Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом

Розглядається модель системи з повторними викликами і одним ненадійним приладом. Процес обслуговування в системі задається двовимірним ланцюгом Маркова. Перша компонента вказує на число джерел повторних викликів, а друга фіксує стан приладу у поточний момент часу: зайнятий обслуговуванням, вільний...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2020
Hauptverfasser:	Лебєдєв, Є.О., Шарапов, М.М., Лівінська, Г.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2020
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Інформатика та кібернетика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173200
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом / Є.О. Лебєдєв, М.М. Шарапов, Г.В. Лівінська // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 24-30. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-173200
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1732002020-11-26T01:26:56Z Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом Лебєдєв, Є.О. Шарапов, М.М. Лівінська, Г.В. Інформатика та кібернетика Розглядається модель системи з повторними викликами і одним ненадійним приладом. Процес обслуговування в системі задається двовимірним ланцюгом Маркова. Перша компонента вказує на число джерел повторних викликів, а друга фіксує стан приладу у поточний момент часу: зайнятий обслуговуванням, вільний і готовий до обслуговування, вийшов з ладу і відновлюється. Головною особливістю системи, що розглядається, є те, що інтенсивність вхідного потоку залежить від величини черги повторних викликів. Для процесу обслуговування знайдено умову існування стаціонарного режиму та векторно-матричні формули, які подають стаціонарні імовірності через параметри моделі у явному вигляді. Для контролю точності обчислень за цими формулами отримана оцінка залишку ряду, який задає нормуючу сталу. У випадку, коли вхідний потік є пуассонівським, для нормуючої сталої отримано точний вираз. Застосування отриманих результатів продемонстровано на числових прикладах, у яких наведена залежність блокуючої ймовірності в стаціонарному режимі від параметрів системи. We consider a model of retrial queue with one unreliable server whose lifetime is an exponentially distributed random variable with the known failure rate. A two-dimensional Markov chain defines the service process in the system. Its first component indicates the number of sources of repeated calls, and the second one fixes the status of the server at the current time: the server is busy, free, and ready for maintenance or out of order. The main feature of the considered system is that the input flow rate depends on the size of the queue of repeated calls. Each of the sources of repeated calls can generate a call with the same rate. If a primary or repeated call arrives into the system and finds the server idle, its service begins immediately. If the server is busy, the call is directed to the orbit and becomes a source of retrial calls. For the service process, a condition for the existence of a stationary regime and vector-matrix formulas are found. These formulas express stationary probabilities through the model parameters in the explicit form. To control the accuracy of calculations using these formulas, an estimate of the remainder of the series is obtained, which sets the normalizing constant. The rate of the remainder decreasing to zero has an exponential upper estimation. In the case where the input flow is the Poisson one, the exact expression is obtained for a normalizing constant. The application of the obtained results is demonstrated by numerical examples, which show the dependence of the blocking probability in the stationary regime on the parameters of the system. The obtained results can be used to solve optimization problems in the class of threshold strategies. 2020 Article Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом / Є.О. Лебєдєв, М.М. Шарапов, Г.В. Лівінська // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 24-30. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.024 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173200 519.21 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика
spellingShingle	Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Лебєдєв, Є.О. Шарапов, М.М. Лівінська, Г.В. Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом Доповіді НАН України
description	Розглядається модель системи з повторними викликами і одним ненадійним приладом. Процес обслуговування в системі задається двовимірним ланцюгом Маркова. Перша компонента вказує на число джерел повторних викликів, а друга фіксує стан приладу у поточний момент часу: зайнятий обслуговуванням, вільний і готовий до обслуговування, вийшов з ладу і відновлюється. Головною особливістю системи, що розглядається, є те, що інтенсивність вхідного потоку залежить від величини черги повторних викликів. Для процесу обслуговування знайдено умову існування стаціонарного режиму та векторно-матричні формули, які подають стаціонарні імовірності через параметри моделі у явному вигляді. Для контролю точності обчислень за цими формулами отримана оцінка залишку ряду, який задає нормуючу сталу. У випадку, коли вхідний потік є пуассонівським, для нормуючої сталої отримано точний вираз. Застосування отриманих результатів продемонстровано на числових прикладах, у яких наведена залежність блокуючої ймовірності в стаціонарному режимі від параметрів системи.
