Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам
Исследована несущая способность трехслойной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам. Пластина с лицевой стороны имеет покрытие из тонких слоев, средний слой армирован волокнами. Предполагается, что материал матрицы, волокон и покрытий является идеально...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173335 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам / А.А. Джагангиров // Проблемы прочности. — 2015. — № 3. — С. 132-139. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-173335 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1733352020-12-01T01:27:12Z Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам Джагангиров, А.А. Научно-технический раздел Исследована несущая способность трехслойной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам. Пластина с лицевой стороны имеет покрытие из тонких слоев, средний слой армирован волокнами. Предполагается, что материал матрицы, волокон и покрытий является идеально жесткопластичным без упрочнения, причем его свойства при растяжении и сжатии различаются, а волокна в покрытии настолько тонкие, что их размерами в поперечном направлении можно пренебречь. Принято, что контакт между матрицей, покрытием и волокном идеальный. Показано, что пластины разбиваются на четыре кольцевые зоны, в каждой из которых реализуется различное пластическое состояние. Определены статические поля моментов и кинематические поля скоростей прогибов, найдены уравнения для вычисления неизвестных радиусов, разделяющих различные пластические зоны, а также опорной реакции и предельной нагрузки в случае равномерно распределенной поперечной нагрузки. Досліджено несівну здатність тришарової кільцевої пластини, що затиснена по внутрішньому і вільно обперта по зовнішньому контурах. Пластина з лицевої сторони має покриття з тонких шарів, середній шар армований волокнами. Припускається, що матеріал матриці, волокон і покриття є ідеально жорстко-пластичним без зміцнення, при цьому його властивості при розтязі і стиску є різними, а волокна в покритті настільки тонкі, що їх розмірами в поперечному напрямку можна знехтувати. Прийнято, що контакт між матрицею, покриттям і волокном ідеальний. Показано, що пластина розбивається на чотири кільцеві зони, у кожній з яких реалізується різний пластичний стан. Визначено статичні поля моментів і кінематичні поля швидкостей прогинів, отримано рівняння для визначення радіусів, що розділяють різні пластичні зони, та опорної реакції і граничного навантаження у випадку рівномірно розподіленого поперечного навантаження. 2015 Article Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам / А.А. Джагангиров // Проблемы прочности. — 2015. — № 3. — С. 132-139. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173335 539.37 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Джагангиров, А.А. Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам Проблемы прочности |
| description |
Исследована несущая способность трехслойной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам. Пластина с лицевой стороны имеет покрытие из тонких слоев, средний слой армирован волокнами. Предполагается, что материал матрицы, волокон и покрытий является идеально жесткопластичным без упрочнения, причем его свойства при растяжении и сжатии различаются, а волокна в покрытии настолько тонкие, что их размерами в поперечном направлении можно пренебречь. Принято, что контакт между матрицей, покрытием и волокном идеальный. Показано, что пластины разбиваются на четыре кольцевые зоны, в каждой из которых реализуется различное пластическое состояние. Определены статические поля моментов и кинематические поля скоростей прогибов, найдены уравнения для вычисления неизвестных радиусов, разделяющих различные пластические зоны, а также опорной реакции и предельной нагрузки в случае равномерно распределенной поперечной нагрузки. |
