Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли
Отримано явну формулу для знаходження пар коциклів для побудови прикладів локально компактних квантових груп за допомогою подвійного схрещеного добутку груп Лі.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172507 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли / А.А. Калюжный, Г.Б. Подколзин, Ю.А. Чаповский // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1510–1522. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-172507 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1725072020-11-03T01:26:07Z Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли Калюжный, А.А. Подколзин, Г.Б. Чаповский, Ю.А. Статті Отримано явну формулу для знаходження пар коциклів для побудови прикладів локально компактних квантових груп за допомогою подвійного схрещеного добутку груп Лі. We find an explicit formula for finding pairs of cocycles for the construction of examples of locally compact quantum groups by using the bicrossed product of Lie groups. 2007 Article Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли / А.А. Калюжный, Г.Б. Подколзин, Ю.А. Чаповский // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1510–1522. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172507 517 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Калюжный, А.А. Подколзин, Г.Б. Чаповский, Ю.А. Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли Український математичний журнал |
| description |
Отримано явну формулу для знаходження пар коциклів для побудови прикладів локально компактних квантових груп за допомогою подвійного схрещеного добутку груп Лі. |
| format |
Article |
| author |
Калюжный, А.А. Подколзин, Г.Б. Чаповский, Ю.А. |
| author_facet |
Калюжный, А.А. Подколзин, Г.Б. Чаповский, Ю.А. |
| author_sort |
Калюжный, А.А. |
| title |
Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли |
| title_short |
Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли |
| title_full |
Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли |
| title_fullStr |
Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли |
| title_full_unstemmed |
Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли |
| title_sort |
нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп ли |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172507 |
| citation_txt |
Нахождение коциклов в конструкции двойного скрещенного произведения групп Ли / А.А. Калюжный, Г.Б. Подколзин, Ю.А. Чаповский // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1510–1522. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kalûžnyjaa nahoždeniekociklovvkonstrukciidvojnogoskreŝennogoproizvedeniâgruppli AT podkolzingb nahoždeniekociklovvkonstrukciidvojnogoskreŝennogoproizvedeniâgruppli AT čapovskijûa nahoždeniekociklovvkonstrukciidvojnogoskreŝennogoproizvedeniâgruppli |
| first_indexed |
2025-07-15T08:48:57Z |
| last_indexed |
2025-07-15T08:48:57Z |
| _version_ |
1837702146559049728 |
| fulltext |
УДК 517
А. А. Калюжный∗ , Г. Б. Подколзин, Ю. А. Чаповский∗
(Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НАХОЖДЕНИЕ КОЦИКЛОВ В КОНСТРУКЦИИ
ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП ЛИ
We find an explicit formula for finding pairs of cocycles for constructing examples of locally compact
quantum groups via the bicrossed product construction for Lie groups.
Отримано явну формулу для знаходження пар коциклiв для побудови прикладiв локально компакт-
них квантових груп за допомогою подвiйного схрещеного добутку груп Лi.
Введение. Конструкция двойного скрещенного произведения групп с коциклами
была введена Г. И. Кацем в [1] для построения примеров конечных кольцевых
групп, сейчас известных как конечные алгебры Каца. Затем эта конструкция была
обобщена для построения примеров локально компактных квантовых групп в [2],
алгебр Хопфа в [3]. Аналогичная конструкция применима к биалгебрам Ли (см.,
например, [3]).
Данная конструкция позволяет построить две некоммутативные алгебры фон
Неймана, находящиеся в двойственности, путем рассмотрения пары согласован-
ных групп, действующих друг на друге как на множествах, и пары функций, на-
зываемых коциклами, удовлетворяющих некоторым соотношениям (см. определе-
ния 1, 2). Группа классов эквивалентности пар коциклов описана для конечных
групп в [1] и для локально компактных групп в [4] (см. также [5]). Целью на-
стоящей статьи является получение формулы для нахождения пары коциклов в
явном виде в случае, когда группы являются группами Ли, с использованием пары
коциклов на соответствующей паре согласованных алгебр Ли.
Предлагаемая статья является расширенным вариантом работы [6].
1. Обозначения и определения. Всюду далее, если не оговорено иное, G, H,
K — связные конечномерные группы Ли, g, h, k — соответствующие алгебры Ли.
Элементы групп G, H, K обозначаются g, g1, . . . , h, h1, . . . и k, k1, . . . соответ-
ственно. Определение коциклов на группе и алгебре Ли см. в [7].
Определение 1. Пара (G, H) называется парой согласованных групп Ли,
если существуют дифференцируемые отображения / : H × G → H и . : H ×
×G → G, являющиеся соответственно правым действием группы G на H и левым
действием H на G и удовлетворяющие соотношениям
(h1h2) / g = (h1 / (h2 . g))(h2 / g), (1)
h . (g1g2) = (h . g1)((h / g1) . g2). (2)
Пусть K = G×H с умножением
(g1, h1) · (g2, h2) = (g1 · (h1 . g2), (h1 / g2) · h2).
∗ Частично поддержаны Государственным фондом фундаментальных исследований Украины
(проект № 01.01.071).
c© А. А. КАЛЮЖНЫЙ, Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ, 2007
1510 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
НАХОЖДЕНИЕ КОЦИКЛОВ В КОНСТРУКЦИИ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 1511
Известно [1], что если G и H — конечные группы, то K — также группа. Очевидно,
что если G, H — группы Ли, то K — также группа Ли. Далее, группу K обозначим
G ·H, а элемент (g, h) ∈ K — g · h или gh.
