Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой

Разработаны модель и методика исследования вынужденных колебаний ротора на двух радиально-упорных шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой. В модели колебания возбуждаются совместным действием дисбаланса и вибрации опор. Проанализированы амплитудно-частотные характеристики, резонансы, ус...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2017
Автор: Филипковский, С.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2017
Назва видання:Проблемы прочности
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173629
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой / С.В. Филипковский // Проблемы прочности. — 2017. — № 2. — С. 75-83. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-173629
record_format dspace
spelling irk-123456789-1736292020-12-14T01:26:12Z Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой Филипковский, С.В. Научно-технический раздел Разработаны модель и методика исследования вынужденных колебаний ротора на двух радиально-упорных шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой. В модели колебания возбуждаются совместным действием дисбаланса и вибрации опор. Проанализированы амплитудно-частотные характеристики, резонансы, устойчивость и бифуркации колебаний. Розроблено модель і методику дослідження змушених коливань ротора на двох радіально-упорних шарикопідшипниках із попереднім осьовим навантаженням. У моделі коливання збуджуються спільною дією дисбалансу і вібрації опор. Проаналізовано амплітудно-частотні характеристики, резонанси, стійкість і біфуркації коливань. A model of forced vibrations of a rotor with two axially preloaded angular contact ball bearings and a procedure for studying them have been developed. In the model, vibrations are excited by the joint action of the unbalance and vibration of the supports. Amplitude-frequency characteristics, resonances, the stability and bifurcations of vibrations have been analyzed. 2017 Article Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой / С.В. Филипковский // Проблемы прочности. — 2017. — № 2. — С. 75-83. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173629 539.3 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
spellingShingle Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
Филипковский, С.В.
Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой
Проблемы прочности
description Разработаны модель и методика исследования вынужденных колебаний ротора на двух радиально-упорных шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой. В модели колебания возбуждаются совместным действием дисбаланса и вибрации опор. Проанализированы амплитудно-частотные характеристики, резонансы, устойчивость и бифуркации колебаний.
format Article
author Филипковский, С.В.
author_facet Филипковский, С.В.
author_sort Филипковский, С.В.
title Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой
title_short Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой
title_full Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой
title_fullStr Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой
title_full_unstemmed Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой
title_sort устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой
publisher Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate 2017
topic_facet Научно-технический раздел
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173629