| format |
Article |
| author |
Джагангиров, А.А. |
| author_facet |
Джагангиров, А.А. |
| author_sort |
Джагангиров, А.А. |
| title |
Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам |
| title_short |
Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам |
| title_full |
Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам |
| title_fullStr |
Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам |
| title_full_unstemmed |
Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам |
| title_sort |
предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173335 |
| citation_txt |
Предельная нагрузка трсхслойной волокнистой композитной кольцевой пластины, защемленной по внутреннему и свободно опертой по внешнему контурам / А.А. Джагангиров // Проблемы прочности. — 2015. — № 3. — С. 132-139. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT džagangirovaa predelʹnaânagruzkatrshslojnojvoloknistojkompozitnojkolʹcevojplastinyzaŝemlennojpovnutrennemuisvobodnoopertojpovnešnemukonturam |
| first_indexed |
2025-07-15T09:59:39Z |
| last_indexed |
2025-07-15T09:59:39Z |
| _version_ |
1837706594561818624 |
| fulltext |
ÓÄÊ 539.37
Ïðåäåëüíàÿ íàãðóçêà òðåõñëîéíîé âîëîêíèñòîé êîìïîçèòíîé êîëüöåâîé
ïëàñòèíû, çàùåìëåííîé ïî âíóòðåííåìó è ñâîáîäíî îïåðòîé ïî âíåøíåìó
êîíòóðàì
À. À. Äæàãàíãèðîâ
Àçåðáàéäæàíñêèé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, Áàêó, Àçåðáàéäæàí
al-akif@mail.ru
Èññëåäîâàíà íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü òðåõñëîéíîé êîëüöåâîé ïëàñòèíû, çàùåìëåííîé ïî âíóò-
ðåííåìó è ñâîáîäíî îïåðòîé ïî âíåøíåìó êîíòóðàì. Ïëàñòèíà ñ ëèöåâîé ñòîðîíû èìååò
ïîêðûòèå èç òîíêèõ ñëîåâ, ñðåäíèé ñëîé àðìèðîâàí âîëîêíàìè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìàòå-
ðèàë ìàòðèöû, âîëîêîí è ïîêðûòèé ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíî æåñòêîïëàñòè÷íûì áåç óïðî÷íåíèÿ,
ïðè÷åì åãî ñâîéñòâà ïðè ðàñòÿæåíèè è ñæàòèè ðàçëè÷àþòñÿ, à âîëîêíà â ïîêðûòèè íà-
ñòîëüêî òîíêèå, ÷òî èõ ðàçìåðàìè â ïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïðèíÿòî,
÷òî êîíòàêò ìåæäó ìàòðèöåé, ïîêðûòèåì è âîëîêíîì – èäåàëüíûé. Ïîêàçàíî, ÷òî ïëàñòèíû
ðàçáèâàþòñÿ íà ÷åòûðå êîëüöåâûå çîíû, â êàæäîé èç êîòîðûõ ðåàëèçóåòñÿ ðàçëè÷íîå
ïëàñòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå. Îïðåäåëåíû ñòàòè÷åñêèå ïîëÿ ìîìåíòîâ è êèíåìàòè÷åñêèå ïîëÿ
ñêîðîñòåé ïðîãèáîâ, íàéäåíû óðàâíåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ íåèçâåñòíûõ ðàäèóñîâ, ðàçäåëÿþùèõ
ðàçëè÷íûå ïëàñòè÷åñêèå çîíû, à òàêæå îïîðíîé ðåàêöèè è ïðåäåëüíîé íàãðóçêè â ñëó÷àå
ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ïîïåðå÷íîé íàãðóçêè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: òðåõñëîéíûé âîëîêíèñòûé êîìïîçèò, íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü, èçãèá,
ïðåäåëüíàÿ íàãðóçêà.
Ââåäåíèå. Êîíñòðóêöèè, èçãîòîâëåííûå èç êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ, øèðîêî
ïðèìåíÿþòñÿ â àâèàêîñìè÷åñêîé òåõíèêå, êîðàáëå- è ìàøèíîñòðîåíèè, ñòðîèòåëüñòâå,
â ìîðñêèõ íåôòÿíûõ ïëàòôîðìàõ, ýñòàêàäàõ, â òðóáîïðîâîäàõ è äð. Ïîýòîìó èññëå-
äîâàíèå íåñóùåé ñïîñîáíîñòè êîìïîçèòíûõ îáîëî÷åê è ïëàñòèí ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé
çàäà÷åé ìåõàíèêè.
Äëÿ ðàçíûõ óñëîâèé ïëàñòè÷íîñòè ãèïåðïîâåðõíîñòü òåêó÷åñòè â îáîáùåííûõ
íàïðÿæåíèÿõ áóäåò ðàçëè÷àòüñÿ.  ðàáîòå [1] ðàññìîòðåíî ïðåäåëüíîå ðàâíîâåñèå
îáîëî÷åê âðàùåíèÿ èç âîëîêíèñòîãî êîìïîçèòà, ìàòåðèàë ìàòðèöû è âîëîêîí êîòî-