Определение 2. Пусть (G, H) — пара согласованных групп Ли, T = {z ∈
∈ C : |z| = 1}. Пара дифференцируемых функций (u, v), u : H × G × G → T,
v : H ×H ×G → T называется парой коциклов на (G, H), если
u(h1 / g2, g3, g4)u(h1, g2, g3g4) = u(h1, g2, g3)u(h, g2g3, g4), (3)
v(h1, h2, h3 . g4)v(h1h2, h3, g4) = v(h1, h2h3, g4)v(h2, h3, g4), (4)
v(h1, h2, g3g4)u(h1h2, g2, g3) = v(h1, h2, g3)u(h2, g3, g4)·
·v(h1 / (h2 . g3), h2 / g3, g4) u(h1, h2 . g3, (h2 / g3) . g4). (5)
В последующем рассматриваются только нормализованные пары коциклов, т. е.
удовлетворяющие также условию u(h1, g2, g3) = 1, v(h1, h2, g3) = 1, если по край-
ней мере один из элементов hi, gj в рассматриваемой формуле совпадает с едини-
цей соответствующей группы.
Две пары коциклов (u1, v1) и (u2, v2) на согласованной паре (G, H) называются
эквивалентными, если существует дифференцируемая функция r : H × G → T
такая, что
u1(h1, g2, g3)u2(h1, g2, g3)−1 = r(h1, g2)r(h1 / g2, g3)r(h1, g2g3)−1,
v1(h1, h2, g3)v2(h1, h2, g3)−1 = r(h1h2, g3)r(h1, h2 . g3)−1r(h2, g3)−1.
(6)
Множество классов эквивалентности [u, v] пар коциклов на согласованной паре
(G, H) образуют абелеву группу относительно поточечного умножения [1], т. е.
[u1, v1] · [u2, v2] = [u1u2, v1v2]. Эту группу далее обозначим через E(G, H).
Пусть (G, H) — пара согласованных групп Ли и K = G · H. Для пары (u, v)
функций u : H×G×G → T и v : H×H×G → T, следуя [5], рассмотрим функцию
fu,v : K ×K ×K → T, определенную как
fu,v(k1, k2, k3) = u(h1, g2, h2 . g3)v(h1 / g2, h2, g3),
где ki = gihi, i = 1, 2, 3. Тогда, как следует из [5], пара (u, v) удовлетворяет (3) – (5)
тогда и только тогда, когда fu,v является неоднородным 3-коциклом на группе K,
равным 1, если один из элементов k1, k2, k3 равен eK . Кроме того, пары (u1, v1) и
(u2, v2) удовлетворяют (6) тогда и только тогда, когда существует дифференцируе-
мая функция r : K×K → T такая, что r(k1, k2) = r(h1, g2) для всех ki = gihi ∈ K,
i = 1, 2, и fu1,v1f
−1
u2,v2
= d r, где d — дифференциал на комплексе нормализованных
неоднородных коцепей на K [5].
Используя [3], определим пару согласованных алгебр Ли следующим образом.
Определение 3. Пара (g, h) алгебр Ли называется парой согласованных ал-
гебр Ли, если существует алгебра Ли k такая, что g и h — подалгебры Ли k,
k = g + h и g ∩ h = {0}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1512 А. А. КАЛЮЖНЫЙ, Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
Определение 4. Пара линейных функционалов (U, V ), где U : h⊗ (g∧g) → R
и V : (h ∧ h) ⊗ g → R, называется парой коциклов на согласованной паре алгебр
Ли (g, h), если линейный функционал FU,V : k ∧ k ∧ k → R, определенный как
FU,V (A1 + X1, A2 + X2, A3 + X3) = U(X1;A2, A3) + U(X2;A3, A1)+
+U(X3;A1, A2) + V (X1, X2;A3) + V (X2, X3;A1) + V (X3, X1;A2), (7)
Ai ∈ g, Xi ∈ h, i = 1, 2, 3, является 3-коциклом на алгебре Ли k. Две пары коцик-
лов (U1, V1) и (U2, V2) называются эквивалентными, если существует линейный
функционал R : k ∧ k → R такой, что
FU1,V1 − FU2,V2 = dR,
где FU,V определяется формулой (4), и R(A1, A2) = R(X1, X2) = 0 для всех
A1, A2 ∈ g, X1, X2 ∈ h. Здесь d — дифференцирование в комплексе полилинейных
антисимметричных форм на k [7].
Это определение следует из [3, 8].
Как и для пары согласованных групп, множество классов эквивалентности
пар [U, V ] коциклов на согласованной паре алгебр Ли образует абелеву группу,
[U1, V1] + [U2, V2] = [U1 + U2, V1 + V2]. Эту группу обозначим E(g, h).
2. Действие на K и инвариантные векторные поля. Пусть (G, H) — пара
согласованных групп Ли, g и h — алгебры Ли групп Ли G и H соответственно,
(g, h) — соответствующая пара согласованных алгебр Ли, K = G ·H и k = g + h,
g ∩ h = {0}.
