Про практичний спосіб визначення довжини еліпса
Описано практичний і високоточний спосіб визначення довжини еліпса, який не потребує використання таблиць для еліптичних інтегралів другого роду в формі Лежандра. На основі прийнятого авторами постулату, що еліпс є проєкцією кола, виведено нову універсальну формулу обчислення довжини еліпса. Оскільк...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173198 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про практичний спосіб визначення довжини еліпса / Є.П. Устянич, А.Є. Устянич // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 10-18. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-173198 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1731982020-11-26T01:27:04Z Про практичний спосіб визначення довжини еліпса Устянич, Є.П. Устянич, А.Є. Математика Описано практичний і високоточний спосіб визначення довжини еліпса, який не потребує використання таблиць для еліптичних інтегралів другого роду в формі Лежандра. На основі прийнятого авторами постулату, що еліпс є проєкцією кола, виведено нову універсальну формулу обчислення довжини еліпса. Оскільки еліпс є проєкцією кола, нахиленого під довільним кутом до площини, то рівняння довжини еліпса аналітич но і функціонально пов'язане з рівнянням довжини кола. Лінія проєкції кола являє собою “подвійну” і неперервну криву Жордана, при цьому співвідношення довжин осей еліпса (проєкції кола) зменшується від 1 до 0. Якщо мала вісь дорівнює 0, то довжина “подвійної” лінії проєкції дорівнює подвійному діаметру кола. Збільшуючи кут нахилу, “подвійна” лінія проєкції кола роздвоюється, формуючи еліпс, співвідношення осей якого збільшується від 0, якщо α = 90°, до 1 у випадку α = 180°. Таким чином, основним параметром запропонованого розрахунку є співвідношення довжин півосей еліпса. Це дало змогу вивести нелінійне рівняння розрахунку довжини еліпса з високою точністю в усьому інтервалі зміни відношення його осей. The article presents a practical highly accurate way to determine the length of an ellipse, which does not require the use of tables for elliptical integrals of the second kind in the Legendre form. On the basis of the postulate accepted by the authors that the ellipse is a projection of a circle, a new universal formula for calculating the length of the ellipse is derived. Since the ellipse is a projection of a circle inclined at an arbitrary angle to the plane, the equation of the length of the ellipse is analytically and functionally related to the equation of the length of the circle. The line of projection of a circle is a “double” and continuous Jordan curve, and the ratio of the lengths of the axes of the ellipse (projection of the circle) decreases from 1 to 0. If the small axis is zero, the length of the “double” line of projection is twice the diameter of the circle. Increasing the angle of inclination, the “double” line of projection of the circle bifurcates, forming an ellipse, the ratio of the axes of which increases from zero, at α = 90°, to one, at an angle of α = 180°. Thus, the main parameter of the proposed calculation is the ratio of the lengths of the semiaxes of the ellipse. This allowed us to derive a nonlinear equation for calculating the length of the ellipse with high accuracy over the entire range of changes in the ratio of its axes. 2020 Article Про практичний спосіб визначення довжини еліпса / Є.П. Устянич, А.Є. Устянич // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 10-18. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.010 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173198 514 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Устянич, Є.П. Устянич, А.Є. Про практичний спосіб визначення довжини еліпса Доповіді НАН України |
| description |
Описано практичний і високоточний спосіб визначення довжини еліпса, який не потребує використання таблиць для еліптичних інтегралів другого роду в формі Лежандра. На основі прийнятого авторами постулату, що еліпс є проєкцією кола, виведено нову універсальну формулу обчислення довжини еліпса. Оскільки еліпс є проєкцією кола, нахиленого під довільним кутом до площини, то рівняння довжини еліпса
аналітич но і функціонально пов'язане з рівнянням довжини кола. Лінія проєкції кола являє собою “подвійну”
і неперервну криву Жордана, при цьому співвідношення довжин осей еліпса (проєкції кола) зменшується
