Вихідний потік зв'язуючого нейрона
Для связывающего нейрона с порогом 2, стимулированного пуассоновским потоком, вычислена интенсивность выходного потока и плотность распределения вероятности длин выходных межимпульсных интервалов. Для порога 3 вычислена интенсивность выходного потока....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172517 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Вихідний потік зв'язуючого нейрона / О.К. Відибіда // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 12. — С. 1619–1638. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-172517 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1725172020-11-03T01:26:55Z Вихідний потік зв'язуючого нейрона Відибіда, О.К. Статті Для связывающего нейрона с порогом 2, стимулированного пуассоновским потоком, вычислена интенсивность выходного потока и плотность распределения вероятности длин выходных межимпульсных интервалов. Для порога 3 вычислена интенсивность выходного потока. For a binding neuron with threshold 2 stimulated by a Poisson stream, we determine the intensity of the output stream and the probability density for the lengths of the output interpulse intervals. For threshold 3, we determine the intensity of the output stream. 2007 Article Вихідний потік зв'язуючого нейрона / О.К. Відибіда // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 12. — С. 1619–1638. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172517 519.21 uk Український математичний журнал Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Відибіда, О.К. Вихідний потік зв'язуючого нейрона Український математичний журнал |
| description |
Для связывающего нейрона с порогом 2, стимулированного пуассоновским потоком, вычислена интенсивность выходного потока и плотность распределения вероятности длин выходных межимпульсных интервалов. Для порога 3 вычислена интенсивность выходного потока. |
| format |
Article |
| author |
Відибіда, О.К. |
| author_facet |
Відибіда, О.К. |
| author_sort |
Відибіда, О.К. |
| title |
Вихідний потік зв'язуючого нейрона |
| title_short |
Вихідний потік зв'язуючого нейрона |
| title_full |
Вихідний потік зв'язуючого нейрона |
| title_fullStr |
Вихідний потік зв'язуючого нейрона |
| title_full_unstemmed |
Вихідний потік зв'язуючого нейрона |
| title_sort |
вихідний потік зв'язуючого нейрона |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/172517 |
| citation_txt |
Вихідний потік зв'язуючого нейрона / О.К. Відибіда // Український математичний журнал. — 2007. — Т. 59, № 12. — С. 1619–1638. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT vídibídaok vihídnijpotíkzvâzuûčogonejrona |
| first_indexed |
2025-07-15T08:49:40Z |
| last_indexed |
2025-07-15T08:49:40Z |
| _version_ |
1837702191720169472 |
| fulltext |
УДК 519.21
О. К. Вiдибiда (Iн-т теор. фiзики НАН України, Київ)
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА∗
For a binding neuron with threshold 2 stimulated by the Poissonian stream, we calculate the intensity of
output stream and the probability density distribution for the lengths of output interpuls intervals. For
threshold 3, we calculate the intensity of output stream.
Для связывающего нейрона с порогом 2, стимулированного пуассоновским потоком, вычислена
интенсивность выходного потока и плотность распределения вероятности длин выходных межим-
пульсных интервалов. Для порога 3 вычислена интенсивность выходного потока.
0. Вступ. Концепцiю зв’язуючого нейрона запропоновано в [1, 2] на основi чи-
сельного моделювання вiдгуку нейрону типу Ходжкiна – Хакслi [3] на стимули,
якi складаються з великої кiлькостi випадково розподiлених у часi елементарних
синаптичних стимулiв. Зв’язуючий нейрон (ЗН) характеризується тривалiстю внут-
рiшньої пам’ятi, τ ∈ ]0;∞[, i порогом, N0 ∈ {2, 3, 4, . . . }. Кожен вхiдний iмпульс,
потрапивши в нейрон, зберiгається в ньому в незмiнному виглядi протягом часу
τ, пiсля чого зникає. В момент коли число iмпульсiв, якi зберiгаються в нейронi,
дорiвнює N0, нейрон генерує вихiдний iмпульс i звiльняється вiд усiх одержаних
на цей момент iмпульсiв. Таким чином, ЗН перетворює вхiдний потiк iмпульсiв у
вихiдний за наведеним вище правилом. Наша мета — охарактеризувати вихiдний
потiк виходячи з характеристик нейрона τ i N0 i властивостей вхiдного потоку.
Властивостi вихiдного потоку є цiкавими з точки зору вiдображення iнформацiї в
нейронних мережах [4, 5]. Якщо вхiдний потiк є пуассонiвським з iнтенсивнiстю
λ, то зв’язуючий нейрон будемо називати пуассонiвським (ПЗН). У данiй роботi
розглядається ПЗН з N0, що дорiвнює 2 або 3. Специфiка математичного аналiзу
систем типу зв’язуючого нейрона виникає з нерозривного зв’язку в ЗН детермi-
нiстичної i випадкової динамiк. А саме, нейрон одержує iмпульси з випадкового
потоку, а час зберiгання одержаних iмпульсiв є фiксованим. У цьому вбачається
iстотна вiдмiннiсть вiд теорiї масового обслуговування [7, 8], де час обслуговуван-
ня (аналог часу життя iмпульсу в нейронi) є випадковим, розподiленим за вiдомим
законом. Одночасна наявнiсть у нейронi детермiнiстичної i випадкової динамiк
диктується тим фактом, що процес перебування iмпульсу в реальних нейронах за-
безпечується електрохiмiчним перехiдним процесом [3], який є детермiнiстичним,
а вхiднi iмпульси одержуються вiд iнших нейронiв i вiд зовнiшнього середовища
нерегулярним (випадковим) чином.
