
j
i
j
j
i
j
j
i
j
i
j
i j
j l
j
i a
j
j
C j i j l=
= −
− − − − − =
−
=
+
=
−
∑ ∑
0 2 1
1
2
2 1
2 1
2
1 21
1
1
0
1
2
, ,
!
( )
( )!
( )!
( ) ( ) , , l N∈ ,
(11)
a
i i j
a i a j i i j
i
j
i
j
j i
j=
= = −
− + − −( ) < < −
−
−
−
1 1 1
2 1 2 1 1 11 1
, , ,
( ) ( ) , ,
j N∈ . (12)
Dovedennq. V roboti [4] bulo znajdeno povnyj asymptotyçnyj rozklad
�( ; )W B C
k
k k∞
=
∞
≅ +
∑1
2
12 1 1
δ π δ
ν
δ
, δ → ∞ ,
u qkomu νk
1
vyznaça[t\sq za formulog (10), pryçomu vykorystovuvalas\ riv-
nist\ z roboty L.5P.5Falal[[va [5, s.5164]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1107
�( ; )
( )
/
W B
k
e e
k
C
k
k
∞
=
∞ − − +
=
− + + −( )
+∑1
1
2
2 1
2
4
1 1
2 1
2
1
2 1δ
δ δ
π
. (13)
OtΩe, zrozumilo, wo dlq vstanovlennq spivvidnoßennq (9) dostatn\o po-
kazaty, wo �( ; )W B1
1
1δ zbiha[t\sq z pravog çastynog (13), abo, te same, wo
�( ; )W B1
1
1δ = �( ; )W B C∞
1
δ .
Vraxovugçy intehral\ne zobraΩennq (2) i te, wo
1
π
π
π
δ
−
∫ K t dt( ) = 1,
ma[mo
f x B f x f x f t x K t dt( ) ( , ) ( ) ( ) ( )− = − +( )
−
∫δ
π
π
δπ
1
. (14)
Oskil\ky funkciq f x f t x K t( ) ( ) ( )− +( ) δ [ vymirnog na mnoΩyni [− ]π π; ×
× [− ]π π; ta
− −∫ ∫ − +( )
π
π
π
π
δdx f x f t x K t dt( ) ( ) ( ) < + ∞, vykorystovugçy naslidok
do teoremy Fubini (dyv., napryklad, [6, s.5331]) pislq pidstanovky pravo] çastyny
rivnosti (14) v (4), a takoΩ vraxovugçy, wo dlq f W∈ 1
1
−
∫ + − ≤
π
π
f x t f x dx t( ) ( )
i K tδ( ) ≥ 0 pry δ > 0, – π ≤ x < π, otrymu[mo
�( ; )W B1
1
1δ ≤ 2
0
π
π
δ∫ t K t dt( ) = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
2π
δ δ
k
k
k
e e
k=
∞ − − +
∑
− + + −( )
+
/
( )
. (15)
Z inßoho boku, zhidno z lemog z roboty [7, s.563]
�( ; )W B1
1
1δ ≥ sup ( ) ( , )
f T
f x B f x dx
∈ −
∫ −
1
π
π
δ ≥
≥ 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
2π
δ δ
k
k
k
e e
k=
∞ − − +
∑
− + + −( )
+
/
( )
, (16)
de T n
— klas usix tryhonometryçnyx polinomiv g, dlq qkyx ma[ misce
spivvidnoßennq
−∫ π
π
g x dxn( )( ) ≤ 1.
Iz nerivnostej (15) ta (16) iz uraxuvannqm (13) otrymu[mo
�( ; )W B1
1
1δ = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
2π
δ δ
k
k
k
e e
k=
∞ − − +
∑
− + + −( )
+
/
( )
= �( ; )W B C∞
1
δ . (17)
Teoremu 1 dovedeno.
Teorema 2. Qkwo r = 2l +1, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp-
totyçnyj rozklad
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1108 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
�( ; )
!
lnW B
r
r
r
r
k
k
r
k1 1
2
2 1 1 1
δ π δ
δ ν
δ
≅ − +
=
∞
∑ , (18)
u qkomu
νk
r =
( ) ( )
!