Лемма 1. Для k0 = g0h0 ∈ K рассмотрим отображение λk0 : K → K,
определенное посредством λg0h0 = λg0λh0 , где λg0 : K → K и λh0 : K → K
задаются на k = gh формулами
λg0(k) = (g0g) · (h / g−1
0 ), λh0(k) = (h0 . g) · (hh−1
0 ). (8)
Тогда λ : K ×K → K — левое действие K на себе и
k = gh = λg(h / g)−1(eK). (9)
Замечание. Действие, аналогичное (8), было введено в [1].
Доказательство леммы 1. Формула (9) очевидна. То, что λ определяет левое
действие G и H на K, следует непосредственно из (8) и того, что отображения .
и / есть левое и правое действия соответственно.
Осталось показать, что λhλg = λh . gλh / g.
Применяя (1) к (eHeH) / g и (2) к h . (eGeG), получаем eH / g = eH и h . eG =
= eG для всех g ∈ G, h ∈ H. Рассматривая eH = (h−1
0 h0) / g0 и eG = h0 . (g0g
−1
0 ),
имеем
(h0 / g0)−1 = h−1
0 / (h0 . g0), (h0 . g0)−1 = (h0 / g0) . g−1
0 . (10)
Теперь
λh0λg0(gh) = (h0 . (g0g)) · ((h / g−1
0 )h−1
0 ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
НАХОЖДЕНИЕ КОЦИКЛОВ В КОНСТРУКЦИИ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 1513
С другой стороны,
λh0 . g0λh0 / g0(gh) = λh0 . g0
(
((h0 / g0) . g) · (h(h0 / g0)−1)
)
=
= (h0 . g0)
(
(h0 / g0) . g
)
·
(
h(h0 / g0)−1
)
/ (h0 . g0)−1.
Однако, (h0 . g0)
(
(h0 / g0) . g
)
= h0 . (g0g), а используя (10), имеем
(h(h0 / g0)−1) / (h0 . g0)−1 =
=
(
h / ((h0 / g0)−1 . (h0 . g0)−1)
)(
(h0 / g0)−1 / (h0 . g0)−1
)
=
=
(
h /
(
(h0 / g0)−1 . ((h0 / g0) . g−1
0 )
))((
h−1
0 / (h0 . g0)
)
/ (h0 . g−1
0 )
)
=
= (h / g−1
0 )h−1
0 .
Лемма доказана.
Векторное поле η : K → T (K), ηk ∈ Tk(K), на K назовем λ-инвариантным,
если ηλk0 (k) = (Dλk0)kηk для всех k, k0 ∈ K, где T (K) — касательное расслоение
K, а (Dλk0)k : Tk(K) → Tλk0 (k)(K) — отображение, касательное к λk0 . Легко
видеть, что λ-инвариантные векторные поля на K образуют алгебру Ли, которую
обозначим через k̃.
Лемма 2. Пусть k — алгебра Ли группы Ли K. Отождествим k с алге-
брой Ли левоинвариантных векторных полей ξ на K и пусть k̃ — алгебра Ли
λ-инвариантных векторных полей η на K. Пусть πG : K → G и πH : K → H —
проекции (g, h) 7→ g и (g, h) 7→ h соответственно. Тогда отображение τ : k → k̃,
определенное формулой
(τ(ξ))k = (Dλg(h / g)−1)eK
◦ (DπG)eK
ξeK
− (Dλg(h / g)−1)eK
◦ (DπH)eK
ξeK
, (11)
является изоморфизмом алгебр Ли k и k̃.
Доказательство. Пусть xG = (x1
G, . . . , xm
G ), m = dim G, и xH = (x1
H , . . . , xn
H),
n = dim H, — системы координат на G и H в окрестностях единиц соответствую-
щих групп, xK = (x1
H , . . . , xm
G , x1
H , . . . , xn
H) — система координат на K в окрестнос-
ти eK . Для k0 = g0h0 оператор левого сдвига на K будет Lk0(gh) = (g0h0)(gh) =
= g0(h0 . g) · (h0 / g)h и, следовательно,
(DLk0)eK
=
∂xG(g0(h0 . g))
∂xG(g)
0
∂xH(h0 / g)
∂xG(g)
∂xH(h0h)
∂xH(h)
∣∣∣∣∣∣∣∣
g=eG
h=eH
.
Рассмотрим левоинвариантные поля (ξi)k0 = (DLk0)eK
(
∂
∂xi
G
)
eK
и (ξj)k0 =
= (DLk0)eK
(
∂
∂xj
H
)
eK
, т. е.
(ξi)k0 =
∂xr
G(g0(h0 . g))
∂xi
G(g)
∣∣∣∣
g=eG
(
∂
∂xr
G
)
g0
+
∂xs
H(h0 / g)
∂xi
G(g)
∣∣∣∣
g=eG
(
∂
∂xs
H
)
h0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1514 А. А. КАЛЮЖНЫЙ, Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
(ξj)k0 =
∂xs
H(h0h)
∂xj
H(h)
∣∣∣∣∣
h=eH
(
∂
∂xs
H
)
h0
.