1. Розподiл вихiдних мiжiмпульсних iнтервалiв ПЗН при N0 = 2. Розгля-
немо ПЗН, який стимулюється пуассонiвським процесом з iнтенсивнiстю λ, має
пам’ять τ i порiг N0 = 2. Отже, нейрон посилає вихiдний iмпульс завжди, коли
вхiдний iмпульс приходить ранiше, нiж через час τ пiсля попереднього, а цей по-
переднiй iмпульс очiкувався довше, нiж τ, або iмпульс, за яким вiн iде слiдом, сам
був причиною вихiдного iмпульсу. Статистику вихiдних iмпульсiв можна описати
в термiнах щiльностi розподiлу ймовiрностi довжин мiжiмпульсних iнтервалiв на
∗ Виконано за пiдтримки програми цiльових дослiджень Вiддiлення фiзики i астрономiї
НАН України.
c© О. К. ВIДИБIДА, 2007
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12 1619
1620 О. К. ВIДИБIДА
виходi ПЗН. Для цього досить знати ймовiрнiсть P (t, τ)dt того, що перший ви-
хiдний iмпульс з’явиться через час t пiсля включення (з точнiстю dt). Вказану
подiю можна розбити на певну кiлькiсть альтернатив, позначених номером k вхiд-
ного iмпульсу, який спричинив появу вихiдного. Зрозумiло, що 2 ≤ k ≤ kmax, де
kmax = [t/τ ] + 2, а [x] позначає цiлу частину x. Якщо позначити моменти появи
iмпульсiв через t1, t2, . . . , tk−1, то реалiзацiя подiї з номером k для фiксованих
моментiв полягає в тому, що iнтервали [0; t1[, ]t1; t2[, . . . , ]tk−1; t[ є вiльними вiд iм-
пульсiв, а в iнтервали довжиною dt1, . . . , dtk−1, dt в околi моментiв t1, t2, . . . , tk−1,
t прийшло по одному iмпульсу. Згiдно з означенням пуассонiвського процесу [6],
iмовiрнiсть такої реалiзацiї задається виразом
e−λt1λdt1e
−λ(t2−t1)λdt2 . . . e−λ(tk−1−tk−2)λdtk−1e
−λ(t−tk−1)λdt,
а ймовiрнiсть Pk(t, τ)dt цiєї подiї при будь-яких допустимих значеннях t1, t2, . . .
. . . , tk−1 обчислюється iнтегруванням цього виразу по множинi (k − 1)-вимiрного
простору з координатами t1, t2, . . . , tk−1, на якiй виконуються умови
t1 ≥ 0, t1 + τ < t2, . . . , ti + τ < ti+1, . . . , tk−2 + τ < tk−1 < t, (1)
i t− tk−1 < τ. Зауважимо, що
e−λtλk−1
t−(k−2)τ∫
0
dt1
t−(k−3)τ∫
t1+τ
dt2 . . .
t∫
tk−2+τ
dtk−1λdt =
= e−λtλk−1 (t− (k − 2)τ)k−1
(k − 1)!
λdt. (2)
Якщо k = kmax, то умова (1) ґарантує, що (k − 1)-й iмпульс потрапить в iнтервал
]t−τ ; t[ i поява k-го iмпульсу в момент t викличе вихiдний iмпульс. Отже, в цьому
випадку
Pk(t, τ) dt = e−λtλk−1 (t− (k − 2)τ)k−1
(k − 1)!
λdt, k = kmax.
Якщо ж k < kmax, то iнтеграл (2) мiстить також i конфiгурацiї, в яких tk−1 < t− τ.
Для таких конфiгурацiй поява k-го вхiдного iмпульсу в момент t не викличе вихiд-
ного iмпульсу. Внесок таких несприятливих конфiгурацiй в iнтеграл (2) задається
виразом
e−λtλk−1
t−(k−1)τ∫
0
dt1
t−(k−2)τ∫
t1+τ
dt2 . . .
t−τ∫
tk−2+τ
dtk−1λdt =
= e−λtλk−1 (t− (k − 1)τ)k−1
(k − 1)!
λdt,
який слiд вiдняти вiд (2). Отже, при 2 ≤ k < kmax
Pk(t, τ) dt = e−λt λk−1
(k − 1)!
(
(t− (k − 2)τ)k−1 − (t− (k − 1)τ)k−1
)
λdt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1621
Повна ймовiрнiсть знаходиться як сума ймовiрностей альтернатив. Зауважимо, що
значення kmax змiнюється на 1, коли t переходить через цiле кратне τ. Отже, при
m = 0, 1, 2, . . . можна стверджувати: якщо mτ ≤ t ≤ (m + 1)τ, то
P (t, τ)dt = e−λt λm+1
(m + 1)!
(t−mτ)m+1λdt+
+
∑
2≤k≤m+1
e−λt λk−1
(k − 1)!
(
(t− (k − 2)τ)k−1 − (t− (k − 1)τ)k−1
)
λdt. (3)
Знайдена функцiя P (t, τ) dt є аналогом функцiї e−λtλ dt для мiжiмпульсних iнтер-
валiв пуассонiвського процесу. Можна довести, що функцiя P (t, τ) має максимум
при t = min(τ, 1/λ). На нескiнченностi функцiя P (t, τ) спадає експонентним чи-
ном. А саме, для кожного значення параметрiв (λ, τ) iснують додатнi числа A, α,
B, β такi, що при достатньо великих t виконується нерiвнiсть
Be−βt < P (t, τ) < Ae−αt.
Iнтегруванням виразу (3) по iнтервалу [0;∞[ можна також пересвiдчитись, що
щiльнiсть iмовiрностi (3) нормована на 1.
2. Середня iнтенсивнiсть вихiдного потоку для N0 = 2. Для означення се-
редньої iнтенсивностi вихiдного потоку розглянемо ситуацiю, коли функцiонування
ПЗН починається при t = 0, причому в цей момент нейрон не мiстить iмпульсiв.
Подальша еволюцiя ПЗН i його вихiдного потоку цiлком визначаються потоком
вхiдних iмпульсiв, який генерується пуассонiвським процесом. Якщо позначити
через np(t), t ≥ 0, деяку реалiзацiю пуассонiвського процесу, то їй вiдповiдає єдина
траєкторiя nb(t) вихiдного потоку, яку легко побудувати виходячи з означення ЗН.
На множинi всiх траєкторiй np(t), згiдно з означенням процесу Пуассона, задано
борелiвську мiру, яка визначає ймовiрностi подiй щодо вхiдного потоку. Вiдповiд-
нiсть np(t) → nb(t) стандартним чином [9] iндукує мiру на множинi всiх вихiдних
траєкторiй nb(t), яка дозволяє визначати ймовiрностi подiй щодо вихiдного потоку
нейрона.
Зауважимо, що в процесi функцiонування пiд дiєю вхiдного потоку ЗН з по-
рогом 2 може перебувати в станах C0 або C1, коли вiн вiдповiдно не зберiгає або
зберiгає один iмпульс. Кожнiй вхiднiй траєкторiї np(t) вiдповiдає єдина траєкторiя
c(t) станiв нейрона, яка визначена для t ≥ 0, є кусково-сталою i набуває значень
у множинi {C0, C1}. На множинi всiх траєкторiй c(t) так само, як i для nb(t),
iндукується мiра, яка дозволяє визначати ймовiрностi подiй щодо стану ПЗН.
