О геометрических работах А. В. Погорелова

Представлено огляд основних результатів А. В. Погорєлова в галузі геометрії.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Аминов, Ю.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Історія науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172473
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О геометрических работах А. В. Погорелова / Ю.А. Аминов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1116–1130. — Бібліогр.: 37 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-172473
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1724732020-11-03T01:26:16Z О геометрических работах А. В. Погорелова Аминов, Ю.А. Історія науки Представлено огляд основних результатів А. В. Погорєлова в галузі геометрії. We present a survey of the principal results of A. V. Pogorelov in the field of geometry. 2007 Article О геометрических работах А. В. Погорелова / Ю.А. Аминов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1116–1130. — Бібліогр.: 37 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172473 514 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Історія науки Історія науки
spellingShingle	Історія науки Історія науки Аминов, Ю.А. О геометрических работах А. В. Погорелова Український математичний журнал
description	Представлено огляд основних результатів А. В. Погорєлова в галузі геометрії.
format	Article
author	Аминов, Ю.А.
author_facet	Аминов, Ю.А.
author_sort	Аминов, Ю.А.
title	О геометрических работах А. В. Погорелова
title_short	О геометрических работах А. В. Погорелова
title_full	О геометрических работах А. В. Погорелова
title_fullStr	О геометрических работах А. В. Погорелова
title_full_unstemmed	О геометрических работах А. В. Погорелова
title_sort	о геометрических работах а. в. погорелова
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Історія науки
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172473
citation_txt	О геометрических работах А. В. Погорелова / Ю.А. Аминов // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1116–1130. — Бібліогр.: 37 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT aminovûa ogeometričeskihrabotahavpogorelova
first_indexed	2025-07-15T08:46:48Z
last_indexed	2025-07-15T08:46:48Z
_version_	1837702011272822784
fulltext	I�S�T�O�R�I�Q� �N�A�U�K�Y UDK 514 G. A. Amynov (Fyz.-texn. yn-t nyzkyx temperatur NAN Ukrayn¥, Xar\kov) O HEOMETRYÇESKYX RABOTAX A.�V.�POHORELOVA A survey of the results by the well-known geometer A. V. Pogorelov is presented. Navedeno ohlqd rezul\tativ vydatnoho heometra O. V. Pohor[lova. 13 maq 2005 h. v Xar\kove v Fyzyko-texnyçeskom ynstytute nyzkyx temperatur NAN Ukrayn¥ proßel mytynh, na kotorom b¥la otkr¥ta memoryal\naq doska s barel\efom akademyka Alekseq Vasyl\evyça Pohorelova. Na mytynhe v¥stu- pyly akademyky V.2A. Marçenko, V.2V. Eremenko, çl.-kor. NAN Ukrayn¥ A.2A.2Borysenko, predstavytely druhyx ynstytutov y mπryy Xar\kova, konsul Rossyjskoj federacyy v Xar\kove y dr. Ony hovoryly o v¥dagwemsq vklade Alekseq Vasyl\evyça v nauku, o eho Ωyznennom puty y o zameçatel\n¥x svojst- vax eho xaraktera. Mytynh b¥l mnohoçyslenn¥j, prysutstvovaly kollehy y uçenyky, sotrudnyky ynstytuta, prepodavately y student¥ Xar\kovskoho nacyonal\noho unyversyteta ym. V.2N.2Karazyna, ßkol\nyky y uçytelq. Sredy hostej — s¥n, Leonyd Alekseevyç. B¥lo vpeçatlenye, çto Aleksej Vasyl\evyç po-preΩnemu s namy. V zaverßenye mytynha prozvuçal hymn Ukrayn¥. Uçast- nyky mytynha razoßlys\ y plowad\ pered ynstytutom opustela… No ostalos\ vse v pamqty, y ostalos\ sozdannoe A.2V. Pohorelov¥m — eho tvorçestvo, ydey, monohrafyy y uçebnyky, eho teoryy. Ranee, v mae 2004 h., otdel heometryy Fyzyko-texnyçeskoho ynstytuta NAN Ukrayn¥ sovmestno s kafedroj heometryy Xar\kovskoho nacyonal\noho uny- versyteta provely meΩdunarodn¥j semynar „Heometryq v celom”, posvqwenn¥j 85-letyg so dnq roΩdenyq A.2V. Pohorelova. S dokladamy πtoho semynara, sredy kotor¥x rasskaz akademyka V.2A. Marçenko o nekotor¥x πpyzodax yz Ωyzny Alekseq Vasyl\evyça, moΩno oznakomyt\sq v ynternete na sajte [1]. Tvorçestvo A.2V. Pohorelova mnohohranno y otnosytsq k sledugwym çet¥- rem napravlenyqm: heometryq, mexanyka, ßkol\noe y vuzovskoe obrazovanye, kryohennoe maßynostroenye. Cel\ dannoj stat\y — yzloΩyt\ osnovn¥e heometryçeskye dostyΩenyq πtoho v¥dagwehosq matematyka. Rezul\tat¥ A.2V.2Pohorelova otlyçagtsq zakonçennost\g, zavydnoj prostotoj formulyro- vok y v to Ωe vremq hlubynoj m¥sly. Avtorytet eho b¥l bessporen y pryznan sredy vsex heometrov myra. Perv¥j v¥dagwyjsq rezul\tat A.2V. Pohorelov poluçyl v 1951 h. — odno- znaçnaq opredelennost\ obwyx v¥pukl¥x poverxnostej v E 3 svoej metrykoj. Ystoryq πtoho voprosa vosxodyt ewe k Koßy, kotor¥j dokazal odnoznaçnug © G. A. AMYNOV, 2007 1116 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 O HEOMETRYÇESKYX RABOTAX A.2V. POHORELOVA 1117 opredelennost\ zamknut¥x v¥pukl¥x mnohohrannykov. Dalee posledovaly ra- bot¥ Lybmana, Hyl\berta, Kon-Fossena y Herhlotca. Aleksej Vasyl\evyç ymel zameçatel\n¥x uçytelej — A.2D. Aleksandrova y N.2V. Efymova, ot kotor¥x on, po-vydymomu, uznal ob πtoj probleme. DruΩestvenn¥e otnoßenyq meΩdu N.2V. Efymov¥m y A.2V. Pohorelov¥m so- xranqlys\ vsg Ωyzn\, y ony qvlqgtsq obrazcom otnoßenyj uçytel\ – uçenyk. ∏to b¥la bol\ßaq druΩba, proßedßaq ysp¥tanye vremenem y rasstoqnyem. Na mnohyx N.2V. Efymov okazal blahotvornoe vlyqnye. V prysutstvyy N.2V. Efy- mova çelovek zahoralsq kakym-to neob¥knovenn¥m svetom y napolnqlsq dobro- toj. N. V. Efymov y A. V. Pohorelov (sprava) V 30-e hod¥ proßloho veka v Moskve y Lenynhrade voznykla ßkola heomet- rov „v celom”, ne bez vlyqnyq Kon-Fossena, kotor¥j v 1934 h. ymmyhryroval v SSSR yz faßystskoj Hermanyy. Kon-Fossen b¥l soavtorom Hyl\berta po za- meçatel\noj knyhe „Nahlqdnaq heometryq”. On dokazal neyzhybaemost\ zamk- nutoj poverxnosty klassa rehulqrnosty C 3 s poloΩytel\noj haussovoj kry- vyznoj. V 1936 h. posle tqΩeloj bolezny on umer, no ostalsq rqd ynteresn¥x y vaΩn¥x problem, sformulyrovann¥x ym v rabotax. Zametym, çto v 1938 h. A.2D. Aleksandrov dokazal odnoznaçnug opredelen- nost\ zamknut¥x analytyçeskyx poverxnostej typa T, haussova kryvyzna koto- r¥x moΩet menqt\ znak, no udovletvorqet opredelennomu yntehral\nomu uslo- vyg [2]. Dlq v¥pukl¥x rehulqrn¥x poverxnostej klassa rehulqrnosty C 2 y s neotrycatel\noj haussovoj kryvyznoj odnoznaçnaq opredelennost\ b¥la doka- zana Herhlotcem çrezv¥çajno krasyvo y prosto s pomow\g odnoj yntehral\noj formul¥. Eho metod, odnako, ne b¥l pryhoden dlq nerehulqrn¥x poverx- nostej, ymegwyx rebra, konyçeskye toçky y druhye osobennosty. Problema predstavlqlas\ nepodæemnoj. Razvyv soverßenno nov¥e podxod¥, A.2V. Pohore- lov dokazal sledugwyj rezul\tat [3]. Teorema��1. Zamknut¥e yzometryçn¥e v¥pukl¥e poverxnosty ravn¥. Bolee toho, ym b¥la dokazana odnoznaçnaq opredelennost\ dlq nezamknut¥x poverxnostej. Ymeet mesto sledugwaq teorema. Teorema��2. Pust\ F — v¥puklaq poverxnost\ s kraem, polnaq kryvyzna kotoroj ravna 4π. Pust\ kraj sostoyt yz koneçnoho çysla Ωordanov¥x kry- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1118 G. A. AMYNOV v¥x s ohranyçenn¥my varyacyqmy povorota. Tohda kaΩdaq v¥puklaq poverx- nost\ F ′ s kraem, yzometryçnaq F , ravna ej. NyΩe m¥ ukaΩem odno vaΩnoe prymenenye πtoj teorem¥. Dokazana takΩe teorema ob odnoznaçnoj opredelennosty poln¥x beskoneç- n¥x poverxnostej. Teorema��3. Beskoneçn¥e yzometryçn¥e v¥pukl¥e poverxnosty s polnoj kryvyznoj 2π ravn¥. V to Ωe vremq po teoreme S.2P. Olovqnyßnykova beskoneçnaq v¥puklaq po- verxnost\ s polnoj kryvyznoj men\ße 2π dopuskaet yzhybanyq. S pomow\g specyal\noho preobrazovanyq, otkr¥toho A.2V. Pohorelov¥m, vopros ob odnoznaçnoj opredelennosty poverxnostej v prostranstvax postoqn- noj kryvyzn¥ b¥l sveden k voprosu ob odnoznaçnoj opredelennosty poverxnos- tej v evklydovom prostranstve. Pust\ R — πllyptyçeskoe prostranstvo s kryvyznoj K = 1. Rassmotrym oblast\ R0 πllyptyçeskoho prostranstva ta- kug, çto pry sopostavlenyy eho toçek toçkam na sfere v çet¥rexmernom evkly- dovom prostranstve E 4 s koordynatamy x0 , x1 , x2 , x3 (s otoΩdestvlenyem dyametral\no protyvopoloΩn¥x toçek) πta oblast\ yzobraΩaetsq edynyçnoj polusferoj x x0 2 3 2+ … + = 1, x0 > 0. Takym obrazom, oblast\ R0 poluçaetsq yz R udalenyem odnoj ploskosty x0 = = 0. Pust\ v oblasty R0 ymegtsq dve rehulqrn¥e yzometryçn¥e poverxnosty F ′ y F ′′ s radyusamy-vektoramy ′x u( , )v y ′′x u( , )v sootvetstvenno, pryçem so- otvetstvugwym po yzometryy toçkam na πtyx poverxnostqx sootvetstvugt ody- nakov¥e znaçenyq parametrov u, v. Pust\ e0 — edynyçn¥j vektor, ortoho- nal\n¥j k prostranstvu E0 3 : x0 = 0 y napravlenn¥j v poluprostranstvo x0 > > 0. Pare yzometryçn¥x poverxnostej F ′ y F ′′ postavym v sootvetstvye paru poverxnostej Φ′ y Φ′′ s radyusamy-vektoramy y ′ = ′ − ′ ′ + ′′ x e x e e x x 0 0 0 ( ) ( ) , y ″ = ′′ − ′′ ′ + ′′ x e x e e x x 0 0 0 ( ) ( ) . Ymeet mesto sledugwaq teorema. Teorema��4. Poverxnosty Φ′ y Φ′′ rehulqrn¥, ne ymegt osobennostej y yzometryçn¥. Ony konhruπntn¥ tohda y tol\ko tohda, kohda konhruπntn¥ poverxnosty F ′ y F ′′. S pomow\g ukazannoho preobrazovanyq dokaz¥vaetsq sledugwaq teorema. Teorema��5. Zamknut¥e yzometryçn¥e v¥pukl¥e poverxnosty v πllypty- çeskom prostranstve ravn¥. Zametym, çto teorem¥ ob odnoznaçnoj opredelennosty v¥pukl¥x poverxnos- tej v prostranstve Lobaçevskoho b¥ly zatem poluçen¥ v rabotax H.2N.2Hagbova [4], Y.2A.2Danelyça [5] y A.2D.2Mylky [6]. V 1969 h. v¥ßla zameçatel\naq monohrafyq A.2V. Pohorelova „Vneßnqq heometryq v¥pukl¥x poverxnostej” [7]. ∏to b¥l ytoh bol\ßoj naprqΩen- noj2rabot¥. Samo nazvanye knyhy podçerkyvaet preemstvennost\ tematyky A.2D.2Aleksandrova, kotoraq b¥la yzloΩena v eho monohrafyy „Vnutrennqq heometryq v¥pukl¥x poverxnostej” 1948 h. S druhoj storon¥, nazvanye svyde- tel\stvuet y o znaçytel\nom dopolnenyy v πtoj tematyke. Otdavaq dolΩnoe metodu pryblyΩenyq poverxnostej s pomow\g mnohohrannykov, A.2V. Pohore- lov znaçytel\no razvyvaet rehulqrnug teoryg poverxnostej kak v evklydovom, tak y v rymanovom prostranstvax. Knyha totças b¥la perevedena na anhlyjskyj qz¥k y razoßlas\ po unyversytetskym byblyotekam vseho myra. Kohda avtor nastoqwej stat\y yzuçal otkr¥t¥j fond unyversytetskoj byblyoteky v Brazy- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 O HEOMETRYÇESKYX RABOTAX A.2V. POHORELOVA 1119 lya y byblyoteky ynstytuta „IMPA” v Ryo-de-Ûanejro, to vydel na polkax πtu knyhu, y po ee vneßnemu vydu moΩno b¥lo skazat\, çto ee yntensyvno ßtudyro- valy. Yzvestn¥j brazyl\skyj heometr yz „IMPA” Manfredo do Karmo vosxy- walsq knyhamy Alekseq Vasyl\evyça, v osobennosty malen\koj knyΩeçkoj dlq studentov „Dyfferencyal\naq heometryq”. Naybol\ßee vpeçatlenye v monohrafyy proyzvodyt hlava VI : „V¥pukl¥e poverxnosty v rymanovom prostranstve”. V πtoj hlave reç\ ydet o realyzacyy dvumernoj metryky, zadannoj na sfere, v trexmernom rymanovom prostranstve. Zametym, çto problema realyzacyy metryk (yzometryçeskoho pohruΩenyq) v ev- klydovom y rymanovom prostranstvax v vyde rehulqrn¥x poverxnostej qvlqet- sq odnoj yz central\n¥x problem v heometryy. V sluçae dvumern¥x metryk ee moΩno pereformulyrovat\ tak: kakaq dvumernaq heometryq vozmoΩna na dvu- mern¥x rehulqrn¥x poverxnostqx dannoho trexmernoho rymanova prostranstva. Ewe v 1901 h. Hyl\bert pokazal, çto vsq ploskost\ Lobaçevskoho ne dopuskaet yzometryçeskoho pohruΩenyq v E 3 . Tematyka b¥la prodolΩena v stat\e H.2Vejlq, v kotoroj rassmatryvalsq vopros pohruΩenyq metryky poloΩytel\noj kryvyzn¥, zadannoj na sfere, v trexmernoe evklydovo prostranstvo. Perevod trudnoj stat\y H.2Vejlq 1916 h. b¥l opublykovan v „Uspexax matematyçeskyx nauk” v 