Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом
Цель статьи – разработка методического обеспечения для оптимизации на начальном этапе проектирования основных характеристик управляемого объекта (УО) с маршевым ракетным двигателем на твёрдом топливе, включающая формализацию комплексной задачи совместной оптимизации проектных параметров, параметров...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2018
|
| Назва видання: | Технічна механіка |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173896 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом / В.С. Сенькин, С.В. Сюткина-Доронина // Технічна механіка. — 2018. — № 2. — С. 44-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-173896 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1738962020-12-26T01:25:49Z Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом Сенькин, В.С. Сюткина-Доронина, С.В. Цель статьи – разработка методического обеспечения для оптимизации на начальном этапе проектирования основных характеристик управляемого объекта (УО) с маршевым ракетным двигателем на твёрдом топливе, включающая формализацию комплексной задачи совместной оптимизации проектных параметров, параметров траектории и программ управления движением УО, который может осуществлять полёт по баллистической, аэробаллистической или комбинированной траекториям. Задача сформулирована как задача теории оптимального управления с ограничениями в виде равенств и дифференциальных связей. Мета статті – розробка методичного забезпечення для оптимізації на початковому етапі проектування основних характеристик керованого об'єкта (КО) з маршовим ракетним двигуном на твердому паливі, що включає формалізацію комплексної задачі спільної оптимізації проектних параметрів, параметрів траєкторії і програм керування рухом КО, який може здійснювати політ по балістичній, аеробалістичній або комбінованій траєкторіях. Задачу сформульовано як задачу теорії оптимального керування з обмеженнями у вигляді рівностей і диференціальних зв'язків. The aim of this paper is to develop a methodology for optimizing, at the initial design stage, the key characteristics of a rocket with a solid-propellant sustainer engine which can follow a ballistic, an aeroballistic, or a combined trajectory, including the formalization of the combined problem of simultaneous optimization of the rocket design parameters, trajectory parameters, and flight control programs. The problem is formulated as an optimal control problem with imposed equalities and differential constraints. 2018 Article Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом / В.С. Сенькин, С.В. Сюткина-Доронина // Технічна механіка. — 2018. — № 2. — С. 44-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173896 621.002.56 ru Технічна механіка Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Цель статьи – разработка методического обеспечения для оптимизации на начальном этапе проектирования основных характеристик управляемого объекта (УО) с маршевым ракетным двигателем на твёрдом топливе, включающая формализацию комплексной задачи совместной оптимизации проектных параметров, параметров траектории и программ управления движением УО, который может осуществлять полёт по баллистической, аэробаллистической или комбинированной траекториям. Задача сформулирована как задача теории оптимального управления с ограничениями в виде равенств и дифференциальных связей. |
| format |
Article |
| author |
Сенькин, В.С. Сюткина-Доронина, С.В. |
| spellingShingle |
Сенькин, В.С. Сюткина-Доронина, С.В. Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом Технічна механіка |
| author_facet |
Сенькин, В.С. Сюткина-Доронина, С.В. |
| author_sort |
Сенькин, В.С. |
| title |
Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом |
| title_short |
Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом |
| title_full |
Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом |
| title_fullStr |
Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом |
| title_full_unstemmed |
Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом |
| title_sort |
совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/173896 |
| citation_txt |
Совместное применение методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации проектных параметров и программ управления ракетным объектом / В.С. Сенькин, С.В. Сюткина-Доронина // Технічна механіка. — 2018. — № 2. — С. 44-59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Технічна механіка |
| work_keys_str_mv |
AT senʹkinvs sovmestnoeprimeneniemetodovslučajnogopoiskasgradientnymimetodamioptimizaciiproektnyhparametroviprogrammupravleniâraketnymobʺektom AT sûtkinadoroninasv sovmestnoeprimeneniemetodovslučajnogopoiskasgradientnymimetodamioptimizaciiproektnyhparametroviprogrammupravleniâraketnymobʺektom |
| first_indexed |
2025-07-15T10:42:30Z |
| last_indexed |
2025-07-15T10:42:30Z |
| _version_ |
1837709290812473344 |
| fulltext |
44
УДК 621.002.56
В. С. СЕНЬКИН, С. В. СЮТКИНА-ДОРОНИНА
СОВМЕСТНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА С
ГРАДИЕНТНЫМИ МЕТОДАМИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЕКТНЫХ
ПАРАМЕТРОВ И ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТНЫМ ОБЪЕКТОМ
Институт технической механики
Национальной академии наук Украины и Государственного космического агентства Украины,
ул. Лешко-Попеля, 15, 49005, Днепр, Украина; e-mail: svetasut2012@gmail.com
Мета статті – розробка методичного забезпечення для оптимізації на початковому етапі проектуван-
ня основних характеристик керованого об'єкта (КО) з маршовим ракетним двигуном на твердому паливі,
що включає формалізацію комплексної задачі спільної оптимізації проектних параметрів, параметрів
траєкторії і програм керування рухом КО, який може здійснювати політ по балістичній, аеробалістичній
або комбінованій траєкторіях. Задачу сформульовано як задачу теорії оптимального керування з обмежен-
нями у вигляді рівностей і диференціальних зв'язків. До складу параметрів, які оптимізуються, включені
проектні параметри КО, параметри, що визначають програми керування рухом КО на різних ділянках
траєкторії. Запропоновано підхід до формування програм керування КО у вигляді поліномів, що дозволяє
звести задачу теорії оптимального управління до задачі нелінійного математичного програмування. Про-
ведено огляд методів оптимізації та виконано порівняльний аналіз методів випадкового пошуку з градієн-
тними методами. Показано доцільність застосування на першому етапі генетичного алгоритму випадково-
го пошуку, за допомогою якого проводиться швидке і повне дослідження всього простору пошуку опти-
мального розв’язку і знаходиться розв’язок, найбільш наближений до глобального оптимуму цільового
функціоналу. Потім на наступному етапі пропонується використовувати градієнтний метод покоординат-
ного спуску в околиці знайденого на першому етапі розв’язку для знаходження глобального оптимуму
цільового функціоналу. Запропоновано підхід для розв’язання сформульованої задачі, що дозволяє з необ-
хідною для проектних досліджень точністю визначати оптимальні в заданому класі функцій програми
керування рухом і раціональні значення проектних параметрів КО. Наведені алгоритми, що використані
для оптимізації проектних параметрів, параметрів траєкторії і програм керування КО, можуть використо-
вуватися проектними організаціями на початковому етапі проектування об'єктів ракетно-космічної техні-
ки різного призначення.
