Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа
Доведено, що спецiальнi лiнiйнi комбiнацiї бессельових функцiй щiльнi в C^∞-топологiї в просторi функцiй з нульовими iнтегралами за кулями фiксованого радiуса в довiльнiй вiдкритiй областi U, що є підмножиною Rⁿ. Одержано узагальнення цього результату для розв’язання деяких рiвнянь згортки вигляду f...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17284 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа / Д.А. Зарайский // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-17284 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-172842011-02-25T12:04:23Z Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа Зарайский, Д.А. Математика Доведено, що спецiальнi лiнiйнi комбiнацiї бессельових функцiй щiльнi в C^∞-топологiї в просторi функцiй з нульовими iнтегралами за кулями фiксованого радiуса в довiльнiй вiдкритiй областi U, що є підмножиною Rⁿ. Одержано узагальнення цього результату для розв’язання деяких рiвнянь згортки вигляду f * T = 0, T — радiально. Розглянуто аналогiчнi результати для симетричних просторiв рангу 1. It is proved that certain linear combinations of the Bessel functions are dense in the C^∞-topology in the space of functions with zero integrals over balls of fixed radii on an arbitrary open domain U that is subset of Rⁿ. Generalizations of this result to solutions of some convolution equations of the form f * T = 0, T is radial, are obtained. Analogs for symmetric spaces of rank one are considered. 2009 Article Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа / Д.А. Зарайский // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17284 517.5 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Зарайский, Д.А. Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа |
| description |
Доведено, що спецiальнi лiнiйнi комбiнацiї бессельових функцiй щiльнi в C^∞-топологiї в просторi функцiй з нульовими iнтегралами за кулями фiксованого радiуса в довiльнiй вiдкритiй областi U, що є підмножиною Rⁿ. Одержано узагальнення цього результату для розв’язання деяких рiвнянь згортки вигляду f * T = 0, T — радiально. Розглянуто аналогiчнi результати для симетричних просторiв рангу 1. |
| format |
Article |
| author |
Зарайский, Д.А. |
| author_facet |
Зарайский, Д.А. |
| author_sort |
Зарайский, Д.А. |
| title |
Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа |
| title_short |
Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа |
| title_full |
Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа |
| title_fullStr |
Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа |
| title_full_unstemmed |
Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа |
| title_sort |
об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора лапласа |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/17284 |
| citation_txt |
Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми средними линейными комбинациями собственных функций оператора Лапласа / Д.А. Зарайский // Доп. НАН України. — 2009. — № 8. — С. 14-19. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zarajskijda obapproksimaciifunkcijsnulevymišarovymisrednimilinejnymikombinaciâmisobstvennyhfunkcijoperatoralaplasa |
| first_indexed |
2025-07-02T18:28:30Z |
| last_indexed |
2025-07-02T18:28:30Z |
| _version_ |
1836560847386705920 |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2009
Д.А. Зарайский
Об аппроксимации функций с нулевыми шаровыми
средними линейными комбинациями собственных
функций оператора Лапласа
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Доведено, що спецiальнi лiнiйнi комбiнацiї бессельових функцiй щiльнi в C∞-топологiї
в просторi функцiй з нульовими iнтегралами за кулями фiксованого радiуса в довiльнiй
вiдкритiй областi U ⊂ R
n. Одержано узагальнення цього результату для розв’язан-
ня деяких рiвнянь згортки вигляду f ∗ T = 0, T — радiально. Розглянуто аналогiчнi
результати для симетричних просторiв рангу 1.