citation_txt Устойчивость и бифуркации колебаний ротора на шарикоподшипниках с предварительной осевой нагрузкой / С.В. Филипковский // Проблемы прочности. — 2017. — № 2. — С. 75-83. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series Проблемы прочности
work_keys_str_mv AT filipkovskijsv ustojčivostʹibifurkaciikolebanijrotoranašarikopodšipnikahspredvaritelʹnojosevojnagruzkoj
first_indexed 2025-07-15T10:22:30Z
last_indexed 2025-07-15T10:22:30Z
_version_ 1837708031401394176
fulltext ÓÄÊ 539.3 Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåäâàðèòåëüíîé îñåâîé íàãðóçêîé Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò, Õàðüêîâ, Óêðàèíà svfil@inbox.ru Ðàçðàáîòàíû ìîäåëü è ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ðîòîðà íà äâóõ ðàäèàëüíî-óïîðíûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåäâàðèòåëüíîé îñåâîé íàãðóçêîé.  ìîäåëè êî- ëåáàíèÿ âîçáóæäàþòñÿ ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð. Ïðîàíàëèçè- ðîâàíû àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè, ðåçîíàíñû, óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðîòîð, øàðèêîïîäøèïíèê, íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, óñòîé÷èâîñòü, áèôóðêàöèÿ. Ââåäåíèå. Ðîòîðû, êîòîðûå èñïûòûâàþò ïðîäîëüíóþ íàãðóçêó, óñòàíàâëèâàþò íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ ïîäøèïíèêàõ.  èçâåñòíûõ ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ ðàñ- ñìàòðèâàþòñÿ íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ çàçîðîì ìåæäó øàðèêàìè è êàíàâêàìè êà÷åíèÿ [1, 2]. Ðîòîðû ìíîãèõ àãðåãàòîâ, íàïðèìåð ãèðîñêîïè÷åñêèõ ïðèáîðîâ, òóðáîõîëîäèëüíèêîâ ñàìîëåòîâ, äîëæíû áûòü çàùèùåíû îò óäàðîâ, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü â ðåçóëüòàòå çàêðûòèÿ çàçîðîâ ìåæäó øàðèêàìè è êàíàâêàìè êà÷åíèÿ ïîäøèïíèêîâ. Òàêèå ðîòîðû óñòàíàâëèâàþò íà ðàäèàëüíî-óïîð- íûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåäâàðèòåëüíûì îñåâûì ïîäæàòèåì. Óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåëèíåéíîé æåñòêîñòè ïðåäâàðèòåëüíî ïîäæàòûõ ïîäøèïíèêîâ ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòå [3], îäíàêî äëÿ âûïîëíåííûõ â íåé èññëåäî- âàíèé îíè ëèíåàðèçîâàíû.  [4] ÷èñëåííî è ýêñïåðèìåíòàëüíî èññëåäîâàíû ïîïåðå÷- íûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ ïîäæàòûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ, âûçâàí- íûå äèñáàëàíñîì äèñêà, è ïîêàçàíà èõ çàâèñèìîñòü îò íåëèíåéíûõ êîíòàêòíûõ ñèë. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü âàëà íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ ïîä äåéñòâèåì ïåðå- ìåííîé îñåâîé ñèëû ðàññìîòðåíà â [5]. Çàâèñèìîñòè óñòîé÷èâîñòè è áèôóðêàöèé ðîòîðà îò âåëè÷èíû ñèëû îñåâîãî ïîäæàòèÿ øàðèêîïîäøèïíèêîâ è ÷àñòîòû âðàùå- íèÿ èçó÷åíû â ðàáîòå [6]. Ðàíåå [7] èññëåäîâàíû ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåäâàðèòåëüíûì ïîäæàòèåì è ïîëó÷åíû ñêåëåòíûå êðèâûå è íåëèíåéíûå íîðìàëüíûå ôîðìû êîëåáàíèé ïðè ðàçíûõ óãëàõ ìåæäó ëèíèåé äåéñòâèÿ êîíòàêòíûõ ñèë è îñüþ ïîäøèïíèêà.  ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòàõ è ìîðñêèõ ñóäàõ îïîðû àãðåãàòîâ ïîäâåðæåíû âîç- äåéñòâèþ âèáðàöèé ïëàíåðà àïïàðàòà èëè êîðïóñà ñóäíà. Âëèÿíèå âèáðàöèè îïîð íà âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü. Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ðîòîðà íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ ñ ïðåä- âàðèòåëüíûì ïîäæàòèåì, âûçâàííûõ îäíîâðåìåííûì äåéñòâèåì äèñáàëàíñà è âèáðà- öèè îïîð. Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà. Ðîòîð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âàë ñ äèñêîì, çàêðåïëåííûì íåñèì- ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îïîð (ðèñ. 1,à). Íàçíà÷åíèå è óñëîâèÿ ðàáîòû àãðåãàòîâ ñ îñåâûì ïîäæàòèåì øàðèêîïîäøèïíèêîâ òàêîâû, ÷òî ñîîòíîøåíèå äëèíû è äèàìåòðà âàëà îáóñëîâëèâàåò æåñòêîñòü âàëà, êîòîðàÿ íà ïîðÿäîê áîëüøå æåñòêîñòè ïîäøèï- íèêîâ, ïîýòîìó âàë ñ÷èòàåì íåäåôîðìèðóåìûì òåëîì. Òàêèå ìîäåëè ïðèìåíÿþò äëÿ ãèðîñêîïè÷åñêèõ ïðèáîðîâ [3], øïèíäåëåé âûñîêîîáîðîòíûõ ñòàíêîâ [8], òóðáîõîëî- © Ñ. Â. ÔÈËÈÏÊÎÂÑÊÈÉ, 2017 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 75 äèëüíèêîâ.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåùåíèÿ öàïô îòíîñèòåëüíî âíåøíèõ êîëåö ïîäøèïíèêîâ. Êîìïîíåíòû óïðóãèõ ðåàêöèé ïîäøèïíèêà âäîëü îñåé x y z, , ïîëó÷åíû â ðàáîòå [3]: P K x y z zx� � � � � � � � � � �� � � �[ cos cos cos sin ( )sin ] cos co/ 0 3 2 s ; [ cos cos cos sin ( )sin � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 N y B P K x y z z � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 3 2 N z B P K x y ] cos sin ; [ cos cos cos sin / ( )sin ] sin ,/z z N B � � � � � � � � � � � � 0 3 2 1 � � � (1) ãäå K P N zB� ( ) sin ;/ /3 20 0 3 2 5 2 � x � , y � , z z z1 2� � – ñìåùåíèÿ öåíòðà âíóòðåí- íåãî êîëüöà îòíîñèòåëüíî öåíòðà íàðóæíîãî êîëüöà; ��1 2, – íîìåðà îáîáùåííûõ êîîðäèíàò öàïô; óãëû � è � � ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1,á; � è N B – íîìåð è êîëè÷åñòâî øàðèêîâ; P0 – ñèëà ïðåäâàðèòåëüíîãî îñåâîãî ïîäæàòèÿ; z0 – îñåâîå ñìåùåíèå âíóòðåííåãî êîëüöà îòíîñèòåëüíî âíåøíåãî êîëüöà îò äåéñòâèÿ ñèëû P0. Óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ðîòîðà. Ïåðåìåùåíèÿ ñå÷åíèé âàëà ïî íàïðàâëåíèÿì êîîðäèíàòíûõ îñåé ux , u y çàïèñûâàþòñÿ òàê: u t x t l l x t l u t y t l l y x y ( , ) ( )( ) ( ) ; ( , ) ( )( ) � � � � � � � � � 1 2 1 2 ( ) ,t l� (2) ãäå l – äëèíà âàëà; � – êîîðäèíàòà ñå÷åíèÿ âàëà ïî îñè z; x t1 ( ), x t2 ( ), y t1 ( ), y t2 ( ) – îáîáùåííûå êîîðäèíàòû ðàäèàëüíûõ ïåðåìåùåíèé öàïô; t – âðåìÿ. Âíóòðåííèå êîëüöà øàðèêîïîäøèïíèêîâ ñîâåðøàþò êàê ðàäèàëüíûå, òàê è îñåâûå êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî íàðóæíûõ êîëåö. Ïîñêîëüêó ïåðåìåùåíèÿ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé âàëà, êîëåáàíèÿ ðîòîðà âäîëü êîîðäèíàòíîé îñè z ìîæíî ïðåäñòàâèòü îäíîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòîé u z tz � ( ). Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà. Âûðàæåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âàëà TB â âèäå ôóíêöèè îáîáùåí- íûõ êîîðäèíàò ïðåäñòàâëÿåòñÿ òàê: Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé 76 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 à á Ðèñ. 1. Ðàñ÷åòíûå ñõåìû ðîòîðà (à) è øàðèêîïîäøèïíèêà (á). T I y y l I x x l I B C C C � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 2 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 � � � � � I y y x x l C 0 1 2 2 1 2 � ( � )( ) � � �� � � � � � � �� � � � � � � m x x m y y m z B B B 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2� � � � � , (3) ãäå mB – ìàññà âàëà; IC 0 è IC1 – öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèè âàëà îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ è ïîïåðå÷íûõ îñåé; � – óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà. Âûðàæåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äèñêà TD , êîòîðûé çàêðåïëåí íà âàëó ñ ýêñöåíòðèñèòåòîì a, â âèäå ôóíêöèè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò èìååò âèä T