від 1 до 0. Якщо мала вісь дорівнює 0, то довжина “подвійної” лінії проєкції дорівнює подвійному діаметру
кола. Збільшуючи кут нахилу, “подвійна” лінія проєкції кола роздвоюється, формуючи еліпс, співвідношення
осей якого збільшується від 0, якщо α = 90°, до 1 у випадку α = 180°. Таким чином, основним параметром
запропонованого розрахунку є співвідношення довжин півосей еліпса. Це дало змогу вивести нелінійне рівняння розрахунку довжини еліпса з високою точністю в усьому інтервалі зміни відношення його осей. |
| format |
Article |
| author |
Устянич, Є.П. Устянич, А.Є. |
| author_facet |
Устянич, Є.П. Устянич, А.Є. |
| author_sort |
Устянич, Є.П. |
| title |
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса |
| title_short |
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса |
| title_full |
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса |
| title_fullStr |
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса |
| title_full_unstemmed |
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса |
| title_sort |
про практичний спосіб визначення довжини еліпса |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2020 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173198 |
| citation_txt |
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса / Є.П. Устянич, А.Є. Устянич // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 10-18. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT ustâničêp propraktičnijsposíbviznačennâdovžinielípsa AT ustâničaê propraktičnijsposíbviznačennâdovžinielípsa |
| first_indexed |
2025-07-15T09:43:55Z |
| last_indexed |
2025-07-15T09:43:55Z |
| _version_ |
1837705604903206912 |
| fulltext |
10
Ц и т у в а н н я: Устянич Є.П., Устянич А.Є. Про практичний спосіб визначення довжини еліпса. Допов.
Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9. С. 10–18. https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.010
Однією з вельми популярних замкнутих алгебраїчних кривих на площині є еліпс (див. [1] і
бібліографію там).
Вивчення властивостей еліпса сягає ще часів Евкліда і започатковане в працях Аппо-
ло нія Пергського (див. [2, с. 32]). Зокрема, було встановлено рівняння конічних перети-
нів 2 22
p
y px x
a
= − , де p — параметр конічного перерізу. Якщо 0
p
a
< , це є рівняння еліпса
в системі прямокутних координат, осями якої є вісь симетрії еліпса, що містить його вели-
чину, вісь і дотична до еліпса в лівому кінці великої осі.
Детальна характеристика еліпса міститься в багатьох роботах з геометрії (див., на-
приклад, [1] і бібліографію там). Застосування виробів еліптичної форми в різних галу-
зях промисловості представлено в публікаціях [4, 5].
Метою цієї роботи є розробка практичного способу визначення довжини контуру еліп-
са за характерними лінійними параметрами, наприклад, довжинами осей (півосей) еліпса,
або коефіцієнтом стиску еліпса і довжиною однієї з його осей.
ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9: 10—18
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.010
УДК 514
Є.П. Устянич, А.Є. Устянич
Технофарм, інкорп., Торонто, Канада
E-mail: austyanich@gmail.com
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса
Представлено академіком НАН України А.А. Мартинюком
Описано практичний і високоточний спосіб визначення довжини еліпса, який не потребує використання та-
блиць для еліптичних інтегралів другого роду в формі Лежандра. На основі прийнятого авторами пос-
тулату, що еліпс є проєкцією кола, виведено нову універсальну формулу обчислення довжини еліпса. Ос-
кільки еліпс є проєкцією кола, нахиленого під довільним кутом до площини, то рівняння довжини еліпса
аналітич но і функціонально пов’язане з рівнянням довжини кола. Лінія проєкції кола являє собою “подвійну”
і неперервну криву Жордана, при цьому співвідношення довжин осей еліпса (проєкції кола) зменшується
від 1 до 0. Якщо мала вісь дорівнює 0, то довжина “подвійної” лінії проєкції дорівнює подвійному діаметру
кола. Збільшуючи кут нахилу, “подвійна” лінія проєкції кола роздвоюється, формуючи еліпс, співвідношення
осей якого збільшується від 0, якщо α = 90°, до 1 у випадку α = 180°. Таким чином, основним параметром
запропонованого розрахунку є співвідношення довжин півосей еліпса. Це дало змогу вивести нелінійне рівнян-
ня розрахунку довжини еліпса з високою точністю в усьому інтервалі зміни відношення його осей.
Ключові слова: еліпс, формула для визначення довжини.