format	Article
author	Лебєдєв, Є.О. Шарапов, М.М. Лівінська, Г.В.
author_facet	Лебєдєв, Є.О. Шарапов, М.М. Лівінська, Г.В.
author_sort	Лебєдєв, Є.О.
title	Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом
title_short	Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом
title_full	Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом
title_fullStr	Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом
title_full_unstemmed	Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом
title_sort	про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2020
topic_facet	Інформатика та кібернетика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173200
citation_txt	Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом / Є.О. Лебєдєв, М.М. Шарапов, Г.В. Лівінська // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 9. — С. 24-30. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT lebêdêvêo proodnusistemuzpovtornimiviklikamiínenadíjnimpriladom AT šarapovmm proodnusistemuzpovtornimiviklikamiínenadíjnimpriladom AT lívínsʹkagv proodnusistemuzpovtornimiviklikamiínenadíjnimpriladom
first_indexed	2025-07-15T09:44:02Z
last_indexed	2025-07-15T09:44:02Z
_version_	1837705611466244096
fulltext	24 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9: 24—30 Ц и т у в а н н я: Лебєдєв Є.О., Шарапов М.М., Лівінська Г.В. Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9. С. 24—30. https://doi.org/10.15407/dopovidi 2020.09.024 Увага до стохастичних систем з повторними викликами зумовлена їх широким застосу- ванням у різних сучасних комп’ютерних, супутникових, телефонних, охоронних та інших телекомунікаційних системах. У таких системах вимога, яка отримала відмову в обслуго- вуванні, стає джерелом повторних викликів. У порівнянні з класичними моделями систем з повторними викликами, яким присвячена значна кількість робіт (див., наприклад, [1—7]), випадок ненадійних приладів ([8—14]) є значно менш вивчений. В цих моделях задача зна- ходження основних характеристик, як правило, істотно ускладнюється. Марковські процеси, що описують роботу систем з повторними викликами, мають злі- ченну множину станів, а матриця локальних характеристик, як правило, не має яких-небудь https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.024 УДК 519.21 Є.О. Лебєдєв, М.М. Шарапов, Г.В. Лівінська Київський національний університет ім. Тараса Шевченка E-mail: leb@unicyb.kiev.ua, sharapov@unicyb.kiev.ua, hanna.livinska@univ.kiev.ua Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом Представлено членом-кореспондентом НАН України М.М. Савчуком Розглядається модель системи з повторними викликами і одним ненадійним приладом. Процес обслугову- вання в системі задається двовимірним ланцюгом Маркова. Перша компонента вказує на число джерел по- вторних викликів, а друга фіксує стан приладу у поточний момент часу: зайнятий обслуговуванням, вільний і готовий до обслуговування, вийшов з ладу і відновлюється. Головною особливістю системи, що розгляда- ється, є те, що інтенсивність вхідного потоку залежить від величини черги повторних викликів. Для процесу обслуговування знайдено умову існування стаціонарного режиму та векторно-матричні формули, які подають стаціонарні імовірності через параметри моделі у явному вигляді. Для контролю точності обчислень за цими формулами отримана оцінка залишку ряду, який задає нормуючу сталу. У ви- падку, коли вхідний потік є пуассонівським, для нормуючої сталої отримано точний вираз. Застосування отриманих результатів продемонстровано на числових прикладах, у яких наведена залежність блокуючої ймовірності в стаціонарному режимі від параметрів системи. Ключові слова: стаціонарний режим, система з повторними викликами, ненадійний