Здесь и далее по повторяющимся индексам проводится суммирование. Тогда не-
посредственные вычисления показывают, что
(
[ξi1 , ξi2 ]
)
eK
=
(
∂2xr
G(g0g)
∂xi1
G(g0)∂xi2
G(g)
− ∂2xr
G(g0g)
∂xi2
G(g0)∂xi1
G(g)
)∣∣∣∣∣ g=eG
g0=eG
(
∂
∂xr
G
)
eG
,
(
[ξi, ξj ]
)
eK
= −
(
∂2xr
G(h0 . g)
∂xj
H(h0)∂xi
G(g)
(
∂
∂xr
G
)
eG
+
+
∂2xs
H(h0 / g)
∂xj
H(h0)∂xi
G(g)
(
∂
∂xs
H
)
eH
)∣∣∣∣∣ g=eG
h0=eH
,
(
[ξj1 , ξj2 ]
)
eK
=
=
(
∂2xs
H(h0h)
∂xj1
H(h0)∂xj2
H(h)
− ∂2xs
H(h0h)
∂xj2
H(h0)∂xj1
H(h)
)∣∣∣∣∣ h=eH
h0=eH
(
∂
∂xs
H
)
eH
.
(12)
Используя (10), записываем λg0(h0 / g0)−1(gh) = g0
(
(h0 / g0)−1 . g
)
·
(
h / (h0 . g0)−1
)
h0.
Следовательно,
(
Dλg0(h0 / g0)−1
)
eK
=
∂xG(g0((h0 / g0)−1 . g))
∂xG(g)
0
0
∂xH((h / (h0 . g0)−1)h0)
∂xH(h)
∣∣∣∣∣∣∣∣
g=eG
h=eH
.
Пусть ηi = τ(ξi) и ηj = τ(ξj). Тогда
(ηi)k0 =
∂xr
G(g0((h0 / g0)−1 . g))
∂xi
G(g)
∣∣∣∣
g=eG
( ∂
∂xr
G
)
g0
,
(ηj)k0 = − ∂xs
H((h / (h0 . g0)−1)h0)
∂xj
H(h)
∣∣∣∣∣
h=eH
( ∂
∂xs
H
)
h0
.
Доказательство завершает непосредственное вычисление значения коммутаторов в
k0 = eK и сравнение с формулами (12).
3. Построение гомоморфизма из E(g, h) в E(G, H). Обозначим I = [0, 1].
Пусть отображения γG : I ×G → G и γH : I ×H → H,
(u, g) 7→ γu
G(g), (u, h) 7→ γu
H(h), u ∈ I,
дифференцируемы и
γ1
G(g) = g, γ0
G(g) = eG,
γ1
H(h) = h, γ0
H(h) = eH
(13)
для всех g ∈ G, h ∈ H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
НАХОЖДЕНИЕ КОЦИКЛОВ В КОНСТРУКЦИИ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 1515
Пусть
∆1 = {t1 ∈ R | 0 ≤ t1 ≤ 1},
∆2 = {(t1, t2) ∈ R2 | t1, t2 ≥ 0; t1 + t2 ≤ 1}
— стандартные 1- и 2-симплексы. Обозначим ∆2,1 = ∆1 ×∆2 и ∆1,2 = ∆2 ×∆1.
Будем рассматривать ∆2,1 ⊂ R3 и ∆1,2 ⊂ R3 с координатными функциями, явля-
ющимися ограничениями канонических координат (t1, t2, t3) в R3, и ориентацией,
индуцированной базисом
(
∂
∂t1
,
∂
∂t2
,
∂
∂t3
)
. Аналогично [7] рассмотрим функции
s1 : ∆1 → I и s2 : ∆2 → I, заданные посредством формул
s1(t1) = 1− t1, s2(t1, t2) =
1− t1 − t2
1− t1
, 1− t1 6= 0,
0, 1− t1 = 0.
(14)
Для фиксированных g1, g2 ∈ G и h1, h2 ∈ H определим отображения ∆1
G(g1) :
∆1 → G, ∆2
G(g1, g2) : ∆2
G → G и ∆1
H(h1) : ∆1 → H, ∆2
H(h1, h2) : ∆2 → H следу-
ющими формулами:
∆1
G(g1)(t1) = γ
s1(t1)
G (g1), ∆2
G(g1, g2)(t1, t2) = γ
s1(t1)
G
(
g1γ
s2(t1,t2)
G (g2)
)
,
∆1
H(h1)(t1) = γ
s1(t1)
H (h1), ∆2
H(h1, h2)(t1, t2) = γ
s1(t1)
H
(
γ
s2(t1,t2)
H (h1)h2
)
.
(15)
Наконец, для каждой из троек (h1, g2, g3) ∈ H ×G×G и (h1, h2, g3) ∈ H ×H ×G
определим отображения σ2,1(h1, g2, g3) : ∆2,1 → K и σ1,2(h1, h2, g3) : ∆1,2 → K
как
σ2,1(h1, g2, g3)(t1, t2, t3) = ∆2
G(g2, g3)(t2, t3) ·∆1
H(h1)(t1),
σ1,2(h1, h2, g3)(t1, t2, t3) = ∆1
G(g3)(t3) ·∆2
H(h1, h2)(t1, t2)
(16)
и обозначим через c2,1(h1, g2, g3) = (∆2,1, σ2,1(h1, g2, g3)) и c1,2(h1, h2, g3) =
= (∆1,2, σ1,2(h1, h2, g3)) соответствующие цепи в K.