Цель статьи – разработка методического обеспечения для оптимизации на начальном этапе проекти-
рования основных характеристик управляемого объекта (УО) с маршевым ракетным двигателем на твёр-
дом топливе, включающая формализацию комплексной задачи совместной оптимизации проектных пара-
метров, параметров траектории и программ управления движением УО, который может осуществлять
полёт по баллистической, аэробаллистической или комбинированной траекториям. Задача сформулирова-
на как задача теории оптимального управления с ограничениями в виде равенств и дифференциальных
связей. В состав оптимизируемых параметров включены проектные параметры УО и параметры, позво-
ляющие формировать программы управления движением УО на различных участках траектории. Предло-
жен подход к формированию программ управления УО в виде полиномов, позволивший свести задачу
теории оптимального управления к задаче нелинейного математического программирования. Проведен
обзор методов оптимизации и выполнен сравнительный анализ методов случайного поиска с градиентны-
ми методами. Показана целесообразность применения на первом этапе генетического алгоритма случай-
ного поиска, с помощью которого проводится быстрое и полное исследование всего пространства поиска
оптимального решения и находится решение, наиболее приближенное к глобальному оптимуму целевого
функционала. Затем на последующем этапе предлагается использовать градиентный метод покоординат-
ного спуска в окрестности найденного на первом этапе решения для нахождения глобального оптимума
целевого функционала. Предложенный подход для решения сформулированной задачи позволяет с необ-
ходимой для проектных исследований точностью определять оптимальные в заданном классе функций
программы управления движением и рациональные значения проектных параметров УО. Приведенные
алгоритмы, использованные для оптимизации проектных параметров, параметров траектории и программ
управления УО, могут использоваться проектными организациями на начальном этапе проектирования
объектов ракетно-космической техники различного назначения.
The aim of this paper is to develop a methodology for optimizing, at the initial design stage, the key charac-
teristics of a rocket with a solid-propellant sustainer engine which can follow a ballistic, an aeroballistic, or a
combined trajectory, including the formalization of the combined problem of simultaneous optimization of the
rocket design parameters, trajectory parameters, and flight control programs. The problem is formulated as an
optimal control problem with imposed equalities and differential constraints. The parameters to be optimized
include the rocket design parameters and the parameters of the rocket control programs in different portions of the
trajectory. The rocket control programs are proposed to be formed in polynomial form, which allows one to reduce
the optimal control problem to a nonlinear programming problem. Optimization methods are overviewed, and
random search methods are compared with gradient ones. It is shown that at the first stage it is advisable to use a
В. С. Сенькин, С. В. Сюткина-Доронина, 2018
Техн. механіка. – 2018. – № 2.
45
genetic random search algorithm, which makes a quick and complete examination of the whole of the optimal
solution search space and finds the solution closest to the global optimum of the objective functional. At the next
stage, it is proposed to use a coordinate gradient descent method in the vicinity of the solution found at the first
stage to find the global optimum of the objective functional. The proposed approach to the solution of the formu-
lated problem allows one to determine, to the accuracy required in design studies, the rocket flight control pro-
grams optimal in a given class of functions and advisable values of the rocket design parameters. The algorithms
for rocket design parameter, trajectory parameter, and control program optimization presented in this paper may
be used by design organizations at the initial design stage of rockets of different purposes.
Ключевые слова: управляемый объект, маршевый ракетный двигатель
на твёрдом топливе, начальный этап проектирования, проектные парамет-
ры, программы управления движением, целевой функционал, оптимизация,
методы случайного поиска, градиентные методы.
Введение. Проектирование, разработка и создание управляемых объек-
тов (УО) связано с большими затратами материальных, финансовых и техни-
ческих ресурсов. Необходимость учета этих факторов при проектировании
предъявляет повышенные требования к качеству принимаемых проектных
решений. Следует отметить, что неверные (нерациональные) проектные ре-
шения, принятые на начальном этапе проектирования УО, приводят в конеч-
ном итоге к снижению эффективности выполнения целевых задач, росту за-
трат на разработку и изготовление УО, увеличению сроков его создания.