ðîãî ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíî æåñòêîïëàñòè÷íûì.  [2–4] ðåçóëüòàòû [1] ïðèìåíåíû ê
ðåøåíèÿì êîíêðåòíûõ çàäà÷. Â [5] îáñóæäàåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïîâåðõíîñòåé òåêó-
÷åñòè äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê.  [6] ïðåäëàãàåòñÿ ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõ-
íîñòè òåêó÷åñòè äâîÿêîïåðèîäè÷åñêîãî îäíîíàïðàâëåííîãî êîìïîçèöèîííîãî ìàòå-
ðèàëà ñ îñðåäíåíèåì íàïðÿæåíèé. Ðàçëè÷íûå âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòåé
òåêó÷åñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ â ðàáîòàõ [7–9]. Èññëåäîâàíà íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü çà-
ùåìëåííûõ [10] è ñâîáîäíî îïåðòûõ [11] ïî êîíòóðàì êðóãëûõ òðåõñëîéíûõ ïëàñòèí,
ñðåäíèé ñëîé êîòîðûõ àðìèðîâàí âîëîêíàìè, íàõîäÿùèìèñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ðàâíî-
ìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ íàãðóçîê. Îïðåäåëåíû ñòàòè÷åñêè äîïóñòèìûå ïîëÿ èçãèáà-
þùèõ ìîìåíòîâ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì ïëàñòè÷åñêèé èçãèá êîëüöåâîé êîìïîçèòíîé
ïëàñòèíû â îáëàñòè A R B� � , � � �H z H2 2, 0 2� �� � ïðè îñåñèììåòðè÷íîé
íàãðóçêå èíòåíñèâíîñòüþ q R� � â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò R, �, z (îñü
z íàïðàâëåíà âíèç). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íàãðóçêà q íàïðàâëåíà âíèç è òîëùèíà
ïëàñòèíû H ïîñòîÿííà. Ïëàñòèíà çàùåìëåíà ïî âíóòðåííåìó è ñâîáîäíî îïåðòà ïî
âíåøíåìó êîíòóðàì è îñòàåòñÿ íåäåôîðìèðóåìîé âïëîòü äî äîñòèæåíèÿ ïðåäåëüíîé
íàãðóçêè (õàðàêòåðèçóåò íåñóùóþ ñïîñîáíîñòü ïëàñòèíû). Êîìïîçèò ñîñòîèò èç
© À. À. ÄÆÀÃÀÍÃÈÐÎÂ, 2015
132 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 3
èäåàëüíî ïëàñòè÷íîé ìàòðèöû ñ ðàçëè÷íûìè íàïðÿæåíèÿìè òåêó÷åñòè k� 0 è � 0
( )0 1 �k ïðè ðàñòÿæåíèè è ñæàòèè, àðìèðîâàí âîëîêíàìè â äâóõ îðòîãîíàëüíûõ
íàïðàâëåíèÿõ, ñîâïàäàþùèõ ñ îñÿìè ãëàâíûõ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ, è èìååò òîíêèé
ñëîé ïîêðûòèÿ. Ìàòåðèàë âîëîêîí è ïîêðûòèé òàêæå ñ÷èòàåòñÿ èäåàëüíî æåñòêî-
ïëàñòè÷íûì.
Ïóñòü S Si i0 0
� è S Si i i0 0
�
� � – ïðåäåëüíûå óñèëèÿ äëÿ âîëîêîí ïðè ðàñòÿ-
æåíèè è ñæàòèè ñîîòâåòñòâåííî; S Fi i i0 0
� � ; S Fi i i0 0
� � �� � , ãäå Fi
, Fi
� – ïëîùà-
äè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ âîëîêîí; � 0i
, � 0i
� – ïðåäåëû òåêó÷åñòè äëÿ âîëîêîí ïðè
ðàñòÿæåíèè è ñæàòèè; i�1, 2 – îðòîãîíàëüíûå íàïðàâëåíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ îñÿìè
ãëàâíûõ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ. Âîëîêíà óêëàäûâàþòñÿ â êàæäîì íàïðàâëåíèè â äâóõ
ñëîÿõ, íå ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ñðåäèííîé ïëîñêîñòè êîíñòðóêöèè. Èõ êîëè-
÷åñòâî ðàçíîå â êàæäîì íàïðàâëåíèè. Ïîêðûòèÿ èìåþò äîñòàòî÷íî òîíêèé ñëîé, èõ
ìàòåðèàë îäíîðîäíûé èçîòðîïíûé èäåàëüíî ïëàñòè÷íûé ñ ïðåäåëàìè òåêó÷åñòè Q0
ïðè ðàñòÿæåíèè è Q Q0 0
�� � (0 1� �� ) ïðè ñæàòèè. Ïðèáëèæåííîå óñëîâèå òåêó-
÷åñòè â ïëîñêîñòè ãëàâíûõ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ â çàâèñèìîñòè îò ìåõàíè÷åñêèõ
ñâîéñòâ ìàòðèöû, âîëîêîí è ïîêðûòèé, à òàêæå õàðàêòåðíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðà-
ìåòðîâ èìååò âèä íåïðàâèëüíûõ øåñòèóãîëüíèêîâ.
Îáîçíà÷èì îòíåñåííûå ê åäèíèöå äëèíû ãëàâíûå èçãèáàþùèå ìîìåíòû â ðàäè-
àëüíîì è îêðóæíîì íàïðàâëåíèÿõ êàê M1 è M 2 è ïðèìåì ñëåäóþùèå áåçðàçìåðíûå
âåëè÷èíû:
r
R
H
� , a
A
H
� , b
B
H
� , P
q
�
4 0�
, m
M
H
i
i�
4
0
2�
.
Òîãäà óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ áóäåò èìåòü âèä
( ) ,rm m T Taar
1 2
� ��
T P dar
a
r
�
�
�
�
�
�
�
�
�� ( ) ,� � � (1)
ãäå øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî r; T – íåèçâåñòíàÿ îïîðíàÿ ðåàêöèÿ íà
âíóòðåííåì êîíòóðå, îòíåñåííàÿ ê åäèíèöå äëèíû.
Ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ êðèâèçíû â ðàäèàëüíîì �1 è îêðóæíîì � 2 íàïðàâëåíèÿõ
âûðàæåíû ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïðîãèáà w:
�1 ��
w , � 2 ��
( ).w r (2)
Óðàâíåíèå (1) ÿâëÿåòñÿ îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ äâóìÿ
íåèçâåñòíûìè m1 è m2. Âòîðîå óðàâíåíèå ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè çàïèñûâàåòñÿ â
âèäå óñëîâèÿ ïëàñòè÷åñêîãî òå÷åíèÿ (ðèñóíîê).
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïëàñòèíà ïîä÷èíÿåòñÿ óñëîâèþ ïëàñòè÷åñêîãî òå÷å-
íèÿ, êîòîðîå â ïëîñêîñòè m m1 2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê
ABCDEF (ðèñóíîê). Ïëàñòèíà ðàçáèâàåòñÿ íà êîëüöåâûå çîíû, â êàæäîé èç êîòîðûõ
óñëîâèå òåêó÷åñòè ëèíåéíîå, è èíòåãðèðîâàíèå ïðèâåäåííîãî íèæå óðàâíåíèÿ (8)
ëåãêî îñóùåñòâëÿåòñÿ. Íà îêðóæíîñòè, ðàçäåëÿþùåé êîëüöåâûå çîíû ðàçëè÷íûõ
ðåøåíèé, â ñèëó óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ èçãèáàþùèé ìîìåíò m1 è ñðåçûâàþùåå óñèëèå
äîëæíû áûòü íåïðåðûâíûìè, à èçãèáàþùèé ìîìåíò m2 ìîæåò áûòü ïðåðûâíûì.
Äëÿ ñòîðîí AB è AF øåñòèóãîëüíèêà èìååì ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ïîëî-
æèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ:
m m c c s c s c q c q c s qi i i i i i i i� �
�
� �
0 0 1 0 2 0
2
3 0 4 0
2
5 0 0 , (3)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 3 133
Ïðåäåëüíàÿ íàãðóçêà òðåõñëîéíîé âîëîêíèñòîé êîìïîçèòíîé êîëüöåâîé ïëàñòèíû ...
äëÿ ñòîðîí CD è DE –
m m c c s c s c q c q c s qi i i i i i i i�� ��
�
� �� �
0 0 1 0 2 0
3
3 0 4 0
2
5 0 0[ ], (4)
äëÿ ñòîðîí EF è BC ñîîòâåòñòâåííî –
m m2 1 1�
� � , m m2 1 2�
� � . (5)
Çäåñü ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ:
c
k
k
0
2
1
�
; c d d
k
k
i i i i
i
1 4
1
2
1
1
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
; c
k
i
i
2
22 1
1
�
�
( )
;
�
c
k
k
3 4
1
1
�
�
;
c
k
4
22 1
1
�
�
( )
;
�
c
k
i
i
5
4 1 1
1
�
� �
( )( )
,
� �
i�1, 2; c d d
k
k
i i i i
i
1 4
1
2
1
1
� �
� �
�
�
�
�
�
��
�
;
�
� �
� �
�
� �
�
� �
�
( )[( ) ( ) ]
( )[( ) ( )
1 1 1
1 1 1
2 02 0
1 01
k s q k
k s q0 ]
,
k
i�1 2, ; q
Q
H
0
0
0
2
�
�
;
� �1 2 1� �a a ; � �2 4 3� �a a ; s
S
H
i
i
0
0
2
�
��
;
a
k
k k k s q k1 2
2
1 01 0 2
1
1
1 1 1 1 2 1�
�
�
�
� � �{ ( ) ( )[( ) ( ) ] [(� � � ) ( ) ]}s q02 01
�
�
�
4 2 11 1 1 01 0( ) ( ) ;d d s q� �
a
k
k k k s q k2 2
2
2 02 0
1
1
1 1 1 1 2 1��
�
� �
�
�
�{ ( ) ( )[( ) ( ) ] [(� � �1 01 01) ( ) ]}s q
�
�
�
4 2 12 2 2 02 0( ) ( ) ;d d s q� �
Øåñòèóãîëüíèê òåêó÷åñòè.
134 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 3
À. À. Äæàãàíãèðîâ
a a d d s3 1 1 1 1 014 1�� � �
�
( )( ) ;� a a d d s4 2 2 2 2 024 1�� � �
�
( )( ) ;�
di è
di – áåçðàçìåðíûå ðàññòîÿíèÿ, îòíåñåííûå ê òîëùèíå Í , îò ñðåäèííîé
ïëîñêîñòè äî âåðõíèõ è íèæíèõ ñëîåâ âîëîêîí.