I y y l I x x l I ID � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 2 2 1 2 1 2 0 2 0 2 2 2 � � � � � � ( � � )( )y y x x l 1 2 2 1 2 � � � � � � � �� � � � � � � � m x l x l a t D D0 1 2 2 2 1� � sin � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � m y l y l a t m z D D0 1 2 2 0 2 2 1 2 � � cos � , � � � � (4) ãäå m0 – ìàññà äèñêà; I 0 è I1 – ïîëÿðíûé è ýêâàòîðèàëüíûé ìîìåíòû èíåðöèè äèñêà; � D – êîîðäèíàòà äèñêà ïî îñè z. Èç äîïóùåíèÿ, ÷òî âàë íåäåôîðìèðóåìûé, ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äåôîðìàöèè ñèñòåìû ïðåäñòàâëåíà òîëüêî ýíåðãèåé äåôîðìàöèè ïîäøèïíèêîâ �� �� � ( , , , , ).x y x y z1 1 2 2 Ïðîèçâîäíûå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïî îáîáùåííûì êîîð- äèíàòàì ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âûðàæåíèÿ (1). Äåìïôèðîâàíèå êîëåáàíèé, îáóñëîâëåííîå ñìàçêîé îïîð, îáû÷íî îïèñûâàþò ìîäåëüþ âÿçêîãî òðåíèÿ [9, 10].  ýòîì ñëó÷àå äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ Ðýëåÿ � èìååò âèä �� � � � �C x y x y z(� � � � � ) ,1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (5) ãäå Ñ – êîýôôèöèåíò äåìïôèðîâàíèÿ. Ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèé (1) è (3)–(5) ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé â ìàòðè÷íîì âèäå: [ ]{ ��} [ ]{ � } [ ]{ � } { ( )} { ( )},M X C X C X K X Q t� � � � (6) ãäå [ ]M – ìàòðèöà ìàññ; [ ]G – ìàòðèöà ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë; [ ]C – ìàòðèöà äåìïôèðîâàíèÿ; { ( )}K X – âåêòîð, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûå ôóíêöèè (1); { }X – âåêòîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, { ( )}Q t – âåêòîð ïðàâîé ÷àñòè. Ïîñêîëüêó êîëåáàíèÿ âîçáóæäàþòñÿ ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì äèñáàëàíñà äèñêà è âèáðàöèè îïîð, ïîëó÷èì { ( )} { ( , )} { ( , )}.Q t Q t Q tD� �� � � Çäåñü { ( , )}Q tD � – âåêòîð ñèë, îáóñëîâëåííûõ äèñáàëàíñîì äèñêà, { ( , )} cos sinQ t m a l t l t l D D D D � � � �� � � � � � � � � � � � � 0 2 1 1 � � � cos sin ;� �t l t D T � 0 � � � � � � Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà ... ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 77 { ( , )}Q t � � – âåêòîð ñèë êèíåìàòè÷åñêîãî âîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, êîòîðûé ñëåäóåò çàïèñàòü òàê [11]: { ( , )} [ ]{ ( , )},Q t M A t � � � �� ãäå { ( , )}A t � � – âåêòîð âèáðîóñêîðåíèé îïîð, { ( , )} [ ] sin ,A t A A A A A tx y x y z T � � � � � � � �� 1 1 2 2 � – êðóãîâàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé îïîð; A Ax z� �1 , ... , – àìïëèòóäû âèáðîóñêîðåíèé. Ïîñòðîåíèå àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè ìåòîäîì ïðîäîëæåíèÿ ïî ïàðàìåòðó. Ïîä àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé (À×Õ) ñëåäóåò ïîíèìàòü çàâèñèìîñòü ïîëóðàçìàõà êîëåáàíèé îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé �, ïðè ýòîì � ñ÷èòàåì ôèêñèðîâàííîé. Îïðåäåëèì áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû ñëåäóþùèì îáðàçîì: xA � � x z1 0; y y zA � 1 0; x x zB � 2 0; y y zB � 2 0; z z zA � 0; � � �� l ; � �� � l ; � �� t l , ãäå � l – îñíîâíàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû ïðè �� 15 . Óðàâíåíèå (6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå {�} { ({ }, )},Y Y� ! � (7) ãäå { }! – âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò. Óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (7) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: { ( )} { ( )},Y Y T0 � (8) ãäå T – ïåðèîä. Åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå âåêòîðû { } { ( )}Y Y0 0� è { } { ( )},Y Y TT � îïðåäå- ëÿþùèå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (7) â ìîìåíòû âðåìåíè �� 0 è ��T , òî çàäà÷ó Êîøè (7) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè (8) ìîæíî ñâåñòè ê ðåøåíèþ íåÿâíîãî óðàâíåíèÿ { ({ } )} { } .Y Y YT0 0� (9) ×òîáû îïðåäåëèòü ôóíêöèþ { ({ } )}Y Y T0 , ñèñòåìó (7) èíòåãðèðóåì ÷èñëåííûì ìåòîäîì. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ íà÷àëüíîé òî÷êè À×Õ ðåøàåì óðàâ- íåíèå êîëåáàíèé ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû âäàëè îò ðåçîíàíñà è óòî÷íÿåì åãî èòåðàöèîííûì ìåòîäîì. Ñëåäóþùèå òî÷êè íàõîäèì, âûïîëíÿÿ îïðåäåëåííûå øàãè ïî ïàðàìåòðó ïðîäîëæåíèÿ âáëèçè ðåçîíàíñíîé îáëàñòè. Ïàðàìåòðîì ïðîäîëæåíèÿ äëÿ ïåðâûõ òî÷åê À×Õ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòîòà. Âáëèçè ðåçîíàíñà íà À×Õ ìîãóò ïîÿâèòüñÿ îñîáûå òî÷êè, â êîòîðûõ êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè àáñöèññ. Ïðè ïîäõîäå ê ýòîé òî÷êå íåîáõîäèìî ìåíÿòü ïàðàìåòð ïðîäîëæåíèÿ À×Õ ñ ÷àñòîòû íà îäíó èç ôàçîâûõ êîîðäèíàò, ò.å. ðåøàòü èíâåðòèðîâàííóþ çàäà÷ó [12]. Ðåøåíèÿ êàê ïðÿìîé, òàê è èíâåðòèðîâàííîé çàäà÷è óòî÷íÿåì ìåòîäîì Íüþòîíà. Óðàâíåíèÿ ýòîãî ìåòîäà äëÿ ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è (9) çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [12]: [ ({ } ) ]{ } { ({ } )} { } ; { } { } { J Y E h Y Y Y Y Y Y T0 0 0 0 1 0 � � � " " " " " hY } ," � � � (10) ãäå [ ({ } )] [ { } { } ... { } { } ], ,J Y Y Y Y YT T n0 0 1 0 2� # # # # – ìàòðèöà ßêîáè; [ ]E – åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà; " – íîìåð èòåðàöèè; { }hY " – âåêòîð øàãà èòåðàöèè. 78 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé Íà îñíîâàíèè (7) i-é ñòîëáåö ìàòðèöû ßêîáè ïðåäñòàâèì: # # # # ! � � # ! # # # { } { ({ }, )} { } , , , Y Y Y Y d Y Y Y T i i k k ik n 0 0 01 2 � � � �$$ � � � % & � ' � 00 TT d�. (11)  (11) ïðîèçâîäíûå #(!) #Yk ìîæíî îïðåäåëèòü àíàëèòè÷åñêè, òàê êàê èçâåñò- íû óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé. Ïðîèçâîäíûå # # *Y Yk i k i0, ,� ÿâëÿþòñÿ íîâûìè ïåðåìåí- íûìè. Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå i-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû ßêîáè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðè- ðîâàíèþ ñëåäóþùåé ñèñòåìû ñ âåêòîðîì íîâûõ ïåðåìåííûõ { }*k i : # # # ! # * � { } { } . , , Y Y Y d T i k k i k nT 0 1 2 0 � � � � % & � ' � � �$ (12) Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ýòèõ ïåðåìåííûõ: *k i, ,� 0 åñëè k i+ , è *k i, ,�1 åñëè k i� . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðà { },Y âõîäÿùåãî â âûðàæåíèÿ ïðîèçâîäíûõ # ! #{ } Yk , ñîâìåñò- íî èíòåãðèðóþòñÿ óðàâíåíèÿ (7) è (12).  ìàòðèöå ßêîáè èíâåðòèðîâàííîé çàäà÷è (10) ñòîëáåö ïðîèçâîäíûõ # #{ } ,Y YT j0 , ñîîòâåòñòâóþùèé íîâîìó ïàðàìåòðó ïðîäîëæåíèÿ Y j , çàìåíÿåòñÿ ñòîëáöîì # #�{ }Y T ; â ìàòðèöå [ ]E ýëåìåíò, ñîîòâåòñòâóþùèé j-é êîîðäèíàòå, çàìåíÿåòñÿ íóëåì; â âåêòîðå { }hY " íà j-é ïîçèöèè áóäåò íàõîäèòñÿ øàã ïî ÷àñòîòå ,� " [12]. Ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî ñòîëáöà ïîÿâëÿþòñÿ íîâûå ïåðåìåííûå # � *Yk k j� , , íà÷àëüíûå óñëîâèÿ âñåõ ïåðå- ìåííûõ *k j, ,� 0 j – íîìåð ñòîëáöà ïàðàìåòðà ïðîäîëæåíèÿ èíâåðòèðîâàííîé çàäà÷è. Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå j-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû ßêîáè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ñëåäóþùåé ñèñòåìû ñ âåêòîðîì íîâûõ ïåðåìåííûõ { }*k j : # #� # ! # * # ! #� � - � ! { } { } { } , Y Y d T k k j k n � � � � � % & � ' � � � 1 2 2 2 { } , , . / Y T � - � - � 2 0 2 � � � � � � � % & ' $ (13) Ïî îêîí÷àíèè èòåðàöèé åùå ðàç âûïîëíÿåì èíòåãðèðîâàíèå ïî àëãîðèòìó (12). Ïîëó÷åííàÿ ìàòðèöà áóäåò òîæäåñòâåííà ìàòðèöå ìîíîäðîìèè óðàâíåíèÿ â âàðèàöè- ÿõ [12], åå ìóëüòèïëèêàòîðû . / 0� 1i îïðåäåëÿþò óñòîé÷èâîñòü è õàðàêòåð áèôóð- êàöèé ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè À×Õ [13]. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé. Ðàññìîòðåíû êîëåáàíèÿ íåäåôîðìèðó- åìîãî ðîòîðà ñ îäíèì äèñêîì è ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè: l� 0 5, ì; � D � 0125, ì; mB �1963, êã; IC1 0 04098� , êã ì 2 2 ; IC 0 0 00015� , êã ì 2 2 ; m0 10� êã; I1 01� , êã ì 2 2 ; I 0 0 2� , êã ì 2 2 , êîòîðûé âðàùàåòñÿ íà ðàäèàëüíî-óïîðíûõ ïîäøèïíèêàõ ñðåäíåé ñåðèè ïî ÃÎÑÒ 831-75. Ïàðàìåòðû ïîäøèïíèêà òàêîâû: ðàäèóñû âíåøíåé êàíàâêè êà÷åíèÿ R2 äëÿ óãëîâ ��12, 15, 26, 36 è 40 ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 27,5125; 27,5167; 27,5399; 27,5709 è 27,5858 ìì. Ðàäèóñ âíóòðåííåé êàíàâêè êà÷åíèÿ R1 16 0� , ìì; ðàäèóñ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êàíàâîê êà÷åíèÿ RK � 5 930, ìì; äèàìåòð øàðèêà dB � �11510, ìì; êîëè÷åñòâî øàðèêîâ N B � 7; ìîäóëü óïðóãîñòè E� 221 1011, Ïà; êîýô- ôèöèåíò Ïóàññîíà 3� 0 3, .  ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà îïðåäåëåíû ôîðìû è ÷àñòîòû ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ðîòîðà, îïèøåì èõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷àñòîò: ïåðâàÿ ôîðìà ñ íèçøåé ÷àñòîòîé �1 – ðîòîð êîëåáëåòñÿ âäîëü ïðîäîëüíîé îñè; âòîðàÿ ôîðìà ñ ÷àñòîòîé �2 – öàïôû âàëà íàõîäÿòñÿ ñ îäíîé ñòîðîíû îò îñè ïîäøèïíèêîâ è äâèæóòñÿ ïî êðóãó íàâñòðå÷ó âðàùåíèþ ðîòîðà; òðåòüÿ ôîðìà ñ ÷àñòîòîé �3 – öàïôû ðàñïîëîæåíû òàêæå è ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 79 Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà ... äâèæóòñÿ ïî êðóãó â ñòîðîíó âðàùåíèÿ ðîòîðà; ÷åòâåðòàÿ ôîðìà ñ ÷àñòîòîé �4 – öàïôû âàëà íàõîäÿòñÿ ñ ðàçíûõ ñòîðîí îò îñè ïîäøèïíèêîâ è äâèæóòñÿ ïî êðóãó íàâñòðå÷ó âðàùåíèþ ðîòîðà; ïÿòàÿ ôîðìà ñ ÷àñòîòîé �5 – öàïôû ðàñïîëîæåíû òàêæå è äâèæóòñÿ ïî êðóãó â ñòîðîíó âðàùåíèÿ ðîòîðà. Êîëåáàíèÿ, âûçâàííûå äèñáàëàíñîì áåç âèáðàöèè îïîð, îñóùåñòâëÿþòñÿ ïî òðåòüåé ôîðìå. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïåðåìåùåíèÿ yB ýòèõ êîëå- áàíèé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2,à.  ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà � ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîé. Ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð ïðîÿâëÿþòñÿ ðåçîíàíñû âñåõ ôîðì êîëåáàíèé ðîòîðà, à òàêæå ñóáðåçîíàíñû ñ ÷àñòîòàìè, îòíî- ñÿùèìèñÿ êàê öåëûå ÷èñëà. ×àñòîòà âèáðàöèè îïîð � áóäåò ïåðåìåííîé, ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà � ôèêñèðîâàíà è íàõîäèòñÿ â äèàïàçîíå ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ðîòîðà. Ó÷àñòêè ðåçîíàíñîâ À×Õ ñ íàèáîëüøèìè ðàçìàõàìè ïåðåìåùåíèÿ ó , âûçâàííîãî ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð, ïðè òåõ æå óãëàõ êîíòàêòà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2,á. Ýòè êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò òàêæå ïî òðåòüåé ôîðìå. Ïðè ëþáûõ óãëàõ � À×Õ èìååò îáëàñòè ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè. Íà ëåâûõ âåòâÿõ íàèáîëüøèé ìóëüòèïëèêàòîð ìàòðèöû ìîíîäðîìèè .1 ñòàíîâèòñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì áîëüøå