1948 h. Vse Ωe v nej ymelys\ nekotor¥e probel¥. V rabote H.2Levy b¥l poluçen okonçatel\n¥j varyant v sluçae analytyçeskyx metryk, kotor¥j formulyruetsq tak: dvumernoe zamknutoe homeomorfnoe sfere rymanovo mnohoobrazye s analy- tyçeskoj metrykoj poloΩytel\noj kryvyzn¥ dopuskaet yzometryçeskoe pohru- Ωenye v evklydovo prostranstvo v vyde zamknutoj analytyçeskoj poverxnosty. A.2D. Aleksandrov s pomow\g metoda pryblyΩenyq mnohohrannykamy ras- ßyryl klass metryk, dopuskagwyx realyzacyg. Zatem A.2V. Pohorelov doka- zal rehulqrnost\ v¥pukl¥x poverxnostej, poluçaem¥x v rezul\tate realyzacyy A.2D. Aleksandrova. Sformulyruem eho teoremu��6. Esly v¥puklaq poverxnost\ F ymeet re- hulqrnug metryku klassa C k, k ≥ 2, y poloΩytel\nug haussovu kryvyznu, to F prynadleΩyt klassu Ck−1,α pry lgbom α ∈ ( 0, 1 ) . Esly metryka poverx- nosty F analytyçeskaq, to F — analytyçeskaq poverxnost\. Takym obrazom, v E 3 b¥lo poluçeno ysçerp¥vagwee reßenye problem¥ re- alyzacyy dlq klassa metryk poloΩytel\noj kryvyzn¥. Posle πtoho estestven- no voznykaet vopros o realyzacyy metryk v zadannoe trexmernoe rymanovo pro- stranstvo y v evklydovo prostranstvo bol\ßyx razmernostej. A.2V. Pohorelov rassmotrel pohruΩenyq v rymanovo prostranstvo. Zdes\ ponadobylos\ pryncy- pyal\no yzmenyt\ podxod, tak kak v sluçae obweho rymanova prostranstva me- tod¥ teoryy mnohohrannykov neprymenym¥. Krome toho, v obwem rymanovom prostranstve net teorem¥ Bonne o tom, çto po zadann¥m pervoj y vtoroj kvad- ratyçn¥m formam, koπffycyent¥ kotor¥x udovletvorqgt uravnenyqm Haussa – Kodaccy, poverxnost\ vosstanavlyvaetsq odnoznaçno s toçnost\g do dvyΩe- nyq v prostranstve. A.2V. Pohorelovu predstoqlo preodolet\ vse πty trudnos- ty. PreΩde vseho, on poluçyl na zamknutoj poverxnosty apryornug ocenku normal\n¥x kryvyzn v zavysymosty ot metryky poverxnosty y metryky prost- ranstva. Ystoky πtoj ocenky moΩno uvydet\ v dokazatel\stve Hyl\berta teore- m¥ Lybmana odnoznaçnoj opredelennosty sfer¥. Tak Ωe, kak y Hyl\bert, A.2V. Pohorelov rassmotrel toçku, v kotoroj normal\naq kryvyzna dostyhaet absolgtnoho maksymuma, y zatem vvel na poverxnosty v okrestnosty πtoj toçky koordynatnug set\, sostavlennug yz lynyj kryvyzn¥. No v rymanovom prost- ranstve vse znaçytel\no sloΩnee. Avtor naßel qsn¥e heometryçeskye uslovyq, naklad¥vaem¥e na prostranstvo dlq toho, çtob¥ b¥lo vozmoΩno proyzvesty ocenku normal\noj kryvyzn¥. B¥la dokazana sledugwaq teorema. Teorema��7. Pust\ F — zamknutaq rehulqrnaq (çet¥reΩd¥ neprer¥vno ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1120 G. A. AMYNOV dyfferencyruemaq) poverxnost\ v rehulqrnom klassa C 4 rymanovom prost- ranstve R . Pust\ v kaΩdoj toçke poverxnosty v¥polnqgtsq neravenstva Ki > KR, K K Ki R R− −3( ) > 0, hde K i — haussova kryvyzna poverxnosty, KR — kryvyzna prostranstva po plowadke, kasagwejsq poverxnosty, KR — kryvyzna v lgboj perpendykulqr- noj plowadke. Tohda dlq normal\noj kryvyzn¥ poverxnosty moΩno ukazat\ ocenku v zavysy- mosty tol\ko ot metryky prostranstva. Zatem najdenn¥e ocenky yspol\zugtsq dlq poluçenyq ocenok proyzvodn¥x prostranstvenn¥x koordynat toçek poverxnosty y yx postoqnn¥x Hel\dera v zavysymosty tol\ko ot verxnej hrany modulej koπffycyentov Hel\dera gij y gij — koπffycyentov metryky poverxnosty y metryky prostranstva y yx pro- yzvodn¥x do k-ho porqdka. Pry πtom yspol\zugtsq metod vspomohatel\n¥x funkcyj S.2N.2Bernßtejna y ocenky Íaudera dlq lynejn¥x uravnenyj πllyp- tyçeskoho typa. Metod pohruΩenyq sostoyt yz trex πtapov: 1. Stroytsq semejstvo dvumern¥x rymanov¥x mnohoobrazyj Mt , soderΩa- wyx zadannoe mnohoobrazye M y mnohoobrazye M0 , zavedomo pohruΩaemoe. Zametym, çto pry rassmotrenyy πtoho punkta yspol\zuetsq teorema Alek- sandrova – Pohorelova o realyzuemosty homeomorfnoho sfere mnohoobrazyq kryvyzn¥, ne men\ßej K, zamknutoj v¥pukloj poverxnost\g ω v prostranstve Lobaçevskoho L 3 kryvyzn¥ K . V kaçestve M0 beretsq metryka dostatoçno maloj heodezyçeskoj sfer¥ S 2 v L 3. Zatem stroytsq semejstvo poverxnostej, soedynqgwee S 2 y ω. 2. Dokaz¥vaetsq, çto esly mnohoobrazye Mt yz semejstva pohruΩaemo, to y blyzkye k nemu mnohoobrazyq semejstva takΩe pohruΩaem¥. 3. Dokaz¥vaetsq, çto esly kaΩdoe yz mnohoobrazyj Mtn pohruΩaemo y t tn → � , to mnohoobrazye M t� toΩe pohruΩaemo. Dlq dokazatel\stva punktov 2 y 3 prymenqgtsq razvyt¥e A.2V. Pohorelo- v¥m metod¥ teoryy beskoneçno mal¥x yzhybanyj y deformacyj, osnovann¥e na uΩe ustanovlenn¥x apryorn¥x ocenkax y na teoryy obobwenn¥x analytyçeskyx funkcyj Y.2N.2Vekua. V rezul\tate dokazana sledugwaq zameçatel\naq teorema o realyzacyy. Teorema��8. Pust\ R — polnoe trexmernoe rymanovo prostranstvo y M — zamknutoe homeomorfnoe sfere rymanovo mnohoobrazye s haussovoj kryvyz- noj, vsgdu bol\ßej nekotoroj postoqnnoj C (bol\ßej, men\ßej yly ravnoj nulg). Tohda esly kryvyzna prostranstva R vsgdu men\ße C, to M do- puskaet yzometryçeskoe pohruΩenye v R v vyde rehulqrnoj poverxnosty F. Bolee toho, πto pohruΩenye moΩno osuwestvyt\ tak, çtob¥ dann¥j dvumer- n¥j πlement α mnohoobrazyq M (toçka S y puçok napravlenyj v nej) sov- pal b¥ s dann¥m yzometryçn¥m α dvumern¥m πlementom α ′ v prostranstve R y poverxnost\ F raspolahalas\ po zadannug storonu ot plowadky πle- menta α ′. Esly metryky prostranstva R y mnohoobrazyq M dyfferencyruem¥ k raz ( k ≥ 6 ) , to poverxnost\ F dyfferencyruema po krajnej mere k – 1 raz. Esly metryky prostranstva R y mnohoobrazyq M analytyçeskye, to po- verxnost\ F analytyçeskaq. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 O HEOMETRYÇESKYX RABOTAX A.2V. POHORELOVA 1121 S pomow\g teorem¥ ob yzometryçeskom pohruΩenyy zamknutoho mnohoobra- zyq v rymanovo prostranstvo poluçena teorema o pohruΩenyy nezamknut¥x mno- hoobrazyj. Pust\ K1 — naybol\ßaq, a K2 — naymen\ßaq kryvyzn¥ prost- ranstva po dvumern¥m plowadkam v odnoj y toj Ωe toçke y KG � = = max max , ( ){ }G K K K1 1 23 − . Teorema��9. Pust\ G — kompaktnaq oblast\ rymanova prostranstva, soderΩawaq ßar radyusa 2d. Pust\ M — dvumernoe rymanovo mnohoobrazye, homeomorfnoe kruhu y udovletvorqgwee uslovyqm: 1) vnutrennyj dyametr M men\ße d, 2) haussova kryvyzna M vsgdu bol\ße KG � , 3) heodezyçeskaq kryvyzna kraq M vsgdu poloΩytel\na. Tohda suwestvuet yzometryçeskoe pohruΩenye M v G v vyde poverxnosty Φ, pryçem esly metryky prostranstva y mnohoobrazyq k raz dyfferencyrue- m¥ ( k ≥ 6 ) , to poverxnost\ Φ po krajnej mere k – 2 raza dyfferencyrue- ma. Esly metryky M y G analytyçeskye, to Φ — analytyçeskaq poverx- nost\. Zametym, çto ∏.2H.2Poznqk postroyl perv¥j prymer metryky v kruhe, koto- rug nel\zq realyzovat\ v vyde rehulqrnoj poverxnosty v trexmernom evklydo- vom prostranstve. V πtom prymere haussova kryvyzna menqet znak. Zatem M.2L.2Hromov, yspol\zuq nekotor¥e ocenky G.2D.2Buraho dlq vneßneho dyamet- ra, postroyl prymer metryky s poloΩytel\noj haussovoj kryvyznoj, zadannoj v kruhe, ne realyzuemoj v E 3 [8]. ∏to pokaz¥vaet, çto uslovye223 v sformulyro- vannoj v¥ße teoreme suwestvenno. Predstavlqetsq pravdopodobnoj sledug- waq hypoteza: lgboe dvumernoe rehulqrnoe rymanovo mnohoobrazye moΩno rea- lyzovat\ v vyde rehulqrnoj poverxnosty v E 4 . K πtomu kruhu voprosov tesno prym¥kagt vopros¥ o lokal\noj realyzacyy metryk. Analytyçeskaq metryka, kak dokazal Darbu, lokal\no realyzuetsq analytyçeskoj poverxnost\g. V sluçae, kohda metryka prynadleΩyt klassu C k, k ≥ 3, y v nekotoroj toçke haussova kryvyzna otlyçna ot nulq, nekotoraq okrestnost\ πtoj toçky dopuskaet rehulqrnug realyzacyg v E 3 . Ostaetsq vopros o lokal\noj realyzacyy okrestnosty toçky, v kotoroj K = 0. V rabote [9] A.2V. Pohorelova postroen prymer dvumernoj rymanovoj metryky klassa C2 1, , ne dopuskagwej daΩe lokal\no realyzacyy na poverxnosty klassa C 2. Odnako πta metryka realyzuetsq na poverxnosty klassa C1 1, . Mnoho vnymanyq v rabotax A.2V. Pohorelova udeleno beskoneçno mal¥m yzhybanyqm v¥pukl¥x poverxnostej. V monohrafyy [7] dokazana teorema o tom, çto kaΩdaq poverxnost\ v trexmernom rymanovom prostranstve s poloΩytel\- noj vneßnej kryvyznoj, zakreplennaq v odnoj toçke vmeste s puçkom napravle- nyj, qvlqetsq Ωestkoj. Rassmotren vopros o Ωestkosty poverxnosty roda p > > 1. V [7] nameçeno dokazatel\stvo, no v spyske problem v konce knyhy for- mulyruetsq πta problema. Pry πtom Aleksej Vasyl\evyç predpolahaet, çto us- lovye zakreplenyq v sluçae p > 1 yzlyßne. Soverßenno druhym metodom problema b¥la reßena V.2T.2Fomenko [10, 11]. B¥la dokazana Ωestkost\ po- verxnosty F 2 roda p > 1 v trexmernom rymanovom prostranstve bez vsqkyx uslovyj zakreplenyq (kak y predpolahal A.2V. Pohorelov), v to Ωe vremq v prostranstve postoqnnoj kryvyzn¥ dokazana odnoznaçnaq opredelennost\. Ymenno, ymeet mesto sledugwaq teorema. Teorema��V.�T.�Fomenko. Pust\ Mk , k = 1, 2, … , 4p – 3 , — proyzvol\n¥e otmeçenn¥e toçky poverxnosty F 2 roda p ≥ 1. V prostranstve postoqnnoj kryvyzn¥ poverxnost\ F 2 ne dopuskaet netryvyal\n¥x yzometryçeskyx preob- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1122 G. A. AMYNOV razovanyj s soxranenyem toçek konhruπntnosty Mk , k = 1, 2, … , 4p – 3 . V monohrafyy [7] rassmotren¥ y reßen¥ v polnom obæeme problem¥ Krys- toffelq y Mynkovskoho. Obwaq problema sostoyt v naxoΩdenyy v¥pukloj poverxnosty v E 3 , dlq kotoroj zaranee zadana nekotoraq funkcyq hlavn¥x ra- dyusov kryvyzn¥ kak nekotoraq funkcyq ot normaly n : f ( R1 , R2 , n ) = φ ( n ) . Naprymer, v sluçae problem¥ Krystoffelq R1 + R2 = φ ( n ) , v sluçae problem¥ Mynkovskoho 1 1 2R R = K ( n ) . Problem¥ πty v obobwennom sm¥sle b¥ly reßen¥ Krystoffelem y Mynkov- skym. Krystoffel\ dokazal, skoree, teoremu edynstvennosty o vosstanovlenyy poverxnosty po zadannoj funkcyy φ ( n ) . A dlq obwej problem¥ teorema edyn- stvennosty b¥la dokazana A.2D. Aleksandrov¥m. Sledugwee yntehral\noe us- lovye qvlqetsq neobxodym¥m: φ ω ω ( )n nd∫ = 0, pryçem yntehryrovanye beretsq po edynyçnoj sfere ω, dω — πlement ee plo- wady. A.2D. Aleksandrov, odnako, zametyl, çto πto uslovye ne qvlqetsq dos- tatoçn¥m dlq toho, çtob¥ vosstanavlyvaemaq poverxnost\ b¥la v¥pukloj. A.2V. Pohorelov ustanovyl dostatoçn¥e uslovyq. Ym dokazana sledugwaq teorema. Teorema��10. Dlq toho çtob¥ suwestvovala zamknutaq v¥puklaq poverx- nost\ s dannoj summoj φ ( n ) hlavn¥x kryvyzn, dostatoçno v¥polnenyq sledug- wyx uslovyj: φ ( n ) ≥ 0 , φ – φss ≥ 0 , n n dφ ω ω ( )∫ = 0 , hde s oboznaçaet dyfferencyrovanye po dlyne duhy lgboho bol\ßoho kruha na edynyçnoj sfere. Uslovye na funkcyg φ ( n ) , kotoroe odnovremenno qvlqetsq neobxodym¥m y dostatoçn¥m dlq razreßymosty problem¥ Krystoffelq, b¥lo dano U.2DΩ.2Fyreem. Problemu Mynkovskoho moΩno pereformulyrovat\ sledugwym obrazom: pust\ K ( n ) — proyzvol\naq poloΩytel\naq neprer¥vnaq funkcyq, zadannaq na edynyçnoj sfere Ω . Stavytsq vopros o suwestvovanyy y edynstvennosty zamknutoj v¥pukloj poverxnosty F, kotoraq v toçke s vneßnej normal\g n ymeet haussovu kryvyznu K ( n ) . Problema b¥la reßena Mynkovskym v obobwennom sm¥sle. Teorema��Mynkovskoho. Pust\ na edynyçnoj sfere Ω s centrom v naçale koordynat zadana neprer¥vnaq poloΩytel\naq funkcyq K ( n ) edynyçnoho vek- tora n. Pust\ πta funkcyq udovletvorqet uslovyg n K n d ( ) ω Ω ∫ = 0, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 O HEOMETRYÇESKYX RABOTAX A.2V. POHORELOVA 1123 hde dω — πlement plowady Ω , a yntehryrovanye rasprostranqetsq na vsg sferu. Tohda suwestvuet y prytom edynstvennaq s toçnost\g do parallel\noho perenosa zamknutaq v¥puklaq poverxnost\ Φ, kotoraq v toçke s vneßnej nor- mal\g n ymeet haussovu kryvyznu K ( n ) . Zametym, çto problemoj Mynkovskoho zanymalys\ mnohye matematyky: H.2Levy, K.2Myranda, L.2Nyrenberh y dr. Ostavalsq otkr¥t¥m vopros o rehulqrnosty poverxnosty, esly funkcyq K ( n ) dostatoçno rehulqrna. A.2V. Pohorelov dopolnqet teoremu Mynkovskoho sledugwej teoremoj. Teorema��11. Esly haussova kryvyzna v¥pukloj poverxnosty vsgdu poloΩy- tel\na y kak funkcyq vneßnej normaly k poverxnosty rehulqrna ( m raz dyf- ferencyruema, m ≥ 3 ) , to poverxnost\ rehulqrna (po krajnej mere m + 1 raz dyfferencyruema). Esly K ( n ) analytyçeskaq, to poverxnost\ analy- tyçeskaq. Poverxnost\ opredelena odnoznaçno s toçnost\g do parallel\noho pereno- sa. Dokazana takΩe dovol\no obwaq teorema o suwestvovanyy zamknutoj v¥- pukloj poverxnosty, udovletvorqgwej uravnenyg f ( R1 , R2 , n ) = φ ( n ) pry uslovyqx na perv¥e y vtor¥e proyzvodn¥e funkcyj f y φ . Rabotaq v Xar\kove s 1947 h., A.2V. Pohorelov sozdal zdes\ ßkolu po heo- metryy v „celom”. On b¥l hlavn¥m redaktorom Ωurnala „Ukraynskyj heomet- ryçeskyj sbornyk”, s 1960 po 2000 h. zavedoval otdelom heometryy Fyzyko-tex- nyçeskoho ynstytuta nyzkyx temperatur NAN Ukrayn¥. V monohrafyy [7] ot- raΩen¥ nekotor¥e rezul\tat¥ eho kolleh y uçenykov E.2P.2Sen\kyna, A.2S.2Lejbyna, A.2Y.2Medqnyka, A.2A.2Dubrovyna y dr. Osnovn¥e rabot¥ A.2V.2Pohorelova kasalys\ heometryy hyperpoverxnostej. V matematyçeskom myre, odnako, v tom çysle v Xar\kovskoj heometryçeskoj ßkole (A.2A.2Bory- senko, G.2A.2Amynov, L.2A.2Masal\cev, A.2L.2Qmpol\skyj, G.2A.2Nykolaev- skyj, V.2T.2Lysyca y dr.), razvyvalas\ y heometryq podmnohoobrazyj. VaΩnoj heometryçeskoj xarakterystykoj hyperpoverxnosty qvlqetsq sferyçeskyj ob- raz, a podmnohoobrazyq — hrassmanov obraz. Kak obobwenye v „ßyrokom” sm¥s- le sformulyrovann¥x v¥ße problem Krystoffelq y Mynkovskoho moΩno rassmatryvat\ problemu o vosstanovlenyy podmnohoobrazyq po zadannomu hras- smanovu obrazu. ∏ta zadaça reßalas\ v rabotax G.2A.2Amynova [12, 13], DΩ.2Vajnera [14], V.2A.2Hor\kavoho [15]. Teorema suwestvovanyq y edynstven- nosty dlq dvumern¥x poverxnostej dokazana v rabotax G.2A.2Amynova, teorema edynstvennosty v mnohomernom sluçae — v rabote A.2A.2Borysenko [16]. Prob- lema suwestvovanyq dlq mnohomern¥x podmnohoobrazyj v obwem sluçae ostaet- sq nereßennoj trudnoj problemoj. V konce rabot¥ [7] pryveden spysok ynte- resn¥x y vaΩn¥x problem, reßenn¥x vposledstvyy v rabotax A. A. Borysenko, A.2D. Mylky, V. T. Fomenko y S. B. Klymentova. Monohrafyej [7], po suwestvu, zaverßen¥ yssledovanyq A.2V. Pohorelova po heometryy dvumern¥x poverxnostej v trexmernom prostranstve. V posledu- gwye hod¥ A.2V. Pohorelov zanymalsq yssledovanyem mnohomern¥x v¥pukl¥x hyperpoverxnostej, voprosamy osnovanyj heometryy, teoryej dyfferencyal\- n¥x uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x y dr. V 1971 h. opublykovana stat\q [17], a v 1975 h. — monohrafyq [18] A.2V. Po- horelova po mnohomernoj probleme Mynkovskoho. Funkcyej kryvyzn¥ porqdka ν v¥pukloj hyperpoverxnosty F v En+1 naz¥vaetsq πlementarnaq symmetry- çeskaq funkcyq hlavn¥x radyusov kryvyzn¥ Sν = R Ri i i i 1 … ≠ ∑ ν α β . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1124 G. A. AMYNOV Obobwenyem problem¥ Mynkovskoho qvlqetsq problema naxoΩdenyq v¥pukloj hyperpoverxnosty s zadannoj funkcyej kryvyzn¥ lgboho dannoho porqdka ν ≤ ≤ n : Sν = φν ( n ) . Dokazana sledugwaq teorema. Teorema��12. Pust\ Φ k ( ξ ) — zadannaq na edynyçnoj sfere Ω rehulqrnaq poloΩytel\naq funkcyq, udovletvorqgwaq uslovyqm ξ ξ ωΦ Ω k d( )∫ = 0 , k > 1 , n n n kt kt −    − ′′ −1 1 2 1/ ( ) ,max ( )ξ γ φ φ < φ ξkt( ) , hde φkt = ( / ) /Φkt n k kC 1 , Φkt = t tkΦ + −1 , 0 ≤ t ≤ 1, ßtryxy oboznaçagt dyfferencyrovanye po dlyne duhy lgboho bol\ßoho kruha γ na sfere. Tohda suwestvuet zamknutaq v¥puklaq hyperpoverxnost\ F, dlq kotoroj Φk ( )ξ budet funkcyej kryvyzn¥ k-ho porqdka. Esly funkcyq Φk prynadle- Ωyt klassu rehulqrnosty C m , m ≥ 3, to hyperpoverxnost\ prynadleΩyt klassu Cm+1,α , α > 0. Esly Φk analytyçeskaq, to poverxnost\ F — ana- lytyçeskaq. Vernuvßys\ s MeΩdunarodnoho matematyçeskoho konhressa v Nycce, Alek- sej Vasyl\evyç zaynteresovalsq problemoj affynn¥x hypersfer. Na konhres- se E.2Kalaby podaryl emu ottysk svoej rabot¥ [19], kasagwejsq πtoj proble- m¥, y tem sam¥m pryvlek vnymanye Alekseq Vasyl\evyça k πtoj probleme. Vru- çaq ottysk, E.2Kalaby skazal: „∏to budet Vam polezno”, — y okazalsq prav. Polnaq hyperpoverxnost\ v ( n + 1 ) -mernom evklydovom prostranstve s ko- ordynatamy x x xn n1 1, , ,… + naz¥vaetsq nesobstvennoj affynnoj hypersferoj, esly ona zadaetsq uravnenyem xn+1 = z x xn( , , )1 … , pryçem funkcyq z udovletvorqet uravnenyg z z z z z z n n n nn 11 1 21 2 1 … … … � � � = const ≠ 0, hde zij — vtor¥e proyzvodn¥e funkcyy z po koordynatam xi . K.2Erhens v 1954 h. dokazal, çto pry n = 2 v¥puklaq nesobstvennaq affyn- naq sfera qvlqetsq πllyptyçeskym paraboloydom. E.2Kalaby v 1958 h. dokazal πto utverΩdenye pry n = 3 y 4 [19]. Polnoe reßenye dlq vsex n b¥lo polu- çeno A.2V. Pohorelov¥m v [18]. Ymenno, ymeet mesto sledugwaq teorema. Teorema��13. V¥puklaq nesobstvennaq affynnaq hypersfera qvlqetsq πl- lyptyçeskym paraboloydom. ∏to oznaçaet, çto funkcyq z, hessyan kotoroj raven221, predstavlqgwaq poverxnost\, zapys¥vaetsq v vyde polynoma vtoroj stepeny z = a x x a x aij i j i j i i , ∑ + + 0. Formulyrovka teorem¥ ne soderΩyt kakyx-lybo uslovyj o rehulqrnosty funkcyy z, krome estestvennoho trebovanyq dvukratnoj dyfferencyruemos- ty. Po druhoj dokazannoj ranee teoreme A.2V. Pohorelova v¥pukloe reßenye uravnenyq zij = 1 dolΩno b¥t\ analytyçeskym. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 O HEOMETRYÇESKYX RABOTAX A.2V. POHORELOVA 1125 Bolee obwee uravnenye MonΩa – Ampera zij = f z z z x xn n( , , , , , , )1 1… … takΩe b¥lo yzuçeno A.2V. Pohorelov¥m v [20 – 22] v predpoloΩenyy, çto funk- cyq z x xn( , , )1 … v¥pukla y f > 0. V dal\nejßem rassmatryvaetsq bolee obwaq forma θ( , , , , , , )z z z x x zn n ij1 1… … = φ( , , )x xn1 … . Rassmatryvaetsq vopros o suwestvovanyy reßenyq v zadannoj oblasty G, koto- roe na hranyce oblasty obrawaetsq v zadannug funkcyg, — zadaça Dyryxle. Dokaz¥vaetsq teorema o suwestvovanyy apryorn¥x ocenok. Teorema��14. Pust\ z ( x ) — rehulqrnoe çet¥reΩd¥ dyfferencyruemoe re- ßenye uravnenyq MonΩa – Ampera v v¥pukloj oblasty G s nulev¥m hranyçn¥m uslovyem. Tohda dlq vtor¥x proyzvodn¥x πtoho reßenyq vo vnutrennej toçke x ob- lasty G moΩno ukazat\ apryorn¥e ocenky v zavysymosty tol\ko ot maksy- muma modulq reßenyq, eho proyzvodn¥x pervoho porqdka y rasstoqnyq ot toçky x do hranyc¥ oblasty G . Druhoe dokazatel\stvo πtoj teorem¥, kak ukaz¥vaet sam A.2V. Pohorelov, dano v rabote N.2M.2Yvoçkynoj. Razvyvaq metod¥ E.2Kalaby poluçenyq ocenok tret\yx proyzvodn¥x reße- nyq z uravnenyq zij = 1, A.2V. Pohorelov dokaz¥vaet sledugwug teoremu. Teorema��15. V kaΩdoj vnutrennej toçke oblasty G tret\y proyzvodn¥e reßenyq uravnenyq zij = φ( , , , , , , )z z z x xn n1 1… … dopuskagt ocenku v zavysymosty tol\ko ot vtor¥x proyzvodn¥x reßenyq y rasstoqnyq ot toçky do hranyc¥ oblasty G. Kul\mynacyej provedenn¥x yssledovanyj qvlqetsq sledugwaq teorema. Teorema��16. Obobwennoe reßenye uravnenyq MonΩa – Ampera, v kotorom θ y φ — rehulqrn¥e poloΩytel\n¥e funkcyy, θz ≤ 0, qvlqetsq rehulqrn¥m v okrestnosty kaΩdoj toçky strohoj v¥puklosty reßenyq. Esly funkcyy θ y φ k raz dyfferencyruem¥, k ≥ 3, to reßenye dyfferencyruemo k + 1 raz y proyzvodn¥e ( k + 1 ) -ho porqdka udovletvorqgt uslovyg Hel\dera s lgb¥m po- loΩytel\n¥m pokazatelem α < 1. Kak pokaz¥vagt prymer¥, uslovye strohoj v¥puklosty suwestvenno. Mohut b¥t\ obobwenn¥e reßenyq, ne prynadleΩawye klassu C 2 daΩe dlq analyty- çeskyx θ y φ . V 1976 – 1977 hh. v¥ßly rabot¥ Çenha y Qu, posvqwenn¥e rehulqrnosty re- ßenyq n -mernoj problem¥ Mynkovskoho, v kotor¥x avtor¥ peredokazaly re- zul\tat¥ A.2V. Pohorelova, yspol\zovav v suwestvennom eho ocenky y upreknuv odnovremenno eho v probelax. Vposledstvyy, kak skazal avtoru Aleksej Va- syl\evyç v razhovore, on poluçyl ot S.2T.2Qu pys\mo s yzvynenyqmy. Bolee to- ho, v nedavnej stat\e S.2T.2Qu (razmewennoj v ynternete v arXiv:math) „Pers- pektyv¥ heometryçeskoho analyza” hovorytsq: „M¥ ne osoznavaly, çto velykye heometr¥ Pohorelov, Kalaby y Nyrenberh uΩe rabotaly nad nymy. M¥ b¥ly vozbuΩden¥ tem, çto m¥ reßyly nekotor¥e predpoloΩenyq Kalaby otnosy- tel\no nesobstvenn¥x affynn¥x sfer. No vskore m¥ obnaruΩyly, çto Poho- relov opublykoval svoy rezul\tat¥ pered namy s druhymy arhumentamy”. Estestvenn¥m prodolΩenyem πtoj tematyky b¥lo rassmotrenye A.2V.2Poho- relov¥m v [23 – 25] affynno-mynymal\n¥x hyperpoverxnostej. Dlq hyperpo- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1126 G. A. AMYNOV verxnosty F vyda z = z x xn( , , )1 … v ( n + 1 ) -mernom affynnom prostranstve rassmatryvaetsq n -mernaq affynnaq plowad\, opredelqemaq po formule S ( F ) = H dx dxn n G 1 2 1 /( )+ …∫ , hde H = zij . Hyperpoverxnost\ naz¥vaetsq affynno-mynymal\noj, esly per- vaq varyacyq plowady ravna nulg: δ S ( F ) = 0. Otsgda sleduet uravnenye, kotoromu udovletvorqet affynno-mynymal\naq hy- perpoverxnost\: Z H x x ij n i ji j ∂ ∂ ∂ + − ∑ 2 1 2 1/( ) , = 0, hde Zij — alhebrayçeskye mynor¥ k -ho porqdka opredelytelq H . Zametym, çto πto dyfferencyal\noe uravnenye 4-ho porqdka. Dokazana sledugwaq teorema. Teorema��17. Stroho v¥puklaq affynno-mynymal\naq hyperpoverxnost\ F, zadavaemaq uravnenyem z = z ( x1, … , xn ) , x ∈ G , ∂G ⊂ C 1, odnoznaçno opre- delqetsq ee kraem y kasatel\n¥my hyperploskostqmy vdol\ kraq. S pomow\g teorem¥ ob affynn¥x hypersferax dokazana takΩe hlobal\naq teorema. Teorema��18. Polnaq stroho v¥puklaq affynno-mynymal\naq hyperpoverx- nost\ F vyda z = z ( x1, … , xn ) v ( n + 1 ) -mernom affynnom prostranstve, udovletvorqgwaq uslovyg pry x → ∞ d z x2 ( ) → c dx dxij i j i j, ∑ , hde cij — postoqnn¥e, est\ πllyptyçeskyj paraboloyd. V¥ße m¥ uΩe upomynaly o teoreme A.2D.2Aleksandrova ob analytyçeskyx poverxnostqx typa T [2]. V πtoj teoreme na poverxnosty naklad¥vaetsq sledu- gwee vnutrennee uslovye: yntehral ot haussovoj kryvyzn¥ K po oblasty, hde K > 0, raven 4 π : K dS K > ∫ 0 = 4 π . L.2Nyrenberh v stat\e [26] rasprostranyl πtu teoremu na poverxnosty klassa C 4 pry nekotorom dobavoçnom vneßnem uslovyy: v kaΩdoj svqznoj oblasty s K < 0 ne suwestvuet dvux zamknut¥x asymptotyçeskyx lynyj. Na pervom πtape dokazatel\stva prymenqetsq teorema A.2V. Pohorelova ob odnoznaçnoj oprede- lennosty v¥pukloj poverxnosty s kraem. Dokazatel\stvo otsutstvyq dvux zamknut¥x asymptotyçeskyx lynyj dolho ne poddavalos\ usylyqm heometrov, no vse Ωe b¥lo poluçeno v rabote H.2A.2Kovalevoj [27]. ∏ty rabot¥ svqzan¥ s bol\ßoj y trudnoj problemoj v teoryy poverxnostej, zaklgçagwejsq v tom, suwestvuet ly zamknutaq rehulqrnaq poverxnost\, koto- raq dopuskala b¥ neprer¥vn¥e yzhybanyq. A.2V. Pohorelov razm¥ßlql nad πtoj problemoj, odnako, ona okazalas\ slyßkom krepkym „oreßkom”, y Alek- sej Vasyl\evyç otz¥valsq o nej kak o transcendentno trudnoj. Pod vlyqnyem eho ynteresa k πtoj probleme avtor nastoqwej stat\y v rabo- te [28] rassmotrel zamknut¥e poverxnosty tryhonometryçeskoho typa, u koto- r¥x radyus-vektor zapys¥vaetsq v vyde ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 O HEOMETRYÇESKYX RABOTAX A.2V. POHORELOVA 1127 r ( u, v ) = p n n pq i pu q p m m A e = − + = − ∑ ∑ ( )v , 0 ≤ u ≤ 2 π , 0 ≤ v ≤ 2 π , hde Apq — postoqnn¥e kompleksn¥e vektor¥. B¥la dokazana teorema ob odno- znaçnoj opredelennosty poverxnostej v klasse tryhonometryçeskyx polynomov s porqdkamy n, m. UtverΩdenye teorem¥, kak y v rabotax A.2V. Pohorelova, — odnoznaçnaq opredelennost\ metrykoj (no v klasse tryhonometryçeskyx poly- nomov). Na rassmatryvaem¥x poverxnostqx haussova kryvyzna K menqet znak. V teoryy poverxnostej xoroßo razvyt¥ teoryq v¥pukl¥x poverxnostej y teo- ryq poverxnostej otrycatel\noj kryvyzn¥. A teoryy rehulqrn¥x poverxnostej