Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы

Одержано розвинення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами в матричні степеневі добутки з від'ємними показниками степенів та довільними додатними параметрами. Показано, що швидкість збіжності цих розвинень залежить від параметра. На основі запропонованих розвинень побудовано та д...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автори:	Сергиенко, И.В., Галба, Е.Ф., Дейнека, В.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний журнал
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172485
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 9. — С. 1269–1289. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-172485
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1724852020-11-19T13:31:09Z Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С. Статті Одержано розвинення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами в матричні степеневі добутки з від'ємними показниками степенів та довільними додатними параметрами. Показано, що швидкість збіжності цих розвинень залежить від параметра. На основі запропонованих розвинень побудовано та досліджено ітераційні методи з квадратичною швидкістю збіжності для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Ітераційні методи для обчислення зважених нормальних псевдорозв'язків адаптовано для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями. We obtain expansions of weighted pseudoinverse matrices with singular weights into matrix power products with negative exponents and arbitrary positive parameters. We show that the rate of convergence of these expansions depends on a parameter. On the basis of the proposed expansions, we construct and investigate iteration methods with quadratic rate of convergence for the calculation of weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions. Iteration methods for the calculation of weighted normal pseudosolutions are adapted to the solution of least-squares problems with constraints. 2007 Article Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 9. — С. 1269–1289. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172485 512.64:519.61 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С. Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы Український математичний журнал
description	Одержано розвинення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами в матричні степеневі добутки з від'ємними показниками степенів та довільними додатними параметрами. Показано, що швидкість збіжності цих розвинень залежить від параметра. На основі запропонованих розвинень побудовано та досліджено ітераційні методи з квадратичною швидкістю збіжності для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Ітераційні методи для обчислення зважених нормальних псевдорозв'язків адаптовано для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями.
format	Article
author	Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С.
author_facet	Сергиенко, И.В. Галба, Е.Ф. Дейнека, В.С.
author_sort	Сергиенко, И.В.
title	Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы
title_short	Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы
title_full	Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы
title_fullStr	Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы
title_full_unstemmed	Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы
title_sort	разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172485
citation_txt	Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы / И.В. Сергиенко, Е.Ф. Галба, В.С. Дейнека // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 9. — С. 1269–1289. — Бібліогр.: 27 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv razloženievzvešennyhpsevdoobratnyhmatricsvyroždennymivesamivmatričnyestepennyeproizvedeniâiiteracionnyemetody AT galbaef razloženievzvešennyhpsevdoobratnyhmatricsvyroždennymivesamivmatričnyestepennyeproizvedeniâiiteracionnyemetody AT dejnekavs razloženievzvešennyhpsevdoobratnyhmatricsvyroždennymivesamivmatričnyestepennyeproizvedeniâiiteracionnyemetody
first_indexed	2025-07-15T08:47:33Z
last_indexed	2025-07-15T08:47:33Z
_version_	1837702058418896896
fulltext	UDK 512.64 : 519.61 Y. V. Serhyenko, E. F. Halba, V. S. Dejneka (Yn-t kybernetyky NAN Ukrayn¥, Kyev) RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC S VÁROÛDENNÁMY VESAMY V MATRYÇNÁE STEPENNÁE PROYZVEDENYQ Y YTERACYONNÁE METODÁ The expansion of weighted pseudoinverse matrices with singular weights into matrix power products with negative exponents and arbitrary positive parameters is obtained. It is shown that a rate of convergence of such expansions depends on a parameter. On the basis of the proposed expansions, iteration methods with a quadratic rate of convergence are constructed and investigated. These methods can be used to calculate weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudosolutions. Iteration methods for the calculation of weighted normal pseudosolutions are adapted to solving least- square problems with constraints. OderΩano rozvynennq zvaΩenyx psevdoobernenyx matryc\ z vyrodΩenymy vahamy v matryçni stepenevi dobutky z vid’[mnymy pokaznykamy stepeniv ta dovil\nymy dodatnymy parametramy. Pokazano, wo ßvydkist\ zbiΩnosti cyx rozvynen\ zaleΩyt\ vid parametra. Na osnovi zapropono- vanyx rozvynen\ pobudovano ta doslidΩeno iteracijni metody z kvadratyçnog ßvydkistg zbiΩ- nosti dlq obçyslennq zvaΩenyx psevdoobernenyx matryc\ i zvaΩenyx normal\nyx psevdoroz- v’qzkiv. Iteracijni metody dlq obçyslennq zvaΩenyx normal\nyx psevdorozv’qzkiv adaptovano dlq rozv’qzuvannq zadaç najmenßyx kvadrativ z obmeΩennqmy. Vvedenye. Opredelenye vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy vperv¥e b¥lo vvedeno v rabote [1]. V πtoj Ωe rabote opredelen¥ uslo- vyq, pry kotor¥x suwestvuet edynstvennoe reßenye system¥ matryçn¥x urav- nenyj, s pomow\g kotoroj opredelqetsq vzveßennaq psevdoobratnaq matryca s v¥roΩdenn¥my vesamy. PryloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc pry reßenyy razlyçn¥x zadaç ukazan¥ v rabote [2]. Na osnovanyy provedenn¥x ys- sledovanyj v nastoqwej rabote ostanovymsq tol\ko na voprose pryloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc dlq reßenyq zadaç naymen\ßyx kvadratov s ohranyçenyqmy. K πtym zadaçam pryxodqt pry matematyçeskom modelyrova- nyy processov v razlyçn¥x predmetn¥x oblastqx: fyzyke, πkonomyke, obwest- ve:[3]. V rabote [2] poluçen¥ razloΩenyq vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s poloΩytel\no-opredelenn¥my vesamy v matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq kak s poloΩytel\n¥my, tak y s otrycatel\n¥my pokazatelqmy stepenej. V cytyruemoj rabote ukazan¥ puty postroenyq yteracyonn¥x processov dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s poloΩytel\no-opredelen- n¥my vesamy. RazloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s otrycatel\- n¥my pokazatelqmy stepenej predlahalys\ y yssledovalys\ bez yspol\zovanyq parametrov dlq yzmenenyq skorosty sxodymosty matryçn¥x stepenn¥x proyzve- denyj. V nastoqwej rabote dlq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩ- denn¥my vesamy predlahagtsq y yssledugtsq yx razloΩenyq v beskoneçn¥e matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq s otrycatel\n¥my pokazatelqmy stepenej y proyzvol\n¥my poloΩytel\n¥my parametramy. Ustanovlena zavysymost\ sko- rosty sxodymosty predloΩenn¥x razloΩenyj ot parametrov. Na osnovanyy po- luçenn¥x razloΩenyj postroen¥ y yssledovan¥ yteracyonn¥e process¥ dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc y vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj s v¥roΩdenn¥my vesamy. Pokazano, çto yteracyonn¥e process¥ sxodqtsq s kvadratyçnoj skorost\g sxodymosty, znamenatel\ kotoroj v znaçy- tel\noj stepeny zavysyt ot v¥bora parametra. Postroenn¥e yteracyonn¥e process¥ dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj s v¥roΩden- n¥my vesamy adaptyrovan¥ dlq reßenyq zadaç naymen\ßyx kvadratov s ohrany- çenyqmy. Otmetym, çto nekotor¥e yz svojstv razloΩenyj vzveßenn¥x psevdo- obratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy, no bez yspol\zovanyq parametrov © Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA, 2007 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1269 1270 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA dlq yzmenenyq skorosty sxodymosty, yssledovan¥ v rabote [4]. ∏ty rezul\tat¥ yspol\zovan¥ v nastoqwej stat\e pry yssledovanyy svojstv matryçn¥x stepenn¥x proyzvedenyj s parametramy y sxodymosty yteracyonn¥x processov. Stat\q sostoyt yz pqty punktov. V pervom punkte pryvodqtsq y yssledugt- sq neobxodym¥e dlq dal\nejßeho yzloΩenyq svojstva symmetryzuem¥x y vzve- ßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy. Vo vtorom punkte stroqtsq y yssledugtsq razloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥- roΩdenn¥my vesamy v beskoneçn¥e matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq s otry- catel\n¥my pokazatelqmy stepenej y proyzvol\n¥my poloΩytel\n¥my para- metramy. Yssledovan vopros vlyqnyq parametrov na sxodymost\ matryçn¥x stepenn¥x proyzvedenyj. V tret\em punkte na osnove razloΩenyj vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc v matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq predlahagtsq y yssledugtsq yteracyonn¥e process¥ dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdoobrat- n¥x matryc, a v çetvertom — dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x normal\n¥x psevdo- reßenyj s v¥roΩdenn¥my vesamy. Pqt¥j punkt posvqwen adaptacyy yteracy- onn¥x processov v¥çyslenyq vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj dlq re- ßenyq zadaç naymen\ßyx kvadratov s ohranyçenyqmy. 1. Opredelenyq, yzvestn¥e fakt¥ y vspomohatel\n¥e utverΩdenyq. Otmetym, çto v dal\nejßem vezde predpolahaetsq vewestvennost\ yspol\zue- m¥x skalqrov, vektorov, matryc y prostranstv. Vvedem neobxodym¥e dlq dal\- nejßeho yzloΩenyq oboznaçenyq y opredelenyq. Pust\ R m × n — mnoΩestvo dejstvytel\n¥x matryc razmera m × n. Pryvedem opredelenye vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy [1]. Pust\ A ∈ Rm × n , X ∈ Rn × m , B ∈ Rm × m y C ∈ Rn × n — symmetryçn¥e poloΩytel\no-poluopredelenn¥e matryc¥. Tohda vzveßennaq psevdoobratnaq matryca dlq matryc¥ A opredelqetsq kak matryca X = ABC + , udovletvo- rqgwaq çet¥rem uslovyqm: A X A = A, X A X = X, ( B A X ) T = B A X, ( X A C ) T = X A C. (1.1) Tam Ωe ustanovleno, çto systema matryçn¥x uravnenyj (1.1) ymeet edynstven- noe reßenye tohda y tol\ko tohda, kohda v¥polnqgtsq sledugwye sootnoße- nyq dlq ranhov matryc: rank ( B A ) = rank ( A ), rank ( A C ) = rank ( A ), (1.2) hde rank ( L ) — ranh matryc¥ L. Çerez AEE + budem oboznaçat\ psevdoobratnug matrycu Mura – Penrouza [5, 6] k matryce A, kotoraq opredelqetsq kak edynstvennaq matryca, udovletvorq- gwaq uslovyqm (1.1) pry B = C = E, hde E — edynyçnaq matryca. Oboznaçym çerez R n n-mernoe vektornoe prostranstvo nad polem dejstvy- tel\n¥x çysel, hde vektor¥ sut\ matryc¥ razmera n × 1. Pust\ H — symmet- ryçnaq poloΩytel\no-opredelennaq yly Ωe poloΩytel\no-poluopredelennaq matryca. Çerez R n ( H ) budem oboznaçat\ evklydovo prostranstvo v sluçae po- loΩytel\no-opredelennoj metryky yly Ωe psevdoevklydovo v sluçae neotry- catel\noj metryky, vvedennoj skalqrn¥m proyzvedenyem ( u, v ) H = ( H u, v ) E , hde ( u, v ) E = uT v. Normu (polunormu) v R n ( H ) vvedem sootnoßenyem \|\| u \|\| H = = ( )u u H, /1 2 . V sluçae poloΩytel\no-poluopredelennoj matryc¥ H çerez R n H( ) ⊂ Rn ( H ) y R R n EE n EEH H( ) ⊂ ( )+ + budem oboznaçat\ podprostranstvo vek- torov u, udovletvorqgwyx uslovyg ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1271 H H uEE 1 2 1 2/ /+ = u, (1.3) hde oboznaçeno H HEE EE + += ( )1 2 1 2/ / . V dal\nejßem dlq poloΩytel\no-poluopredelenn¥x matryc H budem ys- pol\zovat\ oboznaçenye H HEE p p EE + += ( ) , hde p — celoe yly drobnoe çyslo. MnoΩestvo vektorov, udovletvorqgwyx uslovyg (1.3), nepusto. Dejstvy- tel\no, tak kak H HEE 1 2 1 2/ /+ — proekcyonnaq matryca, mnoΩestvo (1.3) qvlqetsq obrazom πtoj matryc¥. Poskol\ku nul\-prostranstva matryc H, HEE + y H HEE 1 2 1 2/ /+ sovpadagt [7], polunorm¥ ⋅ H , ⋅ +HEE dlq vektorov v R n ( H ), R n EEH( )+ stanovqtsq normamy v R n H( ), Rn EEH( )+ . Opredelym normu prqmouhol\noj matryc¥ [8]. Pust\ A ≠ 0 ∈ Rm × n , H — symmetryçnaq poloΩytel\no-opredelennaq yly poloΩytel\no-poluoprede- lennaq matryca porqdka m, V — symmetryçnaq poloΩytel\no-opredelennaq yly poloΩytel\no-poluopredelennaq matryca porqdka n, x — proyzvol\n¥j vektor yz R n . Predpolahaem v¥polnenye uslovyj rank ( H A ) = rank ( A ), rank ( A V ) = rank ( A ). (1.4) Esly H y V — poloΩytel\no-opredelenn¥e matryc¥, to uslovyq (1.4) zave- domo v¥polnqgtsq. Dlq mnoΩestva matryc A, udovletvorqgwyx (1.4), normu vvedem sootnoße- nyem A H AVx xHV x E E m n = ≠ sup / 0 1 2 , (1.5) hde x ∈ Rn , a nyΩnyj yndeks pry edynyçnoj matryce oznaçaet ee razmernost\. Pry takom opredelenyy norma matryc¥ A A VA HAVHV T= ( )[λmax /]1 2 , (1.6) hde λmax( )L — maksymal\noe sobstvennoe znaçenye matryc¥ L. V [8] pokazano, çto funkcyq ⋅ HV , opredelennaq formuloj (1.5), pry v¥- polnenyy uslovyj (1.4) qvlqetsq addytyvnoj matryçnoj normoj. Esly uslovyq (yly odno yz uslovyj) (1.4) ne v¥polnqgtsq, to formula (1.5) opredelqet polu- normu matryc¥ A. Pust\ A ∈ Rm × p , B ∈ Rp × n , H y V — matryc¥, opredelenn¥e v¥ße, M — symmetryçnaq poloΩytel\no-poluopredelennaq matryca porqdka p, udovlet- vorqgwaq odnomu yz uslovyj AMM AM MEE EE + += = A, MM B M MBEE EE + += = B. (1.7) Tohda (sm. [8, 9]) AB A BHV HM M VEE ≤ + 2 . (1.8) Teper\ opredelym matryçnug normu dlq kvadratnoj matryc¥ [10]. Pust\ A ≠ 0 — proyzvol\naq kvadratnaq matryca porqdka n , a H — symmetryçnaq poloΩytel\no-poluopredelennaq matryca toho Ωe porqdka, kotor¥e udovlet- vorqgt uslovyqm rank ( H A ) = rank ( A ), rank ( A H ) = rank ( A ). (1.9) Normu matryc¥ A opredelym sootnoßenyem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1272 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA A Ax x H AH H x H xH x H H x EE E E = = ≠ ≠ + sup sup / / / / 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 , (1.10) hde x — proyzvol\n¥j vektor yz R n H( ). Pry takom opredelenyy norma matryc¥ A A H A HAHH EE T EE= ( )[ + +λmax / / /]1 2 1 2 1 2 . (1.11) Pust\ A y B — kvadratn¥e matryc¥ odnoho porqdka, pryçem dlq matryc¥ B v¥polnqetsq uslovye H H BEE +1 2 1 2/ / = B, hde H — symmetryçnaq poloΩytel\- no-poluopredelennaq matryca toho Ωe porqdka, çto y matryc¥ A y B . Toh- da:[9, 10] AB A BH H H≤ , (1.12) t. e. funkcyq ⋅ H , opredelennaq formuloj (1.10), pry v¥polnenyy πtoho us- lovyq qvlqetsq mul\typlykatyvnoj matryçnoj normoj. Yz (1.10) sleduet Ax A xH H H≤ , x ∈ R n H( ), (1.13) t. e. vvedennaq sootnoßenyem (1.10) matryçnaq norma sohlasovana s vektornoj normoj. Zameçanye 1.1. Yz (1.6) y (1.11) sleduet, çto vvedennaq sootnoßenyem (1.10) matryçnaq norma dlq kvadratn¥x matryc, udovletvorqgwyx uslovyqm (1.9), qvlqetsq çastn¥m sluçaem matryçnoj norm¥, vvedennoj dlq prqmouhol\- n¥x matryc, kotor¥e udovletvorqgt uslovyqm (1.4), formuloj (1.5), esly v poslednej poloΩyt\, çto A qvlqetsq kvadratnoj matrycej, V = HEE +1 2/ y x ∈ ∈ R n H( ). Poπtomu dlq norm¥ A H , vvedennoj sootnoßenyem (1.10), moΩno pol\zovat\sq oboznaçenyem A HHEE +1 2/ . Opredelym symmetryzuem¥e matryc¥ s poloΩytel\no-poluopredelenn¥my symmetryzatoramy [10]. Opredelenye 1.1. Kvadratnug matrycu U budem naz¥vat\ symmetryzue- moj sleva yly sprava s pomow\g symmetryçn¥x poloΩytel\no-poluopredelen- n¥x matryc M y N, esly v¥polnqgtsq sootvetstvenno uslovyq M U = UT M, rank ( M U ) = rank ( U ), (1.14) U N = N UT, rank ( U N ) = rank ( U ). (1.15) Yspol\zuq uslovyq (1.2), moΩno pokazat\, çto rank ( B A X ) = rank ( A X ) , rank ( X A C ) = rank ( X A ) . Tohda tret\e uslovye v (1.1) vmeste s perv¥m uslovyem v (1.2) y çetvertoe uslo- vye v (1.1) vmeste so vtor¥m uslovyem v (1.2) budut sootvetstvenno oznaçat\, çto matryca A X symmetryzuema sleva symmetryzatorom B, a matryca X A symmet- ryzuema sprava symmetryzatorom C. V rqde rabot opredelqlys\ symmetryzuem¥e matryc¥ y yzuçalys\ yx svoj- stva (sm., naprymer, [11 – 14]). Kratkaq xarakterystyka πtyx rabot pryvedena v stat\e [9]. Zameçanye 1.2. V nastoqwej rabote budem pol\zovat\sq opredelenyem 1.1 dlq symmetryzuem¥x matryc s v¥roΩdenn¥my symmetryzatoramy. No dlq neko- tor¥x utverΩdenyj net neobxodymosty v v¥polnenyy vtor¥x uslovyj v (1.14), (1.15) (uslovyj na ranhy matryc). ∏ty sluçay budut otmeçen¥ v stat\e. V rabote [8] yzuçalys\ svojstva matryc¥-proyzvedenyq symmetryzuemoj sprava matryc¥ v¥roΩdenn¥m symmetryzatorom na proyzvol\nug prqmouhol\- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1273 nug matrycu, a v rabote [9] — svojstva matryc¥-proyzvedenyq proyzvol\noj prqmouhol\noj matryc¥ na symmetryzuemug sleva matrycu v¥roΩdenn¥m sym- metryzatorom. Rezul\tat¥ πtyx yssledovanyj budut yspol\zovan¥ pry usta- novlenyy skorosty sxodymosty yteracyonn¥x processov. Sformulyruem yx v vyde lemm. Lemma 1.1. Pust\ matryca Y ∈ Rn × m udovletvorqet uslovyg C C YEE 1 2 1 2/ /+ = Y, (1.16) L ∈ Rn × n — matryca, udovletvorqgwaq uslovyqm C C LEE 1 2 1 2/ /+ = L, (1.17) L C = C LT, rank ( L C ) = rank ( L ), (1.18) L Y — matryca, udovletvorqgwaq pervomu uslovyg v (1.4) s H = CEE + , hde C — symmetryçnaq poloΩytel\no-poluopredelennaq matryca porqdka n, V — symmetryçnaq poloΩytel\no-opredelennaq yly poloΩytel\no-poluopredelen- naq matryca porqdka m , udovletvorqgwaq vtoromu uslovyg v (1.4) dlq matryc¥ L Y. Tohda dlq matryc¥ L Y ≠ 0 ymeet mesto sootnoßenye LY L Y L YC V C C C V C VEE EE EE EE + + + +≤ = ( )1 2/ ρ , (1.19) hde ρ ( L ) — spektral\n¥j radyus matryc¥ L. Lemma 1.2. Pust\ matryca Y ∈ Rn × m udovletvorqet uslovyg YB BEE 1 2 1 2/ /+ = Y, (1.20) L ∈ Rm × m — matryca, udovletvorqgwaq uslovyqm LB BEE +1 2 1 2/ / = L, (1.21) B L = LT B, rank ( B L ) = rank ( L ), (1.22) Y L — matryca, udovletvorqgwaq vtoromu uslovyg v (1.4) s V = BEE +1 2/ , hde B — symmetryçnaq poloΩytel\no-poluopredelennaq matryca porqdka m, H — proyzvol\naq symmetryçnaq poloΩytel\no-opredelennaq yly Ωe poloΩy- tel\no-poluopredelennaq matryca porqdka n, udovletvorqgwaq pervomu us- lovyg v (1.4) dlq matryc¥ Y L. Tohda dlq matryc¥ Y L ymeet mesto sootnoßenye YL Y L L YHB HB BB HBEE EE EE EE + + + +≤ = ( )1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /ρ . (1.23) Sohlasno opredelenyg 1.1, ravenstva (1.18) oznaçagt, çto matryca L sym- metryzuema sprava symmetryzatorom C, a ravenstva (1.22) — çto matryca L symmetryzuema sleva symmetryzatorom B. Dlq poluçenyq formul razloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc v matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq budem yspol\zovat\ predstavlenye vzve- ßenn¥x psevdoobratn¥x matryc v termynax koπffycyentov xarakterystyçes- kyx mnohoçlenov symmetryzuem¥x matryc, poluçennoe v rabote [15], hde pokaza- no, çto matryca ABC + , udovletvorqgwaq uslovyqm (1.1), (1.2), predstavyma v vyde A CSA BBC T+ = , (1.24) hde S = f ( AT B A C ) — mnohoçlen ot matryc¥ AT B A C. V πtoj rabote takΩe pokazano, çto ymegt mesto ravenstva ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1274 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA SA BACA A BACSA AT T T T T= = , (1.25) a v rabote [8] — spravedlyvost\ ravenstv A BAA A BT BC T+ = , A ACA B CA BBC T T+ = . (1.26) Pry dokazatel\stve sxodymosty yteracyonn¥x processov budut yspol\zova- n¥ svojstva symmetryzuem¥x matryc, kotor¥e ustanavlyvagt sledugwye lem- m¥, dokazann¥e v rabote [4]. Lemma 1.3. Pust\ dlq kvadratn¥x nev¥roΩdenn¥x matryc A y B v¥pol- nqgtsq ravenstva C A = AT C, B C = C BT , (1.27) hde C — symmetryçnaq poloΩytel\no-opredelennaq yly poloΩytel\no-polu- opredelennaq matryca. Tohda πty Ωe ravenstva v¥polnqgtsq dlq matryc A– 1 y B– 1 sootvetstvenno. Lemma 1.4. Pust\ A y B — symmetryzuem¥e sleva (sprava) matryc¥ odnym y tem Ωe v¥roΩdenn¥m symmetryzatorom. Dlq toho çtob¥ matryca A B yly B A b¥la symmetryzuema sleva ( sprava) tem Ωe symmetryzatorom, neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ matryc¥ A y B b¥ly perestanovoçn¥. Sledstvye 1.1. Yz dokazatel\stva lemm¥ 1.4 (sm. [4]) sleduet, çto esly symmetryzuem¥e sleva (sprava) odnym y tem Ωe symmetryzatorom matryc¥ A y B kommutyrugt, to dlq toho çtob¥ matryca A B yly B A b¥la sym- metryzuema sleva (sprava) tem Ωe symmetryzatorom (v sm¥sle opredelenyq 1.1), dostatoçno v¥polnenyq uslovyq na ranh tol\ko dlq odnoj yz matryc A yly B. Sledstvye 1.2. Yz dokazatel\stva lemm¥ 1.4 (sm. [4]) sleduet, çto esly matryc¥ A y B symmetryzuem¥ sleva (sprava) odnym y tem Ωe symmetry- zatorom bez v¥polnenyq uslovyj na ranhy matryc (vtor¥x uslovyj v (1.14), (1.15)), to dlq toho çtob¥ matryca A B yly B A b¥la symmetryzuema sleva (sprava) tem Ωe symmetryzatorom bez v¥polnenyq uslovyj na ranhy πtyx matryc (vtor¥x uslovyj v (1.1.4), (1.15)), neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ matryc¥ A y B b¥ly perestanovoçn¥. Lemma 1.5. Dlq symmetryzuemoj sleva matryc¥ symmetryçnoj poloΩy- tel\no-poluopredelennoj matrycej B pry v¥polnenyy uslovyq LB BEE +1 2 1 2/ / = L (1.28) ymeet mesto ravenstvo L L L L Ln B n BB B n BB n n EE EE ≡ = ≡ = ( )+ + [ ]1 2 1 2/ / ρ , n = 1, 2, … , (1.29) a dlq symmetryzuemoj sprava matryc¥ L symmetryçnoj poloΩytel\no-polu- opredelennoj matrycej C pry v¥polnenyy uslovyq C C LEE 1 2 1 2/ /+ = L (1.30) ymeet mesto ravenstvo L L L L Ln C n C C C n C C n n EE EE EE EE + + + +≡ = ≡ = ( )[ ]1 2 1 2/ / ρ , n = 1, 2, … . (1.31) Pry yssledovanyy yteracyonn¥x processov budut yspol\zovan¥ razloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v matryçn¥e ste- penn¥e rqd¥ s otrycatel\n¥my pokazatelqmy stepenej y proyzvol\n¥my polo- Ωytel\n¥my parametramy, kotor¥e ustanavlyvaet sledugwaq lemma. Lemma 1.6. Dlq proyzvol\noj matryc¥ A ∈ Rm × n , symmetryçn¥x poloΩy- tel\no-poluopredelenn¥x matryc B ∈ Rm × m y C ∈ Rn × n , udovletvorqgwyx ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1275 uslovyqm (1.2), y dlq dejstvytel\noho çysla 0 < α < ∞ ymegt mesto sledug- wye razloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v matryçn¥e stepenn¥e rqd¥: A E CA BA CA BBC T k T k + − = ∞ = ( + )∑α α 1 , (1.32) A CA B E ACA BBC T T k k + − = ∞ = ( + )∑α α 1 . (1.33) Dokazatel\stvo spravedlyvosty razloΩenyj (1.32), (1.33) analohyçno doka- zatel\stvu πtyx razloΩenyj pry α ≡ 1 v rabote [10]. Pry yssledovanyy yteracyonn¥x processov potrebugtsq sledugwye utver- Ωdenyq. Lemma 1.7. Ranhy matryc AABC + y ACA BT sovpadagt. Lemma 1.7 lehko ustanavlyvaetsq po analohyy s dokazatel\stvom lemm¥ 4 yz [9] otnosytel\no ravenstva ranhov matryc, svqzann¥x so vzveßennoj psevdo- ynversyej. Lemma 