Двухграничные задачи для случайного блуждания
Розв'язано основні двограничні задачi для випадкового блукання. Наведено генератриси сумісних розподілів: моменту першого виходу блукання з інтервалу i величини перестрибу границі в момент виходу, моменту першого входження блукання в інтервал та його значення в момент входження. На геометрично...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172506 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Двухграничные задачи для случайного блуждания / И.И. Ежов, В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1485–1509. — Бібліогр.: 52 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-172506 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1725062020-11-03T01:26:32Z Двухграничные задачи для случайного блуждания Ежов, И.И. Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. Статті Розв'язано основні двограничні задачi для випадкового блукання. Наведено генератриси сумісних розподілів: моменту першого виходу блукання з інтервалу i величини перестрибу границі в момент виходу, моменту першого входження блукання в інтервал та його значення в момент входження. На геометрично розподіленому часовому проміжку отримано розподіли: supremum'a, infimum'a та значення блукання, числа перетинів інтервалу зверху i знизу. Наведено приклади застосування отриманих результатів до випадкового блукання з показниково розподіленими в один бік стрибками. We solve main two-boundary problems for a random walk. The generating function of the joint distribution of the first exit time of a random walk from an interval and the value of the overshoot of the random walk over the boundary at exit time is determined. We also determine the generating function of the joint distribution of the first entrance time of a random walk to an interval and the value of the random walk at this time. The distributions of the supremum, infimum, and value of a random walk and the number of upward and downward crossings of an interval by a random walk are determined on a geometrically distributed time interval. We give examples of application of obtained results to a random walk with one-sided exponentially distributed jumps. 2007 Article Двухграничные задачи для случайного блуждания / И.И. Ежов, В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1485–1509. — Бібліогр.: 52 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172506 519.21 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Ежов, И.И. Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. Двухграничные задачи для случайного блуждания Український математичний журнал |
| description |
Розв'язано основні двограничні задачi для випадкового блукання. Наведено генератриси сумісних розподілів: моменту першого виходу блукання з інтервалу i величини перестрибу границі в момент виходу, моменту першого входження блукання в інтервал та його значення в момент входження. На геометрично розподіленому часовому проміжку отримано розподіли: supremum'a, infimum'a та значення блукання, числа перетинів інтервалу зверху i знизу. Наведено приклади застосування отриманих результатів до випадкового блукання з показниково розподіленими в один бік стрибками. |
| format |
Article |
| author |
Ежов, И.И. Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. |
| author_facet |
Ежов, И.И. Каданков, В.Ф. Каданкова, Т.В. |
| author_sort |
Ежов, И.И. |
| title |
Двухграничные задачи для случайного блуждания |
| title_short |
Двухграничные задачи для случайного блуждания |
| title_full |
Двухграничные задачи для случайного блуждания |
| title_fullStr |
Двухграничные задачи для случайного блуждания |
| title_full_unstemmed |
Двухграничные задачи для случайного блуждания |
| title_sort |
двухграничные задачи для случайного блуждания |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172506 |
| citation_txt |
Двухграничные задачи для случайного блуждания / И.И. Ежов, В.Ф. Каданков, Т.В. Каданкова // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1485–1509. — Бібліогр.: 52 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT ežovii dvuhgraničnyezadačidlâslučajnogobluždaniâ AT kadankovvf dvuhgraničnyezadačidlâslučajnogobluždaniâ AT kadankovatv dvuhgraničnyezadačidlâslučajnogobluždaniâ |
| first_indexed |
2025-07-15T08:48:53Z |
| last_indexed |
2025-07-15T08:48:53Z |
| _version_ |
1837702141945315328 |
| fulltext |
УДК 519.21
И. И. Ежов, В. Ф. Каданков, Т. В. Каданкова (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ
Main two-boundary problems for a random walk are solved. The generating function of the joint di-
stribution of the first exit time from the interval and the value of the overshoot by the random walk is
determined. We also obtain the generating function of the joint distribution of the first exit time into the
interval and the value of the random walk at this time. The joint distrubtion of supremum, infimum and
the value of the random walk is established and the distribution of the number of upwards and downwards
intersections of the interval is determined on a geometrically distributed time interval. We also determine
the generating function of the joint distribution of the number of entrances into the interval and the number
of overleaps of the random walk through the interval. Finally, we give examples of application of the
obtained results to a random walk with one-sided exponentially distributed jumps.
Розв’язано основнi двограничнi задачi для випадкового блукання. Наведено генератриси сумiсних
розподiлiв: моменту першого виходу блукання з iнтервалу i величини перестрибу границi в момент
виходу, моменту першого входження блукання в iнтервал та його значення в момент входження.
На геометрично розподiленому часовому промiжку отримано розподiли: supremum’a, infimum’a
та значення блукання, числа перетинiв iнтервалу зверху i знизу. Наведено приклади застосування
отриманих результатiв до випадкового блукання з показниково розподiленими в один бiк стрибками.
Введение. Пусть Xt ∈ R, t ≥ 0, X0 = 0, — однородный процесс с независимыми
приращениями [1]. Зафиксируем B > 0, пусть x ∈ [0, B], y = B − x, и введем
случайную величину χ̃ = inf{t : Xt /∈ [−y, x]} — момент первого выхода процесса
Xt из интервала [−y, x]. Введем события: Ax = {ω : Xχ̃ > x} — выход процесса
из интервала произошел через верхнюю границу, Ay = {ω : Xχ̃ < −y} — выход
процесса из интервала произошел через нижнюю границу. Определим случайную
величину T̃ = (Xχ̃ − x) IAx + (−Xχ̃ − y) IAy
— величину перескока процесса
через границу в момент первого выхода из интервала, где IA = IA(ω) — индикатор
события A, P [Ax + Ay] = 1.
K. Ito и H. McKean [2] получили преобразования Лапласа распределения χ̃ для
симметричного процесса Винера
E
[
e−sχ̃;Ay
]
=
sh(x
√
2s)
sh(B
√
2s)
, E
[
e−sχ̃;Ax
]
=
sh(y
√
2s)
sh(B
√
2s)
.
L. Takács [3] определил вероятности выхода через границы для полунепрерывного
процесса без гауссовой компоненты
P [Ay] =
W (x)
W (B)
, P [Ax] = 1− W (x)
W (B)
. (1∗)
Он ввел функцию W (x) : R+ → R+, определенную преобразованием Лапласа
∞∫
0
e−px W (x) dx = k(p)−1, <(p) > c,
где c(s) > 0, s > 0, — единственный корень в правой полуплоскости <(p) > 0
уравнения k(p)− s = 0, k(p) — кумулянта процесса, c = lim
s→0
c(s). Функция W (x),
c© И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11 1485
1486 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
x ∈ R+, и ее модификация W s(x), s, x ∈ R+, играют важную роль при иссле-
довании граничных функционалов полунепрерывных процессов. В отечественной
литературе они обозначены через R(x), Rs(x), s, x ∈ R+, и получили название по-
тенциала и резольвенты полунепрерывного процесса [4, 5]. D. J. Emery [6] получил
формулы (1∗) для полунепрерывного процесса с независимыми приращениями.
Для процессов с независимыми приращениями и кумулянтой общего вида
И. И. Гихман и А. В. Скороход в монографии [1, c. 450] определили совместное
распределение {X−
t , Xt, X
+
t }, где X+
t = sup
u≤t
Xu, X−
t = inf
u≤t
Xu.
Для полунепрерывного процесса совместное распределение {χ̃, T̃} различными
методами изучалось в работах D. J. Emery [6], Е. А. Печерского [7], В. М. Шурен-
кова, В. Н. Супруна [5, 8 – 14]. В частности, В. М. Шуренков предложил для
определения распределений χ̃, {χ̃, T̃} ипользовать формулы Е. Б. Дынкина [15,
с. 191], справедливые для любого однородного марковского процесса. Применяя
эту идею, В. М. Шуренков и В. Н. Супрун получили резольвентные представления
преобразований Лапласа распределения χ̃ (s ≥ 0)
E
[
e−sχ̃;Ay
]
=
Rs(x)
Rs(B)
,
E
[
e−sχ̃;Ax
]
= 1− Rs(x)
Rs(B)
− Rs(x)
Rs(B)
B∫
0
Rs(u) du + s
x∫
0
Rs(u) du
(1)
полунепрерывного снизу процесса. В этих формулах Rs(x), x ≥ 0, — резольвента,
определенная своим преобразованием Лапласа
∞∫
0
e−px Rs(x) dx = (k(p)− s)−1, <(p) > c(s), Rs(x) df= 0, x < 0,
где c(s) > 0, s > 0, — единственный корень в правой полуплоскости <(p) > 0 урав-
нения k(p)− s = 0, k(p) — кумулянта полунепрерывного процесса. Для процесса
Пуассона с положительными скачками и отрицательным течением резольвентные
представления (1) ранее были получены В. С. Королюком в работе [4]. В. М. Шу-
ренков и В. С. Королюк в работе [10] получили основные граничные функционалы
для полунепрерывных процессов на цепи Маркова. В частности, они ввели мат-
ричную резольвенту и получили матричные аналоги формул (1). В. М. Шуренков
[11] получил для полунепрерывного сверху процесса с независимыми прираще-
ниями преобразование Лапласа совместного распределения {χ̃,Xχ̃} в терминах
совместного распределения {X−
t , Xt, X
+
t } и меры Леви Π(A):
E
[
e−sχ̃;Xχ̃ < l
]
=
x∫
−y
[
Rs(y)
Rs(B)
Rs(x− u)−Rs(−u)
]
Π([l − y − u,−∞)) du, (2)
где s > 0, l < −y, а
Rs(y)
Rs(B)
Rs(x− u)−Rs(−u) du =
∞∫
0
e−stP
[
−y ≤ X−
t , Xt ∈ du, X+
t ≤ x
]
dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1487
В этой работе приведена предельная теорема для распределения величины пере-
скока процесса через границу интервала. Для доказательства (2) автор использовал
формулы Е. Б. Дынкина [15, с. 191], справедливые для любого однородного мар-
ковского процесса. Тождество В. М. Шуренкова
E
[
e−sχ̃;Xχ̃ < l
]
=
=
x∫
−y
∞∫
0
e−stP
[
− y ≤ X−
t , Xt ∈ du, X+
t ≤ x
]
Π([l − y − u,∞)) dt (3)
справедливо для любого однородного процесса с независимыми приращениями с
кумулянтой общего вида. Известны также факторизационные тождества Кемпер-
мана [16] для случайных блужданий. Эти тождества Е. А. Печерский [7] передо-
казал для процессов Леви.