Под управляемым объектом далее понимаются одноступенчатые ракеты
различного назначения, предназначенные для доставки полезного груза в за-
данную точку пространства с требуемыми значениями кинематических пара-
метров движения. В качестве силовых установок на УО рассматриваются ра-
кетные двигатели, работающие на твердом топливе (РДТТ).
Для успешного решения проектных задач, связанных с разработкой УО,
особое значение приобретает создание современного методического, алго-
ритмического и программного обеспечения, которое позволяет на начальном
этапе проектирования с необходимой для проектных исследований точно-
стью определять:
– оптимальные (рациональные) значения оптимизируемых параметров и
основных характеристик УО;
– программы управления движением;
– количественные оценки показателей эффективности с учетом особен-
ностей целевого применения УО.
При этом следует отметить, что разработка методического обеспечения
для решения задач начального этапа проектирования УО является одной из
основных предпосылок для осуществления корректного и научно обоснован-
ного принятия проектных решений при проектировании УО, а также созда-
ния эффективных методов решения проектных задач, что собственно и опре-
деляет актуальность исследований, проводимых в данном направлении.
Вопросам проектирования и разработки управляемых объектов ракетно-
космической техники (РКТ) уделено большое внимание в отечественной и
зарубежной научной и технической литературе [1 – 3], где рассмотрены ма-
тематические модели функционирования УО в целом, основных элементов и
подсистем, а также вопросы, связанные с оптимизацией проектных парамет-
ров, программ управления УО различного назначения. В [4, 5] сформулиро-
вана задача совместной оптимизации проектных параметров и программ
управления движением УО, приведены элементы математической модели и
алгоритмы, позволяющие на начальном этапе проектирования определять
46
массовые и габаритные характеристики УО с маршевым РДТТ.
Далее рассмотрена постановка комплексной задачи оптимизации про-
грамм управления и проектных параметров одноступенчатого УО с марше-
вым ракетным двигателем на твёрдом топливе.
Постановка задачи. Комплексная задача совместной оптимизации про-
грамм управления и проектных параметров одноступенчатого УО с марше-
вым РДТТ может быть сформулирована как задача теории оптимального
управления с ограничениями в виде равенств и дифференциальных связей [1,
6], формализация которой заключается:
– в выборе критерия оптимизации (целевого функционала);
– в разработке математической модели, позволяющей в зависимости от
исходных данных (вектор x ), оптимизируемых параметров, включающих ос-
новные проектные параметры УО и параметры траектории (вектор p ), опре-
делять программы управления (вектор u ) и значение целевого функционала;
– в разработке метода оптимизации, обеспечивающего нахождение таких
значений векторов оптимизируемых параметров optpp и программ управ-
ления движением УО optuu , при которых целевой функционал принимает
оптимальное значение.
В качестве исходной информации (компоненты вектора x ), необходи-
мой для решения комплексной задачи, далее рассматриваются:
– данные тактико-технического задания, определяющие целевую задачу,
для решения которой проектируется УО;
– условия пуска УО;
– ограничения на траекторию полета, габаритно-массовые характеристи-
ки УО в целом, отдельных подсистем и элементов;
– коэффициенты безопасности, используемые при проведении прочност-
ных расчетов;
– физико-механические и химические характеристики используемых ма-
териалов и твёрдого ракетного топлива (ТРТ);
– данные о прототипах, отдельных подсистем и элементов УО;
– неучтенные массы элементов, подсистем, не включённых в математи-
ческую модель для расчёта основных характеристик УО и др.
В состав оптимизируемых в процессе решения комплексной задачи па-
раметров входят:
– основные проектные параметры, определяющие габаритно-массовые и
энергетические характеристики УО в целом и входящего в его состав марше-
вого РДТТ;
– параметры, определяющие совместно с программами управления дви-
жением траекторию УО.
В качестве программ управления движением рассматриваются програм-
ма изменения во времени угла тангажа и программа изменения во времени
тяговых и расходных характеристик маршевого РДТТ [4, 5].
Компонентами вектора оптимизируемых параметров p являются:
– проектные параметры УО, включающие коэффициент начальной тяго-
вооруженности p и относительную конечную массу k ;
– параметры маршевого РДТТ, такие как давление в камере сгорания
kp ; диаметр среза сопла aD ; угол полураствора на срезе сопла a ; отноше-
47
ние тяги в конце основного режима работы к тяге в начале основного режима
работы РДТТ pdK ;
– параметры траектории, включающие угол тангажа в конце активного
участка траектории (АУТ) AUT , а также время выхода на нулевой угол ата-
ки после окончания АУТ 1PUTt .
Проектный параметр УО k определяется при заданных массе полезно-
го груза mp
pgm и стартовой массе УО mpm0 из условия размещения макси-
мально возможного количества ТРТ в рассматриваемом варианте УО.
В качестве компонент вектора управления движением УО )(tuu рас-
сматриваются, как уже указывалось ранее, программы изменения во времени
угла тангажа )(tnp на активном и пассивном участках траектории, а также
тяговых )(tPnp и расходных tmc характеристик маршевого РДТТ.
Коэффициент начальной тяговооруженности и относительная конечная
масса УО определяются известными соотношениями [7]:
0
00
P
gm
p
,
0
0
0 m
pmm
m
m mk
k
,
где kmm ,0 – соответственно стартовая и конечная массы УО; pmm – за-
пас топлива маршевого РДТТ; 0g – ускорение свободного падения у по-
верхности Земли; 0P – начальное значение тяги в пустоте маршевого РДТТ
после выхода последнего на основной режим работы.
