Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания
Приведены результаты исследования влияния параметров жесткости упругой связи на формирование колебаний регулярной системы с повреждением, состоящей из двух однотипных элементов и моделирующей пакет двух лопаток, при основном резонансе. В качестве расчетной модели исследуемой системы, обладающей кон...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2018
|
| Назва видання: | Проблемы прочности |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174007 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания / В.А. Круц // Проблемы прочности. — 2018. — № 6. — С. 38-48. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174007 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1740072020-12-30T01:25:54Z Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания Круц, В.А Научно-технический раздел Приведены результаты исследования влияния параметров жесткости упругой связи на формирование колебаний регулярной системы с повреждением, состоящей из двух однотипных элементов и моделирующей пакет двух лопаток, при основном резонансе. В качестве расчетной модели исследуемой системы, обладающей конструктивной регулярностью, выбрана дискретная двухмассовая модель, колебания которой описываются нелинейной системой дифференциальных уравнений 2-го порядка. Численные исследования проведены с использованием метода Рунге-Кутта для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений и быстрого преобразования Фурье для обработки полученных решений. Наведено результати дослідження впливу параметрів жорсткості пружного зв’язку на формування коливань регулярної системи з пошкодженням, що складається з двох однотипних елементів і моделює пакет двох лопаток, при основному резонансі. Як розрахункову модель досліджуваної системи з властивостями конструктивної регулярності обрано дискретну двомасову модель, коливання якої описуються нелінійною системою диференціальних рівнянь 2-го порядку. Чисельні дослідження проведено з використанням методу Рунге-Кутта для розв’язання нелінійної системи диференціальних рівнянь і швидкого перетворення Фур’є для обробки отриманих розв’язків The paper summarizes the findings of a study of the influence of stiffness parameters of an elastic restraint in a damaged regular system consisting of two duplicate elements and modeling a two-blade assembly, on the generation of vibration of the system under fundamental resonance. A discrete dual-mass model whose vibration is described by a nonlinear set of differential equations of second order has been chosen as a design model of the structurally regular system under consideration. Numerical investigations have been performed using the Runge-Kutta method to solve a nonlinear set of differential equations and the fast Fourier transform method to process the solutions obtained. 2018 Article Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания / В.А. Круц // Проблемы прочности. — 2018. — № 6. — С. 38-48. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0556-171X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174007 534.134 ru Проблемы прочности Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Круц, В.А Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания Проблемы прочности |
| description |
Приведены результаты исследования влияния параметров жесткости упругой связи на формирование колебаний регулярной системы с повреждением, состоящей из двух однотипных элементов и моделирующей пакет двух лопаток, при основном резонансе. В качестве расчетной модели исследуемой системы, обладающей конструктивной регулярностью, выбрана дискретная двухмассовая модель, колебания которой описываются нелинейной системой дифференциальных уравнений 2-го порядка. Численные исследования проведены с использованием метода Рунге-Кутта для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений и быстрого преобразования Фурье для обработки полученных решений. |
| format |
Article |
| author |
Круц, В.А |
| author_facet |
Круц, В.А |
| author_sort |
Круц, В.А |
| title |
Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания |
| title_short |
Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания |
| title_full |
Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания |
| title_fullStr |
Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания |
| title_full_unstemmed |
Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания |
| title_sort |
влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2018 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174007 |
| citation_txt |
Влияние жесткости упругой связи регулярной системы с повреждением на ее резонансные колебания / В.А. Круц // Проблемы прочности. — 2018. — № 6. — С. 38-48. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT krucva vliâniežestkostiuprugojsvâziregulârnojsistemyspovreždeniemnaeerezonansnyekolebaniâ |
| first_indexed |
2025-07-15T10:52:57Z |
| last_indexed |
2025-07-15T10:52:57Z |
| _version_ |
1837709947422375936 |
| fulltext |
ÓÄÊ 534.134
Âëèÿíèå æåñòêîñòè óïðóãîé ñâÿçè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû ñ ïîâðåæäåíèåì
íà åå ðåçîíàíñíûå êîëåáàíèÿ
Â. À. Êðóö
Èíñòèòóò ïðîáëåì ïðî÷íîñòè èì. Ã. Ñ. Ïèñàðåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ, Óêðàèíà
Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ ïàðàìåòðîâ æåñòêîñòè óïðóãîé ñâÿçè íà ôîð-
ìèðîâàíèå êîëåáàíèé ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû ñ ïîâðåæäåíèåì, ñîñòîÿùåé èç äâóõ îäíîòèïíûõ
ýëåìåíòîâ è ìîäåëèðóþùåé ïàêåò äâóõ ëîïàòîê, ïðè îñíîâíîì ðåçîíàíñå.  êà÷åñòâå ðàñ÷åò-
íîé ìîäåëè èññëåäóåìîé ñèñòåìû, îáëàäàþùåé êîíñòðóêòèâíîé ðåãóëÿðíîñòüþ, âûáðàíà
äèñêðåòíàÿ äâóõìàññîâàÿ ìîäåëü, êîëåáàíèÿ êîòîðîé îïèñûâàþòñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 2-ãî ïîðÿäêà. ×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ ïðîâåäåíû ñ èñïîëüçî-
âàíèåì ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
è áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äëÿ îáðàáîòêè ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Ïîëó÷åíû çàâèñè-
ìîñòè îòíîñèòåëüíûõ ðåçîíàíñíûõ ÷àñòîò è îòíîñèòåëüíûõ ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä ïåðâîé
ãàðìîíèêè êîëåáàíèé îò ïàðàìåòðà ïîâðåæäåíèÿ äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû
ïðè ñèíôàçíîé è àíòèôàçíîé ôîðìàõ êîëåáàíèé ïðè ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðàõ óïðóãîé ñâÿçè äëÿ
ïîâðåæäåííîé è íåïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåì. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè çàäàííîé âåëè÷èíå ïàðà-
ìåòðà ïîâðåæäåíèÿ ñ óâåëè÷åíèåì êîýôôèöèåíòà óïðóãîé ñâÿçè ïîäñèñòåì ÷àñòîòû ñèí-
ôàçíîé è àíòèôàçíîé ôîðì êîëåáàíèé âîçðàñòàþò. Ïðè÷åì íàèáîëåå ñóùåñòâåííîå åãî
âëèÿíèå íàáëþäàåòñÿ ïðè àíòèôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé ïîäñèñòåì. Êîýôôèöèåíò óïðóãîé
ñâÿçè òàêæå çíà÷èòåëüíî âëèÿåò íà óðîâåíü ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä ïåðâîé ãàðìîíèêè êîëå-
áàíèé èññëåäóåìîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ñ åãî óâåëè÷åíèåì ðåçîíàíñ-
íàÿ àìïëèòóäà íåïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû âîçðàñòàåò ïðè ñèíôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé è
óìåíüøàåòñÿ ïðè àíòèôàçíîé. Íà âåëè÷èíû ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä êîëåáàíèé ïîâðåæäåííîé
ïîäñèñòåìû îí îêàçûâàåò ìåíüøåå âëèÿíèå. Ìàêñèìóì ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä êîëåáàíèé
ïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò êîýôôèöèåíòà óïðóãîé ñâÿçè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðåãóëÿðíàÿ ñèñòåìà, âèáðîäèàãíîñòèêà óñòàëîñòíîãî ïîâðåæäåíèÿ,
äûøàùàÿ ïîâåðõíîñòíàÿ òðåùèíà, îñíîâíîé ðåçîíàíñ, äèñêðåòíàÿ ìîäåëü.
Ââåäåíèå è ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàáî÷èå ëîïàòêè òóðáîìàøèí èç-çà äåéñòâèÿ
øèðîêîãî ñïåêòðà òåðìîñèëîâûõ íàãðóçîê îòíîñÿòñÿ ê íàèáîëåå íàïðÿæåííûì êîíñò-
ðóêòèâíûì ýëåìåíòàì. Ïðè ýêñïëóàòàöèè, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå [1], â íèõ âîçìîæíî
ïîïàäàíèå òàêèõ ïîñòîðîííèõ ïðåäìåòîâ, êàê ïòèöû, ëåä, ïûëü è äð., ÷òî ìîæåò
âûçâàòü ïîâðåæäåíèÿ ïåðà ëîïàòîê. Ñâîåâðåìåííîå èõ äèàãíîñòèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ
îäíèì èç óñëîâèé îáåñïå÷åíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ðàáîòîñïîñîáíîñòè òóðáîìàøèíû.