( ), ,
!
( ) ln , ,
( ) ( )
!
, , , , ,
− − <
− +
+
=
− − > = …
−
−
=
−
−
∑
1 1
0
1 1 2 1 1
1 1
2 3
1
1
1
k
r k
i
r
k
k r
k
k
k r
r
r
i
k r
k
k
k r k
ϕ
σ
(19)
σ j vyznaça[t\sq formulog (11), a
ϕ
π
πn
n
n
K n l
K n l
( )
, ,
˜ , ,
0 2
2 1
2
2
=
= −
=
l N∈ , (20)
de Kn i K̃n — vidomi konstanty Û.+Favara – N.+I.+Axi[zera – M.+H.+Krejna:
Kn = 4 1
2 10
1
1π m
m n
nm=
∞ +
+∑ −
+
( )
( )
( )
, n = 0, 1, 2, … ,
K̃n = 4 1
2 10
1π m
mn
nm=
∞
+∑ −
+
( )
( )
, n N∈ .
Dovedennq. V roboti [4] (teorema 2) bulo znajdeno povnyj asymptotyçnyj
rozklad
�( ; )
!
lnW B
r
r
r
C r
k
k
r
k∞
=
∞
≅ − +
∑δ π δ
δ ν
δ
2 1 1 1
2
, δ → ∞ ,
de koefici[nty νk
r
obçyslggt\sq za formulog (19).
OtΩe, dlq dovedennq teoremy dosyt\ pokazaty spravedlyvist\ rivnosti
�( ; )W Br
1 1δ = �( ; )W Br
C∞ δ , r = 2l + 1, l N∈ , (21)
zauvaΩyvßy, wo zhidno z rivnistg (47) roboty [4]
�( ; )W Br
C∞ δ =
4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (22)
Iz (14) v rezul\tati r-kratnoho intehruvannq çastynamy otrymu[mo
f x( ) – B f xδ( , ) =
1
π
δ
π
π
−
∫ +f x t Q t dtr
r
( )( ) ( ; ) ,
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1109
Q tr( ; )δ =
k
k
r
k e e
k
kt
r
=
∞ − −
∑
− + −( )
+
1
21 1
2
1
2
/ /
cos
δ δ
π
. (23)
Tomu
�( ; )W Br
1 1δ = sup ( ) ( ; )( )
f W
r
r
r
f t x Q t dt dx
∈ − −
∫ ∫ +
1
1
π
δ
π
π
π
π
. (24)
Dlq podal\ßo] ocinky velyçyny �( ; )W Br
1 1δ pokaΩemo spoçatku, wo
sign ( ; ) sign sinQ t tr δ = ± , r = 2l + 1. (25)
Oçevydno, wo pry r = 2l + 1, l N∈ ,
Qr( ; )0 δ = Qr( ; )π δ = 0.
Tomu, prypustyvßy, wo Q tr( ; )δ dorivng[ nulg we v deqkij toçci t0 ∈ 5(0, π ),
matymemo, wo zhidno z teoremog Rollq isnugt\ toçky t1
1( )
∈ 5(0, t0 ), t1
2( )
∈ 5( t0 ,
π ) taki, wo
′Q tr( ; )( )
1
1 δ = ′Q tr( ; )( )
1
2 δ = 0,
zvidky
Q tr−1 1
1( ; )( ) δ = Q tr−1 1
2( ; )( ) δ = 0,
i, qk naslidok, isnu[ toçka t2 ∈5 t t1
1
1
2( ) ( ),( ) taka, wo
Q tr−2 2( ; )δ = 0,
i t.5d. Povtoryvßy vkazanu proceduru r – 2 razy, pryjdemo do vysnovku, wo
isnugt\ toçky tr−2
1( )
∈5(0, tr−1), tr−2
2( )
∈5( tr−1, π ) taki, wo
Q tr2 2
1
−( )( ) ; δ = Q tr2 2
2
−( )( ) ; δ = 0.
