Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц

Досліджується плоска стаціонарна конвективна задача Стефана, коли конвекція викликана наявністю заданого вихору інтенсивності μ. Запропоновано метод вивчення цієї задачі, що полягає у розвиненні розв'язку в ряд за степенями малого параметра μ. При цьому нульовий член розкладу знаходиться методо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
1. Verfasser:	Миненко, А.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2007
Schriftenreihe:	Український математичний журнал
Schlagworte:	Статті
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172510
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц / А.С. Миненко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1546–1556. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-172510
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1725102020-11-03T01:26:53Z Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц Миненко, А.С. Статті Досліджується плоска стаціонарна конвективна задача Стефана, коли конвекція викликана наявністю заданого вихору інтенсивності μ. Запропоновано метод вивчення цієї задачі, що полягає у розвиненні розв'язку в ряд за степенями малого параметра μ. При цьому нульовий член розкладу знаходиться методом Рітца. Доведено формулу залежності рівняння вільної границі від μ. A plane stationary convective Stefan problem is analyzed in the case where the convection is caused by the presence of a prescribed rotation of intensity μ. A method of studying this problem is proposed which consists in a series expansion of the solution in terms of powers of a small parameter μ. The null expansion term is defined by the Rietz method. The formula describing the dependence of free boundary equation on μ is obtained. 2007 Article Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц / А.С. Миненко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1546–1556. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172510 517.988 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Статті Статті
spellingShingle	Статті Статті Миненко, А.С. Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц Український математичний журнал
description	Досліджується плоска стаціонарна конвективна задача Стефана, коли конвекція викликана наявністю заданого вихору інтенсивності μ. Запропоновано метод вивчення цієї задачі, що полягає у розвиненні розв'язку в ряд за степенями малого параметра μ. При цьому нульовий член розкладу знаходиться методом Рітца. Доведено формулу залежності рівняння вільної границі від μ.
format	Article
author	Миненко, А.С.
author_facet	Миненко, А.С.
author_sort	Миненко, А.С.
title	Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц
title_short	Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц
title_full	Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц
title_fullStr	Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц
title_full_unstemmed	Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц
title_sort	исследование одной конвективной задачи стефана методом ритц
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
topic_facet	Статті
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172510
citation_txt	Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц / А.С. Миненко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1546–1556. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT minenkoas issledovanieodnojkonvektivnojzadačistefanametodomritc
