Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления
Запропоновано та досліджено математичну модель відкритої білінійної системи керування для перетворення теплової енергії в когерентну форму. Показано, що використання комбінаційного параметричного резонансу, який утворюється системою керування в однотемпературному ансамблі слабко дисипативних пружно-...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172511 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления / Юл.И. Самойленко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1557–1573. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-172511 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1725112020-11-03T01:26:54Z Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления Самойленко, Юл.И. Статті Запропоновано та досліджено математичну модель відкритої білінійної системи керування для перетворення теплової енергії в когерентну форму. Показано, що використання комбінаційного параметричного резонансу, який утворюється системою керування в однотемпературному ансамблі слабко дисипативних пружно-гіроскопічних підсистем, дозволяє отримати додатний енергетичний вихід без застосування якого-небудь охолоджуючого пристрою, крім системи керування. We propose and investigate a mathematical model of an open bilinear control system for the conversion of heat energy in a coherent form. We show that the use of a combinational parametric resonance formed by the control system in a one-temperature ensemble of weakly dissipative elastic-gyroscopic subsystems enables one to obtain a positive energy output without using any cooling device apart from the control system. 2007 Article Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления / Юл.И. Самойленко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1557–1573. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172511 530.1, 517.9 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Самойленко, Юл.И. Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления Український математичний журнал |
| description |
Запропоновано та досліджено математичну модель відкритої білінійної системи керування для перетворення теплової енергії в когерентну форму. Показано, що використання комбінаційного параметричного резонансу, який утворюється системою керування в однотемпературному ансамблі слабко дисипативних пружно-гіроскопічних підсистем, дозволяє отримати додатний енергетичний вихід без застосування якого-небудь охолоджуючого пристрою, крім системи керування. |
| format |
Article |
| author |
Самойленко, Юл.И. |
| author_facet |
Самойленко, Юл.И. |
| author_sort |
Самойленко, Юл.И. |
| title |
Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления |
| title_short |
Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления |
| title_full |
Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления |
| title_fullStr |
Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления |
| title_full_unstemmed |
Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления |
| title_sort |
когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172511 |
| citation_txt |
Когерентизация энергии тепловых флуктуаций двухканальной билинейной системой управления / Юл.И. Самойленко // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 11. — С. 1557–1573. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT samojlenkoûli kogerentizaciâénergiiteplovyhfluktuacijdvuhkanalʹnojbilinejnojsistemojupravleniâ |
| first_indexed |
2025-07-15T08:49:15Z |
| last_indexed |
2025-07-15T08:49:15Z |
| _version_ |
1837702165215313920 |
| fulltext |
UDK 530.1, 517.9
G. Y. Samojlenko (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ
DVUXKANAL|NOJ BYLYNEJNOJ SYSTEMOJ
UPRAVLENYQ
A mathematical model of open bilinear control system for the conversion of heat energy in the coherent
form is proposed and examined. It is shown that the use of combinational parametric resonance created
by the control system in one-temperature ensemble of weakly dissipative elasto-gyroscopic subsystems
enables one to obtain a positive energetic output without application of any cooling device apart from the
control system.
Zaproponovano ta doslidΩeno matematyçnu model\ vidkryto] bilinijno] systemy keruvannq dlq
peretvorennq teplovo] enerhi] v koherentnu formu. Pokazano, wo vykorystannq kombinacijnoho
parametryçnoho rezonansu, qkyj utvorg[t\sq systemog keruvannq v odnotemperaturnomu an-
sambli slabko dysypatyvnyx pruΩno-hiroskopiçnyx pidsystem, dozvolq[ otrymaty dodatnyj
enerhetyçnyj vyxid bez zastosuvannq qkoho-nebud\ oxolodΩugçoho prystrog, krim systemy ke-
ruvannq.
1. Obwaq xarakterystyka rassmatryvaemoj zadaçy. Vopros¥, obsuΩdaem¥e
v predlahaemoj stat\e, vosxodqt k peryodu stanovlenyq termodynamyky, tvor-
camy kotoroj b¥ly S. Karno (1824 h.), R. Klauzyus (1850 h.), V Tomson (lord
Kel\vyn) (1851 h.), vperv¥e sformulyrovavßye tak naz¥vaemoe vtoroe naçalo
πtoj nauçnoj dyscyplyn¥, predstavlqgwee soboj odno yz fundamental\n¥x
poloΩenyj obwej fyzyky y v nastoqwee vremq. DΩ. Maksvell, vnesßyj oh-
romn¥j vklad v πlektrodynamyku y statystyçeskug fyzyku, qvlqqs\ takΩe od-
nym yz rodonaçal\nykov teoryy avtomatyçeskoho rehulyrovanyq, v razdele kny-
hy „Teoryq teplot¥” (1871 h.), nazvannom „Ohranyçenyq vtoroho naçala termo-
dynamyky”, predloΩyl ydeg avtomata, sortyrugweho molekul¥ po skorostqm
y sozdagweho dostatoçn¥e uslovyq dlq poluçenyq mexanyçeskoj πnerhyy yz
teplovoj, kak b¥ vopreky vtoromu naçalu termodynamyky. V. Tomson, uvleçen-
n¥j πtoj ydeej, predloΩyl naz¥vat\ podobnoe hypotetyçeskoe ustrojstvo „de-
monom Maksvella”. Razumeetsq, oba πty znamenyt¥e uçen¥e otdavaly sebe ot-
çet v tom, çto real\no reç\ zdes\ moΩet ydty tol\ko ob yzmerenyy parametrov
fluktuacyj, otnosytel\naq yntensyvnost\ kotor¥x tem bol\ße, çem men\ße
obæekt nablgdenyq, uslovno naz¥vaem¥j „molekuloj”, y potomu tol\ko paral-
lel\naq rabota mnohyx „demonov” moΩet dat\ praktyçesky znaçym¥j rezul\tat.
Kak vskore v¥qsnylos\, y vposledstvyy podtverΩdalos\ mnohymy yssledovate-
lqmy, daΩe v pryncype, yzmerenyq na mykrourovne trebugt zatrat πnerhyy,
ymegwyx nenulevoj nyΩnyj predel. Sledovatel\no, zatrat¥ na rabotu kol-
lektyva „demonov” neyzbeΩno uvelyçyvagtsq po krajnej mere proporcyonal\-
no kolyçestvu dob¥vaemoj s yx pomow\g mexanyçeskoj (v ßyrokom sm¥sle) po-
leznoj πnerhyy.
Naskol\ko yzvestno avtoru, do nedavneho vremeny, nesmotrq na b¥str¥j
prohress v kvantovoj y molekulqrnoj πlektronyke, ne udavalos\ osuwestvyt\,
xotq b¥ na model\nom urovne, prev¥ßenye πnerhetyçeskoho v¥xoda nad πnerho-
zatratamy na puty realyzacyy ydey demona Maksvella. Bolee toho, vo mnohyx
rabotax predlahalys\ razlyçn¥e varyant¥ obosnovanyq nevozmoΩnosty takoho
rezul\tata, no vsqkyj raz delo svodylos\ k prqmomu yly kosvennomu obrawe-
nyg ko vtoromu naçalu termodynamyky, na ohranyçenye prymenymosty kotoroho
ukaz¥vagt sam Maksvell y eho storonnyky. Vmeste s tem, ne ysklgçeno, çto
kontrprymer¥, postroenn¥e na osnove fyzyçesky realyzuem¥x modelej rabo-
çyx sred, y razrabotka sposobov upravlenyq yx sostoqnyem na mykrourovne po-
mohut vnesty neobxodymug qsnost\ v ocenyvanye fyzyçeskoho predela πffek-
tyvnosty preobrazovanyq teplovoj πnerhyy v mexanyçeskug rabotu y druhye ko-
herentn¥e form¥.