Важным ( и наиболее трудным ) направлением в двухграничных задачах явля-
ется асимптотический анализ распределений двухграничных функционалов блуж-
даний и процессов с независимыми приращениями. В работах В. И. Лотова [17, 18]
получены полные асимптотические разложения для распределений основных двух-
граничных функционалов случайных блужданий, подчиненных условиям Краме-
ра. Далее, исследование асимптотических свойств распределений двухграничных
функционалов процессов с независимыми приращениями и случайных блужданий
проводилось в работах В. И. Лотова и В. Р. Ходжибаева [19 – 21], В. И. Лотова и
Н. Г. Орловой [22]. В недавно опубликованных работах [23, 24] проведен асимп-
тотический анализ распределений двухграничных функционалов для случайных
блужданий, заданных на цепи Маркова.
В последнее десятилетие наблюдается повышенный интерес к двухграничным
задачам для случайных процессов. Это вызвано тем обстоятельством, что двухгра-
ничные задачи находят применение в прикладных областях теории вероятностей,
таких как теория очередей, финансовая математика, управление запасами, теория
надежности. В частности, появилось много работ, в которых рассматривались
двухграничные задачи для полунепрерывных процессов с независимыми прираще-
ниями (см., например, [25 – 33]). По мнению авторов, можно выделить следующий
круг вопросов, которые рассматривались в этих работах. Во-первых, приводи-
лись новые методы доказательства формул Шуренкова – Супруна, основанные на
экскурсиях Ито и мартингальной технике. Во-вторых, продолжалось исследова-
ние аналитических свойств резольвенты, переходных и эргодических характерис-
тик полунепрерывных процессов, остановленных в момент выхода из интервала.
В-третьих, рассматривались полунепрерывные процессы с отражением на границе
и для них решались граничные задачи. В работе [34] рассматривались некоторые
двухграничные задачи для сложного пуассоновского процесса со сносом. Рас-
пределения скачков в рассматриваемом процессе являются смесью показательных
распределений. Н. С. Братийчук, О. В. Лукович [35] изучали задачу о разоре-
нии для процесса Пуассона с отражением, распределение скачков которого в одну
сторону является смесью показательных распределений.
В тождествах Кемпермана [16], Е. А. Печерского [7], В. М. Шуренкова основной
двухграничный функционал — совместное распределение {χ̃, T̃} — выражается че-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1488 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
рез другой двухграничный функционал — совместное распределение {X−
t , Xt, X
+
t }
и меру Леви Π(A) процесса или распределение процесса. Это обстоятельство за-
трудняет применение этих тождеств для решения других двухграничных задач.
В работе [36] для определения совместного распределения {χ̃, T̃} процесса с
кумулянтой общего вида (1) авторы предложили принципиально другую идею. Их
метод является простым и естественным и основан на использовании совместных
распределений однограничных функционалов {τ̃x, T̃ x}, {τ̃x, T̃x}, x ≥ 0, где
τ̃x = inf{t : Xt > x}, T̃ x = Xτ̃x − x, τ̃x = inf{t : Xt < −x}, T̃x = −Xτ̃x
− x
— момент и величина первого выхода процесса за верхний уровень x, а также мо-
мент и величина первого выхода процесса за нижний уровень −x. Интегральные
преобразования совместных распределений этих однограничных функционалов
процесса были получены в 60-х годах прошлого столетия в работах Б. А. Рогозина,
Е. А. Печерского, А. А. Боровкова, В. М. Золотарева [45 – 48] и других. Используя
прямой вероятностный метод (формулу полной вероятности, однородность про-
цесса по пространству, свойство строгой марковости процесса), для определения
преобразований Лапласа
Ṽ x(du, s) = E
[
e−sχ̃; T̃ ∈ du,Ax
]
, Ṽy(du, s) = E
[
e−sχ̃; T̃ ∈ du,Ay
]
совместных распределений {χ̃, T̃} авторы [36] составляют и решают систему урав-
нений
E
[
e−sτ̃x
; T̃ x ∈ du
]
= Ṽ x(du, s) +
∞∫
0
Ṽy(dv, s)E
[
e−sτ̃v+B
; T̃ v+B ∈ du
]
,
E
[
e−sτ̃y ; T̃y ∈ du
]
= Ṽy(du, s) +
∞∫
0
Ṽ x(dv, s)E
[
e−sτ̃v+B ; T̃v+B ∈ du
]
,
где x = B − y, u > 0. В полученных после решения этой системы форму-
лах преобразования Лапласа совместного распределения {χ̃, T̃} выражаются че-
рез совместные распределения {τ̃x, T̃ x}, {τ̃x, T̃x} однограничных функционалов,
что позволяет эффективно решать другие двухграничные задачи для процессов с
независимыми приращениями. В частности, для полунепрерывного процесса с не-
зависимыми приращениями ряд таких задач решен в [41, 42]. Изложенный в [36]
метод решения двухграничных задач применим и для других типов случайных
процессов, например для разности неординарных процессов восстановления [43].
1. Основные определения. Пусть ξ ∈ R, P[ξ = 0] < 1 и {ξ, ξn}, n ∈
∈ N = {1, 2, . . . }, — последовательность независимых одинаково распределенных
случайных величин. Введем случайное блуждание ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+ = {0, 1, . . .},
порожденное случайной величиной ξ : ξ(0) = 0, ξ(n) = ξ1 + . . . + ξn, n ∈ N.
При решении граничных задач для случайных блужданий важное значение имеет
факторизационное тождество Спицера
E e−pξ(νt) =
1− t
1− tE e−pξ
= E e−pξ+
νt E e−pξ−νt , <(p) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1489
где νt — не зависимая от блуждания, геометрически распределенная с параметром
t ∈ (0, 1) случайная величина P[νt = n] = (1 − t) tn, n ∈ Z+, а ξ+
n = max
m≤n
ξ(m),
ξ−n = min
m≤n
ξ(m), m, n ∈ Z+, — maximum и minimum случайного блуждания ξ(n),
n ∈ Z+. Для интегральных преобразований безгранично делимых случайных ве-
личин ξ±νt
справедливы следующие формулы [45]:
Ee−pξ±νt =
= exp
{∑
n∈N
tn
n
E
[
e−pξ(n) − 1; ± ξ(n) > 0
]}
, t ∈ (0, 1), ±<(p) ≥ 0.
Для всех x ≥ 0 определим случайные величины
τx = inf{n : ξ(n) > x}, T x = ξ(τx)− x,
τx = inf{n : ξ(n) < −x}, Tx = −ξ(τx)− x
— соответственно момент и величина первого перескока блужданием верхнего x и
нижнего −x уровней, inf{∅} = ∞. На событиях {τx = ∞}, {τx = ∞} положим
по определению T x = ∞, Tx = ∞ соответственно. Отметим также, что моменты
первого достижения множеств случайным блужданием являются марковскими и
блуждание однородно по пространству [45]. Эти свойства блуждания будут не-
однократно использоваться в дальнейшем изложении при составлении уравнений.
Предлагаемый метод решения двухграничных задач опирается на использова-
ние распределений однограничных функционалов {τ x, T x}, {τx, Tx}, x ≥ 0. Эти,
а также другие однограничные функционалы случайного блуждания были изучены
в 50-х годах прошлого столетия в работах Спарре-Андерсена, Феллера, Такача,
Спицера [45 – 48] и других. При решении этих задач применялись комбинаторные
и факторизационные методы. В следующей лемме мы приведем аналитические
выражения для однограничных функционалов, которые будут использованы при
решении двухграничных задач для случайных блужданий.
Лемма 1. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание. Тогда:
i) для производящих функций совместных распределений {τx, T x}, {τx, Tx}
при <(p) ≥ 0 выполняются следующие равенства:
E
[
t τx
exp{−pT x}
]
=
(
E e−pξ+
νt
)−1
E
[
e−p(ξ+
νt
−x); ξ+
νt
> x
]
,
E [tτx exp{−pTx}] =
(
E e pξ−νt
)−1
E
[
e p(ξ−νt
+x);−ξ−νt
> x
]
;
(4)
ii) для интегральных преобразований совместных распределений {ξ(νt), ξ±νt
}
справедливы формулы
E
[
e−pξ(νt); ξ+
νt
≤ x
]
= E e−pξ−νt E
[
e−pξ+
νt ; ξ+
νt
≤ x
]
, <(p) ≤ 0,
E
[
e−pξ(νt); ξ−νt
≥ −x
]
= E e−pξ+
νt E
[
e−pξ−νt ; ξ−νt
≥ −x
]
, <(p) ≥ 0.
(5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1490 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
Доказательство. Равенства леммы были получены для однородных процессов
с независимыми приращениями в работе Е. А. Печерского и Б. А. Рогозина [38].