Значения оптимизируемых параметров (вектор p ) и программ управле-
ния движением УО (вектор u ) выбираются из условия обеспечения макси-
мального значения целевого функционала – расстояния xupL ,, , на кото-
рое доставляется заданная масса полезного груза mp
pgm с учётом ограниче-
ний, накладываемых конструктивно-технологическими требованиями, усло-
виями эксплуатации, условиями прочности несущих элементов конструкции,
условиями работоспособности РДТТ и т. п.
Программы управления движением УО задаются в определенном классе
функций (полиномов), характер изменения которых во времени определяется
вектором оптимизируемых параметров p и текущими значениями вектора
фазовых координат y , определяющего положение УО в пространстве.
В этом случае задача теории оптимального управления может быть пре-
образована в задачу нелинейного математического программирования с ог-
раничениями в виде равенств и дифференциальных связей.
Комплексная задача совместной оптимизации проектных параметров и
программ управления УО формулируется следующим образом. Необходимо
определить значения векторов ,optpp optuu , обеспечивающих макси-
мальное значение целевого функционала
),,(max),,(
,
xupLxupJ
up
optopt
при ограничениях:
- на области изменения оптимизируемых параметров p и исходных
48
данных x
kkmm XXxPPp
~;~ ;
- на траекторию полёта и программы управления УО
mp
vertvert tt ; ),,,( pxuyf
dt
yd
; ss YYy
~ ; rr UUu
~ ;
- на габаритно-массовые характеристики УО
mpmpxm 00 ),( ; mp
pgpg mpxm ),( ; dop
pp DpxD ),( .
Здесь kixx i ,),( 1 , mipp i ,),( 1 – векторы исходных данных и
оптимизируемых параметров УО, являющиеся элементами векторных про-
странств kX , mP соответственно; km XP ~,~ – замкнутые области в вектор-
ных пространствах km XP , , в которых могут принимать значения векторы
xp , ; siyy i ,),( 1 , rjuu j ,),( 1 – соответственно вектор фазовых
координат, определяющий положение УО в пространстве, и вектор управле-
ния, являющиеся элементами векторных пространств sY и rU ; rs UY ~,~ –
замкнутые области в векторных пространствах sY и rU , в которых могут
принимать значения векторы y , u ; mp
vertvert tt , – расчётная и заданная про-
должительность полёта на вертикальном участке движения УО;
mpmpxm 00 ),,( – расчётная и заданная стартовые массы УО;
mp
pgpg mpxm ),,( – расчётная и заданная массы полезного груза;
dop
pp DpxD ),,( – расчётный и максимально допустимый диаметры УО.
Математическая модель УО представлена в виде оператора ),(~ ZRF
с областью определения на множестве rmk UPXZ ~~~
и областью зна-
чений на множестве F , сопоставляющего каждому элементу множества
Zupxz ),,( множество выходных характеристик УО FF ~ .
В качестве выходных данных рассматриваются: габаритно-массовые харак-
теристики УО в целом и основных его элементов и подсистем; прочностные, аэ-
родинамические, баллистические, энергетические характеристики УО; програм-
мы управления; значение целевого функционала L – дальность полёта УО.
Структура математической модели, последовательность расчета целево-
го функционала при оптимизации проектных параметров и программ управ-
ления УО приведены в [4].
Для решения сформулированной комплексной задачи совместной опти-
мизации проектных параметров и программ управления могут быть приме-
нены методы теории оптимального управления [1, 6]. Однако следует отме-
тить, что их использование наталкивается на трудности, связанные со слож-
ностью используемых математических моделей, а также с проблемой реше-
ния краевой задачи для основной и сопряжённой систем обыкновенных диф-
ференциальных уравнений для каждого из рассматриваемых альтернативных
49
вариантов УО. Перечисленные факторы затрудняют внедрение этих методов
в практику оптимального проектирования.
Для преодоления этих трудностей использован подход, позволяющий свести
задачу теории оптимального управления к задаче нелинейного математического
программирования с ограничениями в виде равенств и дифференциальных свя-
зей [7]. В этом случае программы управления движением УО (программы изме-
нения во времени угла тангажа, тяговых и расходных характеристик маршевого
РДТТ) задаются в виде полиномов, часть коэффициентов которых определяется с
использованием исходных данных, текущих значений оптимизируемых парамет-
ров и фазовых координат, а остальные коэффициенты оптимизируются совмест-
но с основными проектными параметрами УО [7].
При таком подходе задача нелинейного математического программиро-
вания может быть успешно решена широко распространёнными методами
оптимизации, в частности методами детерминированного или случайного
поиска [8, 9]. В процессе решения задачи необходимо для различных значе-
ний вектора оптимизируемых параметров p сформировать программу
управления движением УО – программу изменения угла тангажа )(tnp на
АУТ, а также программы изменения тяги )(tPnp и массового секундного
расхода продуктов сгорания ТРТ tmm cc .
Следует отметить, что используемые при проектировании математиче-
ские модели УО с двигательными установками на ТРТ достаточно широко
освещены в технической литературе [1, 2, 3 и др.].
Элементы математической модели УО, которые дали возможность све-
сти задачу теории оптимального управления к задаче нелинейного математи-
ческого программирования, рассмотрены ранее [4, 5, 7].
