Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств
Вивчаються екстремальні задачi геометричної теорії функцій комплексної змінної. Отримано точні оцінки зверху добутку внутрішніх радіусів неперетинних областей та відкритих множин відносно рівнопроменевих систем точок....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172516 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 12. — С. 1601–1618. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-172516 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1725162020-11-03T01:26:13Z Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств Бахтин, А.К. Статті Вивчаються екстремальні задачi геометричної теорії функцій комплексної змінної. Отримано точні оцінки зверху добутку внутрішніх радіусів неперетинних областей та відкритих множин відносно рівнопроменевих систем точок. We study extremal problems of the geometric theory of functions of a complex variable. Sharp upper estimates are obtained for the product of inner radii of disjoint domains and open sets with respect to equiradial systems of points. 2007 Article Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 12. — С. 1601–1618. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172516 517.54 ru Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бахтин, А.К. Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств Український математичний журнал |
| description |
Вивчаються екстремальні задачi геометричної теорії функцій комплексної змінної. Отримано точні оцінки зверху добутку внутрішніх радіусів неперетинних областей та відкритих множин відносно рівнопроменевих систем точок. |
| format |
Article |
| author |
Бахтин, А.К. |
| author_facet |
Бахтин, А.К. |
| author_sort |
Бахтин, А.К. |
| title |
Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств |
| title_short |
Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств |
| title_full |
Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств |
| title_fullStr |
Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств |
| title_full_unstemmed |
Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств |
| title_sort |
точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172516 |
| citation_txt |
Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых множеств / А.К. Бахтин // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 12. — С. 1601–1618. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bahtinak točnyeocenkidlâvnutrennihradiusovsistemnenalegaûŝihoblastejiotkrytyhmnožestv |
| first_indexed |
2025-07-15T08:49:36Z |
| last_indexed |
2025-07-15T08:49:36Z |
| _version_ |
1837702187340267520 |
| fulltext |
УДК 517.54
А. К. Бахтин (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ
СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ
И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ∗
Extremal problems of the geometric theory of functions of complex variable are studied. Sharp upper
bounds are obtained for a product of inner radii of nonoverlapping domains and open sets with respect to
equiradial systems of points.
Вивчаються екстремальнi задачi геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної. Отримано точнi
оцiнки зверху добутку внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин вiдносно
рiвнопроменевих систем точок.
1. Введение. В геометрической теории функций комплексной переменной дав-
но сформировалось направление, основная цель которого заключается в получении
точных оценок для внутренних радиусов систем попарно непересекающихся облас-
тей и создании соответствующих методов исследования. Первоначальным толчком
к возникновению такого направления послужила фундаментальная работа [1], в ко-
торой, в частности, была впервые поставлена и решена задача о максимуме прои-
зведения конформных радиусов двух непересекающихся односвязных областей. В
дальнейшем эта задача активно изучалась и обобщалась в работах многих авторов
(см. [2 – 16]). В данной работе предложен новый подход, позволяющий решать
более общие задачи по сравнению с ранее известными. При этом используют-
ся результаты и методы теории квадратичных дифференциалов, с которой можно
ознакомиться в фундаментальной монографии Дж. Дженкинса [4].
Пусть N и R — множества натуральных и вещественных чисел соответственно,
C — плоскость комплексных чисел, C = C ∪ {∞} — ее одноточечная компактифи-
кация и R+ = (0,∞).
Пусть r(B, a) обозначает внутренний радиус области B ⊂ C относительно
точки a ∈ B, cap E — логарифмическую емкость множества E (см. [3, 11, 14],
Uρ = {w ∈ C : |w| < ρ} , ρ ∈ R+, U1 =: U и χ(t) =
1
2
(
t + t−1
)
.
Пусть n, m ∈ N. Систему точек An,m :=
{
ak,p ∈ C : k = 1, n, p = 1,m
}
назовем (n, m)-равнолучевой, если при всех k = 1, n и p = 1,m выполняются
соотношения
0 < |ak,1| < . . . < |ak,m| < ∞,
arg ak,1 = arg ak,2 = . . . = arg ak,m =
2π(k − 1)
n
=: θk, θn+1 := 2π.
(1)
В случае m = 1 назовем (n, 1)-равнолучевую систему точек n-равнолучевой и
рассмотрим более простые обозначения: ak,1 =: ak, k = 1, n, An,1 =: An.
Каждой равнолучевой системе точек сопоставим систему областей Pk:=
:=Pk(An,m) :=
{
w ∈ C :
2π
n
(k − 1) < arg w <
2π
n
k
}
, k = 1, n. Умножение
∗ Выполнена при частичной финансовой поддержке Государственной программы Украины
№ 0107U002027.
c© А. К. БАХТИН, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12 1601
1602 А. К. БАХТИН
(n, m)-лучевой системы An,m = {ak,p} на число t ∈ R+ определим следующим
образом: t · An,m := {t · ak,p}, k = 1, n, p = 1,m. Равнолучевые системы точек,
по-видимому, впервые рассматривались в работе [13].
Для фиксированного R ∈ R+ и произвольной (n, m)-равнолучевой системы
точек An,m рассмотрим „управляющий” функционал
MR(An,m) :=
n∏
k=1
m∏
p=1
χ
(∣∣∣ak,p
R
∣∣∣n
2
)
|ak,p|. (2)
Положим M1(An,m) = M(An,m). Ясно, что MR(An,m) = Rmn ·M
(
1
R
·An,m
)
.
При каждом k = 1, n обозначим через zk(w) ту ветвь аналитической функции
z = −i
(
e−θkiw
)n
2 , которая реализует однолистное и конформное отображение
области Pk на правую полуплоскость Re z > 0, при этом луч arg w =
2π
n
(
k − 1
2
)
преобразуется в положительную действительную полуось. Тогда функция
ζ
(R)
k (w) :=
R
n
2 − zk(w)
R
n
2 + zk(w)
(3)
однолистно и конформно отображает область Pk на единичный круг U = U1,
k = 1, n. Обозначим ω
(1)
k,p(R) := ζ
(R)
k (ak,p), ω
(2)
k,p(R) := ζ
(R)
k (ak+1,p), an+1,p :=
:= a1,p, ω
(2)
0,p(R) := ω
(2)
n,p(R), k = 1, n, p = 1,m. При всех k = 1, n множество{
ω
(1)
k,p(R)
}m
p=1
∪
{
ω
(2)
k,p(R)
}m
p=1
состоит из 2m различных точек на ∂UR.