Пусть BR — открытый шар радиуса R в R
n с центром в начале координат, BR1,R2
= {x ∈
∈ R
n : R1 < |x| < R2}, BR(x0) = {x ∈ R
n : |x − x0| 6 R}; (ρ, σ) — полярные коорди-
наты в R
n \ {0}, ρ(x) = |x|, σ(x) = x/|x|. Обозначим D′(U) — пространство распреде-
лений на открытом множестве U ⊂ R
n, снабженное ∗-слабой топологией, E ′
♮(R
n) — про-
странство радиальных (т. е. инвариантных относительно вращений) распределений на R
n
с компактными носителями. Для T ∈ E ′
♮(R
n) пусть r(T ) — радиус наименьшего замкнуто-
го шара Br(0), r > 0, содержащего suppT . Для открытого множества U ⊂ R
n положим
D′
T (U) = {f ∈ D′(U) : f ∗ T = 0 на Ur(T )}, C∞
T (U) = {f ∈ C∞(U) : f ∗ T = 0 на Ur(T )}, где
Ur = {x ∈ U : Br(x) ⊂ U} (очевидно, Ur открыто), f ∗ g — свертка f и g; область определе-
ния f ∗ T содержит Ur(T ), но не обязательно совпадает с ним. Если T = χBr — индикатор
шара, обозначим C∞
T (U) через V ∞
r (U); тогда V ∞
r (U) будет множеством функций из C∞(U)
с нулевыми интегралами по замкнутым шарам радиуса r, лежащим в U .
Пусть {Y
(k)
j (σ)}dk
j=1 — некоторый ортонормированный базис в пространстве Hk сфери-
ческих гармоник степени k на единичной сфере S
n−1 в R
n, n > 2 (см., напр., [1, § 1.5.1]).
Следуя [1], обозначим при z ∈ C \ (−∞, 0], η ∈ Z+
Φz,η,k,j(x) =
(
∂
∂z
)η Jn/2+k−1(zρ)
(zρ)n/2−1
Y
(k)
j (σ),
Ψz,η,k,j(x) =
(
∂
∂z
)η Nn/2+k−1(zρ)
(zρ)n/2−1
Y
(k)
j (σ),
где Jλ, Nλ — функции Бесселя первого и второго рода [2], и при η ∈ Z+
Φ0,η,k,j(x) = ρk+2ηY
(k)
j (σ),
Ψ0,η,k,j(x) =
ρ2η−n−k+2Y
(k)
j (σ), если n нечётно или 2η < 2k + n − 2,
(ρ2η−n−k+2 ln ρ)Y
(k)
j (σ), в противном случае.
Тогда (∆ + λ2)η+1Φλ,η,k,j = 0 на R
n и (∆ + λ2)η+1Ψλ,η,k,j = 0 на R
n \ {0} (см. [1]), ∆ —
оператор Лапласа в R
n.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
Сферическое преобразование распределения T ∈ E ′
♮(R
n) определяется равенством T̃ (z) =
= T̂ (ze) = 〈T, e−iz(·,e)〉, T̂ — преобразование Фурье–Лапласа T , e — единичный вектор в R
n.
Обозначим nλ(T̃ ) — кратность нуля λ функции T̃ , и
n(λ, T ) = nλ(T̃ ) − 1 при λ 6= 0, n(0, T ) =
n0(T̃ )
2
− 1. (1)
Пусть Z(u) — множество нулей функции u, лежащих в [0,+∞)
⋃
{λ ∈ C : Im λ > 0}. Обозна-
чим, следуя [1], N(Rn) — класс распределений T ∈ E ′
♮(R
n), T 6= 0, таких, что для λ ∈ Z(T̃ )
выполнены неравенства
| Im λ| 6 γ1 ln(2 + |λ|), |T̃ (nλ(T̃ ))(λ)| > (2 + |λ|)nλ(T̃ )−γ2 (2)
с положительными константами γ1, γ2, не зависящими от λ. Класс N(Rn) содержится в клас-
се обратимых распределений, т. е. любое распределение T ∈ N(Rn) имеет фундаменталь-
ное решение E, E ∗ T = δ0, δ0 — дельта-функция Дирака. Класс N(Rn) достаточно ши-
рок [1, § 3.2.1], он содержит, в частности, индикатор шара χBr .