Теорема. Пусть (G, H) — пара согласованных связных групп Ли, (g, h) — пара
соответствующих алгебр Ли. Пусть γG и γH удовлетворяют (13) и такие, что
h . γu
G(g) = γu
G(h . g), γu
H(h) / g = γu
H(h / g) (17)
для всех g ∈ G, h ∈ H и u ∈ [0, 1]. Рассмотрим (Dγu
G)g : Tg(G) → Tγu
G(g)(G) и
(Dγu
H)h : Th(H) → Tγu
H(h)(H). Предположим, что (Dγu
G)g → 0 и (Dγu
H)h → 0
при u → 0. Для пары коциклов (U, V ), [U, V ] ∈ E(g, h), зададим λ-инвариантную
дифференциальную 3-форму на K как
ωU,V = (τ−1)∗(FU,V ), (18)
где FU,V определено в (7), а τ — в (11), и функции ũ : G × G × H → R и ṽ : H ×
×H ×G → R посредством несобственных интегралов
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1516 А. А. КАЛЮЖНЫЙ, Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
ũ(h1, g2, g3) =
∫
c2,1(h1,g2,g3)
ωU,V , ṽ(h1, h2, g3) =
∫
c1,2(h1,h2,g3)
ωU,V . (19)
Тогда интегралы в (19) сходятся, а отображение Int : E(g, h) → E(G, H), задан-
ное посредством
Int
(
[U, V ]
)
= [eiũ, eiṽ],
корректно определено и является гомоморфизмом групп.
Для доказательства теоремы рассмотрим стандартный 3-симплекс
∆3 =
{
(t1, t2, t3) | t1, t2, t3 ≥ 0; t1 + t2 + t3 ≤ 1
}
,
и функцию s3 : ∆3 → I, заданную следующим образом:
s3(t1, t2, t3) =
1− t1 − t2 − t3
1− t1 − t2
, 1− t1 − t2 6= 0,
0, 1− t1 − t2 = 0.
(20)
Для i, j ∈ N ∪ {0}, 0 ≤ i, j ≤ 3, i + j > 0, обозначим
∆i,j =
∆j ×∆i, i 6= 0, j 6= 0,
∆j , i = 0, j 6= 0,
∆i, i 6= 0, j = 0.
(21)
Для фиксированных g1, . . . , gi ∈ G и h1, . . . , hj ∈ H, 1 ≤ i, j ≤ 3, рассмотрим
отображения ∆i
G(g1, . . . , gi) : ∆i → G и ∆j
H(h1, . . . , hj) : ∆j → H, заданные фор-
мулами
∆i
G(g1, . . . , gi)(t1, . . . , ti) = γ
s1(t1)
G
(
g1γ
s2(t1,t2)
G (. . . γsi(t1,...,ti)
G (gi) . . . )
)
,
∆j
H(h1, . . . , hj)(t1, . . . , tj) = γ
s1(t1)
H
(
γ
s2(t1,t2)
H . . . (γsj(t1,...,tj)
H (h1)h2) . . . hj
)
,
∆0
G = eG, ∆0
H = eH .
(22)
Здесь s1, s2 заданы формулой (14), а s3 задано формулой (20). Для i, j ≥ 0,
0 < i + j ≤ 4, определим σi,j(h1, . . . , hj , gj+1, . . . gj+i) : ∆i,j → K как
σi,j(h1, . . . , hj , gj+1, . . . , gj+i)(t1, . . . , tj , tj+1, . . . , tj+i) =
= ∆i
G(gj+1, . . . , gj+i)(tj+1, . . . , tj+i) ·∆j
H(h1, . . . , hj)(t1, . . . , tj).. (23)
Многообразия ∆i,j , 0 ≤ i, j ≤ 3, 0 < i + j ≤ 4, рассматриваются в Rj+i с коор-
динатными функциями (t1, . . . , tj , tj+1, . . . , tj+i) и ориентацией, определяемой ба-
зисом
(
∂
∂t1
, . . . ,
∂
∂tj
,
∂
∂tj+1
, . . . ,
∂
∂tj+i
)
. Обозначим через ci,j(h1, . . . , hj , gj+1, . . .
. . . gj+i) =
(
∆i,j , σi,j(h1, . . . , hj , gj+1, . . . , gj+i)
)
соответствующие цепи в K.
Следующая лемма имеет вспомогательный характер.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
НАХОЖДЕНИЕ КОЦИКЛОВ В КОНСТРУКЦИИ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 1517
Лемма 3. Для i, j ≥ 0, 0 < i+ j ≤ 4, рассмотрим отображения θi,j : ∆i,j →
→ Ij+i, заданные следующим образом:
θi,j(t1, . . . , tj , tj+1, . . . , tj+i) =
= (s1(tj+1), . . . , si(tj+1, . . . , tj+i), s1(t1), . . . , sj(t1, . . . , tj)),
если i, j > 0, и для i ≤ 3 и j ≤ 3
θi,0(t1, . . . , ti) = (s1(t1), . . . , si(t1, . . . , ti)),
θ0,j(t1, . . . , tj) = (s1(t1), . . . , sj(t1, . . . , tj)).