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса
1. Еліпс як проєкція кола. Бу де-
мо розглядати еліпс як проєкцію ко-
ла на площину (рисунок). Залежно
від кута нахилу α проєкція кола має
форму еліпса, співвід ношення осей
(півосей) якого може змінюватися
від 1 до 0. Якщо коло “лежить” на пло-
щині ( 0α = ), то проєкція цього кола
теж має форму кола такого ж діа мет-
ра. Якщо коло, що лежить на площи-
ні, піднімати за один край (А), збіль-
шуючи кут нахилу до площини від
0 до 90°, то проєкція кола змінюєть-
ся — “стискається” від форми кола
до лінії, довжина якої дорівнює діа-
метру кола.
Ця лінія проєкції кола “подвій-
на” і неперервна (замкнена сама на
себе), оскіль ки на неї спроєктовано
дві половини кола, що розміщені по
обидва боки від гори зонтально розмі щеного діаметра. При цьому співвідношення осей
еліпса (проєкції кола) зменшується від 1 до 0. Якщо мала вісь стає рівною нулю, то дов-
жина “подвійної” лінії проєкції дорівнює подвійному діаметру кола. Отже, у випадку 90α = °
до жина еліпса
Le = 2d = 4a. (1)
Зі збільшенням кута нахилу від 90 до 180° “подвійна” лінія проєкції кола роздвоює-
ться, формуючи еліпс, співвідношення осей якого збільшується від 0, якщо 90α = °, до 1 у
випадку 180α = ° (у радіанній мірі до значення π ). При цьому коло проєктується на пло-
щину з протилежного боку від осі повороту.
Оскільки еліпс є проєкцією кола, нахиленого під довільним кутом до площини, то рівнян-
ня довжини еліпса Le аналітично (функціонально) пов’язане з рівнянням довжини кола
)( (2 )e kL f L f R= = π . (2)
Запишемо рівняння довжини кола у такій формі:
( )kL d R R= π = π + . (3)
Аналогічно запишемо рівняння для визначення довжини еліпса через середній діаметр
еліпса, тобто через суму його півосей:
( )eL d a b= π = π + . (4)
З аналізу рівняння (4) маємо:
Схема побудови еліпса, як проєкції кола А—D—B—C діаме-
тром 2а, на горизонтальну і вертикальну площини
12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9
Є.П. Устянич, А.Є. Устянич
якщо b a= , то
( ) 2e kL a a a L= π + = π = , (5)
якщо 0b = , то
1
( 0)
2e kL a a L= π + = π = . (6)
Як бачимо, з рівняння (4) отримуємо точний результат (5) лише у випадку b a= , тоб-
то коли еліпс набуває форми кола. Якщо 0b = , максимальна абсолютна похибка резуль-
тату розрахунку довжини еліпса (6) за рівнянням (4): ( 0)eL a a= π + = π і дійсним значен-
ням довжини еліпса (проєкції кола) за рівнянням (1) становить:
4 (4 )eL a a aΔ = − π = − π . (7)
У відносних одиницях максимальна похибка розрахунку за рівняннями (1) і (4), як-
що 0b = , становить 21,46 %.
Такий результат не може бути прийнятним для практичного застосування, тому рів-
няння (4) потребує корегування.
2. Лінійне рівняння довжини еліпса. Похибка розрахунку довжини еліпса (проєкції
кола) зростає поступово від нуля до максимального значення max (4 )eL aΔ = − π зі збіль-
шенням кута нахилу кола α від 0° до 90° (див. рисунок). Це свідчить про те, що ця по-
хибка має систематичний характер, залежить від кута нахилу кола і збільшується обер-
нено пропорційно збільшенню кута нахилу. Для компенсації похибки в рівняння (4) вво-
димо поправку.
Як видно на рисунку, ця поправка повинна враховувати обернену пропорційність сис-
тематичної похибки залежно від косинуса кута нахилу кола без врахування нелінійності
цієї похибки.
1. Обернену пропорційність виражаємо змінною величиною (1 cos− α ).
2. Приймаємо за вісь повороту горизонтальний діаметр кола 2C D a− = , кут нахилу від-
раховуємо відносно горизонтальної площини, що проходить через цей діаметр.
3. Виражаємо в радіанній мірі максимальний сумарний діапазон зміни кута нахилу лі-
вого і правого півкола max2 2 90 180α = ⋅ ° = ° = π .