Iнтенсивнiсть вихiдного потоку ПЗН в момент t означимо формулою (див. [7])
λ0(t) = lim
s→0
w(s, t)
s
, (4)
де w(s, t) — ймовiрнiсть одержання вихiдного iмпульсу в промiжку [t; t + s[. Пiд
середньою вихiдною iнтенсивнiстю будемо розумiти границю
λ0 = lim
t→∞
λ0(t). (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1622 О. К. ВIДИБIДА
Зауважимо, що вихiдний iмпульс генерується, якщо одночасно спостерiгаються
двi подiї: i) нейрон перебуває в станi C1; ii) вiд вхiдного потоку одержується
iмпульс. Цi двi подiї є незалежними, оскiльки поява iмпульсу подiї ii) не залежить
вiд розташування попереднiх вхiдних iмпульсiв, а стан нейрона визначається саме
попереднiми iмпульсами. Позначимо через α(t) ймовiрнiсть перебування нейрона
у станi C1 в момент t. Ймовiрнiсть одержати вхiдний iмпульс у промiжку [t; t + s[
задається виразом λ s + o(s), звiдки w(s, t) = α(t)(λ s + o(s)). Останнє дозволяє
записати замiсть (4)
λ0(t) = α(t)λ (6)
i замiсть (5)
λ0(t) = λ lim
t→∞
α(t). (7)
Зауваження 1. Якщо границя в (5) iснує, то lim
s→∞
1
s
∫ s
0
λ0(t) dt = λ0, що
виправдовує використання назви „середня iнтенсивнiсть” для λ0.
Для подальшого перетворення (7) зауважимо, що потiк c(t) є вiдновлюючим у
тому сенсi, що послiдовнi моменти початку стану C0 є динамiчно i статистично то-
тожними. Будемо називати вiдрiзок траєкторiї c(t) елементарним вiдрiзком, якщо
вiн обмежений двома послiдовними початками стану C0. Кожнiй траєкторiї c(t)
поставимо у вiдповiднiсть тривалiсть T (c(·)) її першого елементарного вiдрiзка,
а також тривалостi T0(c(·)), T1(c(·)) перебування у станах C0, C1 вiдповiдно, пiд
час проходження системою першого елементарного вiдрiзка. Математичне сподi-
вання T0 позначимо через T0. T0 — це середнiй мiжiмпульсний iнтервал вхiдного
пуассонiвського потоку:
T0 =
1
λ
. (8)
Математичне сподiвання T1 для ПЗН з порогом 2 можна знайти, використовуючи
вiдповiдну функцiю розподiлу:
P (T1 < x) =
{
1− e−λ x, x ≤ τ,
1, x > τ,
T1 ≡ E(T1) =
1
λ
(1− e−λ τ ). (9)
Звiдси знаходимо T ≡ E(T ) = T0 + T1 < ∞. Iз викладеного випливає, що процес
c(t) задовольняє умову теореми про границi у випадкових процесах (див. [10],
гл. XI, § 8) i прикладу б) до цiєї теореми. Висновком iз теореми i прикладу є
iснування i значення границi в (7):
α ≡ lim
t→∞
α(t) =
T1
T0 + T1
. (10)
Використавши (7) – (10), одержимо
λ0 =
1− e−λτ
2− e−λτ
λ. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1623
Середню вихiдну iнтенсивнiсть ПЗН можна також визначити через середнє
значення W мiжiмпульсного iнтервалу W у вихiдному потоцi як
µ0 =
1
W
.
W обчислюється на основi явного виразу (3) для щiльностi розподiлу ймовiрностi
тривалостi нтервалiв:
W ≡ E(W ) =
∞∫
0
t P (t, τ) dt =
1
λ
(
2 +
1
eλτ − 1
)
.
Останнє узгоджується з (11), тобто µ0 = λ0
1 .
3. Середня iнтенсивнiсть потоку вихiдних iмпульсiв ПЗН з порогом 3.
У цьому пунктi для N0 = 3 обчислимо середню iнтенсивнiсть вихiдного потоку, як
це зроблено в попередньому пунктi для N0 = 2. Отже, ми дотримуємось означення
середньої вихiдної iнтенсивностi, описаного формулами (4) – (7). Слiд зауважити,
що ПЗН з порогом 3 має три можливих стани i вiдповiдний допомiжний процес
змiни станiв нейрона, c(t), набуває значень у множинi {C0, C1, C2}. Вiдповiдно,
α(t) в формулi (6) — це ймовiрнiсть перебування нейрона в станi C2 в момент t.
Аналогом формули (10) для N0 = 3 є формула
α =
T2
T0 + T1 + T2
, (12)
де T0 задається формулою (8), а означення випадкових величин T1 i T2 слiд дати
окремо. Рiч у тiм, що проходження елементарного вiдрiзка для N0 = 3 може
вiдбутись за сценарiєм багатократної змiни станiв типу C0 → C1 → C2 → C1 →
→ C2 . . . → C1 → C2 → C0 (з вихiдним iмпульсом) або C0 → C1 → C2 →
→ C1 → C2 . . . → C1 → C2 → C1 → C0 (без вихiдного iмпульсу). Для певної
траєкторiї c(t) T1(c(·)) i T2(c(·)) дають сумарний час перебування c(t) у станi C1
i C2 вiдповiдно при проходженнi першого елементарного вiдрiзка. Математичнi
сподiвання T1 i T2 слiд обчислити за допомогою мiри, яка iндукується на множинi
всiх траєкторiй c(t) мiрою на траєкторiях вхiдного потоку np(t) i однозначним
вiдображенням np(t) → c(t), визначеним принципом дiї ПЗН з порогом 3.
Оскiльки для N0 = 3 перебування нейрона в станi C1 або C2 пiд час про-
ходження одного елементарного вiдрiзка траєкторiї може складатись з багатьох
непоєднаних вiдрiзкiв часу, що не вiдбувається для N0 = 2 i не припускається в
наведеному вище прикладi, то для строгого обґрунтування (12) слiд навести додат-
ковi мiркування. Цi мiркування надає наступна пропозицiя.
