Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой
Разработаны модель и методика исследования вынужденных колебаний ротора на двух радиально-упорных шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой. В модели колебания возбуждаются совместным действием дисбаланса и вибрации опор. Проанализированы амплитудно-частотные характеристики, резонансы, ус...
Збережено в:
Дата: | 2017 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2017
|
Назва видання: | Проблемы прочности |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173629 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой / С.В. Филипковский // Проблемы прочности. — 2017. — № 2. — С. 75-83. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-173629 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1736292020-12-14T01:26:12Z Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой Филипковский, С.В. Научно-технический раздел Разработаны модель и методика исследования вынужденных колебаний ротора на двух радиально-упорных шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой. В модели колебания возбуждаются совместным действием дисбаланса и вибрации опор. Проанализированы амплитудно-частотные характеристики, резонансы, устойчивость и бифуркации колебаний. Розроблено модель і методику дослідження змушених коливань ротора на двох радіально-упорних шарикопідшипниках із попереднім осьовим навантаженням. У моделі коливання збуджуються спільною дією дисбалансу і вібрації опор. Проаналізовано амплітудно-частотні характеристики, резонанси, стійкість і біфуркації коливань. A model of forced vibrations of a rotor with two axially preloaded angular contact ball bearings and a procedure for studying them have been developed. In the model, vibrations are excited by the joint action of the unbalance and vibration of the supports. Amplitude-frequency characteristics, resonances, the stability and bifurcations of vibrations have been analyzed. 2017 Article Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой / С.В. Филипковский // Проблемы прочности. — 2017. — № 2. — С. 75-83. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173629 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Филипковский, С.В. Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой Проблемы прочности |
description |
Разработаны модель и методика исследования вынужденных колебаний ротора на двух радиально-упорных шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой. В модели колебания возбуждаются совместным действием дисбаланса и вибрации опор. Проанализированы амплитудно-частотные характеристики, резонансы, устойчивость и бифуркации колебаний. |
format |
Article |
author |
Филипковский, С.В. |
author_facet |
Филипковский, С.В. |
author_sort |
Филипковский, С.В. |
title |
Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой |
title_short |
Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой |
title_full |
Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой |
title_fullStr |
Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой |
title_full_unstemmed |
Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой |
title_sort |
устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой |
publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
publishDate |
2017 |
topic_facet |
Научно-технический раздел |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173629 |
citation_txt |
Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой / С.В. Филипковский // Проблемы прочности. — 2017. — № 2. — С. 75-83. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
series |
Проблемы прочности |
work_keys_str_mv |
AT filipkovskijsv ustojčivostʹibifurkaciikolebanijrotoranašarikopodšipnikahspredvaritelʹnojosevojnagruzkoj |
first_indexed |
2025-07-15T10:22:30Z |
last_indexed |
2025-07-15T10:22:30Z |
_version_ |
1837708031401394176 |
fulltext |
ÓÄÊ 539.3
Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ
ñ ïðåäâàðèòåëüíîé îñåâîé íàãðóçêîé
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò, Õàðüêîâ, Óêðàèíà
svfil@inbox.ru
Ðàçðàáîòàíû ìîäåëü è ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ðîòîðà íà äâóõ
ðàäèàëüíî-óïîðíûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåäâàðèòåëüíîé îñåâîé íàãðóçêîé. Â ìîäåëè êî-
ëåáàíèÿ âîçáóæäàþòñÿ ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð. Ïðîàíàëèçè-
ðîâàíû àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè, ðåçîíàíñû, óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè
êîëåáàíèé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðîòîð, øàðèêîïîäøèïíèê, íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, óñòîé÷èâîñòü,
áèôóðêàöèÿ.
Ââåäåíèå. Ðîòîðû, êîòîðûå èñïûòûâàþò ïðîäîëüíóþ íàãðóçêó, óñòàíàâëèâàþò
íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ ïîäøèïíèêàõ.  èçâåñòíûõ ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ çàçîðîì
ìåæäó øàðèêàìè è êàíàâêàìè êà÷åíèÿ [1, 2]. Ðîòîðû ìíîãèõ àãðåãàòîâ, íàïðèìåð
ãèðîñêîïè÷åñêèõ ïðèáîðîâ, òóðáîõîëîäèëüíèêîâ ñàìîëåòîâ, äîëæíû áûòü çàùèùåíû
îò óäàðîâ, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü â ðåçóëüòàòå çàêðûòèÿ çàçîðîâ ìåæäó øàðèêàìè
è êàíàâêàìè êà÷åíèÿ ïîäøèïíèêîâ. Òàêèå ðîòîðû óñòàíàâëèâàþò íà ðàäèàëüíî-óïîð-
íûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåäâàðèòåëüíûì îñåâûì ïîäæàòèåì.
Óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåëèíåéíîé æåñòêîñòè ïðåäâàðèòåëüíî ïîäæàòûõ
ïîäøèïíèêîâ ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòå [3], îäíàêî äëÿ âûïîëíåííûõ â íåé èññëåäî-
âàíèé îíè ëèíåàðèçîâàíû.  [4] ÷èñëåííî è ýêñïåðèìåíòàëüíî èññëåäîâàíû ïîïåðå÷-
íûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ ïîäæàòûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ, âûçâàí-
íûå äèñáàëàíñîì äèñêà, è ïîêàçàíà èõ çàâèñèìîñòü îò íåëèíåéíûõ êîíòàêòíûõ ñèë.
Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü âàëà íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ ïîä äåéñòâèåì ïåðå-
ìåííîé îñåâîé ñèëû ðàññìîòðåíà â [5]. Çàâèñèìîñòè óñòîé÷èâîñòè è áèôóðêàöèé
ðîòîðà îò âåëè÷èíû ñèëû îñåâîãî ïîäæàòèÿ øàðèêîïîäøèïíèêîâ è ÷àñòîòû âðàùå-
íèÿ èçó÷åíû â ðàáîòå [6].
Ðàíåå [7] èññëåäîâàíû ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ
øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåäâàðèòåëüíûì ïîäæàòèåì è ïîëó÷åíû ñêåëåòíûå êðèâûå è
íåëèíåéíûå íîðìàëüíûå ôîðìû êîëåáàíèé ïðè ðàçíûõ óãëàõ ìåæäó ëèíèåé äåéñòâèÿ
êîíòàêòíûõ ñèë è îñüþ ïîäøèïíèêà.
 ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòàõ è ìîðñêèõ ñóäàõ îïîðû àãðåãàòîâ ïîäâåðæåíû âîç-
äåéñòâèþ âèáðàöèé ïëàíåðà àïïàðàòà èëè êîðïóñà ñóäíà. Âëèÿíèå âèáðàöèè îïîð íà
âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü. Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû
ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ðîòîðà íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåä-
âàðèòåëüíûì ïîäæàòèåì, âûçâàííûõ îäíîâðåìåííûì äåéñòâèåì äèñáàëàíñà è âèáðà-
öèè îïîð.
Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà. Ðîòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âàë ñ äèñêîì, çàêðåïëåííûì íåñèì-
ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îïîð (ðèñ. 1,à). Íàçíà÷åíèå è óñëîâèÿ ðàáîòû àãðåãàòîâ ñ
îñåâûì ïîäæàòèåì øàðèêîïîäøèïíèêîâ òàêîâû, ÷òî ñîîòíîøåíèå äëèíû è äèàìåòðà
âàëà îáóñëîâëèâàåò æåñòêîñòü âàëà, êîòîðàÿ íà ïîðÿäîê áîëüøå æåñòêîñòè ïîäøèï-
íèêîâ, ïîýòîìó âàë ñ÷èòàåì íåäåôîðìèðóåìûì òåëîì. Òàêèå ìîäåëè ïðèìåíÿþò äëÿ
ãèðîñêîïè÷åñêèõ ïðèáîðîâ [3], øïèíäåëåé âûñîêîîáîðîòíûõ ñòàíêîâ [8], òóðáîõîëî-
© Ñ. Â. ÔÈËÈÏÊÎÂÑÊÈÉ, 2017
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 75
äèëüíèêîâ. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåùåíèÿ öàïô
îòíîñèòåëüíî âíåøíèõ êîëåö ïîäøèïíèêîâ.
Êîìïîíåíòû óïðóãèõ ðåàêöèé ïîäøèïíèêà âäîëü îñåé x y z, , ïîëó÷åíû â
ðàáîòå [3]:
P K x y z zx� � � � �
� � � � � �� � � �[ cos cos cos sin ( )sin ] cos co/
0
3 2 s ;
[ cos cos cos sin ( )sin
�
� � � � �
�
�
� � � � �
�
�
� � � �
1
0
N
y
B
P K x y z z
�
�
� � � � �
� �
� � � �
�
�
� � �
1
3 2
N
z
B
P K x y
] cos sin ;
[ cos cos cos sin
/
( )sin ] sin ,/z z
N B
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 0
3 2
1
� �
�
(1)
ãäå K P N zB�
( ) sin ;/ /3 20 0
3 2 5 2
� x
�
, y
�
, z z z1 2� � – ñìåùåíèÿ öåíòðà âíóòðåí-
íåãî êîëüöà îòíîñèòåëüíî öåíòðà íàðóæíîãî êîëüöà; ��1 2, – íîìåðà îáîáùåííûõ
êîîðäèíàò öàïô; óãëû � è �
�
ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1,á; � è N B – íîìåð è êîëè÷åñòâî
øàðèêîâ; P0 – ñèëà ïðåäâàðèòåëüíîãî îñåâîãî ïîäæàòèÿ; z0 – îñåâîå ñìåùåíèå
âíóòðåííåãî êîëüöà îòíîñèòåëüíî âíåøíåãî êîëüöà îò äåéñòâèÿ ñèëû P0.
Óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ðîòîðà. Ïåðåìåùåíèÿ ñå÷åíèé âàëà ïî íàïðàâëåíèÿì
êîîðäèíàòíûõ îñåé ux , u y çàïèñûâàþòñÿ òàê:
u t x t l l x t l
u t y t l l y
x
y
( , ) ( )( ) ( ) ;
( , ) ( )( )
� � �
� �
�
�
�
�
1 2
1 2 ( ) ,t l�
(2)
ãäå l – äëèíà âàëà; � – êîîðäèíàòà ñå÷åíèÿ âàëà ïî îñè z; x t1 ( ), x t2 ( ), y t1 ( ), y t2 ( ) –
îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ðàäèàëüíûõ ïåðåìåùåíèé öàïô; t – âðåìÿ.
Âíóòðåííèå êîëüöà øàðèêîïîäøèïíèêîâ ñîâåðøàþò êàê ðàäèàëüíûå, òàê è
îñåâûå êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî íàðóæíûõ êîëåö. Ïîñêîëüêó ïåðåìåùåíèÿ ìàëû ïî
ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âàëà, êîëåáàíèÿ ðîòîðà âäîëü êîîðäèíàòíîé îñè z ìîæíî
ïðåäñòàâèòü îäíîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé u z tz � ( ).
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà
âòîðîãî ðîäà. Âûðàæåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âàëà TB â âèäå ôóíêöèè îáîáùåí-
íûõ êîîðäèíàò ïðåäñòàâëÿåòñÿ òàê:
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé
76 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2
à á
Ðèñ. 1. Ðàñ÷åòíûå ñõåìû ðîòîðà (à) è øàðèêîïîäøèïíèêà (á).
T
I y y
l
I x x
l
I
B
C C C
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
1 1 2
2
1 2 1
2
0 2
2 2 2
� � � �
� I
y y x x
l
C 0
1 2 2 1
2
�
( � )( )
�
�
��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
� �
m x x m y y m
z
B B B
2 2 2 2 2
1 2
2
1 2
2
2� � � �
� , (3)
ãäå mB – ìàññà âàëà; IC 0 è IC1 – öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèè âàëà îòíîñèòåëüíî
îñè âðàùåíèÿ è ïîïåðå÷íûõ îñåé; � – óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà.
Âûðàæåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äèñêà TD , êîòîðûé çàêðåïëåí íà âàëó ñ
ýêñöåíòðèñèòåòîì a, â âèäå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò èìååò âèä
T
I y y
l
I x x
l
I
ID �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � �
1 1 2
2
1 2 1
2
0 2
0
2 2 2
� � � �
� �
( � � )( )y y x x
l
1 2 2 1
2
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
� �
m
x
l
x
l
a t
D D0
1 2
2
2
1� � sin
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
� �
m
y
l
y
l
a t
m
z
D D0
1 2
2
0 2
2
1
2
� � cos � ,
� �
� � (4)
ãäå m0 – ìàññà äèñêà; I 0 è I1 – ïîëÿðíûé è ýêâàòîðèàëüíûé ìîìåíòû èíåðöèè
äèñêà; � D – êîîðäèíàòà äèñêà ïî îñè z.
Èç äîïóùåíèÿ, ÷òî âàë íåäåôîðìèðóåìûé, ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
äåôîðìàöèè ñèñòåìû ïðåäñòàâëåíà òîëüêî ýíåðãèåé äåôîðìàöèè ïîäøèïíèêîâ ��
��
�
( , , , , ).x y x y z1 1 2 2 Ïðîèçâîäíûå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïî îáîáùåííûì êîîð-
äèíàòàì ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âûðàæåíèÿ (1).
Äåìïôèðîâàíèå êîëåáàíèé, îáóñëîâëåííîå ñìàçêîé îïîð, îáû÷íî îïèñûâàþò
ìîäåëüþ âÿçêîãî òðåíèÿ [9, 10].  ýòîì ñëó÷àå äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ Ðýëåÿ � èìååò
âèä
�� � � � �C x y x y z(� � � � � ) ,1
2
1
2
2
2
2
2 2 2 (5)
ãäå Ñ – êîýôôèöèåíò äåìïôèðîâàíèÿ.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèé (1) è (3)–(5) ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé â
ìàòðè÷íîì âèäå:
[ ]{ ��} [ ]{ � } [ ]{ � } { ( )} { ( )},M X C X C X K X Q t� � � � (6)
ãäå [ ]M – ìàòðèöà ìàññ; [ ]G – ìàòðèöà ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë; [ ]C – ìàòðèöà
äåìïôèðîâàíèÿ; { ( )}K X – âåêòîð, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûå
ôóíêöèè (1); { }X – âåêòîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, { ( )}Q t – âåêòîð ïðàâîé ÷àñòè.