first_indexed	2025-07-15T08:49:08Z
last_indexed	2025-07-15T08:49:08Z
_version_	1837702160816537600
fulltext	UDK 517.988 A. S. Mynenko (Yn-t probl. yskusstv. yntellekta NAN Ukrayn¥, Doneck) YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA METODOM RYTCA A plane stationary convective Stefan problem is analyzed in the case where the convection is caused by the presence of a prescribed rotation of intensity µ. A method of studying this problem is proposed which consists in a series expansion of the solution in terms of powers of a small parameter µ. The null expansion term is defined by the Rietz method. The formula describing the dependence of free boundary equation on µ is obtained. DoslidΩu[t\sq ploska stacionarna konvektyvna zadaça Stefana, koly konvekciq vyklykana naqvnistg zadanoho vyxoru intensyvnosti µ . Zaproponovano metod vyvçennq ci[] zadaçi, wo polqha[ u rozvynenni rozv’qzku v rqd za stepenqmy maloho parametra µ . Pry c\omu nul\ovyj çlen rozkladu znaxodyt\sq metodom Ritca. Dovedeno formulu zaleΩnosti rivnqnnq vil\no] hranyci vid77µ . Process¥ krystallyzacyy, vstreçagwyesq v pryrode, soprovoΩdagtsq konvek- tyvn¥my peremeßyvanyqmy v Ωydkoj faze. NyΩe budet pryvedena postanovka zadaçy, v kotoroj konvekcyq v¥zvana nalyçyem zadannoho vyxrq. Osnovnaq cel\ stat\y sostoyt v pryblyΩennom analyze svobodnoj hranyc¥ v zavysymosty ot yntensyvnosty vyxrq. Analyz ymegwyxsq rezul\tatov y byblyohrafyg po dannomu klassu zadaç konvektyvnoj teploprovodnosty moΩno najty v [1, 2]. 1. Postanovka zadaçy. Budem rassmatryvat\ stacyonarn¥j sluçaj v polo- se D = { },− < < < <1 1 0x H y . Oboznaçym çerez γ kryvug, otdelqgwug Ωydkug fazu Dγ + ot tverdoj Dγ − , pry πtom konc¥ γ leΩat na vertykalqx x = ± 1. Budem sçytat\, çto temperaturnoe pole monotonno ub¥vaet vmeste s vertykal\noj koordynatoj y. Takym obrazom, v nyΩnej çasty polos¥ budet raspoloΩena tverdaq faza, a v verxnej — Ωydkaq. Obe oblasty Dγ + y Dγ − predpolahagtsq odnosvqzn¥my y symmetryçn¥my otnosytel\no osy y. Pust\ ψ ( , )x y — funkcyq toka, udovletvorqgwaq uravnenyg ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 ψ ψ x y = µ, ( , )x y D∈ + γ , µ = const. (1) Zdes\ µ — zadann¥j dostatoçno mal¥j çyslenn¥j parametr. Hranyçn¥m uslo- vyem dlq funkcyy ψ qvlqetsq sledugwee: ψ = 0, ( , )x y D∈∂ + γ . (2) Esly µ = 0, to sootvetstvugwaq funkcyq toΩdestvenno ravna nulg, y, takym obrazom, v Ωydkoj faze konvekcyy net. Krome toho, v Ωydkoj faze, temperatu- ru kotoroj oboznaçym çerez u x y+( , ) , dolΩno v¥polnqt\sq uravnenye konvek- tyvnoho teploperenosa λ ψ ψ + + + + +∂ ∂ + ∂ ∂     − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 u x u y y u x x u y = 0, ( , )x y D∈ + γ , λ+ = const > 0. (3) Budem predpolahat\ v¥polnenn¥my sledugwye hranyçn¥e uslovyq na tempera- turu u+ : u x+( , )0 = v, – 1 ≤ x ≤ 1, v = const > 1, (4) na vertykal\noj çasty hranyc¥ Ωydkoj faz¥ v¥polnqetsq uslovye tret\eho roda © A. S. MYNENKO, 2007 1546 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1547 u ux + + ++ ω0 = 0, x = ± 1, ( , )x y D∈∂ + γ , (5) na svobodnoj hranyce γ — uslovye u x y+( , ) = 1, ( , )x y ∈γ . (6) Perejdem k opysanyg tverdoj faz¥. Oboznaçym çerez u− temperaturu tverdoj faz¥. Ona udovletvorqet uravnenyg ∂ ∂ + ∂ ∂ − −2 2 2 2 u x u y = 0, ( , )x y D∈ − γ . (7) Na vertykal\noj çasty hranyc¥ tverdoj faz¥ zadadym uslovye tret\eho roda u ux − − −+ ω0 = 0, x = ± 1, ( , )x y D∈∂ − γ . (8) Pry y = H budem sçytat\, çto u x H−( , ) = 0, (9) tohda kak na svobodnoj hranyce u x