Пропозицiя 1. Нехай для деякого стохастичного процесу c(t) виконується
умова згаданої вище теореми, тобто: i) процес c(t) є процесом вiдновлення; ii) ма-
1 Iнтенсивнiсть, означену через середнiй мiжiмпульсний iнтервал, можна назвати iнтегральною
iнтенсивнiстю, а означену в (5) — середньою диференцiальною. Факт рiвностi миттєвої диференцi-
альної та iнтегральної iнтенсивностей для стацiонарних ординарних випадкових процесiв складає
змiст теореми В. С. Королюка [7] (§ 11). Отже, рiвнiсть µ0 = λ0 для вихiдного потоку ПЗН з поро-
гом 2 для великих часiв, коли вiн стає стацiонарним, можна було б очiкувати з огляду на теорему
Королюка.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1624 О. К. ВIДИБIДА
тематичне сподiвання тривалостi елементарного вiдрiзка є обмеженим. Тодi гра-
ниця при t →∞ ймовiрностi Pk(t) перебування системи в момент часу t в станi
Ck обчислюється за формулою
lim
t→∞
Pk(t) =
Tk
T
, (13)
де Tk — математичне сподiвання сумарної тривалостi перебування системи в
станi Ck пiд час проходження елементарного вiдрiзка еволюцiї, а T — середня за
ймовiрнiстю тривалiсть елементарного вiдрiзка: Tk ≡ E(Tk), T ≡ E(T ).
Доведення2. Розглянемо вираз для обчислення границi ймовiрностi, який фiгу-
рує у висновку теореми про границi випадкових процесiв (див. [10], гл. XI, § 8)
lim
t→∞
Pk(t) =
1
T
∞∫
0
qk(t) dt, (14)
де qk(t) — ймовiрнiсть подiї [c(t) = Ck] ∧ [T > t]:
qk(t) = P ([c(t) = Ck] ∧ [T > t]) .
Тут T ≡ T (c(·)) позначає тривалiсть першого елементарного вiдрiзка траєкторiї
c(t). Для кожної пари (k, t), де k ∈ {0, 1, 2}, t ∈ [0;∞[, задамо на множинi тра-
єкторiй c(s) функцiю fk,t(c(·)) за формулою
fk,t(c(·)) =
1, якщо[c(t) = Ck] ∧ [T (c(·)) > t],
0 — в iнших випадках.
Очевидно,
P ([c(t) = Ck] ∧ [T > t]) = E(fk,t(c(·))).
Пiдставимо останнє в iнтеграл, який фiгурує в (14):
∞∫
0
qk(t) dt =
∞∫
0
E(fk,t(c(·))) dt = E
∞∫
0
fk,t(c(·)) dt =
= E
T (c(·))∫
0
fk,t(c(·)) dt = E(Tk(c(·))) = Tk.
Пропозицiю доведено.
Для ПЗН з порогом 3 T обчислене (див. (19)) i є скiнченним. Таким чином, з
формули (13) випливає формула (12).
Нижче потрiбнi в (12) величини обчислюються таким чином. Розглядаються всi
можливi сценарiї змiни стану нейрона мiж послiдовними перебуваннями у станi
C0. Сценарiй, в якому нейрон побував n разiв у станi C2 i перейшов у стан C0
2 Цей варiант доведення автору пiдказав О. М. Кулик.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1625
безпосередньо з стану C2, тобто з вихiдним iмпульсом, позначимо (n, 1). Сценарiй,
в якому нейрон побував n разiв у станi C2 i перейшов у стан C0 зi стану C1, тобто
без вихiдного iмпульсу, позначимо (n, 0). Сценарiй (n, 0), наприклад, реалiзується,
якщо пiсля попадання n-й раз у стан C2 нейрон очiкує вхiдного iмпульсу довше,
нiж τ. Для обчислення Tk обчислюються умовнi математичнi сподiвання величин
Tk за умови реалiзацiї одного з альтернативних сценарiїв i внески всiх сценарiїв до-
даються. Вiдповiднi щiльностi умовних функцiй розподiлу величин Tk фiгурують
у вiдповiдних пiдiнтегральних виразах (наприклад, в (16)).
3.1. Ймовiрностi окремих сценарiїв. Позначимо через p(n,0), p(n,1), n =
= 0, 1, 2, . . . , ймовiрностi реалiзацiї вiдповiдних сценарiїв. Будь-який сценарiй
реалiзується, якщо серiя вхiдних iмпульсiв розташована в часi вiдповiдним чином.
Будемо нумерувати вхiднi iмпульси так, що iмпульс, який викликає перший перехiд
iз стану C0 у стан C1, одержує номер 0, а наступнi iмпульси — 1, 2, 3, . . . . Мiжiм-
пульснi iнтервали занумеруємо так, що x1 позначає вiдрiзок часу, який проходить
мiж нульовим i першим iмпульсами. Найкоротший сценарiй, (0, 0), реалiзується,
якщо пiсля переходу нейрона C0 → C1 наступний iмпульс очiкується довше, нiж
τ. Отже, нейрон повертається у стан C0 без заходiв у C2 i без вихiдного iмпульсу.
Ймовiрнiсть такого сценарiю — це ймовiрнiсть подiї (x1 > τ). Отже, p(0,0) = e−λτ .
Сценарiй (0, 1) неможливий, оскiльки неможливо одержати вихiдний iмпульс без
заходу у стан C2. Отже, p(0,1) = 0. Для обчислення ймовiрностей сценарiїв (n, 0),
(n, 1), n = 1, 2, . . . , зауважимо, що для реалiзацiї сценарiю з n заходами у стан
C2 необхiдно рiвно n вхiдних iмпульсiв3 . Для завершення з вихiдним iмпульсом
потрiбен ще один вхiдний iмпульс. Для заходiв у C1,2 i остаточного переходу з
C1,2 в C0 iмпульси не потрiбнi4 . Для пiдтримання неперервного процесу перехо-
дiв у C2, C1,2, C2, C1,2, . . . , необхiдно, щоб кожен мiжiмпульсний iнтервал xi був
коротшим за τ, але довшим, нiж τ − xi−1. Умова xi < τ ґарантує, що наступний
iмпульс прийде в нейрон ранiше, нiж зникне попереднiй. Умова xi > τ − xi−1
ґарантує, що наступний iмпульс прийде в нейрон пiсля того, як зникне попередник
його попередника, отже, в нейронi буде в цей момент рiвно один iмпульс. Перший
iнтервал, x1, може бути як завгодно коротким, оскiльки в станi C1,0 є тiльки один
iмпульс з моменту його (стану) виникнення. Для завершення з вихiдним iмпульсом
останнiй iнтервал ((n+1)-й) має бути коротшим за τ−xn, i тодi в момент приходу
(n + 1)-го iмпульсу в нейронi буде 2 iмпульси, що приведе до переходу в C0 з
вихiдним iмпульсом. Для завершення без вихiдного iмпульсу останнiй iнтервал
((n + 1)-й) має бути довшим за τ, тодi в момент приходу (n + 1)-го iмпульсу в
нейронi не буде iмпульсiв. Отже, вiн перейшов у стан C0 через τ пiсля приходу
n-го. Пiсля приходу n-го iмпульсу нейрон перейде у стан C2, через τ−xn — у стан
C1 i ще через xn — у стан C0. На пiдставi викладеного можемо записати наступнi
вирази для ймовiрностей:
p(n,0) =
τ∫
0
e−λx1λ dx1
τ∫
τ−x1
e−λx2λ dx2 . . .