1.8. Matryc¥ AABC + y ACA BT kommutyrugt, ymegt polnug obwug systemu sobstvenn¥x vektorov y obwee nul\-prostranstvo. Dokazatel\stvo. Matryca AABC + predstavyma v vyde mnohoçlena [9] AA f ACA B ACA B ACA B ACA BBC T k T k T k k T+ − − −= ( ) = − ( ) + ( ) + … +[ ]α α α1 1 1 1 , (1.34) otkuda y sleduet perestanovoçnost\ matryc AABC + y ACA BT . PokaΩem, çto matryc¥ AABC + y ACA BT ymegt polnug obwug systemu sobstvenn¥x vektorov y yx nul\-prostranstva sovpadagt. Poskol\ku sohlasno (1.34) matryca AABC + predstavyma v vyde mnohoçlena ot matryc¥ ACA BT , ona ymeet te Ωe sobstvenn¥e vektor¥, çto y matryca ACA BT [16]. Tak kak matry- ca AABC + ydempotentna, ona qvlqetsq matrycej prostoj struktur¥ [17] y, sle- dovatel\no, ymeet m lynejno nezavysym¥x sobstvenn¥x vektorov. Tohda mat- ryc¥ AABC + y ACA BT ymegt obwug polnug systemu sobstvenn¥x vektorov. V sylu pervoho ravenstva yz (1.26) ymeem ACA BT = ACA BAAT BC + , otkuda sleduet, çto sobstvenn¥e vektor¥, sootvetstvugwye nulevomu sobstvennomu znaçenyg matryc¥ AABC + , budut sobstvenn¥my vektoramy, sootvetstvugwymy nulevomu sobstvennomu znaçenyg matryc¥ ACA BT . V lemme 1.7 otmeçeno ra- venstvo ranhov matryc AABC + y ACA BT . Tohda, poskol\ku dlq lgboj matryc¥ L ∈ Rm × m ymeet mesto ravenstvo dim ( N ( L ) ) = m – rank ( L ) (sm. [18]), matryc¥ AABC + y ACA BT ymegt obwee nul\-prostranstvo. Lemma 1.8 dokazana. Pust\ A x = f, x ∈ Rn, f ∈ Rm , (1.35) — systema lynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj (SLAU) s proyzvol\noj matry- cej A ∈ Rm × n . Opredelenye 1.2. Vektor x+ , kotor¥j qvlqetsq reßenyem zadaçy: najty min x C Cn EE EE x ∈ ( )+ + R ∩Ω , Ω = Arg min x B n Ax f ∈ − R , (1.36) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1276 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA hde B y CEE + — symmetryçn¥e poloΩytel\no-poluopredelenn¥e matryc¥, budem naz¥vat\ vzveßenn¥m normal\n¥m psevdoreßenyem s v¥roΩdenn¥my ve- samy system¥ (1.35). Takym obrazom, vzveßennoe normal\noe psevdoreßenye s v¥roΩdenn¥my ve- samy system¥ lynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj est\ reßenye po metodu vzveßenn¥x naymen\ßyx kvadratov s mynymal\noj vzveßennoj normoj pry v¥- roΩdenn¥x vesax. Pry πtom πto reßenye prynadleΩyt pereseçenyg mnoΩestva reßenyj po metodu vzveßenn¥x naymen\ßyx kvadratov s v¥roΩdenn¥my vesamy y podprostranstva R n EEC( )+ , t. e. mnoΩestv vektorov, udovletvorqgwyx us- lovyg (1.3) s H = C, hde C — symmetryçnaq poloΩytel\no-poluopredelennaq matryca. Kak ukaz¥valos\ v¥ße, v πtom podprostranstve ⋅ +CEE budet opre- delqt\ normu (a ne polunormu). Zameçanye 1.3. V [10] pokazano, çto zadaça (1.36) ymeet edynstvennoe re- ßenye, kotoroe opredelqetsq vzveßennoj psevdoobratnoj matrycej s v¥roΩ- denn¥my vesamy, opredelennoj uslovyqmy (1.1), (1.2), y pravoj çast\g system¥ (1.35) sohlasno formule x+ = A fBC + . 2. RazloΩenyq v proyzvedenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc. Rassmotrym razloΩenyq v beskoneçn¥e matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq s otrycatel\n¥my pokazatelqmy stepenej vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy. Teorema 2.1. Dlq proyzvol\noj matryc¥ A ∈ Rm × n , symmetryçn¥x polo- Ωytel\no-poluopredelenn¥x matryc B ∈ Rm × m y C ∈ Rn × n , udovletvorqg- wyx uslovyqm (1.2), y dejstvytel\noho çysla 0 < α < ∞ ymegt mesto sledu- gwye razloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy v matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq: A C E C A BACBC T+ −= ( + )α α1 2 1 2 1 2 1/ / / × × { }+ ( + )−( ) = ∞ ∏ E E C A BAC C A BT k T k α 1 2 1 2 2 1 2 0 / / / , (2.1) A E CA BA E E CA BA CA BBC T T k T k + − −( ) = ∞ = ( + ) + ( + ){ }∏α α α1 2 0 , (2.2) A C E A BAC E E A BAC A BBC T T k T k + − −( ) = ∞ = ( + ) + ( + ){ }∏α α α1 2 0 , (2.3) A CA B E B ACA BBC T T+ −= ( + )α α1 2 1 2 1 2 1/ / / × × { }+ ( + )−( ) = ∞ ∏ E E B ACA B BT k k α 1 2 1 2 2 1 2 0 / / / , (2.4) A CA B E ACA B E E ACA BBC T T T k k + − −( ) = ∞ = ( + ) + ( + ){ }∏α α α1 2 0 , (2.5) A CA E BACA E E BACA BBC T T T k k + − −( ) = ∞ = ( + ) + ( + ){ }∏α α α1 2 0 , (2.6) pryçem A A C A BAC ABC BC j C E T j BC C EEE m EE m + + −( ) +− ≤ + ( )+ +[, min * / / ]1 1 2 1 2 2αλ , (2.7) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1277 hde A C E C A BACBC j T , / / /+ −= ( + )α α1 2 1 2 1 2 1 × × { }+ ( + )−( ) = − ∏ E E C A BAC C A BT k T k j α 1 2 1 2 2 1 2 0 1 / / / , j = 1, 2, … , λmin * ( )L — mynymal\noe otlyçnoe ot nulq sobstvennoe znaçenye matryc¥ L. Dokazatel\stvo. Snaçala dokaΩem sootnoßenye (2.1). Oboznaçym L = = C A BACT1 2 1 2/ / , λ i , i = 1, … , n, — sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ L y Λ = = diag ( λi ). Matryca L — symmetryçnaq y poloΩytel\no-poluopredelennaq, tak çto ee sobstvenn¥e znaçenyq dejstvytel\n¥e y neotrycatel\n¥e. Tohda matryca E + α L pry α > 0 nev¥roΩdena. Sledovatel\no, matryca ( + )−( )E L k α 2 suwestvuet. Matryc¥ L, E + α L, ( + )−( )E L k α 2 symmetryçn¥e y ymegt obwug systemu sobstvenn¥x vektorov. Sledovatel\no, dlq nyx ymeet mesto spektral\noe razloΩenye s odnoj y toj Ωe ortohonal\noj matrycej Q. Rassmotrym odyn yz somnoΩytelej matryçnoho stepennoho proyzvedenyq (2.1). Uçyt¥vaq yzloΩennoe v¥ße y ravenstva (1.25), poluçaem α α αC E L E E L C A B k T1 2 1 2 1 2/ /( + ) + ( + )− −( ){ } = = α α αC E L E E L L C S A B k T1 2 1 2 2 1 2 2/ /( + ) + ( + )− −( ){ } = = α α αC Q E Q E Q E Q Q Q C S A BT k T T T1 2 1 2 2 1 2 2/ /( + ) + ( + )− −( ){ }Λ Λ Λ = = α α αC Q E E E Q C S A B k T T1 2 1 2 2 1 2 2/ /( + ) + ( + )− −( ){ }Λ Λ Λ = = α α α α− − −( )( + ) + ( + ) ( ){ }1 1 2 1 2 2 1 2 2C Q E E E Q C S A B k T T/ /Λ Λ Λ . (2.8) Dlq dokazatel\stva teorem¥ 2.1 yspol\zuem toΩdestvo ∏jlera dlq stepen- n¥x çyslov¥x beskoneçn¥x proyzvedenyj [19, 4] x x x x k k ( + ) = −= ∞ ∏ 1 1 2 0 , \| x \| < 1. (2.9) V (2.9) poloΩym x = ( + )−1 1αλi . Poskol\ku dlq λi > 0 çysla ( + )−1 1αλi < 1, pry yspol\zovanyy toΩdestva (2.9) ymeem x x k k i( + ) = ( ) = ∞ −∏ 1 2 0 1αλ , λi > 0. (2.10) Tak kak ( + ) + [( + ) ] ( )− −{ }E E E k α α αΛ Λ Λ1 1 2 2 = = diag { }( + ) [ + (( + ) ) ]( )− −1 1 11 1 2 2αλ αλ αλi i i k , (2.11) to, uçyt¥vaq (2.10), poluçaem ( + ) + [( + ) ] ( ) =− − = ∞ { }∏E E E k k α α α αΛ Λ Λ Λ1 1 2 2 0 . (2.12) Dejstvytel\no, v sylu (2.10) matryçnoe stepennoe proyzvedenye ( + ) + [( + ) ]− − = ∞ { }∏E E E k k α α αΛ Λ Λ1 1 2 0 sxodytsq k dyahonal\noj matryce s πle- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1278 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA mentamy, ravn¥my edynyce pry λi > 0 y nulg pry λ i = 0, otkuda y sleduet (2.12). Na osnovanyy (2.8), (2.12), (1.24) y (1.25) ymeem α α αC E L E E L C A B k T k 1 2 1 2 1 2 0 / /( + ) + ( + )− −( ) = ∞ { }∏ = = C Q Q C S A B C LC S A BT T T1 2 1 2 2 1 2 1 2 2/ / / /Λ = = = CA BACS A B CSA B AT T T BC 2 = = + , t. e. pryxodym k ravenstvu (2.1). Teper\ pokaΩem spravedlyvost\ ocenky (2.7). Analohyçno ravenstvu (2.8) poluçaem α α αC E L E E L C A B k T1 2 1 2 1 2/ /( + ) + ( + )− −( ){ } = = α α αC Q E E E Q C SA B k T T1 2 1 2 1 2/ /( + ) + ( + )− −( ){ }Λ Λ Λ . (2.13) Uçyt¥vaq (2.10), (2.11), analohyçno (2.12) ymeem ravenstvo ( + ) + [( + ) ]− − = ∞ { }∏E E E k k α α αΛ Λ Λ1 1 2 0 = D, (2.14) hde D — dyahonal\naq matryca s πlementamy, ravn¥my edynyce pry λi > 0 y nulg pry λi = 0. Çtob¥ poluçyt\ ocenku (2.7), budem yspol\zovat\ toΩdestvo dlq proyzve- denyq koneçnoho çysla somnoΩytelej toΩdestva (2.9), poluçennoe v [20] (sm. takΩe [4]): x x x k n k n k k ( + ) = = − = ∏ ∑1 2 0 1 1 2 , \| x \| < 1. (2.15) V (2.15) poloΩym x = ( + )−1 1αλi . Tohda v sylu (2.15) pry λi > 0 ymeem x x k j k j i i i( + ) = ( ) − ( + ) = − − −∏ [ ]1 12 0 1 1 2 1αλ αλ αλ , λi > 0. (2.16) Uçyt¥vaq (2.11), (2.16), poluçaem ( + ) + [( + ) ] = − ( + )− − = − −( ){ }∏E E E D D E k j k j α α α αλΛ Λ Λ1 1 2 0 1 2 . (2.17) V sylu (2.13), (2.14) y (2.17) ymeem A A C QD E Q C SA BBC BC j j T T+ + −( )− = ( + ), / /1 2 2 1 2αΛ . Uçyt¥vaq (1.24), ravenstvo C C C CEE 1 2 1 2 1 2 1 2/ / / /+ = y perestanovoçnost\ matryc C1 2/ y CEE +1 2/ , poslednee ravenstvo zapys¥vaem v vyde A A C QD E Q C ABC BC j j T EE BC + + −( ) + +− = ( + ), / /1 2 2 1 2αΛ . (2.18) Çtob¥ pokazat\ spravedlyvost\ ocenky (2.7), budem yspol\zovat\ formulu (1.8), kotoraq ymeet mesto pry v¥polnenyy odnoho yz uslovyj (1.7), formulu (1.6), ortohonal\nost\ matryc¥ Q y to obstoqtel\stvo, çto matryca C CEE +1 2 1 2/ / ydempotentna. Yz (2.18) posledovatel\no poluçaem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1279 A A C QD E Q C ABC BC j C E C E j T EE BC E EEE m EE n n m + + −( ) + +− ≤ ( + )+ +, / /1 2 2 1 2αΛ = = QD E Q C A j T EE BC E En m ( + )−( ) + +αΛ 2 1 2/ ≤ ≤ Q D E Q C AE E j T EE BC E En n n m ( + )−( ) + +αΛ 2 1 2/ = = D E Q C A j T EE BC E En m ( + )−( ) + +αΛ 2 1 2/ ≤ ≤ D E Q C A j E E T EE BC E E n n n m ( + )−( ) + +αΛ 2 1 2/ = = [ ]+ ( ) −( ) + +1 2 1 2αλmin * /L Q C A j n n n m T E E EE BC E E = = [ ]+ ( ) −( ) + + +1 2 1 2 1 2αλmin * / /L C A j n EE m EE E C BC C E = = [ ]+ ( ) −( ) + +1 2αλmin * L A j EE m BC C E , t. e. pryxodym k ocenke (2.7). Dlq dokazatel\stva sootnoßenyj (2.2) – (2.6) budem yspol\zovat\ poluçen- noe v¥ße razloΩenye vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my ve- samy (2.1) y svojstvo psevdoobrawenyq po Muru – Penrouzu dlq proyzvedenyq dvux matryc. Yzvestno (sm., naprymer, [7]), çto dlq proyzvedenyq dvux prqmo- uhol\n¥x proyzvol\n¥x matryc ravenstvo ( ) =+ + +MN N MEE EE EE (2.19) v obwem sluçae ne qvlqetsq vern¥m. V cytyruemoj monohrafyy ukazan¥ neob- xodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq, çtob¥ πto ravenstvo ymelo mesto. Dlq πtoho dolΩn¥ v¥polnqt\sq sootnoßenyq M MNN M NN MEE T T T T+ = , NN M MN M MNEE T T+ = . (2.20) Na osnovanyy (2.20) s proverkoj uslovyj (2.19), ravenstva C A BT1 2/ = LCEE +1 2/ , kotoroe ymeet mesto v sylu (1.25), (1.26), v [4] poluçeno ravenstvo C E L C A B E CA BA CA Bk T T k T1 2 1 2/ /( + ) = ( + )− − , k = 1, 2, … . Analohyçno dlq dannoho sluçaq budem ymet\ C E L C A B E CA BA CA Bk T T k T1 2 1 2/ /( + ) = ( + )− −α α , k = 1, 2, … . (2.21) Tohda, yspol\zuq (2.21), dlq lgboho k = 1, 2, 3, … poluçaem C E L E E L C A B k T1 2 1 2 1 2/ /( + ) + ( + )− −( ){ }α α = = C E L C A B C E L C A BT Tk1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2/ / / /( + ) + ( + )− −( + )α α = = ( + ) + ( + )− −( + )E CA BA CA B E CA BA CA BT T T Tk α α1 2 1 = = ( + ) + ( + )− −( ){ }E CA BA E E CA BA CA BT T k Tα α1 2 . V sylu posledneho ravenstva yz (2.1) poluçym (2.2). Po takoj Ωe sxeme dokaz¥vaetsq sootnoßenye (2.3), dlq çeho yspol\zugtsq formul¥ (2.19), (2.20). Dokazatel\stvo razloΩenyq vzveßennoj psevdoob- ratnoj matryc¥ (2.4) provodytsq analohyçno dokazatel\stvu formul¥ (2.1), dlq:::çeho yspol\zuetsq spektral\noe razloΩenye symmetryçnoj matryc¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1280 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA B ACA BT1 2 1 2/ / y toΩdestvo (2.9). Dokazatel\stvo razloΩenyj (2.5), (2.6) pro- vodytsq analohyçno dokazatel\stvu razloΩenyj (2.2), (2.3). Teorema 2.1 dokazana. V rabote [4] poluçena formula (2.1) pry α ≡ 1. Yz formul¥ (2.7) sleduet, çto matryçnoe stepennoe proyzvedenye pry α > 1 sxodytsq b¥stree, çem to Ωe proyzvedenye pry α = 1 k vzveßennoj psevdoobratnoj matryce s v¥roΩden- n¥my vesamy, a pry α < 1 — medlennee. ∏ta ynformacyq qvlqetsq poleznoj pry postroenyy y realyzacyy yteracyonn¥x processov na osnove matryçn¥x stepenn¥x proyzvedenyj dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc y vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj s v¥roΩdenn¥my vesamy. Poslednee budet pokazano pry yssledovanyy yteracyonn¥x processov v punktax 3 y 4. Zameçanye 2.1. Pust\ v formule (2.7) j = 1, tohda ona prynymaet vyd A C E C A BAC C A BBC T k T k C EEE m + − = − ( + )∑ + α α1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 / / / / ≤ ≤ [ ]+ ( ) − + +1 1 2 1 2 2αλmin * / /C A BAC AT BC C EEE m , otkuda sleduet, çto lim / / / / α α α →∞ − = +( + ) =∑C E C A BAC C A B AT k T k BC 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , t. e. poluçaem predel\noe predstavlenye vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy. Teper\ obosnuem matryçn¥e toΩdestva, kotor¥e qvlqgtsq nekotor¥my mat- ryçn¥my analohamy çyslovoho toΩdestva (2.15). Ony budut yspol\zovan¥ v punktax 3 y 4 pry yssledovanyy yteracyonn¥x processov. Lemma 2.1. Dlq proyzvol\noj matryc¥ A ∈ Rm × n , symmetryçn¥x poloΩy- tel\no-poluopredelenn¥x matryc B y C takyx, çto CA BAT suwestvuet, y dejstvytel\noho çysla 0 < α < ∞ ymeet mesto toΩdestvo ( + ) + ( + )− −( ) = − { }∏E CA BA E E CA BA CA BT T k T k n α α1 2 0 1 = = ( + )− = ∑ E CA BA CA BT k T k n α 1 2 . (2.22) Dokazatel\stvo. Oboznaçym çerez λi , i = 1, … , n, sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ L = C A BACT1 2 1 2/ / y Λ = diag ( λi ). Poskol\ku E + [( + ) ]−E k αΛ 1 2 = = diag }{ + [( + ) ]−1 1 1 2αλi k , çyslo ( + )−1 1λi < 1 pry λi > 0, a toΩdestvo (2.15) ymeet mesto pry x = 1 dlq lgboho n < ∞, v sylu (2.15) ymeem ( + ) + ( + ) = ( + )− −( ) = − − = { }∏ ∑E E E E k k n k k n α α αΛ Λ Λ1 2 0 1 1 2 . (2.23) UmnoΩym pravug y levug çasty ravenstva (2.23) sleva na C Q1 2/ , a sprava na Q C A BT T1 2/ , hde Q — ortohonal\naq matryca v spektral\nom razloΩenyy matryc¥ L. V rezul\tate poluçym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1281 C E L E E L C A B k T k n 1 2 1 2 1 2 0 1 / /( + ) + ( + )− −( ) = − { }∏α α = = C E L C A Bk k T n 1 2 1 2 1 2/ /( + )− = ∑ α . (2.24) V sylu (2.21) yz (2.24) sleduet (2.22), t. e. utverΩdenye lemm¥ 2.1. Lemma 2.2. Dlq proyzvol\noj matryc¥ A ∈ Rm × n , symmetryçn¥x poloΩy- tel\no-poluopredelenn¥x matryc B y C takyx, çto ACA BT suwestvuet, y dejstvytel\noho çysla 0 < α < ∞ ymeet mesto toΩdestvo CA B E ACA B E E ACA BT T T k k n ( + ) + ( + )− −( ) = − { }∏α α1 2 0 1 = = CA B E ACA BT T k k n ( + )− = ∑ α 1 2 . (2.25) Dokazatel\stvo. Po takoj Ωe sxeme, kak poluçeno (2.21), ymeem ravenstvo C E L C A B CA B E ACA Bk T T T k1 2 1 2/ /( + ) = ( + )− −α α , k = 1, 2, … . (2.26) V sylu (2.26) yz (2.24) poluçym (2.25), t. e. utverΩdenye lemm¥ 2.2. 3. Yteracyonn¥e metod¥ dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc. Snaçala dlq postroenyq yteracyonnoho processa budem yspol\zovat\ formulu (2.2). Poskol\ku matryca ( + )−E CA BAT 1 kommutyruet s matrycamy E y ( + )−E CA BAT i , i = 2, 3, … , πtu formulu moΩno perepysat\ v vyde A E E CA BA E CA BA CA BBC T k k T T+ −( ) = ∞ −= + ( + ) ( + ){ }∏α α α2 0 1 . (3.1) PoloΩym X E E CA BA E CA BA CA Bk T i i k T T= + ( + ) ( + ){ }−( ) = − −∏α α α2 0 1 1 . (3.2) Tohda dlq v¥çyslenyq ABC + poluçym yteracyonn¥j process X0 = α α( + )−E CA BA CA BT T1 , Xk = { }+ ( + )−( ) − − E E CA BA XT k k α 2 1 1 = = X E CA BA Xk T k k − −( ) −+ ( + ) − 1 2 1 1 α , k = 1, 2, … . (3.3) Teorema 3.1. Yteracyonn¥j process (3.3) pry 0 < α < ∞ sxodytsq, pryçem ymeet mesto ocenka A X q ABC k C V BC C VEE k EE + +− ≤+ + 2 , (3.4) hde q = ρ α αλ[ ] [ ]+ − −( + ) = + ( )A A E CA BA CA BABC T T1 11 min * < 1, (3.5) matryca C vxodyt v opredelenye vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ soh- lasno (1.1), (1.2), V ∈ Rm × m — proyzvol\naq symmetryçnaq poloΩytel\no-op- redelennaq yly poloΩytel\no-poluopredelennaq matryca, udovletvorqgwaq vtoromu uslovyg v (1.4) dlq matryc¥ A XBC k + − . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1282 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA Dokazatel\stvo. Sxodymost\ posledovatel\nosty matryc, opredelennoj formuloj (3.3), k vzveßennoj psevdoobratnoj matryce pry k → ∞ sleduet yz toho fakta, çto πta posledovatel\nost\ postroena na osnove matryçnoho ste- pennoho proyzvedenyq (3.1). PokaΩem spravedlyvost\ ocenky (3.4). Pust\ F = E + αCA BAT . V sylu toΩdestva (2.22), kotoroe perepyßem v vyde α { + }−( ) − = − ∏ E F F CA B k T k n 2 1 0 1 = α F CA Bk T k n − = ∑ 1 2 , y formul (1.32), (3.2) ymeem A X F CA B F F CA B F ABC k i T i i T i BC k k k+ − = + ∞ −( ) − = ∞ −( ) +− = =     =∑ ∑α α 2 1 2 1 2 . (3.6) V rabote [10] pokazano, çto matryc¥ A ABC + y ( + )−E CA BAT 1 kommutyrugt. Tohda y matryc¥ A ABC + y ( + )−E CA BATα 1 takΩe perestanovoçn¥. Uçyt¥vaq πto obstoqtel\stvo y vtoroe ravenstvo v (1.1), ravenstvo (3.6) perepyßem v vyde A XBC k + − = A AF ABC BC k+ −( ) +2 . Poskol\ku matryca A ABC + ydempotentna, posled- nee ravenstvo moΩno predstavyt\ v vyde A X A A E CA BA ABC k BC T BC k+ + − +− = ( + )[ ]α 1 2 . (3.7) Çtob¥ poluçyt\ ocenku (3.4), yspol\zuem lemmu 1.1, hde poloΩym L = = [ ]+ −( + )A A E CA BABC T k α 1 2 , Y = ABC + . Uslovyq, naklad¥vaem¥e na matryc¥ Y, L, Z = L Y, pry kotor¥x v¥polnqetsq sootnoßenye (1.19), proverqgtsq po toj Ωe sxeme, çto y dlq odnoymenn¥x matryc yz teorem¥ 3 rabot¥ [4]. Pry πtom yspol\zugtsq formul¥ (1.24), (1.26), svojstva psevdoobratn¥x matryc, v¥teka- gwye yz yx opredelenyq, neravenstva dlq ranhov matryc, svojstva ydempotent- noj matryc¥ A ABC + , lemma 1.3. Tak Ωe pokaz¥vaetsq, çto dlq Z ≠ 0 v¥pol- nqetsq pervaq aksyoma matryçnoj norm¥ ⋅ +C VEE y ravenstvo rank ( )+C ZEE = = rank ( Z ). Tohda dlq matryc¥ L Y ymeet mesto sootnoßenye (1.19), v sylu ko- toroho yz (3.7) poluçaem A X A A E CA BA ABC k C V BC T C C BC C VEE k EE EE + + − +− ≤ ( + )+ + +[ ]α 1 2 1 2/ . (3.8) V rabote [4] pokazano, çto dlq matryc¥ A A E CA BABC T+ −( + ) 1 v¥polnqgtsq us- lovyq, pry kotor¥x ymeet mesto ravenstvo (1.31). Oçevydno, çto y dlq matryc¥ A A E CA BABC T+ −( + )α 1 v¥polnqgtsq πty uslovyq. Tohda v sylu (1.31) yz (3.8) sleduet (3.4). Ostalos\ pokazat\ spravedlyvost\ ravenstva (3.5). V rabote [10] pokazano, çto vse nenulev¥e sobstvenn¥e znaçenyq symmetryzuemoj sprava matryc¥ A A E CA BABC T+ −( + ) 1 ravn¥ ( + )−1 1λi , i = 1, … , r, hde λ i > 0 — nenulev¥e sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ CA BAT , r — ranh πtoj matryc¥. Sledovatel\no, ρ[ ]+ −( + )A A E CA BABC T 1 = [ ]+ ( ) −1 1λmin * CA BAT . Analohyçno poluçym ρ α[ ]+ −( + )A A E CA BABC T 1 = [ ]+ ( ) −1 1αλmin * CA BAT , t. e. ravenstvo (3.5). Teorema 3.1 dokazana. Teper\ dlq postroenyq yteracyonnoho processa budem yspol\zovat\ razlo- Ωenye (2.5) vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥, opredelennoj uslovyqmy (1.1), (1.2), v matryçnoe stepennoe proyzvedenye. PoloΩym ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1283 X CA B E ACA B E E ACA Bk T T T i i k = ( + ) + ( + )− −( ) = − { }∏α α α1 2 0 1 . (3.9) Tohda dlq v¥çyslenyq ABC + poluçym yteracyonn¥j process X0 = α αCA B E ACA BT T( + )−1, Xk = X E E ACA Bk T k − −( ){ }+ ( + ) − 1 2 1 α = = X X E ACA Bk k T k − − −( )+ ( + ) − 1 1 2 1 α , k = 1, 2, … . (3.10) Teorema 3.2. Yteracyonn¥j process (3.10) pry 0 < α < ∞ sxodytsq, pry- çem ymeet mesto ocenka A X q ABC k HB BC HBEE k EE + +− ≤+ +1 2 1 2 2 / / , (3.11) hde q = ρ α αλ[ ] [ ]+ − −( + ) = + ( )AA E ACA B ACA BBC T T1 11 min * < 1, (3.12) H ∈ Rn × n — proyzvol\naq symmetryçnaq poloΩytel\no-opredelennaq yly po- loΩytel\no-poluopredelennaq matryca, udovletvorqgwaq pervomu uslovyg v (1.4) dlq matryc¥ A XBC k + − , matryca B vxodyt v opredelenye vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ sohlasno tret\emu uslovyg v (1.1) y pervomu uslo- vyg v (1.2). Dokazatel\stvo πtoj teorem¥ provodytsq po toj Ωe sxeme, çto y teorem¥ 3.1. Pust\ F = E ACA BT+ α . V sylu toΩdestva (2.25) y formul (1.33), (3.9) ymeem A X CA B F CA B F F A FBC k T i i T i i BC k k k+ − = + ∞ − = ∞ −( ) + −( )− = =     =∑ ∑α α 2 1 1 2 2 . (3.13) Uçyt¥vaq vtoroe uslovye v (1.1) y to obstoqtel\stvo, çto matryca AABC + ydem- potentna, ravenstvo (3.13) perepyßem v vyde A X A AA E ACA BBC k BC BC T k+ + + −− = ( + )[ ]α 1 2 . (3.14) Çtob¥ poluçyt\ ocenku (3.11), yspol\zuem lemmu 1.2, hde poloΩym L = = [ ]+ −( + )AA E ACA BBC T k α 1 2 , Y = ABC + . Çtob¥ vospol\zovat\sq sootnoßenyem (1.23), neobxodymo proveryt\ v¥polnenye uslovyj (1.20) – (1.22) y uslovyq lem- m¥ na matrycu Y L. Otmetym tol\ko, çto v otlyçye ot matryc¥ L, opredelen- noj v teoreme 3.1, matryca L, opredelennaq v nastoqwej teoreme, budet sym- metryzuemoj sleva symmetryzatorom B. Yspol\zuq lemm¥ 1.3 – 1.5, sledstvye 1.1, formul¥ (1.24), (1.26), netrudno ustanovyt\, çto vse uslovyq lemm¥ 1.2 v¥- polnen¥. Tohda na osnovanyy (1.23) yz (3.14) poluçaem A X A AA E ACA BBC k HB BC HB BC T BBEE EE k EE + + + −− ≤ ( + )+ + +[ ]1 2 1 2 1 2 1 2 / / /α . (3.15) Matryca AABC + symmetryzuema sleva symmetryzatorom B v sylu tret\eho us- lovyq yz (1.1). Na osnovanyy lemm¥ 1.3 matryca ( + )−E ACA BTα 1 takΩe sym- metryzuema sleva symmetryzatorom B. V lemme 1.8 pokazano, çto matryc¥ AABC + y ACA BT kommutyrugt, otkuda sleduet, çto matryc¥ AABC + y ( + )−E ACA BTα 1 takΩe perestanovoçn¥. Tohda sohlasno sledstvyg 1.2 mat- ryca L symmetryzuema sleva symmetryzatorom B (bez v¥polnenyq uslovyj na ranhy matryc), a v sylu (1.24) dlq nee v¥polnqetsq uslovye (1.28). Tohda na ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1284 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA osnovanyy lemm¥ 1.5 (formula (1.29)) y formul¥ (1.23) sootnoßenye (3.15) prynymaet vyd A X AA E ACA B ABC k HB BC T BC HBEE k EE + + − +− ≤ ( + )( )+ +[ ]1 2 1 2 1 2 / /ρ α . (3.16) Teper\ ostalos\ opredelyt\ znaçenye spektral\noho radyusa matryc¥ L. Pust\ λi , i = 1, … , m, — sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ ACA BT . Tohda sob- stvenn¥e znaçenyq matryc¥ ( + )−E ACA BTα 1 pry λi > 0 ravn¥ ( + )−1 1αλi , i = = 1, … , r, hde r — ranh matryc¥ ACA BT . Yz lemm¥ 2.1 sleduet, çto nulev¥e sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ L opredelqgtsq kak proyzvedenye nulev¥x sobstvenn¥x znaçenyj matryc¥ AABC + y sobstvenn¥x znaçenyj 1 matryc¥ ( + )−E ACA BTα 1 . Çtob¥ opredelyt\ velyçyn¥ ostal\n¥x sobstvenn¥x znaçe- nyj matryc¥ L, yspol\zuem to obstoqtel\stvo, çto sobstvenn¥e znaçenyq mat- ryc¥-proyzvedenyq dvux perestanovoçn¥x matryc ravn¥ proyzvedenyg yx sob- stvenn¥x znaçenyj, uporqdoçenn¥x nekotor¥m fyksyrovann¥m obrazom [17]. Poskol\ku nenulev¥e sobstvenn¥e znaçenyq ydempotentnoj matryc¥ AABC + ravn¥ 1, a sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥ ( + )−E ACA BTα 1 , otlyçn¥e ot edy- nyc¥, ravn¥ ( + )−1 1αλi , i = 1, … , r, λ i > 0, vse nenulev¥e sobstvenn¥e zna- çenyq matryc¥ L ravn¥ ( + )−1 1αλi , i = 1, … , r, λi > 0. Tohda ρ α αλ[ ] [ ]+ − −( + ) = + ( )AA E ACA B ACA BBC T T1 11 min * < 1, (3.17) t. e. pryxodym k ravenstvu (3.12), çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥ 3.2. Yz (3.5) y (3.12) sleduet, çto znaçenye q zavysyt ot parametra α y umen\- ßaetsq s uvelyçenyem πtoho parametra. Sledovatel\no, dlq uskorenyq sxody- mosty yteracyonnoho processa neobxodymo v¥byrat\ α dostatoçno bol\ßym. No s uvelyçenyem parametra α budut rasty obuslovlennosty matryc E + + αCA BAT y