Для успешного решения поставленной задачи необходима разработка
метода оптимизации, позволяющего с достаточной для проектных исследо-
ваний точностью определять проектные параметры, параметры траектории и
программы управления полётом УО.
Далее приводится обзор и анализ методов оптимизации, которые могут
быть использованы для решения поставленной задачи.
Обзор и анализ методов случайного поиска. Алгоритмы методов оп-
тимизации можно разделить на две группы: алгоритмы локального и гло-
бального поиска оптимального решения.
Рис. 1 – Ландшафт одномерного пространства состояний
50
Алгоритмы локального поиска являются эффективным средством реше-
ния задач оптимизации. Назначение алгоритмов состоит в поиске состояния,
наилучшего с точки зрения целевого функционала. Как правило, алгоритмы
локального поиска не предусматривают систематическое исследование про-
странства состояний [9]. В локальном поиске рассматривается ландшафт
пространства состояний, характеризуемый «местоположением», которое оп-
ределяется состоянием и «возвышением» (определенным значением целевого
функционала). Ландшафт одномерного пространства состояний приведен на
рис. 1. Задача состоит в поиске глобального максимума (высочайшего пика).
Если решается задача минимизации целевого функционала, то задача состоит
в поиске самой глубокой долины – глобального минимума. Алгоритмы ло-
кального поиска исследуют такой ландшафт и практически всегда находят
цель – локальный оптимум, если он существует, а оптимальный алгоритм
должен находить глобальный оптимум (максимум / минимум).
Возможно применение следующих алгоритмов локального поиска для
задач оптимизации.
Алгоритм поиска с восхождением к вершине [9] в случае максимиза-
ции целевого функционала осуществляет перемещение в направлении воз-
растания значения целевого функционала в зависимости от вектора оптими-
зируемых параметров. Окончание вычислений осуществляется после дости-
жения пика, в котором ни одно из соседних состояний не имеет более высо-
кого значения. Следует отметить, что алгоритм поиска с восхождением к
вершине имеет ряд недостатков. В частности, алгоритм часто заходит в ту-
пик, поскольку найденный локальный максимум может быть ниже, чем гло-
бальный максимум. При наличии хребтов в целевом функционале возникают
последовательности локальных максимумов, задача прохождения которых
для рассматриваемого алгоритма является достаточно сложной. В случае на-
личия плато, представляющее плоский локальный максимум, из которого
рассматриваемый алгоритм может оказаться неспособным выйти. В то же
время в случае уступа возможно дальнейшее успешное продвижение (см.
рис. 1). В каждом из этих случаев рассматриваемый алгоритм достигает та-
кой точки, из которой не может осуществляться дальнейшее успешное про-
движение. При использовании этого алгоритма для поиска глобального мак-
симума целесообразно проведение ряда запусков из сформированных слу-
чайным образом начальных состояний и последующий останов после дости-
жения цели (локального или глобального оптимума).
Локальный лучевой поиск. Стремление преодолеть ограничения, свя-
занные с нехваткой памяти в компьютере, привело к тому, что в свое время
предпочтение отдавалось алгоритмам, предусматривающим хранение в памя-
ти только одного узла, но, как оказалось, такой подход часто является слиш-
ком радикальным способом экономии памяти [9]. В алгоритме локального
лучевого поиска [9] предусмотрено отслеживание k состояний, а не только
одного состояния. Работа этого алгоритма начинается с формирования слу-
чайным образом k состояний. На каждом этапе формируются все преемники
всех k состояний. Если какой-либо из этих преемников соответствует целе-
вому состоянию, алгоритм останавливается. В противном случае алгоритм
выбирает из общего списка k наилучших преемников и повторяет цикл.
51
Этот алгоритм способен быстро отказаться от бесплодных поисков и пере-
бросить свои ресурсы туда, где достигнут наибольший прогресс.
Генетический алгоритм. Генетический алгоритм [9] представляет собой
вариант стохастического лучевого поиска, в котором состояния-преемники
(потомки) формируются путем комбинирования двух родительских состоя-
ний, а не посредством модификации единственного состояния. В нем про-
сматривается такая же аналогия с естественным отбором, как и в стохастиче-
ском лучевом поиске.
В генетическом алгоритме вероятность выбора родителей для воспроиз-
водства потомков прямо пропорциональна оценке целевого функционала.
Для воспроизводства потомка случайным образом выбираются двое родите-
лей в соответствии с вероятностями, прямо пропорциональными оценкам це-
левого функционала каждого индивидуума. Однако, возможна ситуация, ко-
гда один индивидуум выбирается дважды, а один вообще остается невыбран-
ным. При использовании метода отсеивания, в котором отбрасываются все
индивидуумы с оценками целевого функционала ниже заданного порога, ал-
горитм сходится быстрее, чем при использовании версии со случайным вы-
бором. Для каждой пары родителей, предназначенной для воспроизводства
потомков, среди параметров вектора случайным образом выбирается точка
скрещивания. Сами потомки создаются путем перекрестного обмена пара-
метрами родительских векторов, разорванных в точке скрещивания. На прак-
тике генетические алгоритмы оказали глубокое влияние на научные методы,
применяющиеся при решении таких задач оптимизации, как компоновка
электронных схем и планирование производства [9].
В статье генетический алгоритм используется как один из возможных
методов для совместной оптимизации программ управления, проектных па-
раметров и программ управления одноступенчатого УО с маршевым РДТТ.