åäèíèöû, ýòî ñåäëî-óçëîâàÿ áèôóðêàöèÿ [13]. Íà ïðàâûõ âåòâÿõ ìîäóëè íàèáîëüøèõ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ ìóëüòèïëèêàòîðîâ | |,.1 2 ñòàíîâÿòñÿ áîëüøå åäèíèöû, ýòî áèôóðêàöèÿ äâóõìåðíîãî òîðà [13]. Íà ðèñ. 3,à ïðåäñòàâëåíà À×Õ ðîòîðà íà ïîäøèïíèêàõ ñ óãëîì êîíòàêòà �� 15 . ×àñòîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà f � �� �2 250- Ãö, îñíîâíàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà ëèíåà- ðèçîâàííîé ñèñòåìû f l� � -� �2 199 Ãö. Ðåçîíàíñû è ñóáðåçîíàíñû ïî ÷åòâåðòîé ôîðìå êîëåáàíèé èìåþò íàèìåíüøèå àìïëèòóäû, ïî òðåòüåé ôîðìå – íàèáîëüøèå. Ðåçîíàíñû ïî ïåðâîé è âòîðîé ôîðìàì êîëåáàíèé íå âîçáóæäàþòñÿ. Íà ðèñ. 3,á ïðåäñòàâëåí íèçêî÷àñòîòíûé äèàïàçîí À×Õ ýòîãî ðîòîðà. ×àñòîòû íà ñóáðåçîíàíñàõ îòíîñÿòñÿ ê ÷àñòîòå �3 êàê öåëûå ÷èñëà.  ýòîì äèàïàçîíå åñòü ñóáðåçîíàíñû ñ ìàëûìè ðàçìàõàìè ïî ïÿòîé ôîðìå êîëåáàíèé. Òðàåêòîðèè öåíòðîâ öàïô íà îñíîâíûõ ðåçîíàíñàõ êàæäîé ôîðìû êîëåáàíèé áëèçêè ê îêðóæíîñòÿì. Íà ñóáðåçîíàíñíûõ ÷àñòîòàõ çà êàæäûé ïåðèîä öàïôà îïè- ñûâàåò ñòîëüêî êðóãîâûõ ïåòåëü, âî ñêîëüêî ðàç ÷àñòîòà íèæå îñíîâíîé ÷àñòîòû ýòîé ôîðìû. Ñ óâåëè÷åíèåì óãëà êîíòàêòà àìïëèòóäû ïÿòîé è ÷åòâåðòîé ôîðì êîëåáàíèé óìåíüøàþòñÿ, àìïëèòóäû òðåòüåé ôîðìû óâåëè÷èâàþòñÿ (ðèñ. 4). 80 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 a á Ðèñ. 2. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðîòîðà ïðè ðàçíûõ óãëàõ êîíòàêòà: 1 – � � 12 ; 2 – � � 15 ; 3 – � � 26 ; 4 – � � 36 ; 5 – � � 40 . (Çäåñü è íà ðèñ. 3, 4: øòðèõîâûå ëèíèè – íåóñòîé÷èâûå ðåæèìû.) Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé Äëÿ àíàëèçà äèíàìèêè ðîòîðà íà íåóñòîé÷èâûõ ðåæèìàõ, êîãäà ìóëüòèïëè- êàòîðû ìàòðèöû ìîíîäðîìèè âûõîäÿò çà åäèíè÷íûé êðóã, ïîñòðîåíû çàâèñèìîñòè îáîáùåííûõ êîîðäèíàò îò âðåìåíè. Íà ëåâûõ âåòâÿõ À×Õ íàáëþäàþòñÿ êîëåáàíèÿ ñ ïåðåìåííûì ðàçìàõîì (ðèñ. 5,à). Ïî îòîáðàæåíèþ Ïóàíêàðå äëÿ ýòîãî ðåæèìà èç ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 81 a á Ðèñ. 3. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðîòîðà ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð ïðè � � 15 . a á Ðèñ. 4. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðîòîðà ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð ïðè � � 26 (à) è 36 (á). a á Ðèñ. 5. Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ (à) è îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå (á) íà ëåâîé âåòâè À×Õ, � �1 033, . Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà ... ðèñ. 5,á ñëåäóåò, ÷òî êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ïðèâîäèò ê áèåíèÿì. Íà ïðàâûõ âåòâÿõ À×Õ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ êîðî÷å è òàêæå ïðèâîäèò ê áèåíèÿì (ðèñ. 6). Çàêëþ÷åíèå. Êðèâèçíà êàíàâîê êà÷åíèÿ â øàðèêîïîäøèïíèêå ÿâëÿåòñÿ ïåðå- ìåííîé è ìèíèìàëüíîé íà äíå êàíàâîê. Ïðè äâèæåíèè òî÷êè êîíòàêòà øàðèêà îò äíà ê áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè óâåëè÷èâàåòñÿ è ñîîòâåòñòâåííî æåñò- êîñòü çîíû êîíòàêòà óìåíüøàåòñÿ. ×åì áîëüøå àìïëèòóäà, òåì çíà÷èòåëüíåå èçìå- íåíèå æåñòêîñòè çîíû êîíòàêòà çà öèêë êîëåáàíèé, ïîýòîìó õàðàêòåðèñòèêà ñèñòåìû ìÿãêàÿ. ×åì áîëüøå óãîë êîíòàêòà, òåì áîëüøå êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè êàíàâîê êà÷åíèÿ â çîíå êîíòàêòà è òåì ìåíüøå æåñòêîñòü çîíû êîíòàêòà è ñîîòâåòñòâåííî ÷àñòîòà êîëåáàíèé, ïîýòîìó À×Õ ðîòîðîâ ñ áîëüøèìè óãëàìè � íà ðèñ. 2 ðàñïî- ëîæåíû ëåâåå. Ïðè ñîâìåñòíîì äåéñòâèè äèñáàëàíñà è âèáðàöèè îïîð âîçáóæäàþòñÿ âñå ôîð- ìû êîëåáàíèé ðîòîðà. Ïðè ýòîì êîëåáàíèÿ âîçíèêàþò íå òîëüêî íà îñíîâíûõ ðåçî- íàíñíûõ ÷àñòîòàõ, íî è íà ÷àñòîòàõ, îòíîñÿùèõñÿ êàê öåëûå ÷èñëà. Òàêîå ïîâåäåíèå ñèñòåìû îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ÷àñòîòà âèáðàöèè îïîð è ÷àñòîòû ñâîáîäíûõ êîëå- áàíèé îäíîãî ïîðÿäêà. Íàëîæåíèå âîçìóùàþùèõ âîçäåéñòâèé, îáóñëîâëåííûõ äèñ- áàëàíñîì è âèáðàöèåé îïîð, ïîðîæäàåò áèåíèÿ êîëåáàíèé, êîòîðûå âûçûâàþò âñå ðàññìîòðåííûå ðåçîíàíñû. Ð å ç þ ì å Ðîçðîáëåíî ìîäåëü ³ ìåòîäèêó äîñë³äæåííÿ çìóøåíèõ êîëèâàíü ðîòîðà íà äâîõ ðàä³àëüíî-óïîðíèõ øàðèêîï³äøèïíèêàõ ³ç ïîïåðåäí³ì îñüîâèì íàâàíòàæåííÿì. Ó ìîäåë³ êîëèâàííÿ çáóäæóþòüñÿ ñï³ëüíîþ 䳺þ äèñáàëàíñó ³ â³áðàö³¿ îïîð. Ïðîàíàë³- çîâàíî àìïë³òóäíî-÷àñòîòí³ õàðàêòåðèñòèêè, ðåçîíàíñè, ñò³éê³ñòü ³ á³ôóðêàö³¿ êîëè- âàíü. 1. Tiwari M., Gupta K., and Prakash O. Effect of radial internal clearance of a ball bearing on the dynamics of a balanced horizontal rotor // J. Sound Vib. – 2000. – 238, No. 5. – P. 723–756. 2. Harsha S. P. Nonlinear dynamic analysis of an unbalanced rotor supported by roller bearing // Chaos Soliton. Fract. – 2005. – 26, No. 1. – P. 47–66. 3. Íîâèêîâ Ë. Ç. Îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ýëåêòðîäâèãàòåëÿ, ñâÿçàííûõ ñ íåëèíåéíîé óïðóãîñòüþ ïîäøèïíèêîâ // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. Ìåõàíèêà è ìàøèíîñòðîåíèå. – 1961. – ¹ 6. – Ñ. 84–91. 82 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 a á Ðèñ. 6. Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ (à) è îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå (á) íà ïðàâîé âåòâè À×Õ, � � 0 453, . Ñ. Â. Ôèëèïêîâñêèé 4. Bai C., Zhang H., and Xu Q. Subharmonic resonance of a symmetric ball bearing–rotor system // Int. J. Nonlin. Mech. – 2013. – 50. – P. 1–10. 5. Young T. H., Shiau T. N., and Kuo Z. H. Dynamic stability of rotor-bearing systems subjected to random axial forces // J. Sound Vib. – 2007. – 305, No. 3. – P. 467–480. 6. Bai C., Zhang H., and Xu Q. Effects of axial preload of ball bearing on the nonlinear dynamic characteristics of a rotor-bearing system // Nonlinear Dynam. – 2008. – 53. – P. 173–190. 7. Ôèëèïêîâñêèé Ñ. Â., Àâðàìîâ Ê. Â. Ñâîáîäíûå íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìíîãî- äèñêîâûõ ðîòîðîâ íà øàðèêîïîäøèïíèêàõ // Ïðîáë. ïðî÷íîñòè. – 2013. – ¹ 3. – Ñ. 86–96. 8. Aini R., Rahnejat H., and Gohar R. A five degrees of freedom analysis of vibrations in precision spindles // Int. J. Mach. Tool. Manu. – 1990. – 30, No. 1. – P. 1–18. 9. Áàëüìîíò Â. Á., Äóáîâåöêèé Á. Î., Àâäååâ À. Ì., Ñåëåçíåâ Ã. Â. Î êîëåáàíèÿõ ìîìåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ âðàùåíèþ øàðèêîïîäøèïíèêà // Ìàøèíîâåäåíèå. – 1988. – ¹ 3. – Ñ. 73–81. 10. Ïîçíÿê Ý. Ë., Ãëàäûøåâà Ò. Í., Êîâàëåâ Â. Á. Ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ íåñèì- ìåòðè÷íîãî æåñòêîãî ðîòîðà â ïîäøèïíèêàõ ñ çàçîðàìè // Ïðîáë. ìàøèíî- ñòðîåíèÿ è íàäåæíîñòè ìàøèí. – 1990. – ¹ 4. – Ñ. 33–40. 11. Òèìîøåíêî Ñ. Ï., ßíã Ä. Õ., Óèâåð Ó. Êîëåáàíèÿ â èíæåíåðíîì äåëå. – Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1985. – 472 ñ. 12. Áåëîìûòöåâ À. Ñ., Êàðàáàí Â. Í. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â îáëàñòè ìíîãîçíà÷íîñòè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàòåìàò. ôèçèêè. – 1986. – ¹ 7. – Ñ. 1099–1102. 13. Àíèùåíêî Â. Ñ. Ñëîæíûå êîëåáàíèÿ â ïðîñòûõ ñèñòåìàõ. – Ì.: Íàóêà, 1990. – 312 ñ. Ïîñòóïèëà 08. 12. 2015 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè, 2017, ¹ 2 83 Óñòîé÷èâîñòü è áèôóðêàöèè êîëåáàíèé ðîòîðà ...