Ïîñêîëüêó êîëåáàíèÿ âîçáóæäàþòñÿ ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì äèñáàëàíñà äèñêà è
âèáðàöèè îïîð, ïîëó÷èì
{ ( )} { ( , )} { ( , )}.Q t Q t Q tD� ��
�
�
Çäåñü { ( , )}Q tD � – âåêòîð ñèë, îáóñëîâëåííûõ äèñáàëàíñîì äèñêà,
{ ( , )} cos sinQ t m a
l
t
l
t
l
D
D D D
� � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
2 1 1
� � �
cos sin ;� �t
l
t
D
T
�
0
�
�
�
�
�
�
Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà ...
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 77
{ ( , )}Q t
�
� – âåêòîð ñèë êèíåìàòè÷åñêîãî âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, êîòîðûé ñëåäóåò
çàïèñàòü òàê [11]:
{ ( , )} [ ]{ ( , )},Q t M A t
� �
� ��
ãäå { ( , )}A t
�
� – âåêòîð âèáðîóñêîðåíèé îïîð,
{ ( , )} [ ] sin ,A t A A A A A tx y x y z
T
� � � � � �
� �� 1 1 2 2
� – êðóãîâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé îïîð; A Ax z� �1 , ... , – àìïëèòóäû âèáðîóñêîðåíèé.
Ïîñòðîåíèå àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè ìåòîäîì ïðîäîëæåíèÿ
ïî ïàðàìåòðó. Ïîä àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (À×Õ) ñëåäóåò ïîíèìàòü
çàâèñèìîñòü ïîëóðàçìàõà êîëåáàíèé îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé �, ïðè ýòîì � ñ÷èòàåì
ôèêñèðîâàííîé. Îïðåäåëèì áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû ñëåäóþùèì îáðàçîì: xA �
� x z1 0; y y zA � 1 0; x x zB � 2 0; y y zB � 2 0; z z zA � 0; � � �� l ; � �� � l ;
� �� t l , ãäå � l – îñíîâíàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû ïðè �� 15 .
Óðàâíåíèå (6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
{�} { ({ }, )},Y Y� ! � (7)
ãäå { }! – âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò.
Óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (7) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
{ ( )} { ( )},Y Y T0 � (8)
ãäå T – ïåðèîä.
Åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå âåêòîðû { } { ( )}Y Y0 0� è { } { ( )},Y Y TT � îïðåäå-
ëÿþùèå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (7) â ìîìåíòû âðåìåíè �� 0 è ��T , òî çàäà÷ó Êîøè (7)
ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè (8) ìîæíî ñâåñòè ê ðåøåíèþ íåÿâíîãî óðàâíåíèÿ
{ ({ } )} { } .Y Y YT0 0� (9)
×òîáû îïðåäåëèòü ôóíêöèþ { ({ } )}Y Y T0 , ñèñòåìó (7) èíòåãðèðóåì ÷èñëåííûì
ìåòîäîì. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ íà÷àëüíîé òî÷êè À×Õ ðåøàåì óðàâ-
íåíèå êîëåáàíèé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû âäàëè îò ðåçîíàíñà è óòî÷íÿåì åãî
èòåðàöèîííûì ìåòîäîì. Ñëåäóþùèå òî÷êè íàõîäèì, âûïîëíÿÿ îïðåäåëåííûå øàãè
ïî ïàðàìåòðó ïðîäîëæåíèÿ âáëèçè ðåçîíàíñíîé îáëàñòè. Ïàðàìåòðîì ïðîäîëæåíèÿ
äëÿ ïåðâûõ òî÷åê À×Õ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòîòà.
Âáëèçè ðåçîíàíñà íà À×Õ ìîãóò ïîÿâèòüñÿ îñîáûå òî÷êè, â êîòîðûõ êàñàòåëüíàÿ
ê êðèâîé ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè àáñöèññ. Ïðè ïîäõîäå ê ýòîé òî÷êå íåîáõîäèìî ìåíÿòü
ïàðàìåòð ïðîäîëæåíèÿ À×Õ ñ ÷àñòîòû íà îäíó èç ôàçîâûõ êîîðäèíàò, ò.å. ðåøàòü
èíâåðòèðîâàííóþ çàäà÷ó [12].
Ðåøåíèÿ êàê ïðÿìîé, òàê è èíâåðòèðîâàííîé çàäà÷è óòî÷íÿåì ìåòîäîì Íüþòîíà.
Óðàâíåíèÿ ýòîãî ìåòîäà äëÿ ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è (9) çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì [12]:
[ ({ } ) ]{ } { ({ } )} { } ;
{ } { } {
J Y E h Y Y Y
Y Y
Y T0 0 0
0
1
0
�
�
�
" " "
" " hY } ,"
�
�
�
(10)
ãäå [ ({ } )] [ { } { } ... { } { } ], ,J Y Y Y Y YT T n0 0 1 0 2� # # # # – ìàòðèöà ßêîáè; [ ]E – åäèíè÷íàÿ
ìàòðèöà; " – íîìåð èòåðàöèè; { }hY
" – âåêòîð øàãà èòåðàöèè.