Метод решения. Для оптимизации параметров и программ управления
были использованы генетический алгоритм [9] и градиентный метод покоор-
динатного спуска с поочередным изменением параметров [8]. Следует отме-
тить, что решение поставленной задачи с помощью градиентного метода по-
координатного спуска при каждой итерации требует вычисления градиента
функции (частной производной целевого функционала по каждому проект-
ному параметру) методом численного дифференцирования, что значительно
увеличивает количество расчетов целевого функционала и, как следствие,
увеличивает время оптимизации. При малых градиентных шагах изменения
каждого проектного параметра градиентный метод покоординатного спуска
окажется неспособным найти глобальный максимум целевого функционала,
поскольку может зайти в тупик, достигнув локального оптимума. Основная
проблема состоит в том, что если значения шагов градиентов изменения каж-
дого параметра будут слишком малыми, то потребуется слишком много эта-
пов поиска, а если слишком большими, то в поиске можно проскочить глобаль-
ный оптимум.
Попытка преодолеть эту дилемму предпринимается следующим образом:
– на первом этапе генетическим алгоритмом проводится более быстрое и
полное исследование всего пространства поиска оптимального вектора про-
ектных параметров и находится вектор, наиболее приближенный к глобаль-
ному максимуму целевого функционала;
– на втором этапе градиентным методом покоординатного спуска в ок-
52
рестности найденного вектора находится наилучший вектор, который соот-
ветствует глобальному максимуму целевого функционала.
Далее приведены алгоритмы методов, использованные для оптимизации
проектных параметров, параметров траектории и программ управления УО.
Генетический алгоритм. Шаг 1. Задаётся: n – количество оптимизи-
руемых параметров, допустимые диапазоны их изменения и целевой функ-
ционал )(Xf , который необходимо максимизировать; M – предельное чис-
ло циклов расчёта генетического алгоритма; k – количество изначально
формируемых случайным образом состояний вектора проектных параметров.
Шаг 2. Задать номер цикла Mj ,,1 .
Шаг 3. Проверить условие Mj :
а) если Mj , то optXX , расчёт окончен;
б) если Mj , то перейти к шагу 4.
Шаг 4. Проверить условие: является ли итерация первой 1j :
а) если 1j , то перейти к шагу 5 для генерации случайным образом
начальной популяции, состоящей из k индивидуумов;
б) если 1j , то перейти к шагу 6 для формирования новой популяции,
состоящей из полученных потомков в предыдущей итерации.
Шаг 5. Формируется случайным образом k индивидуумов в начальном
массиве популяции:
knkk
n
n
k
xxxrandom
xxxrandom
xxxrandom
X
X
X
populmas
,...,,
...
,...,,
,...,,
...
_
21
22221
11211
2
1
.
Шаг 6. В массив новой популяции populmas _ записывается массив
потомков childmas _ :
kk X
X
X
populmas
C
C
C
childmas
...
_
...
_ 2
1
2
1
.
Шаг 7. Рассчитывается целевой функционал для каждого вектора про-
ектных параметров популяции:
kknkk
n
n
k
f
f
f
mas_target
xxx
xxx
xxx
X
X
X
populmas
...
,...,,
...
,...,,
,...,,
...
_ 2
1
21
22221
11211
2
1
.
Шаг 8. Рассчитывается процент вероятности выбора родителей для вос-
производства потомков прямо пропорционально значению целевого функционала:
53
%_
...
%_
%_
......
kkk
f
f
f
_pctmas_target
f
f
f
X
X
X
2
1
2
1
2
1
.
Шаг 9. Определяется индивидуум с максимальным значением целевого
функционала:
maxfXXthenXfXfifdokto1ifor ioptiopt .
Шаг 10. Попарно выбираются k родителей случайным образом в соответст-
вии с полученными процентами вероятности для воспроизводства k потомков:
k
k
kk P
P
P
X
X
X
randomparentsmas
f
f
f
X
X
X
......
_
%_
...
%_
%_
...
2
1
1
3
2
1
2
1
.
Шаг 11. Для каждой пары, предназначенной для воспроизводства потом-
ков, среди позиций параметров случайным образом выбирается точка скре-
щивания. Размер массива случайных точек скрещивания каждой пары роди-
телей равен )/( 2ktrunc :
2
1
1
2
1
/
......_
k
k
k
i
i
randomcrosmas_point_
P
P
P
P
parentsmas .
Шаг 12. Генерируются массив k потомков по два потомка от каждой па-
ры родителей путём перекрестного обмена родительских векторов парамет-
ров, разорванных в случайной точке скрещивания:
nkkkk
knkkk
n
n
knkkk
nkkkk
n
n
xxxC
xxxC
xxxxC
xxxxC
xxxP
xxxP
xxxxP
xxxxP
)()(
)()()()(
,..,,
,..,,
...
,...,,,
,...,,,
,...,|,
,...,|,
...
,...,|,,
,...,|,,
1211
2111
11322212
22312111
21
121111
22322212
11312111
.
Шаг 13. Генерируется случайным образом массив мутаций, т. е. случай-
ный порядковый номера параметра, который случайным образом изменяется
у каждого потомка:
54
kn
m
kkkk
m
n
n
m
k
xxxxC
xxxxC
xxxxC
childmas
m
m
m
randommutmas
k
,...,,,
...