s peremennoj haussovoj kryvyznoj net. Razvytye πtoho napravlenyq — odna yz aktual\n¥x zadaç, po mnenyg avtora, heometryy „v celom”. Sledugwyj krutoj povorot v tvorçestve A.2V. Pohorelova svqzan s çetver- toj problemoj Hyl\berta. Problema Hyl\berta sostoyt v opredelenyy s toçno- st\g do yzomorfyzma vsex realyzacyj system¥ aksyom evklydovoj heometryy, v kotoroj aksyom¥, soderΩawye ponqtye uhla, zamenen¥ aksyomoj: u kaΩdoho treuhol\nyka lgbaq yz storon men\ße summ¥ dvux druhyx (neravenstvo tre- uhol\nyka). V sluçae ploskosty problema pereformulyruetsq v vyde zadaçy Darbu: naj- ty na ploskosty vse varyacyonn¥e zadaçy, reßenyqmy kotor¥x qvlqgtsq vse prqm¥e lynyy na ploskosty. Pervoj rabotoj v 1901 h. po πtoj teme b¥la rabota uçenyka Hyl\berta H.2Hamelq, v kotoroj problema reßalas\ v predpoloΩenyy dostatoçnoj hladkosty metryky. Kak pyßet Y.2M.2Qhlom v kommentaryy „K çetvertoj probleme Hyl\berta” v [29]: „Rabota Hamelq, razumeetsq, ne ysçerpa- la vseho, çto moΩno skazat\ o çetvertoj probleme Hyl\berta, druhye podxod¥ k kotoroj neodnokratno predlahalys\ y pozΩe. Naybolee ser\ezn¥m defektom yssledovanyj Hamelq qvylos\ to obstoqtel\- stvo, çto ony bazyrovalys\ na malo umestn¥x v yssledovanyqx po osnovanyqm heometryy analytyçeskyx metodax (metodax varyacyonnoho ysçyslenyq), ys- pol\zovanye kotor¥x potrebovalo opredelenn¥x ohovorok typa trebovanyj dyfferencyruemosty”. H.2Buzeman dal prostoj y obwyj metod postroenyq dezarhov¥x metryk, ys- pol\zovav neotrycatel\nug vpolne addytyvnug funkcyg na mnoΩestvax plos- kostej. ∏tot rezul\tat b¥l yspol\zovan A.2V. Pohorelov¥m v [30] dlq poluçenyq polnoho reßenyq çetvertoj problem¥ Hyl\berta v razmernostqx n = 2 y 3, t. e. ym dano qvnoe opredelenye vsex neprer¥vn¥x metryk. V predyslovyy k pe- revodu knyhy A.2V. Pohorelova na πtu temu na anhlyjskyj qz¥k Y.2Kra naz¥- vaet πto reßenye matematyçeskoj drahocennost\g. Vspomynaetsq zasedanye Xar\kovskoho matematyçeskoho obwestva v bol\ßoj fyzyçeskoj audytoryy Xar\kovskoho unyversyteta, na kotorom Aleksej Va- syl\evyç yzloΩyl svoe reßenye çetvertoj problem¥ Hyl\berta. ∏to b¥lo so- b¥tye, sobravßee mnohoçyslenn¥x slußatelej, ne tol\ko çlenov matematyçes- koho obwestva, no y studentov, y prepodavatelej unyversyteta. Posle doklada, zakonçyvßehosq aplodysmentamy, slußately zadaly mnoho voprosov. V 1955 h. H.2Buzeman opublykoval knyhu „Heometryq heodezyçeskyx” [31], v kotoroj b¥lo vvedeno ponqtye G -prostranstv. Nazvanye otraΩaet tot fakt, çto odnym yz osnovn¥x ponqtyj zdes\ qvlqgtsq heodezyçeskye — geodesics. ∏to koneçno-kompaktnoe M -v¥pukloe metryçeskoe prostranstvo, kotoroe udov- letvorqet aksyomam lokal\noho prodolΩenyq y dlq kotoroho prodolΩenye edynstvenno. Druhym obobwenyem rymanova prostranstva qvlqetsq prostranst- vo Fynslera, kotoroe opredelqetsq metryçeskoj funkcyej F x dx( , ). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1128 G. A. AMYNOV Voznykaet vopros o tom, kohda πty dva obobwenyq pryvodqt k odnomu y tomu Ωe prostranstvu. H.2Buzeman v svoej knyhe „Heometryq heodezyçeskyx” sformuly- roval problemu: pry kakyx mynymal\n¥x trebovanyqx rehulqrnosty k metryke fynslerova prostranstva ono qvlqetsq G -prostranstvom ? A.2V. Pohorelov v cykle rabot (sm., naprymer, [32]), a zatem v monohrafyy „Busemann regular G -spaces” [33] ukazal mynymal\n¥e uslovyq rehulqrnosty na funkcyg F x dx( , ) dlq toho, çtob¥ fynslerovo prostranstvo b¥lo G -pros- transtvom. Dokazana teorema o tom, çto esly funkcyq F x dx( , ) prynadleΩyt klassu C1 1, , to fynslerovo prostranstvo qvlqetsq G -prostranstvom. V to Ωe vremq postroen prymer fynslerova prostranstva s metryçeskoj funkcyej klassa rehulqrnosty C1,α , kotoroe ne qvlqetsq G -prostranstvom ny pry ka- kom α < 1. Rassmotren takΩe vopros, kohda G -prostranstvo budet fynsle- rov¥m prostranstvom. Obobwena teorema Bel\tramy o heodezyçeskom otobra- Ωenyy pry uslovyy, çto koπffycyent¥ metryky qvlqgtsq neprer¥vn¥my funkcyqmy koordynat. A.2V. Pohorelov ne ohranyçyvalsq yzuçenyem tol\ko v¥pukl¥x poverxnos- tej. Nekotoroe vnymanye on udelyl teoryy mynymal\n¥x poverxnostej, y zdes\ ym b¥ly najden¥ prost¥e y qsn¥e heometryçeskye podxod¥. V osnovnom ras- smatryvalys\ vopros¥ ustojçyvosty mynymal\n¥x poverxnostej. Pryvedem re- zul\tat, otnosqwyjsq k poln¥m mynymal\n¥m poverxnostqm. Polnaq myny- mal\naq poverxnost\ naz¥vaetsq ustojçyvoj, esly na nej ustojçyva lgbaq oh- ranyçennaq oblast\. A.2V. Pohorelov dokazal v [34] sledugwug teoremu. Teorema��19. Odnosvqznaq mynymal\naq poverxnost\ neustojçyva, esly na nej suwestvuet heodezyçeskyj kruh radyusa ρ, dlq kotoroho v¥polnqetsq xo- tq b¥ odno yz dvux uslovyj: 1) pry nekotorom ξ < ρ v¥polneno neravenstvo ω ξ( ) > l ln ( ) ( / ) ρ ρ ρ ξ2 , 2) S ( )ρ > 4 3 2πρ . Zdes\ S ( )ρ — plowad\, l ( )ρ — dlyna okruΩnosty kruha radyusa ρ , ω — yntehral\naq kryvyzna v kruhe radyusa ξ s tem Ωe centrom. S pomow\g πtoj teorem¥ dlq odnosvqzn¥x poverxnostej A.2V. Pohorelov ustanovyl prostoe dokazatel\stvo teorem¥ M. do Karmo y S.2K. Penha. Teorema��20. Edynstvennoj polnoj ustojçyvoj mynymal\noj poverxnost\g v E 3 qvlqetsq ploskost\. Krome toho, sleduet otmetyt\ sovmestnug rabotu A.2V.2Pohorelova s Y.2M.2Lyfßycom [35], v kotoroj yspol\zovalys\ nekotor¥e heometryçeskye ydey k opredelenyg form¥ poverxnostej Fermy. A.2V.2Pohorelov ymel neob¥knovenn¥j nastroj k nauke, tvorçestvu, vsg Ωyzn\ naprqΩenno y s radost\g rabotal, xotq bolezny y vozrast davaly sebq znat\, y v poslednye hod¥ poluçyl rqd ynteresn¥x rezul\tatov. V eho posled- nej opublykovannoj stat\e [36] rassmatryvaetsq problema Stokera: moΩno ly utverΩdat\, çto esly u dvux zamknut¥x v¥pukl¥x mnohohrannykov odynakovoho kombynatornoho stroenyq sootvetstvugwye dvuhrann¥e uhl¥ ravn¥, to u nyx sootvetstvugwye ploskye uhl¥ ravn¥ ? V [36] dokazana sledugwaq teorema. Teorema��21. Pust\ P — zamknut¥j v¥pukl¥j mnohohrannyk, u