Если T ∈ N(Rn), 0 6 R1 < R2 6 ∞, R2 − R1 > r(T ), f ∈ C∞(BR1,R2
), и f(x) ∼
∼
∞∑
k=0
dk∑
j=1
fk,j(ρ)Y
(k)
j (σ) — ряд Фурье по сферическим гармоникам функции f , то f прина-
длежит C∞
T (BR1,R2
) тогда и только тогда [1, теорема 3.2.6], когда
fk,j(ρ)Y
(k)
j (σ) =
∑
λ∈Z(T̃ )
n(λ,T )∑
η=0
(αλ,η,k,jΦλ,η,k,j + βλ,η,k,jΨλ,η,k,j), (3)
и аналогичное утверждение имеет место для функций на BR, R > r(T ), где в разложении (3)
присутствуют только члены с Φλ,η,k,j [1, теорема 3.2.3]. Таким образом, при T ∈ N(Rn) для
семейств
ΦT = {Φλ,η,k,j}, ΨT = {Ψλ,η,k,j},
где λ пробегает множество Z(T̃ ), η = 0, . . . , n(λ, T ), k ∈ Z+, j = 1, . . . , dk, имеем
ΦT ⊂ C∞
T (Rn), spanC∞(BR) ΦT = C∞
T (BR), ∀R > r(T ), (4)
ΨT ⊂ C∞
T (Rn \ {0}), spanC∞(Bε,∞)(ΦT
⋃
ΨT ) = C∞
T (Bε,∞), ∀ε > 0, (5)
через spanC∞(U) обозначена замкнутая линейная оболочка в C∞(U).
Если U выпукло, то из аппроксимационной теоремы [3, теорема 16.4.1] следует, что
spanC∞(U) ΦT = C∞
T (U) (см. [1, § 2.4]). В связи с этим в [1] для случая, когда T = χBr —
индикатор шара, поставлены следующие вопросы (problems 4.6–4.8):
1. Для каких областей U ⊂ R
n множество линейных комбинаций функций
Φ1,0,k,l
(
νmx
r
)
, k ∈ Z+, l = 1, . . . , dk, m ∈ N, (6)
где νm, m ∈ N, — положительные корни Jn/2, плотно в V ∞
r (U) в C∞-топологии?
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 15
2. Пусть r > 0, R2 − 2r > R1 > 0, ν > 0 — ноль функции Jn/2. Верно ли тогда, что
функция N(n−2)/2(ν|x|/r) является пределом в C∞(BR1,R2
) последовательности линейных
комбинаций функций (6)?
3. Для каких областей U ⊂ R
n множество линейных комбинаций функций
c1Φ1,0,k,l
(
νmx
r
)
+ c2Ψ1,0,k,l
(
νm(x − h)
r
)
,
k ∈ Z+, l = 1, . . . , dk, m ∈ N, c1, c2 ∈ C, h ∈ R
n \ U,
(7)
плотно в V ∞
r (U) в C∞-топологии?
По теореме 1 настоящей работы (см. ниже) линейные комбинации функций (7) плотны
в V ∞
r (U) для произвольной области U . Если дополнение U связно, то также и линейные
комбинации функций вида (6) плотны в V ∞
r (U). Теорема 2 дает примеры областей U , для
которых линейные комбинации функций (6) не плотны в V ∞
r (U), и отрицательный ответ
на второй вопрос.
1. Случай евклидова пространства. Для a ∈ R
n положим τaf = f(· − a), ΨT,a =
= τaΨT = {f(· − a) : f ∈ ΨT }. Имеет место следующий результат:
Теорема 1. Пусть T ∈ N(Rn), n > 2, U ⊂ R
n открыто, A ⊂ R
n \ U — множество,
пересекающееся с каждой ограниченной компонентой связности R
n \ U . Тогда
spanC∞(U)
(
ΦT
⋃ ⋃
a∈A
ΨT,a
)
= C∞
T (U),
т. е. линейные комбинации функций Ψλ,η,k,j(· − a) и Φλ,η,k,j(·), λ ∈ Z(T̃ ), 0 6 η 6 n(λ, T ),
k ∈ Z+, 1 6 j 6 dk, a ∈ A, плотны в множестве C∞
T (U) в топологии пространства
C∞(U).
Заметим, что теорема 1 остается в силе для любых семейств ΦT , ΨT , удовлетворяю-
щих (4), (5), и распределения T ∈ E ′
♮(R
n), имеющего фундаментальное решение.
Доказательство теоремы 1 использует идею доказательства теоремы Рунге для диффе-
ренциального оператора [3, теорема 4.4.5], при этом вместо теоремы единственности для
вещественно-аналитических функций применяется теорема единственности для решений
уравнения свертки вида f ∗ T = 0, T ∈ E ′
♮(R
n) [1, теорема 3.2.1].