© G. Y. SAMOJLENKO, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11 1557
1558 G. Y. SAMOJLENKO
2. Metod¥ y predvarytel\n¥e rezul\tat¥. Realyzacyq πtoj dostatoçno
sloΩnoj prohramm¥, po-vydymomu, nevozmoΩna bez prymenenyq asymptoty-
çeskyx metodov teoryy nelynejn¥x kolebanyj, sozdanye y obosnovanye kotor¥x
svqzano sHymenamy N.HM.HKr¥lova, N.HN.HBoholgbova, G.HA.HMytropol\skoho,
A.HM.HSamojlenko [1 – 4]. Mnohye konkretn¥e prymer¥ πffektyvnoho yspol\-
zovanyq πtyx metodov posluΩyly osnovoj dlq napysanyq monohrafyy [5], hde
narqdu s druhymy voprosamy, takymy kak upravlenye plazmoj, rassmotren¥ me-
tod¥ upravlenyq processamy v klassyçeskyx y kvantov¥x statystyçeskyx an-
samblqx. So ss¥lkoj na stat\g [6] pryvedeno reßenye zadaçy ob upravlenyy
perenosom πnerhyy teplov¥x fluktuacyj v dvuxtemperaturnom ansamble ly-
nejn¥x oscyllqtorov, poparno svqzann¥x posredstvom parametryçeskoj modu-
lqcyy potencyala yx vzaymodejstvyq druh s druhom y s vneßnym upravlqgwym
polem. Dlq poluçenyq formul πnerhetyçeskoho balansa s fyzyçesky pryemle-
moj toçnost\g v rabote [6] b¥ly v¥veden¥ „ukoroçenn¥e” uravnenyq, dagwye
vozmoΩnost\ faktyçesky opysat\ πvolgcyg kvadraturn¥x sostavlqgwyx os-
cyllqcyj, v¥z¥vaem¥x δ-korrelyrovann¥my fluktuacyonn¥my sylamy Najk-
vysta. Poskol\ku rassmotrenn¥j v [6] ansambl\ b¥l dvuxtemperaturn¥m, re-
zul\tat analyza okazalsq v polnom sootvetstvyy so vtor¥m naçalom termodyna-
myky. V çastnosty, pry ravenstve temperatur T1 = T2 podansamblej s çastota-
my ω1 y ω2 ( )ω ω2 1> systema upravlenyq perexodamy v spektre zaselennostej
πnerhetyçeskyx urovnej mohla lyß\ otdavat\ svog πnerhyg ukazann¥m podan-
samblqm, no pry
T
T
2
1
>
ω
ω
2
1
systema upravlenyq okazalas\ sposobnoj poluçat\
nekotorug çast\ πnerhyy v koherentnoj forme, t. e. sovmestnoe po dvum kana-
lam vozdejstvye fluktuacyj soverßalo v srednem (po vremeny y statysty-
çesky) poloΩytel\nug rabotu na obobwennom cyklyçeskom „peremewenyy”
orhana upravlenyq, kotor¥m qvlqlos\ upravlqgwee kolebanye parametra
potencyal\noj svqzy. Pry obratnom sootnoßenyy temperatur y çastot, kohda
T
T
2
1
<
ω
ω
2
1
, okazalos\ vozmoΩn¥m realyzovat\ prynudytel\noe oxlaΩdenye, no
ne bolee horqçeho podansamblq, a naoborot — bolee xolodnoho. Pry πtom sys-
tema upravlenyq rabotala podobno xolodyl\nyku, potreblqq πnerhyg ot neko-
toroho vneßneho ystoçnyka y odnovremenno peredavaq teplo ot oxlaΩdaemoj
podsystem¥ k bolee horqçej.
Pop¥tka poluçyt\ πffekt preobrazovanyq teplovoj πnerhyy v koherentnug
formu upravlqgwyx kolebanyj pry T1 = T2 ne mohla prynesty Ωelaemoho re-
zul\tata bez dal\nejßeho usloΩnenyq struktur¥ syl v podsystemax, ymegwyx
po dve stepeny svobod¥ u kaΩdoj yz nyx. Kak v¥qsnylos\, lyß\ tol\ko za sçet
vnesenyq asymmetryy otnosytel\no obrawenyq vremeny v upravlqgwye koleba-
nyq nevozmoΩno oryentyrovat\ πnerhetyçeskye potoky v prostranstve sostoq-
nyj system¥ upravlenyq. Dejstvytel\no, dlq poluçenyq pyloobraznoj form¥
kolebanyj nakaçky trebugtsq mynymum dve harmonyky, pryçem kaΩdaq yz nyx
dolΩna b¥t\ rezonansnoj dlq svqzy oscyllqtorov s çastotamy ω1 y ω2
. Ta-
kaq vozmoΩnost\ realyzuetsq pry racyonal\nom otnoßenyy summarnoj y raz-
nostnoj çastot. Naprymer, kohda Ωelatel\no sformyrovat\ nakaçku v vyde
summ¥ pervoj y vtoroj harmonyk, dostatoçno poloΩyt\ ω2 = 3
ω1
. Tohda
Ω( )+ = ω1 + ω2 = 4
ω1
, Ω( )− = ω2 – ω 1 = 2
ω1
, t . e. Ω( )+ = 2
Ω( )− . No v
ukoroçenn¥x uravnenyqx nykakye strukturn¥e yzmenenyq pry πtom ne proysxo-
dqt, tak çto pry T1 = T2 poloΩytel\n¥j πnerhetyçeskyj v¥xod ne poluçaetsq.
Rassmotrenyg voznykagwej sytuacyy s bolee obwyx pozycyj pomohaet sle-
dugwyj rezul\tat, poluçenn¥j avtorom y eho kollehamy pry reßenyy optymy-
zacyonnoj zadaçy upravlenyq kvantov¥m statystyçeskym ansamblem po πnerhe-
tyçeskomu kryteryg, podrobnoe yzloΩenye kotoroj pryvedeno v [5].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ … 1559
Teorema (ob optymal\n¥x perestanovkax). Pust\ hruppa upravlqemosty
G, heneryruemaq hamyl\tonyanom upravlqemoj system¥
ˆ ( , )H t u , homomorf-
na symmetryçeskoj hruppe S n , pryçem Hom : G → Sn realyzuetsq dejst-
vyem soprqΩenyq g g−1λ̂ = π λ( )ˆ , g ∈ G, ˆ ( )λ ∈Λ n , π̂ ∈Sn , h d e Λ( )n —
prostranstvo dyahonal\n¥x matryc razmernosty n . Tohda reßenye optymy-
zacyonnoj zadaçy s momentn¥m πnerhetyçeskym funkcyonalom suwestvuet y
prynadleΩyt proobrazu Sn v G.
Yz teorem¥ ob πnerhetyçeskoj optymal\nosty perestanovok v spektre nepo-
sredstvenno sleduet neobxodymost\ zatrat πnerhyy na lgbug operacyg po
upravlenyg sostoqnyem termodynamyçesky ravnovesnoho ansamblq, poskol\ku
takoj ansambl\ xarakteryzuetsq monotonn¥m ub¥vanyem (s uçetom v¥roΩde-
nyq) zaselennostej po πnerhetyçeskoj ßkale. Faktyçesky πto utverΩdenye
moΩno rassmatryvat\ kak odnu yz πkvyvalentn¥x matematyçeskyx formulyro-
vok, otraΩagwyx fyzyçeskyj sm¥sl vtoroho naçala termodynamyky. Teper\
stanovytsq ponqtn¥m, poçemu dlq rassmotrennoj v [6] modely teplovoj maßy-
n¥ tol\ko v sluçae razlyçn¥x temperatur podansamblej oscyllqtorov s odno-
kanal\n¥m rezonansn¥m upravlenyem udaetsq poluçyt\ poloΩytel\n¥j πner-
hetyçeskyj v¥xod. Pryçyna sostoyt ne v tom, çto b¥lo prymeneno upravlqg-
wee vozdejstvye, symmetryçnoe otnosytel\no reversa vo vremeny, a v ravnoves-
nosty sovokupnosty dvux podansamblej pry ravenstve yx temperatur ( )T T1 2=
y v yspol\zovanyy tol\ko odnoho kanala upravlenyq v vyde potencyal\noj mo-
dulyrovannoj svqzy.
3. Dopolnenye πlementarn¥x podsystem hyroskopyçeskymy svqzqmy.
Pryncypyal\no ynoj put\ sozdanyq neravnovesnoj sytuacyy v ansamble podsys-
tem s dvumq stepenqmy svobod¥, ymegwymy postoqnn¥j termyçeskyj kontakt s
odnotemperaturn¥m rezervuarom (odno- yly dvuxemkostn¥m) teplovoj πnerhyy,
b¥l yssledovan na model\nom urovne v rabote [7]. Çtob¥ yzbeΩat\ povtorenyq
tupykovoj sytuacyy, kohda yspol\zuetsq prostejßaq dvuxoscyllqtornaq mo-
del\ podsystem¥ ansamblq, ymegwaq tol\ko vzaymodejstvye meΩdu dvumq os-
cyllqtoramy v vyde modulyrovannoj upruhoj svqzy, struktura syl b¥la dopol-
nena hyroskopyçeskoj sostavlqgwej. Vsledstvye usloΩnenyq procedur¥ so-
stavlenyq neobxodym¥x dlq asymptotyçeskoho analyza „ukoroçenn¥x” uravne-
nyj na pervom πtape modulqcyq koπffycyenta hyroskopyçeskoj svqzy ne pre-
dusmatryvalas\, a modulyrovalas\ tol\ko potencyal\naq πnerhyq vzaymodejst-
vyq v predelax kaΩdoj podsystem¥. Na vtorom πtape vklgçalys\ oba vyda mo-
dulqcyy.
Analyz zavysymosty ot parametrov nastrojky usrednennoj po vremeny y sta-
tystyçesky v¥xodnoj mownosty, predprynqt¥j v [7] s prymenenyem formul¥
Najkvysta [8] dlq sluçaq T1 = T2 , dal takye rezul\tat¥:
bez modulqcyy kakyx-lybo yz dvux kanalov poloΩytel\n¥j summarn¥j
πnerhetyçeskyj v¥xod nevozmoΩen ny pry kakyx parametrax nastrojky;
pry synxronnoj modulqcyy kak potencyal\noj svqzy, tak y hyroskopyçes-
koj (s fazov¥m opereΩenyem π / 2 ) suwestvuet nepustaq otkr¥taq oblast\ pa-
rametrov nastrojky, pry kotor¥x summa usrednenn¥x πnerhetyçeskyx v¥vodov,
poluçaem¥x ot oboyx kanalov, ymeet poloΩytel\noe znaçenye.
Pod usrednenn¥my πnerhetyçeskymy v¥xodamy podrazumevagtsq srednye (po
skol\zqwemu yntervalu „b¥stroho” vremeny y statystyçeskomu raspredelenyg
δ -korrelyrovann¥x fluktuacyonn¥x syl Najkvysta) mownosty, razvyvaem¥e
sovmestn¥m sylov¥m vozdejstvyem fluktuacyj (vzaymnokorrelyrovann¥x up-
ravlqgwymy kolebanyqmy v predelax kaΩdoj πlementarnoj podsystem¥) na
obobwenn¥x skorostqx yzmenenyq vo vremeny obobwenn¥x koordynat modulq-
torov koπffycyentov svqzej.