3 Iмпульс, який спричинює перший перехiд C0 → C1, не враховується.
4 C1,2 i C1,0 позначають стан з одним iмпульсом, якому передували стани C2 i C0 вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1626 О. К. ВIДИБIДА
. . .
τ∫
τ−xn−1
e−λxnλ dxn
∞∫
τ
e−λxn+1λ dxn+1 =
= e−λτ
τ∫
0
e−λx1λ dx1
τ∫
τ−x1
e−λx2λ dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
e−λxnλ dxn,
(15)
p(n,1) =
τ∫
0
e−λx1λ dx1
τ∫
τ−x1
e−λx2λ dx2 . . .
. . .
τ∫
τ−xn−1
e−λxnλ dxn
τ−xn∫
0
e−λxn+1λ dxn+1, n = 1, 2, . . . .
Можна пересвiдчитись, що сума записаних вище ймовiрностей для всiх альтерна-
тив дорiвнює 1, а саме:
e−λτ +
∑
n≥1
(
p(n,0) + p(n,1)
)
= 1.
3.2. Внески окремих сценарiїв. У даному пiдпунктi ми запишемо формули для
обчислення внеску окремого сценарiю в середнiй час перебування нейрона в кожно-
му зi станiв C0, C1, C2. Для сценарiю (n, 1) кожен iз iнтервалiв {x1, x2, . . . , xn−1}
дає час перебування в станi C2, що дорiвнює τ − xi. Iнтервал xn i наступний (по-
роджуючий вихiдний iмпульс) разом дають час перебування в C2, що дорiвнює
xn+1. Отже, при фiксованому наборi iнтервалiв, який забезпечує сценарiй (n, 1),
час перебування в C2 задається виразом (n − 1)τ − x1 − x2 − . . . − xn−1 + xn+1,
точнiше
n−1∑
i=1
(τ − xi) + xn+1.
Для сценарiю (n, 0) цей час буде
n∑
i=1
(τ − xi).
Повний час вiд моменту переходу C0 → C1 до моменту переходу C2 → C0 у
сценарiї (n, 1) дорiвнює x1 + x2 + . . . + xn+1. Отже, час, перебування у станi C1
дорiвнює 2(x1 + x2 + . . . + xn−1) + xn − (n− 1)τ, або
n−1∑
i=1
(2xi − τ) + xn.
Повний час вiд переходу C0 → C1 до моменту переходу C1 → C0 у сценарiї
(n, 0) дорiвнює x1 + x2 + . . . + xn + τ. Отже, час, перебування у C1 дорiвнює
2(x1 + x2 + . . . + xn)− (n− 1)τ, або
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1627
n∑
i=1
(2xi − τ) + τ.
Останнi чотири вирази справедливi i для n = 1, якщо вважати суму рiвною нулю,
коли її нижня межа пiдсумовування перевищує верхню на 1.
Записанi вище формули дають час перебування у вiдповiдних станах, якщо на-
бiр мiжiмпульсних iнтервалiв зафiксовано. Для того щоб визначити, яким є внесок
певного набору мiжiмпульсних iнтервалiв у середнiй час перебування у вiдпо-
вiдному станi, слiд цi формули домножити на ймовiрностi вiдповiдних наборiв
iнтервалiв. Для того щоб одержати внесок певного сценарiю, слiд пiсля домножен-
ня зiнтегрувати одержаний вираз по множинi наборiв iнтервалiв, якi забезпечують
еволюцiю за цим сценарiєм. Викладене дозволяє записати наступнi вирази для
внескiв окремих сценарiїв:
T2,(n,1) =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
. . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ−xn∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n−1∑
i=1
(τ − xi) + xn+1
)
,
T1,(n,1) =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
. . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ−xn∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n−1∑
i=1
(2xi − τ) + xn
)
,
(16)
T2,(n,0) =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
. . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
∞∫
τ
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
,
T1,(n,0) =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
. . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
∞∫
τ
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(2xi − τ) + τ
)
,
де n = 1, 2, . . . , а T2,(n,1), T1,(n,1), T2,(n,0), T1,(n,0) позначають внески сценарiїв
(n, 1) i (n, 0) в час перебування у станах C2 i C1 вiдповiдно. Крiм того, оскiльки
сценарiй (0,1) не є можливим, а в сценарiї (0,0) заходiв у станi C2 немає, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1628 О. К. ВIДИБIДА
T2,(0,1) = 0, T1,(0,1) = 0, T0,(0,1) = 0, T2,(0,0) = 0. Також очевидно, що T1,(0,0) =
= e−λττ, T0,(0,0) = T0,(n,0) = T0,(n,1) = 1/λ, n = 1, 2, . . . . За означенням T1, T2
маємо
T1 = e−λττ +
∞∑
n=1
(T1,(n,0) + T1,(n,1)), T2 =
∞∑
n=1
(T2,(n,0) + T2,(n,1)).
3.3. Обчислення T . Середнiй час T мiж двома послiдовними заходами у стан
C0 задається виразом
T = T0 + T1 + T2 =
1
λ
+ e−λττ +
∞∑
n=1
(T1,(n,0) + T1,(n,1) + T2,(n,0) + T2,(n,1)),
(17)
або
T = T0 + T1 + T2 =
1
λ
+ e−λττ +
∞∑
n=1
Sn, (18)
де
Sn = T1,(n,0) + T1,(n,1) + T2,(n,0) + T2,(n,1) =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ−xn∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
xi + xn+1
)
+
+
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
∞∫
τ
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
xi + τ
)
.