(24)
Обозначим через ci,j
θ = (∆i,j , θi,j) соответствующие цепи в Ij+i. Пусть y =
= (y1, . . . , yi+j) — канонические координаты на Ij+i и
αi,j =
i+j∑
k=1
αi,j
k (y1, . . . , yi+j) dy1 ∧ · · · ∧ d̂yk ∧ · · · ∧ dyi+j
— дифференциальная (i + j − 1)-форма на Ij+i. Пусть функции αi,j
k дважды
непрерывно дифференцируемы в окрестности Ij+i и удовлетворяют следующему
условию:
lim
yi−1→0
αi,j
k (y1, . . . , yi+j) = 0 для всех k 6= i, если i > 1,
lim
yi+j−1→0
αi,j
k (y1, . . . , yi+j) = 0 для всех k 6= i + j, если j > 1.
(25)
Тогда имеет место формула Стокса∫
ci,j
θ
dα =
∫
∂ci,j
θ
α, (26)
где ∂ci,j
θ — ориентированная граница цепи ci,j
θ , а несобственные интегралы, сто-
ящие в левой и правой частях формулы, сходятся.
Доказательство. Если i > 1 или j > 1, то, как следует из определения θi,j (24)
и функций sk (14) и (20), интегралы в (26) являются несобственными. Поэтому
для ε ∈ R, 0 < ε < 1, обозначим
∆i
ε = {(t1, . . . , ti) ∈ ∆i | t1 + . . . + ti−1 ≤ 1− ε},
∆i,j
e = ∆j
e ×∆i
e и ci,j
θ (ε) = (∆i,j
ε , θi,j�∆i,j
ε
).
Тогда по формуле Стокса ∫
ci,j
θ (ε)
dα =
∫
∂ci,j
θ (ε)
α,
причем непосредственная проверка показывает, что все интегралы сходятся при
ε → 0, даже если не накладывать условия (25). Однако для того, чтобы имела
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1518 А. А. КАЛЮЖНЫЙ, Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
место формула Стокса (26), т. е. чтобы
lim
ε→0
∫
∂j,εci,j
θ (ε)
α = 0, lim
ε→0
∫
∂ε,ic
i,j
θ (ε)
α = 0,
где
∂j,ε∆i,j
ε = ∆j
ε × ∂ε∆i
ε, ∂ε,i∆i,j
ε = ∂ε∆j
ε ×∆i
ε,
∂e∆i
ε = {(t1, . . . , ti) ∈ ∆i
ε | t1 + . . . + ti−1 = 1− ε},
а ∂j,εc
i,j
θ (ε) и ∂ε,ic
i,j
θ (ε) — соответствующие цепи, достаточно выполнения усло-
вий (25). Это доказывается непосредственной проверкой.
Лемма доказана.
Запишем отображения (23) в виде σi,j = %i,j◦θi,j , 0 ≤ i, j ≤ 3, 0 < i+j ≤ 4, где
для h1, . . . , hj ∈ H, gj+1, . . . , gj+i ∈ G отображения %i,j(h1, . . . , hj , gj+1, . . . , gj+i):
Ij+i → K определены формулой
%i,j(h1, . . . , hj , gj+1, . . . , gj+i)(y1, . . . , yj+i) =
= γ
yj+1
G (gj+1γ
yj+2
G (. . . γyj+i
G (gj+i) . . . )) · γy1
H (γy2
H (. . . γyj
H (h1)h2) . . . hj). (27)
Тогда имеем σi,j = %ij ◦ θij , 1 ≤ i, j ≤ 3, i + j = 4.
Лемма 4. Пусть (Dγu
G)g → 0 и (Dγu
H)h → 0 при u → 0, σi,j , %i,j и ∆i,j ,
0 ≤ i, j ≤ 3, 0 < i + j ≤ 4, определены формулами (23), (27) и (21), а ω —
дифференциальная (i + j − 1)-форма на K. Тогда (i + j − 1)-форма α = (%i,j)∗(ω)
на Ij+i удовлетворяет условию (25).
Доказательство. Рассмотрим частный случай σ3,1.
Пусть xG = (xG
p ), p = 1, . . . ,dim G, — координаты на G в окрестности
∆3(g2, g3, g4)(∆3) и xH = (xH
q ), q = 1, . . . ,dim H, — система координат на H
в окрестности ∆1
H(h1)(∆1). Для k = %3,1(h1, g2, g3, g4)(y1, y2, y3, y4) рассмотрим(
D(%3,1(h1, g2, g3, g4))∗
)
k
: T ∗k (K) → T ∗(y1,y2,y3,y4)
(I4).
Используя (15), имеем
D(%3,1(h1, g2, g3, g4))∗(dxG
p ) =
∂xG
p (γy2
G (g2γ
y3
G (g3γ
y4
G (g4))))
∂y2
dy2+
+
∂xG
p (γy2
G (g2γ
y3(g3γ
y4
G (g4))))
∂xG
r1
(g2γ
y3
G (g3γ
y4
G (g4)))
∂xG
r1
(g2γ
y3
G (g3γ
y4
G (g4)))
∂xG
r2
(γy3
G (g3γ
y4
G (g4)))
×
×
(
∂xG
r2
(γy3
G (g3γ
y4
G (g4)))
∂y3
dy3 +
xG
r2
(γy3
G (g3γ
y4
G (g4)))
∂xG
r3
(g3γ
y4
G (g4))
×
×
∂xG
r3
(g3γ
y4
G (g4))
∂xG
r4
(γy4
G (g4))
·
∂xG
r4
(γy4
G (g4))
∂y4
dy4
)
,
D(%3,1(h1, g2, g3, g4))∗(dxH
q ) =
∂xH
q (γy1
H (h1))
∂y1
dy1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
НАХОЖДЕНИЕ КОЦИКЛОВ В КОНСТРУКЦИИ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 1519
В силу условия леммы
∂xG
p (γy2
G (g2γ
y3
G (g3γ
y4
G (g4))))
∂xG
r1
(g2γ
y3
G (g3γ
y4
G (g4)))
→ 0 при y2 → 0 (28)
для всех p и r1. Это показывает, что αk → 0 для всех k 6= 4 при y2 → 0, что и
доказывает утверждение для %3,1.