Poluçenn¥e rezul\tat¥ obæqsnqgtsq sledugwymy pryçynamy:
kaΩd¥j yz kanalov upravlenyq v otdel\nosty ne moΩet heneryrovat\ dosta-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1560 G. Y. SAMOJLENKO
toçno polnug hruppu upravlqemosty, sposobnug v¥z¥vat\ znaçytel\n¥e, uçy-
t¥vaem¥e v ε -pryblyΩenyy otklonenyq ot statystyçeskoho ravnovesyq odno-
temperaturnoho ansamblq πlementarn¥x podsystem; sootvetstvenno, teorema
ob optymal\n¥x perestanovkax predopredelqet nevozmoΩnost\ poloΩytel\no-
ho πnerhetyçeskoho v¥xoda;
nekommutatyvnost\ operatorov upravlqgwyx vozdejstvyj po hyroskopyçes-
komu y potencyal\nomu kanalam pozvolqet heneryrovat\ hruppu upravlqemosty
nastol\ko polnug, çto ona okaz¥vaetsq dostatoçnoj dlq otklonenyq uprav-
lqemoho ansamblq ot ravnovesyq na velyçynu, uçyt¥vaemug asymptotyçeskym
ε-pryblyΩenyem.
Zameçanye;1. Xotq v [7] modulqcyq vvodylas\ ne v lahranΩyan, a nepo-
sredstvenno v systemu uravnenyj, çto ne πkvyvalentno y ne korrektno s toçky
zrenyq fyzyçeskoj realyzacyy, πto ne pryvelo k oßyboçnomu v¥vodu, odnako
povlyqlo na vyd rezul\tyrugwyx formul. NyΩe πtot defekt ysxodnoj mode-
ly ustranen.
4. Predstavlenye modely v lahranΩevoj forme. ProdolΩaq yssledova-
nyq, predprynqt¥e v [5 – 7], polahaem, çto predlahaemaq model\ sostoyt yz
bol\ßoho çysla N >> 1 ne svqzann¥x meΩdu soboj, no synxronno modelyrue-
m¥x bylynejnoj systemoj upravlenyq strukturno ydentyçn¥x meΩdu soboj
πlementarn¥x podsystem s dvumq hyroskopyçesky svqzann¥my oscyllqtorn¥my
stepenqmy svobod¥. ∏nerhyq teplovoho vozbuΩdenyq raboçej sred¥ δ -korre-
lyrovann¥my sylamy Najkvysta vvodytsq v kaΩdug yz πlementarn¥x podsys-
tem çerez vklgçenn¥e v nyx rezystor¥. Yspol\zovav udobn¥e dlq analyza obo-
znaçenyq [7], zapyßem lahranΩyan yssleduemoj πlementarnoj podsystem¥ v
vyde
L = L L L Lu g f
0 + + +ε ε ε( ) ( ) ( ), 0 < ε << 1,
hde
L0 = 1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1 2 2 1 1
2
2
2( ) ( )˙ ˙ ˙ ˙x x g x x x x x x+ − − − +
µ
µ
,
L u( ) = – x x xu
0 1 2
( ) , L g( ) = –
1
2 0 1 2 2 1x x x x xg( )( )˙ ˙− ,
x u
0
( ) = 2 0k tsin Ω , x g
0
( ) = 2 0l tcos Ω ,
L f( ) = f x f x1 1 2 2+ .
Zdes\ xα , ẋα , fα , α = 1 2, , — obobwenn¥e koordynat¥, skorosty y syl¥ so-
otvetstvenno, otnosqwyesq k yssleduemoj πlementarnoj podsysteme upravlqe-
moho ansamblq; x u
0
( ) , x g
0
( )
— obobwenn¥e koordynat¥ orhanov upravlenyq (mo-
dulqtorov), dejstvugwyx, sootvetstvenno, po kanalam potencyal\noho y hyro-
skopyçeskoho vzaymodejstvyj. Parametryçesky modelyrugwye upravlqgwye
vozdejstvyq po πtym kanalam predstavlen¥ sdvynut¥my na π / 2 prost¥my har-
monyçeskymy kolebanyqmy s amplytudamy k0 , l0 y odnoj y toj Ωe çastotoj
Ω = 1
ν
ν− ,
ravnoj raznosty sobstvenn¥x çastot
1
ν
y ν πlementarnoj podsystem¥ pry
nalyçyy hyroskopyçeskoj svqzy s koπffycyentom g. Otnoßenye sobstvenn¥x
çastot pry g = 0 oboznaçeno çerez µ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ … 1561
Xarakterystyçeskoe uravnenye poroΩdagwej system¥, ynaçe hovorq, syste-
m¥ naçal\noho (nulevoho po ε ) pryblyΩenyq, sootvetstvugwej nevozmuwenno-
mu lahranΩyanu L0 , svqz¥vaet µ y ν s koπffycyentom g sootnoßenyem
µνg2 = ( )( )µ ν µν− −1 , (1)
a takΩe uslovyqmy
0 < ν < µ < 1, ν ≠ 1
3
, (2)
yz kotor¥x pervoe obespeçyvaet poloΩytel\nost\ g2
, a vtoroe, kak budet po-
nqtno dalee, — otsutstvye nekotor¥x neΩelatel\n¥x parametryçeskyx rezo-
nansov.
Syl¥ vqzkoho trenyq vvodqtsq v model\ posredstvom dyssypatyvnoj funk-
cyy Rπleq
R = ε 1
2 1 1
2
2 2
2( )˙ ˙r x r x+ .
Uravnenyq LahranΩa, dopolnenn¥e sylamy vqzkoho trenyq, ymegt vyd
d
dt
L
x
L
x
R
x
∂
∂
− ∂
∂
+ ∂
∂˙ ˙ ˙α α α
= 0, α = 1 2, . (3)
V razvernutoj forme ony zapys¥vagtsq sledugwym obrazom:
˙̇ ˙ ˙ ˙ ˙( ) ( ) ( )x gx x r x x x x x x xu g g
1 2 1 1 1 0 2 0 2 0 2
1
2
− + + + − −µ ε ε ε ε = ε f1,
˙̇ ˙ ˙ ˙ ˙( ) ( ) ( )x gx x r x x x x x x xu g g
2 1 2 2 2 0 1 0 1 0 1
1 1
2
+ + + + + +
µ
ε ε ε ε = ε f2.
Bolee kompaktnaq zapys\ πtyx uravnenyj dostyhaetsq prymenenyem vektorno-
matryçn¥x oboznaçenyj:
�
x =
x
x
1
2
— vektor obobwenn¥x koordynat,
�
f =
f
f
1
2
— vektor storonnyx syl (syl Najkvysta), Î =
1 0
0 1
— edynyçnaq matryca,
Ĵ =
0 1
1 0
−
— πlementarnaq symplektyçeskaq matryca, P̂ =
0 1
1 0
— pe-
restanovoçnaq matryca,
M̂ =
µ
µ
0
0 1
(4)
— matryca sobstvenn¥x çastot pry g = 0,
N̂ =
ν
ν
0
0 1
(5)
— matryca sobstvenn¥x çastot pry g ≠ 0,
R̂ =
r
r
1
2
0
0
(6)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1562 G. Y. SAMOJLENKO
— matryca dyssypatyvn¥x parametrov,
 = ˆ ˆ ˆI J M
d
dt
g
d
dt
2
2
2+ + (7)
— matryçn¥j operator poroΩdagwej system¥,
B̂ = ˆ ˆ ˆ ˙ ˆ( ) ( ) ( )R P J J
d
dt
x x
d
dt
xu g g+ + +0 0 0
1
2
(8)
— matryçn¥j operator, v¥raΩagwyj dejstvye dyssypatyvn¥x syl y paramet-
ryçeskoj modulqcyy.
Teper\ uravnenyq (3) moΩno predstavyt\ v vyde
ˆ ˆA B
� �
x x+ ε = ε
�
f . (9)
Takym obrazom, yssleduemaq model\, formal\no hovorq, predstavlena lynej-
noj neodnorodnoj systemoj dvux ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj
vtoroho porqdka s peryodyçeskymy koπffycyentamy. ∏ta systema xaraktery-
zuetsq nalyçyem maloho parametra ε pry storonnyx sylax v prav¥x çastqx
uravnenyj, sylax vqzkoho trenyq, a takΩe pry peryodyçeskyx koπffycyentax y
storonnyx sylax fluktuacyonno-dyssypatyvnoj termyçeskoj pryrod¥ (sylax
Najkvysta).
V¥borom parametrov nastrojky sleduet rasporqdyt\sq tak, çtob¥ systema
soxranqla ustojçyvost\ po otnoßenyg k raskaçke sobstvenn¥x kolebanyj, no
çtob¥ v¥nuΩdenn¥e kolebanyq, v¥z¥vaem¥e sylamy Najkvysta, pryobretaly
vzaymnug korrelqcyg za sçet synxronnoj parametryçeskoj modulqcyy koπf-
fycyentov po dvum kanalam — potencyal\nomu y hyroskopyçeskomu. Vsledst-
vye otsutstvyq neposredstvennoho vzaymodejstvyq meΩdu πlementarn¥my pod-
systemamy, obmenyvagwymysq πnerhyej tol\ko s obwej systemoj upravlenyq y
sobstvenn¥my dyssypatyvn¥my nahret¥my πlementamy, heneryrugwymy fluk-
tuacyonn¥e syl¥ Najkvysta, πnerhetyçeskyj balans dostatoçno opredelyt\
dlq lgboj yz πtyx πkvyvalentn¥x podsystem.