Теорема 2. Пусть T ∈ E ′
♮(R
n), n > 2, T 6= 0, U ⊂ R
n открыто, V — объединение U
и некоторого семейства ограниченных компонент связности множества R
n \ Ur(T ) (оче-
видно, V открыто). Тогда:
(i) если T имеет фундаментальное решение E, E ∗ T = δ0, и f ∈ D′(U) аппроксимиру-
ется в ∗-слабой топологии пространства D′(U) распределениями из D′
T (V ), то и само f
продолжается до распределения из D′
T (V ), причем единственным образом;
(ii) если λ ∈ Z(T̃ ), Ψλ — решение уравнения (∆+λ2)n(λ,T )+1f = 0 на U , не продолжаю-
щееся до решения этого уравнения на V , то Ψλ не лежит в замкнутой линейной оболочке
в D′(U) ограничений на U функций из D′
T (V ) и решений уравнений (∆ + µ2)n(µ,T )+1f = 0
на U , µ ∈ Z(T̃ ) \ {λ}.
2. Случай некомпактного симметрического пространства ранга один. Здесь
обозначим X = G/K — симметрическое пространство некомпактного типа ранга один,
o = eK ∈ X — отмеченная точка. Пусть E ′
♮(X) — пространство инвариантных относитель-
но K распределений на X с компактными носителями. Для открытого множества U ⊂ X
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
обозначим f × T свертку распределений f ∈ D′(U) и T ∈ E ′
♮(X), D′
T (U) — множество
f ∈ D′(U) таких, что f ×T = 0 на Ur(T ), где r(T ) и Ur определяются так же, как и в евкли-
довом случае, C∞
T (U) = D′
T (U)
⋂
C∞(U). Пусть G = KAN — разложение Ивасавы, M —
централизатор A в K, K̂M — множество представлений δ группы K таких, что существует
инвариантный относительно группы M ⊂ K ненулевой вектор. Множество a
∗
C комплексных
линейных функционалов на алгебре Ли a группы A посредством формы Киллинга стан-
дартным образом отождествляется с C, пусть ρ ∈ a
∗
C — полусумма положительных корней
с учетом кратности [4, гл. I]. При T ∈ E ′
♮(X) обозначим через T̃ (λ) сферическое преобра-
зование распределения T , λ ∈ a
∗
C [4, гл. IV]. Аналогично евклидову случаю, пусть N(X) —
множество распределений T ∈ E ′
♮(X), T 6= 0, для которых выполнено (2), и n(λ, T ) опре-
делим формулой (1). При λ ∈ C, η ∈ Z+, δ ∈ K̂M , j = 1, . . . , d(δ) можно определить
функции Φλ,η,δ,j ∈ C∞(X), Ψλ,η,δ,j ∈ C∞(X \ {o}) такие, что при T ∈ N(X) для семейств
ΦT = {Φλ,η,δ,j}, ΨT = {Ψλ,η,δ,j}, где λ пробегает множество Z(T̃ ), 0 6 η 6 n(λ, T ), δ ∈ K̂M ,
1 6 j 6 d(δ), выполнены аналоги соотношений (4), (5) (см. [5, ч. 2]). Для a ∈ G положим
τaf = f(a−1·), ΨT,a = τaΨT = {f(a−1·) : f ∈ ΨT }.
Теорема 3. Пусть T ∈ N(X), U ⊂ X открыто, A ⊂ G — множество такое, что A·o ⊂
⊂ X \U , и A · o пересекается с каждой компактной компонентой связности множества
X \ U . Тогда
spanC∞(U)
(
ΦT
⋃ ⋃
a∈A
ΨT,a
)
= C∞
T (U).