78 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé
Íà îñíîâàíèè (7) i-é ñòîëáåö ìàòðèöû ßêîáè ïðåäñòàâèì:
#
#
#
#
! � �
# !
#
#
#
{ }
{ ({ }, )}
{ }
, , ,
Y
Y Y
Y d
Y
Y
Y
T
i i k
k
ik
n
0 0 01
2
� �
�
�$$
�
�
�
%
&
�
'
�
00
TT
d�. (11)
 (11) ïðîèçâîäíûå #(!) #Yk ìîæíî îïðåäåëèòü àíàëèòè÷åñêè, òàê êàê èçâåñò-
íû óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé. Ïðîèçâîäíûå # # *Y Yk i k i0, ,� ÿâëÿþòñÿ íîâûìè ïåðåìåí-
íûìè. Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå i-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû ßêîáè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðè-
ðîâàíèþ ñëåäóþùåé ñèñòåìû ñ âåêòîðîì íîâûõ ïåðåìåííûõ { }*k i :
#
#
# !
#
* �
{ } { }
.
,
,
Y
Y Y
d
T
i k
k i
k
nT
0 1
2
0
�
�
�
�
%
&
�
'
�
�
�$ (12)
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ýòèõ ïåðåìåííûõ: *k i, ,� 0 åñëè k i+ , è *k i, ,�1 åñëè k i� .
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðà { },Y âõîäÿùåãî â âûðàæåíèÿ ïðîèçâîäíûõ # ! #{ } Yk , ñîâìåñò-
íî èíòåãðèðóþòñÿ óðàâíåíèÿ (7) è (12).
 ìàòðèöå ßêîáè èíâåðòèðîâàííîé çàäà÷è (10) ñòîëáåö ïðîèçâîäíûõ # #{ } ,Y YT j0 ,
ñîîòâåòñòâóþùèé íîâîìó ïàðàìåòðó ïðîäîëæåíèÿ Y j , çàìåíÿåòñÿ ñòîëáöîì # #�{ }Y T ;
â ìàòðèöå [ ]E ýëåìåíò, ñîîòâåòñòâóþùèé j-é êîîðäèíàòå, çàìåíÿåòñÿ íóëåì; â âåêòîðå
{ }hY
" íà j-é ïîçèöèè áóäåò íàõîäèòñÿ øàã ïî ÷àñòîòå ,�
" [12]. Ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî
ñòîëáöà ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå ïåðåìåííûå # � *Yk k j� , , íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âñåõ ïåðå-
ìåííûõ *k j, ,� 0 j – íîìåð ñòîëáöà ïàðàìåòðà ïðîäîëæåíèÿ èíâåðòèðîâàííîé çàäà÷è.
Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå j-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû ßêîáè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ
ñëåäóþùåé ñèñòåìû ñ âåêòîðîì íîâûõ ïåðåìåííûõ { }*k j :
#
#�
# !
#
*
# !
#�
�
-
�
!
{ } { } { }
,
Y
Y
d
T
k
k j
k
n
� �
�
�
�
%
&
�
'
�
�
�
1
2
2
2
{ } , , .
/
Y T �
-
�
- �
2
0
2
�
�
�
�
�
�
�
%
&
'
$ (13)
Ïî îêîí÷àíèè èòåðàöèé åùå ðàç âûïîëíÿåì èíòåãðèðîâàíèå ïî àëãîðèòìó (12).
Ïîëó÷åííàÿ ìàòðèöà áóäåò òîæäåñòâåííà ìàòðèöå ìîíîäðîìèè óðàâíåíèÿ â âàðèàöè-
ÿõ [12], åå ìóëüòèïëèêàòîðû . / 0� 1i îïðåäåëÿþò óñòîé÷èâîñòü è õàðàêòåð áèôóð-
êàöèé ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè À×Õ [13].
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé. Ðàññìîòðåíû êîëåáàíèÿ íåäåôîðìèðó-
åìîãî ðîòîðà ñ îäíèì äèñêîì è ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè: l� 0 5, ì; � D � 0125, ì;
mB �1963, êã; IC1 0 04098� , êã ì 2
2 ; IC 0 0 00015� , êã ì 2
2 ; m0 10� êã; I1 01� , êã ì 2
2 ;
I 0 0 2� , êã ì 2
2 , êîòîðûé âðàùàåòñÿ íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ ïîäøèïíèêàõ ñðåäíåé
ñåðèè ïî ÃÎÑÒ 831-75. Ïàðàìåòðû ïîäøèïíèêà òàêîâû: ðàäèóñû âíåøíåé êàíàâêè
êà÷åíèÿ R2 äëÿ óãëîâ ��12, 15, 26, 36 è 40 ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 27,5125; 27,5167;
27,5399; 27,5709 è 27,5858 ìì. Ðàäèóñ âíóòðåííåé êàíàâêè êà÷åíèÿ R1 16 0� , ìì;
ðàäèóñ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êàíàâîê êà÷åíèÿ RK � 5 930, ìì; äèàìåòð øàðèêà dB �
�11510, ìì; êîëè÷åñòâî øàðèêîâ N B � 7; ìîäóëü óïðóãîñòè E� 221 1011, Ïà; êîýô-
ôèöèåíò Ïóàññîíà 3� 0 3, .
 ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà îïðåäåëåíû ôîðìû è ÷àñòîòû ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ðîòîðà,
îïèøåì èõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷àñòîò: ïåðâàÿ ôîðìà ñ íèçøåé ÷àñòîòîé �1 –
ðîòîð êîëåáëåòñÿ âäîëü ïðîäîëüíîé îñè; âòîðàÿ ôîðìà ñ ÷àñòîòîé �2 – öàïôû âàëà
íàõîäÿòñÿ ñ îäíîé ñòîðîíû îò îñè ïîäøèïíèêîâ è äâèæóòñÿ ïî êðóãó íàâñòðå÷ó
âðàùåíèþ ðîòîðà; òðåòüÿ ôîðìà ñ ÷àñòîòîé �3 – öàïôû ðàñïîëîæåíû òàêæå è
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 79
Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà ...
äâèæóòñÿ ïî êðóãó â ñòîðîíó âðàùåíèÿ ðîòîðà; ÷åòâåðòàÿ ôîðìà ñ ÷àñòîòîé �4 –
öàïôû âàëà íàõîäÿòñÿ ñ ðàçíûõ ñòîðîí îò îñè ïîäøèïíèêîâ è äâèæóòñÿ ïî êðóãó
íàâñòðå÷ó âðàùåíèþ ðîòîðà; ïÿòàÿ ôîðìà ñ ÷àñòîòîé �5 – öàïôû ðàñïîëîæåíû òàêæå
è äâèæóòñÿ ïî êðóãó â ñòîðîíó âðàùåíèÿ ðîòîðà.
Êîëåáàíèÿ, âûçâàííûå äèñáàëàíñîì áåç âèáðàöèè îïîð, îñóùåñòâëÿþòñÿ ïî
òðåòüåé ôîðìå. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïåðåìåùåíèÿ yB ýòèõ êîëå-
áàíèé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2,à.  ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà � ÿâëÿåòñÿ
ïåðåìåííîé. Ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð ïðîÿâëÿþòñÿ
ðåçîíàíñû âñåõ ôîðì êîëåáàíèé ðîòîðà, à òàêæå ñóáðåçîíàíñû ñ ÷àñòîòàìè, îòíî-
ñÿùèìèñÿ êàê öåëûå ÷èñëà. ×àñòîòà âèáðàöèè îïîð � áóäåò ïåðåìåííîé, ñêîðîñòü
âðàùåíèÿ ðîòîðà � ôèêñèðîâàíà è íàõîäèòñÿ â äèàïàçîíå ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò
êîëåáàíèé ðîòîðà. Ó÷àñòêè ðåçîíàíñîâ À×Õ ñ íàèáîëüøèìè ðàçìàõàìè ïåðåìåùåíèÿ
óÂ , âûçâàííîãî ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð, ïðè òåõ æå
óãëàõ êîíòàêòà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2,á. Ýòè êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò òàêæå ïî òðåòüåé
ôîðìå.
Ïðè ëþáûõ óãëàõ � À×Õ èìååò îáëàñòè ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè. Íà ëåâûõ âåòâÿõ
íàèáîëüøèé ìóëüòèïëèêàòîð ìàòðèöû ìîíîäðîìèè .1 ñòàíîâèòñÿ äåéñòâèòåëüíûì
÷èñëîì áîëüøå åäèíèöû, ýòî ñåäëî-óçëîâàÿ áèôóðêàöèÿ [13]. Íà ïðàâûõ âåòâÿõ
ìîäóëè íàèáîëüøèõ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ ìóëüòèïëèêàòîðîâ | |,.1 2 ñòàíîâÿòñÿ
áîëüøå åäèíèöû, ýòî áèôóðêàöèÿ äâóõìåðíîãî òîðà [13].
Íà ðèñ. 3,à ïðåäñòàâëåíà À×Õ ðîòîðà íà ïîäøèïíèêàõ ñ óãëîì êîíòàêòà �� 15 .
×àñòîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà f
�
�� �2 250- Ãö, îñíîâíàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà ëèíåà-
ðèçîâàííîé ñèñòåìû f l�
� -� �2 199 Ãö. Ðåçîíàíñû è ñóáðåçîíàíñû ïî ÷åòâåðòîé
ôîðìå êîëåáàíèé èìåþò íàèìåíüøèå àìïëèòóäû, ïî òðåòüåé ôîðìå – íàèáîëüøèå.
Ðåçîíàíñû ïî ïåðâîé è âòîðîé ôîðìàì êîëåáàíèé íå âîçáóæäàþòñÿ. Íà ðèñ. 3,á
ïðåäñòàâëåí íèçêî÷àñòîòíûé äèàïàçîí À×Õ ýòîãî ðîòîðà. ×àñòîòû íà ñóáðåçîíàíñàõ
îòíîñÿòñÿ ê ÷àñòîòå �3 êàê öåëûå ÷èñëà.  ýòîì äèàïàçîíå åñòü ñóáðåçîíàíñû ñ
ìàëûìè ðàçìàõàìè ïî ïÿòîé ôîðìå êîëåáàíèé.