E ACA BT+ α , s kotor¥my svqzana toçnost\ v¥çyslenyq obrat- n¥x k πtym matrycam. Poπtomu v¥bor parametra α ymeet bol\ßoe znaçenye pry postroenyy y realyzacyy yteracyonn¥x processov. Zameçanye 3.1. V teoremax 3.1 y 3.2 velyçyn¥ q opredelqgtsq sootvet- stvenno formulamy (3.5) y (3.12). Poskol\ku neotrycatel\n¥e sobstvenn¥e znaçenyq matryc¥-proyzvedenyq pry perestanovke matryc-somnoΩytelej ne yzmenqgtsq [16], znaçenyq q, opredelenn¥e v teoremax 3.1 y 3.2, sovpadagt. V formule (3.4) v kaçestve matryc¥ V ∈ Rm × m moΩno yspol\zovat\ proyzvol\- nug symmetryçnug poloΩytel\no-poluopredelennug matrycu, udovletvorqg- wug vtoromu uslovyg v (1.4) dlq matryc¥ A XBC k + − , a v formule (3.11) v ka- çestve H ∈ Rn × n moΩno vzqt\ proyzvol\nug symmetryçnug poloΩytel\no-po- luopredelennug matrycu, udovletvorqgwug pervomu uslovyg v (1.4) dlq mat- ryc¥ A XBC k + − . Netrudno ubedyt\sq, çto v sylu formul (1.24), (3.3) matryca BEE +1 2/ udovletvorqet vtoromu uslovyg v (1.4) dlq matryc¥ A XBC k + − , a matry- ca CEE + v sylu formul (1.24), (3.10) — pervomu uslovyg v (1.4) dlq matryc¥ A XBC k + − . Tohda esly v (3.4) poloΩyt\ V = BEE +1 2/ , a v (3.11) — H = CEE + , to formul¥ (3.4), (3.11) budut ydentyçn¥. 4. Yteracyonn¥e metod¥ dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj. Snaçala dlq naxoΩdenyq pryblyΩenyq k vzveßennomu nor- mal\nomu psevdoreßenyg x+ system¥ (1.35) postroym yteracyonn¥j process na osnove formul¥ (2.2). PoloΩym xk = Xk f, hde matryc¥ Xk opredelen¥ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1285 formulamy (3.2), (3.3). Tohda dlq v¥çyslenyq pryblyΩenyq k x+ poluçym yte- racyonn¥j process x0 = α α( + )−E CA BA CA BfT T1 , xk = { }+ ( + )−( ) − − E E CA BA xT k k α 2 1 1 = = x E CA BA xk T k k − −( ) −+ ( + ) − 1 2 1 1 α , k = 1, 2, … , 0 < α < ∞. (4.1) Teorema 4.1. Yteracyonn¥j process (4.1) sxodytsq v R n EEC( )+ , pryçem ymeet mesto ocenka x x q xk C CEE k EE + +− ≤+ + 2 , (4.2) hde q y matryca C opredelen¥ v teoreme 3.1. Dokazatel\stvo. Uçyt¥vaq ravenstva x+ = A fBC + , x k = Xk f y (3.7), po- luçaem z = x+ – xk = ( − )+A X fBC k = L x+ , (4.3) hde L = [ ]+ −( + )A A E CA BABC T k α 1 2 . Çtob¥ vospol\zovat\sq sootnoßenyem (1.13) dlq ocenky L x+ v norme ⋅ +CEE , neobxodymo pokazat\, çto dlq matryc¥ L v¥polnqgtsq uslovyq (1.9) s H = CEE + y x+ ∈ R n EEC( )+ . Spravedlyvost\ πtyx uslovyj dokaz¥vaetsq analo- hyçno tomu, kak πto sdelano v rabote [4] dlq matryc¥ L pry α = 1. Tohda v sy- lu (1.13) dlq vektora x+ – xk , opredelennoho formuloj (4.3), poluçym x x A A E CA BA xk C BC T C CEE k EE EE + + − +− ≤ ( + )+ + +[ ]α 1 2 . (4.4) Pry dokazatel\stve teorem¥ 3.1 otmeçalos\, çto dlq matryc¥ A A EBC + ( + + αCA BAT )−1 v¥polnqgtsq uslovyq, pry kotor¥x ymeet mesto ravenstvo (1.31). Tohda v sylu (1.31) y (3.5) yz (4.4) sleduet (4.2), t. e. utverΩdenye teorem¥ 4.1. Teper\ dlq postroenyq yteracyonnoho processa budem yspol\zovat\ formu- lu (2.5). PoloΩym xk = Xk f, hde matryc¥ Xk opredelen¥ formuloj (3.9), koto- rug perepyßem v vyde X CA B E E ACA B E ACA Bk T T i T i k = + ( + ) ( + ){ }−( ) − = − ∏α α α2 1 0 1 . Tohda dlq v¥çyslenyq pryblyΩenyq k x+ poluçym yteracyonn¥j process y0 = ( + )−E ACA B fTα 1 , yk = { }+ ( + )−( ) − − E E ACA B yT k k α 2 1 1 , (4.5) xk = αCA ByT k , k = 1, 2, … , 0 < α < ∞. Teorema 4.2. Yteracyonn¥j process (4.5) sxodytsq v R n C( ) , pryçem ymeet mesto ocenka x x q A A xk C BC CB BC C k EE EE + + +− ≤ + + 2 1 2 1 2/ / , (4.6) hde q opredeleno v teoreme 3.2, matryc¥ B y C vxodqt v opredelenye vzveßennoj psevdoobratnoj matryc¥ sohlasno (1.1), (1.2). Dokazatel\stvo. Uçyt¥vaq ravenstva x+ = A fBC + , xk = Xk f, (3.14), to, çto matryca AABC + ydempotentna y yz lemm¥ 1.8 sleduet, çto matryc¥ AABC + y ( + )−E ACA BTα 1 kommutyrugt, poluçaem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1286 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA z = x x A X f A Lf A L AA f A L Axk BC k BC BC BC BC + + + + + + +− = ( − ) = = = , (4.7) hde L = [ ]+ −( + )AA E ACA BBC T k α 1 2 . Çtob¥ vospol\zovat\sq sootnoßenyem (1.13) dlq ocenky A LAxBC + + v norme ⋅ C , neobxodymo pokazat\, çto dlq matryc¥ A LABC + v¥polnqgtsq uslovyq (1.9) s H = C y x+ ∈ R n C( ). Çtob¥ dokazat\ pervoe ravenstvo v (1.9), vos- pol\zuemsq neravenstvom dlq ranha proyzvedenyq dvux matryc, sootnoßenyem CC CEE + = C, predstavlenyem matryc¥ ABC + formuloj (1.24) y tem obstoqtel\- stvom, çto matryc¥ C y CEE + kommutyrugt. Tohda rank rank rank rank( ) = ( ) ≤ ( ) ≤ ( )+ + + + +A LA CC A LA CA LA A LABC EE BC BC BC . Dlq proverky spravedlyvosty vtoroho ravenstva v (1.9) vospol\zuemsq neraven- stvom Frobenyusa [16]. V rezul\tate poluçym rank rank rank rank( ) + ( ) ≤ ( ) + ( )+ +A L A AC A A L ACBC BC ≤ ≤ rank rank( ) + ( )+A A LABC . Yz poslednyx dvux sootnoßenyj s uçetom vtoroho ravenstva v (1.2) sledu- et:(1.9). V sylu ravenstv (1.24), C C CEE +1 2 1 2/ / = C, x+ = A fBC + ymeem C C xEE + +1 2 1 2/ / = x+ , t. e. x+ ∈ R n C( ). Tohda sohlasno (1.13) y zameçanyg 1.1 yz (4.7) poluçaem z A LA x A LA xC BC C C BC CC CEE ≤ ≡+ + + + +1 2/ . (4.8) Ocenym A LABC CCEE + +1 2/ . Uçyt¥vaq te obstoqtel\stva, çto matryca AABC + ydempotentna, a matryc¥ AABC + y ( + )−E ACA BTα 1 sohlasno lemme 1.8 kommu- tyrugt, matrycu L moΩem predstavyt\ v vyde L = LAABC + . Tohda v sylu (1.24) y ravenstva BB BEE +1 2 1 2/ / = B v¥polnqetsq pervoe uslovye v (1.7) dlq matryc¥ A LBC + s M = BEE +1 2/ . Sledovatel\no, ymeet mesto sootnoßenye (1.8), sohlasno kotoromu A LA A L ABC CC BC CB BC EE EE EE + + + + +≤1 2 1 2 1 2/ / / . (4.9) Dlq A LBC + poluçena ocenka (3.16), kotoraq v dannom sluçae budet ymet\ vyd A L AA E ACA B ABC CB BC T BC CBEE k EE + + − + + +≤ ( + )( )[ ]1 2 1 2 1 2 / /ρ α . (4.10) Uçyt¥vaq sootnoßenyq (4.9), (4.10), (3.17), yz (4.8) poluçaem (4.6), çto y zaver- ßaet dokazatel\stvo teorem¥ 4.2. 5. Yteracyonn¥e metod¥ dlq reßenyq zadaç naymen\ßyx kvadratov s ohranyçenyqmy. V rqde rabot (sm., naprymer, [21, 22]) reßenye nekotor¥x za- daç naymen\ßyx kvadratov s ohranyçenyqmy, a takΩe L -psevdoreßenye [23], L g-psevdoreßenye [24] predstavlqgtsq s pomow\g M L-vzveßenn¥x psevdoob- ratn¥x matryc. Pryvedem opredelenye M L-vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc. Pust\ A ∈ R m × n , M ∈ R q × m , L ∈ R p × n , tohda M L-vzveßennaq psevdoobratnaq matryca AML + k matryce A opredelqetsq sootnoßenyem [3, 21, 22] A E LP L MA MML EE EE + + += − ( ) ( )( ) , P = E MA MAEE− ( )+ . (5.1) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1287 Vektor x = A fML + qvlqetsq reßenyem zadaçy: najty min x L Lx T ∈Ω , Ω = Arg min x M M n TAx f ∈ − R . (5.2) V obwem sluçae reßenye zadaçy (5.2) qvlqetsq needynstvenn¥m. V rabotax [3, 21] opredeleno uslovye, pry kotorom reßenye πtoj zadaçy budet edynstvenn¥m. Opredelym vzveßennug psevdoobratnug matrycu k matryce A s poloΩy- tel\no-poluopredelenn¥my vesamy B y CEE + kak matrycu, udovletvorqgwug systeme matryçn¥x uravnenyj A X A = A, X A X = X, ( B A X ) T = B A X, ( ) =+ +XAC XACEE T EE (5.3) pry v¥polnenyy uslovyj rank ( B A ) = rank ( A ), rank ( )+ACEE = rank ( A ). (5.4) V rabote [10] ustanovleno, çto M L-vzveßennaq psevdoobratnaq matryca (5.1) pry v¥polnenyy uslovyj B = M MT , C L LEE T EE + += ( ) , rank ( )M MAT = rank ( A ), rank( )( )+A L LT EE = rank ( A ), (5.5) ( B u, u ) Em ≥ 0, ( )+CEE En v v, ≥ 0 ∀u ≠ 0 ∈ R n, v ≠ 0 ∈ R n qvlqetsq vzveßennoj psevdoobratnoj matrycej, opredelennoj sootnoßenyqmy (5.3), (5.4). Naßa cel\ — postroyt\ yteracyonn¥e metod¥ dlq reßenyq zadaç naymen\- ßyx kvadratov s ohranyçenyqmy y zadaçy v¥çyslenyq L -psevdoreßenyq ( L