4. Відносимо максимальну систематичну похибку розрахунку довжини еліпса maxeLΔ
до сумарного кута нахилу лівого і правого півкола max2α = π з врахуванням оберненої про-
порційності зміни похибки.
5. У рівняння вводимо коефіцієнт “стиску”, який являє собою співвідношення осей (пів-
осей) еліпса /b a і споріднений з колом через кут нахилу.
6. Виражаємо малу піввісь еліпса b через велику піввісь a і їх співвідношення. Тоді рів-
няння довжини еліпса запишемо так:
⎡ ⎤Δ ⎡ ⎤− π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π + + − α = π + + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠α π⎣ ⎦⎣ ⎦
max
max
(4 )
( ) (1 cos ) 1 .
2
e
e
L b a b
L a b a a
a a
(8)
13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса
Ввівши заміну cos
b
a
= λ = α (див. рисунок 1) і виконавши дії, одержимо лінійне рівнян-
ня для визначення довжини еліпса, яке (залежно від вихідних даних) запишемо у вигляді
(4 )
(1 ) (1 ) ;
4
(1 ) 2 ;
4
1 2 .
eL a
b b
a a
⎧ − π⎡ ⎤+ λ + − λ⎪⎢ ⎥π⎣ ⎦⎪
⎪⎪⎡ ⎤= π − λ + λ⎨⎢ ⎥π⎣ ⎦⎪
⎪⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠π⎪⎣ ⎦⎩
(9)
Рівняння (9) включає три форми запису, які рівносильні і випливають із рівняння (8).
Усі три вирази у рівнянні (9) рівні між собою, а постійна величина aπ визначає довжину
півкола, побудованого на великій осі еліпса.
Спорідненість рівняння (9) для визначення довжини еліпса і рівняння довжини кола
( 2 )kL a= π , побудованого на великій осі еліпса як на діаметрі, запишемо у вигляді добутку
довжини кола, помноженого на змінний коефіцієнт, який залежить від відношення півосей
еліпса
b
a
. Для цього скористаємося будь-якою формою запису рівняння (9). Винісши двій-
ку за квадратні дужки, згрупуємо подібні члени у квадратних дужках і введемо заміну
b
a
= λ,
одержимо
2 2 2
2 1 2 1e
b b
L a a
a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π − + = π + − λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠π π π⎣ ⎦ ⎣ ⎦
. (10)
Отже, лінійне рівняння довжини еліпса, виражене через довжину кола і змінний коефі-
цієнт, що залежить від відношення осей (півосей) еліпса, має вигляд
2 2
2 1еL a
⎡ ⎤⎛ ⎞= π + − λ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠π π⎣ ⎦
. (11)
Як випливає з (11), вираз (2 )aπ визначає довжину кола, побудованого на великій осі
еліпса (2 )a , а вираз у квадратних дужках
2 2
1
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − λ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠π π⎣ ⎦
являє собою змінний коефіцієнт,
числове значення якого змінюється від 1 до
2⎛ ⎞
⎜ ⎟π⎝ ⎠
при зміні співвідношення
b
a
⎛ ⎞λ =⎜ ⎟⎝ ⎠
від 1 до 0.
Одержане лінійне рівняння (11) для визначення довжини еліпса рівносильне всім трьом
формам запису рівняння (9).
Результати обчислення довжини еліпса за рівняннями (9) та (11) у випадку гранич-
них значень відношення півосей еліпса
b
a
= λ . Якщо b a= , то, згідно із будь-якою формою
запису (9) або рівняння (11), одержимо
2 2 2
2 1 2 1 2e
b b
L a a a
a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π − + = π + − λ = π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥π π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9
Є.П. Устянич, А.Є. Устянич
Якщо 0b = , то
2 2 2
2 1 2 1 4e
b b
L a a a
a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π − + = π + − λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥π π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Як бачимо, обчислення довжини еліпса за рівняннями (9) та (11) дає точний резуль-
тат (похибка розрахунку згідно з (1) та (5) дорівнює нулю) у випадку граничних значень
зміни відношення
b
a
= λ .