Ostannq rivnist\ [ supereçlyvog, tomu wo funkciq Q t2( ; )δ dorivng[ nulg na
promiΩku (0; π ) lyße v odnij toçci. Dijsno,
′ = − + + −( )
=
∞
=
∞ −
−
=
∞ −
∑ ∑ ∑Q t
kt
k
e kt
k
e e kt
k k
k
k
k
2
1 1
2
1
1
2
1( ; )
sin sin
sin
/
/δ
δ
δ δ
.
Vraxovugçy spivvidnoßennq (1.441.1), (1.447.1) ta (1.448.1) z [8], otrymu[mo
′ = − +
−
+
−( )
− +( )
−
−
− −
− −Q t
t e t
e t
e e t
e t e
2
1
1
2 1
1 22 1
1
2 1 2
( ; ) arctg
sin
cos
sin
cos
/
/
/ /
/ /δ π δ
δ
δ δ
δ δ .
Dali znaxodymo
′′ =
−( ) −( )
− +( )
− −
− −
Q t
e e t
e t e
2
2 2 1
1 2 2
1 1
2 1 2
( ; )
cos
cos
/ /
/ /
δ
δ δ
δ δ
i perekonu[mosq, wo ′′Q t2( ; )δ > 0, t ∈( ; )0 π . OtΩe, ′Q t2( ; )δ zrosta[ na ( ; )0 π ,
pryçomu, oskil\ky ′Q2 0( ; )δ = − π
2
, ′Q2( ; )π δ = 0, to ′Q t2( ; )δ < 0 na ( ; )0 π .
Takym çynom, Q t2( ; )δ spada[ na ( ; )0 π i, vraxovugçy, wo Q2 0( ; )δ > 0 i
Q2( ; )π δ < 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1110 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
pryxodymo do vysnovku, wo funkciq Q t2( ; )δ dorivng[ nulg lyße v odnij
toçci vidrizka ( ; )0 π .
Rivnist\ (25) dovedeno. OtΩe, vyxodqçy z (24) pry r = 2l + 1, l N∈ , oderΩu-
[mo
�( ; )W Br
1 1δ ≤ 1
π
δ
π
π
−
∫ Q t dtr( ; ) = 2
1 1
2
1
0 1
2
π
π δ δ
∫ ∑
=
∞ − −− + −( )[ ]
k
k
r
k e e
k
kt dt
/ /
sin =
= 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (26)
Z inßoho boku, vykorystovugçy lemu z roboty [7, s.563], pry neparnomu r ma[mo
�( ; )W Br
1 1δ ≥ sup ( ) ( , )
f T r
f x B f x dx
∈ −
∫ −
π
π
δ ≥
≥ 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (27)
Porivnggçy spivvidnoßennq (26) ta (27), pryxodymo do vysnovku, wo
�( ; )W Br
1 1δ = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
,
i, vraxovugçy (22), oderΩu[mo (21) i, qk naslidok, (18).
Teoremu 2 dovedeno.
Teorema 3. Qkwo r = 2l, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp-
totyçnyj rozklad
�( ; )W Br
k
k
r
k1 1
2
4 1
δ π
η
δ
≅
=
∞
∑ , (28)
u qkomu
ηk
r =
( ) ( )
!
( ), ,
!
, ,
( )
!
, , , , ,
− − <
− =
− > = …
−
−
−
1 1
0
1
4
1
2 3
1k
r k
k r
k
k
k r
r
r
k r
k
k
k r k
ψ
π
τ
(29)
τ j
j i
j i
i
j
j l
a j l
=
=
− = −
=
− +∑
0 2
1
2
1 2 1
1
1 1
, ,
( ) , ,
l N∈ , (30)
koefici[nty ai
j
oznaçeno formulog (12),
ψ
π
πn
n
n
K n l
K n l
( )
˜ , ,
, ,
0 4
2 1
4
2
=
= −
=
l N∈ . (31)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1111
Dovedennq. Zhidno z teoremog 3 roboty [4] ma[ misce povnyj asymptotyç-
nyj rozklad
�( ; )W Br
C
k
k
r
k∞
=
∞
≅ ∑δ π
η
δ
4 1
1
, δ → ∞,
de koefici[nty ηk
r
obçyslggt\sq za formulog (29), a takoΩ zhidno z formu-
log (50) ti[] Ω roboty ma[ misce rivnist\
�( ; ) ( )
( )
/
W B
k
e e
k
r
C
k
k
k
r∞
=
∞ − − +
+= −
− + + −( )
+∑δ
δ δ
π
4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1 . (32)
Tomu dlq dovedennq teoremy dostatn\o pokazaty, wo vykonu[t\sq rivnist\
�( ; )W Br
1 1δ = �( ; )W Br
C∞ δ , r = 2l, l N∈ ,
abo, wo te same, dovesty, wo velyçyna �( ; )W Br
1 1δ zbiha[t\sq z pravog çasty-
nog (32).