Пусть {Bk}n
k=1 — система взаимно непересекающихся областей. При каждом
k = 1, n только конечное число компонент связности множества C\Bk могут со-
держать внутри себя какую-то из областей Bj , j = 1, n, j 6= k; такие компоненты
мы называем существенными. Область, полученную выбрасыванием из C всех
существенных компонент связности множества C\Bk, будем обозначать через B̃k.
Ясно, что Bk ⊂ B̃k при всех k = 1, n и
{
B̃k
}n
k=1
— система конечносвязных взаим-
но непересекающихся областей без изолированных граничных точек. Переход от
системы областей {Bk}n
k=1 к системе областей
{
B̃k
}n
k=1
называется операцией
заполнения несущественных граничных компонент.
Пусть D, D ⊂ C, — произвольное открытое множество и w = a ∈ D. Тогда
D(a) обозначает связную компоненту D, содержащую a. Для произвольной (n, m)-
равнолучевой системы An,m = {ak,p} и открытого множества D, An,m ⊂ D,
обозначим через Dk(ap,s) связную компоненту множества D(ap,s)∩Pk (An,m), со-
держащую точку ap,s, p = k, k + 1, s = 1,m, k = 1, n. Dk(0) (соответственно
Dk(∞)) обозначает связную компоненту множества D(0) ∩ P k(An,m) (соответ-
ственно D(∞) ∩ P k(An,m)), содержащую точку w = 0 (соответственно w = ∞).
На множестве пар целочисленных индексов (k, p) определим равенство следующим
образом: (k, p) = (q, s) ⇔ k = q и p = s. Будем говорить, что открытое множество
D, {0} ∪ An,m ⊂ D удовлетворяет первому условию неналегания относительно
заданной (n, m)-равнолучевой системы точек An,m = {ak,p}, если[
Dk(0) ∩Dk(ap,l)
]
∪
[
Dk(ap,l) ∩Dk(aq,s)
]
= ∅ (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ... 1603
при каждом фиксированном k = 1, n для всех различных точек ap,l и aq,s, принад-
лежащих P k(An,m). Открытое множество D, {0,∞} ∪ An,m ⊂ D удовлетворяет
второму условию неналегания относительно (n, m)-равнолучевой системы An,m =
= {ak,p}, если выполняется условие (4) и, кроме того,[
Dk(0) ∩Dk(∞)
]
∪
[
Dk(aq,s) ∩Dk(∞)
]
= ∅
при каждом фиксированном k = 1, n для всех различных точек ap,l и aq,s, принад-
лежащих P k(An,m). Положим r(D, a) := r(D(a), a),
gD(w, a) :=
0, w ∈ C\D(a),
gD(a)(w, a), w ∈ D(a),
lim
ζ→w
gD(a)(ζ, a), ζ ∈ D(a), w ∈ ∂D(a).
В данной работе изучается задача о нахождении точных оценок сверху функцио-
налов вида
rα(D, 0)rβ(D,∞)
n∏
k=1
m∏
p=1
r(D, ak,p),
где α > 0, β > 0, α + β ∈ R+, An,m = {ak,p} — равнолучевая система точек, D —
открытое множество, An,m ∪ {0,∞} ⊂ D ⊂ C, n,m ∈ N, n > 2.
2. Основные результаты. В случае неналегающих областей получены такие
утверждения, анонсированные в [16].
Теорема 1. Пусть R ∈ R+, n,m ∈ N, n > 2. Тогда для любой (n, m)-
равнолучевой системы точек An,m = {ak,p} и любого набора произвольных взаим-
но непересекающихся областей B0, {Bk,p} , 0 ∈ B0, ak,p ∈ Bk,p, k = 1, n, p = 1,m,
выполняется неравенство
[
r (B0, 0)
]n2
4
n∏
k=1
m∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) 6
6
(
8
n(2m + 1)
)nm( 2
2m + 1
)n
2
R(n
2 )2
MR(An,m). (5)
Знак равенства в (5) достигается тогда и только тогда, когда 0, {ak,p} и B0,
{B̃k,p}, k = 1, n, p = 1,m, являются соответственно полюсами и круговыми
областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = − wn−2(Rn + wn)2m−1[
(R
n
2 − iw
n
2 )2m+1 − (R
n
2 + iw
n
2 )2m+1
]2 dw2. (6)
Теорема 2. Пусть R ∈ R+, n, m ∈ N, n > 2. Тогда, каковы бы ни были
(n, m)-равнолучевая система точек An,m = {ak,p} и набор взаимно непересека-
ющихся областей B0, {Bk,p}, B∞ такие, что 0 ∈ B0, ak,p ∈ Bk,p, ∞ ∈ B∞,
k = 1, n, p = 1,m, выполняется неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1604 А. К. БАХТИН
[r (B0, 0) r (B∞,∞)]
n2
4
n∏
k=1
m∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) 6
6
(n
4
)n
(
4
n(m + 1)
)n(m+1)
MR(An,m). (7)
Знак равенства в (7) достигается тогда и только тогда, когда 0, {ak,p}, ∞ и B̃0,{
B̃k,p
}
, B̃∞, k = 1, n, p = 1,m, являются соответственно полюсами и круговыми
областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −wn−2 (Rn + wn)2m[
(R
n
2 − iw
n
2 )2m+2 − (R
n
2 + iw
n
2 )2m+2
]2 dw2. (8)
В случае открытых множеств получены следующие результаты [16].
Теорема 3. Пусть R ∈ R+, n,m ∈ N, n > 2. Тогда для произвольной
(n, m)-равнолучевой системы точек An,m = {ak,p}, k = 1, n, p = 1,m, и лю-
бого открытого множества D, {0}∪An,m ⊂ D ⊂ C, удовлетворяющего первому
условию неналегания относительно системы An,m, выполняется неравенство
[r(D, 0)](
n
2 )2
n∏
k=1
m∏
p=1
r (D, ak,p)
n∏
k=1
m∏
p=1
expngD(0, ak,p)×
×
∏
(k,p)6=(q,s)
exp gD(ak,p, aq,s) 6
6
(
8
n(2m + 1)
)nm( 2
2m + 1
)n
2
R
n2
4 MR (An,m) , (9)
знак равенства в котором достигается, в частности, когда {0} ∪An,m и D есть
соответственно совокупность всех полюсов и объединение всех круговых областей
квадратичного дифференциала (6).