Однак у міру віддалення відношення
b
a
= λ від граничних значень систематична по-
хибка (похибка методу) нелінійно зростає від нуля до максимального значення, який ста-
новить приблизно 6 % у середині інтервалу зміни λ . Відповідно, результат розрахунку дов-
жини еліпса за рівняннями (9) та (11) еквівалентно завищений у точках інтервалу, що
віддалені від граничних значень λ .
3. Нелінійне рівняння довжини еліпса. З метою підвищення точності розрахунку до-
вжини еліпса за рівнянням (11) в усьому інтервалі між граничними значеннями спів від-
ношення
b
a
= λ необхідно виключити (звести до мінімуму) систематичну похибку, похиб-
ку методу, максимальне значення якої має місце всередині інтервалу зміни відношення
пів осей еліпса.
Для цього потрібно розглядати нелінійне рівняння таким чином, щоб гладка крива роз-
в’язку цього рівняння давала точний результат щонайменше у трьох точках інтервалу зміни
b
a
⎛ ⎞λ =⎜ ⎟⎝ ⎠
: у двох граничних 1λ = і 0λ = та середньому значенні 0,5λ = .
У рівнянні (11) змінною величиною є співвідношення λ і від його значення нелінійно
залежить величина систематичної похибки. Перепишемо це рівняння у вигляді показниково-
степеневої функції і розкриємо степінь нелінійності систематичної похибки:
2 2
2 1 ( )k
eL a
⎡ ⎤⎛ ⎞= π + − λ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠π π⎣ ⎦
. (12)
Якщо показник степеня k при змінній основі λ дорівнює одиниці, то рівняння (12)
стає лінійним і аналогічне рівнянню (11), а результат розрахунку буде включати в себе мак-
симальну похибку, яка становить ≈ 6 %.
Щоб виключити похибку розрахунку довжини еліпса при середньому значенні
0 max 0 1
0,5
2 2
λ + λ +λ = = = , потрібно:
по-перше, обчислити або визначити будь-яким відомим високоточним способом до-
вжину еліпса eL при середньому значенні 0,5λ = ;
по-друге, визначити показник степеня k при основі λ у середній точці інтервалу зміни
0,5
b
a
⎛ ⎞λ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса
Визначаємо довжину еліпса в середині інтервалу значень відношення 0,5
b
a
= λ = при
значенні півосей еліпса 1a = ; 0,5b = .
У рівняння (12) підставляємо значення довжини еліпса при 1a = ; 0,5b = ; 0,5
b
a
= λ = і
визначаємо показник степеня k:
2 2 2
2 1 ( ) 4 2 1 ( ) 4,844224047k k
eL
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π + − λ = + π − λ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠π π π⎣ ⎦
.
Звідси
− −λ = = =
⎛ ⎞π −⎜ ⎟⎝ ⎠π
4 4,844224047 4
( ) 0,36975713
2 2,283185307
2 1
k eL
,
і
lg( ) lg 0,36975713 lg( )k kλ = = λ .
Показник степеня
lg 0,36975713
1,435350127 1,435350
lg( 0,5)
k = = ≈
λ =
.
Визначення довжини еліпса з високою точністю в усьому інтервалі зміни відношення
його осей здійснюємо за формулою, яка має загальний вигляд
2 2
2 1
k
e
b
L a
a
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= π + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠π π⎢ ⎥⎣ ⎦
; (13)
де 0 1
b
a
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
� � .
Тут 1,44k < (для точного розрахунку) і 1k� (для наближеного розрахунку, з макси-
мальною похибкою ~6 %).
Формула (13) захищена патентом України (див. [3]).
4. Розрахунок довжини еліпса eL за універсальною формулою (13). Результати
розрахунку довжини еліпса Le. Довжину еліпса eL обчислюємо для усього інтервалу
зміни відношення півосей 0 ( / ) 1b a = λ� � за формулою (13).
Проаналізуємо похибки обчислень за формулою (13) у граничних точках інтервалу
зміни відношення півосей λ .