Esly systema upravlenyq predpolahaetsq otkr¥toj systemoj v fyzyçeskom
znaçenyy πtoho opredelenyq, to narqdu s koordynatamy, otnosqwymysq k vnut-
rennym stepenqm svobod¥ (zdes\ πto x1 y x2 ), v predstavlenye ee sostoqnyq na
moment t vxodqt y koordynat¥ upravlqgwyx yspolnytel\n¥x orhanov (v dan-
nom sluçae x u
0
( )
y x g
0
( )
). Obobwennaq syla f u
0
( ), dejstvugwaq so storon¥ up-
ravlqemoj podsystem¥ (preb¥vagwej v dann¥j moment vremeny t v poloΩenyy,
zadannom znaçenyqmy koordynat x1 y x2 ) na modulqtor potencyal\noj svqzy
(naxodqwyjsq v πtot Ωe moment vremeny v sostoqnyy, opredelqemom znaçenyem
eho obobwennoj koordynat¥ x u
0
( )
), v¥raΩaetsq sohlasno ob¥çnoj formule
lahranΩevoj mexanyky:
f u
0
( ) =
∂
∂
L
x
u
u
( )
( )
0
= – x x1 2. (10)
Sleduet obratyt\ vnymanye na to, çto πto est\ syla reakcyy obæekta upravle-
nyq, vozdejstvye kotoroj na sebq vosprynymaet modulqtor potencyal\noj svq-
zy.
Mownost\, peredavaemaq v moment t ot obæekta upravlenyq yspolnytel\no-
mu orhanu ustrojstva (modulqtoru potencyal\noj svqzy), est\ proyzvedenye sy-
l¥ (10) na skorost\ ˙ ( )x u
0 yzmenenyq obobwennoj koordynat¥ x u
0
( ), opredelqg-
wej poloΩenye na moment t yspolnytel\noho orhana:
W tu
out
( )( ) = – ˙ ( )x x xu
0 1 2. (11)
Analohyçno, çastotn¥m dyfferencyrovanyem L g( )
po obobwennoj koordynate
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ … 1563
x g
0
( )
modulqtora hyroskopyçeskoj svqzy naxodytsq syla vozdejstvyq so storo-
n¥ upravlqemoj podsystem¥ na modulqtor πtoj svqzy s toj lyß\ raznycej, çto
dannaq syla, v otlyçye ot f u
0
( )
, zavysyt kak ot x1
, x2
, tak y ot ẋ1, ẋ2 :
f g
0
( ) = ∂
∂
L
x
g
g
( )
( )
0
= –
1
2 1 2 2 1˙ ˙x x x x−( ) .
Mhnovennoe znaçenye mownosty, razvyvaemoj syloj f g
0
( )
pry yzmenenyy koor-
dynat¥ x g
0
( )
so skorost\g ˙( )x g
0 , zadaetsq formuloj
W tg
out
( )( ) = –
1
2 0 1 2 2 1˙ ˙ ˙( )x x x x xg −( ) . (12)
Usrednenye formul (11), (12) po skol\zqwemu yntervalu „b¥stroho” vremeny y
statystyçesky daet vozmoΩnost\ s praktyçesky pryemlemoj toçnost\g oprede-
lyt\ πnerhetyçeskye v¥xod¥ po kaΩdomu yz kanalov parametryçeskoj modulq-
cyy y summarn¥j v¥xod po oboym kanalam:
W u
out
( ) = –
#
˙( )x x xu
0 1 2 , (13)
W g
out
( ) = –
#
1
2 0 1 2 2 1˙ ˙ ˙( )x x x x xg −( ) , (14)
Wout
( )Σ = W u
out
( ) + W g
out
( ) . (15)
Zdes\ y nyΩe prqmaq çerta nad v¥raΩenyem oboznaçaet usrednenye po vremeny,
a volnystaq — statystyçeskoe usrednenye.
5. V¥vod y reßenye „ukoroçenn¥x” uravnenyj, opredelqgwyx πvolg-
cyg kompleksn¥x amplytud oscyllqcyj peremenn¥x x1
, x2
. Poluçenye
asymptotyçeskyx v¥raΩenyj x1
, x2
, neobxodym¥x dlq podstanovky v (13), (14),
uprowaetsq, esly vospol\zovat\sq pryemom kompleksyfykacyy predpolahae-
m¥x reßenyj system¥ (9) y posledugweho yx ovewestvlenyq po V.HY.HArnol\-
du. PoloΩyv ε = 0 v systeme (9), poluçym odnorodnug poroΩdagwug systemu
ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj s postoqnn¥my koπffycyentamy
d
dt
g d
dt
g d
dt
d
dt
x
x
2
2
2
2
1
0
2
01
+ −
+
µ
µ
= 0. (16)
PredpoloΩyv zavysymost\
�
x0 =
x
x
1
0
2
0
ot t proporcyonal\noj ei tω , sostavym
xarakterystyçeskoe uravnenye dlq system¥ (16):
det
µ ω ω
ω
µ
ω
− −
−
2
21
i g
i g = ω µ
µ
ω4 2 21 1− + +
+g = 0. (17)
Podstanovkoj ω
2 = λ ono pryvodytsq k kvadratnomu uravnenyg λ
2 –
– g2 1 1+ +
+µ
µ
λ = 0. Po teoreme Vyeta proyzvedenye eho kornej ravno edy-
nyce, a summa yx ravna g2 1+ +µ
µ
. Polahaq, çto reßenyq poroΩdagwej syste-
m¥ ymegt xarakter svobodn¥x nezatuxagwyx kolebanyj, delaem v¥vod, çto λ
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1564 G. Y. SAMOJLENKO
dolΩno b¥t\ poloΩytel\n¥m vewestvenn¥m çyslom, prynymagwym znaçenyq
ν y
1
ν
, tak çto ν
ν
+ 1 = g2 1+ +µ
µ
. Pry πtom koπffycyent hyroskopyçeskoj
svqzy g qvlqetsq vewestvenn¥m, esly soblgdeno uslovye (2). Oçevydno, çto
ravenstvo (1) dejstvytel\no qvlqetsq prqm¥m sledstvyem xarakterystyçeskoho
uravnenyq (17), a matryca (5) sostavlena yz poloΩytel\n¥x znaçenyj sobstven-
n¥x çastot system¥ (16), kotor¥e pry g → 0 stremqtsq k sootvetstvugwym
πlementam matryc¥ (4).
Kompleksyfycyrovannoe obwee reßenye
�
x0
odnorodnoj system¥ (16), kak
netrudno proveryt\, ymeet vyd
�
x0 =
ˆ ˆSΛ
�
a0 ,
hde
�
a0 =
a
a
1
0
2
0
— vektor kompleksn¥x amplytud, yhragwyx rol\ (pry ε = 0 ) proyzvol\n¥x
konstant yntehryrovanyq,
Λ̂ =
e
e
it
it
ν
ν
0
0
1
— matryca oscyllqcyj s edynyçn¥my amplytudamy,
Ŝ =
1
1
−
−
i
i
α
µ
α µ
— matryca modal\n¥x stolbcov, hde
α =
µ ν
µν
−
−1
,
pryçem
det Ŝ =
( )( )1 1
1
+ −
−
µ ν
µν
≠ 0.
Takym obrazom,
x
x
1
0
2
0
=
1 1
1
1
0
2
0
1
−
+
−
i
a e
i
a eit
it
α µ
α
µν ν .
Zdes\ predstavlena summa dvux πllyptyçesky polqryzovann¥x dvumern¥x kole-
banyj s protyvopoloΩn¥my vrawenyqmy na çastotax ν y
1
ν
. Obwaq ory-
entacyq πtyx vrawenyj zavysyt ot znaka g y, sootvetstvenno, znaka parametra
α , kotor¥j dalee sçytaem fyksyrovann¥m, dlq opredelennosty — poloΩy-
tel\n¥m. Amplytud¥ y faz¥ poka proyzvol\n¥.
Ovewestvlenye reßenyq moΩno osuwestvyt\ kak formal\n¥m v¥delenyem
vewestvennoj çasty Re
�
x0
yz kompleksyfycyrovannoho reßenyq
�
x0 , tak y
sloΩenyem
�
x0
s eho kompleksno-soprqΩenn¥m v¥raΩenyem ( )
�
x0 ∗, çto, razu-
meetsq, daet 2
0Re
�
x . V fyzyçeskyx pryloΩenyqx bolee rasprostranenn¥m qv-
lqetsq vtoroj sposob, kotor¥j zdes\ rassmotrym.