Теорема 4. Пусть R ∈ R+, n,m ∈ N, n > 2. Тогда для любой (n, m)-
равнолучевой системы точек An,m = {ak,p}, k = 1, n, p = 1,m, и любого
открытого множества D, {0,∞} ∪ An,m ⊂ D ⊂ C, удовлетворяющего второму
условию неналегания относительно системы An,m выполняется неравенство
[
r(D, 0)r(D,∞)
]n2
4
n∏
k=1
m∏
p=1
r (D, ak,p)×
×
[
exp
n2
2
gD(0,∞)
n∏
k=1
m∏
p=1
expngD(0, ak,p)×
×
n∏
k=1
m∏
p=1
expngD(∞, ak,p)
∏
(k,p) 6=(q,s)
exp gD(ak,p, aq,s)
]
6
6
(n
4
)n
(
4
n(m + 1)
)n(m+1)
MR(An,m), (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ... 1605
знак равенства в котором достигается, в частности, когда {0,∞}∪Ak,p и D есть
соответственно совокупность всех полюсов и объединение всех круговых областей
квадратичного дифференциала (8).
3. Доказательства. Доказательство теоремы 1. Доказательство этой тео-
ремы основано на применении метода кусочно-разделяющей симметризации [11 –
14]. Пусть R ∈ R+. Тогда семейство функций
{
ζ
(R)
k (w)
}n
k=1
, заданных равен-
ством (3), является допустимым для кусочно-разделяющего преобразования обла-
стей
{
Bk,p : k = 1, n, p = 1,m
}
относительно системы углов {Pk}n
k=1. Для любого
множества ∆ ∈ C обозначим (∆)∗ :=
{
w ∈ C :
1
w
∈ ∆
}
. Пусть Ω(1)
k,p(R) обозна-
чает связную компоненту множества ζ
(R)
k
(
Bk,p ∩ P k
)
∪
(
ζ
(R)
k
(
Bk,p ∩ P k
))∗
, со-
держащую точку ω
(1)
k,p(R), а Ω(2)
k,p(R) — связную компоненту множества ζ
(R)
k−1
(
Bk,p∩
∩P k−1
)
∪
(
ζ
(R)
k−1
(
Bk,p ∩ P k−1
))∗
, содержащую точку ω
(2)
k,p(R), k = 1, n, p = 1,m,
ζ
(R)
0 := ζ
(R)
n , Ω(2)
0,p(R) := Ω(2)
n,p(R). Ясно, что Ω(s)
k,p(R), k = 1, n, p = 1,m, s = 1, 2,
являются, вообще говоря, многосвязными областями. Пары областей Ω(2)
k−1,p(R) и
Ω(1)
k,p(R) являются результатом разделяющего преобразования области Bk,p отно-
сительно точки ak,p. Через Ω(k)
0 (R) обозначим связную компоненту множества
ζ
(R)
k
(
B0 ∩ P k
)
∪
(
ζ
(R)
k
(
B0 ∩ P k
))∗
, содержащую точку ζ = 1, k = 1, n. Результа-
том разделяющего преобразования области B0 в точке w = 0 является семейство{
Ω(k)
0 (R)
}n
k=1
, 0 ∈ Ω(k)
0 (R), k = 1, n. С помощью равенства (3) получаем асимпто-
тические выражения
∣∣∣ζ(R)
k (w)− ζ
(R)
k (ak,p)
∣∣∣ ∼ [ 2
n
χ
(∣∣∣ak,p
R
∣∣∣n
2
)
|ak,p|
]−1
|w − ak,p|,
w → ak,p, w ∈ P k,
∣∣∣ζ(R)
k−1(w)− ζ
(R)
k−1(ak,p)
∣∣∣ ∼ [ 2
n
χ
(∣∣∣ak,p
R
∣∣∣n
2
)
|ak,p|
]−1
|w − ak,p|,
w → ak,p, w ∈ P k−1.
Аналогично находим соотношения∣∣∣ζ(R)
k (w)− 1
∣∣∣ ∼ 2
R
n
2
|w|n
2 ,
w → 0, w ∈ P k, k = 1, n.
Отсюда с учетом теоремы 1.9 [12] получаем неравенства
r (Bk,p, ak,p) 6
6
{
r
(
Ω(1)
k,p(R), ω(1)
k,p(R)
)
r
(
Ω(2)
k,p(R), ω(2)
k,p(R)
)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1606 А. К. БАХТИН
×
[
2
n
χ
(∣∣∣∣ak,p
R
∣∣∣∣n
2
)
|ak,p|
][
2
n
χ
(∣∣∣∣ak,p
R
∣∣∣∣n
2
)
|ak,p|
]} 1
2
, (11)
r (B0, 0) 6
n∏
k=1
r
(
Ω(k)
0 (R), 1
)
2
R
n
2
2
n2
. (12)
Случаи равенств в (11), (12) полностью исследованы в работах [12, 14].
Отсюда непосредственно следует
r
n2
4 (B0, 0)
n∏
k=1
m∏
p=1
r(Bk,p, ak,p) 6
6 2−
n
2 R
n2
4
n∏
k=1
[
r(Ω(k)
0 (R), 1)
] 2
n2
(
2
n
)nm n∏
k=1
m∏
p=1
χ
(∣∣∣ak,p
R
∣∣∣n
2
)
|ak,p|×
×
n∏
k=1
{
m∏
p=1
2∏
s=1
r
(
Ω(s)
k,p(R), ω(s)
k,p(R)
)} 1
2
=
= 2−
n
2
(
2
n
)nm
R
n2
4
n∏
k=1
m∏
p=1
χ
(∣∣∣ak,p
R
∣∣∣n
2
)
|ak,p|×
×
n∏
k=1
{
r(Ω(k)
0 (R), 1)
m∏
p=1
2∏
s=1
r
(
Ω(s)
k,p(R), ω(s)
k,p(R)
)} 1
2
. (13)
Знак равенства в (13) достигается тогда и только тогда, когда в (11), (12) реализуется
знак равенства при всех k = 1, n, p = 1,m.
Для дальнейших оценок нам понадобится один классический результат В. Н. Ду-
бинина [11, 12].