Óðàâíåíèå (1) ìîæíî ðåøèòü ïðè ñîáëþäåíèè ñëåäóþùèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:
âäîëü çàäåëàííîãî âíóòðåííåãî êðàÿ èìååì r a� , w� 0, dw dr� 0 èëè m m1 10�� � , íà
ñâîáîäíî îïåðòîì âíåøíåì êðàå – r b� , m1 0� , w� 0.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà. Ïîëàãàåì, ÷òî íàãðóçêà íàïðàâëåíà âíèç. Ðàäèàëüíûé
èçãèáàþùèé ìîìåíò áóäåò èìåòü ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå (ðàñòÿæåíèå íèæíèõ è
ñæàòèå âåðõíèõ ñëîåâ), òîãäà êàê âíå òîíêîãî êîëüöà, ïðèìûêàþùåãî ê çàùåìëåííîìó
âíóòðåííåìó êîíòóðó, îí èìååò îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå.  ýòîì ñëó÷àå ïëàñòè÷åñêîå
ñîñòîÿíèå ïëàñòèíû îïðåäåëÿåòñÿ ñòîðîíîé DE øåñòèóãîëüíèêà òåêó÷åñòè îêîëî
âíóòðåííåé êðîìêè r a� , íà êîòîðîé m m1 10�� � è m m2 20�� � . Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è
ìîæíî îòûñêèâàòü äëÿ ñîñòîÿíèé DE EF FA AB� � � 1, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå óäîâëå-
òâîðÿåòñÿ è óñëîâèå m1 0� ïðè r b� . Ïîâåðõíîñòü ïëàñòèíû ðàçäåëÿåì íà ÷åòûðå
ó÷àñòêà ðàäèóñîì r� � � �1 2 3, , , êîòîðûå äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû.
Íà ó÷àñòêå a r� � �1 , ñîîòâåòñòâóþùåì ïëàñòè÷åñêîìó ðåæèìó DE, èìååì
m m2 20�� � . Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (1), ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó-
÷àåì
rm m Ta r T d Ca
a
r
1 20� �
�
� �( ) ,� �
ãäå C – ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Âû÷èñëÿÿ C èç óñëîâèÿ m a m1 10( ) ,�� � íàõîäèì
rm am m Ta r a T da
a
r
1 10 20��
�
� �� � �( )( ) ,� � m m2 20�� � . (6)
Îïðåäåëÿÿ m1 1( )� èç (6) è ïîäñòàâëÿÿ åãî â ôîðìóëó m m2 1 1�
� � , ïîëó÷àåì
� �m20 , ÷òî äàåò
m
a a
m Ta
a
T a
20
1 1
10 1
1
1 1
1� �� �
�
�
��
�
�
����
�
�� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
a
d
�
�
1
� . (7)
Ïðè � �1 2� �r èìååì ñîñòîÿíèå EF (ðèñóíîê), ïðè êîòîðîì m m2 1 1�
� � .
Òîãäà óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä
rm m Ta T ar
� �
�1 1 11( ) ( ) .� �
 ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîëó÷èì
m Cr Ta r T da
a
r
1
1
1
11
1
�
�
�� � ��� � � ��
�
� �( ) .
Îïðåäåëÿÿ ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ C èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè m1 2( )� �
�
m10 , íàõîäèì
m r m
r Ta r
1 10
2
1
1
2
1
1
1( )�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
�
� �
� �
�
�
�
�
�
� ��r T da
r
� � �
�
� �1
2
. (8)
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 3 135
Ïðåäåëüíàÿ íàãðóçêà òðåõñëîéíîé âîëîêíèñòîé êîìïîçèòíîé êîëüöåâîé ïëàñòèíû ...
Ñ èñïîëüçîâàíèåì óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè [ ( )]m1 1 0� � ïîëó÷èì
�
�
� � �� � �am m Ta a T da
a
10 20 1
1
( )( )� ��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
m Ta10
1
2
1 1
1 1
2
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
��� � �� � �
�
�
1
1
2
T da . (9)
Åñëè íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ïëàñòèíû ñîîòâåòñòâóåò ñòîðîíå FA (� �2 3� �r ),
äëÿ ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè èìååì
�1 0��
!w , � 2
1
0��
�
r
w .
Åñòåñòâåííûì ðåøåíèåì ýòèõ óðàâíåíèé áóäåò w w� �0 const , ò.å. êîëüöåâàÿ
÷àñòü ïëàñòèíû (� �2 3� �r ), îñòàâàÿñü æåñòêîé, ïåðåìåùàåòñÿ â ýòîé îáëàñòè êàê
àáñîëþòíî æåñòêîå òåëî.
Îêðóæíîñòè r� �2 è r� �3 ÿâëÿþòñÿ øàðíèðíûìè, íà êîòîðûõ ïåðâàÿ ïðî-
èçâîäíàÿ ñêîðîñòè ïðîãèáà ïðåòåðïåâàåò ðàçðûâ, ñêîðîñòü ïðîãèáà íåïðåðûâíà, à
çíà÷åíèå ðàäèàëüíîãî èçãèáàþùåãî ìîìåíòà ìàêñèìàëüíîå.