kotoroho hrany — ostrouhol\n¥e treuhol\nyky. Pust\ mnohohrannyk P deformyruet- sq s soxranenyem kombynatornoj struktur¥. Tohda esly pry πtoj deformacyy ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 O HEOMETRYÇESKYX RABOTAX A.2V. POHORELOVA 1129 dvuhrann¥e uhl¥ mnohohrannyka ne yzmenqgtsq, to eho ploskye hrany toΩe ne yzmenqgtsq. Svoymy rabotamy A.2V. Pohorelov vpysal svoe ymq v rqd v¥dagwyxsq heo- metrov: ∏vklyd, O.2Koßy, K.2Hauss, N.2Y. Lobaçevskyj, B.2Ryman, L.2Ílef- ly, H.2Hrassman, E.2Bel\tramy, A.2Puankare, H.2Mynkovskyj, D.2Hyl\bert, ∏.2Kartan, A.2D.2Aleksandrov, N.2V.2Efymov, L.2S.2Pontrqhyn, S.2S.2Çern … 1. Doklad¥ MeΩdunarodnoho semynara po heometryy v „celom”, posvqwennoho 85-letyg so dnq roΩdenyq akademyka A.2V.2Pohorelova2/ http://www.ilt.kharkov.ua/bvi/structure/depart_r/d21 /2004/main.htm. 2. Aleksandrov A. V. Ob odnom klasse zamknut¥x poverxnostej // Mat. sb. – 1938. – 4(46), # 1. – S.269 – 77. 3. Pohorelov A. V. Odnoznaçnaq opredelennost\ obwyx v¥pukl¥x poverxnostej // Dokl. AN SSSR. – 1951. – 79, # 5. – S.2739 – 742. 4. Hagbov H. N. Odnoznaçnaq opredelennost\ poverxnostej v prostranstve Lobaçevskoho // Nauçn. trud¥ Taßkent. un-ta. – 1970. – 394. – S.252 – 62. 5. Danelyç Y. A. Odnoznaçnaq opredelennost\ nekotor¥x v¥pukl¥x poverxnostej v prost- ranstve Lobaçevskoho // Dokl. AN SSSR. – 1957. – 115, # 2. – S.2217 – 219. 6. Mylka A. D. Odnoznaçnaq opredelennost\ obwyx zamknut¥x v¥pukl¥x poverxnostej v prostranstve Lobaçevskoho // Ukr. heom. sb. – 1980. – 23. – S.299 – 107. 7. Pohorelov A. V. Vneßnqq heometryq v¥pukl¥x poverxnostej. – M.: Nauka, 1969. – 759 s. 8. Hromov M. L., Roxlyn V. A. VloΩenyq y pohruΩenyq v rymanovoj heometryy // Uspexy mat. nauk. – 1970. – 25, # 5. – S.23 – 62. 9. Pohorelov A. V. Prymer dvumernoj rymanovoj metryky, ne dopuskagwej lokal\noj realy- zacyy v E3 // Dokl. AN SSSR. – 1971. – 198, # 1. – S.242 – 43. 10. Fomenko V. T. O Ωestkoj y odnoznaçnoj opredelennosty zamknut¥x poverxnostej roda p ≥ 1 v rymanovom prostranstve // Tam Ωe. – 1973. – 213, # 1. – S.245 – 50. 11. Fomenko V. T. Ob odnoznaçnoj opredelennosty zamknut¥x poverxnostej roda p ≥ 1 v prostranstve postoqnnoj kryvyzn¥ // Mat. zametky. – 1974. – 16, # 3. – S.2441 – 445. 12. Amynov G. A. O hrassmanovom obraze dvumernoj poverxnosty v çet¥rexmernom evklydovom prostranstve // Ukr. heom. sb. – 1980. – 23. – S.23 – 16. 13. Amynov G. A. Opredelenye poverxnosty v E4 po zadannomu hrassmanovu obrazu // Mat. sb. – 1982. – 117, # 2. – S.2147 – 160. 14. Weiner J. L. The Gauss map for surfaces in 4-space // Math. Ann. – 1984. – 269, # 4. – P. 541 – 560. 15. Hor\kav¥j V. A. O vosstanovlenyy podmnohoobrazyq v evklydovom prostranstve po v¥roΩ- dennomu v lynyg hrassmanovu obrazu // Mat. zametky. – 1996. – 59. – S.2681 – 691. 16. Borysenko A. A. Edynstvennost\ v probleme opredelenyq podmnohoobrazyq v evklydovom prostranstve po eho hrassmanovu obrazu // Tam Ωe. – 1992. – 51. – S.28 – 15. 17. Pohorelov A. V. Rehulqrnoe reßenye n-mernoj problem¥ Mynkovskoho // Dokl. AN SSSR. – 1971. – 199, # 4. – S.2785 – 788. 18. Pohorelov A. V. Mnohomernaq problema Mynkovskoho. – M.: Nauka, 1975. – 95 s. 19. Galabi E. Improper affine hyperspheres of convex type and a generalizations of theorem by Jörgens // Mich. Math. J. – 1958. – 5, # 2. – P. 105 – 126. 20. Pohorelov A. V. O rehulqrnosty obobwenn¥x reßenyj uravnenyq det ( / )∂ ∂ ∂2u x xi j = = φ ( , , , )x x xn1 2 0… > // Dokl. AN SSSR. – 1971. – 200, # 3. – S.2534 – 537. 21. Pohorelov A. V. Zadaça Dyryxle dlq mnohomernoho analoha uravnenyq MonΩa – Ampera // Tam Ωe. – 1971. – 201, # 4. – S.2790 – 793. 22. Pohorelov A. V. Mnohomernoe uravnenye MonΩa – Ampera det zij = φ ( , , , ,z z zn1 … x xn1, , )… . – M.: Nauka, 1988. – 942s. 23. Pohorelov A. V. Odnoznaçnaq opredelennost\ affynno-mynymal\n¥x hyperpoverxnostej // Dokl. AN SSSR. – 1987. – 297, # 6. – S.21315 – 1316. 24. Pohorelov A. V. Zamknut¥e v¥pukl¥e proektyvno-mynymal\n¥e hyperpoverxnosty // Tam Ωe. – 1988. – 298, # 3. – S.2551. 25. Pohorelov A. V. Poln¥e affynno-mynymal\n¥e hyperpoverxnosty // Tam Ωe. – 1988. – 301, # 6. – S.21314 – 1316. 26. Nirenberg L. Rigidity of class of closed surfaces // Nonlinear Problems / Ed. R. E. Langer. – Madison: Univ. Wisconsin Press, 1963. – P. 177 – 193. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8 1130 G. A. AMYNOV 27. Kovaleva H. A. Otsutstvye zamknut¥x asymptotyçeskyx lynyj na trubkax otrycatel\noj haussovoj kryvyzn¥ so vzaymnoodnoznaçn¥m sferyçeskym otobraΩenyem // Fund. y prykl. matematyka. – 1995. – 1, # 4. – S.2953 – 977. 28. Amynov G. A. O neyzhybaemosty zamknut¥x poverxnostej tryhonometryçeskoho typa // Mat. sb. – 1990. – 181, # 12. – S.21710 – 1720. 29. Qhlom Y. M. K çetvertoj probleme Hyl\berta // Problem¥ Hyl\berta. – M.: Nauka, 1969. – S.295 – 100. 30. Pohorelov A. V. Çetvertaq problema Hyl\berta. – M.: Nauka, 1974. – 792s. 31. Buzeman H. Heometryq heodezyçeskyx. – M.: Fyzmathyz, 1962. – 5032s. 32. Pohorelov A. V. Reßenye odnoj problem¥ Buzemana // Dokl. AN SSSR. – 1990. – 314, # 4. – S.2790 – 792. 33. Pogorelov A. V. Busemann regular G-spaces. – Harwood Acad. Publ., 1998. – 102 p. 34. Pohorelov A. V. Ob ustojçyvosty mynymal\n¥x poverxnostej // Dokl. AN SSSR. – 1981. – 260, # 2. – S.2293 – 295. 35. Lyfßyc Y. M., Pohorelov A. V. Ob opredelenyy poverxnosty Fermy y skorostej πlektro- nov v metalle po oscyllqcyqm mahnytnoj vospryymçyvosty // Tam Ωe. – 1954. – 96, # 6. – S.21143 – 1145. 36. Pohorelov A. V. Ob odnoj probleme Stokera // Tam Ωe. – 2002. – 385, # 1. – S.225 – 27. 37. Aleksandrov V. A., Arnol\d V. Y., Borysenko A. A. y dr. Aleksej Vasyl\evyç Pohorelov // Uspexy mat. nauk. – 2003. – 58, # 3. – S.2173 – 175. Poluçeno 31.01.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 8

О геометрических работах А. В. Погорелова

Репозитарії

Схожі ресурси