Лемма. Для любой системы различных точек An = {ak}n
k=1, |ak| = 1, k = 1, n,
n > 3, и любых взаимно непересекающихся областей Bk, ak ∈ Bk ⊂ C, k = 1, n,
выполняется неравенство
n∏
k=1
r (Bk, ak) 6
(
4
n
)n
. (14)
Знак равенства в (14) достигается тогда и только тогда, когда
ak = exp i
(
2π
n
(k − 1) + θ
)
,
B̃k =
{
w ∈ C :
∣∣∣∣ arg w −
(
θ +
2π
n
(k − 1)
)∣∣∣∣ < π
n
}
,
cap B̃k\Bk = 0, k = 1, n, θ ∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ... 1607
Из неравенства (14) получаем соотношения
r(Ω(k)
0 (R), 1)
m∏
p=1
2∏
s=1
r
(
Ω(s)
k,p(R), ω(s)
k,p(R)
)
6
(
2
2m + 1
)2m+1
22m+1; (15)
знак равенства в (15) реализуется тогда и только тогда, когда точки 1, ω
(s)
k,p(R) и
области Ω̃(s)
k,p(R), Ω̃(k)
0 (R) являются соответственно полюсами и круговыми облас-
тями квадратичного дифференциала
Q(ζ)dζ2 =
ζ2m−1
(1− ζ2m+1)2
dζ2. (16)
Сопоставляя неравенства (13) и (15), получаем оценку
r
n2
4 (B0, 0)
n∏
k=1
m∏
p=1
r(Bk,p, ak,p) 6
6 2−
n
2
(
2
n
)nm
R
n2
4 MR(An,m)2
n(2m+1)
2
(
2
2m + 1
)n(2m+1)
2
=
=
(
8
n(2m + 1)
)nm( 2
2m + 1
)n
2
R
n2
4 MR(An,m). (17)
Знак равенства в (17) достигается только при одновременной реализации равенств
во всех неравенствах (11), (12), (15). Круговыми областями квадратичного диффе-
ренциала (16) являются области
̂̂
Dp =
{
ζ ∈ C :
π
2m + 1
(2k − 3) < arg ζ <
π
2m + 1
(2k − 1)
}
,
p = 1, 2m + 1.
Положим ̂̂∆p = U ∩ ̂̂Dp, p = 1, 2m + 1. Секторы ̂̂∆p и ̂̂∆q симметричны друг
другу относительно вещественной оси, если p + q = 2m + 3, p, q > 2, а сектор ̂̂∆1
имеет симметрию относительно вещественной оси. С учетом (3) функции
̂̂wk(ζ) = Rei 2π
n (k−1)
(
i
1− ζ
1 + ζ
) 2
n
, k = 1, n,
реализуют конформное отображение круга U на P
(0)
k . Кроме того, в случае реали-
зации равенства в (17) легко видеть, что
B̃k,p ∩ P
(0)
k = ̂̂wk
(̂̂∆p+1
)
, B̃k+1,p ∩ P
(0)
k = ̂̂wk
(̂̂∆2m+2−p
)
,
B̃0 ∩ P
(0)
k = ̂̂wk
(̂̂∆1
)
, p = 1,m, k = 1, n, Bn+1,p := B1,p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1608 А. К. БАХТИН
Кроме того, в случае реализации равенства получаем
r(Bk,p, ak,p) = r(B̃k,p, ak,p),
r(B0, 0) = r(B̃0, 0), k = 1, n, p = 1,m.
Отсюда следует
gBk,p
(w, ak,p) = log
1
|w − ak,p|
+ log r(Bk,p, ak,p) + o(1),
w → ak,p,
gB̃k,p
(w, ak,p) = log
1
|w − ak,p|
+ log r(B̃k,p, ak,p) + o(1),
w → ak.p, k = 1, n, p = 1,m,
gB0(w, 0) = log
1
|w|
+ log r(B0, 0) + o(1), w → 0,
gB̃0
(w, 0) = log
1
|w|
+ log r(B̃0, 0) + o(1), w → 0.
Легко видеть, что на множестве всех регулярных точек на ∂Bk,p выполняется
неравенство
hk,p(w) = gB̃k,p
(w, ak,p)− gBk,p
(w, ak,p) > 0,
а на множестве всех регулярных точек на ∂B0 — неравенство
h0(w) = gB̃0
(w, 0)− gB0(w, 0) > 0.
Тогда hk,p(w) > 0 всюду в области Bk,p. С другой стороны, hk,p(ak,p) = 0. Сле-
довательно [15], в силу принципа максимума для гармонических функций имеет
место тождество h(w) ≡ 0. Тогда gB̃k,p
(w, ak,p) − gBk,p
(w, ak,p) ≡ 0, k = 1, n,
p = 1,m. Отсюда получаем cap B̃k,p\Bk,p = 0, k = 1, n, p = 1,m. Вследствие
того, что h0(w) гармонична в B0 и h0(0) = 0, из обобщенного принципа макси-
мума для гармонических функций получаем тождество h0(w) ≡ 0. Следовательно,
gB̃0
(w, 0) ≡ gB0(w, 0). Отсюда следует cap B̃0\B0 = 0. Траектории квадратичного
дифференциала (16) при отображении
ζ =
R
n
2 + iw
n
2
R
n
2 − iw
n
2
преобразуются в траектории квадратичного дифференциала (6). Таким образом,
в случае реализации знака равенства в (17) получаем, что точки ak,p, k = 1, n,
p = 1,m, и w = 0 образуют систему полюсов, а соответственно области B̃0, B̃k,p
— систему круговых областей квадратичного дифференциала (6).
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Все рассуждения, приведенные при доказа-
тельстве теоремы 1, остаются в силе. К области B∞ в точке w = ∞ приме-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ... 1609
нимо разделяющее преобразование относительно семейства функций (3) и сис-
темы областей {P 0
k }. Через Ω(k)
∞ (R) обозначим связную компоненту множества
ζ
(R)
k
(
B∞ ∩ P k
)
∪
(
ζ
(R)
k
(
B∞ ∩ P k
))∗
, содержащую точку ζ = −1, k = 1, n. Се-
мейство
{
Ω(k)
∞ (R)
}n
k=1
является результатом разделяющего преобразования облас-
ти B∞ относительно семейств {Pk}n
k=1 и
{
ζ
(R)
k
}n
k=1
в точке w = ∞. Результа-
том разделяющего преобразования области B0 в точке w = 0 является семейство{
Ω(k)
0 (R)
}n
k=1
, 0 ∈ Ω(k)
0 (R), k = 1, n. Пары областей Ω(2)
k−1,p(R) и Ω(1)
k,p(R) явля-
ются результатом разделяющего преобразования области Bk,p относительно точки
ak,p. Процедура получения областей Ω(s)
k,p(R) и Ω(k)
0 (R), k = 1, n, p = 1,m, такая
же, как и при доказательстве теоремы 1.