Приведем элементарное доказательство этих формул с использованием факториза-
ционного тождества Спицера и простых вероятностных рассуждений. Установим
равенства (4). Согласно формуле полной вероятности, свойству строгой марково-
сти блуждания и его однородности по пространству, для всех x ≥ 0 справедливо
равенство
E
[
e−pξ+
νt ; ξ+
νt
> x
]
= E
[
tτ
x
e−pξ(τ x)
]
E e−pξ+
νt , <(p) ≥ 0. (6)
Приведем также следующее краткое пояснение. Очевидно, что событие {ξ+
n > x}
эквивалентно событию {τ x ≤ n}. Тогда при <(p) ≥ 0
E
[
e−pξ+
n ; ξ+
n > x
]
= E
[
e−pξ+
n ; τ x ≤ n
]
= E
[
e−pξ(τ x)e−pξ+
n−τx ; τ x ≤ n
]
.
Поскольку τ x — марковский момент, то случайная величина ξ+
n−τ x не зависит от
сигма-алгебры Bτx , порожденной событиями {ξ(m) < u} ∩ {τx > m}, m ∈ Z+,
u ∈ R. Поэтому, согласно формуле полной вероятности,
E
[
e−pξ(τ x)e−pξ+
n−τx ; τ x ≤ n
]
=
=
n∑
m=1
E
[
e−pξ(m); τ x = m
]
E e−pξ+
n−m , <(p) ≥ 0.
Подставив правую часть этого равенства в предыдущую формулу, будем иметь
E
[
e−pξ+
n ; ξ+
n > x
]
=
n∑
m=1
E
[
e−pξ(m); τ x = m
]
E e−pξ+
n−m , <(p) ≥ 0.
Умножив это равенство на (1 − t) tn = P[νt = n] и выполнив в обеих частях
суммирование по всем n ∈ Z+, получим формулу (6). Разделив обе части фор-
мулы (6) на exp{−px}E exp{−pξ+
νt
}, найдем производящую функцию совместного
распределения {τx, T x} и первое из равенств (4):
E
[
t τx
exp{−pT x}
]
=
(
E e−pξ+
νt
)−1
E
[
e−p(ξ+
νt
−x); ξ+
νt
> x
]
, <(p) ≥ 0.
Применив это равенство к случайному блужданию −ξ(n), n ∈ Z+, получим второе
из равенств (4).
Установим справедливость равенств (5). Используя формулу полной вероятно-
сти, однородность блуждания по пространству и тот факт, что τx — марковский
момент, выводим равенство
E e−pξ(νt) = E
[
e−pξ(νt); ξ+
νt
≤ x
]
+ E
[
t τx
e−pξ(τx)
]
E e−pξ(νt), <(p) = 0. (7)
Равенство (7) отображает то обстоятельство, что приращение блуждания на ин-
тервале [0, νt] происходит на траекториях, которые либо не пересекают верхний
уровень x (первое слагаемое в правой части уравнения ), либо пересекают уро-
вень x с последующими приращениями случайного блуждания на интервале [0, νt]
(второе слагаемое в правой части равенства).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1491
Подставляя в равенство (7) выражение для E
[
t τx
e−pξ(τ x)
]
из формулы (6),
находим
E
[
e−pξ(νt); ξ+
νt
≤ x
]
= E e−pξ−νt E
[
e−pξ+
νt ; ξ+
νt
≤ x
]
, <(p) = 0.
Поскольку в правой и левой частях этого равенства содержатся аналитические
при <(p) ≤ 0 функции, это равенство выполняется для всех <(p) ≤ 0. Таким
образом, мы получили первое из равенств (5). Применив эту формулу к случайному
блужданию −ξ(n), n ∈ Z+, получим второе из равенств (5).
Лемма доказана.
2. Двухграничные задачи для блужданий. В этом пункте мы приведем
решение основных двухграничных задач для случайного блуждания. Ключевым
двухграничным функционалом для случайных процессов и блужданий является
совместное распределение момента первого выхода процесса (блуждания) из ин-
тервала и величины перескока границы интервала в момент первого выхода. Пред-
лагаемый метод решения этой задачи опирается на использование совместных
распределений однограничных функционалов {τx, T x}, {τx, Tx}, x ≥ 0. Для со-
ставления уравнений и систем уравнений применяются прямой вероятностный
метод, основанный на формуле полной вероятности и определяющих свойствах
блуждания, таких как однородность по времени и пространству, марковость перво-
го момента достижения множества (свойство строгой марковости блуждания). Мы
применяем классический метод последовательных итераций [44].
2.1. Выход блуждания из интервала. Первая задача, которую мы рассмот-
рим, — определение производящей функции совместного распределения момента
первого выхода блуждания из интервала и величины перескока блуждания через
границу интервала в момент первого выхода. Пусть B > 0 фиксировано, x ∈ [0, B],
y = B − x и введем случайную величину χ = inf{n : ξ(n) /∈ [−y, x]} — момент
первого выхода блуждания из интервала [−y, x]. Случайная величина χ является
марковским моментом [45] и P[χ < ∞] = 1. Выход блуждания из интервала
может произойти либо через верхнюю границу x, либо через нижнюю −y. Введем
события: Ax = {ξ(χ) > x} — выход блуждания из интервала произошел через
верхнюю границу, Ay = {ξ(χ) < −y} — выход блуждания из интервала произошел
через нижнюю границу. Для x ∈ [0, B], y = B − x обозначим
F x(du, t) = E
[
tτ
x
; T x ∈ du
]
−
∞∫
0
E [t τy ;Ty ∈ dv]E
[
tτ
v+B
;T v+B ∈ du
]
,
Fy(du, t) = E [tτy ;Ty ∈ du]−
∞∫
0
E
[
tτ
x
;T x ∈ dv
]
E [tτv+B ;Tv+B ∈ du].
Теорема 1. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание,
χ = inf{n : ξ(n) /∈ [−y, x] } и T = (ξ(χ)− x)IAx + (−ξ(χ)− y)IAy
— момент первого выхода блуждания из интервала [−y, x] и величина перескока
блуждания через границу в момент первого выхода.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1492 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
Тогда для производящей функции совместного распределения случайных вели-
чин {χ, T} при t ∈ (0, 1) справедливы следующие равенства:
V x(du, t) df= E [tχ;T ∈ du,Ax] = F x(du, t) +
∞∫
0
F x(dv, t) K t
+(v, du),
Vy(du, t) df= E [tχ;T ∈ du,Ay] = Fy(du, t) +
∞∫
0
Fy(dv, t) K t
−(v, du),
(8)
где K t
±(v, du) =
∑∞
n∈N
K
(n)
± (v, du, t), v > 0, — ряд из последовательных итераций;
K
(1)
± (v, du, t) = K±(v, du, t),
K
(n+1)
± (v, du, t) =
∞∫
0
K
(n)
± (v, dl, t)K±(l, du, t)
(9)
— последовательные итерации (n ∈ N) ядер K±(v, du, t), которые определены
равенствами
K+(v, du, t) =
∞∫
0
E
[
t τv+B ;Tv+B ∈ dl
]
E
[
t τ l+B
;T l+B ∈ du
]
,
K−(v, du, t) =
∞∫
0
E
[
t τv+B
;T v+B ∈ dl
]
E [t τl+B ;Tl+B ∈ du].
(10)
Доказательство. Для функций V x(du, t), Vy(du, t), согласно формуле пол-
ной вероятности, однородности блуждания по пространству и свойству строгой
марковости, справедлива система уравнений
E
[
tτ
x
;T x ∈ du
]
= V x(du, t) +
∞∫
0
Vy(dv, t)E
[
tτ
v+B
;T v+B ∈ du
]
,
E [tτy ;Ty ∈ du] = Vy(du, t) +
∞∫
0
V x(dv, t)E [tτv+B ;Tv+B ∈ du].
(11)
Первое уравнение системы (11) отражает то обстоятельство, что первое пересече-
ние верхнего уровня x блужданием (левая часть уравнения) происходит на траекто-
риях, которые либо не пересекают нижний уровень −y (первое слагаемое в правой
части уравнения), либо пересекают нижний уровень −y и затем впервые пересе-
кают верхний уровень x (второе слагаемое в правой части уравнения). Приведем
также следующее краткое пояснение. Очевидно, что
V x(du, t) = E
[
tτ
x
;T x ∈ du, τx < τy
]
, Vy(du, t) = E
[
tτy ;Ty ∈ du, τy < τx
]
.
Тогда, согласно формуле полной вероятности, справедлива цепочка равенств
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1493
E
[
tτ
x
;T x ∈ du
]
= E
[
tτ
x
;T x ∈ du, τx < τy
]
+ E
[
tτ
x
;T x ∈ du, τy < τx
]
=
= E [tχ; T ∈ du,Ax] + E
[
tχtτ
B+X
; TB+X ∈ du,Ay
]
. (12)
Поскольку χ — марковский момент, случайные величины τB+X , TB+X не зависят
от сигма-алгебры Bχ, порожденной событиями {ξ(m) < u} ∩ {χ > m} при m ∈
∈ Z+, u ∈ R. Поэтому
E
[
tχtτ
B+X
; TB+X ∈ du,Ay
]
=
∞∫
0
E [tχ;T ∈ dv,Ay] E
[
tτ
v+B
;T v+B ∈ du
]
.
Подставляя правую часть этого равенства в (12), получаем первое из равенств (11).
Справедливость второго равенства системы устанавливается аналогично. Систе-
ма линейных интегральных уравнений (11) вполне аналогична системе линейных
уравнений с двумя неизвестными. Подставляя в первое уравнение выражение для
Vy(du, t) из второго уравнения, получаем
V x(du, t) = F x(du, t) +
∞∫
l=0
∞∫
v=0
Vy(dv, t)E [tτv+B ;Tv+B ∈ dl]E
[
tτ
l+B
;T l+B ∈ du
]
.