Perejdem k formal\nomu postroenyg asymptotyçeskoho reßenyq ε -vozmu-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ … 1565
wennoj vektorno-matryçnoj system¥ (9), prymenyv metod medlenno menqgwyx-
sq amplytud, ymegwyj v lynejnom sluçae strohoe obosnovanye, esly ne dopus-
kagtsq rezonans¥, ponyΩagwye porqdky çlenov ε -pryblyΩenyq. Teper\ „raz-
morozym” kompleksn¥e amplytud¥ y budem yskat\ reßenye vewestvennoj vek-
torno-matryçnoj system¥ (9) v vyde vewestvennoho vektora
�
x =
ˆ ˆ ˆ ˆ( )S SΛ Λ
� �
a a+ ∗ , (18)
hde
�
a =
�
a( )τ — kompleksnoznaçnaq vektor-funkcyq vewestvennoho „medlen-
noho” vremeny
τ = ( )ε
θ
t
1
, (19)
v opredelenye kotoroho vxodyt, krome maloho parametra ε , 0 < ε << 1, posto-
qnnaq vremeny θ nulevoho po ε porqdka:
θ =
1
1 12 2
µν
µ ν µν µ ν µν( )( ) ( ) ( )− + + + −[ ] ∼ ε0, (20)
kotoraq v dal\nejßem sokrawaetsq.
Pry podstanovke (18) s uçetom (19) v (9) yspol\zuem sledugwye formul¥ y
oboznaçenyq:
d
dt
a( )ˆ ˆSΛ
�
= i a
d
d
aˆ ˆ ˆ ˆ ˆSN SΛ Λ
� �
+ ε
θ τ
, (21)
d
dt
a
2
2 ( )ˆ ˆSΛ
�
= –
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆSN 2 SN S2 Λ Λ Λ
� � �
a i
d
d
a
d
d
a+ +ε
θ τ
ε
θ τ
2
2
2
2 , (22)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆM S SN JSN2 2− + ig = 0̂ (s uçetom (1)), (23)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆI J M S2d
dt
g
d
dt
a
2
2 + +
Λ
�
=
=
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆM S SN JSN 2 SN JS S2 2− +( ) + +( ) +ig a i g
d
d
a
d
d
aΛ Λ Λ
� � �ε
θ τ
ε
θ τ
2
2
2
2 . (24)
V ytohe vsledstvye (23) formula (24) uprowaetsq:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆI J M S2d
dt
g
d
dt
a
2
2 + +
Λ
�
=
ε
θ τ
ε
θ τ
ˆ ˆ ˆ ˆT SΛ Λda
d
d a
d
� �
+
2
2 . (25)
Zdes\
T̂ =
1
1
1
1µν
µ µ ν µν α
µν α
µ
µ ν
i
i
( ) ( )
( ) ( )
+ +
+ +
,
pryçem
T̂ −1 = –
1
1 1
1
− + − +
− + +
µν
θ
µ
µ ν µν α
µν α µ µ ν
i
i
( ) ( )
( ) ( )
.
Poskol\ku matryçn¥j operator (7) vewestvenn¥j, dlq poluçenyq rezul\ta-
ta eho dejstvyq na vtoroe slahaemoe v pravoj çasty v¥raΩenyq (18), opredelqg-
weho
�
x , dostatoçno prymenyt\ operacyg ( )⋅ ∗
kompleksnoho soprqΩenyq k
obeym çastqm formul¥ (25). V rezul\tate poluçym
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆI J M S2d
dt
g d
dt
a
2
2 + +
( )∗
Λ
�
=
ε
θ τ
ε
θ τ
ˆ ˆ ˆ ˆT S∗ ∗
∗
∗ ∗
∗
+
Λ Λda
d
d a
d
� �2
2 . (26)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1566 G. Y. SAMOJLENKO
Sklad¥vaq ravenstva (25) y (26), ymeem
Â
�
x =
ε
θ τ
ε
θ τ
ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆT T SΛ Λ Λda
d
d a
d
� �
+
− −1 1
2
2 +
+
ε
θ τ
ε
θ τ
ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆT T T T SΛ Λ Λ Λ Λ− − ∗ −
∗
− − ∗ −
∗
+
1 1 1 1 1 1
2
2
da
d
d a
d
� �
. (27)
Zdes\ yspol\zovana obratymost\ matryc Λ̂ y T̂. Pervaq yz nyx — dyahonal\-
naq s zavedomo nenulev¥my πlementamy, a T̂ −1
suwestvuet pry lgb¥x µ y ν v
sylu (2) y (20). Krome toho, zdes\ uçteno, çto Λ̂∗ = Λ̂−1.
Predstavlenye pervoho slahaemoho, stoqweho v levoj çasty uravnenyq (9), v
vyde (27) qvlqetsq podhotovytel\n¥m πtapom dlq prymenenyq procedur¥ us-
rednenyq po „b¥stromu” vremeny t, ot kotoroho qvn¥m obrazom zavysqt proyz-
vedenyq matryc, soderΩawye b¥stro oscyllyrugwye matryc¥ Λ̂ y Λ̂−1
. Dej-
stvyq, analohyçn¥e pryvedenn¥m v¥ße, v¥polnym y s ostal\n¥my vozmuwag-
wymy çlenamy uravnenyq (9). Tak kak pry nyx uΩe stoyt mal¥j koπffycyent
ε y ony ne soderΩat synhulqrno vozmuwagwyx dyfferencyal\n¥x operatorov
vtoroho porqdka, pry podstanovke proyzvodn¥x v forme (21) (yly soprqΩennoj
s nej) dostatoçno uçyt¥vat\ tol\ko pervoe slahaemoe, ymegwee nulevoj porq-
dok po ε .
Rukovodstvuqs\ celesoobraznost\g v¥delenyq pered usrednenyem obweho
mnoΩytelq
1
θ
ˆ ˆTΛ yz vsex çlenov uravnenyq (9), v¥polnym nuΩn¥e v¥kladky y
poluçym dlq nyx sledugwye formul¥ s soblgdenyem ohovorennoj toçnosty:
θ ˆ ˆ ˆΛ− −1 1T R d
dt
x
�
= θ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΛ Λ Λ− − ∗ ∗ ∗+( )1 1T R S Sd
dt
a a
� �
=
=
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( )Λ Λ Λ Λ− − − − ∗ − ∗( ) − ( ) +1 1 1 1 1
1i a i a Oθ θ εT RSN T RS N
� �
, (28)
θ
ˆ ˆ ˆ( )Λ− −1 1
0T Px xu �
=
x a au
0
1 1( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆθΛ Λ Λ− − ∗ ∗ ∗+( )T P S S
� �
=
=
2 1
0
1 1 1 1 1k t a asin ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ν
ν θ θ−
( ) + ( )[ ]− − − − ∗ − ∗Λ Λ Λ ΛT PS T PS
� �
, (29)
θ ˆ ˆ ˆ( )Λ− −1 1
0T Jx d
dt
xg �
= x d
dt
a ag
0
1 1( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆθΛ Λ Λ− − ∗ ∗ ∗+( )T J S S
� �
=
=
2 1
0
1 1 1 1 1
2l t i a i a Ocos ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( )
ν
ν θ θ ε−
( ) − ( )[ ] +− − − − ∗ − ∗Λ Λ Λ ΛT JSN T JS N
� �
, (30)
1
2
1 1
0θ ˆ ˆ ˙ ˆ( )Λ− −T Jx xg �
=
1
2 0
1 1˙ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )x a ag θΛ Λ Λ− − ∗ ∗ ∗+( )T J S S
� �
=
= –
l t a a0
1 1 1 1 11 1
ν
ν
ν
ν θ θ−
−
( ) + ( )[ ]− − − − ∗ − ∗sin ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆΛ Λ Λ ΛT JS T JS
� �
. (31)
Çto kasaetsq pravoj çasty uravnenyq (9), to, blahodarq rezonansn¥m yzbyra-
tel\n¥m svojstvam levoj çasty πtoho uravnenyq, na ßyrokopolosnoe (vsledst-
vye δ -korrelyrovannosty) sylovoe vozdejstvye teplov¥x fluktuacyj Najk-
vysta systema reahyruet tak Ωe, kak esly b¥ na nee dejstvovaly modulyrovan-
n¥e „bel¥m” ßumom vneßnye syl¥, oscyllyrugwye so srednymy çastotamy
± ν y ± 1
ν
. Poπtomu, konkretyzyrovav storonnee vozdejstvye, uslovymsq
predstavlqt\
�
f v sledugwem vyde:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ … 1567
�
f =
f
f
1
2
=
f
f
e
f
f
e
f
f
e
f
f
eit
it
it
it
11
21
12
22
1
11
21
12
22
1
+
+
+
∗
∗
−
∗
∗
−
ν ν ν ν . (32)
Zdes\ vse fαβ , α , β = 1 2, , predstavlqgt soboj δ -korrelyrovann¥e komp-
leksnoznaçn¥e sluçajn¥e funkcyy „medlennoho” vremeny τ . Predpolahaetsq
ewe, çto otraΩaet pryrodu syl Najkvysta, otsutstvye vzaymnoj korrelqcyy
meΩdu lgb¥my dvumq funkcyqmy fαβ , esly u nyx ne sovpadagt oba yndeksa.
Fur\e-yzobraΩenye funkcyy fαβ , kotoroe budem oboznaçat\ fαβ ω( ) , vsledst-
vye yspol\zovanyq dvux masßtabov vremeny dolΩno obrawat\sq toΩdestvenno v
nul\ za predelamy polos¥ çastot ω < ε θ−1
vo yzbeΩanye perekr¥tyq spekt-
rov v natural\nom masßtabe çastot. No poskol\ku polosa propuskanyq yssle-
duemoj system¥ kak rezonansnoho fyl\tra v masßtabe „medlennoho” vremeny
ymeet ßyrynu porqdka ε0, pry yntehryrovanyy po ω v¥raΩenyj, soderΩawyx
çastotnug xarakterystyku system¥, moΩno sçytat\ predel¥ yntehryrovanyq
beskoneçn¥my, ne soverßaq oßybku, v¥xodqwug za predel¥ dopustymoj otno-
sytel\noj pohreßnosty.