С помощью равенства (3) получаем асимптотическое выражение∣∣∣ζ(R)
k (w) + 1
∣∣∣ ∼ 2R
1
αk |w|−
1
αk ,
w →∞, w ∈ P k, k = 1, n.
Отсюда с учетом теоремы 1.9 [12] получаем неравенство
r (B∞,∞) 6
n∏
k=1
r
(
Ω(k)
∞ (R),−1
)
2R
n
2
2
n2
. (18)
Учитывая (11), (12), (18), имеем
[r (B0, 0) r (B∞,∞)](
n
2 )2
n∏
k=1
m∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) 6
6 2−n
(
2
n
)nm n∏
k=1
m∏
p=1
χ
(∣∣∣ak,p
R
∣∣∣n
2
)
|ak,p|×
×
n∏
k=1
{
r
(
Ω(k)
0 (R), 1
)
r
(
Ω(k)
∞ (R),−1
) m∏
p=1
2∏
s=1
r
(
Ω(s)
k,p(R), ω(s)
k,p(R)
)} 1
2
. (19)
Знак равенства в (19) достигается тогда и только тогда, когда в неравенствах (11),
(12) и (18) при всех k = 1, n, p = 1,m реализуется знак равенства. Из неравенст-
ва (14) получаем соотношение
r
(
Ω(k)
0 (R), 1
)
r
(
Ω(k)
∞ (R),−1
)
×
×
m∏
p=1
2∏
s=1
r
(
Ω(s)
k,p(R), ω(s)
k,p(R)
)
6
(
2
m + 1
)2(m+1)
. (20)
Знак равенства в (20) реализуется тогда и только тогда, когда точки 1, −1, ωk,p,
k = 1, n, p = 1,m, и области Ω̃(k)
0 (R), Ω̃(k)
∞ (R), Ω̃(s)
k,p(R), k = 1, n, p = 1,m, s =
= 1, 2, являются соответственно полюсами и круговыми областями квадратичного
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1610 А. К. БАХТИН
дифференциала
Q(ζ)dζ2 = − ζ2mdζ2
(ζ2m+2 − 1)2
. (21)
Из неравенств (19) и (20) следует оценка
[
r (B0, 0) r (B∞,∞)
]( n
2 )2
n∏
k=1
m∏
p=1
r (Bk,p, ak,p) 6
6
(n
4
)n
(
4
n(m + 1)
)n(m+1)
MR (An,m) . (22)
Знак равенства в (22) достигается только тогда, когда знак равенства реализуется
во всех неравенствах (11), (12), (18) и (20) одновременно.
Круговыми областями квадратичного дифференциала (21) являются углы
D̂q =
{
ζ ∈ C\{0} :
π
2(m + 1)
(2q − 3) < arg ζ <
π
2(m + 1)
(2q − 1)
}
,
q = 1, 2(m + 1).
Пусть ∆̂q = U ∩ D̂q, q = 1, 2(m + 1). Ясно, что секторы ∆̂1 и ∆̂m+2 имеют
симметрию относительно вещественной оси. Остальные секторы разбиваются на
пары взаимно симметричных секторов относительно вещественной оси:
ζ ∈ ∆̂q ⇔ ζ ∈ ∆̂2(m+2)−q, q = 2, (m + 1).
Как следует из (3), функции
w
(0)
k = R ei 2π
n (k−1)
(
i
1− ζ
1 + ζ
) 2
n
, k = 1, n, (23)
реализуют конформное отображение круга U на P 0
k . Из формул (23) получаем
B̃k,p ∩ P
(0)
k = w
(0)
k
(
∆̂p+1
)
, B̃k+1,p ∩ P
(0)
k = w
(0)
k
(
∆̂2m+3−p
)
,
B̃0 ∩ P
(0)
k = ŵk
(
∆̂1
)
, B̃∞ ∩ P
(0)
k = ŵk
(
∆̂m+2
)
, (24)
p = 1,m, k = 1, n, Bn+1,p := B1,p.
В случае реализации знака равенства в (22) приходим к равенствам
r(Bk,p, ak,p) = r(B̃k,p, ak,p),
r(B0, 0) = r(B̃0, 0), r(B∞,∞) = r(B̃∞,∞),
k = 1, n, p = 1,m.
Далее, аналогично доказательству теоремы 1 имеем cap B̃0\B0 = 0, cap B̃∞\B∞ =
= 0, cap B̃k,p\Bk,p = 0, k = 1, n, p = 1,m. Таким образом, из условий реализации
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ... 1611
знака равенства в (11), (12), (18) и (20) с учетом (22) – (24) и аналогично доказа-
тельству теоремы 1 получаем, что точки ak,p, система областей B̃0, {B̃k,p}, B̃∞
являются соответственно полюсами и круговыми областями квадратичного диф-
ференциала (8).
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 3. Ясно, что область D содержит функцию Грина
(вообще говоря, обобщенную). Рассмотрим множества
E0 = C\D; U t = {w ∈ C : |w| 6 t} ,
Ek,p(t) = {w ∈ C : |w − ak,p| 6 t} , k = 1, n, p = 1,m.
При достаточно малых t ∈ R+ определим конденсатор как упорядоченную сово-
купность непересекающихся непустых замкнутых множеств
Ĉ (t, D, An,m) =
{
E0, U t, E1,1(t), E1,2(t), . . . , En,m(t)
}
(25)
с предписанными значениями 0,
(n
2
)
, 1, 1, . . . , 1.