Íà ó÷àñòêå �3 � �r b èìååì ñîñòîÿíèå AB, ïðè êîòîðîì m m2 20�
. Èç óðàâíå-
íèÿ (1) ïîëó÷èì
rm m Ta r T d Ca
a
r
1 20�
�
�( ) ,� �
ãäå ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ C îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ m b1 0( ) .�
Òîãäà
rm m Ta r b T da
r
b
1 20�
�
�( )( ) .� � (10)
Ïîäñòàâëÿÿ (10) â óñëîâèå m m1 3 10( )� �
, ïîëó÷àåì
� � ��
�
3 10 20 3
3
m m Ta b T da
b
�
�
�( )( ) . (11)
Òåïåðü èññëåäóåì âîçìîæíîñòü ïðîäîëæåíèÿ ñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ íà ó÷àñòîê
� �2 3� �r . Ïðèíèìàÿ, ÷òî òàíãåíöèàëüíûé ìîìåíò m2 è ïåðåðåçûâàþùàÿ ñèëà
ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè, èç óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (1) ïîëó÷àåì, ÷òî
ïðîèçâîäíàÿ dm dr1 ïðè r� �2 è r� �3 íå ìîæåò èìåòü ñêà÷êîâ â îáëàñòè ïëàñ-
òèíû:
dm
dr
1
0� , (12)
òàê êàê m m1 10�
íà ýòèõ ðàäèóñàõ.
Îäíàêî åñëè ïðåäïîëîæèòü ñêà÷êîîáðàçíîå èçìåíåíèå ìîìåíòà m2, èç óðàâíå-
íèÿ ðàâíîâåñèÿ (1) ïîëó÷èì
136 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 3
À. À. Äæàãàíãèðîâ
r
dm
dr
m
1
2
�
��
�
�
� [ ], (13)
ãäå
dm
dr
dm
dr
dm
dr
1 1 1�
��
�
�
� �
�
, [ ] ;m m m2 2 2� �
�
[ ]m2 – ñêà÷êè ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå.
Ïîñêîëüêó ïðè r� �2 è r� �3 [ ]m2 èìååò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, à [dm dr1 ]
íà ýòèõ ðàäèóñàõ ìîæåò áûòü òîëüêî îòðèöàòåëüíûì, óñëîâèå (13) íå âûïîëíÿåòñÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå ìîìåíòîâ m2 äîëæíî áûòü íåïðåðûâíûì â îáëàñòè ïëàñòèíû,
ò.å. [ ] [ ] .m dm dr2 1 0� �
Âûïîëíÿÿ óñëîâèå (12) ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîèçâîäíûõ ôîðìóë (8) ïðè r� �2 è
(10) ïðè r� �3, ïîëó÷àåì
Ta T m
a�
� �
� � �2
10 11( ) ; (14)
b Ta m T T d
a a
b
( ) .
� � �
�20 3
3
3
0� �� �
�
(15)
Ïî ôîðìóëå (14) îïðåäåëÿåòñÿ íåèçâåñòíàÿ ðåàêöèÿ Ta, à ïî (15) – ïðåäåëüíàÿ
íàãðóçêà.
Óðàâíåíèÿ (7), (9) è (11) ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü íåèçâåñòíûå ðàäèóñû �1, �2, �3.
Ñòàòè÷åñêîå ïîëå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî íà ó÷àñòîê � �2 3� �r ðàçíûìè
ñïîñîáàìè áåç íàðóøåíèÿ óñëîâèé íåïðåðûâíîñòè. Åñëè, íàïðèìåð, ïðèíÿòü, ÷òî îíî
ñîîòâåòñòâóåò ñòîðîíå øåñòèóãîëüíèêà FA (ðèñóíîê), èç óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (1)
ïîëó÷èì
m m1 10�
, m m T Taar
2 10�
�
. (16)
Ôîðìóëó (15) äëÿ ïðåäåëüíîé íàãðóçêè â ñëó÷àå ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé
íàãðóçêè P r p( ) ,� � const T
p� �" � �3
2
3
2
2
2� �( ) ñ èñïîëüçîâàíèåì (11), (14) ìîæåì
çàïèñàòü â âèäå
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
pb
m x x
m
m
2
02 3
2
2
2
01 1
02
2
1 , (17)
ãäå x bi i� � , i� 2, 3.
 ñëó÷àå s qi0 0 0� � èìååì
m
k
k
i0
2
1
�
, ��1, a
k
k
1
1
�
, a
k
k
2
1
��
.
Ïðè ýòîì ïîëó÷èì
�1
2
1
��
k
k
, � �m01 1 0
� ,
è ôîðìóëà (17) ïðåîáðàçóåòñÿ â èçâåñòíóþ ôîðìóëó äëÿ îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé
ïëàñòèíû [12].
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 3 137
Ïðåäåëüíàÿ íàãðóçêà òðåõñëîéíîé âîëîêíèñòîé êîìïîçèòíîé êîëüöåâîé ïëàñòèíû ...