Врахуємо тут, що
∫ ∞
τ
e−λxn+1λdxn+1 = e−λτ , тодi
Sn =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ−xn∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
n+1∑
i=1
xi+
+e−λτ
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xiλn
(
n∑
i=1
xi + τ
)
.
Тут у першому доданку iнтеграл по xn+1 подамо у виглядi
∫ τ−xn
0
dxn+1 =
=
∫ τ
0
dxn+1 −
∫ τ
τ−xn
dxn+1 :
Sn =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
n+1∑
i=1
xi−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1629
−
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
n+1∑
i=1
xi+
+e−λτ
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xiλn
(
n∑
i=1
xi + τ
)
.
Введемо позначення
I0(λ, τ, n) =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xi , n = 1, 2, . . . ,
I1(λ, τ, n) =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xi
n∑
i=1
xi,
де n = 1, 2, . . . . Тодi
Sn =
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
n+1∑
i=1
xi−
−λn+1 I1(λ, τ, n + 1) + e−λτλn I1(λ, τ, n) + τe−λτλn I0(λ, τ, n).
Для перетворення останнього виразу використаємо формули
∫ τ
0
e−λxn+1λdxn+1 =
= 1− e−λτ ,
∫ τ
0
e−λxn+1λxn+1dxn+1 = −τe−λτ − e−λτ
λ
+
1
λ
:
Sn = (1− e−λτ )λnI1(λ, τ, n) +
(
−τe−λτ − e−λτ
λ
+
1
λ
)
λn I0(λ, τ, n)−
−λn+1 I1(λ, τ, n + 1) + e−λτλn I1(λ, τ, n) + τe−λτλn I0(λ, τ, n),
або пiсля скорочення
Sn = λnI1(λ, τ, n)− λn+1 I1(λ, τ, n + 1) +
1− e−λτ
λ
λn I0(λ, τ, n).
Отже5 ,
T =
2
λ
− e−λτ
λ
+
1− e−λτ
λ
∞∑
n=1
λnI0(λ, τ, n). (19)
3.4. Обчислення T2 i T1. Обчислення, аналогiчнi попереднiм, виконаємо
для T2:
T2 =
∞∑
n=1
(T2,(n,0) + T2,(n,1)).
5 Використано рiвнiсть lim
n→∞
λn I1(λ, τ, n) = 0, яка доводиться виходячи з оцiнки I1(λ, τ, n) <
< nτI0(λ, τ, n) i оцiнки з примiтки на с. 1634.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1630 О. К. ВIДИБIДА
Тут доданки з певним n мають вигляд
T2,(n,0) + T2,(n,1) =
=
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
∞∫
τ
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
+
+
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ−xn∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1×
×
(
n−1∑
i=1
(τ − xi) + xn+1
)
=
=
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
∞∫
τ
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
+
+
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ−xn∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1×
×
(
n∑
i=1
(τ − xi)− τ + xn + xn+1
)
=
=
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
∞∫
τ
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
+
+
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1×
×
(
n∑
i=1
(τ − xi)− τ + xn + xn+1
)
−
−
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1×
×
(
n∑
i=1
(τ − xi)− τ + xn + xn+1
)
=
=
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
∞∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1631
+
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1(−τ + xn + xn+1)−
−
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1×
×
(
n∑
i=1
(τ − xi)− τ + xn + xn+1
)
=
=
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xiλn
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
−
−
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
+
+
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1(xn + xn+1 − τ)−
−
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1 (xn + xn+1 − τ) .
Використаємо спiввiдношення λ
∫ τ
0
(xk + xn− τ) e−λ xk dxk − λ
∫ τ
τ−xn
(xk + xn−
− τ) e−λ xk dxk = −eλ xn−λ τ
λ
+ xn − τ +
1
λ
, k = n + 1:
T2,(n,0) + T2,(n,1) =
=
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xiλn
(
n−1∑
i=1
(τ − xi)
)
−
−
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
+
+
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n+1
i=1 xiλn−1
(
1− eλ(xn−τ)
)
. (20)
При цьому врахуємо, що
∫ τ−xn
0
e−λxn+1dxn+1 =
(
1− eλ(xn−τ)
)
/λ:
T2,(n,0) + T2,(n,1) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1632 О. К. ВIДИБIДА
=
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xiλn
(
n−1∑
i=1
(τ − xi)
)
−
−
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
+
+
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ−xn∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn.
Отже,
T2,(n,0) + T2,(n,1) =
=
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xiλn
(
n−1∑
i=1
(τ − xi)
)
−
−
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xi×
×λn+1
(
n∑
i=1
(τ − xi)
)
+
1
λ
p(n,1),
де p(n,1) — ймовiрнiсть сценарiю (n, 1), задана формулою (15). З останнього виразу
знаходимо6
T2 =
∞∑
n=1
(T2,(n,0) + T2,(n,1)) =
1
λ
∞∑
n=1
p(n,1). (21)
Використовуючи (20), спiввiдношення (21) можна подати таким чином:
T2 =
∞∑
n=1
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
0
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn−
−
∞∑
n=1
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn =
=
(
1− e−λτ
) ∞∑
n=1
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xiλn−1−
6 Враховано, що lim
n→∞
∫ τ
0
dx1
∫ τ
τ−x1
dx2 . . .
∫ τ
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xiλn
∑n−1
i=1
(τ−xi) = 0.
Останнє доводиться так само, як i в примiтцi на с. 1629.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1633
−
∞∑
n=1
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxn
τ∫
τ−xn
dxn+1e
−λ
∑n+1
i=1 xiλn =
=
1− e−λτ
λ
∞∑
n=1
λnI0(λ, τ, n)− 1
λ
∞∑
n=1
λn+1I0(λ, τ, n + 1) =
=
1− e−λτ
λ
∞∑
n=1
λnI0(λ, τ, n)− 1
λ
∞∑
n=1
λnI0(λ, τ, n) + I0(λ, τ, 1) =
= I0(λ, τ, 1)− e−λτ
λ
∞∑
n=1
λnI0(λ, τ, n),
звiдки
T2 =
1− e−λτ
λ
− e−λτ
λ
∞∑
n=1
λnI0(λ, τ, n). (22)
Тепер T1 можна знайти як T1 = T − T0 − T2 на основi формул (19), (22) i (8):
T1 =
1
λ
∞∑
n=1
λnI0(λ, τ, n). (23)
3.5. Обчислення
∑∞
n=1
λnI0(λ, τ, n). Перетворимо окремий доданок у шу-
канiй сумi таким чином:
λnI0(λ, τ, n) = λn
τ∫
0
dx1
τ∫
τ−x1
dx2 . . .