Емкостью конденсатора Ĉ (t, D, An,m) называется величина (см. [12, 14])
cap Ĉ (t, D, An,m) = inf
∫ ∫ [
(G′x)2 + (G′y)2
]
dxdy,
где нижняя грань берется по множеству всех вещественных непрерывных и лип-
шицевых в C функций G = G(z) таких, что G = 0 в окрестности множества
E0, G
∣∣∣
Ut
=
n
2
, G
∣∣∣
Ek,p(t)
= 1, k = 1, n, p = 1,m. Величина, обратная емкости
конденсатора C, называется модулем этого конденсатора
| C |= [cap C]−1. (26)
Рассмотрим конденсаторы (t < R)
Ĉ
(R)
l
(
t, D, An,m
)
=
(
E
(l)
0 (R), E
(l)
1 (t, R), El,1(t, R), . . . , El,m(t, R),
El+1,1(t, R), El+1,2(t, R), . . . , El+1,m(t, R)
)
, (27)
где
E
(l)
0 (R) = ζ
(R)
l
(
E0 ∩ P
0
l (An,m)
)
∪
[
ζ
(R)
l
(
E0 ∩ P
0
l (An,m)
)]∗
,
E
(l)
1 (t, R) = ζ
(R)
l
(
U t ∩ P
0
l (An,m)
)
∪
[
ζ
(R)
l
(
U t ∩ P 0
l (An,m)
)]∗
, (28)
Ek,p(t, R) = ζ
(R)
l
(
Ek,p(t) ∩ P
0
l (An,m)
)
∪
[
ζ
(R)
l
(
Ek,p(t) ∩ P 0
l (An,m)
)]∗
,
k = l, l + 1, l = 1, n, p = 1,m,
[A]∗ =
{
w ∈ C :
1
w
∈ A
}
∀A ⊂ C.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1612 А. К. БАХТИН
Таким образом, при разделяющем преобразовании конденсатора Ĉ(t, D, An,m)
ему сопоставляется набор конденсаторов
{
Ĉ
(R)
l (t, D, An,m)
}n
l=1
, симметричных
относительно ∂U =
{
w : |w| = 1
}
. Каждому конденсатору Ĉ
(R)
l (t, D, An,m) ,
l = 1, n, при достаточно малых t ∈ R+, t < R, сопоставляем класс Vl всех
вещественных непрерывных и липшицевых в C функций G = G(z) таких, что
G = 0 в окрестности множества E
(l)
0 (t, R), G
∣∣∣
E
(l)
1 (t,R)
=
n
2
, G
∣∣∣
E
(l)
k,p(t,R)
= 1, k = 1, n,
p = 1,m. При разделяющем преобразовании в соответствии с работами [12, 14]
получаем неравенство
cap Ĉ (t,D, An,m) >
1
2
n∑
k=1
capĈ
(R)
k (t,D, An,m) . (29)
Отсюда следует, что
∣∣Ĉ (t, D, An,m)
∣∣ 6 2
(
n∑
l=1
∣∣∣Ĉ(R)
l (t, D, An,m)
∣∣∣−1
)−1
. (30)
Из теоремы 1 [13] получаем асимптотику модуля Ĉ(t, D, An,m):
∣∣Ĉ(t, D, An,m)
∣∣ ==
1
2π
(
4
n2 + 4nm
)
log
1
t
+ M̂(D,An,m) + o(1), t → 0, (31)
где
M̂(D,An,m) =
=
1
2π
(
4
n2 + 4nm
)2
[
n∑
k=1
m∑
p=1
log r(D, ak,p) +
n2
4
log r(D, 0)+
+
n∑
k=1
m∑
p=1
ngD(0, ak,p) +
∑
(k,p)6=(q,s)
gD(ak,p, aq,s)
]
. (32)
Используя асимптотические выражения из доказательства теоремы 1 и тот факт,
что D удовлетворяет первому условию неналегания относительно системы An,m,
находим асимптотические соотношения для модулей конденсаторов Ĉ
(R)
l (t, D,
An,m), l = 1, n: ∣∣∣Ĉ(R)
l (t,D, An,m)
∣∣∣ =
=
1
2π
(
2
n + 4m
)
log
1
t
+ M̂
(R)
l (D,An,m) + o(1), t → 0, (33)
где
M̂
(R)
l (D,An,m) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ... 1613
=
1
2π
(
2
n + 4m
)2
log
r
(
Ω(l)
0 (R), 1
)(
2
R
n
2
) +
+
m∑
p=1
log
r
(
Ω(1)
l,p (R), ω(1)
l,p (R)
)
r
(
Ω(2)
l,p (R), ω(2)
l,p (R)
){[
2
n
χ
(∣∣∣al,p
R
∣∣∣n
2
)
|al,p|
][
2
n
χ
(∣∣∣al+1,p
R
∣∣∣n
2
)
|al+1,p|
]}−1
, l = 1, n.
(34)
Из равенства (33) получаем[
n∑
l=1
∣∣∣Ĉ(R)
l (t, D, An,m)
∣∣∣−1
]−1
=
=
1
πn(n + 4m)
log
1
t
+
1
n2
n∑
l=1
M̂
(R)
l (D,An,m) + o(1), t → 0. (35)
Неравенства (29) и (30) с учетом (31) и (35) приводят к соотношению
1
2π
4
n2 + 4nm
log
1
t
+ M̂(D,An,m) + o(1) 6
6
2
πn(n + 4m)
log
1
t
+
2
n2
n∑
l=1
M̂
(R)
l (D,An,m) + o(1), t → 0. (36)
Сокращая особенности и переходя в (36) к пределу при t → 0, непосредственно
имеем
M̂(D,An,m) 6
2
n2
n∑
l=1
M̂
(R)
l (D,An,m). (37)
Подставляя в (37) выражения (32) и (34), получаем неравенство
1
2π
[
4
n(n + 4m)
]2{
log[r(D, 0)]
n2
4
n∑
k=1
m∑
p=1
r(D, ak,p) +
+
n∑
k=1
m∑
p=1
ngD(ak,p, 0) +
∑
(k,p)6=(q,s)
gD(ak,p, aq,s)
}
6
6
1
2π
2
n2
(
2
n + 4m
)2
n∑
l=1
log
r
(
Ω(l)
0 (R), 1
)(
2
R
n
2
) ×
×
m∏
p=1
r
(
Ω(1)
l,p (R), ω(1)
l,p (R)
)
r
(
Ω(2)
l,p (R), ω(2)
l,p (R)
)[(
2
n
)2
χ
( ∣∣∣al,p
R
∣∣∣n
2
)
χ
( ∣∣∣al+1,p
R
∣∣∣n
2
)
|al,p||al+1,p|
]−1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1614 А. К. БАХТИН
Окончательно имеем
[
r(D, 0)
]n2
4
n∏
k=1
m∏
p=1
r(D, ak,p)×
×
n∏
k=1
m∏
p=1
expngD(ak,p, 0)
∏
(k,p) 6=(s,q)
exp gD(ak,p, as,q) 6
6
(
2
n
)nm n∏
l=1
m∏
p=1
χ
(∣∣∣al,p
R
∣∣∣n
2
)
|al,p|
(
1
2
R
n
2
)n
2
×
×
n∏
l=1
[
r
(
Ω(l)
0 , 1
) m∏
p=1
r
(
Ω(1)
l,p (R), ω(1)
l,p (R)
)
r
(
Ω(2)
l,p (R), ω(2)
l,p (R)
)] 1
2
6
6
(
2
n
)nm
2−
n
2 R
n2
4
(
4
2m + 1
)2m+1
2
MR (An,m) =
=
(
8
n(2m + 1)
)nm( 2
2m + 1
)n
2
R
n2
4 MR (An,m) . (38)
Утверждение о знаке равенства проверяется непосредственно.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 4. В силу того, что D удовлетворяет второму усло-
вию неналегания, область D имеет обобщенную функцию Грина gD(z, a) ∀a ∈ D.