Êàê âèäíî, çà ñ÷åò àðìèðóþùèõ âîëîêîí è ïîêðûòèé ïðåäåëüíàÿ íàãðóçêà
ïëàñòèíû óâåëè÷èâàåòñÿ â 1 10 1 20�
( )� �m m ðàçà, ïîñêîëüêó âûðàæåíèå � �m10 1
ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, áóäó÷è îðäèíàòîé òî÷êè F øåñòèóãîëüíèêà òåêó÷åñòè íà
ïëîñêîñòè m m1 2 , F m m( , ).01 01 1
� �  ñëó÷àå � �1 2 1� � íåòðóäíî ïîëó÷èòü
� �
#
m q
k
k
d d s01 1 0 2 2 022
1
1
4
��
�
��
�
�
( ) .
Âèäíî, ÷òî ïðåäåëüíàÿ íàãðóçêà ïîâûøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì âûðàæåíèÿ âíóòðè
êâàäðàòíîé ñêîáêè. Ïðè #�1,
�
�d d2 2 1 2 ýòî âûðàæåíèå èìååò íàèáîëüøåå çíà÷å-
íèå 2 40 02q s
.
Çàêëþ÷åíèå. Îïðåäåëåíà íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü êîëüöåâîé òðåõñëîéíîé ïëàñ-
òèíû, öåíòðàëüíûé ñëîé êîòîðîé àðìèðîâàí âîëîêíàìè. Ïðèíÿòî, ÷òî âíåøíèå ñëîè
äîñòàòî÷íî òîíêèå è èçãîòîâëåíû èç îäíîðîäíîãî èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà. Âñå ñîñòàâ-
ëÿþùèå ïëàñòèíû îáëàäàþò èäåàëüíî ïëàñòè÷íûìè ñâîéñòâàìè ñ ðàçëè÷íûìè ïðå-
äåëüíûìè óñèëèÿìè ïðè ðàñòÿæåíèè è ñæàòèè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïëàñòèíà çàùåì-
ëåíà ïî âíóòðåííåìó è ñâîáîäíî îïåðòà ïî âíåøíåìó êîíòóðàì è íàõîäèòñÿ ïîä
äåéñòâèåì ïðîèçâîëüíîé íàãðóçêè Ð â âåðõíåé ÷àñòè ïîâåðõíîñòè. Îïðåäåëåíû
ñòàòè÷åñêè äîïóñòèìûå ïîëÿ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ. Âûÿâëåí õàðàêòåð çàâèñèìîñòè
êîýôôèöèåíòà ïðåäåëüíîé íàãðóçêè îò ñâîéñòâ ìàòåðèàëîâ ñîñòàâëÿþùèõ ïëàñòèíû.
Ïîêàçàíî, ÷òî ïîâåðõíîñòü ïëàñòèíû ðàçäåëåíà íà ÷åòûðå êîëüöåâûå çîíû. Íàéäåíû
óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàäèóñîâ ýòèõ çîí.
Ð å ç þ ì å
Äîñë³äæåíî íåñ³âíó çäàòí³ñòü òðèøàðîâî¿ ê³ëüöåâî¿ ïëàñòèíè, ùî çàòèñíåíà ïî âíóò-
ð³øíüîìó ³ â³ëüíî îáïåðòà ïî çîâí³øíüîìó êîíòóðàõ. Ïëàñòèíà ç ëèöåâî¿ ñòîðîíè ìàº
ïîêðèòòÿ ç òîíêèõ øàð³â, ñåðåäí³é øàð àðìîâàíèé âîëîêíàìè. Ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî
ìàòåð³àë ìàòðèö³, âîëîêîí ³ ïîêðèòòÿ º ³äåàëüíî æîðñòêî-ïëàñòè÷íèì áåç çì³öíåííÿ,
ïðè öüîìó éîãî âëàñòèâîñò³ ïðè ðîçòÿç³ ³ ñòèñêó º ð³çíèìè, à âîëîêíà â ïîêðèòò³
íàñò³ëüêè òîíê³, ùî ¿õ ðîçì³ðàìè â ïîïåðå÷íîìó íàïðÿìêó ìîæíà çíåõòóâàòè. Ïðèé-
íÿòî, ùî êîíòàêò ì³æ ìàòðèöåþ, ïîêðèòòÿì ³ âîëîêíîì – ³äåàëüíèé. Ïîêàçàíî, ùî
ïëàñòèíà ðîçáèâàºòüñÿ íà ÷îòèðè ê³ëüöåâ³ çîíè, ó êîæí³é ç ÿêèõ ðåàë³çóºòüñÿ ð³çíèé
ïëàñòè÷íèé ñòàí. Âèçíà÷åíî ñòàòè÷í³ ïîëÿ ìîìåíò³â ³ ê³íåìàòè÷í³ ïîëÿ øâèäêîñòåé
ïðîãèí³â, îòðèìàíî ð³âíÿííÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ ðàä³óñ³â, ùî ðîçä³ëÿþòü ð³çí³ ïëàñòè÷í³
çîíè, òà îïîðíî¿ ðåàêö³¿ ³ ãðàíè÷íîãî íàâàíòàæåííÿ ó âèïàäêó ð³âíîì³ðíî ðîçïîä³ëå-
íîãî ïîïåðå÷íîãî íàâàíòàæåííÿ.