g- psevdoreßenyq), dlq çeho yspol\zovat\ postroenn¥e y yssledovann¥e v punkte 4 yteracyonn¥e metod¥ dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreße- nyj y uslovyq (5.5), pry kotor¥x M L-vzveßenn¥e psevdoobratn¥e matryc¥ sovpadagt so vzveßenn¥my psevdoobratn¥my matrycamy s v¥roΩdenn¥my vesa- my. V dal\nejßem budem predpolahat\, çto πty uslovyq v¥polnqgtsq. V nastoqwej rabote rassmotrym tol\ko zadaçu naymen\ßyx kvadratov s ohranyçenyqmy v vyde kvadratyçn¥x neravenstv. Postanovky y metod¥ reßenyq druhyx zadaç naymen\ßyx kvadratov s ohranyçenyqmy moΩno najty v rabotax [4, 9, 10], a takΩe v rabotax [3, 21 – 24]. Rassmotrym zadaçu naymen\ßyx kvadratov s ohranyçenyqmy v vyde kvadra- tyçn¥x neravenstv [21]: min f EKf g ∈ − Ω , Ω = f f N ≤{ }ω , N = L LT , (5.6) a takΩe çastn¥j sluçaj πtoj zadaçy min x EAx b ∈ − Ω , Ω = x x N ={ }ω . (5.7) V [21] opredelen¥ uslovyq, pry kotor¥x zadaça (5.6) ymeet edynstvennoe reßenye, kotoroe budet opredelqt\sq s pomow\g M L-vzveßenn¥x psevdoobrat- n¥x matryc, çto pry v¥polnenyy uslovyj (5.5) dast formulu dlq v¥çyslenyq πtoho reßenyq f L x KP g EC L EE EE * = + ( )+ + + , C = K KT , PL = E L LEE− + , (5.8) hde x — reßenye zadaçy (5.7) pry A = KLEC + , PL = E L LEE− + , QN = E KP KPL L EE− ( )+ , b = QN g. (5.9) Dlq reßenyq zadaçy (5.7) razrabotan¥ πffektyvn¥e metod¥ (sm., naprymer, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 1288 Y. V. SERHYENKO, E. F. HALBA, V. S. DEJNEKA [25, 26]). Tohda, esly reßenye zadaçy (5.7) s uçetom (5.9) poluçeno, reßenye za- daçy (5.6) predstavlqetsq sohlasno (5.8) summoj f f f* * ( ) * ( )= +1 2 vzveßennoho normal\noho psevdoreßenyq zadaçy Lf ( )1 = x* s vesamy E y CEE + = ( )+K KT EE y normal\noho psevdoreßenyq zadaçy KP fL ( )2 = g. Tohda na osnovanyy ytera- cyonnoho processa (4.1) dlq pryblyΩennoho v¥çyslenyq f* ( )1 ymeem yteracy- onn¥j process f E C L L C L xEE T EE T 0 1 1( ) = ( + )+ − +α α , f E E C L L fk EE T k k( ) ( )1 2 1 11 = + ( + ){ }+ −( ) − − α = = f E C L L fk EE T k k − + −( ) −+ ( + ) − 1 1 2 1 11( ) ( )α , k = 1, 2, … , 0 < α < ∞, (5.10) a dlq v¥çyslenyq f ( )2 — yteracyonn¥j process f E KP KP KP gL T L L T 0 2 1( ) = + ( ) ( )[ ]−α α , f E E KP KP fk L T L k k( ) ( )2 2 1 21 = + + ( ){ [ ] }−( ) − − α = = f E KP KP fk L T L k k − −( ) −+ + ( )[ ] − 1 2 2 1 21( ) ( )α , k = 1, 2, … , 0 < α < ∞. (5.11) Na osnovanyy yteracyonnoho processa (4.5) dlq pryblyΩennoho v¥çyslenyq f* ( )1 ymeem yteracyonn¥j process y E LC L xEE T 0 1 1( ) = ( + )+ −α , y E E LC L yk EE T k k( ) ( )1 2 1 11 = + ( + ){ }+ −( ) − − α , (5.12) f C L yk EE T k ( ) ( )1 1= +α , k = 1, 2, … , 0 < α < ∞, a dlq v¥çyslenyq f ( )2 — yteracyonn¥j process y E KP KP gL L T 0 2 1( ) = + ( )[ ]−α , y E E KP KP yk L L T k k( ) ( )2 2 1 21 = + + ( ){ [ ] }−( ) − − α , (5.13) f KP yk L T k ( ) ( )2 2= ( )α , k = 1, 2, … , 0 < α < ∞, V zaklgçenye otmetym, çto reßenye zadaçy naymen\ßyx kvadratov s ohrany- çenyqmy v vyde lynejn¥x ravenstv, naxoΩdenyq L-psevdoreßenyq, L g-psevdo- reßenyq, svqzannoho normal\noho psevdoreßenyq [27] pry nekotor¥x predpo- loΩenyqx takΩe opredelqgtsq summoj vzveßennoho normal\noho psevdore- ßenyq y ob¥çnoho normal\noho psevdoreßenyq (sm. [21, 22, 4]), dlq prybly- Ωennoho reßenyq kotor¥x moΩno yspol\zovat\ (s toçnost\g do oboznaçenyj) yteracyonn¥e process¥ (5.10), (5.11) y (5.12), (5.13). 1. Ward J. F., Boullion T. L., Lewis T. O. Weighted pseudoinverses with singular weights // SIAM J. Appl. Math. – 1971. – 21, # 3. – P. 480 – 482. 2. Serhyenko Y. V., Halba E. F., Dejneka V. S. RazloΩenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x mat- ryc v matryçn¥e stepenn¥e proyzvedenyq // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 11. – S. 1539 – 1556. 3. Louson Ç., Xenson R. Çyslennoe reßenye zadaç metoda naymen\ßyx kvadratov. – M.: Nauka, 1986. – 232 s. 4. Halba E. F., Dejneka V. S., Serhyenko Y. V. Yteracyonn¥e metod¥ v¥sokyx skorostej sxo- dymosty dlq v¥çyslenyq vzveßenn¥x psevdoobratn¥x matryc y vzveßenn¥x normal\n¥x psevdoreßenyj s v¥roΩdenn¥my vesamy// Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 2005. – 45, # 10. – S. 1731 – 1755. 5. Moore E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Abstrs Bull. Amer. Math. Soc. – 1920. – 26. – P. 394 – 395. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9 RAZLOÛENYE VZVEÍENNÁX PSEVDOOBRATNÁX MATRYC … 1289 6. Penrose R. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1955. – 51, # 3. – P. 406 – 413. 7. Albert A. Rehressyq, psevdoynversyq y rekurrentnoe ocenyvanye. – M.: Nauka, 1977. – 223:s. 8. Halba E. F., Molçanov Y. N., Skopeckyj V. V. Yteracyonn¥e metod¥ dlq v¥çyslenyq vzve- ßennoj psevdoobratnoj matryc¥ s v¥roΩdenn¥my vesamy // Kybernetyka y system. analyz. – 1999. – # 5. – S. 150 – 169. 9. Halba E. F., Dejneka V. S., Serhyenko Y. V. Predel\n¥e predstavlenyq vzveßenn¥x psevdo- obratn¥x matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy y rehulqryzacyq zadaç // Ûurn. v¥çyslyt. mate- matyky y mat. fyzyky. – 2004. – 44, # 11. – S. 1928 – 1946. 10. Halba E. F. Yteracyonn¥e metod¥ dlq v¥çyslenyq vzveßennoho normal\noho psevdoreße- nyq s v¥roΩdenn¥my vesamy // Tam Ωe. – 1999. – 39, # 6. – S. 882 – 896. 11. Lancaster P., Rozsa P. Eigenvectors of H-self-adjoint matrices // Z. angew. Math. und Mech. – 1984. – 64, # 9. – S. 439 – 441. 12. Ykramov X. D. Ob alhebrayçeskyx svojstvax klassov psevdoperestanovoçn¥x y H-samoso- prqΩenn¥x matryc // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1992. – 32, # 8. – S.:155 – 169. 13. Baksalary J. K., Kala R. Symmetrizers of matrices // Linear Algebra and Appl. – 1981. – 35, # 1. – P. 51 – 62. 14. Sen S. K., Venkaiah V. Ch. On symmetrizing a matrix // Indian J. Pure and Appl. Math. – 1988. – 19, # 6. – P. 554 – 561. 15. Halba E. F. Vzveßennoe psevdoobrawenye matryc s v¥roΩdenn¥my vesamy // Ukr. mat. Ωurn. – 1994. – 46, # 10. – S. 1323 – 1327. 16. Xorn R., DΩonson Ç. Matryçn¥j analyz. – M.: Myr, 1989. – 656 s. 17. Hantmaxer F. R. Teoryq matryc. – M.: Nauka, 1967. – 576 s. 18. Voevodyn V. V., Kuznecov G. A. Matryc¥ y v¥çyslenyq. – M.: Nauka, 1984. – 320 s. 19. Ben-Israel A., Charnes A. Contribution to the theory of generalized inverses // J. Soc. Industr. Appl. Math. – 1963. – 11, # 3. – P. 667 – 699. 20. Lonseth A. T. Approximate solution of Fredholm type integral equations // Bull. Amer. Math. Soc. – 1954. – 60. – P. 415 – 430. 21. Elden L. A weighted pseudoinverse generalized singular values and constrained least squares problems // BIT. – 1982. – 22, # 4. – P. 487 – 502. 22. Vaarmann O. Obobwenn¥e obratn¥e otobraΩenyq. – Tallynn: Valhus, 1988. – 120 s. 23. Morozov V. A. Rehulqrn¥e metod¥ reßenyq nekorrektno postavlenn¥x zadaç. – M.: Nauka, 1987. – 240 s. 24. Meleßko V. Y. Yssledovanye ustojçyv¥x L-psevdoobrawenyj neohranyçenn¥x zamknut¥x operatorov metodom rehulqryzacyy // Dyfferenc. uravnenyq. – 1979. – 15, # 5. – S. 921 – 935. 25. Golub G. H. Some modified eigenvalue problems // SIAM Rev. – 1973. – 15, # 2. – P. 318 – 334. 26. Golub G. H., Matt V. von. Quadratically constrained least squares and quadratic problems // Numer. Math. – 1991. – 59, # 6. – P. 561 – 580. 27. Arxarov E. V., Íafyev R. A. Metod¥ rehulqryzacyy zadaçy svqzannoho psevdoobrawenyq s pryblyΩenn¥my dann¥my // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 2003. – 43, # 3. – S. 347 – 353. Poluçeno 17.11.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 9

Разложение взвешенных псевдообратных матриц с вырожденными весами в матричные степенные произведения и итерационные методы

Репозитарії

Схожі ресурси