,...,,,
,...,,,
_
...
_
321
22322212
11312111
2
1
2
1
Шаг 14. Проверка номера цикла j :
а) если Mj , то расчет окончен и получен оптимальный вектор пара-
метров maxfX opt ; б) если Mj , то перейти к шагу 2.
Алгоритм градиентного метода покоординатного спуска.
Шаг 1. Задаётся n – количество оптимизируемых параметров, диапазо-
ны их изменения и целевой функционал )(Xf . Начальный вектор оптимизи-
руемых параметров 10X включает в себя минимальные граничные значения
заданных диапазонов изменения оптимизируемых параметров. Задаётся: –
малое положительное число 10 ; Задаётся M – предельное число цик-
лов расчёта оптимизации.
Шаг 2. Задаётся номер цикла Mj ,,1 .
Шаг 3. Проверяется условие Mj : а) если Mj , то jn
opt XX ,
расчёт окончен; б) если Mj , то переход к шагу 4.
Шаг 4. Задаётся nk ,,1 .
Шаг 5. Проверяется условие nk : а) если nk , то переход к ша-
гу 6; б) если 1 nk , то присвоить jnj XX 01)( и перейти к шагу 2.
Шаг 6. Вычисляется градиент функции )( jkXf по k -тому проект-
ному параметру kx методом численного дифференцирования
1
jkXXk
jk
x
XfXf )()( .
Суть метода численного дифференцирования состоит в том, что целевая
функция )(xf заменяется интерполяционным многочленом Ньютона )(xP ,
который дифференцируется. При этом чем меньше расстояние между узлами
интерполяции, тем точнее полученный результат дифференцирования.
Узлы интерполяции равно отстоят друг от друга, то есть образуют ариф-
метическую прогрессию и обозначаются как:
;;...;;; hmxxhxxhxxx n 002010 2
где h – шаг между узлами интерполяции.
Получается интерполяционная формула Ньютона функции )(xP :
55
...)()(
!
)()()(
102
0
2
0
0
0 2
xxxx
h
yxx
h
yyxPxf ;
где
– разности функции первого порядка:
01010 yyxfxfy )()( ; 12121 yyxfxfy )()( ;
– разности функции второго порядка:
0120112010
2 2 yyyyyyyyyy )()( .
Вводится независимая переменная q :
qhxx 0 ;
).()(
);()()(
;
22
1
02
001
0
q
h
hxx
h
xx
q
h
h
h
xx
h
hxx
h
xx
q
h
xx
Подставляются полученные выражения в многочлен Ньютона:
....)(
!
)()(
...;)(
!
)()(
1
2
1
2
0
2
000
2
2
0
2
0
00
qqyqyyqhxPxf
qqh
h
yqh
h
yyqhxPxf
Дифференцируется сложная функция:
;
;
h
dq
dx
qhxx 0
.)(
)(
)(
;)()(
dq
qhxdP
h
dq
dx
dq
qhxdP
dx
qhxdP
dq
dx
dx
qhxdP
dq
qhxdP
0
0
0
00
1
Дифференцируется интерполяционный многочлен Ньютона по незави-
симой переменной q :
....)(
!
)(
!
)(
...;)(
!
)()(
263
3
12
2
322
1
2
20
3
0
2
0
0
3
0
320
3
0
2
0
2
0
0
0
2
000
qqyqyy
yqyqyyqyy
dq
qhxdP
qqyqyyqhxPxf
Дифференцируется интерполяционный многочлен Ньютона по перемен-
ной x :
56
...)(
!
)(
!)()()(
263
3
12
211
20
3
0
2
0
00
qqy
qyy
hdq
qhxdP
hdx
qhxdP
dx
xdf
.
Таким образом, получается численное дифференцирование целевого
функционала )(Xf по k -тому проектному параметру kx :
...)(
!
)(
!
)( 263
3
12
2
1 20
3
0
2
0 qq
y
q
y
y
hdx
Xdf
k
,
где h – шаг между узлами проектного параметра kx интерполяции целевого
функционала )(Xf ;
h
xx
q kk 0
;
– разность целевого функционала )(Xf первого порядка:
),...,,...,(),...,,...,( nknk xxxfxxxfy
01 110 ;
– разность целевого функционала )(Xf второго порядка:
),...,,...,(),...,,...,(),...,,...,( nknknk xxxfxxxfxxxfy
012 1110
2 2 ;
– разность целевого функционала )(Xf третьего порядка:
).,...,,...,(),...,,...,(
),...,,...,(),...,,...,(
nknk
nknk
xxxfxxxf
xxxfxxxfy
01
23
11
110
3
3
3
Все остальные проектные параметры вектора nxxX ,...,1 равны соот-
ветствующим параметрам вектора njk xxX ...,,1
1 , кроме проектного па-
раметра kx .
Шаг 7. Задаётся шаг kt для k -го проектного параметра.
Шаг 8. Вычисляется новый вектор параметров jkX
1
1
jkXXk
k
jkjk
x
XftXX )( .
Шаг 9. Проверяется выполнение условия:
01 jkjk XfXf ,
а) если условие выполнено, то переход к шагу 10; б) если нет, то по-
ложить шаг
2
k
k
t
t и перейти к шагу 8.