прилад, умова ерго- дичності, матрично-векторне подання, нормуюча стала. ІНФОРМАТИКА ТА КІБЕРНЕТИКА 25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9 Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом спеціальних властивостей, які б допомогли отримати розв’язок рівнянь для стаціонарних імовірностей у яв- ному вигляді. У роботі, що пропонується, ми розгля- немо одну з таких моделей і підходи до обчислення її стаціонарного розподілу. Постановка задачі і основні результати. Будемо дос- ліджувати систему з повторними викликами і одним ненадійним приладом. Припускається, що інтенсив- ність потоку первинних викликів 0kλ = λ > залежить від числа повторних викликів 0,1,k =  (від числа ви- кликів на орбіті). Заданими є також такі основні ха- рактеристики системи: інтенсивність обслугову ван ня 0μ > , інтенсивність виходу з ладу працюючого при ла- ду 0α > , інтенсивність відновлення 0β > приладу, що вийшов з ладу, інтенсивність генерації пов торних ви- кликів 0θ > джерелом повторних викликів. Коли при- лад виходить з ладу, обслуговування вимоги перерива- ється і ця вимога стає джерелом повторних вик ликів. Процес обслуговування в системі (рис. 1) з пов- торними викликами і ненадійним приладом будемо моделювати двовимірним ланцюгом Маркова ( )TQ t = 1 2( ( ), ( ))Q t Q t= , де перша компонента 1( ) {0,1, 2}Q t ∈ задає стан приладу у момент часу t (0 — вільний і го- товий до обслуговування, 1 — зайнятий обслуговуван- ням, 2 — відновлює робочий стан), а 2( ) {0,1, 2 }Q t ∈  — число джерел повторних викликів. Інтенсивності пе- реходів ( , )( , )i j i ja ′ ′ при ( , ) ( , )i j i j′ ′≠ , ( , ), ( , )i j i j S∈ =′ ′ {0,1, 2} {0,1, }= ×  марковського процесу ( )Q t через параметри системи , 0,1,k kλ = , , , ,μ α β θ визнача- ються наступним чином: ( , ), ( , ) , ( , ) (0, ), ( , )( , ) (1, ), 0, , ( , ) (0, ), ( , ) (1, 1), 1, , ( , ) (1, ), ( , ) (1, 1), 0, , ( , ) (1, ), ( , ) (2, 1), 0, , ( , ) (1, ), ( , ) (0, ), 0, , ( , ) j j i j i j j i j j i j i j j j j i j j i j j j i j j i j j j a i j j i j j j i j j i j j j i j ′ ′ ′ ′ ′ ′λ = = ′ ′⋅θ = = − ′ ′λ = = + ′ ′= α = = + ′ ′μ = = λ � � � � � (2, ), ( , ) (2, 1), 1, , ( , ) (2, ), ( , ) (0, ), 1. j i j j j i j j i j j j ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ′ ′= = + ≥⎪ ⎪ ′ ′β = =⎪⎩ � � Граф інтенсивностей переходів для ( )Q t проілюстровано на рис. 2. Головна мета роботи — знайти умови існування стаціонарного режиму для ( )Q t , 0t� і отримати явні векторно-матричні формули для обчислення стаціонарних імовірностей. Рис. 1. Система з повторними викли- ками та ненадійним приладом Рис. 2. Граф інтенсивностей переходів для системи з повторними викликами та ненадійним приладом 26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9 Є.О. Лебєдєв, М.М. Шарапов, Г.В. Лівінська Якщо для ( )Q t , 0t� існує стаціонарний режим, то через ijπ , ( , )i j S∈ будемо позначати стаціонарні імовірності. Введемо також такі позначення: 1 2( )T j j jπ = π π , 0j� , 1 ( ) , 1 0 j j j j j j A j− μ θ −λ β + λ + θ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟λ + β⎝ ⎠  � , 1 1 ( )1 , 1 ( ) 0 j j j j j j A j j j − − λ + β λ β + λ + θ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟μ θ λ + β μ θ⎝ ⎠  � , 1 1 1 ( ) 0 , 1 j j j j j B j − − − λ λ + θ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟α λ⎝ ⎠  � , 1 , 0j j jA A B j−=   � , 0 0( / , 0)Tδ = λ μ , 1 (1 1)T = . Теорема 1. Нехай lim k k→∞ λ = λ < ∞ і виконується умова βλ < μ α + β . (1) Тоді для ( )Q t , 0t� існує стаціонарний режим і стаціонарні імовірності мають вигляд: 0 00 0π = π δ , 00 1 0 0j jA A−π = π × × δ , 1j� , (2) 0 1 1 ( , ) ( 1)j j j jj+π = λ + α λ π + θ , 0j� , (3) 1 00 1 0 0 0 1 1 ( , ) . ( 1) T