Ýòîìó âîïðîñó óäåëÿåòñÿ áîëüøîå âíèìàíèå êàê ñî ñòîðîíû èññëåäîâàòåëåé, òàê è
ñîçäàòåëåé òóðáîìàøèí, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóþò ìíîãî÷èñëåííûå ðàáîòû.
Ïðè ïîïàäàíèè ïîñòîðîííèõ ïðåäìåòîâ â ïðîòî÷íóþ ÷àñòü òóðáîìàøèíû íà
ïåðå ëîïàòêè âîçíèêàþò ëîêàëüíûå ïîâðåæäåíèÿ òèïà çàáîèí, âìÿòèí. Âîçäåéñòâèå
àãðåññèâíîé ñðåäû ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ êîððîçèîííûõ è ýðîçèîííûõ ÿçâ, ÷òî
îáóñëîâëèâàåò èçìåíåíèå õàðàêòåðèñòèê êîëåáàíèé ëîïàòîê. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòíî-
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, ïîñâÿùåííûõ ðåøåíèþ íåêîòîðûõ âîïðîñîâ âëèÿ-
íèÿ òàêèõ ïîâðåæäåíèé íà ñïåêòð ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è óðîâåíü âèáðîíàïðÿæåíèé,
ïðèâåäåíû â [2–5].
Âîçäåéñòâèå äèíàìè÷åñêèõ íàãðóçîê íà ïåðî ëîïàòêè îáóñëîâëèâàåò åå öèêëè-
÷åñêîå äåôîðìèðîâàíèå è ìîæåò ïðèâîäèòü ê âîçíèêíîâåíèþ äûøàùåé èëè çàêðû-
âàþùåéñÿ òðåùèíû óñòàëîñòè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ èçó÷åíèþ âëèÿíèÿ òðåùèíû íà
õàðàêòåðèñòèêè êîëåáàíèé ëîïàòîê è èõ ñòåðæíåâûõ ìîäåëåé óäåëÿåòñÿ áîëüøîå
© Â. À. ÊÐÓÖ, 2018
38 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6
âíèìàíèå, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóþò ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé, ïðåäñòàâëåííûå, íàïðè-
ìåð, â [6–10].
 ñèëó ñîâðåìåííûõ òåíäåíöèé â ïðàêòèêå ïðîåêòèðîâàíèÿ îáúåêòîâ òåõíèêè
ìåæäó óçëàìè îòäåëüíûõ êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íîãî ðîäà
ìåõàíè÷åñêèå ñâÿçè. Äëÿ ëîïàòîê òóðáîìàøèí òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ áàíäàæíûå ïîëêè,
äåìïôåðíûå ïðîâîëîêè, äèñê. Ðàññìîòðåíèå â îòäåëüíîñòè êàæäîãî êîíñòðóêòèâíîãî
ýëåìåíòà íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîñòîâåðíóþ êàðòèíó èõ äèíàìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ.
Ïîýòîìó â òåîðèè êîëåáàíèé âñå áîëüøåå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ èçó÷åíèþ ñëîæíûõ
ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì, îñîáîå ìåñòî ñðåäè êîòîðûõ çàíèìàþò ðåãóëÿðíûå ñèñòåìû,
ïðåäñòàâëÿþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîå èëè ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèÿ îäíîòèïíûõ ýëå-
ìåíòîâ (ïîäñèñòåì). Ê ñëîæíûì ñèñòåìàì â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíîñÿòñÿ ïàêåòû
ëîïàòîê, à òàêæå èõ âåíöû êàê îñîáûé âèä ðåãóëÿðíûõ ñèñòåì, îáëàäàþùèõ ïîâî-
ðîòíîé ñèììåòðèåé.