В остальных случаях рассуждения аналогичны.
Доказательство теоремы. Прежде всего отметим, что λ-инвариантная диф-
ференциальная 3-форма ωU,V , определенная формулой (18), является точной, по-
скольку FU,V является коциклом на алгебре Ли k, а τ — изоморфизм k в k̃. Докажем,
что функция ũ, задаваемая (19), удовлетворяет уравнению
ũ(h1 / g2, g3, g4) + ũ(h1, g2, g3g4) = ũ(h1, g2, g3) + ũ(h, g2g3, g4), (29)
где h1 ∈ H, g2, g3, g4 ∈ G. Рассмотрим c3,1(h1, g2, g3, g4) (см. (23)). Поскольку
dωU,V = 0, имеем ∫
c3,1(h1,g2,g3,g4)
dωU,V = 0.
Из условия теоремы, лемм 3 и 4, используя формулу Стокса, получаем∫
∂c3,1(h1,g2,g3,g4)
ωU,V = 0. (30)
Рассмотрим ∂c3,1(h1, g2, g3, g4). Из определений отображений ∆i
G, ∆j
H (см. (22)),
функций si (см. (14) и (20)) с использованием свойств γG и γH (см. (17)) находим
∆3
G(g2, g3, g4)�t2=0 = g2∆2
G(g3, g4), ∆3
G(g2, g3, g4)�t3=0 = ∆2
G(g2g3, g4),
∆3
G(g2, g3, g4)�t4=0 = ∆2
G(g2, g3g4), ∆3
G(g2, g3, g4)�t2+t3+t4=1 = ∆2
G(g2, g3),
∆1
H(h)�t1=0 = eG, ∆1
H�t1=1 = h.
Поэтому с учетом ориентации, индуцированной с c3,1 на ∂c3,1, имеем
∂c3,1(h1, g2, g3, g4) = −c3,0(g2, g3, g4) · eG + c3,0(g2, g3, g4) · h1+
+g2 · c2,1(h1, g3, g4)− c2,1(h1, g2g3, g4) + c2,1(h1, g2, g3g4)− c2,1(h1, g2, g3). (31)
Поскольку по определению (см. (11)) τ−1 переводит λ-инвариантное векторное
поле, касательное к G, в вектор из алгебры Ли g, а коцикл FU,V равен нулю на
∧3g, то ∫
c3,0(g2,g3,g4)
ωU,V = 0.
Далее, ∆3(g2, g3, g4) · h1 = λh−1
1
(h1 . ∆3(g2, g3, g4)) и поэтому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1520 А. А. КАЛЮЖНЫЙ, Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ∫
c3,0(g2,g3,g4)·h
ωU,V =
∫
λ
h
−1
1
(h1 . c3,0(g2,g3,g4))
ωU,V =
=
∫
h1 . c3,0(g2,g3,g4)
λh1 . ωU,V =
∫
h1 . c3,0(g2,g3,g4)
ωU,V = 0,
где в предпоследнем равенстве использована λ-инвариантность формы ωU,V .
Также, используя (17), имеем
g2∆2
G(g3, g4) ·∆1
H(h1) = λg2
(
∆2
G(g3, g4) · (∆1
H(h1) / g2)
)
=
= λg2
(
∆2
G(g3, g4) ·∆1
H(h1 / g2)
)
.
Таким образом, используя λ-инвариантность ωU,V , получаем∫
g2c2,1(h1,g3,g4)
ωU,V =
∫
c2,1(h1 / g2,g3,g4)
λg−1
2
. ωU,V =
∫
c2,1(h1 / g2,g3,g4)
ωU,V .
Это показывает, что∫
∂c3,1(h1,g2,g3,g4)
ωU,V =
∫
c2,1(h1 / g2,g3,g4)
ωU,V −
∫
c2,1(h1,g2g3,g4)
ωU,V +
+
∫
c2,1(h1,g2,g3g4)
ωU,V −
∫
c2,1(h1,g2,g3)
ωU,V = 0,
что доказывает (29).
Рассматривая ∫
c1,3(h1,h2,h3,g4)
dωU,V = 0,
можно доказать таким же образом, что
ṽ(h1, h2, h3 . g4) + ṽ(h1h2, h3, g4) = ṽ(h1, h2h3, g4) + ṽ(h2, h3, g4). (32)
Теперь рассмотрим
0 =
∫
c2,2(h1,h2,g3,g4)
dωU,V =
∫
∂c2,2(h1,h2,g3,g4)
ωU,V .