j j j j A A j − ∞ − = ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪π = + + λ + α λ × × ⋅δ⎨ ⎬⎜ ⎟θ +⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ 1  (4) Відзначимо, що при побудові алгоритму обчислення стаціонарних імовірностей на основі формул (2)—(4) необхідно розв’язати задачу оцінки залишку ряду 1 0 0 1 ( ) ( , ) ( 1) T j j j j n T n A A j ∞ − = ⎛ ⎞ = + λ + α λ × × ⋅δ⎜ ⎟θ +⎝ ⎠∑ 1  . Очевидно, це дозволить контролювати точність обчислення 00π та інших стаціонарних імовірностей. При виконанні умови (1) оберемо 0 0, ⎛ ⎞βμε ∈ − λ⎜ ⎟α + β⎝ ⎠ . Головну роль при побудові оцінки для ( )T n відіграє перронів корінь 0h матриці 2 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎛ ⎞λ + ε λ + ε ⎜ ⎟ μ μ λ + ε + β⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ + ε α + μα⎜ ⎟⎜ ⎟μ μ λ + ε + β⎝ ⎠ . 27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9 Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом Неважко обчислити, що 2 0 0 00 0 0 ( ) ( ) 4 ( ) 1 2( ) h α + β + μ + λ + ε + α + β + μ + λ + ε − μ β + λ + ελ + ε = × < μ β + λ + ε . Тепер оберемо 1 1 0(0, 1)h−ε ∈ − . Тоді, очевидно, 1 0(1 ) 1R h= + ε < . Для ( )T n справедлива така верхня оцінка. Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 і вибір 0 1,ε ε зроблено. Тоді ( ) · nT n C R� при 0 1( , )n N N= ε ε� , де стала 0 1( , )C C= ε ε не залежить від n . Таким чином, швидкість збіжності ( )T n до нуля має показникову верхню оцінку. За зна- чимо також, що 0 1( , )C ε ε і 0 1( , )N ε ε за обраними 0 1,ε ε можуть бути конструктивно задані. У випадку пуассонівського потоку первинних викликів ( 0kλ = λ > ) нормуючу сталу у формулах (2), (3) (імовірність 00π ) можна обчислювати за точною формулою. Наслідок 1. Нехай 0kλ = λ > , 0k� і виконується умова (1). Тоді для ( )Q t , 0t� існує стаціонарний режим, стаціонарні імовірності задаються формулами (2), (3), в яких 1 1 1 2 1 2 00 1 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) A B A Bt t t t t t A t B t − − + +− − π = − − + γ − + γ − , (5) де ( ) ( ) θ α + βγ = αβ + λ α + β , 2 2 1 1 2 ( ) , ( ) t A t t λ + λ α + β + αβ − λ = − λθ − 2 2 2 1 2 ( ) , ( ) t B t t λ + λ α + β + αβ − λ = λθ − 2 11 t t< < — корені квадратного рівняння 2 ( ) 1 0t t β⎛ ⎞λ − λ + μ + α + β + μ + =⎜ ⎟λ⎝ ⎠ . Числові експерименти. Продемонструємо використання формул (2), (3) для обчис- лення такої важливої характеристики як імовірність блокування потоку первинних вимог Імовірність блокування системи для різних значень інтенсивностей α та β при фіксованих значеннях 2λ = , 23μ = , 3θ = α β 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0,1 0,173 0,13 0,116 0,109 0,104 0,101 0,099 0,098 0,097 0,096 0,2 0,258 0,174 0,145 0,13 0,122 0,116 0,112 0,109 0,106 0,104 0,3 0,342 0,217 0,174 0,152 0,139 0,13 0,124 0,12 0,116 0,113 0,4 0,423 0,261 0,203 0,174 0,157 0,145 0,137 0,13 0,126 0,122 0,5 0,502 0,304 0,232 0,196 0,174 0,159 0,149 0,141 0,135 0,13 0,6 0,577 0,348 0,261 0,217 0,191 0,174 0,161 0,152 0,145 0,139 0,7 0,646 0,391 0,29 0,239 0,209 0,188 0,174 0,163 0,155 0,148 0,8 0,71 0,434 0,319 0,261 0,226 0,203 0,186 0,174 0,164 0,157 0,9 0,766 0,477 0,348 0,283 0,243 0,217 0,199 0,185 0,174 0,165 1 0,815 0,52 0,377 0,304 0,261 0,232 0,211 0,196 0,184 0,174 28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9 Є.О. Лебєдєв, М.М. Шарапов, Г.