Qk pokazano v dovedenni teoremy 1, ma[ misce rivnist\ (24). PokaΩemo, wo
sign ( ; ) ; sign cosQ t Q tr rδ π δ−
= ±
2
, r = 2l, l N∈ . (33)
Rivnist\ (33) u vypadku r = 2 vykonu[t\sq qk naslidok toho, wo funkciq
Q t2( ; )δ ma[ lyße odyn nul\ na ( ; )0 π .
PokaΩemo spravedlyvist\ rivnosti (33) u vypadku r = 2l + 2, l N∈ . Za pry-
puwennq, wo
Q tr( ; )0 δ – Qr
π δ
2
;
= 0, t0 0∈( , )π , t0 2
≠ π
,
zhidno z teoremog Rollq isnu[ toçka t1 0∈( , )π taka, wo
′Q tr( ; )1 δ = 0,
zvidky
Q tr−1 1( ; )δ = 0.
Ale ce vnaslidok (25) nemoΩlyvo. Rivnist\ (33) dovedeno. Tomu iz (24), vyko-
rystovugçy naslidok iz teoremy Fubini [5, s.5331], vykonannq umov qkoho [
oçevydnymy, pry r = 2l, l N∈ , ma[mo
�( ; )W Br
1 1δ = sup ( ) ( ; ) ;( )
f W
r
r r
r
f x t Q t Q dt dx
∈ − −
∫ ∫ + −
1
1
2π
δ π δ
π
π
π
π
≤
≤ 1
2π
δ π δ
π
π
−
∫ −
Q t Q dtr r( ; ) ; = 2
2
0
2
2
π
δ π δ
π
π
π/
/
( ; ) ;∫ ∫−
−
Q t Q dtr r =
= 4
1 1
2 1
2
1
2 1
2 1
0
2
0
2
2 1
1π
π δ δ/ /
( )
cos( )∫ ∑
=
∞ − − +
+
− + + −( )
+
+
k
k
r
k
e e
k
k t dt =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1112 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
= 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (34)
Z inßoho boku, zhidno z lemog z roboty [7, s.563] pry parnyx r ma[ misce spivvid-
noßennq
�( ; )W Br
1 1δ ≥ sup ( ) ( , )
f T r
f x B f x dx
∈ −
∫ −
π
π
δ ≥
≥ 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (35)
Iz (34) ta (35) iz uraxuvannqm (32) vyplyva[ spravedlyvist\ rivnosti
�( ; )W Br
1 1δ = 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
= �( ; )W Br
C∞ δ .
Teoremu 3 dovedeno.
V nastupnyx dvox teoremax podano povni asymptotyçni rozklady dlq nably-
Ωen\ klasiv W r
1 .
Teorema 4. Qkwo r = 2l, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj asymp-
totyçnyj rozklad
�( ; )
!
lnW B
r
r
r
r
k
k
r
r1 1
2
2 1 1 1
δ π δ
δ ν
δ
≅ − +
=
∞
∑ , (36)
de νk
r = νk
r
pry k ≠ r i νr
r = – νr
r
, a koefici[nty νk
r , k = 2, 3, … , vyznaça-
gt\sq formulog (19).
Dovedennq. V teoremi 4 roboty [4] znajdeno povnyj asymptotyçnyj roz-
klad
�( ; )
!
lnW B
r
r
r
C r
k
k
r
r∞
=
∞
≅ − +
∑δ π δ
δ ν
δ
2 1 1 1
2
, δ → ∞.