y−( , ) = 1, ( , )x y ∈γ . (10) Esly b¥ kryvaq γ b¥la zadannoj, to pryvedenn¥e sootnoßenyq korrektno op- redelqly b¥ zadaçu. V sylu Ωe toho, çto γ podleΩyt opredelenyg, na nej za- daetsq ewe odno uslovye, a ymenno, zakon soxranenyq πnerhyy ∇ − ∇− +u u 2 2 2 κ = 0, ( , )x y ∈γ , κ = const, 0 < κ ≤ 1. (11) Zadaça (1) – (11) nelynejna y „osnovnoe” neyzvestnoe — πto hranyca γ . Otmetym takΩe, çto razreßymost\ podobnoho klassa zadaç yzloΩena v [1]. V nastoqwej rabote predloΩen metod yzuçenyq zadaçy (1) – (11), sostoqwyj v razloΩenyy reßenyq v rqd po stepenqm maloho parametra µ . 2. Lynearyzacyq zadaçy po yntensyvnosty vyxrq. PredpoloΩym, çto neyzvestn¥e rassmatryvaemoj zadaçy moΩno predstavyt\ v vyde stepennoho rqda po µ : ψ µ( , ; )x y = k k k x y = ∞ ∑ 0 µ ψ ( , ), u x y+( , ; )µ = k k ku x y = ∞ +∑ 0 µ ( , ) , (12) u x y−( , ; )µ = k k ku x y = ∞ −∑ 0 µ ( , ) . Budem sçytat\, çto svobodnaq hranyca γ dopuskaet qvnoe predstavlenye y = y x( , )µ , – 1 ≤ x ≤ 1, (13) pryçem y x( , )µ = k k ky x = ∞ ∑ 0 µ ( ), – 1 ≤ x ≤ 1. (14) Podstavlqq πty razloΩenyq v sootnoßenyq (1) – (11) y pryravnyvaq çlen¥ pry odynakov¥x stepenqx µ , poluçaem beskoneçnoe çyslo zadaç. Zapyßem vnaçale nulevoe pryblyΩenye, sootvetstvugwee µ v nulevoj stepeny. PreΩde vseho ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 1548 A. S. MYNENKO yz uravnenyq (1) poluçaem, çto funkcyq ψ0( , )x y harmonyçna. Poskol\ku ona udovletvorqet nulev¥m hranyçn¥m uslovyqm Dyryxle, to ψ0( , )x y ≡ 0 v Dγ + . Pryvedem teper\ uslovyq, opredelqgwye u0 + : ∂ ∂ + ∂ ∂ ± ±2 0 2 2 0 2 u x u y = 0, ( , )x y D∈ ± γ 0 , u x0 0+( , ) = v, – 1 ≤ x ≤ 1, u x y u x yx0 0 0 ± ± ±+( , ) ( , )ω = 0, x = ± 1, ( , )x y D∈∂ ± γ 0 , (15) u x y0 ±( , ) = 1, ( , )x y ∈γ 0 , u x H0 −( , ) = 0, – 1 ≤ x ≤ 1, ∇ − ∇− +u u0 2 2 0 2 κ = 0, ( , )x y ∈γ 0. Zadaça (15) rassmotrena v stat\qx [3, 4]. Yz rezul\tatov πtyx rabot sleduet, çto πta zadaça ymeet, y prytom edynstvennoe, klassyçeskoe reßenye v klasse funkcyj u y0 + > 0, u y0 − > 0 sootvetstvenno v Dγ 0 + y Dγ 0 − . Pry πtom hranyca γ 0 qvlqetsq analytyçeskoj kryvoj, monotonno vozrastagwej v pravoj polovy- ne, a funkcyy u x y0 +( , ) , u x y0 −( , ) neprer¥vn¥ v Dγ 0 + y Dγ 0 − sootvetstvenno y neprer¥vno dyfferencyruem¥ vsgdu, za ysklgçenyem uhlov¥x toçek. Rassmotrym çastn¥j sluçaj dannoj zadaçy: κ = 1, ω0 + = ω0 − = ω0. (16) Pry πtom pervoe uslovye vsehda v¥polnymo, esly vvesty zamenu ũ± = κ κ γ γ u x y x y D u x y x y D + + − − ∈ + − ∈     ( , ), ( , ) , ( , ) , ( , ) ,1 kotoraq pryvodyt zadaçu (15) k sluçag κ = 1. Tohda na γ 0 budut v¥polnqt\- sq dva uslovyq: u0 + = u0 − = 1 y ∇ +u0 = ∇ −u0 . Sledovatel\no, teper\ (15) — πto ob¥çnaq zadaça o raspredelenyy temperatur¥ v oblasty D bez fazov¥x prevrawenyj vewestva. Poπtomu moΩno postroyt\ funkcyg u x y0( , ) po for- mule u x y0( , ) = u x y x y D u x y x y D 0 0 0 0 + + − − ∈ ∈     ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) , γ γ (17) kotoraq qvlqetsq reßenyem zadaçy ∆u0 = 0, ( , )x y D∈ , u x y0( , ) = v, 0 ≤ x ≤ 1, u yx0 0( , ) = 0, H ≤ y ≤ 0, (18) u x H0( , ) = 0, 0 ≤ x ≤ 1, u y u yx0 0 01 1( , ) ( , )+ ω = 0, H ≤ y ≤ 0. Funkcyq u x y0( , ) moΩet b¥t\ πffektyvno najdena, naprymer, s pomow\g me- toda Fur\e. Otnosytel\no funkcyy u x y0( , ) moΩno zaklgçyt\, çto u x yy0 ( , ) > > 0 v D (sm. teoremu74.3 v [1]). Sledovatel\no, uravnenye u x y0 1( , ) − = 0, ( , )x y D∈ , vsehda razreßymo v vyde nekotoroj funkcyy y = y x0( ), zadagwej kryvug γ 0 , t. e. γ 0 0: ( )y y x= , – 1 ≤ x ≤ 1. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1549 Lemma1. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq (16). Tohda funkcyq u0 ( x , y ) , oprede- lennaq sootnoßenyqmy (17), (18), qvlqetsq nulev¥m pryblyΩenyem (po ynten- syvnosty vyxrq µ ) zadaçy (1) – (11). Pry πtom u0 y ( x , y ) > 0 v D y u x y0( , ) neperer¥vna vmeste s proyzvodn¥my pry perexode çerez γ 0, hde γ 0 0: ( )y y x= , – 1 ≤ x ≤ 1, — reßenye uravnenyq u x y0 1( , ) − = 0. 3. Pervoe pryblyΩenye. Zapyßem kraevug zadaçu, kotoraq sootvetstvuet mnoΩytelg µ v pervoj stepeny. Yz uslovyj (1) – (11) y yz razloΩenyj (12) – (14) dlq funkcyj ψ1( , )x y y u x y1 ±( , ) v¥tekaet sledugwaq zadaça: ψ ψ1 1xx yy+ = 1, ( , )x y D∈ + γ 0 , (19) ψ1( , )x y = 0, ( , )x y D∈∂ + γ 0 , (20) λ ψ ψ+ + + + ++( ) − +u u u uxx yy y x x y1 1 1 0 1 0 = 0, ( , )x y D∈ + γ 0 , (21) u x1 0+( , ) = 0, – 1 ≤ x ≤ 1, (22) u ux1 0 1 ± ± ±+ ω = 0, x = ± 1, ( , )x y D∈∂ ± γ 0 , (23) u y x uy0 1 1 0 ± ±+( ) γ = 0, (24) u uxx yy1 1 − −+ = 0, ( , )x y D∈ − γ 0 , (25) u x H1 −( , ) = 0, – 1 ≤ x ≤ 1. (26) Krome toho, na γ 0 dolΩno v¥polnqt\sq uslovye y x u u u u u u u u u u u ux xy y yy x xy y yy x x y y1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 1( ) − − − − + + + + − − − −+( ) − +( )[ ] + +[ ]κ – – κ2 0 1 0 1u u u ux x y y + + + ++[ ] = 0, ( , )x y ∈γ 0. (27) Poluçyvßeesq pervoe pryblyΩenye ymeet sledugwye xaraktern¥e çert¥. Vo-perv¥x, πta zadaça lynejna, vo-vtor¥x, ee nuΩno reßat\ v yzvestnoj oblas- ty, sootvetstvugwej nulevomu pryblyΩenyg. Posle toho, kohda funkcyy u x y0 ±( , ) y ψ1( , )x y opredelen¥ sootvetstvenno v oblastqx Dγ 0 ± y Dγ 0 + , yz so- otnoßenyj (21) – (27) naxodym funkcyy u x y1 ±( , ) , zadann¥e v tex Ωe oblastqx Dγ 0 ± y y x1( ) , – 1 ≤ x ≤ 1. 4. Postroenye nulevoho pryblyΩenyq varyacyonn¥m metodom. Zadaça (15) πkvyvalentna probleme mynymuma sledugweho yntehral\noho funkcyo- nala: I u u( ), ,+ − γ 0 = D x y D x yu u dxdy u u dxdy γ γ κ 0 0 2 2 2 2 2 − + ∫∫ ∫∫− − + ++[ ] + +[ ] + + κ ω ω γ γ 2 0 2 0 2 1 1+ + − − + − ∫ ∫−[ ] + −[ ] Γ Γ u dy u dy (28) na sootvetstvugwem mnoΩestve dopustym¥x funkcyj [3]. Zdes\ Γγ + = ∂ +Dγ ∩ ∩ { }x = ±1 , Γγ − = ∂ −Dγ ∩ { }x = ±1 . PryderΩyvaqs\ metodyky Frydryxsa [5], ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 1550 A. S. MYNENKO predstavym funkcyonal (28) v klasse funkcyj uy ± > 0 v Dγ ± sledugwym ob- razom [6]: I y y1 1 2( , ) = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+ + + + − [+ ∆ ∆1 2 1 1 1 11 2 1 2 2 2 2 0 2 1 2 2 y y dxdu y y dxdu u y ux u x u uκ ω κ v ( ) ( , ) + + y u du u y u y u duu u u2 0 0 2 1 11 1 1 1( , ) ( ) ( , ) ( , )− ] + − + −[ ]− ∫ω 1 , (29) hde ∆1 = ( , )− < < < <1 1 0 1x u , ∆2 = ( , )− < < < <1 1 1x u v , y x u1( , ) y y x u2( , ) — reßenyq uravnenyj u x y u1 1( , ) − = 0, u x y u2 2( , ) − = 0. Funkcyonal (28) budem mynymyzyrovat\ na mnoΩestve dopustym¥x funkcyj Ω = Ω Ω1 2� , (30) hde Ω1 = y x u y x u C y y x H y x y x x u u1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1( , ): ( , ) ( ), min , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ∈ > = =     ∈ ∆ ∆ , Ω2 = y x u y x u C y y x y x y x x u u2 2 1 2 2 2 1 2 2 0 0 1 1( , ): ( , ) ( ), min , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ∈ > = =     ∈ ∆ ∆ v . Dalee, pust\ funkcyy y x u1 ∗( , ), y x u2 ∗( , ) sootvetstvugt klassyçeskomu re- ßenyg ( ), ,u u+ − γ zadaçy (15). Spravedlyva sledugwaq lemma. Lemma2. Para funkcyj y1 ∗, y2 ∗ dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcy- onalu (29) na mnoΩestve (30). Dokazatel\stvo. Yspol\zuq formulu Frydryxsa [5], poluçaem I y y1 1 2( , ) = I y y d d I y y d I y y d d1 1 2 1 1 2 0 0 1 2 1 1 2 21( ), ( , ) ( ) ( , )∗ ∗ = + + −∫ε ε ε εε ε ε ε ε , hde d I y y d 2 1 1 2 2 ( , )ε ε ε = 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 3 ∆ ∫∫ + −[ ]δ δ δε ε ε y y y y y dxdu y u u x x u u ( ) + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ∆ ∫∫ + −[ ]δ δ δε ε ε y y y y y dxdu y u u x x u u ( ) , ( , )y y1 2 — proyzvol\n¥j πlement yz Ω , y1ε = y y y1 1 1 ∗ ∗+ −ε ( ), y2ε = y2 ∗ + + ε ( )y y2 2− ∗ , 0 ≤ ε ≤ 1. Uçyt¥vaq teper\, çto pervaq varyacyq funkcyonala I y y1 1 2( , ) , v¥çyslennaq na πlemente ( ),y y1 2 ∗ ∗ , ravna nulg, zaklgçaem, çto para ( ),y y1 2 ∗ ∗ dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcyonalu (29) na mnoΩestve (30), tak kak d I d2 1 2/ ε — poloΩytel\no opredelenn¥j funkcyonal na varyacyqx δy1 = y y1 1− ∗ , δy2 = y y2 2− ∗. Lemma dokazana. Budem mynymyzyrovat\ funkcyonal (29) na mnoΩestve (30) s pomow\g summ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1551 y x u an kj1 ( , ; ) = y x un1 ( , ) = j L k T kj j k j a x u H = = ∑ ∑ + 0 1 2 , ( , )x u ∈∆1, y x u bn kj2 ( , ; ) = y x un2 ( , ) = v v − − = = ∑ ∑u b x u j L k kj j k j 1 0 0 2 Θ , ( , )x u ∈∆2 , (31) n = sup ; 0 2 2 ≤ ≤ + +{ } j L j jj T j Θ . Vklgçenye ( , )y yn n1 2 ∈Ω v¥delqet v evklydovom prostranstve Er koπffycy- entov ( , )a bkj kj oblast\ dopustymosty Ωr , hde r = j L j jT = ∑ + +( ) 0 1Θ , Ωr = ˜ ˜Ω Ω1 2 0� ∩ E , Ω̃1 = a ykj x u nu: min ( , )∈ >     ∆1 1 0 , Ω̃2 = b ykj x u nu: min ( , )∈ >     ∆2 2 0 , pry πtom koπffycyent¥ ( , )a bkj st dolΩn¥ leΩat\ v hyperploskostqx E H a k T k0 0 1 0 0 : + = ∑ = k kb = ∑ 0 0 0Θ , E aj k T kj j 0 1 : = ∑ = k kj j b = ∑ 0 Θ , t. e. E0 = E E EL0 0 1 0 0� � �… . Neyzvestn¥e koπffycyent¥ ( , )a bkj st y mnoΩytel\ LahranΩa λt oprede- lqgtsq yz nelynejnoj system¥ Rytca ∂ ∂ + I a b a kj kj pq q 2( , ) λ = 0, p = 1, 2, … , Tq ; q = 0, 1, … , L , ∂ ∂ − I a b b kj kj st t 2( , ) λ = 0, s = 0, 1, … , Θt ; t = 0, 1, … , L , (32) k T k k ka b H = = ∑ ∑− + 1 0 0 0 0 0Θ = 0, k T kj k kj j j a b = = ∑ ∑− 1 0 Θ = 0, j = 1, 2, … , L , I a bkj kj2( , ) = I a x u H u b x u j L k T kj j k j L k kj j k j j 1 0 1 2 0 0 2 1= = = = ∑ ∑ ∑ ∑+ − −        ; v v Θ . MoΩno ustanovyt\, çto funkcyq I a bkj kj2( , ) prynymaet svoe naymen\ßee znaçenye v nekotoroj vnutrennej toçke ( ),a bkj kj ∗ ∗ mnoΩestva Ωr , leΩawej na koneçnom rasstoqnyy ot naçala koordynat prostranstva Er [7]. Sledovatel\- no, v toçke ( ),a bkj kj ∗ ∗ çastn¥e proyzvodn¥e pervoho porqdka sootvetstvugwej funkcyy LahranΩa ravn¥ nulg. Takym obrazom, systema uravnenyj (32) ymeet reßenye. Ytak, reßyv systemu uravnenyj (32) pry kaΩdom n, moΩno zatem postroyt\ posledovatel\nost\ pryblyΩenyj (31) v vyde y x u an kj1 ( ), ; ∗ = y n1 ∗ , y x u bn kj2 ( ), ; ∗ = = y n2 ∗ . Lemma3. PryblyΩenyq y n1 ∗ , y n2 ∗ , postroenn¥e po metodu Rytca, obrazu- gt mynymyzyrugwug posledovatel\nost\ dlq funkcyonala (29) na mnoΩest- ve7(30). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 1552 A. S. MYNENKO Dokazatel\stvo. Pust\ para y1 ∗, y2 ∗ dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcyonalu (29) na mnoΩestve (30). Pry πtom spravedlyv¥ predstavlenyq y x u1 ∗( ), = u x u Hη1( , ) + , y x u2 ∗( ), = ( ) ( , )v − u x uη2 = v v − − u x u 1 2˜ ( , )η , hde η1 1 1∈C ( )∆ , ˜ ( )η2 1 2∈C ∆ , η1 0 0( , )x ≠ , η2 0( , )x v ≠ . V sylu teorem¥ Ve- jerßtrassa funkcyy η1( , )x u y ˜ ( , )η2 x u mohut b¥t\ approksymyrovan¥ mno- hoçlenamy v norme prostranstv C1 1( )∆ y C1 2( )∆ sootvetstvenno. Voz\mem proyzvol\noe çyslo ε > 0 y pust\ P x un( , ), Q x un( , ) — mnohoçlen¥ takye, çto η1 1 1 ( , ) ( , ) ( )x u P x un C− ∆ < ε , ˜ ( , ) ( , ) ( ) η2 1 2 x u Q x un C − ∆ < ε . Tohda y x u uP x u Hn C1 1 1 ∗ − −( , ) ( , ) ( )∆ = u x u P x un Cη1 1 1 ( , ) ( , ) ( )−[ ] ∆ < C ε , y x u u Q x un C 2 1 1 1 ∗ − − − ( , ) ( , ) ( ) v v ∆ = v v − − −[ ]u x u Q x un C1 2 1 1 ˜ ( , ) ( , ) ( ) η ∆ < C ε , hde C — nekotoraq poloΩytel\naq postoqnnaq. PokaΩem teper\, çto funkcyy f1 = uP x u Hn( , ) + , f2 = v v − − u Q x un1 ( , ) moΩno sçytat\ dopustym¥my, t. e. f1 1∈Ω , f2 2∈Ω . Dejstvytel\no, esly f x f x1 21 1( , ) ( , )≠ , to, poloΩyv H a b k T k k k+ − = = ∑ ∑ 1 0 0 0 0 0Θ = ε0, k T kj k kj j j a b = = ∑ ∑− 0 1 Θ = ε j , ãT jj = aT j jj − ε , ãT0 0 = aT0 0 0− ε , akj = ãkj (esly k ≠ Tj , j = 1, 2, … , L ), postroym mnohoçlen ˜ ( , )P x un takoj, çto ˜ ( , )f x1 1 = f x2 1( , ), hde ˜ ( , )f x u1 = uP x u Hñ( , ) + = j L k T kj j k j a x u H = = ∑ ∑ + 0 1 2˜ , pry πtom norma f f C1 1 1 1 − ˜ ( )∆ dostatoçno mala, tak kak yznaçal\no vse vely- çyn¥ ε j moΩno v¥brat\ mal¥my. Dalee, ymeem min y u1 ∗ > 0 pry ( , )x u ∈∆1 y min y u2 ∗ > 0 pry ( , )x u ∈∆2 . Sledovatel\no, po krajnej mere, naçynaq s nekotoroho bol\ßoho nomera N min f u1 > 0 pry ( , )x u ∈∆1 y min f u2 > 0 pry ( , )x u ∈∆2 . Ytak, poluçaem f1 1∈Ω , f2 2∈Ω . Dalee, dejstvuq analohyçno [7], [8] (sm. lemmu76), postroym cepoçku nera- venstv I y y dn n1 1 2( ),∗ ∗ − ≤ I y y dn n1 1 2( ), − ≤ I y y I y yn n1 1 2 1 1 2( ) ( ), ,− ∗ ∗ < ε̃ , hde d — naymen\ßee znaçenye funkcyonala (29) na mnoΩestve (30), ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1553 y n1 = uP x u Hñ( , ) + , y n2 = v v − − u Q x un1 ( , ), a d = I y y1 1 2( ),∗ ∗ v sylu lemm¥71. Otsgda vsledstvye proyzvol\nosty çysla ε̃ sleduet utverΩ- denye lemm¥. Yspol\zuq toΩdestvo y y x u x y≡ ( , ( , )), poluçaem formul¥ ux = – y y x u , uy = 1 yu , uxx = – y y y y y y x u x x u u x u     ′ +     ′ , uyy = 1 1 y yu u u     ′ . V termynax funkcyj y x u1( , ) , y x u2( , ) zadaça (1) – (11) prymet vyd – y y y y y y y y x u x x u u x u u u u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    +     +     = 0, ( , )x u ∈∆1, y x1 0( , ) = H, – 1 ≤ x ≤ 1, – y y ux u 1 1 0± +ω = 0, x = ± 1, 0 ≤ u ≤ 1, – y y y y y y y y x u x x u u x u u u u 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1    +     +     = 0, ( , )x u ∈∆2 , y x2( , )v = 0, – 1 ≤ x ≤ 1, – y y ux u 2 2 0± −ω = 0, x = ± 1, 1 ≤ u ≤ v, y x1 1( , ) = y x2 1( , ), y y y x u u 1 2 1 2 1 2 1+ = κ2 2 2 2 2 2 2 1y y y x u u +    , u = 1. Oçevydno, çto reßenye πtoj zadaçy budet zavyset\ ot parametrov ω+ , ω− y κ : y1 = y x u1 0 0( , ; , , )ω ω κ+ − , y2 = y x u2 0 0( , ; , , )ω ω κ+ − . Yssleduem teper\ zavysymost\ koπffycyentov Rytca akj y bkj ot çysel ω0 + , ω0 − y κ . Lemma4. Pust\ systema Rytca (32) ymeet reßenye pry nekotor¥x znaçenyqx parametrov ω0 + = ω̃0 + , ω0 − = ω̃0 − , κ = κ̃ . Tohda reßenyq πtoj system¥ akj( ), ,ω ω κ0 0 + − , bkj( ), ,ω ω κ0 0 + − neprer¥vno zavysqt ot parametrov ω0 + , ω0 − , κ v nekotoroj okrestnosty toçky ( )˜ , ˜ , ˜ω ω κ0 0 + − . Dokazatel\stvo provodytsq analohyçno dokazatel\stvu teorem¥771 v rabo- te7[9]. Posledovatel\nost\ funkcyj y x un1 ( , ), y x un2 ( , ), postroennaq s pomow\g metoda Rytca, pozvolqet dlq zadaçy (15) pryblyΩenno najty