В. Лівінська 0 T b j j P ∞ = = π∑1 . При заданих значеннях 2λ = , 23μ = , 3θ = наведена таблиця містить імо- вірність блокування для різних інтенсивностей α та β . Табличні дані можна подати у графічному вигляді (рис. 3). Висновки. Для системи з повторними викликами і ненадійним приладом знайдена умова існування стаціонарного режиму (умова (1)), яку зручно перевіряти на практиці. Для об- числення стаціонарних імовірностей отримані векторно-матричні формули (2), (3), при цьому нормуюча стала (імовірність 00π ) задається рядом (4). У теоремі 2 отримана оцінка залишку цього ряду, що дозволяє у формулах (2), (3) контролювати точність обчислень. Для пуассонівського потоку первинних вимог імовірність 00π представлена точною фор- мулою через параметри моделі (формула (5)). Обчислення стаціонарних імовірностей і по- хідних від них характеристик проілюстровано на прикладі обчислення імовірності блоку- вання (див. таблицю). Отримані результати можуть бути використані для розв’язання оптимізаційних задач у класі порогових стратегій (див., наприклад, [5]). ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Falin G.I., Templeton J.G.C. Retrial queues. London: Chapman & Hall, 1997. 329 p. 2. Yang T., Templeton J.G.C. A survey on retrial queues. Queueing Systems. 1987. №2. P. 201—233. 3. Artalejo J.R., Gomez-Corral A. Retrial queueing systems. A computational approach. Berlin: Springer, 2008. 317 p. 4. Nazarov A., Sztrik J., Kvach A. A survey of recent results in finite-source retrial queues with collisions. Information Technologies and Mathematical Modelling. Queueing Theory and Applications: 17th International conference and 12th workshop on Retrial Queues and Related Topics (Tomsk, 10—15 sept. 2018). Cham, Springer. P. 1—15. Рис. 3. Імовірність блокування системи для різних значень інтенсивностей α та β при фіксованих зна- ченнях 2λ = , 23μ = , 3θ = 29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 9 Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом 5. Lebedev E.A., Ponomarev V.D. Retrial queues with variable service rate. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. 47. № 3. P. 434—441. 6. Gomez-Corral A., Ramalhoto M.F. The stationary distribution of a Markovian process arising in the theory of multiserver retrial queueing systems. Mathematical and Computer Modelling. 1999. 30. P. 141—158. 7. Уолрэнд Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания. Москва: Мир, 1993. 336 с. 8. Thiruvengadam, K. Queueing with breakdowns. Operations Research. 1963. 11. P. 62—71. 9. Li W., Shi D. and Chao X. Reliability analysis of M/G/1 queueing systems with server breakdowns and vacations. J. of Applied Probability. 1997. 34. P. 546—555. 10. Artalejo J.R. New results in retrial queueing systems with breakdowns of the servers. Statistica Neerlan- dica. 1994. 48. P. 23—36. 11. Wartenhorst P. N parallel queueing systems with server breakdown and repair. European J. Operational Re- search. Elsevier. 1995. 82(2). P. 302—322. 12. Vinod B. Unreliable queueing systems. Computers and Operations Research. 1985. 12. P. 322—340. 13. Wang J., Cao J., Li Q. Reliability analysis of the retrial queue with server breakdowns and repairs. Queueing Systems. 2001. № 4. P. 363—380. 14. Artalejo J., Falin G. Standard and retrial queueing systems: a comparative analysis. Revista Matemática Complutense. 2002. 15. № 1. P. 101—129. Надійшло до редакції 23.06.2020 REFERENCES 1. Falin, G. I., Templeton, J. G. C. (1997). Retrial queues. London: Chapman & Hall. 2. Yang, T. & Templeton, J.G.C. (1987). A survey on retrial queues. Queueing Systems, No. 2, pp. 201-233. 3. Artalejo, J. R. & Gomez-Corral, A. (2008). Retrial queueing systems. A computational approach. Berlin: Sprin ger 4. Nazarov, A., Sztrik, J., Kvach, A. (2018, september). A survey of recent results in finite-source retrial queues with collisions. Information Technologies and Mathematical Modelling. Queueing Theory and Applications. 17th International conference and 12th workshop on Retrial Queues and Related Topics (pp. 10-15). Cham: Springer. 