1. Mroz Z. and Shamiev F. G. Simplified yield conditions for fibre-reinforced plates and
shells // Arch. Inz. Lad. – 1979. – 25, No. 3. – P. 463–476.
2. Ìîâñóìîâ Ý. À., Øàìèåâ Ô. Ã. Íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü ïëàñòèíîê èç âîëîêíèñòîãî
êîìïîçèòà // Ìåõàíèêà êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ. – 2005. – 41, ¹ 2. – Ñ. 177–
192.
3. Kubishev I. N. Bearing capacity of a composite annular plate with different fixing
conditions, situated under the action of uniformly distributed load // Trans. of IMM of
NAS of Azerbaijan. – 2009. – 29, No. 1. – P. 187–198.
4. Êóáûøåâ È. Í. Íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü êîìïîçèòíîé êîëüöåâîé ïëàñòèíêè ñ
ðàçíûìè óñëîâèÿìè çàêðåïëåíèÿ, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì êîëüöåâîé
íàãðóçêè // Àñïèðàíò è ñîèñêàòåëü. – 2010. – ¹ 2. – Ð. 86–98.
138 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 3
À. À. Äæàãàíãèðîâ
5. Íàëèìîâ À. Â. Óíèâåðñàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïîâåðõíîñòåé òåêó÷åñòè äëÿ
æåñòêîïëàñòè÷åñêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê // Ïîëçóíîâñêèé âåñòíèê. – 2006.
– ¹ 2. – Ñ. 90–94.
6. Íåìèðîâñêèé Þ. Â., Ïÿòàåâ Ñ. Ô. Ïîâåðõíîñòü òåêó÷åñòè äâîÿêîïåðèîäè÷åñ-
êîãî âîëîêíèñòîãî êîìïîçèöèîííîãî ìàòåðèàëà // Æóðí. Ñèá. ôåäåðàëüíîãî
óí-òà. Ñåð. Ìàòåìàòèêà è ôèçèêà. – 2009. – 4, ¹ 2. – Ñ. 470–483.
7. Ñóïðèí À. Í., Âåæëèñ Ò. Ì. Åäèíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ýâîëþöèè ïîâåðõ-
íîñòè òåêó÷åñòè ïðè ïîëíîé è ÷àñòè÷íîé ðàçãðóçêå // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè è
ïëàñòè÷íîñòè. – 2008. – Âûï. 70. – Ñ. 24–31.
8. Ëóêüÿíîâ À. À., Ïåíüêîâ Â. Á. Êîððåêòíàÿ ìîäåëü íåñæèìàåìîé àíèçîòðîïíîé
àññîöèèðîâàííîé ïëàñòè÷íîñòè: òå÷åíèå Õèëëà // Âåñò. ÑàìÃÓ. Åñòåñòâåííî-
íàó÷íàÿ ñåðèÿ. – 2007. – ¹ 4 (54). – Ñ. 280–289.
9. Bron F. and Besson J. A yield function for anisotropic materials: application to
aluminum alloys // Int. J. Plasticity. – 2004. – 20, No. 4-5. – P. 937–963.
10. Äæàãàíãèðîâ À. À. Íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü àðìèðîâàííîé âîëîêíàìè êðóãëîé
òðåõñëîéíîé êîìïîçèòíîé ïëàñòèíêè, çàùåìëåííîé ïî êîíòóðó // Ýêîýíåðãåòèêà.
– 2012. – ¹ 4. – Ñ. 74–80.
11. Äæàãàíãèðîâ À. À. Íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü àðìèðîâàííîé âîëîêíàìè ñâîáîäíî
îïåðòîé êðóãëîé òðåõñëîéíîé êîìïîçèòíîé ïëàñòèíêè // Íàó÷íûå òðóäû –
ôóíäàìåíòàëüíûå íàóêè. – 2013. – 7 (45), ¹ 1. – Ñ. 50–54.
12. Ìðóç Ç., Ñàâ÷óê À. Íåñóùàÿ ñïîñîáíîñòü êîëüöåâûõ ïëàñòèí, çàêðåïëåííûõ ïî
îáåèì êðîìêàì // Ìåõàíèêà è ìàøèíîñòðîåíèå. – 1960. – ¹ 3. – Ñ. 72–78.
Ïîñòóïèëà 17. 04. 2014
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2015, ¹ 3 139
Ïðåäåëüíàÿ íàãðóçêà òðåõñëîéíîé âîëîêíèñòîé êîìïîçèòíîé êîëüöåâîé ïëàñòèíû ...
|