Ïðè îòêëîíåíèè ñèñòåìû îò ñòðîãîé ðåãóëÿðíîñòè, îäíîé èç ïðè÷èí ÷åãî
ÿâëÿþòñÿ óêàçàííûå âûøå ïîâðåæäåíèÿ, íàáëþäàåòñÿ âîçíèêíîâåíèå ðàçáðîñà ðå-
çîíàíñíûõ àìïëèòóä êîëåáàíèé â ñõîäñòâåííûõ òî÷êàõ ïîäñèñòåì, ÷òî îáóñëîâëåíî
ðàññëîåíèåì ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé ñèñòåìû âñëåäñòâèå íàðóøåíèÿ
åå ðåãóëÿðíîñòè. Îá ýòîì ñâèäåòåëüñòâóþò ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 1 ýêñïåðèìåíòàëüíî
ïîëó÷åííûå àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè (À×Õ) îáðàçöà êàìåðòîííîãî
òèïà (ðèñ. 2). Íà ðèñ. 1 ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ: � – ÷àñòîòà âîçáóæäåíèÿ; p q( ) –
îòíîñèòåëüíàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà q-é (q� I II, ) ôîðìû êîëåáàíèé îáðàçöà ïðè
ñèíôàçíîì äåéñòâèè âûíóæäàþùèõ ñèë è ðàññòðîéêå ÷àñòîò êîëåáàíèé ñòåðæíåé
�p
p p
p
�
�
� �
1 2
0
100 1% % [11], ãäå p j ( j� 1 2, ) – ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé j-ãî
ñòåðæíÿ; p0 – ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñòåðæíÿ ïðè ñòðîãîé ðåãóëÿðíîñòè
îáðàçöà. Èç ðèñ. 1 âèäíî, ÷òî äàæå ïðè ñèíôàçíîì äåéñòâèè âûíóæäàþùèõ ñèë â
óçêîì ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå âîçáóæäàþòñÿ ñèíôàçíàÿ (q� I) è àíòèôàçíàÿ (q� II)
ôîðìû êîëåáàíèé ñòåðæíåé.
Àíàëèç èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé ïî îöåíêå âëèÿíèÿ äûøàùåé òðå-
ùèíû óñòàëîñòè íà êîëåáàíèÿ ðåãóëÿðíûõ ñèñòåì ïîêàçûâàåò, ÷òî îòäåëüíûå àñïåêòû
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6 39
Âëèÿíèå æåñòêîñòè óïðóãîé ñâÿçè ...
Ðèñ. 1. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè îáðàçöà êàìåðòîííîãî òèïà ïðè ðàññòðîéêå
÷àñòîò êîëåáàíèé �p �1% ïåðâîãî ( j �1) (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è âòîðîãî ( j � 2) (øòðèõîâàÿ
ëèíèÿ) ñòåðæíåé.
ýòîé çàäà÷è ðàññìîòðåíû â [1, 2] íà ïðîñòåéøåì åå ïðèìåðå, ñîñòîÿùåì èç äâóõ
îäíîòèïíûõ ýëåìåíòîâ, à òàêæå íà ìîäåëè ëîïàòî÷íîãî âåíöà [3, 12].
Öåëü ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ â óñòàíîâëåíèè çàêîíîìåðíîñòåé âëèÿíèÿ ïàðàìåòðîâ
æåñòêîñòè óïðóãîé ñâÿçè íà ôîðìèðîâàíèå êîëåáàíèé ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû ñ ïîâðåæ-
äåíèåì ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ êîëåáàíèé ïðîñòåéøåé òàêîé
ñèñòåìû èç äâóõ îäíîòèïíûõ ýëåìåíòîâ (ïîäñèñòåì), ìîäåëèðóþùåé ïàêåò äâóõ
ëîïàòîê.
Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ è åãî ìîäåëèðîâàíèå. Îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ, êàê è
ðàíåå [1, 2], ñëóæèë îáðàçåö êàìåðòîííîãî òèïà ñ äûøàùåé òðåùèíîé â îäíîì èç åãî
ñòåðæíåé, êîòîðûé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñòåðæíåâóþ ìîäåëü ïàêåòà äâóõ ëîïàòîê
òóðáîìàøèí (ðèñ. 2).
 êà÷åñòâå ìîäåëè èññëåäóåìîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû, îáëàäàþùåé êîíñò-
ðóêòèâíîé ðåãóëÿðíîñòüþ, áûëà âûáðàíà äèñêðåòíàÿ ìîäåëü îáðàçöà [1] (ðèñ. 3).
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äûøàùàÿ òðåùèíà èìååò ìåñòî ëèøü â îäíîì èç ñòåðæíåé
îáðàçöà, â äàííîì ñëó÷àå â ïåðâîì ( j� 1). Óïðóãàÿ ñâÿçü ìåæäó ñòåðæíÿìè, îáóñëîâ-
ëåííàÿ çàìêîâîé ÷àñòüþ îáðàçöà, ìîäåëèðóåòñÿ ëèíåéíîé ïðóæèíîé ñ êîýôôèöèåí-
òîì æåñòêîñòè ks .
Äîïóñòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé âèä ïîâðåæäåíèÿ èçìåíÿåò ëèøü óïðóãèå ñâîé-
ñòâà ñòåðæíÿ â ïðîöåññå åãî öèêëè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ.
Êîëåáàíèÿ îáðàçöà êàìåðòîííîãî òèïà âûçâàíû äåéñòâèåì íà êàæäûé èç åãî
ñòåðæíåé ñîñðåäîòî÷åííîé ãàðìîíè÷åñêîé ñèëû P t P t( ) cos� 0 � , à ðàññåÿíèå ýíåðãèè
îïèñûâàåòñÿ ãèïîòåçîé âÿçêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Òîãäà âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ äèñ-
êðåòíîé ìîäåëè èññëåäóåìîãî îáðàçöà áóäóò îïèñûâàòüñÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 2-ãî ïîðÿäêà:
M u c u k u u k u u Ps1 1 1 1 1 1 1 1 2 01 0 5 1�� � [ , ( )] ( ) co� � � � � � �� sign s ;
�� � ( ) cos ,
�
�
t
M u c u k u k u u P ts2 2 2 2 2 2 2 1 0� � � � �
�
(1)
40 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6
Â. À. Êðóö
Ðèñ. 2. Îáðàçåö êàìåðòîííîãî òèïà.
Ðèñ. 3. Äèñêðåòíàÿ ìîäåëü îáðàçöà êàìåðòîííîãî òèïà ñ òðåùèíîé óñòàëîñòè.
ãäå M j , k j , c j ( j� 1 2, ) – ñîîòâåòñòâåííî ïðèâåäåííûå ìàññû, êîýôôèöèåíòû
æåñòêîñòè è âÿçêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ j-ãî ñòåðæíÿ ïðè îòñóòñòâèè ïîâðåæäåíèÿ; u j –
ïåðåìåùåíèå ìàññû M j îòíîñèòåëüíî åå óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ; � – ïàðàìåòð,
èíòåãðàëüíî õàðàêòåðèçóþùèé îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå æåñòêîñòè ñòåðæíÿ ïðè
íàëè÷èè îòêðûòîé òðåùèíû [7], êîòîðûé äàëåå – ïàðàìåòð ïîâðåæäåíèÿ, èëè õàðàê-
òåðèñòèêà íåëèíåéíîñòè.
Ñ öåëüþ îöåíêè âëèÿíèÿ äûøàùåé òðåùèíû óñòàëîñòè íà êîëåáàíèÿ ðàññìàò-
ðèâàåìîé ñèñòåìû â êà÷åñòâå åå èñõîäíîãî íåïîâðåæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ïðèíÿòà
ñòðîãî ðåãóëÿðíàÿ ñèñòåìà, äëÿ êîòîðîé ïðèâåäåííûå ìàññû (M1 è M 2), êîýôôè-
öèåíòû æåñòêîñòè (k1 è k2, ãäå k k kP1 � �o ) è âÿçêîãî òðåíèÿ (c1 è c2) ïîäñèñòåì
îäèíàêîâû, ò.å. M M M1 2� � ; k k k1 2� � ; c c c1 2� � (ko – êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè
ñòåðæíÿ ñ îòêðûòîé òðåùèíîé, â äàííîì ñëó÷àå ïðè u� 0 ).
Ïðè ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèÿõ ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà ïîâðåæäåíèÿ
�, êàê è â [7], ïðèîáðåòàåò âèä
�� �( ) .k k ko (2)
Ñ ó÷åòîì ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî èç-çà íàëè÷èÿ äûøàùåé òðåùèíû óñòàëîñòè
íàðóøåíèå ðåãóëÿðíîñòè èññëåäóåìîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû îáóñëîâëåíî ëèøü
ðàçëè÷èåì óïðóãèõ ñâîéñòâ ïîäñèñòåì ïðè îäèíàêîâîé èõ ìàññå, ñèñòåìà äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê òàêîìó âèäó:
�� � [ , ( )] ( ) cu hu p u u p u u q1 1 0
2
1 1 0
2
1 2 02 1 0 5 1� � � � � � ��
sign os ;
�� � ( ) cos ,
�
�
t
u hu p u p u u q t2 2 0
2
2 0
2
2 1 02� � � � �
�
�
�
(3)
ãäå h c M� 2 , p k M0 � – êîýôôèöèåíò äåìïôèðîâàíèÿ è ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà
êîëåáàíèé íåïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû ñîîòâåòñòâåííî (ïðè ñòðîãîé ðåãóëÿðíîñòè
ñèñòåìû);
� k ks ; q P M0 0� .