Изменяя во втором слагаемом правой части порядок интегрирования, находим
линейное интегральное уравнение относительно функции V x(du, t) :
V x(du, t) = F x(du, t) +
∞∫
0
V x(dv, t)K+(v, du, t). (13)
Для ядра этого уравнения K+(v, du, t) для всех v, u > 0, t ∈ (0, t0) справедлива
оценка
K+(v, du, t) ≤
∞∫
0
E
[
t τv+B ;Tv+B ∈ dl
]
Etτ
l+B
≤ Etτ
B
∞∫
0
E
[
tτv+B ;Tv+B ∈ dl
]
≤
≤ Etτ
B
EtτB ≤ a = Et τB
0 EtτB
0 < 1, t0 ∈ (0, 1).
При выводе этой цепочки неравенств мы использовали неравенства
Etτ
B
−Et τv+B
= P
[
ξ+
νt
∈ (B, v + B]
]
≥ 0, EtτB ≥ Etτv+B , v > 0,
которые следуют из равенств (4). И если
K
(1)
+ (v, du, t) = K+(v, du, t), K
(n+1)
+ (v, du, t) =
∞∫
0
K
(n)
+ (v, dl, t)K+(l, du, t)
— последовательность n-х итераций ядра K+(v, du, t), n ∈ N, то по индукции уста-
навливаем, что для всех v, u > 0, t ∈ (0, t0) справедлива оценка K
(n)
+ (v, du, t) < an,
n ∈ N. Следовательно, ряд Kt
+(v, du) =
∑
n∈N
K
(n)
+ (v, du, t) < a (1 − a)−1 из
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1494 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
последовательных итераций ядра K+(v, du, t) сходится равномерно по v, u > 0,
t ∈ (0, t0). Применяя для решения линейного интегрального уравнения (13) метод
последовательных итераций [44], находим
V x(du, t) = F x(du, t) +
∞∫
0
F x(dv, t)Kt
+(v, du), t ∈ (0, t0).
Устремляя t0 к 1, получаем первое из равенств (8). Справедливость второго из
равенств (8) устанавливается аналогично. Для однородного процесса с независи-
мыми приращениями и целочисленного случайного блуждания аналогичные тео-
ремы были доказаны в [36].
Теорема доказана.
2.2. Supremum, infimum и значение блуждания. Применим теорему 1 для
определения функции (x, y ≥ 0)
Qt(p) = E
[
e−pξ(νt);χ > νt
]
=
x∫
−y
e−up P
[
− y ≤ ξ−νt
, ξ(νt) ∈ du, ξ+
νt
≤ x
]
.
Совместное распределение supremum’a, infimum’a и значения однородного процес-
са с независимыми приращениями было получено в монографии И. И. Гихмана,
А. В. Скорохода [1] в терминах распределений приращений процесса и одногранич-
ных функционалов {τx, T x}, {τy, Ty}. Для составления уравнений использовались
вероятностно-комбинаторные рассуждения, основанные на формуле включения и
исключения. В следующей теореме содержится выражение для интегрального пре-
образования совместного распределения supremum’a, infimum’a и значения блужда-
ния в терминах распределения {χ, T} и распределения {ξ(νt), ξ±νt
}, определенного
равенством (5).
Теорема 2. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание, x, y ≥ 0. Тогда
для интегрального преобразования совместного распределения
{
ξ−νt
, ξ(νt), ξ+
νt
}
при t ∈ (0, 1) справедливы равенства
Q t(p) = Ux(t, p)− eyp
∞∫
0
evp E
[
tχ;T ∈ dv,Ay
]
Uv+B(t, p), <(p) ≤ 0,
Q t(p) = Uy(t, p)− e−xp
∞∫
0
e−vpE
[
tχ;T ∈ dv,Ax
]
Uv+B(t, p), <(p) ≥ 0,
(14)
где B = x + y и
Ux(t, p) = E
[
e−pξ(νt); ξ+
νt
≤ x
]
= E e−pξ−νt E
[
e−p ξ+
νt ; ξ+
νt
≤ x
]
, <(p) ≤ 0,
Uy(t, p) = E
[
e−p ξ(νt); ξ−νt
≥ −y
]
= E e−pξ+
νt E
[
e−p ξ−νt ; ξ−νt
≥ −y
]
, <(p) ≥ 0.
В частности,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1495
P [χ > νt ] = P
[
ξ+
νt
≤ x
]
−
∞∫
0
E [tχ;T ∈ dv,Ay] P[ξ+
νt
≤ v + B ] =
= P[ξ−νt
≥ −y]−
∞∫
0
E [tχ;T ∈ dv,Ax]P[ξ−νt
≥ −(v + B)]. (15)
Доказательство. Установим справедливость первого из равенств (14). Со-
гласно формуле полной вероятности, однородности по пространству и свойству
строгой марковости блуждания, справедливо уравнение
E
[
e−pξ(νt); ξ+
νt
≤ x
]
= E
[
e−pξ(νt);χ > νt
]
+
+
∞∫
0
E
[
tχ;T ∈ dv,Ay
]
e(v+y)pE
[
e−pξ(νt); ξ+
νt
≤ v + B
]
, <(p) ≤ 0. (16)
Это уравнение отражает то обстоятельство, что приращения блуждания на тра-
екториях, которые не пересекают уровень x на интервале [0, νt], происходят либо
на траекториях блуждания, которые не пересекают и уровень −y (первое слага-
емое в правой части этого равенства), либо на траекториях блуждания, которые
пересекают уровень −y с дальнейшими приращениями на траекториях, которые
не пересекают уровень x на интервале [0, νt] (второе слагаемое в правой части
равенства). Кроме этого замечания приведем следующие пояснения. Ясно, что
событие {ξ−n ≥ −y} эквивалентно событию {τy > n}. Тогда, согласно формуле
полной вероятности, при <(p) ≤ 0 справедлива цепочка равенств
E
[
e−pξ(n); ξ+
n ≤ x
]
=
= E
[
e−pξ(n); ξ+
n ≤ x, τy > n
]
+ E
[
e−pξ(n); τx > n, τy ≤ n
]
=
= E
[
e−pξ(n); ξ−n ≥ −y, ξ+
n ≤ x
]
+ E
[
ep(y+X)e−p ξ(n−χ);χ ≤ n, τB+X > n− χ,Ay
]
.
Поскольку χ — марковский момент, приращения блуждания ξ(n − χ), n ≥ χ, и
τB+X не зависят от сигма-алгебры Bχ, и поэтому при <(p) ≤ 0
E
[
ep(y+X)e−p ξ(n−χ);χ ≤ n, τB+X > n− χ,Ay
]
=
= e py
n∑
m=1
∞∫
0
epvP [χ = m,T ∈ dv,Ay] E
[
e−pξ(n−m); τv+B > n−m
]
.
Подставляя правую часть этой формулы в предыдущее равенство, находим
E
[
e−p ξ(n); ξ+
n ≤ x
]
= E
[
e−p ξ(n); ξ−n ≥ −y, ξ+
n ≤ x
]
+
+e py
n∑
m=1
∞∫
0
e pvP
[
χ = m,T ∈ dv,Ay
]
E
[
e−p ξ(n−m); ξ+
n−m ≤ v + B
]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1496 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
Умножая это равенство на (1−t) tn = P[νt = n] и выполняя суммирование по всем
n ∈ Z+, получаем (16). Из равенства (16) следует первая из формул (14). Справед-
ливость второй формулы устанавливается аналогично. Равенство (15) следует из
равенств (14) при p = 0. Для однородного процесса с независимыми приращениями
равенства, аналогичные (14), получены в [36].
Теорема доказана.
2.3. Пересечения интервала блужданием. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, —
случайное блуждание, ξ(0) = 0, B > 0, x ∈ [0, B], y = B − x. Следуя работе [22],
введем случайные последовательности (k ∈ N)
i±0 = 0, i−k = inf
{
n > i+k−1 : ξ(n) < −y
}
, i+k = inf{n > i−k : ξ(n) > x}.
Определим случайную величину α+
n = max{k ∈ Z+ : i+k ≤ n} ∈ Z+ — число
пересечений интервала [−y, x] блужданием ξ(·) снизу вверх на временном отрезке
[0, n], где inf{∅} = ∞. Аналогично, введем случайные последовательности
ĩ±0 = 0, ĩ+k = inf{n > ĩ−k−1 : ξ(n) > x}, ĩ−k = inf{n > ĩ+k : ξ(n) < −y}.
Определим случайную величину α−n = max{k ∈ Z+ : ĩ−k ≤ n} ∈ Z+ — число
пересечений интервала [−y, x] блужданием ξ(·) сверху вниз на временном отрезке
[0, n]. Для всех k, l ∈ Z+ введем обозначения
pl
k(n) = P
[
α+
n = k, α−n = l
]
, p±k (n) = P
[
α±n = k
]
, pk(n) = P [αn = k],
(17)
где αn = α+
n + α−n — общее число пересечений интервала блужданием за n шагов.
Распределение p±k (νt), k ∈ Z+, получено в [22] с использованием проективных
операторов от компонент факторизации случайного блуждания. В следующей тео-
реме приведены распределения (17) в терминах совместного распределения {χ, T}
и последовательных итераций K
(n)
± (v, du, t), n ∈ Z+.