Òðàåêòîðèè öåíòðîâ öàïô íà îñíîâíûõ ðåçîíàíñàõ êàæäîé ôîðìû êîëåáàíèé
áëèçêè ê îêðóæíîñòÿì. Íà ñóáðåçîíàíñíûõ ÷àñòîòàõ çà êàæäûé ïåðèîä öàïôà îïè-
ñûâàåò ñòîëüêî êðóãîâûõ ïåòåëü, âî ñêîëüêî ðàç ÷àñòîòà íèæå îñíîâíîé ÷àñòîòû ýòîé
ôîðìû.
Ñ óâåëè÷åíèåì óãëà êîíòàêòà àìïëèòóäû ïÿòîé è ÷åòâåðòîé ôîðì êîëåáàíèé
óìåíüøàþòñÿ, àìïëèòóäû òðåòüåé ôîðìû óâåëè÷èâàþòñÿ (ðèñ. 4).
80 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2
a á
Ðèñ. 2. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðîòîðà ïðè ðàçíûõ óãëàõ êîíòàêòà: 1 – � � 12 ;
2 – � � 15 ; 3 – � � 26 ; 4 – � � 36 ; 5 – � � 40 . (Çäåñü è íà ðèñ. 3, 4: øòðèõîâûå ëèíèè –
íåóñòîé÷èâûå ðåæèìû.)
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé
Äëÿ àíàëèçà äèíàìèêè ðîòîðà íà íåóñòîé÷èâûõ ðåæèìàõ, êîãäà ìóëüòèïëè-
êàòîðû ìàòðèöû ìîíîäðîìèè âûõîäÿò çà åäèíè÷íûé êðóã, ïîñòðîåíû çàâèñèìîñòè
îáîáùåííûõ êîîðäèíàò îò âðåìåíè. Íà ëåâûõ âåòâÿõ À×Õ íàáëþäàþòñÿ êîëåáàíèÿ ñ
ïåðåìåííûì ðàçìàõîì (ðèñ. 5,à). Ïî îòîáðàæåíèþ Ïóàíêàðå äëÿ ýòîãî ðåæèìà èç
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 81
a á
Ðèñ. 3. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðîòîðà ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè äèñáàëàíñà è
âèáðàöèè îïîð ïðè � � 15 .
a á
Ðèñ. 4. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðîòîðà ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè äèñáàëàíñà è
âèáðàöèè îïîð ïðè � � 26 (à) è 36 (á).
a á
Ðèñ. 5. Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ (à) è îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå (á) íà ëåâîé âåòâè À×Õ, � �1 033, .
Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà ...
ðèñ. 5,á ñëåäóåò, ÷òî êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ïðèâîäèò ê áèåíèÿì. Íà ïðàâûõ âåòâÿõ
À×Õ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ êîðî÷å è òàêæå ïðèâîäèò ê áèåíèÿì (ðèñ. 6).
Çàêëþ÷åíèå. Êðèâèçíà êàíàâîê êà÷åíèÿ â øàðèêîïîäøèïíèêå ÿâëÿåòñÿ ïåðå-
ìåííîé è ìèíèìàëüíîé íà äíå êàíàâîê. Ïðè äâèæåíèè òî÷êè êîíòàêòà øàðèêà îò äíà
ê áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ è ñîîòâåòñòâåííî æåñò-
êîñòü çîíû êîíòàêòà óìåíüøàåòñÿ. ×åì áîëüøå àìïëèòóäà, òåì çíà÷èòåëüíåå èçìå-
íåíèå æåñòêîñòè çîíû êîíòàêòà çà öèêë êîëåáàíèé, ïîýòîìó õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû
ìÿãêàÿ. ×åì áîëüøå óãîë êîíòàêòà, òåì áîëüøå êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè êàíàâîê
êà÷åíèÿ â çîíå êîíòàêòà è òåì ìåíüøå æåñòêîñòü çîíû êîíòàêòà è ñîîòâåòñòâåííî
÷àñòîòà êîëåáàíèé, ïîýòîìó À×Õ ðîòîðîâ ñ áîëüøèìè óãëàìè � íà ðèñ. 2 ðàñïî-
ëîæåíû ëåâåå.
Ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð âîçáóæäàþòñÿ âñå ôîð-
ìû êîëåáàíèé ðîòîðà. Ïðè ýòîì êîëåáàíèÿ âîçíèêàþò íå òîëüêî íà îñíîâíûõ ðåçî-
íàíñíûõ ÷àñòîòàõ, íî è íà ÷àñòîòàõ, îòíîñÿùèõñÿ êàê öåëûå ÷èñëà. Òàêîå ïîâåäåíèå
ñèñòåìû îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ÷àñòîòà âèáðàöèè îïîð è ÷àñòîòû ñâîáîäíûõ êîëå-
áàíèé îäíîãî ïîðÿäêà. Íàëîæåíèå âîçìóùàþùèõ âîçäåéñòâèé, îáóñëîâëåííûõ äèñ-
áàëàíñîì è âèáðàöèåé îïîð, ïîðîæäàåò áèåíèÿ êîëåáàíèé, êîòîðûå âûçûâàþò âñå
ðàññìîòðåííûå ðåçîíàíñû.