Qk i raniße, dlq dovedennq dano] teoremy dostatn\o pokazaty, wo
�( ; )W Br
C∞ δ = �( ; )W Br
1 1δ , r = 2l, l N∈ ,
qkwo dlq �( ; )W Br
C∞ δ , r = 2l, l N∈ (dyv. [4, s.523]), [ vidomog rivnist\
�( ; )W Br
C∞ δ = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (37)
Vraxovugçy intehral\ne zobraΩennq (1) i te, wo pry f W r∈ , r N∈ \ {}1 ,
B f xδ( , ) = B f xδ( , ) = − + + −( )
− =
∞
− −∫ ∑1 1
2
1
1
2
π π
π
δ δf t x k e e kt dt
k
k( ) sin/ /
,
pislq zastosuvannq r-kratnoho intehruvannq çastynamy otrymu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1113
�( ; )W Br
1 1δ = 1
π
δ
π
π
π
π
sup ( ) ( ; )( )
f W
r
r
r
f t x Q t dt dx
∈ − −
∫ ∫ + , (38)
de
Q tr( ; )δ =
k
k
r
k e e
k
kt
r
=
∞ − −
∑
− + −( )
+ +
1
21 1
2
1 1
2
/ /
cos
( )
δ δ
π
, δ > 0.
Perekona[mosq v tomu, wo
sign ( ; ) signsinQ t tr δ = ± , r = 2l, l N∈ . (39)
Oçevydno, wo
Q Qr r( ; ) ( ; )0 0δ π δ= = , r = 2l, l N∈ .
OtΩe, v prypuwenni, wo
Q tr( ; )δ = 0
we pry deqkomu t0 0∈( , )π , zastosovugçy r – 2 razy teoremu Rollq, pryxodymo
do vysnovku, wo dlq funkci] Q t2( ; )δ isnu[ tr− ∈2 0( , )π take, wo
Q tr2 2( ; )− δ = 0.
Ale ce nemoΩlyvo, oskil\ky, vykorystovugçy zauvaΩennq do teoremy 1.14 ro-
boty [9, s.5297], moΩna perekonatys\, wo
Q t2( ; )δ > 0, t ∈( , )0 π .
OtΩe, rivnist\ (39) ma[ misce.
Takym çynom, iz (38) pry r = 2l, l N∈ , oderΩu[mo
�( ; )W Br
1 1δ ≤ 1
π
δ
π
π
−
∫ Q t dtr( ;, ) =
= 2
1 1
2
1
0 1
2
π
π δ δ
∫ ∑
=
∞ − −− + −( )
k
k
r
k e e
k
kt dt
/ /
sin =
= 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (40)
Z inßoho boku, vykorystovugçy lemu z roboty [7, s.563], pry parnomu r ma[mo
�( ; )W Br
1 1δ ≥ 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
. (41)
Porivnggçy spivvidnoßennq (40) ta (41), a takoΩ vraxovugçy rivnist\ (37), pry-
xodymo do vysnovku, wo
�( ; )W Br
1 1δ = 4
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑
− + + −( )
+
/
( )
= �( ; )W Br
C∞ δ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
1114 G. I. XARKEVYÇ, I. V. KAL|ÇUK
Teoremu 4 dovedeno.
Teorema 5. Qkwo r = 2l +1, l N∈ , to pry δ → ∞ ma[ misce povnyj
asymptotyçnyj rozklad
�( ; )W Br
k
k
r
k1 1
2
4 1
δ π
η
δ
≅
=
∞
∑ , (42)
de ηk
r = ηk
r
pry k ≠ r i ηr
r = – ηr
r
, a koefici[nty ηk
r , k = 2, 3, … , vyznaça-
gt\sq z rivnosti (29).
Dovedennq. Zhidno z teoremog 5 roboty [4] ma[ misce povnyj asymptotyç-
nyj rozklad
�( ; )W Br
C
k
k
r
k∞
=
∞
≅ ∑δ π
η
δ
4 1
2
, δ → ∞.