Теорема 3. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание, B > 0,
x ∈ [0, B], y = B − x. Тогда для совместного распределения {α+
νt
, α−νt
} для всех
n ∈ Z+, t ∈ (0, 1) справедливы равенства
pn+1
n (νt) =
∞∫
0
V x(dv, t)
∞∫
0
K
(n)
+ (v, du, t)
∞∫
0
E [tτu+B ;Tu+B ∈ dl]
(
1−Etτ
l+B
)
,
pn
n+1(νt) =
∞∫
0
Vy(dv, t)
∞∫
0
K
(n)
− (v, du, t)
∞∫
0
E
[
tτ
u+B
;Tu+B ∈ dl
]
(1−Etτl+B ) ,
(18)
pn
n(νt) = I{n=0}
1−
∞∫
0
V x(dv, t)Etτv+B −
∞∫
0
Vy(dv, t)Etτ
v+B
+
+I{n∈N}
∞∫
0
V x(dv, t)
∞∫
0
K
(n)
+ (v, du, t) (1−Etτu+B ) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1497
+I{n∈N}
∞∫
0
Vy(dv, t)
∞∫
0
K
(n)
− (v, du, t)
(
1−Etτ
u+B
)
,
где K
(0)
± (v, du, t) df= δ(v − u) du, а функции V x(dv, t), Vy(dv, t) и итерации
K
(n)
± (v, du, t), n ∈ N, ядер K±(v, du, t) найдены с помощью теоремы 1.
Доказательство. Для v > 0, a, b ∈ [0, 1] введем производящие функции
hv(a, b, t) = E aα +
νt
(−v−y)bα−νt
(−v−y),
hv(a, b, t) = E aα +
νt
(v+x)bα−νt
(v+x), h(a, b, t) = E aα +
νt bα−νt ,
где α±νt
(u), u ∈ R, — число пересечений интервала [−y, x] снизу вверх (сверху вниз)
случайным блужданием u + ξ(n) на временном отрезке [0, νt]. Согласно формуле
полной вероятности, однородности по пространству и свойству строгой марковости
блуждания, для этих функций имеет место система уравнений
hv(a, b, t) = 1−E t τv+B + b
∞∫
0
E [tτv+B ;Tv+B ∈ du]hu(a, b, t),
hv(a, b, t) = 1−E tτ
v+B
+ a
∞∫
0
E
[
tτ
v+B
;T v+B ∈ du
]
hu(a, b, t), (19)
h(a, b, t) = 1−E tχ +
∞∫
0
V x(dv, t)hv(a, b, t) +
∞∫
0
Vy(dv, t)hv(a, b, t).
Подставляя в первое уравнение этой системы выражение для функции hv(a, b, t)
из второго уравнения, для функции hv(a, b, t) получаем линейное интегральное
уравнение
hv(a, b, t) = 1−E tτv+B + b
∞∫
0
E [tτv+B ;Tv+B ∈ du]
(
1−E tτ
u+B
)
+
+ab
∞∫
0
K+(v, du, t)hu(a, b, t). (20)
Обозначим K
(0)
± (v, du, t) df= δ(v − u) du,
K t
+(v, du, a, b) =
∞∑
n=0
(ab)n K
(n)
+ (v, du, t), a, b ∈ [0, 1].
Равномерная сходимость этого ряда при a = b = 1 обоснована при доказательстве
теоремы 1. Применяя для решения интегрального уравнения (20) метод последо-
вательных итераций [44], имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1498 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
hv(a, b, t) =
∞∫
0
K t
+(v, du, a, b) (1−Et τu+B ) +
+b
∞∫
0
K t
+(v, du, a, b)
∞∫
0
E
[
t τu+B ;Tu+B ∈ dl
](
1−Et τ l+B)
. (21)
Аналогично (или применяя принцип симметрии) находим
hv(a, b, t) =
∞∫
0
K t
−(v, du, a, b)
(
1−Etτ
u+B)
+
+a
∞∫
0
Kt
−(v, du, a, b)
∞∫
0
E
[
tτ
u+B
;Tu+B ∈ dl
]
(1−Etτl+B ) , (22)
где
Kt
−(v, du, a, b) =
∞∑
n=0
(ab)nK
(n)
− (v, du, t), a, b ∈ [0, 1].
Производящие функции hv(a, b, t), hv(a, b, t), v > 0, определены равенствами (21),
(22) и, следовательно, третьим из равенств (19) определена производящая функ-
ция h(a, b, t). Эти производящие функции генерируют совместные распределения
{α+
νt
, α−νt
}, приведенные в теореме. Сравнивая в обеих частях равенств (21), (22),
(19) коэффициенты при anbm, |n−m| ≤ 1, n, m ∈ Z+, получаем равенства теоре-
мы. Распределения p±n (νt), pn(νt) тривиальным образом следуют из формул (18).
Для однородного процесса с независимыми приращениями аналогичная теорема
доказана в [49].
Замечание 1. Приведем вероятностную интерпретацию ядер K±(v, du, t), их
последовательных итераций K
(n)
± (v, du, t) и равенств теоремы 3. Обозначим через
iv1 = inf{n > τv+B : v + x + ξ(n) > x} и Iv
1 = v + x + ξ(iv1)− x
момент первого полного пересечения (пересечения в обоих направлениях) интер-
вала [−y, x] блужданием v+x+ξ(·) сверху и величину перескока верхней границы
x блужданием v+x+ξ(·) в момент первого полного пересечения интервала сверху.
Тогда
K+(v, du, t) =
∞∫
0
E [t τv+B ;Tv+B ∈ dl]E
[
t τ l+B
;T l+B ∈ du
]
= E
[
t iv
1 ; Iv
1 ∈ du
]
.
Положим по определению iv0 = 0, Iv
0 = v и для n ∈ N определим
ivn = ivn−1 + inf{l > τIv
n−1+B : Iv
n−1 + ξ(l) > 0} и Iv
n = Iv
n−1 + ξ(ivn)
— момент n-го полного пересечения интервала [−y, x] блужданием v + x + ξ(·)
сверху и величину перескока уровня x блужданием в момент n-го полного пересе-
чения сверху. Тогда K
(n)
+ (v, du, t) = E
[
t iv
n ; Iv
n ∈ du
]
, n ∈ Z+. Теперь обратимся к
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1499
первой из формул (18) и приведем для нее следующую вероятностную интерпре-
тацию.
Событие {α+
νt
= n, α−νt
= n+1} может осуществиться на траекториях блужда-
ния, которые имеют следующие свойства. Во-первых, эти траектории выходят из
интервала [−y, x], и выход происходит через верхнюю границу, так как в противном
случае α+
νt
≥ α−νt
(выражение между первым и вторым интегралами). Во-вторых,
далее на этих траекториях происходит n полных пересечений интервала блуж-
данием сверху (выражение между вторым и третьим интегралами). И наконец,
происходит одно пересечение интервала сверху вниз, а на оставшемся временном
отрезке [0, νt] траектории блуждания не пересекают верхний уровень x (выражение
под третьим интегралом).
2.4. Момент первого вхождения блуждания в интервал. В этом пункте
для удобства изложения мы изменим пространственное расположение интервала
и введем новые обозначения. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание,
y ∈ [0, B] и χ(y) = inf{n : y + ξ(n) /∈ [0, B]} — момент первого выхода блуждания
y + ξ(·) из интервала [0, B]. Введем события: AB = {ξ(χ(y)) > B} — выход
блуждания y + ξ(·) из интервала [0, B] произошел через верхнюю границу B,
A0 = {ξ(χ(y)) < 0} — выход блуждания y + ξ(·) из интервала [0, B] произошел
через нижнюю границу 0. Определим случайную величину
T (y) = (ξ(χ(y))−B) IAB + (−ξ(χ(y))) IA0 , P
[
AB + A0
]
= 1,
— величину перескока блуждания y + ξ(·) через границу в момент первого выхода
из интервала [0, B]. По сравнению с предыдущими пунктами мы сдвинули интер-
вал [−y, x], (x = B − y) и блуждание вверх на y. В силу однородности блуждания
по пространству совместное распределение {χ(y), T (y)} совпадает с совместным
распределением {χ, T}, и его производящая функция определена равенствами те-
оремы 1. Положим по определению χ(y) df= 0, при y /∈ [0, B].
Теорема 4. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание, y ∈ R,
χ(y) = inf{n > χ(y) : y + ξ(n) ∈ [0, B]} и T (y) = y + ξ(χ(y)) ∈ [0, B]
— момент первого вхождения блуждания y+ξ(·) в интервал [0, B] и значение блуж-
дания в момент первого вхождения. Тогда при t ∈ (0, 1) справедливы равенства
d v(du, t) = E
[
tχ(v+B);T (v + B) ∈ du
]
=
=
∞∫
0
Qt
+(v, dl)E [tτl ;B − Tl ∈ du] +
+
∞∫
0
Qt
+(v, dl)
∞∫
0
E [tτl ;Tl −B ∈ dν]E
[
tτ
ν
;T ν ∈ du
]
, v > 0,
dv(du, t) = E
[
tχ(−v);T (−v) ∈ du
]
=
∞∫
0
Qt
−(v, dl)E
[
tτ
l
;T l ∈ du
]
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1500 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
+
∞∫
0
Qt
−(v, dl)
∞∫
0
E
[
tτ
l
;T l −B ∈ dν
]
E [tτν ;B − Tν ∈ du] , v > 0, (23)
d(y, du, t) = E
[
tχ(y);T (y) ∈ du
]
=
=
∞∫
0
V x(dv, t)dv(du, t) +
∞∫
0
Vy(dv, t)dv(du, t), y ∈ [0, B],
где Qt
±(v, du) = δ(v−u) du+
∑
n∈N
Q
(n)
± (v, du, t), v > 0, — ряд из последователь-
ных итераций Q
(n)
± (v, du, t), n ∈ N;
Q
(1)
± (v, du, t) = Q±(v, du, t), Q
(n+1)
± (v, du, t) =
∞∫
0
Q
(n)
± (v, dl, t)Q±(l, du, t)
(24)
— итерации ядер Q±(v, du, t), которые определены равенствами
Q+(v, du, t) =
∞∫
0
E [tτv ;Tv −B ∈ dl]E
[
tτ
l
;T l −B ∈ du
]
,
Q−(v, du, t) =
∞∫
0
E
[
tτ
v
;T v −B ∈ dl
]
E [tτl ;Tl −B ∈ du] .