Ð å ç þ ì å
Ðîçðîáëåíî ìîäåëü ³ ìåòîäèêó äîñë³äæåííÿ çìóøåíèõ êîëèâàíü ðîòîðà íà äâîõ
ðàä³àëüíî-óïîðíèõ øàðèêîï³äøèïíèêàõ ³ç ïîïåðåäí³ì îñüîâèì íàâàíòàæåííÿì. Ó
ìîäåë³ êîëèâàííÿ çáóäæóþòüñÿ ñï³ëüíîþ 䳺þ äèñáàëàíñó ³ â³áðàö³¿ îïîð. Ïðîàíàë³-
çîâàíî àìïë³òóäíî-÷àñòîòí³ õàðàêòåðèñòèêè, ðåçîíàíñè, ñò³éê³ñòü ³ á³ôóðêàö³¿ êîëè-
âàíü.
1. Tiwari M., Gupta K., and Prakash O. Effect of radial internal clearance of a ball
bearing on the dynamics of a balanced horizontal rotor // J. Sound Vib. – 2000. – 238,
No. 5. – P. 723–756.
2. Harsha S. P. Nonlinear dynamic analysis of an unbalanced rotor supported by roller
bearing // Chaos Soliton. Fract. – 2005. – 26, No. 1. – P. 47–66.
3. Íîâèêîâ Ë. Ç. Îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ýëåêòðîäâèãàòåëÿ,
ñâÿçàííûõ ñ íåëèíåéíîé óïðóãîñòüþ ïîäøèïíèêîâ // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð.
Ìåõàíèêà è ìàøèíîñòðîåíèå. – 1961. – ¹ 6. – Ñ. 84–91.
82 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2
a á
Ðèñ. 6. Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ (à) è îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå (á) íà ïðàâîé âåòâè À×Õ, � � 0 453, .
Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé
4. Bai C., Zhang H., and Xu Q. Subharmonic resonance of a symmetric ball
bearing–rotor system // Int. J. Nonlin. Mech. – 2013. – 50. – P. 1–10.
5. Young T. H., Shiau T. N., and Kuo Z. H. Dynamic stability of rotor-bearing systems
subjected to random axial forces // J. Sound Vib. – 2007. – 305, No. 3. – P. 467–480.
6. Bai C., Zhang H., and Xu Q. Effects of axial preload of ball bearing on the nonlinear
dynamic characteristics of a rotor-bearing system // Nonlinear Dynam. – 2008. – 53. –
P. 173–190.
7. Ôèëèïêîâñêèé Ñ. Â., Àâðàìîâ Ê. Â. Ñâîáîäíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìíîãî-
äèñêîâûõ ðîòîðîâ íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2013. – ¹ 3. –
Ñ. 86–96.
8. Aini R., Rahnejat H., and Gohar R. A five degrees of freedom analysis of vibrations
in precision spindles // Int. J. Mach. Tool. Manu. – 1990. – 30, No. 1. – P. 1–18.
9. Áàëüìîíò Â. Á., Äóáîâåöêèé Á. Î., Àâäååâ À. Ì., Ñåëåçíåâ Ã. Â. Î êîëåáàíèÿõ
ìîìåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ âðàùåíèþ øàðèêîïîäøèïíèêà // Ìàøèíîâåäåíèå. –
1988. – ¹ 3. – Ñ. 73–81.
10. Ïîçíÿê Ý. Ë., Ãëàäûøåâà Ò. Í., Êîâàëåâ Â. Á. Ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ íåñèì-
ìåòðè÷íîãî æåñòêîãî ðîòîðà â ïîäøèïíèêàõ ñ çàçîðàìè // Ïðîáë. ìàøèíî-
ñòðîåíèÿ è íàäåæíîñòè ìàøèí. – 1990. – ¹ 4. – Ñ. 33–40.
11. Òèìîøåíêî Ñ. Ï., ßíã Ä. Õ., Óèâåð Ó. Êîëåáàíèÿ â èíæåíåðíîì äåëå. – Ì.:
Ìàøèíîñòðîåíèå, 1985. – 472 ñ.
12. Áåëîìûòöåâ À. Ñ., Êàðàáàí Â. Í. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé êðàåâîé çàäà÷è
äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â îáëàñòè ìíîãîçíà÷íîñòè //
Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàòåìàò. ôèçèêè. – 1986. – ¹ 7. – Ñ. 1099–1102.
13. Àíèùåíêî Â. Ñ. Ñëîæíûå êîëåáàíèÿ â ïðîñòûõ ñèñòåìàõ. – Ì.: Íàóêà, 1990. –
312 ñ.
Ïîñòóïèëà 08. 12. 2015
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 83
Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà ...
|