Ïðè
� 0 ïîëó÷èì ñèñòåìó íåñâÿçàííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïè-
ñûâàþùèõ êîëåáàíèÿ êàæäîãî ñòåðæíÿ îáðàçöà êàê èçîëèðîâàííîé ïîäñèñòåìû.
Àëãîðèòì ðàñ÷åòà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ. Ðåøå-
íèå íåëèíåéíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (3) îñóùåñòâëÿëîñü ìåòîäîì
Ðóíãå-Êóòòà ñ àâòîìàòè÷åñêèì âûáîðîì øàãà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî îïðåäåëÿëèñü
ïåðåìåùåíèÿ ìàññ u j , ìîäåëèðóþùèõ ïîâðåæäåííóþ è íåïîâðåæäåííóþ ïîäñèñòå-
ìû. Ïðèìåðû îáùåãî âèäà çàâèñèìîñòåé u tj ( ), à òàêæå èõ óñòàíîâèâøèõñÿ ó÷àñòêîâ
äëÿ ïîâðåæäåííîé è íåïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåì ïðè âîçáóæäàåìûõ ñèíôàçíîé è
àíòèôàçíîé ôîðìàõ êîëåáàíèé ïðèâåäåíû íà ðèñ. 4 è 5.
Ïîäòâåðæäåíèåì âîçìîæíîñòè âîçáóæäåíèÿ ñèíôàçíîé è àíòèôàçíîé ôîðì êî-
ëåáàíèé ÿâëÿþòñÿ ïîëó÷åííûå ïî ðåçóëüòàòàì âûïîëíåííûõ ðàñ÷åòîâ àìïëèòóäíî-
÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè (ðèñ. 6), êîòîðûå êà÷åñòâåííî ñîãëàñóþòñÿ ñ ýêñïåðèìåí-
òàëüíûìè (ðèñ. 1).
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (FFT) ïðîâîäèëàñü
îáðàáîòêà óñòàíîâèâøåãîñÿ ó÷àñòêà çàâèñèìîñòè u tj ( ). Ïîëó÷åííûå ñïåêòðû àìïëè-
òóä êîëåáàíèé ïðèâåäåíû íà ðèñ. 4,ä,å è 5,ä,å, ãäå A j
i q( , )
– àìïëèòóäà âîçáóæäàåìûõ
ãàðìîíèê (ãäå i� 1 2, – íîìåð ãàðìîíèêè êîëåáàíèé; q� I II, – ñèíôàçíàÿ è àíòè-
ôàçíàÿ ôîðìû êîëåáàíèé); � i – ÷àñòîòà ðåçîíèðóþùåé ãàðìîíèêè.
Àíàëèç ïîëó÷åííûõ äàííûõ ïîêàçûâàåò, ÷òî â ñïåêòðå àìïëèòóä êîëåáàíèé
ïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû èìåþòñÿ äâå ãàðìîíèêè, ÷òî îáóñëîâëåíî íàëè÷èåì â íåé
äûøàùåé òðåùèíû. Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà àíòèôàçíîé ãàðìîíèêè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå
ñèíôàçíîé, â äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòàõ îíà íå ó÷èòûâàëàñü.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6 41
Âëèÿíèå æåñòêîñòè óïðóãîé ñâÿçè ...
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Âñå ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü ïðè
íàëè÷èè òðåùèíû â ïåðâîé ïîäñèñòåìå ( j� 1), ïàðàìåòðû êîòîðîé âàðüèðîâàëèñü â
äèàïàçîíå, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ïàðàìåòð ïîâðåæäåíèÿ �� 0...0,16. Îòíîñèòåëü-
íàÿ àìïëèòóäà âûíóæäàþùåé ñèëû q0 ïðèíÿòà ðàâíîé åäèíèöå, à êîýôôèöèåíò
äåìïôèðîâàíèÿ h� 0 0016, c 1� .