Теорема 4. Пусть T ∈ E ′
♮(X), T 6= 0, U ⊂ X открыто, V — объединение U и некоторого
семейства компактных компонент связности множества X \ Ur(T ). Тогда:
(i) если T обладает фундаментальным решением E ∈ D′(X), E × T = δo, и f ∈ D′(U)
аппроксимируется в ∗-слабой топологии D′(U) распределениями из D′
T (V ), то и само f
единственным образом продолжается до распределения из D′
T (V );
(ii) пусть L — оператор Лапласа–Бельтрами на X. Если λ ∈ Z(T̃ ), Ψλ — решение
уравнения (L + |ρ|2 + λ2)n(λ,T )+1f = 0 на U , не продолжающееся до его решения на V ,
то Ψλ не лежит в замкнутой линейной оболочке в D′(U) ограничений на U функций из
D′
T (V ) и решений уравнений (L + |ρ|2 + µ2)n(µ,T )+1f = 0 на U , µ ∈ Z(T̃ ) \ {λ}.
3. Случай компактного симметрического пространства ранга один. Аналоги-
чные результаты имеют место для симметрического пространства X = G/K компактного
типа ранга один. Будем считать, что диаметр X равен π/2. Пусть o — отмеченная точка,
инвариантная относительно действия группы K, Ant o = {x ∈ X : distX(x, o) = π/2} — ан-
типодальное многообразие. Следуя [5, ч. 3], обозначим X = X \Ant o и отождествим X с R
aX
со специальным образом заданной римановой метрикой, явный вид метрики см. в [5]. При
этом отождествлении o соответствует начало координат и distX(x, o) = arctg |x|, x ∈ X. Для
x ∈ X \ {o} обозначим ̺(x) = |x| = tg distX(x, o), σ(x) = x/|x|. Далее, E ′
♮(X) — пространс-
тво инвариантных относительно K распределений на X с носителями, содержащимися в X,
T̃ — сферическое преобразование T ∈ E ′
♮(X) [5]. Если T ∈ E ′
♮(X), то n(λ, T ), r(T ), а так-
же Ur, C∞
T (U) и D′
T (U) для открытого U ⊂ X определяются таким же образом, как и
в евклидовом и некомпактном случаях. При определении фундаментального решения E
распределения T ∈ E ′
♮(X), E × T = δo, мы предполагаем, что E определено на всем X,
включая антиподальное многообразие, т. е. |T̃ (ρX + 2l)| > C(l + 1)−γ для некоторых C > 0,
γ > 0, не зависящих от l ∈ Z+, где ρX = n − 1, если X = S
n, ρX = (n − 1)/2, если X = P
n
R,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 17
ρX = n, если X = P
n
C, ρX = 2n + 1, если X = P
n
H, и ρX = 11, если X = P
2
Ca. Пространс-
тво сферических гармоник степени k ∈ Z+ на единичной сфере в R
aX распадается в сумму
пространств Hk,m, m = 0, . . . ,MX(k) (см. [5]), пусть {Y k,m
j (σ)}
dk,m
X
j=1 — некоторый ортонор-
мированный базис в Hk,m. Для λ ∈ C, η ∈ Z+ можно определить гладкие на X функции
Φλ,η,k,m,j(x) = Φλ,η,k,m(̺(x))Y k,m
j (σ(x)) (см. [5]). При T ∈ E ′
♮(X), T 6= 0, обозначим ΦT семей-
ство {Φλ,η,k,m,j}, где λ ∈ Z(T̃ ), η = 0, . . . , n(λ, T ), k ∈ Z+, m = 0, . . . ,MX(k), j = 1, . . . , dk,m
X .
Построенные в [5] функции Ψλ,η,k,m,j ∈ C∞(X \ {o}), вообще говоря, не продолжаются
гладким образом на X \ {o}. Если X 6= P
n
R, то для z ∈ C, как и в [5] при определении
функций Φλ,η,k,m,j, обозначим A = (ρX +z)/2+k−m, B = (ρX −z)/2+k−m, C = k+aX/2.