τ∫
τ−xn−1
dxne−λ
∑n
i=1 xi =
= qne−nq
1∫
0
dx1
1−x1∫
0
dx2
1−x2∫
0
dx3 . . .
1−xn−1∫
0
dxn eq
∑n
i=1 xi ,
де q = λτ. Тут виконано наступне перетворення змiнних iнтегрування: xi →
→ τ(1− xi), i = 1, . . . , n. Перепишемо останнє у виглядi
λnI0(λ, τ, n) =
1∫
0
dx1 q eq(x1−1)
1−x1∫
0
dx2 q eq(x2−1) . . .
1−xn−1∫
0
dxn q eq(xn−1)
i введемо iнтегральний оператор
(M(q)f)(x) = q eq(x−1)
1−x∫
0
f(z)dz.
Тодi
λnI0(λ, τ, n) =
1∫
0
dx ((M(q))n−1g)(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1634 О. К. ВIДИБIДА
де g(x) = q eq(x−1). Вiдповiдно
S ≡
∞∑
n=1
λnI0(λ, τ, n) =
∞∑
n=1
1∫
0
dx ((M(q))n−1g)(x) =
= 1− e−q +
∞∑
n=2
1∫
0
dx ((M(q))n−1g)(x) =
= 1− e−q +
∞∑
n=0
1∫
0
dx ((M(q))nh)(x),
де
h(x) = (M(q)g)(x) = q e−q − q eq (x−2).
Зауважимо, що h(1) = 0 i оператор M(q) зберiгає цю властивiсть. Припустимо,
що область визначення оператора M(q), D ≡ D(M(q)), складається з обмеже-
них функцiй f(x), заданих на вiдрiзку x ∈ [0; 1]. Нехай топологiя в D задається
нормою ‖f‖ = sup
x∈[0;1]
|f(x)|, тодi оператор взяття iнтеграла по вiдрiзку [0; 1] буде
неперервним iз D в R1. Крiм того, ряд
∞∑
n=0
((M(q))nh)(x)
збiгається за нормою в D. Дiйсно, норма оператора M оцiнюється таким чином:
‖M(q)‖ = sup
‖f‖≤1
∣∣∣∣∣∣∣∣q eq(x−1)
∫ 1−x
0
f(z)dz
∣∣∣∣∣∣∣∣
‖f‖
≤ sup
x∈[0;1]
qeq(x−1)(1− x). (24)
Останнiй вираз оцiнюється числом e−q < 1. Звiдси випливає, що окремий доданок
ряду оцiнюється таким чином7 :
sup
x∈[0;1]
|((M(q))nh)(x)| = ‖((M(q))nh)‖ ≤ e−nq‖h‖,
де
‖h‖ = qe−q − qe−2q.
Отже, в останньому виразi для S можна помiняти порядок iнтегрування i пiдсумо-
вування:
S = 1− e−q +
1∫
0
dx
∞∑
n=0
((M(q))nh)(x). (25)
7 Звiдси, зокрема, випливає оцiнка λn+2I0(λ, τ, n + 2) < e−nq‖h‖, n ≤ 0, потрiбна в примiтцi
на с. 1629.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1635
Розглянемо функцiю f(x) ∈ D:
f(x) =
∞∑
n=0
((M(q))nh)(x). (26)
Тодi
S = 1− e−q +
1∫
0
f(x) dx. (27)
З викладеного вище випливає, що f(x) є обмеженою на [0; 1]. Крiм того, справд-
жується рiвняння
f −M(q)f = h,
або
f(x)− qeq(x−1)
1−x∫
0
f(y)dy = q e−q − q eq x−2 q. (28)
Останнє рiвняння розв’язане в додатку. Явний вираз f(x) для 0 < q ≤ ln(4) i для
q ≥ ln(4) задається формулами (34) i (35) вiдповiдно. Застосовуючи формули (27)
до (34) i (35), для q ≤ ln(4) отримуємо
S(q) =
s(q) sin
(
q e−q/2 s(q)
2
)
+
(
e
q
2 − 2 e−
q
2
)
cos
(
q e−q/2 s (q)
2
)
+ 1
2 e−
q
2 cos
(
q e−q/2 s(q)
2
)
+ 1
, (29)
де s(q) =
√
4− eq.
Для q ≥ ln(4) одержуємо вираз
S(q) =
−s1(q) sinh
(
q e−q/2 s1(q)
2
)
+
(
e
q
2 − 2 e−
q
2
)
cosh
(
q e−q/2 s1 (q)
2
)
+ 1
2 e−
q
2 cosh
(
q e−q/2 s1 (q)
2
)
+ 1
,
(30)
де s1(q) =
√
eq − 4. Пiсля пiдстановки одержаних для S(q) виразiв замiсть суми
ряду в (19), (22), (23) отримуємо явнi вирази для середнiх значень часу T1, T2,
T = T0 + T1 + T2, перебування нейрона у станах C1, C2 у промiжку мiж двома
послiдовними заходами у стан C0 i середню тривалiсть цього промiжку як функцiї
λ, τ. Графiки цих функцiй побудовано на рисунку. Пiдставивши знайденi функцiї
в (12), одержимо α як функцiю λ, τ. Графiки цiєї функцiї та ймовiрностей станiв
C0, C1 показано на рисунку.
Вихiдна iнтенсивнiсть залежить вiд вхiдної таким чином:
λ0 =
1− e−λτ − e−λτ S(λτ)
2− e−λτ + (1− e−λτ )S(λτ)
λ. (31)
Можна довести, що lim
τ→∞
λ0/λ = 1/3, що узгоджується з iнтуїтивним очiкуванням.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1636 О. К. ВIДИБIДА
Середнi значення часу перебування нейрона у станах C0, C1, C2
у промiжку мiж двома послiдовними заходами у стан C0
i середня тривалiсть цього промiжку, T , як функцiї λ
при τ = 1 с (а) та ймовiрностi знаходження нейрона
у станах C0, C1, C2 в будь-який момент часу (б).