(25)
Доказательство. Для функций dv(du, t), dv(du, t), v > 0, согласно формуле
полной вероятности, однородности блуждания по пространству и тому факту, что
τx, τx, x ≥ 0, — марковские моменты, имеет место система уравнений
dv(du, t) = E [tτv ;B − Tv ∈ du] +
∞∫
0
E [t τv ;Tv −B ∈ dl] dl(du, t),
dv(du, t) = E
[
tτ
v
;T v ∈ du
]
+
∞∫
0
E
[
tτ
v
;T v −B ∈ dl
]
dl(du, t).
(26)
Эта система линейных интегральных уравнений вполне аналогична системе ли-
нейных уравнений с двумя неизвестными. Подставляя из правой части второго
уравнения выражение для функции dv(du, t) в первое уравнение, имеем
dv(du, t) = E [tτv ;B − Tv ∈ du] +
∞∫
0
E[tτv ; Tv −B ∈ dl]E[tτ
l
;T l ∈ du]+
+
∞∫
l=0
E[tτv ;Tv −B ∈ dl]
∞∫
ν=0
E[tτ
l
;T l −B ∈ dν]dν(du, t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1501
Изменяя в третьем слагаемом правой части этого уравнения порядок интегрирова-
ния, для функции dv(du, t), v > 0, получаем линейное интегральное уравнение
d v(du, t) =
∞∫
0
Q+(v, dν, t)dν(du, t)+
+E[tτv ;B − Tv ∈ du] +
∞∫
0
E[tτv ;Tv −B ∈ dl]E[tτ
l
;T l ∈ du] (27)
с ядром
Q+(v, du, t) =
∞∫
0
E[tτv ;Tv −B ∈ dl]E[t τ l
;T l −B ∈ du], v > 0.
При t ∈ (0, 1) из очевидного равенства
E
[
tτ
v+B
;T v+B ∈ du
]
=
= E
[
tτ
v
;T v −B ∈ du
]
+
B∫
0
E
[
tτ
v
;T v ∈ dl
]
E
[
tτ
B−l
;TB−l ∈ du
]
следует цепочка неравенств
E
[
tτ
v
;T v −B ∈ du
]
≤ E
[
tτ
v+B
;T v+B ∈ du
]
≤ Etτ
v+B
≤ Etτ
B
.
Аналогично устанавливаем, что
E [tτv ;Tv −B ∈ du] ≤ E [t τv+B ;Tv+B ∈ du] ≤ Etτv+B ≤ EtτB .
Из этих двух цепочек неравенств для ядра Q+(v, du, t) при всех v, u > 0, t ∈ (0, t0)
получаем следующую оценку:
Q+(v, du, t) =
∞∫
0
E[tτv ;Tv −B ∈ dl]E[tτ
l
;T l −B ∈ du] ≤
≤ EtτBEtτ
B
< a = EtτB
0 Etτ
B
0 < 1, t0 ∈ (0, 1).
Используя полученную оценку ядра и метод математической индукции, нетрудно
установить, что для последовательных итераций (24) Q
(n)
+ (v, du, t) ядра Q+(v, du, t),
при всех v, u > 0, t ∈ (0, t0) справедлива оценка
Q
(n+1)
+ (v, du, t) =
∞∫
0
Q
(n)
+ (v, dl, t)Q+(l, du, t) < an+1, n ∈ N.
Следовательно, ряд из последовательных итераций
∑
n∈N
Q
(n)
+ (v, du, t) < a(1 −
− a)−1 сходится равномерно по всем v, u > 0, t ∈ (0, t0). Применяя для решения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1502 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
линейного интегрального уравнения (27) метод последовательных итераций [44],
получаем первое из равенств (23). Справедливость второго из равенств (23) уста-
навливается аналогично. Третье из равенств (23) является следствием формулы
полной вероятности и того факта, что χ(y) — марковский момент. Аналогичная те-
орема для однородного процесса с независимыми приращениями приведена в [50].
3. Примеры. Приведем примеры применения полученных результатов для
случайного блуждания с показательно распределенными в одну сторону скачками.
Двухграничные задачи для такого класса блужданий были рассмотрены Т. В. Ка-
данковой в [51]. В этой работе для блуждания с геометрически распределенными
отрицательными скачками были получены производящие функции распределения
момента первого выхода из интервала через верхнюю и нижнюю границы, сов-
местного распределения supremum’a, infimum’a и значения блуждания, а также
определены вероятности выхода блуждания через границы. Кроме того, это блуж-
дание было рассмотрено в интервале с двумя отражающими границами. Для него
были определены переходные и стационарные характеристики и получены произ-
водящие функции граничных функционалов.
Пусть η ∈ (0,∞), γ ∼ exp(λ). Введем случайную величину ξ ∈ R с преобразо-
ванием Лапласа
Ee−pξ = aλ(λ− p)−1 + (1− a)Ee−pη, <(p) = 0, a ∈ (0, 1). (28)
Введем последовательность {ξ, ξi}, i ∈ N, независимых одинаково распределен-
ных случайных величин и определим случайное блуждание ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+,
порожденное случайной величиной ξ : ξ(0) = 0, ξ(n) = ξ1 + . . . + ξn. У этого
блуждания произошедший скачок следует распределению −γ с вероятностью a,
а с дополнительной вероятностью — распределению случайной величины η. Так
введенное блуждание будем называть блужданием с показательно распределенной
отрицательной компонентой. Из монографии А. А. Боровкова [39] (§ 18) изве-
стно, что в этом случае уравнение 1 − tE e−pξ = 0, t ∈ (0, 1), имеет в правой
полуплоскости <(p) > 0 единственный корень c(t) ∈ (0, λ), и для интегральных
преобразований случайных величин ξ+
νt
, ξ−νt
при <(p) ≥ 0 справедливы равенства
E epξ−νt =
c(t)
λ
λ + p
c(t) + p
, E e−pξ+
νt = λ
1− t
c(t)
(p− c(t)) R(p, t), (29)
R(p, t) =
(
aλt + (p− λ)[1− (1− a)tE e−pη]
)−1
, <(p) ≥ 0, p 6= c(t), (30)
где R(p, t) — резольвентная функция. Из равенств (4) и формул (29) нетрудно полу-
чить интегральные преобразования совместных распределений {τx, Tx}, {τx, T x}
для случайного блуждания с показательно распределенной отрицательной компо-
нентой, <(p), <(z) ≥ 0
E [tτx ;Tx ∈ du] = (λ− c(t))e−xc(t)e−λu du = EtτxP [γ ∈ du] ,
∞∫
0
e−pxEtτ
x
e−zξ(τx)dx =
1
p
(
1− p + z − c(t)
z − c(t)
R(p + z, s)
R(z, s)
)
.
(31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1503
Случайные величины τx, Tx являются независимыми, и для всех x ≥ 0 величина
перескока нижней границы Tx показательно распределена с параметром λ. Это
свойство является характерной особенностью случайного блуждания с показатель-
но распределенной отрицательной компонентой. Резольвентная функция R(p, t)
является аналитической при <(p) > c(t) и lim
|p|→∞
R(p, t) = 0. Следовательно [52,
c. 71], она представима абсолютно сходящимся интегралом Лапласа
R(p, t) =
∞∫
0
e−pxRt(x) dx, <(p) > c(t). (32)
Функцию Rt(x), x ≥ 0, будем называть резольвентой случайного блуждания с
показательно распределенной отрицательной компонентой. При этом будем по-
лагать, что Rt(x) = 0 при x < 0. Отметим, что Rt(0) = lim
p→∞
p R(p, t) = 1
(p действительное) и из равенств (29) следуют формулы P[ξ−νt
= 0] = c(t)λ−1,
P[ξ+
νt
= 0] = λ(1− t)c(t)−1. Из второй формулы (29) следует равенство
R(p, t) =
c(t)
λ(1− t)
1
p− c(t)
E e−pξ+
νt , <(p) > c(t).
В правой части этого равенства содержатся функции, которые при<(p) > c(t) явля-
ются преобразованиями Лапласа. Следовательно, совпадают функции-оригиналы
левой и правой частей этого равенства и
Rt(x) =
c(t)
λ(1− t)
x∫
−0
ec(t)(x−u)dP [ ξ+
νt
< u ], x ≥ 0.
Мы получили полезное представление для резольвенты случайного блуждания с
показательно распределенной отрицательной компонентой. Из этого представле-
ния следует, что функция Rt(x), x ≥ 0, является положительной, монотонно возра-
стающей непрерывной функцией и Rt(x) < A(t) exp{xc(t)}, A(t) < ∞. Поэтому∫ ∞
0
Rt(x)e−αxdx < ∞ при α > c(t). Кроме того, очевидно, что в окрестности лю-
бой точки x ≥ 0 функция Rt(x) имеет ограниченную вариацию. Следовательно,
согласно [52, с. 68], справедлива формула обращения
Rt(x) =
1
2πi
α+i∞∫
α−i∞
expR(p, t) dp, α > c(t). (33)
Это равенство, наряду с равенством (31), определяет резольвенту случайного блуж-
дания с показательно распределенной отрицательной компонентой.