Поскольку
∆2
G(g3, g4)�t3=0 = g3∆1
G(g4), ∆2
G(g3, g4)�t4=0 = ∆1
G(g3g4),
∆2
G(g3, g4)�t3+t4=1 = ∆1
G(g3),
∆2
H(h1, h2)�t1=0 = ∆1
H(h1)h2, ∆2
H(h1, h2)�t2=0 = ∆1
H(h1h2),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
НАХОЖДЕНИЕ КОЦИКЛОВ В КОНСТРУКЦИИ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 1521
∆2
H(h1, h2)�t1+t2=1 = ∆1
H(h2),
имеем
∂c2,2(h1, h2, g3, g4) = −c2,1(h1, g2, g3) · h2 + c2,1(h1h2, g2, g3)− c2,1(h2, g3, g4)−
−g3 · c1,2(h1, h2, g4) + c1,2(h1, h2, g3g4)− c1,2(h1, h2, g3).
Поскольку
∆2
G(g3, g4) ·∆1
H(h1)h2 = λh−1
2
(
(h2 . ∆2
G(g3, g4)) ·∆1
H(h1)
)
=
= λh−1
2
(
∆2
G(h2 . g3, (h2 / g3) . g4)) ·∆1
H(h1)
)
,
то ∫
c2,1(h1,g3,g4)h2
ωU,V =
∫
c2,1(h1,h2 . g3,(h2 / g3) . g4))
ωU,V .
Точно так же ∫
g3c1,2(h1,h2,g4)
ωU,V =
∫
c1,2(h1 / (h2 . g3),h2 / g3,g4)
ωU,V .
Это доказывает, что
ṽ(h1, h2, g3g4) + ũ(h1h2, g2, g3) = ṽ(h1, h2, g3) + ũ(h2, g3, g4) +
+ ṽ(h1 / (h2 . g3), h2 / g3, g4) + ũ(h1, h2 . g3, (h2 / g3) . g4).
Поэтому функции u = eiũ и v = eiṽ удовлетворяют (3) – (5).
Докажем теперь, что отображение Int корректно определено.
Пусть FU,V = dR, причем R�g∧2 = R�h∧2 = 0. Определим λ-инвариантную
дифференциальную 2-форму на K
ωR = (τ−1)∗(R).
Тогда ωU,V = dωR и
ũ(h1, g2, g3) =
∫
c2,1(h1,g2,g3)
ωU,V =
∫
c2,1(h1,g2,g3)
dωR =
∫
∂c2,1(h1,g2,g3)
ωR,
где
∂c2,1(h1, g2, g3) = c2,0(g2, g3)− c2,0(g2, g3)h1−
−g2c
1,1(h1, g3) + c1,1(h1, g2g3)− c1,1(h1, g2).
Поскольку c2,0(g2, g3)h1 = λh−1
1
(
h1 . c2,0(g2, g3)
)
, а ωR — λ-инвариантная и R�g∧2 =
= 0, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
1522 А. А. КАЛЮЖНЫЙ, Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ∫
c2,0(g2,g3)
ωR = 0,
∫
c2,0(g2,g3)h1
ωR = 0.
Также, используя (17) и λ-инвариантность 2-формы ωR, имеем∫
g2c1,1(h1,g3)
ωR =
∫
c1,1(h1 / g2,g3)
ωR.
Следовательно, полагая
r̃(h1, g2) = −
∫
c1,1(h1,g2)
ωR,
получаем
ũ(h1, g2, g3) = r̃(h1 / g2, g3)− r̃(h1, g2g3) + r̃(h1, g2). (33)
Поскольку
ṽ(h1, h2, g3) =
∫
c1,2(h1,h2,g3)
ωU,V =
∫
∂c1,2(h1,h2,g3)
ωR
и
∂c1,2(h1, h2, g3) = c1,1(h1, g3)h2 − c1,1(h1h2, g3) + c1,1(h2, g3)+
+g3c
0,2(h1, h2)− c0,2(h1, h2),
то
ṽ(h1, h2, g3) = −r̃(h1, h2 . g3) + r̃(h1h2, g3)− r̃(h2, g3). (34)
Формулы (33) и (34) показывают, что пары (u1, v1), (u2, v2), где u1 = u, v1 = v,
u2 = v2 = 1, и функция r = eir̃ удовлетворяют (6).
Теорема доказана.
1. Кац Г. И. Расширения групп, являющиеся кольцевыми группами // Мат. сб. – 1968. – 76, № 3.
– С. 473 – 496.
2. Vaes S., Vainerman L. Extensions of locally compact quantum groups and the bicrossed product
construction // Adv. Math. – 2003. – 175, № 1. – С 1 – 101.
3. Majid S. Foundations of quantum group theory. – Cambridge Univ. Press, 1995.
4. Baaj S., Skandalis G., Vaes S. Topological Kac cohomology for bicrossed products. –
http://arxiv.org/math. QA/0307172.
5. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A., Podkolzin G. B. On the group of extensions for the bicrossed
product construction for a locally compact group // Algebra and Discrete Math. – 2004. – 3. –
P. 12 – 19.
6. Калюжный А. А., Подколзин Г. Б., Чаповский Ю. А. Построение коциклов для двойного
скрещенного произведения групп Ли // Функцион. анализ и его прил. – 2006. – 40, № 2. –
С. 70 – 73.
7. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. – М.: Мир, 1984.
8. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A., Podkolzin G. B. On 2 + 2 locally compact quantum groups //
Proc. Inst. Math. NAS Ukraine. – 2004. – 50, Pt 3. – P. 1064 – 1070.
Получено 30.01.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 11
|