Образуем множества
E0 = C\D, U t = {w ∈ C : |w| 6 t} ,
U
(1)
t =
{
w ∈ C : |w| > 1
t
}
,
Ek,p(t) = {w ∈ C : |w − ak,p| 6 t} , k = 1, n, p = 1,m.
При достаточно малых t ∈ R+ рассмотрим конденсатор, образованный упорядо-
ченной совокупностью замкнутых множеств,
̂̂
C (t, D, An,m) =
{
E0, U t, U
(1)
t , E1,1(t), . . . , En,m(t)
}
, (39)
с предписанными значениями 0,
n
2
,
n
2
, 1, 1, . . . , 1. Емкостью конденсатора (39)
называется величина
cap ̂̂C (t, D, An,m) = inf
∫ ∫ [
(G′x)2 + (G′y)2
]
dxdy,
где нижняя грань берется по множеству всех вещественных непрерывных и лип-
шицевых в C функций G = G(z) таких, что G = 0 в окрестности множества E0,
G
∣∣∣
Ut
=
n
2
, G
∣∣∣
U
(1)
t
=
n
2
, G
∣∣∣
Ek,p
= 1, k = 1, n, p = 1,m. Модуль конденсатора (39) | ̂̂C|
определим выражением
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ... 1615
| ̂̂C |=
[
cap ̂̂C]−1
. (40)
Рассмотрим конденсаторы при достаточно малых t ∈ R+:
̂̂
C
(R)
l (t, D, An,m) =
=
(
E
(l)
0 (R), E(l)
1 (t, R), E(l)
2 (t, R), E(l)
1,1(t, R), . . . , E(l)
n,m(t, R),
)
, (41)
где
E
(l)
0 (R) = ζ
(R)
l
(
E0 ∩ P
0
l (An,m)
)
∪
[
ζ
(R)
l
(
E0 ∩ P
0
l (An,m)
)]∗
,
E
(l)
1 (t, R) = ζ
(R)
l
(
U t ∩ P
0
l (An,m)
)
∪
[
ζ
(R)
l
(
U t ∩ P 0
l (An,m)
)]∗
,
E
(l)
2 (t, R) = ζ
(R)
l
(
U
(1)
t ∩ P
0
l (An,m)
)
∪
[
ζ
(R)
l
(
U
(1)
t ∩ P 0
l (An,m)
)]∗
,
E
(l)
k,p(t, R) = ζ
(R)
l
(
Ek,p(t) ∩ P
0
l (An,m)
)
∪
[
ζ
(R)
l
(
Ek,p(t) ∩ P 0
l (An,m)
)]∗
.
(42)
Таким образом, при разделяющем преобразовании относительно систем углов{
P
(0)
l (An,m)
}n
l=1
и системы функций
{
ζ
(R)
l
}n
l=1
, R ∈ R+, конденсатору ̂̂C(t, D,
An,m) сопоставляется набор конденсаторов
{̂̂
C
(R)
l (t, D, An,m)
}n
l=1
, симметрич-
ных относительно ∂U1 = {w : |w| = 1}. Каждому конденсатору
̂̂
C
(R)
l (t, D, An,m),
l = 1, n, при достаточно малых t ∈ R+, t < R, сопоставляем класс Vl всех ве-
щественных непрерывных и липшицевых в C функций G = G(z) таких, что G = 0
в окрестности множества E
(l)
0 (t, R), G
∣∣∣
E
(l)
1 (t,R)
=
n
2
, G
∣∣∣
E
(l)
2 (t,R)
=
n
2
, G
∣∣∣
E
(l)
k,p(t,R)
= 1,
k = 1, n, p = 1,m. В соответствии с работами [12, 14] получаем неравенство
cap ̂̂C (t,D, An,m) >
1
2
n∑
k=1
cap
̂̂
C
(R)
k (t,D, An,m) . (43)
Отсюда в соответствии с (40) имеем соотношение
∣∣∣ ̂̂C (t, D, An,m)
∣∣∣ 6 2
(
n∑
k=1
∣∣∣̂̂C(R)
k (t, D, An,m)
∣∣∣−1
)−1
. (44)
Из теоремы 1 [13] находим асимптотику модуля ̂̂C (t, D, An,m):∣∣∣ ̂̂C (t, D, An,m)
∣∣∣ = 1
2π
(
2
n2 + 2nm
)
log
1
t
+ ̂̂M(D,An,m) + o(1), t → 0, (45)
где
̂̂
M(D,An,m) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1616 А. К. БАХТИН
=
1
2π
(
2
n2 + 2nm
)2
[
n2
4
log r(D, 0)r(D,∞) +
n∑
k=1
m∑
p=1
log r(D, ak,p)+
+
n2
2
gD(0,∞) +
n∑
k=1
m∑
p=1
n (gD(0, ak,p) + gD(∞, ak,p))+
+
∑
(k,p) 6=(q,s)
gD(ak,p, aq,s)
]
. (46)
Учитывая асимптотические выражения из доказательства теоремы 2, второе усло-
вие неналегания и теорему 1 работы [13], получаем асимптотические равенства
для модулей конденсаторов
̂̂
C
(R)
l (t, D, An,m), l = 1, n:
∣∣∣̂̂C(R)
l (t, D, An,m)
∣∣∣ =
=
1
2π
(
1
n + 2m
)
log
1
t
+
̂̂
M
(R)
l (D,An,m) + o(1), t → 0, (47)
где
̂̂
M
(R)
l (D,An,m) =
=
1
2π
(
1
n + 2m
)2
log
r
(
Ω(l)
0 (R), 1
)(
2
R
n
2
) r
(
Ω(l)
∞ (R),−1
)
(2R
n
2 )
+
+
m∑
p=1
log
r
(
Ω(1)
l,p (R), ω(1)
l,p (R)
)
r
(
Ω(2)
l,p (R), ω(2)
l,p (R)
)[
2
n
χ
(∣∣∣∣al,p
R
∣∣∣∣n
2
)
|al,p|
]−1[ 2
n
χ
(∣∣∣∣al+1,p
R
∣∣∣∣n
2
)
|al+1,p|
]−1
, l = 1, n. (48)
Учитывая равенство (47), непосредственно имеем[
n∑
l=1
∣∣∣̂̂C(R)
l (t, D, An,m)
∣∣∣−1
]−1
=
=
1
4πnm
log
1
t
+
1
n2
n∑
k=1
̂̂
M
(R)
k (D,An,m) + o(1), t → 0. (49)
Соотношения (43) – (49) приводят к неравенству
̂̂
M(D,An,m) 6
2
n2
n∑
k=1
̂̂
M
(R)
k (D,An,m).