Tomu dlq dovedennq teoremy dostatn\o dovesty rivnist\
�( ; )W Br
1 1δ = �( ; )W Br
C∞ δ , r = 2l + 1, l N∈ , (43)
zauvaΩyvßy, wo zhidno z rivnistg (57) roboty [4]
�( ; )W Br
C∞ δ = 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (44)
Qk pokazano v dovedenni teoremy 4, ma[ misce rivnist\ (38). PokaΩemo, wo
sign ( ; ) ; sign cosQ t Q tr rδ π δ− ( )( ) = ±2 , r = 2l + 1, l N∈ . (45)
Za prypuwennq, wo
Q t Qr r( ; ) ;0 2δ π δ− ( ) = 0, t0 0∈( , )π , t0 2
≠ π
,
zhidno z teoremog Rollq isnu[ toçka t1 0∈( , )π taka, wo
′ =Q tr( ; )1 0δ ,
zvidky
Q tr− =1 1 0( ; )δ .
Ale ce vnaslidok (39) nemoΩlyvo. Rivnist\ (45) dovedeno. Tomu iz (38), vyko-
rystovugçy naslidok iz teoremy Fubini [6, s.5331], pry r = 2l + 1, l ∈ N, ma[mo
�( ; )W Br
1 1δ = sup ( ) ( ; ) ;( )
f W
r
r r
r
f x t Q t Q dt dx
∈ − −
∫ ∫ + −
1
1
2π
δ π δ
π
π
π
π
≤
≤ 1
2π
δ π δ
π
π
−
∫ −
Q t Q dtr r( ; ) ; = 2
2
0
2
2
π
δ π δ
π
π
π/
/
( ; ) ;∫ ∫−
−
Q t Q dtr r =
= 4
1 1
2 1
2
1
2 1
2 1
0
2
0
2
2 1
1π
π δ δ/ /
( )
cos( )∫ ∑
=
∞ − − +
+
− + + −( )
+
+
k
k
r
k
e e
k
k t dt =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
ASYMPTOTYKA VELYÇYN NABLYÛENNQ V SEREDN|OMU KLASIV … 1115
= 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (46)
Z inßoho boku, zhidno z lemog roboty [7, s.563] pry neparnyx r ma[ misce spiv-
vidnoßennq
�( ; )W Br
1 1δ ≥ 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
. (47)
Iz (46) ta (47), a takoΩ (44) vyplyva[ rivnist\
�( ; )W Br
1 1δ = 4 1
1 1
2 1
2
1
2 10
2
2 1
1π
δ δ
k
k
k
r
k
e e
k=
∞ − − +
+∑ −
− + + −( )
+
( )
( )
/
= �( ; )W Br
C∞ δ .
Teoremu 5 dovedeno.
1. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1987. – 268 s.
2. Petrov V. A. Byharmonyçeskyj yntehral Puassona // Lyt. mat. sb. – 1967. – 7, # 1. –
S.51375– 142.
3. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyq. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥,
2002. – Ç. I. – 427 s.
4. Xarkevyç G. I., Kal\çuk I. V. Povni asymptotyky toçnyx verxnix meΩ vidxylen\ biharmonij-
nyx intehraliv Puassona na klasax dyferencijovnyx funkcij // Problemy teori] nablyΩen-
nq funkcij ta sumiΩni pytannq: Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2005. – 2, # 2.
– S. 311 – 335.
5. Falaleev L. P. Polnoe asymptotyçeskoe razloΩenye dlq verxnej hrany uklonenyq funk-
cyj yz Lip11 ot odnoho synhulqrnoho yntehrala // Teorem¥ vloΩenyq y yx pryloΩenyq
(Materyal¥ Vsesogz. symp.). – Alma-Ata: Nauka KazSSSR, 1976. – S. 163 – 167.
6. Natanson I. P. Osnovy teori] funkcij dijsno] zminno]. – Ky]v: Rad. ßkola, 1950. – 424 s.
7. Pych P. Approximation of functions in L- and C -metrics // Ann. Soc. Math. Pol. – 1967. – 1, #
11. – P. 61 – 76.
8. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. – M.:
Fyzmathyz, 1963. – 1100 s.
9. Zyhmund A. Tryhonometryçeskye rqd¥: V 2 t. – M.: Myr, 1965. – T. 1. – 615 s.
OderΩano 19.04.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8
|