Yntensyvnosty sylov¥x vozdejstvyj teplov¥x fluktuacyj opredelqgtsq,
sohlasno [8], formuloj Najkvysta. V yssleduemoj modely kaΩdaq yz dvux ste-
penej svobod¥ πlementarnoj podsystem¥ ymeet otdel\n¥j dyssypatyvn¥j πle-
ment (rezystor) so svoej temperaturoj. No v hyroskopyçesky svqzann¥x oscyl-
lqtorax kaΩdaq yz stepenej svobod¥ uçastvuet v kolebanyqx na obwyx dlq vsej
podsystem¥ nesuwyx çastotax ± ν y ± 1
ν
. Poπtomu sleduet sçytat\
spektral\n¥e plotnosty mownosty sylov¥x vozdejstvyj fluktuacyj Najkvys-
ta, voobwe hovorq, razlyçn¥my dlq razlyçn¥x stepenej svobod¥ x1 y x2 (daΩe
pry odynakov¥x temperaturax), no odynakov¥my dlq razlyçn¥x çastotn¥x po-
los v okrestnostqx çastot ± ν y ± 1
ν
pry rassmotrenyy odnoj y toj Ωe
stepeny svobod¥. Ne predpolahaq poka dlq obwnosty analyza, çto T1 = T2 , za-
dadym spektral\n¥e plotnosty mownosty fluktuacyj Najkvysta v vyde
#
f11
2( )ω =
#
f12
2( )ω = 1
1 1π
r T ,
#
f21
2( )ω =
#
f22
2( )ω = 1
2 2π
r T .
V zaverßenye rqda formul, poleznoho dlq pryvedenyq vozmuwennoj system¥
(9) k vydu, udobnomu dlq v¥polnenyq procedur¥ usrednenyq, prymenym opera-
tor θ ˆ ˆΛ− −1 1T k (32) y poluçym
θ ˆ ˆΛ− −1 1T
�
f =
= ˆ ˆ ˆΛ− − −
∗ − ∗
−
∗ − ∗
−
+
+
+ +
+
1 1 11 12
1
21 22
1
1 11 12
1
21 22
1θ θ
ν ν
ν ν
ν ν
ν ν
T T
f e f e
f e f e
f e f e
f e f e
it
it
it
it
it
it
it
it
. (33)
UmnoΩym teper\ vse çlen¥ uravnenyq (9) sleva na ε θ− − −1 1 1ˆ ˆΛ T , shruppyru-
em y perenesem v pravug çast\ te slahaem¥e, kotor¥e ymegt porqdky ε y v¥ße.
K ostavßymsq çlenam poluçennoho v rezul\tate uravnenyq, v tom çysle soder-
Ωawym
�
a∗ , prymenym operacyg usrednenyq po skol\zqwemu yntervalu „b¥st-
roho” vremeny, kotoroe ewe soxranylos\ v oscyllyrugwyx matrycax Λ̂ y Λ̂−1
.
Ot v¥bora dlyn¥ yntervala, razumeetsq, budet zavyset\ velyçyna otnosytel\-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1568 G. Y. SAMOJLENKO
noj pohreßnosty. Po porqdku velyçyn¥ ynterval shlaΩyvanyq sleduet v¥-
byrat\ dostatoçno bol\ßym otnosytel\no naybol\ßeho yz peryodov b¥str¥x
oscyllqcyj na osnovn¥x çastotax y vstreçagwyxsq kombynacyonn¥x çastotax.
S druhoj storon¥, πtot ynterval dolΩen b¥t\ dostatoçno mal¥m, çtob¥ ne
vnosyt\ zametn¥x pohreßnostej v opredelenye medlenno menqgwehosq vektora
�
a kompleksn¥x amplytud, çerez kotor¥j, v koneçnom sçete, v¥raΩaetsq
�
x . V
pryncype, takaq vozmoΩnost\ realyzuetsq, esly dlyna yntervala shlaΩyvanyq
ymeet porqdok ε . No faktyçesky ee moΩno suwestvenno umen\ßat\ pry
blahopryqtnom sootnoßenyy µ , ν y mal¥x r1 , r2 .
Poluçenye strohoj ocenky pohreßnosty dostatoçno trudoemko y ne otno-
sytsq k suwestvu reßaem¥x v dannoj stat\e voprosov. Posle poluçenyq okon-
çatel\n¥x rasçetn¥x formul πnerhetyçeskoho balansa y opredelenyq optymy-
zyrugwyx parametrov moΩno budet vospol\zovat\sq ne tol\ko metodom usred-
nenyq, no y druhymy analytyçeskymy yly çyslenn¥my metodamy. Odnako na
dannom urovne rassmotrenyq pryncypyal\naq storona problem¥ preobrazova-
nyq teplovoj πnerhyy predstavlqetsq bolee vaΩnoj, çem pov¥ßenye toçnosty
rasçetov, poskol\ku ona uΩe dostatoçna dlq sravnenyq v¥xodnoj y zatraçyvae-
moj mownostej po yx usrednenn¥m znaçenyqm.
Proyzvodq v¥kladky, predusmotrenn¥e formulamy (27) – (31) y (33), soçe-
taq yx s proceduroj usrednenyq, pozvolqgwej ustranqt\ voznykagwye hro-
mozdkye v¥raΩenyq, v ytohe moΩno pryjty k systeme lynejn¥x uravnenyj 4-ho
porqdka dlq a1
, a2
, a1
∗, a2
∗ s fluktuacyonn¥my prav¥my çastqmy. Odnako
tohda oçen\ bol\ßoe çyslo kombynacyj parametrov nastrojky suwestvenno za-
trudnqet poysk optymal\n¥x varyantov. No okazalos\, çto πtu systemu moΩno
razloΩyt\ na dve nesvqzann¥e podsystem¥ 2-ho porqdka — dlq a1
, a2 y a1
∗,
a2
∗
sootvetstvenno, esly ν ≠ 1
3
, çto otraΩeno v uslovyqx (2). Pry πtom v ys-
pol\zovanyy uravnenyj dlq a1
∗, a2
∗
uΩe ne voznykaet neobxodymosty, tak kak
uravnenyq dlq a1
, a2 ym πkvyvalentn¥.
Zameçanye;2. Toçnost\ v¥polnenyq dostatoçnoho uslovyq ν ≠ 1
3
raz-
loΩenyq system¥ dolΩna b¥t\ takoj, çtob¥ otstroyt\sq ot rezonansa Ω =
= 2 ν v predelax toçnosty shlaΩyvanyq, t. e. na urovne ± ε . Bolee oprede-
lenno ob πtom moΩno skazat\ posle v¥bora optymal\n¥x parametrov µ, ν, r1
,
r2
. Podhotovlenn¥e k usrednenyg v¥raΩenyq sostavlen¥ takym obrazom, çto
vHkaΩdom yz nyx ymegtsq udobn¥e dlq v¥çyslenyj bloky v vyde proyzve-
denyjHpostoqnn¥x matryc, a takΩe v vyde predßestvugwej ym oscyllyrugwej
dyahonal\noj matryc¥ Λ̂−1
y zam¥kagwej matryçn¥e proyzvedenyq matryc¥
Λ̂ (lybo Λ̂−1
). V modulyrovann¥x potencyal\n¥x yly hyroskopyçeskyx
matryçn¥x v¥raΩenyqx ymegtsq ewe mnoΩytely vyda sin Ω t y cos Ω t . Pry
takoj konstrukcyy lehko srazu Ωe v¥delyt\ bloky, ne obrawagwyesq v nul\
pod dejstvyem usrednqgwej po skol\zqwemu yntervalu „b¥stroho” vremeny
operacyy shlaΩyvanyq.
Blahodarq predusmotrennomu uslovyg ν ≠ 1
3
çlen¥, soderΩawye
�
a∗ , v
tom çysle pry Ω = 2ν , ysçezagt v nulevom po ε pryblyΩenyy (ymeetsq v vy-
du, çto pered usrednenyem vse çlen¥ uravnenyq (9) b¥ly umnoΩen¥ sleva na
ε θ− − −1 1 1ˆ ˆΛ T ). Ostavßyesq çlen¥ nulevoho porqdka po ε obrazugt trebuemug
systemu „ukoroçenn¥x” uravnenyj, pozvolqgwug s dostatoçnoj asymptotyçes-
koj toçnost\g yssledovat\ πvolgcyg kompleksn¥x amplytud a1
, a2 pod voz-
dejstvyem stacyonarn¥x sluçajn¥x syl Najkvysta, predstavlenn¥x v pravoj
çasty πtoj system¥, kotoraq ymeet vyd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ … 1569
d
d
m
m d
d
a
a
τ
η
µ
µ
τ
η
+
− +
1
2
1
2
1
=
h
h
1
2
, (34)
hde
η1 = ν
µ
µ ν µν µ µ ν µν1 1 11 2r r( )( ) ( )( )+ − + − +
,
(35)
η2 = 1 1 1 12 1ν
µ µ ν µν
µ
µ ν µνr r( )( ) ( )( )+ − + − +
,
h1 = ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 121 11+ − − − + −µν µ ν µν
µ
µ ν µνf i f ,
(36)
h2 = ( ) ( )( ) ( )( )1 1 112 22+ − − − + −µν µ ν µν µ µ ν µνf i f ,
m = 2 1 1 1
0
2
0
2k lµ ν ν µ
ν
ν( ) ( )− − − +
. (37)
Systemu dvux ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj 1-ho porqdka s
postoqnn¥my koπffycyentamy estestvenno zamenyt\ πkvyvalentnoj ej syste-
moj alhebrayçeskyx uravnenyj, poluçaemoj yz (34) metodom preobrazovanyq
Fur\e pry
d
dt
⋅⋅→ iω , uslovyvßys\ yzobraΩenyq a1
, a2 y h1
, h2 obozna-
çat\ temy Ωe bukvamy, çto y oryhynal¥. Teper\ a1 = a1 ( ω ) , a2 = a2 ( ω ) naxo-
dqtsq v rezul\tate reßenyq alhebrayçeskoj system¥
η ω
µ
µ η ω
1
2
1
2
1+
− +
i m
m i
a
a
=
h
h
1
2
(38)
s hlavn¥m opredelytelem
∆ ( ω ) = a i b2 2− +ω ω ,
hde a2 = m2
1 2+ η η , b = η η1 2+ .