svobodnug hrany- cu γ n y lynyy urovnq y x cn1 ( , ), y x cn2 ( , ) funkcyj u x yn1 ( , ), u x yn2 ( , ). Pry πtom ymeem y x cn1 ( , ) = j L k T kj j k j a x c H = = ∑ ∑ + 0 1 2 , 0 ≤ c ≤ 1, y x cn2 ( , ) = v v − − = = ∑ ∑c b x c j L k kj j k j 1 0 0 2 Θ , 1 ≤ c ≤ v, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 1554 A. S. MYNENKO ∂ ∂ u x n1 = – ∂ ∂ ∂ ∂ y x y u n u1 1 , ∂ ∂ u y n1 = 1 1∂ ∂ y u n , ∂ ∂ u x n2 = – ∂ ∂ ∂ ∂ y x y u n u2 2 , ∂ ∂ u y n2 = 1 2∂ ∂ y u n , hde ( ), ,u un n n1 2 γ — pryblyΩennoe reßenye zadaçy (15). Postroym teper\ v oblasty D funkcyy u x yn( , ) sledugwym obrazom: u x yn( , ) = u x y x y D u x y x y D n n n n 1 2 ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) . ∈ ∈     − + γ γ (33) Perejdem k yssledovanyg sxodymosty pryblyΩenyj (31). Teorema1. Pust\ v¥polnen¥ predpoloΩenyq (16). Tohda posledovatel\- nost\ pryblyΩenyj (33) sxodytsq k reßenyg u x y0( , ) zadaçy (15) po norme v W D2 1( ) , W D2 1 0 ( )γ + y W D2 1 0 ( )γ − . Dokazatel\stvo. Posledovatel\nost\ mnohoçlenov (31), koπffycyent¥ kotor¥x udovletvorqgt systeme (32), obrazuet mynymyzyrugwug posledova- tel\nost\ y n1 , y n2 dlq funkcyonala (29) na mnoΩestve (30). Sledovatel\no, ymeem εn = I y y I y yn n1 1 2 1 1 2( , ) ,( )− ∗ ∗ → 0 pry n → ∞ , tak kak sohlasno lem- me71 para ( ),y y1 2 ∗ ∗ dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcyonalu I y y1 1 2( , ) na mnoΩestve Ω . Dalee, posledovatel\nosty ( , )y yn n1 2 v ploskosty ( , )x u sootvetstvuet posledovatel\nost\ ( , )u un n1 2 v ploskosty ( , )x y . Tohda ymeem ˜( )I u0 + η = ˜( ) ˜( ) ˜( , )I u I I u0 02+ +η η , η = u un − 0, hde ˜( )I u0 = D H u dx dy u y u y dy∫∫ ∫∇ + −( ) + − −( )[ ]0 2 0 0 0 2 0 21 1 1 1ω ( , ) ( , ) , ˜( )I η = D H dx dy y y dy∫∫ ∫∇ + −( ) + − −( )[ ]η ω η η2 0 0 2 21 1 1 1( , ) ( , ) , ˜( , )I u0 η = 2 2 1 10 0 0 0 0 0 D x x y y H u u dx dy u y u y dy∫∫ ∫+ + + −[ ]( ) ( , ) ( , )η η ω η η . Uçyt¥vaq, çto ˜( ) ˜( )I u I u0 0+ −η = I y y I y yn n1 1 2 1 1 2( , ) ,( )− ∗ ∗ → 0 pry n → ∞ y I u( , )0 η = 0, poluçaem utverΩdenye teorem¥. Zameçanye1. Poskol\ku funkcyy y n1 y y n2 , v sylu lemm¥74, neprer¥v- no zavysqt ot ω0 +, ω0 − y κ v nekotoroj okrestnosty toçky ω0 + = ω0, ω0 − = ω0 y κ = 1, to y teorema soxranyt sm¥sl v nekotoroj maloj okrestnosty U( , , )ω ω0 0 1 v prostranstve parametrov ( ), ,ω ω κ0 0 + − . Sledovatel\no, poluçym sxodymost\ un po norme v W D2 1( ) , W D2 1 0 ( )γ + y W D2 1 0 ( )γ − dlq vsex ( ), ,ω ω κ0 0 + − 7∈ U( , , )ω ω0 0 1 . 5. Yssledovanye pervoho pryblyΩenyq. Dalee rassmotrym pervoe pry- blyΩenye ( ), , ,ψ γ1 1 1 1u u+ − zadaçy (1) – (11). V sylu svojstv neprer¥vnosty ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1555 funkcyy u x y0( , ) y ee proyzvodn¥x na γ uslovye (27) moΩno zapysat\ v takom vyde: u u u ux x y y0 1 0 1 − −+ = u u u ux x y y0 1 0 1 + ++ , ( , )x y ∈γ 0, (34) krome toho, na γ 0, kak y ran\ße, dolΩno v¥polnqt\sq uslovye u1 + = u1 − , ( , )x y ∈γ 0. (35) PokaΩem, çto na γ 0 spravedlyv¥ ravenstva u x1 + = u x1 − , u y1 + = u y1 − , ( , )x y ∈γ 0. (36) Dejstvytel\no, dyfferencyruq sootnoßenye (35) po x, poluçaem u u y xx y1 1 0 − −+ ′ ( ) = u u y xx y1 1 0 + ++ ′ ( ). Uçyt¥vaq teper\, çto u u y xx y0 0 0+ ′ ( ) = 0, na γ 0 ymeem u u u uy x x y0 1 0 1 − −− = u u u uy x x y0 1 0 1 + +− . (37) Zdes\ vospol\zuemsq takΩe neprer¥vnost\g funkcyy u x y0( , ) y ee proyzvod- n¥x na γ 0. Tohda yz sootnoßenyj (34) y (37) sleduet u u u u u ux x x y y y0 1 1 0 1 1( ) ( )− + − +− + − = 