С учетом (46) и (48) приходим к неравенству вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИСТЕМ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ... 1617
1
2π
(
2
n2 + 2nm
)2
{
log (r(D, 0)r(D,∞))
n2
4
n∏
k=1
m∏
p=1
r(D, ak,p)×
× exp
n2
2
gD(0,∞)
n∏
k=1
m∏
p=1
expn (gD(0, ak,p) + gD(∞, ak,p))×
×
∏
(k,p) 6=(q,s)
exp gD(ak,p, aq,s)
}
6
6
2
n2
n∑
k=1
1
2π
1
(n + 2m)2
×
× log
{
1
4
(
2
n
)2m m∏
p=1
χ
(∣∣∣∣ak,p
R
∣∣∣∣n
2
)
χ
(∣∣∣∣ak+1,p
R
∣∣∣∣n
2
)
|ak,pak+1,p|×
×r
(
Ω(k)
0 (R), 1
)
r
(
Ω(k)
∞ (R),−1
)
×
×
m∏
p=1
r
(
Ω(1)
k,p(R), ω(1)
k,p(R)
)
r
(
Ω(2)
k,p(R), ω(2)
k,p(R)
)}
=
=
1
πn2(n + 2m)2
log 2−2n
(
2
n
)2nm n∏
k=1
m∏
p=1
χ2
(∣∣∣∣ak,p
R
∣∣∣∣n
2
)
|ak,p|2×
×
n∏
k=1
{
r
(
Ω(k)
0 (R), 1
)
r
(
Ω(k)
∞ (R),−1
)
×
×
m∏
p=1
r
(
Ω(1)
k,p(R), ω(1)
k,p(R)
)
r
(
Ω(2)
k,p(R), ω(2)
k,p(R)
)}
.
Отсюда нетрудно получить
[
r(D, 0)r(D,∞)
]( n
2 )
n∏
k=1
m∏
p=1
r(D, ak,p)×
× exp
n2
2
gD(0,∞)
n∏
k=1
m∏
p=1
expn (gD(0, ak,p) + gD(∞, ak,p))×
×
∏
(k,p)6=(s,q)
exp gD(ak,p, as,q) 6
6
{(n
4
)2n
(
4
n(m + 1)
)(2m+2)n n∏
k=1
m∏
p=1
χ2
(∣∣∣∣ak,p
R
∣∣∣∣n
2
)
|ak,p|2
}1
2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1618 А. К. БАХТИН
=
(n
4
)n( 4
n(m + 1)
)n(m+1) n∏
k=1
m∏
p=1
χ
(∣∣∣∣ak,p
R
∣∣∣∣n
2
)
|ak,p|.
Теорема 4 доказана.
Следствие 1. Пусть n, m ∈ N, n > 2, R ∈ R+. Тогда для произвольной
(n, m)-равнолучевой системы точек An,m = {ak,,p}, k = 1, n, p = 1,m, и любого
открытого множества D, {0,∞} ∪ An,m ⊂ D ⊂ C, удовлетворяющего второму
условию неналегания относительно An,m, выполняется неравенство
[
r(D, 0)r(D,∞)
]( n
2 )2
n∏
k=1
m∏
p=1
r(D, ak,p) 6
6
(n
4
)n
(
4
n(m + 1)
)n(m+1)
MR(An,m),
знак равенства в котором достигается, в частности, когда 0, ∞, {ak,p}, k =
1, n, p = 1,m, и D являются соответственно полюсами и круговыми областями
квадратичного дифференциала (8).
1. Лаврентьев М. А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934.
– 5. – С. 159 – 245.
2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966.
– 628 с.
3. Хейман В. К. Многолистные функции. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
4. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. – М: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
5. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. – М.: Наука, 1975. – 336 с.
6. Тамразов П. М. Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных диффе-
ренциалов // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1968. – 32. – № 5. – С. 1033 – 1043.
7. Бахтина Г. П. О конформных радиусах симметричных неналегающих областей // Современ-
ные вопросы вещественного и комплексного анализа. – Киев: Ин-т математики АН УССР,
1984. – С. 21 – 27.
8. Бахтина Г. П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналега-
ющих областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
9. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы. – Л.: Наука, 1980.
– 241 с.
10. Кузьмина Г. В. Методы геометрической теории функций. I, II // Алгебра и анализ. – 1997. – 9,
№ 3. – С. 41 – 103; № 5. – С. 1 – 50.
11. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении
// Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48 – 66.
12. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного пере-
менного // Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1. – С. 3 – 76.
13. Дубинин В. Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения
// Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1997. – 237. – С. 56 – 73.
14. Дубинин В. Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций: Уч. пос. – Влади-
восток: Изд. Дальневост. ун-та, 2003. – 116 с.
15. Tsuji M. Potential theory in modern function theory. – Tokyo, 1959. – 590 p.
16. Бахтин А. К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых
множеств // Доп. НАН України. – 2006. – № 10. – С. 7 – 13.
Получено 09.08.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
|