Vektor-stolbec kompleksn¥x amplytud a1 = a1 ( ω ) , a2 = a2 ( ω ) , qvlqg-
wyjsq reßenyem system¥ (38), ymeet vyd
a
a
1
2
= 1
1
2
1
1
2∆ ( )ω
η ω
µ
µ η ω
+ −
+
i m
m i
h
h
= 1
1
2 1 2
1 1 2
∆ ( )
( )
( )ω
η ω
µ
µ η ω
+ −
+ +
i h m h
m h i h
.
Perexod k oryhynalam Fur\e-yzobraΩenyj dlq yssledovanyq πnerhetyçeskoho
balansa faktyçesky ne potrebuetsq, tak kak po formule Najkvysta yntensyv-
nosty fluktuacyonn¥x syl, dejstvugwyx na vxod¥ yssleduemoj lynejnoj sys-
tem¥, v¥raΩen¥ ymenno çerez spektral\n¥e plotnosty mownosty, t. e. çerez
kvadrat¥ modulej Fur\e-spektrov. S druhoj storon¥, formul¥ (13), (14) dlq
mhnovenn¥x v¥xodn¥x mownostej posle usrednenyq po „b¥stromu” vremeny,
statystyçeskoho usrednenyq y posledugweho yntehryrovanyq po ω v ynterva-
le –
1
ε
< ω < 1
ε
pryvodqtsq k v¥raΩenyqm, soderΩawym obwyj mnoΩytel\
I =
#1
1 1 2
3 2
−
+
−∞
∞
∗∫µν
ω ω ω εRe ( ) ( )[ ] ( )/a a d O .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1570 G. Y. SAMOJLENKO
∏ty formul¥ ymegt vyd
W u
out
( ) = – 2 1 10k IΩ( )( )+ −µ ν , (39)
W g
out
( ) = l I0
1 1 1Ω
ν
ν µ ν+
− +( )( ) . (40)
V¥çyslenye I uprowaetsq, esly obratyt\ vnymanye na otsutstvye parn¥x
korrelqcyj meΩdu f11, f12, f21, f22 y vospol\zovat\sq formuloj Najkvysta
dlq v¥raΩenyq yntensyvnostej fluktuacyonn¥x syl po kaΩdoj yz dvux
stepenej svobod¥. Sootvetstvenno, naxodym, çto
#
h h1 2( ) ( )ω ω∗ = 0, a srednye
kvadrat¥ modulej h1( )ω y h2( )ω ne zavysqt ot çastot¥ ω :
#
h1
2( )ω = 1 1 1 1 12 2
2
1 1
2 2
π
µ ν µν µν
µ
µ ν µνr T r T( )( )( ) ( ) ( )− − + + + −
,
#
h2
2( )ω = 1 1 1 11 1
2
2 2
2 2
π
µ ν µν µν µ µ ν µνr T r T( )( )( ) ( ) ( )− − + + + −[ ].
V rezul\tate poluçaem, çto s otnosytel\noj pohreßnost\g, ne prev¥ßagwej
ε , v¥raΩenye dlq I, soderΩawee tablyçn¥j yntehral
I0 =
1
2π
ω
ω−∞
∞
∫ d
∆ ( )
= 1
2 2 2 2 2π
ω
ω ω−∞
∞
∫ − +
d
a b( )
= 1
2a b
= 1
1 2
2
1 2( )( )η η η η+ +m
,
(41)
moΩno predstavyt\ v vyde
I = mI r r T
r
r
T
r
r0 1 2
2 2 2 2 2
1
1
2
2
2
1
1 1 1( )( )( )µ ν µ ν ν µ
ν µ
µ− − − +
+
+ ( ) ( ) ( ) ( )µ ν µν
ν
ν µ ν µν
ν
ν+ − −
+ − + −
3 2
1 2
2 3
2 11 1 1 1T T T T .
V ynteresugwem nas varyante ravenstva temperatur, kohda T1 = T2 = T, pry
v¥polnenyy ranee ohovorennoho uslovyq (2) znak πtoho v¥raΩenyq sovpadaet so
znakom rezul\tyrugweho koπffycyenta modulqcyy m. Dejstvytel\no, v πtom
sluçae I T T T1 2= = = IT prynymaet vyd
IT = mT IΩ Ψ0 , (42)
Ψ = ( )( )( )( )r r1
2
2
2 2 2 2 21 1+ + − −µ ν µ ν µ ν +
+ r r1 2
3 2 2 31 1( ) ( ) ) ( )(µ ν µν µ ν µν+ − + − +[ ].
Oçevydno, çto Ψ stroho poloΩytel\no, kak y koπffycyent T IΩ 0 , tak çto
sgn IT = sgn m .
Otsgda sleduet, çto pry yspol\zovanyy tol\ko odnoho kanala upravlenyq
nykakye parametr¥ nastrojky dannoj modely ne mohut obespeçyt\ poloΩy-
tel\n¥j πnerhetyçeskyj v¥xod, esly T1 = T2 . Çtob¥ v πtom ubedyt\sq, dosta-
toçno pooçeredno polahat\ k0 = 0 yly l0 = 0 v (37), (39), (40):
k0 = 0 ⇒ m < 0, I = IT < 0, W u
out
( ) = 0, W g
out
( ) < 0,
l0 = 0 ⇒ m > 0, I = IT > 0, W u
out
( ) < 0, W g
out
( ) = 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ … 1571
No pry T2 > 1
1ν
T dostatoçno malaq velyçyna raznosty µ – ν > 0 (esly µ + ν
∼ ∼ 1 ) daet vozmoΩnost\ sdelat\ znaky I y m protyvopoloΩn¥my: sgn I µ ν→
= = – sgn m . Pry πtom uslovyy vse Ωe vozmoΩen poloΩytel\n¥j v¥xod
πnerhyy dΩe v odnokanal\noj upravlqemoj systeme, kak b¥lo pokazano v rabote
[6] dlq modulyrovannoj potencyal\noj svqzy, kohda g = 0, ν = µ = 1
2
. Teper\
ostaetsq dat\ otvet na osnovnoj vopros o suwestvovanyy v prostranstve
fyzyçesky realyzuem¥x parametrov modely s dvumq kanalamy upravlenyq
nepustoj podoblasty, dlq kotoroj summa πnerhetyçeskyx v¥xodov po oboym
kanalam v sluçae T1 = T2 = T poloΩytel\na.
6. Dostatoçn¥e uslovyq poloΩytel\noho summarnoho πnerhetyçeskoho
v¥xoda pry T1 = T2 = T. Prosummyruem (39) y (40), podstavyv v nyx znaçenye
I = IT , v¥raΩennoe po formule (42), v kotoroj m predstavym sohlasno (37).
∏to dast obwee predstavlenye summarnoj usrednennoj mownosty, qvlqgwejsq
v¥xodnoj dlq upravlqemoj πlementarnoj podsystem¥ y v to Ωe vremq vxodnoj
dlq dvuxkanal\noj system¥ upravlenyq, popolnqgwej (v summe) πnerhyg ee
koherentn¥x kolebanyj. V ytohe poluçym
Wout
( )Σ = W Wu g
out out
( ) ( )+ = T I k lΩ Ψ2
0 0
2
0
22 1 1 1µ ν ν µ
ν
ν( ) ( )− − − +
×
× l k0 01 1 1 2 1 1( )( ) ( )( )− + +
− + −
µ ν
ν
ν µ ν = CQ , (43)
hde
C = 4 1 1 12
0
2
0
2T k IΩ Ψµ ν µ ν( )( )( )− + − , (44)
Q = ( )( )1 1− −ax bx = – abx a b x2 1+ + −( ) , (45)
a =
ν µ
µ ν
( )
( )
1
1
2
2
−
−
, b =
( )( )
( )( )
1 1
1 1
− +
+ −
µ ν
µ ν
, x =
l
k
0
02
1
ν
ν+
. (46)
Teper\ rezul\tat zavysyt ot dyskrymynanta kvadratyçnoho trexçlena Q. V
dannom sluçae dlq lgb¥x µ y ν, 0 < ν < µ < 1,
Dis Q = ( )a b ab+ −2 4 = ( )a b− 2 > 0.