5. Lebedev, E. A. & Ponomarev, V. D. (2011). Retrial queues with variable service rate. Cybernetics and Sys- tems Analysis, 47, No. 2, pp. 434-441. 6. Gomez-Corral, A. & Ramalhoto, M. F. (1999). The stationary distribution of a Markovian process ari- sing in the theory of multiserver retrial queueing systems. Mathematical and Computer Modelling. 30, pp. 141-158. 7. Walrand, J. (1988). Introduction to Quening Networks. New York: Prentice-Hall. 8. Thiruvengadam, K. (1963). Queueing with breakdowns. Operations Research, 11, pp. 62-71. 9. Li, W., Shi, D. and Chao, X. (1997). Reliability analysis of M/G/1 queueing systems with server break- downs and vacations. J. of Applied Probability, 34, pp. 546-555. 10. Artalejo, J. R. (1994). New results in retrial queueing systems with breakdowns of the servers. Statistica Neerlandica, 48, pp. 23-36. 11. Wartenhorst, P. (1995). N parallel queueing systems with server breakdown and repair. European J. Ope- rational Research, Elsevier, 82(2), pp. 302-322. 12. Vinod, B. (1985). Unreliable queueing systems. Computers and Operations Research, 12, pp. 322-340. 13. Wang, J., Cao, J. & Li, Q. (2001). Reliability analysis of the retrial queue with server breakdowns and re pairs. Queueing Systems, No. 4, pp. 363-380. 14. Artalejo, J. & Falin, G. (2002). Standard and retrial queueing systems: a comparative analysis. Revista Matemática Complutense, 15, No. 1, pp. 101-129. Received 23.06.2020 30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 9 Є.О. Лебєдєв, М.М. Шарапов, Г.В. Лівінська E.A. Lebedev, M.M. Sharapov, H.V. Livinska Taras Shevchenko National University of Kyiv E-mail: leb@unicyb.kiev.ua, sharapov@unicyb.kiev.ua, hanna.livinska@univ.kiev.ua ON A SYSTEM WITH RETRIAL QUEUE AND UNRELIABLE SERVER We consider a model of retrial queue with one unreliable server whose lifetime is an exponentially distributed random variable with the known failure rate. A two-dimensional Markov chain defines the service process in the system. Its first component indicates the number of sources of repeated calls, and the second one fixes the status of the server at the current time: the server is busy, free, and ready for maintenance or out of order. The main feature of the considered system is that the input flow rate depends on the size of the queue of repeated calls. Each of the sources of repeated calls can generate a call with the same rate. If a primary or repeated call arrives into the system and finds the server idle, its service begins immediately. If the server is busy, the call is directed to the orbit and becomes a source of retrial calls. For the service process, a condition for the existence of a stationary regime and vector-matrix formulas are found. These formulas express stationary probabilities through the model parameters in the explicit form. To control the accuracy of calculations using these formulas, an estimate of the remainder of the series is obtained, which sets the normalizing constant. The rate of the remainder decreasing to zero has an exponential upper estimation. In the case where the input flow is the Poisson one, the exact expression is obtained for a norma- lizing constant. The application of the obtained results is demonstrated by numerical examples, which show the dependence of the blocking probability in the stationary regime on the parameters of the system. The ob- tained results can be used to solve optimization problems in the class of threshold strategies. Keywords: stationary regime, retrial queue, unreliable server, ergodicity condition, matrix-vector representation, normalizing constant.

Про одну систему з повторними викликами і ненадійним приладом

Institution

Ähnliche Einträge