Обчислення здійснюємо при значенні великої півосі еліпса 1a = , враховуючи, що у
випадку 1λ = еліпс вироджується в коло радіусом R a= , притому довжина еліпса eL до-
рівнює довжині кола kL , побудованого на великій осі еліпса, як на діаметрі. Згідно з ре-
зультатами обчислень, для граничних точок 1λ = і 0λ = знаходяться похибки абсолютні
eLΔ і відносні (%)eLΔ :
16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9
Є.П. Устянич, А.Є. Устянич
Δ Δ
Δ Δ
λ = = π = π = = Δ = − = Δ =
Δ Δ
Δ Δ
1 1 1(%)
2 2 2(%)
1; 3 2 2 ; 3 0; 3(%) 0%
4 4 4(%)
5 5 5(%)
e e e
e e e
e e k e e k e
e e e
e e e
L L L
L L L
L a R L L L L L L
L L L
L L L
.
Як бачимо значення довжини еліпса ( 1 5e eL L− ), обчислені за формулою (13) з по-
каз ником 1k = і 1,435350k = , збігаються в точці 1λ = , абсолютна похибка e e kL L LΔ = − до-
рівнює нулю і, відповідно, відносна похибка (%) 100e
e
e
L
L
L
Δ
Δ = , виражена у відсотках, теж
дорівнює нулю.
Аналогічно знаходимо похибку в другій граничній точці 0λ = , у якій еліпс вироджуєть-
ся в подвійну лінію, довжина якої дорівнює подвоєній довжині великої осі еліпса, тобто 4а:
≈ Δ ≈ Δ ≈ −
≈ Δ ≈ − Δ ≈
Δ
λ = ≈ Δ = − = Δ ≈ Δ = = Δ ≈ −
= Δ = Δ =
= Δ = Δ =
1 3,993143738 1 0,00686 1(%) 0,17
2 4,71238898 2 0,712389 2(%) 17,81
0; 3 3,992440664 ; 4 3 0,00756 ; (%) 100 3(%) 0,19
4
4 4 4 0 4(%) 0
5 4 5 0 5(%) 0
e e e
e e e
e
e e e e e e
e e e
e e e
L a L L
L a L L
L
L a L a L L L L
a
L a L L
L a L L
.
Як видно з аналізу, довжина еліпса eL у точці 0λ = , обчислена за формулою (13), у
випадку 1k = , ( 4 ( ))eL f= λ — залежність лінійна, і у випадку 1,435350k = , ( 5 ( ))eL f= λ —
залежність нелінійна, збігається з дійсним значенням довжини еліпса, оскільки абсолют-
на та відносна похибки в цій точці дорівнюють нулю.
Крива 5eL з кривою 1eL у точці 0,5λ = збігаються з точністю до восьмого знаку після
коми. Отже крива 5eL , єдина із розглянутих вище, точно збігається з дійсним значенням
довжини еліпса у двох крайніх точках інтервалу зміни відношення півосей і з високою точ-
ністю наближається до дійсного значення довжини eL у середній точці інтервалу у випад-
ку 0,5λ = .
Це свідчить про те, що 5eL з високою точністю наближається в усьому інтервалі змі-
ни λ до граничної уявної (якої не існує) кривої дійсних значень довжини еліпса, оскільки
дійсні значення довжини eL являють собою числа трансцендентні, окрім граничного зна-
чення у випадку 0λ = .
Результати аналізу дають підставу для застосування формули (13) для обчислення
довжини еліпса eL з високою точністю (при 1,435350k = ) в усьому інтервалі зміни від-
ношення півосей, а також проводити спрощений (наближений) розрахунок за лінійним
рівнянням (при 1k = ) з максимальною похибкою не більше як 6,2 %.
5. Заключні зауваження. Як відомо (див. [6, с. 386]), довжина контура еліпса, що за-
даний канонічним рівнянням
2 2
2 2
1,
x y
a b
+ =
17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9
Про практичний спосіб визначення довжини еліпса
де 0a b >� обчислюється за формулою
/2
2
0
4 1 sin ,eL a k d
π
= − ψ ψ∫ (14)
де
2
2
2
1
b
k
a
= − — квадрат ексцентриситету еліпса. Оскільки інтеграл 2
0
( , ) 1 sinE k k d
ϕ
ϕ = − ψ ψ∫
не інтегрується в квадратурах, застосування формули (14) пов’язано з використанням спе-
ціальних таблиць наближених значень для еліптичних інтегралів другого роду в формі
Лежандра (див. [7]).