Yz (45) sleduet, çto Q = 0 pry x = 1
a
y x = 1
b
y Q > 0 pry
1
b
< x < 1
a
,
t. e. kohda
( )( )
( )( )
1 1
1 1
+ −
− +
µ ν
µ ν
<
l
k
0
02
1
ν
ν+
<
µ ν
ν µ
( )
( )
1
1
2
2
−
−
, (47)
pryçem πto dvojnoe neravenstvo ne protyvoreçyt uslovyg
0 < ν < µ < 1, ybo b – a =
( )( )
( )( )
µ ν µν
µ µ ν
− −
+ −
1
1 1 2 > 0.
Takym obrazom, pry v¥polnenyy neravenstva (47) summarn¥j usrednenn¥j
πnerhetyçeskyj v¥xod pry T1 = T2 = T prynymaet poloΩytel\n¥e znaçenyq.
Poskol\ku bx > 1 v ukazannom yntervale x
b a
∈
1 1, , kanal modulqcyy poten-
cyal\noj svqzy ymeet otrycatel\nug proyzvodytel\nost\, a kanal modulqcyy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1572 G. Y. SAMOJLENKO
hyroskopyçeskoj svqzy — poloΩytel\nug, perekr¥vagwug potreblenye πner-
hyy pred¥duwym kanalom, obespeçyvaq tem sam¥m Wout
( )Σ > 0.
7. Optymyzacyq koπffycyentov modulqcyy po kryteryg maksymuma
summarnoj v¥xodnoj mownosty. Maksymal\noe znaçenye summarnoho πnerhe-
tyçeskoho v¥xoda sootvetstvuet maksymumu Q po
l
k
0
0
. Dlq optymal\noho zna-
çenyq x = x0 yz (45), (46) naxodym eho v¥raΩenye çerez a y b :
x0 =
a b
ab
+
2
.
Podstavlqq x = x0 v (45), poluçaem v¥raΩenye Q0 =
( )b a
ab
− 2
4
. V svog oçe-
red\, çerez x0 y Q0 opredelqgtsq
l
k
0
0
opt
= Ω 1
1 1 12 2
+
− +
+
+
µ
µ
µ
µ
ν
ν( ) ( )
Ω = −
1
ν
ν , (48)
Qmax =
( ) ( )
( ) ( )
µ ν µν
µν µ ν
− −
+ +
2 2
2 2
1
4 1 1
, (49)
a takΩe optymal\noe znaçenye rezul\tyrugweho koπffycyenta modulq-
cyyH(37):
m = mopt = k0 1
1
1
( )( )µ ν µν ν
ν
− − −
+
. (50)
Podstanovka (49) v (43) s uçetom (44) pryvodyt k v¥raΩenyg dlq maksymal\noj
po
l
k
0
0
summarnoj v¥xodnoj mownosty:
Wmax
( )Σ = T k IΩ Ψ4
0
2
0
2 21
1 1
( ) ( )
( )( )
µ ν µν
µ ν
− −
+ +
.
Nakonec, prymenqq formul¥ (41) y (50), poluçaem okonçatel\n¥j rezul\tat:
Wmax
( )Σ = T
m
Ω Ψ4
1 2
2
1 2
2
1
1
1 1
1
( )
( )( )( )
+
+ + −
+
−
ν
η η µ ν
η η
opt
.
Dal\nejßaq optymyzacyq vozmoΩna za sçet var\yrovanyq µ, ν, r1
, r2
, çto
uΩe potrebuet konkretyzacyy uslovyj fyzyçeskoj realyzacyy.
Zameçanye;3. Proporcyonal\nost\ v¥xodnoj mownosty temperature T y
çetvertoj stepeny çastot¥ Ω4
: Wmax
( )Σ = const TΩ4 assocyyruetsq s formuloj
Rπleq – DΩynsa dlq spektral\noj plotnosty mownosty teplovoho yzluçenyq
pry fyksyrovannom yntervale dlyn voln.
8. Obwyj v¥vod. V nastoqwej stat\e predloΩena y yssledovana matema-
tyçeskaq model\ otkr¥toj bylynejnoj system¥ upravlenyq dlq preobrazova-
nyq teplovoj πnerhyy v koherentnug formu. Pokazano, çto yspol\zovanye kom-
bynacyonnoho parametryçeskoho rezonansa, sozdavaemoho systemoj upravlenyq
v odnotemperaturnom ansamble slabo dyssypatyvn¥x upruho-hyroskopyçeskyx
podsystem, pozvolqet poluçyt\ poloΩytel\n¥j πnerhetyçeskyj v¥xod bez pry-
menenyq kakoho-lybo oxlaΩdagweho ustrojstva, krome system¥ upravlenyq.
Dannaq model\ demonstryruet pryncypyal\nug vozmoΩnost\ preobrazova-
nyq πnerhyy fluktuacyj, vozbuΩdaem¥x v πlementarn¥x podsystemax δ -korre-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
KOHERENTYZACYQ ∏NERHYY TEPLOVÁX FLUKTUACYJ … 1573
lyrovann¥my sylamy Najkvysta, v πnerhyg, peredavaemug v koherentyzyrovan-
noj forme makroskopyçeskym kolebanyqm parametryçeskoho rezonansnoho up-
ravlenyq. Pry πtom ne qvlqetsq obqzatel\n¥m yspol\zovanye raznosty tempe-
ratur meΩdu dyssypatyvn¥my πlementamy, heneryrugwymy teplov¥e fluktua-
cyy. Blahodarq nalyçyg dvux nekommutatyvn¥x kanalov upravlenyq sozdan¥
dostatoçn¥e uslovyq kak dlq lokal\noho vozmuwenyq termodynamyçeskoho
ravnovesyq ansamblq, naxodqwehosq v termyçeskom kontakte s odnotemperatur-
n¥m ystoçnykom teplovoj πnerhyy, tak y dlq heneracyy koherentnoj sostavlq-
gwej πnerhyy za sçet voznykagwej neravnovesnosty. V rezul\tate raboçaq
sreda, sostoqwaq yz πlementarn¥x podsystem s dvumq stepenqmy svobod¥, vzay-
modejstvugwaq s odnotemperaturn¥m ystoçnykom tepla, a takΩe s upravlqg-
wymy makroskopyçeskymy kolebanyqmy, peredaet poslednym πnerhyg v kohe-
rentyzyrovannoj forme.
Rassmotrenn¥j varyant realyzacyy poloΩytel\noho πnerhobalansa v teplo-
v¥x maßynax klassa tak naz¥vaem¥x „demonyçeskyx xolodyl\nykov” [9], na-
skol\ko yzvestno avtoru po poslednym publykacyqm [10], poka ewe ne ymeet
analohov. MoΩno predpoloΩyt\ vozmoΩnost\ realyzacyy y druhyx modelej,
kotor¥e obladaly b¥ podobn¥my svojstvamy, no yssledovannaq zdes\ model\
otlyçaetsq mynymal\noj sloΩnost\g yspol\zuem¥x v nej πlementarn¥x pod-
system odnotemperaturnoho ansamblq, predstavlqgweho raboçug sredu teplo-
voj maßyn¥ v celom.
1. Kr¥lov N. M., Boholgbov N. N. PryloΩenye metodov nelynejnoj mexanyky k teoryy
stacyonarn¥x kolebanyj. – Kyev: Yzd-vo AN USSR, 1934. – 112 s.
2. Boholgbov N. N., Mytropol\skyj G. A. Asymptotyçeskye metod¥ v teoryy nelynejn¥x
kolebanyj. – M.: Nauka, 1974. – 501 s.
3. Mytropol\skyj G. A. Metod usrednenyq v nelynejnoj mexanyke. – Kyev: Nauk. dumka,
1971. – 440 s.
4. Samojlenko A. M. ∏lement¥ matematyçeskoj teoryy mnohoçastotn¥x kolebanyj. Ynvary-
antn¥e tor¥. – M.: Nauka, 1987. – 304 s.
5. Samojlenko G. Y. Problem¥ y metod¥ fyzyçeskoj kybernetyky // Pr. In-tu matematyky
NAN Ukra]ny. – 2006. – 56. – 644 s.
6. Lohynov A. A. Systemn¥j analyz upravlqemoho perenosa πnerhyy v svqzke dvux oscyllqto-
rov // Problem¥ upravlenyq y ynformatyky. – 2002. – # 5. – S.H5 – 11.
7. Samojlenko G. Y. Preobrazovanye πnerhyy teplov¥x fluktuacyj v koherentnug formu
pry parametryçeskoj modulqcyy hyroskopyçesky svqzann¥x oscyllqtorov // Zb. prac\ In-tu
matematyky NAN Ukra]ny. – 2005. – 2, # 3. – S.H233 – 251.
8. Kvasnykov Y. A. Termodynamyka y statystyçeskaq fyzyka. Teoryq neravnovesn¥x system.
– M.: Yzd-vo Mosk. un-ta, 1987. – 559 s.
9. Lloyd S. Quantum-mechanical Maxwell’s demon // Phys. Rev. A. – 1997. – 56 , # 5. –
P. 3374 – 3382.
10. Fradkov A. A., Qkubovskyj O. A. (red.) Upravlenye molekulqrn¥my y kvantov¥my systema-
my (Sb. st.). – Moskva; YΩevsk: Yn-t komp\gt. yssled., 2003. – 416 s.
Poluçeno 20.03.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
|