3.1. Выход из интервала. В этом пункте мы применим формулы теоремы 1
для определения производящей функции совместного распределения {χ, T} слу-
чайного блуждания с показательно распределенной отрицательной компонентой.
Следствие 1. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание с показа-
тельно распределенной компонентой, B > 0, y ∈ [0, B], x = B − y. Тогда при
t ∈ (0, 1):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1504 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
i) для интегральных преобразований совместных распределений случайных ве-
личин {χ, T} справедливы равенства
Vy(du, t) = (λ− c(t))e−yc(t)−λu
(
1−E
[
tτ
x
e−c(t)ξ(τx)
])
K(t)−1du,
V x(du, t) = fx(du, t)−E [tχ;Ay] fB
λ (du, t),
(34)
где
fx(du, t) = E
[
tτ
x
;T x ∈ du
]
, fB
λ (du, t) = λ
∞∫
0
e−λvfv+B(du, t) dv,
K(t) = 1−EtτB f̃B
λ (c(t), t), f̃B
λ (c(t), t) =
∞∫
0
e−uc(t)fB
λ (du, t);
ii) для производящих функций случайной величины χ справедливы формулы
E [tχ;Ay] =
(
1− c(t)
λ
)
e−yc(t)
(
1−E
[
tτ
x
e−c(t)ξ(τx)
])
K(t)−1,
E [tχ;Ax] = fx(t)−E [tχ;Ay] fB
λ (t),
(35)
где fx(t) = Etτ
x
, fB
λ (t) = λ
∫ ∞
0
e−λvfv+B(t) dv;
iii) для производящих функций случайной величины χ справедливы резольвент-
ные представления
E [tχ;Ay] =
1
λ
e−λB Rt(x)
R̂B(λ, t)
, Vy(du, t) = e−λ(u+B) Rt(x)
R̂B(λ, t)
du,
E [tχ;Ax] = 1− Rt(x)
R̂B(λ, t)
[
e−λB
λ
+ λ(1− t)ŜB(λ, t)
]
+ λ(1− t)St(x), (36)
∞∑
n=0
tnP [χ > n] = λ
Rt(x)
R̂B(λ, t)
ŜB(λ, t)− λSt(x),
где Rt(x), x ≥ 0, — резольвента блуждания (33),
R̂B(λ, t) =
∞∫
B
e−λuRt(u) du,
ŜB(λ, t) =
∞∫
B
e−λuSt(u) du, St(x) =
x∫
0
Rt(u) du.
Доказательство. Для блуждания с показательно распределенной отрицатель-
ной компонентой равенства теоремы 1 упрощаются. Используя равенства (31) и
определения (10) ядер K±(v, du, t), находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1505
K+(v, du, t) =
(
1− c(t)
λ
)
e−c(t)(v+B)fB
λ (du, t),
K−(v, du, t) = (λ− c(t)) e−c(t)B−λu E
[
t τv+B
e−c(t)T v+B
]
du.
Используя эти равенства, метод математической индукции и формулу (9), находим
последовательные итерации K
(n)
± (v, du, t), n ∈ N, ядер K±(v, du, t) :
K
(n)
− (v, du, t) = E
[
t τv+B
e−c(t)T v+B]
E t τB (1−K(t))n−1
λ e−λu du,
K
(n)
+ (v, du, t) = e−vc(t) E t τB (1−K(t))n−1
fB
λ (du, t).
Ряды Kt
±(v, du) из последовательных итераций K
(n)
± (v, du, t) в данном случае яв-
ляются геометрическими прогрессиями и легко вычисляются:
Kt
−(v, du) =
∞∑
n=1
K
(n)
− (v, du, t) = E
[
tτ
v+B
e−c(t)T v+B]
EtτB K(t)−1λe−λu du,
Kt
+(v, du) =
∞∑
n=1
K
(n)
+ (v, du, t) = e−vc(t) EtτB K(t)−1fB
λ (du, t).
Подставляя найденные выражения для функций K t
±(v, du) в равенства (8), получа-
ем формулы (34). Интегрируя равенства (34) по всем u ≥ 0, находим равенства (35).
Далее, используя определение резольвенты (33) и равенства (31), получаем резоль-
вентные представления функций fx(t), E
[
tτ
x
e−c(t)ξ(τx)
]
:
fx(t) = 1− λ
1− t
c(t)
Rt(x) + λ(1− t)St(x),
E
[
tτ
x
e−c(t)ξ(τx)
]
= 1− e−xc(t)Rt(x)r(t),
где r(t) =
d
dp
R(p, t)−1
∣∣∣∣
p=c(t)
. Подставляя найденные резольвентные представле-
ния в формулы (35), находим резольвентные представления (36). Для целочис-
ленного случайного блуждания с геометрически распределенной отрицательной
компонентой резольвентные представления, аналогичные равенствам (36), были
получены в работе [51].
3.2. Supremum, infimum и значения блуждания. В этом пункте, использовав
формулы теоремы 2, для блуждания с показательно распределенной отрицательной
компонентой определим совместное распределение {ξ−νt
, ξ(νt), ξ+
νt
}.
Следствие 2. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание с показа-
тельно распределенной компонентой, x, y ≥ 0, x + y = B. Тогда для совместного
распределения {ξ−νt
, ξ(νt), ξ+
νt
} справедлива формула
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1506 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
P
[
−y ≤ inf
n≤νt
ξ(n), ξ(νt) ≤ u, sup
n≤νt
ξ(n) ≤ x
]
=
= (1− t)
e−λB Rt(x)
R̂B(λ, t)
u+y∫
0
Rt(v) dv − λ
u∫
0
Rt(v) dv + Rt(u)
, u ∈ [−y, x].
(37)
Доказательство. Определим функцию Ux(t, p), x ≥ 0, из теоремы 2. Исполь-
зуя формулы (29) для интегральных преобразований ξ−νt
, ξ+
νt
и равенство (5), при
<(p) ≤ 0, <(z) > c(t) − <(p) находим интегральное преобразование совместного
распределения {ξ(νt), ξ+
νt
} :
∞∫
0
e−zxUx(t, p) dx = (1− t)
λ− p
c(t)− p
(
1− c(t)− p
z
)
R(p + z, t).
Используя определение резольвенты (33) для обращений преобразований Лапласа
в правой части этого равенства по переменной z, находим резольвентное представ-
ление функции Ux(t, p), x ≥ 0 :
Ux(t, p) = (1− t)
λ− p
c(t)− p
e−xpRt(x)− (1− t)(λ− p)
x∫
0
e−upRt(u) du.
Далее, из первого равенства (36) имеем
E [tχ;T ∈ du,Ay] = e−λ(u+B) Rt(x)
R̂B(λ, t)
du.
Подставляя выражения для функций Ux(t, p), x ≥ 0, E [tχ;T ∈ du,Ay] в первое из
равенств (14), и проводя необходимые вычисления, находим
Q t(p)(1− t)−1 = E
[
e−pξ(νt);χ > νt
]
(1− t)−1 =
= (p− λ)
x∫
0
e−upRt(u) du + e−xpRt(x) + e−λB Rt(x)
R̂(λ, t)
B∫
0
e−p(u−y)Rt(u) du.
Нетрудно получить следующее равенство:
x∫
−y
e−upP [ξ(νt) ≤ u, χ > νt] du =
1
p
(
Qt(p)−P[χ > νt]e−xp
)
. (38)
Используя очевидное тождество λŜB(λ, t) = R̂B(λ, t) + e−λB St(B), из третьей из
формул (36) находим необходимое для данного случая выражение для P[χ > νt] :
P[χ > νt] = (1− t)
Rt(x) + e−λB Rt(x)
R̂B(λ, t)
B∫
0
Rt(u) du− λ
x∫
0
Rt(u) du
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1507
Подставляя в равенство (38) найденные выражения для Qx(t, p), P[χ > νt] и про-
водя необходимые вычисления, имеем
x∫
−y
e−puP
[
−y ≤ inf
n≤νt
ξ(n), ξ(νt) ≤ u, sup
n≤νt
ξ(n) ≤ x
]
du =
= (1− t)
x∫
−y
e−pu
e−λB Rt(x)
R̂B(λ, t)
u+y∫
0
Rt(v) dv − λ
u∫
0
Rt(v) dv + Rt(u)
du,
где Rt(u) = 0 при u < 0. Полученная формула — суть равенство двух преобразова-
ний Лапласа. После сравнения функций-оригиналов в левой и правой частях этого
равенства получим формулу (37).
3.3. Пересечения интервала. Использовав формулы теоремы 3, для блуждания
с показательно распределенной отрицательной компонентой найдем совместное
распределение {α+
νt
, α−νt
}.
Следствие 3. Пусть ξ(n) ∈ R, n ∈ Z+, — случайное блуждание с показа-
тельно распределенной отрицательной компонентой B > 0, x ∈ [0, B], y = B−x.
Тогда для совместного распределения {α+
νt
, α−νt
} числа пересечений блужданием
интервала [−y, x] снизу вверх и числа пересечений интервала сверху вниз на вре-
менном отрезке [0, νt] для всех n ∈ Z+, t ∈ (0, 1) справедливы равенства
pn+1
n (νt) = (Etτy −E [tχ;Ay]) (1− fB
λ (t))[1−K(t)]n,
pn
n+1(νt) = E [tχ;Ay] (fB
λ (t)− 1 + K(t))[1−K(t)]n,
pn
n(νt) = I{n=0}
{
1−Etτy + E [tχ;Ay] (1− fB
λ (t))
}
+
+I{n∈N}E [tχ;Ay] (1− fB
λ (t))[1−K(t)]n+
+I{n∈N}
{
(Etτy −E [tχ;Ay])(fB
λ (t)− 1 + K(t))
}
[1−K(t)]n−1,
где функции fB
λ (t), E [tχ;Ay] , K(t) определены в следствии 1.