Зауваження 2. Нехай p0 = T0/T , p1 = T1/T , p2 = T2/T = α — ймовiрностi
знаходження ПЗН в довiльний момент часу в станi C0, C1, C2 вiдповiдно. Знаход-
ження цих ймовiрностей для бiльш простих систем складає змiст задачi Ерланга
(див. [7] (§ 18)). У данiй роботi для ПЗН одержано бiльш детальну iнформацiю,
нiж вимагається в задачi Ерланга, зокрема значення величин Tk.
Додаток. Спочатку слiд пересвiдчитись, що рiвняння (28) має не бiльше одного
розв’язку. Для цього необхiдно i достатньо, щоб рiвняння f − M(q)f = 0 мало
лише нульовий розв’язок. Останнє випливає з оцiнки норми оператора M(q) (24).
Дiйсно, якщо f = M(q)f, то ‖f‖ = ‖M(q)f‖ ≤ e−q‖f‖. Останнє є можливим лише
для f(x) = 0. Зауважимо, що розв’язок рiвняння (28) iснує. Дiйсно, вiн задається
збiжним за нормою рядом (26). Наша мета — одержати вираз для функцiї f(x)
через елементарнi функцiї, який не мiстить пiдсумовування нескiнченного ряду.
Подiлимо рiвняння (28) на qeq(x−1) i здиференцiюємо по x:
eq(1−x) d
d x
f(x)− q eq(1−x) f(x) + q f(1− x) = −q2 e−q x, f(1) = 0. (32)
Останнє рiвняння разом з граничною умовою є еквiвалентним (28). Дiйсно, зiнтег-
руємо (32) по iнтервалу [x; 1] i використаємо граничну умову:
q
1∫
x
f(1− z) dz − eq−q x f(x) = q e−q − q e−q x.
Останнє переходить у (28) пiсля замiни змiнної iнтегрування z на 1− y.
Пiдставимо в (28) 1− x замiсть x i знайдемо з одержаного рiвняння вираз для
f(1− x):
f(1− x) = q e−q x
x∫
0
f(y) dy − q e−q x−q + q e−q.
Пiдставимо цей вираз в (32):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
ВИХIДНИЙ ПОТIК ЗВ’ЯЗУЮЧОГО НЕЙРОНА 1637
q2e−q x
x∫
0
f(y) dy + eq(1−x) d
d x
f(x)− qeq(1−x)f(x)− q2e−q x−q + q2e−q =
= −q2e−q x.
Домножимо останнє рiвняння на eq x i здиференцiюємо по x:
eq d2
d x2
f(x)− q eq d
d x
f(x) + q2 f(x) + q3 eq x−q = 0. (33)
Розв’язок останнього рiвняння має задовольняти i рiвняння (32) разом iз гранич-
ною умовою. Це дає можливiсть визначити двi довiльнi константи в загальному
розв’язку (33). Загальний розв’язок рiвняння (33) має вигляд
f(x) = eq x/2
(
K1 sin
(
q e−q/2
√
4− eq x
2
)
+
+K2 cos
(
q e−q/2
√
4− eq x
2
))
− q eq x−q
при eq ≤ 4 i
f(x) = eq x/2
(
K1 sinh
(
q e−q/2
√
eq − 4 x
2
)
+
+K2 cosh
(
q e−q/2
√
eq − 4 x
2
))
− q eq x−q
при eq ≥ 4.
Пiсля визначення констант отримаємо наступнi вирази для f(x):
f(x) = q e
q x
2 + 3 q
2
2 cos
(
q e−
q
2
√
4− eq x
2
)
2 e2 q cos
(
q e−
q
2
√
4− eq
2
)
+ e
5 q
2
−
−
√
4− eq sin
(
q e−
q
2
√
4− eq (x− 1)
2
)
2 e2 q cos
(
q e−
q
2
√
4− eq
2
)
+ e
5 q
2
+
+
e
q
2 cos
(
q e−
q
2
√
4− eq (x− 1)
2
)
2 e2 q cos
(
q e−
q
2
√
4− eq
2
)
+ e
5 q
2
− q eq x−q при eq ≤ 4, (34)
i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1638 О. К. ВIДИБIДА
f(x) = q e
q x
2 + 3 q
2
2 cosh
(
q e−
q
2
√
eq − 4 x
2
)
2 e2 q cosh
(
q e−
q
2
√
eq − 4
2
)
+ e
5 q
2
+
+
√
eq − 4 sinh
(
q e−
q
2
√
eq − 4 (x− 1)
2
)
2 e2 q cosh
(
q e−
q
2
√
eq − 4
2
)
+ e
5 q
2
+
+
e
q
2 cosh
(
q e−
q
2
√
eq − 4 (x− 1)
2
)
2 e2 q cosh
(
q e−
q
2
√
eq − 4
2
)
+ e
5 q
2
− q eq x−q при eq ≥ 4. (35)
1. Вiдибiда О. К. Гальмування як контро́ллер зв’язування на рiвнi поодинокого нейрона // Доп.
НАН України. – 1996. – № 10. – С. 161 – 164.
2. Vidybida A. K. Inhibition as binding controller at the single neuron level // BioSystems. – 1998. –
48. – P. 263 – 267.
3. Hodgkin A. L., Huxley A. F. A quantitative description of membrane current and its application to
conduction and excitation in nerve // J. Physiol. – 1952. – 125. – P. 221 – 224.
4. Segundo J. P., Perkel D., Wyman H., Hegstad H., Moore G. P. Input-output relations in computer-
simulated nerve cell // Kybernetic. – 1968. – 4. – P. 157 – 171.
5. Зарицкий А. Ф. К математической теории отображения информации в нейронных сетях // Укр.
мат. журн. – 1995. – 47, № 12. – С. 1706 – 1707.
6. Гнєденко Б. В. Курс теорiї ймовiрностей. – Київ; Львiв: Рад. шк., 1950. – 360 с.
7. Хинчин А. Я. Математические методы теории массового обслуживания // Тр. Мат. ин-та
АН СССР. – 1955. – 49. – 122 с.
8. Алимов Д. Три примера марковских функционалов // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 3. –
С. 299 – 304.
9. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука, 1974. – 120 с.
10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 т. – М.: Мир, 1967. – Т. 2.
– 752 с.
Одержано 26.04.06,
пiсля доопрацювання — 08.12.06
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
|