Натомість використання на практиці формули (13) не потребує додаткових даних, крім
параметрів еліпса. В цьому полягає практичне значення формули (13) для визначення до-
вжини контуру еліпса.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. Москва: Наука, 1990. 672 с.
2. Розенфельд Б.А. Апполоний Пергский. Москва: МЦНМО, 2004. 176 с.
3. Устянич Є.П. Спосіб визначення довжини країв еліптичних виробів, отворів, ліній: пат. 74127 Ук раїна.
МПК G01B 1/00, G01B 3/00, G01B 11/00, G01B 17/00; заявл. 24.11.2011; опубл. 25.10.2012, Бюл. № 20.
4. Устянич Є. Золотий логарифм і його застосування. Еліпс і рівняння його довжини. 2-ге вид., доп. Львів:
Каменяр, 2013. 164 с. (Сер. Математичні новинки).
5. Устянич А., Устянич Є. Кібернетика у фармації. Теоретичні основи оптимізації, комп’ютеризації і апа-
ратурне оформлення для виготовлення твердих лікарських форм. Львів: Каменяр, 2013. 480 с.
6. Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1. Москва: Наука, 1981. 543 с.
7. Беляков В.М., Кравцова Р.И., Раппопорт М.Г. Таблицы эллиптических интегралов. Т. 1, 2. Москва:
Наука, 1962—1963.
Надійшло до редакції 18.05.2020
REFERENCES
1. Aleksandrov, A. D., Netsvetaev, N. Yu. (1990). Geometry. Moscow: Nauka (in Russian).
2. Rosenfeld, B. A. (2004). Appollonii Pergskii. Moscow: MCNMO (in Russian).
3. Pat. 74127 UA, IPC G01B 1/00, G01B 3/00, G01B 11/00, G01B 17/00. A method of determining the length
of the edges of elliptical products, holes, line, Ustyanich, E.P. Publ. 25.10.2012.
4. Ustyanich, E. (2013). The golden logarithm and its application. The ellipse and the equation of its length. 2 ed.
Lviv: Kamenyar (in Ukrainian).
5. Ustyanich, A. & Ustyanich, E. (2013). Theoretical bases for optimization, computerization and hardware
design for the production of solid dosage forms. Lviv: Kamenyar (in Ukrainian).
6. Zorich, V. A. (1981). Mathematical analysis. Vol. 1. Moscow: Nauka (in Russian).
7. Belyakov, V. M., Kravtsova, R. I. & Rappoport, M. G. (1962-1963). Tables of elliptic integrals. Vol. 1, 2. Moscow:
Nauka (in Russian).
Received 18.05.2020
18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9
Є.П. Устянич, А.Є. Устянич
E.P. Ustyanich, A.E. Ustyanich
Technopharm Inc., Toronto, Canada
E-mail: austyanich@gmail.com
ABOUT A PRACTICAL METHOD
OF DETERMINING THE LENGTH OF AN ELLIPSE
The article presents a practical highly accurate way to determine the length of an ellipse, which does not require
the use of tables for elliptical integrals of the second kind in the Legendre form. On the basis of the postulate
accepted by the authors that the ellipse is a projection of a circle, a new universal formula for calculating the
length of the ellipse is derived. Since the ellipse is a projection of a circle inclined at an arbitrary angle to the
plane, the equation of the length of the ellipse is analytically and functionally related to the equation of the
length of the circle. The line of projection of a circle is a “double” and continuous Jordan curve, and the ratio of
the lengths of the axes of the ellipse (projection of the circle) decreases from 1 to 0. If the small axis is zero,
the length of the “double” line of projection is twice the diameter of the circle. Increasing the angle of inclina-
tion, the “double” line of projection of the circle bifurcates, forming an ellipse, the ratio of the axes of which
increases from zero, at α = 90°, to one, at an angle of α = 180°. Thus, the main parameter of the proposed calcu-
lation is the ratio of the lengths of the semiaxes of the ellipse. This allowed us to derive a nonlinear equation for
calculating the length of the ellipse with high accuracy over the entire range of changes in the ratio of its axes.
Keywords: ellipse, formula for determining the length.
|