0, u u u u u uy x x x y y0 1 1 0 1 1( ) ( )− + − +− − − = 0. Rassmatryvaq πty ravenstva kak uravnenyq otnosytel\no ( )u ux x1 1 − +− y ( )u uy y1 1 − +− , poluçaem u ux x1 1 − +− = 0, u uy y1 1 − +− = 0, ( , )x y ∈γ 0, tak kak oprede- lytel\ πtoj system¥ ∆ = – ( )u ux y0 2 0 2+ otlyçen ot nulq v D . Sledovatel\no, ravenstva (36) spravedlyv¥. Takym obrazom, v sylu sootnoßenyj (35) y (36) dlq pervoho pryblyΩenyq moΩno vvesty funkcyg u x y1( , ) po formule u x y1( , ) = u x y x y D u x y x y D 1 1 0 0 + + − − ∈ ∈     ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ) . γ γ (38) Oçevydno, çto πta funkcyq qvlqetsq reßenyem zadaçy ∆u = f x y( , ), ( , )x y D∈ ; u x( , )0 = 0, u x H( , ) = 0, 0 ≤ x ≤ 1; (39) u yx ( , )0 = 0, H ≤ y ≤ 0; u ux + ω0 = 0, x = 1, H ≤ y ≤ 0, hde f x y( , ) = ψ ψ1 0 1 0y x x yu u− pry ( , )x y D∈ + γ 0 y f x y( , ) = 0 pry ( , )x y D∈ − γ 0 . Ytak, dokazana sledugwaq lemma. Lemma5. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq (16). Tohda funkcyq u x y1( , ) qvlqet- sq reßenyem zadaçy (19) – (27). Pry πtom funkcyy u x y1( , ), u x y1 +( , ) y u x y1 − ( , ) svqzan¥ meΩdu soboj ravenstvom (38). Znaq funkcyy u x y0( , ) y u x y1( , ), yz sootnoßenyq (24) naxodym y x1( ) = – u x y u x yy 1 0 ( , ) ( , ) , ( , )x y ∈γ 0. Sledovatel\no, pry mal¥x µ poluçaem predstavlenye ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 1556 A. S. MYNENKO y x( , )µ = y x y x0 1 0( ) ( ) ( )+ +µ µ = y x u x y u x yy 0 1 0 0( ) ( , ) ( , ) ( )− +µ µ , ( , )x y ∈γ 0. (40) Sootnoßenye (40) pozvolqet v pervom pryblyΩenyy yssledovat\ zavysy- most\ svobodnoj hranyc¥ γ ot µ y v¥qvyt\ naskol\ko suwestvenno konvekcyq vlyqet na heometryg fronta krystallyzacyy. Teorema2. Pust\ velyçyna µ dostatoçno mala y ymeet mesto sootno- ßenye (16). Tohda spravedlyvo predstavlenye (40), hde funkcyy u x y0( , ) y u x y1( , ) qvlqgtsq reßenyqmy zadaç sootvetstvenno (19) y (39), a y x0( ) — reßenye uravnenyq u x y0 1( , ) − = 0 v klasse funkcyj u y0 > 0 v D. Zameçanye*2. V obwem sluçae, kohda uslovye (16) ne v¥polnqetsq, vmesto formul¥ (40) pry mal¥x µ yspol\zuetsq predstavlenye y x( , )µ = y x y x0 1 0( ) ( ) ( )+ +µ µ = y x u x y u x yy 0 1 0 0( ) ( , ) ( , ) ( )− + ± ±µ µ , ( , )x y ∈γ 0. 1. Danylgk Y. V. O zadaçe Stefana // Uspexy mat. nauk. – 1985. – 40, # 5. – S.7133 – 185. 2. Mynenko A. S. Varyacyonn¥e zadaçy so svobodnoj hranycej. – Kyev: Nauk. dumka, 2005. – 354 s. 3. Bazalyj B. V., Íelepov V. G. Ob odnoj stacyonarnoj zadaçe Stefana // Dokl. AN USSR. Ser. A. – 1974. – # 1. – S.75 – 8. 4. Bazalyj B. V., Íelepov V. G. Ob odnom obobwenyy stacyonarnoj zadaçy Stefana // Mat. fyzyka. – 1975. – V¥p.727. – S.765 – 80. 5. Friedrichs K. O. Uber ein Minimumproblem fur Potentialstromungen mit freiem Rande // Math. Ann. – 1933. – 109. – S. 60 – 82. 6. Mynenko A. S. Ob odnoj optymyzacyonnoj zadaçe // Mat. fyzyka. – 1978. – V¥p.723. – S.774 – 77. 7. Mynenko A. S. Osesymmetryçeskoe teçenye so svobodnoj hranycej // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 4. – S.7477 – 488. 8. Danylgk Y. V., Mynenko A. S. O metode Rytca v odnoj nelynejnoj zadaçe so svobodnoj hranycej // Dokl. AN USSR. Ser. A. – 1978. – # 4. – S.7291 – 294. 9. Danylgk Y. V., Mynenko A. S. Ob odnoj optymyzacyonnoj zadaçe so svobodnoj hranycej // Tam Ωe. – 1976. – # 5. – S.7389 – 392. Poluçeno 22.02.06 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11

Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритц

Institution

Ähnliche Einträge