Положим при X 6= P
n
R для η, k ∈ Z+, m ∈ {0, . . . ,MX(k)}, ̺ ∈ (0,∞)
Ξz,η,k,m(̺) =
(
d
dz
)κ(
̺k(1 + ̺2)m−kF
(
A,B;A + B + 1 − C;
1
1 + ̺2
))
,
где κ = η при z 6= 0, κ = 2η при z = 0, а F — гипергеометрическая функция Гаус-
са [2]. Определим на X \ {o} функцию Ξλ,η,k,m,j(x) = Ξλ,η,k,m(̺(x))Y k,m
j (σ(x)). Тогда можно
показать, что Ξλ,η,k,m,j продолжается по непрерывности на Ant o и является гладкой фун-
кцией на X \ {o}. Кроме того, (L − ρ2
X + λ2)η+1Ξλ,η,k,m,j = 0 на X \ {o}, где L — оператор
Лапласа–Бельтрами на X. Аналогичные функции Ξλ,η,k,m,j (несколько более громоздким
образом) можно определить и для X = P
n
R. При T ∈ E ′
♮(X), T 6= 0, пусть ΞT = {Ξλ,η,k,m,j}, где
λ пробегает множество Z(T̃ ), η = 0, . . . , n(λ, T ), k ∈ Z+, m = 0, . . . ,MX(k), j = 1, . . . , dk,m
X ;
тогда ΞT ⊂ C∞
T (X \ {o}). Обозначим ΞT,a = {f(a−1·) : f ∈ ΞT}, a ∈ G. Следующие резуль-
таты являются аналогами теорем 1–4 для компактного случая.
Теорема 5. Пусть T ∈ E ′
♮(X) имеет фундаментальное решение E, U ⊂ X открыто,
A ⊂ G — множество такое, что A ·o ⊂ X \U , и A ·o пересекается с каждой компонентой
связности X \ U . Тогда
spanC∞(U)
⋃
a∈A
ΞT,a = C∞
T (U).
Следствие. Пусть T ∈ E ′
♮(X) обладает фундаментальным решением, U ⊂ X открыто,
A ⊂ G — множество такое, что A · o ⊂ X \ U , и Ant o
⋃
A · o пересекается с каждой
компонентой связности X \ U . Тогда
spanC∞(U)
(
ΦT
⋃ ⋃
a∈A
ΞT,a
)
= C∞
T (U).
Теорема 6. Пусть T ∈ E ′
♮(X), T 6= 0, U ⊂ X открыто, V — объединение U и некоторого
семейства компонент связности X \ Ur(T ) (очевидно, V открыто). Тогда:
(i) если у T имеется фундаментальное решение и f ∈ D′(U) аппроксимируется в ∗-сла-
бой топологии D′(U) распределениями из D′
T (V ), то и само f продолжается до распреде-
ления из D′
T (V ), причем единственным образом;
(ii) если λ ∈ Z(T̃ ) \ (ρX + 2Z+), Ψλ — решение уравнения (L − ρ2
X + λ2)n(λ,T )+1f = 0
на U , не продолжающееся до решения этого уравнения на V , то Ψλ не принадлежит
замкнутой линейной оболочке в D′(U) ограничений на U функций из D′
T (V ) и решений
уравнений (L − ρ2
X + µ2)n(µ,T )+1f = 0 на U , µ ∈ Z(T̃ ) \ {λ}.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №8
1. Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer, 2003. –
454 p.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – Москва: Наука. – Т. 1. – 1973. – 296 с.;
Т. 2. – 1974. – 296 с.
3. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. – Моск-
ва: Мир. – Т. 1. – 1986. – 464 с.; Том 2. – 1986. – 456 с.
4. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – Москва: Мир, 1987. – 736 с.
5. Volchkov V.V., Volchkov Vit. V. Uniqueness theorems and descriptions of solutions for convolution equati-
ons on symmetric spaces and for the twisted convolution equation on C
n
. – Донецк: Изд-во Донецк. нац.
ун-та, 2005. – 82 с.
Поступило в редакцию 23.12.2008Институт прикладной математики и механики
НАН Украины, Донецк
D.A. Zaraisky
On the approximation of functions with zero ball means by linear
combinations of the Laplace operator eigenfunctions
It is proved that certain linear combinations of the Bessel functions are dense in the C∞-topology
in the space of functions with zero integrals over balls of fixed radii on an arbitrary open domain
U ⊂ R
n. Generalizations of this result to solutions of some convolution equations of the form
f ∗ T = 0, T is radial, are obtained. Analogs for symmetric spaces of rank one are considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №8 19
|