Доказательство. В следствии 1 мы нашли функции V x(du, t), Vy(du, t),
K
(n)
± (v, du, t), n ∈ N. Подставляя выражения для этих функций в равенства те-
оремы 3 и проводя необходимые вычисления, получаем равенства следствия 3.
1. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов: В 2 т. – М.: Наука, 1973. – Т. 2. –
639 с.
2. Ito K., McKean H. Diffusion processes and their sample paths. – Berlin etc.: Springer, 1965.
3. Takács L. Combinatorial methods in the theory of stochastic processes. – New York etc.: John
Wiley, 1967.
4. Королюк В. С. Граничные задачи для сложных пуассоновских процессов. – Киев: Наук. думка,
1975. – 240 с.
5. Супрун В. Н., Шуренков В. М. О резольвенте процесса с независимыми приращениями, обрыва-
ющегося в момент выхода на отрицательную полуось // Исследования по теории случайных
процессов. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. – С. 170 – 174.
6. Emery D. J. Exit problem for a spectrally positive process // Adv. Appl. Probab. – 1973. – P. 498 –
520.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1508 И. И. ЕЖОВ, В. Ф. КАДАНКОВ, Т. В. КАДАНКОВА
7. Печерский Е. А. Некоторые тождества, связанные с выходом случайного блуждания из отрезка
и из полуинтервала // Теория вероятностей и ее применения. – 1974. – 19, вып. 1. – С. 104 – 119.
8. Супрун В. Н. Задача о разорении и резольвента обрывающегося процесса с независимыми
приращениями // Укр. мат. журн. – 1976. – 28, № 1. – С. 53 – 61.
9. Королюк В. С., Супрун В. Н., Шуренков В. М. Метод потенциала в граничных задачах для
процессов с независимыми приращениями и скачками одного знака // Теория вероятностей и
ее применения. – 1976. – 22, вып. 2. – С. 419 – 425.
10. Королюк В. С., Шуренков В. М. Метод потенциала в граничных задачах для случайных
блужданий на цепи Маркова // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 4. – С. 464 – 471.
11. Шуренков В. М. Предельное распределение момента выхода и положения в момент выхода из
широкого интервала для процессов с независимыми приращениями и скачками одного знака
// Теория вероятностей и ее применения. – 1978. – 23, вып. 2. – С. 419 – 425.
12. Супрун В. Н., Шуренков В. М. Предельное распределение положения в момент выхода из
интервала полунепрерывного процесса с независимыми приращениями с нулевым средним и
бесконечной дисперсией // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 2. – С. 262 – 264.
13. Супрун В. Н., Шуренков В. М. Предельное распределение положения полунепрерывного про-
цесса с независимыми приращениями в момент выхода из интервала // Проблемы теории
вероятностных распределений. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. – С. 96 – 106.
14. Супрун В. Н., Шуренков В. М. Предельное распределение положения в момент выхода из
интервала полунепрерывного процесса с независимыми приращениями с отрицательным бес-
конечным средним // Укр. мат. журн. – 1988. – 40, № 4. – С. 538 – 541.
15. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. – М.: Физматгиз, 1963. – 859 с.
16. Kemperman J. H. B. A Winer – Hopf type method for a general random walk with a two-sided
boundary // Ann. Math. Statist. – 1963. – 34, № 4. – P. 1168 – 1193.
17. Лотов В. И. Асимптотический анализ распределений в двухграничных задачах // Теория
вероятностей и ее применения. – 1979. – 24, вып. 3. – С. 475 – 485.
18. Лотов В. И. Асимптотический анализ распределений в двухграничных задачах // Там же. –
1979. – 24, вып. 4. – С. 873 – 879.
19. Lotov V. I., Khodzhibaev V. R. Asymtotic expensions in a boundary problem // Sib. Math. J. – 1984.
– 25, № 5. – P. 758 – 764.
20. Лотов В. И., Ходжибаев В. Р. О числе пересечений полосы для случайных процессов с неза-
висимыми приращениями // Предельные теоремы для случайных процессов и их применения:
Тр. Ин-та математики СО РАН. – 1993. – 20. – С. 162 – 169.
21. Lotov V. I., Khodjibaev V. R. On limit theorems for the first exit time from a strip for stochastic
processes. II // Sib. Adv. Math. – 1998. – 8, № 4. – P. 41 – 59.
22. Лотов В. И., Орлова Н. Г. Асимптотические разложения для распределения числа пересечений
полосы траекториями случайных блужданий // Сиб. мат. журн. – 2004. – 45, № 4. – С. 822 – 842.
23. Лотов В. И., Орлова Н. Г. О факторизационных представлениях в граничных задачах для
случайных блужданий, заданных на цепи Маркова // Там же. – 2005. – 46, № 4. – С. 833 – 840.
24. Лотов В. И., Орлова Н. Г. Асимптотические разложения распределения числа пересечений
полосы случайным блужданием, заданным на цепи Маркова // Там же. – 2006. – 47, № 6. –
С. 1303 – 1322.
25. Bertoin J. Levy processes. – Cambridge Univ. Press, 1996.
26. Bertoin J. On the first exit time of a completely asymmetric stable process from a finite interval //
Bull. London Math. Soc. – 1996. – 28. – P. 514 – 520.
27. Bertoin J. Exponential decay and ergodicity of completely asymmetric Levy processes in a finite
interval // Ann. Appl. Probab. – 1997. – 7. – P. 156 – 169.
28. Lambert A. Completely asymmetric Levy processes confined in a finite interval // Ann. Inst. H.
Poincare Probab. Statist. – 2000. – 36, № 2. – P. 251 – 274.
29. Doney R. A. Some excursion calculations for spectrally one-sided Levy processes // M.C.S.S. Report.
– 2003.
30. Avram F., Kyprianou A. E., Pistorius M. R. Exit problems for spectrally negative Lévy processes
and applications to (Canadized) Russian options // J. Theor. Probab. – 2004. – 14. – P. 215 – 235.
31. Pistorius M. R. On doubly reflected completely asymmetric Lévy processes // Stochast. Process. and
Appl. – 2003. – 107. – P. 131 – 143.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
ДВУХГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ 1509
32. Pistorius M. R. On exit and ergodicity of the completely asymmetric Lévy process reflectid at its
infimum // J. Theor. Probab. – 2004. – 17. – P. 183 – 220.
33. Kyprianou A. E., Palmowski Z. An martingale review of some fluctuation theory for spectrally
negative Lévy processes // Sémin. Probab. (Lect. Notes Math.). – 2005. – 38. – P. 16 – 29.
34. Perry D., Stadji W., Zacks S. First-exit times for compound Poisson processes for some types of
positive and negative jumps // Stochast. Models. – 2002. – 18, № 1. – P. 139 – 157.
35. Братiйчук Н. С., Лукович О. В. Задача про розорення для узагальненого процесу Пуассона з
вiдбиттям // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 11. – С. 1465 – 1475.
36. Каданков В. Ф., Каданкова Т. В. О распределении момента первого выхода из интервала
и величины перескока границы для процессов с независимыми приращениями и случайных
блужданий // Там же. – № 10. – С. 1359 – 1384.
37. Рогозин Б. А. О распределении некоторых функционалов, связанных с граничными задачами
для процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. –
1966. – 11, вып. 4. – С. 656 – 670.
38. Печерский Е. А., Рогозин Б. А. О совместных распределениях случайных величин, связанных
с флуктуациями процесса с независимыми приращениями // Там же. – 1969. – 14, вып. 3. –
С. 431 – 444.
39. Боровков A. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. – М.: Наука, 1972.
– 368 с.
40. Золотарев В. М. Момент первого прохождения уровня и поведение на бесконечности одного
класса процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. –
1964. – 9, вып. 4. – С. 724 – 733.
41. Kadankov V. F., Kadankova T. V. On the disribution of duration of stay in an interval of the semi-
continuous process with independent increments // Random Oper. and Stochast. Equat. – 2004. – 12,
№ 4. – P. 365 – 388.
42. Каданкова Т. В. Про сумiсний розподiл supremum’a, infimum’a та значення напiвнеперервного
процесу з незалежними приростами // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2004. – 70. –
С. 56 – 65.
43. Kadankov V. Exit from an interval by a difference of two renewal processes // Theory Stochast.
Process. – 2005. – 11, № 3-4. – P. 92 – 96.
44. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965. – 127 с.
45. Спицер Ф. Принципы случайного блуждания. – М.: Мир, 1969. – 472 c.
46. Spitzer F. L. A combinatorial lemma and its application to probability theory // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1956. – 82. – P. 323 – 339.
47. Sparre-Andersen E. On fluctuations of sums of random variables // Math. scand. – 1954. – P. 263 –
285.
48. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 т. – М.: Мир, 1984. – Т. 2.
– 752 с.
49. Kadankov V. F., Kadankova T. V. Intersections of an inteval by a process with independent increments
// Theory Stochast. Process. – 2005. – 11, № 1-2. – P. 54 – 68.
50. Каданков В. Ф., Каданкова Т. В. Двухграничные задачи для процесса Пуассона с показательно
распределенной компонентой // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 922 – 953.
51. Каданкова Т. В. Двограничнi задачi для випадкового блукання з геометрично розподiленими
вiд’ємними стрибками // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2003. – 68. – С. 60 – 71.
52. Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление. – М.: Высш. шк., 1966. – 406 с.
Получено 31.10.05,
после доработки — 11.10.06
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
|