Шаг 10. Проверяется выполнение условия:
57
1jkjk XfXf ,
а) если в двух последовательных циклах с номерами j и )( 1j усло-
вие выполняется по всем проектным параметрам, то расчёт в точке jnX
окончен и jn
opt XX ; б) если условие не выполнено, то положить
1 kk и перейти к шагу 4.
Иллюстративный пример. По приведенным методам генетического ал-
горитма и градиентного покоординатного спуска проведена оптимизация
вектора параметров p одноступенчатого УО со стартовой массой
0m 1300 (кг) и массой полезного груза pgm =250 (кг). Оптимизируемые
параметры выбирались из условия максимума целевого функционала
)(pLL (км) – расстояния, на которое доставляется масса полезного груза.
В качестве силовой установки на УО использовался РДТТ.
Была задана следующая аэродинамическая схема УО: головная часть,
представляющая собой сочетание конической и цилиндрической форм, ци-
линдрический металлический корпус, с задним расположением стабилизато-
ров. Полная длина головной части принята равной GTHL =2,5 (м), наружный
диаметр корпуса УО принят равным UOD =0,4 (м).
Активный участок траектории состоял из вертикального участка движе-
ния и участка разворота. Продолжительность вертикального участка движе-
ния принята равной vertt =2,0 (c).
Программа изменения угла тангажа на участке разворота задавалась ли-
нейной зависимостью от времени, окончание участка разворота траектории
на АУТ определялось временем работы маршевого РДТТ.
Для заданных стартовой массы 0m и массы полезного груза pgm опре-
делялись относительная конечная масса k и максимально возможный запас
топлива на УО.
Выбирались следующие оптимизируемые параметры и диапазоны изме-
нений их значений:
– коэффициент начальной тяговооруженности 120050 ,, n ;
– угол тангажа в конце активного участка траектории
]град[3620 AUT ;
– давление в камере сгорания (КС) РДТТ 7963 kp [ 2кгс/см ];
– диаметр среза сопла маршевого РДТТ ]м[,, 380340 aD ;
– коэффициент прогрессивности (дегрессивности) тяги на стационарном
режиме ][,, 3180pdK .
Результаты оптимизации параметров в указанных диапазонах их приме-
нения с помощью генетического алгоритма и градиентного метода покоор-
динатного спуска приведены в табл. 1, рис. 2. Во время отработки генетиче-
ского алгоритма и градиентного метода количество расчётов целевого функ-
ционала было принято равным 200, поэтому машинное время работы этих
алгоритмов тоже одинаково.
58
Таблица 1
Результаты оптимизации вектора проектных параметров optp с помощью
генетического алгоритма и градиентного метода
Оптимальные значения optp
Параметры Размерность Допустимый
диапазон генетический
алгоритм
градиентный
метод
kP кгс/см2 63,0 79,00 77,947 78,995
aD м 0,34 0,38 0,377 0,380
pdK – 0,8 1,3 1,213 1,186
AUT град. 20 36 22,753 22,753
n - 0,05 0,12 0,109 0,11
Целевой функционал optpL 234,894 (км) 235,632 (км)
0
10
20
30
40
50
60
0 50 100 150 200 250
L (км)
H (км)
Рис. 2 – Зависимость высоты H от дальности полёта L
Выводы. Сформулирована комплексная задача оптимизации проектных
параметров и программ управления движением одноступенчатого УО с мар-
шевым РДТТ. Проведен обзор методов случайного поиска и сравнительный
анализ методов случайного поиска с градиентными методами оптимизации.
Показана целесообразность проведения процесса оптимизации в два эта-
па: сначала генетическим алгоритмом, а затем градиентным методом поко-
ординатного спуска в окрестности, найденного на первом этапе вектора оп-
тимизируемых параметров. Такой подход позволяет находить вектор оптими-
зируемых параметров, который соответствует глобальному максимуму целе-
вого функционала.
Приведенные алгоритмы оптимизации могут быть использованы проект-
ными организациями на начальном этапе проектирования объектов ракетно-
космической техники различного назначения.
1. Тарасов Е. В. Алгоритм оптимального проектирования летательного аппарата. М.: Машиностроение.
1970. 364 с.
2. Разумев В. Ф., Ковалев Б. К. Основы проектирования баллистических ракет на твердом топливе. М.:
Машиностроение, 1976. 356 с.
3. Tewari Ashish. Advanced control of aircraft, spacecraft and rockets. Kanpur: John Wiley & Sons, 2011. 456 p.
59
4. Сенькин В. С., Сарычев А. П. Выбор проектных параметров и программ управления на начальном этапе
проектирования ракет-носителей. Техническая механика. 2014. № 3. С. 33–47.
5. Сенькин В. С. Комплексная задача оптимизации проектных параметров и программ управления твердо-
топливной ракеты-носителя сверхлегкого класса. Техническая механика. 2012. № 2. С. 106–121.
6. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 446 с.
7. Алпатов А. П., Сенькин В. С. Комплексная задача оптимизации основных проектных параметров и
программ управления движением ракет космического назначения. Техническая механика. 2011. № 4.
С. 98–113.
8. Пантелеев А. В., Летова Т. А. Методы оптимизации в примерах и задачах: учебник для вузов.
М.: Высш. шк., 2005. 544 c.
9. Рассел Стюарт, Норвиг Питер Искусственный интеллект: современный подход. Пер. с англ. М. : Изда-
тельский дом «Вильямс», 2007. 1408 c.
Получено 24.05.2018,
в окончательном варианте 15.06.2018
|