42 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6
Â. À. Êðóö
á
â ã
ä å
Ðèñ. 4. Îáùèé âèä çàâèñèìîñòåé u tj ( ) – à, á, èõ óñòàíîâèâøèõñÿ ó÷àñòêîâ – â, ã è ðåçóëüòàòû
îáðàáîòêè ìåòîäîì FFT – ä, å äëÿ ïîâðåæäåííîé (à, â, ä) è íåïîâðåæäåííîé (á, ã, å) ïîäñèñòåì
äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû ïðè ñèíôàçíîé (I) ôîðìå êîëåáàíèé ( ,� � 0 02,
� 0 015, è h �
�0 0016, c 1).
a
Ðàíåå [1] ïîêàçàíî, ÷òî îäíîé èç îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû,
âëèÿþùåé íà çàêîíîìåðíîñòè ôîðìèðîâàíèÿ åå ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé, ÿâëÿåòñÿ
êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè
óïðóãîé ñâÿçè ïîäñèñòåì. Ïîýòîìó âñå ðàñ÷åòû ïðîâî-
äèëèñü äëÿ çíà÷åíèé
� 0,01; 0,015 è 0,02.
Îïðåäåëÿëèñü ÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè èññëåäóåìîé ñèñòåìû, êîòîðûå ïðî-
èëëþñòðèðîâàíû íà ðèñ. 7 â âèäå çàâèñèìîñòåé îòíîñèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò
p p pq q( ) ( ) ,� 0 ñîîòâåòñòâóþùèõ âîçáóæäàåìûì ôîðìàì êîëåáàíèé, îò ïàðàìåòðà
ïîâðåæäåíèÿ �.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6 43
Âëèÿíèå æåñòêîñòè óïðóãîé ñâÿçè ...
a á
â ã
ä å
Ðèñ. 5. Îáùèé âèä çàâèñèìîñòåé u tj ( ) – à, á, èõ óñòàíîâèâøèõñÿ ó÷àñòêîâ – â, ã è ðåçóëüòàòû
îáðàáîòêè ìåòîäîì FFT – ä, å äëÿ ïîâðåæäåííîé (à, â, ä) è íåïîâðåæäåííîé (á, ã, å) ïîäñèñòåì
äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû ïðè àíòèôàçíîé (II) ôîðìå êîëåáàíèé ( ,� � 0 02,
� 0 015, è h �
�0 0016, c 1).
Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ÷àñòîòíûõ çàâèñèìîñòåé ïîêàçûâàåò, ÷òî èõ êà÷åñòâåííûé
õàðàêòåð ïðè âàðüèðîâàíèè âåëè÷èíîé êîýôôèöèåíòà
ñîõðàíÿåòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî
åãî çíà÷åíèå òàêîå æå, êàê è â ñëó÷àå ëîêàëüíîãî ïîâåðõíîñòíîãî ïîâðåæäåíèÿ òèïà
çàáîèíû [2]. Îäíàêî èìåþò ìåñòî íåêîòîðûå êîëè÷åñòâåííûå èçìåíåíèÿ. Ïðè çàäàí-
íîé âåëè÷èíå ïàðàìåòðà ïîâðåæäåíèÿ ñ óâåëè÷åíèåì êîýôôèöèåíòà óïðóãîé ñâÿçè
ïîäñèñòåì ÷àñòîòû ñèíôàçíîé è àíòèôàçíîé ôîðì êîëåáàíèé âîçðàñòàþò. Ïðè÷åì
íàèáîëåå ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå óêàçàííîãî ïàðàìåòðà îòìå÷àåòñÿ ïðè àíòèôàçíîé
ôîðìå êîëåáàíèé ïîäñèñòåì. Òàêîå ÿâëåíèå îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè ñèíôàçíîé
ôîðìå êîëåáàíèé ïîäñèñòåì íàáëþäàåòñÿ íåçíà÷èòåëüíîå äåôîðìèðîâàíèå ïðóæèíû,
ìîäåëèðóþùåé óïðóãóþ ñâÿçü. Ïðè àíòèôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé âëèÿíèå æåñòêîñòè
ïðóæèíû âñëåäñòâèå åå äåôîðìèðîâàíèÿ íà ÷àñòîòó âûðàæåíî íàèáîëåå çíà÷èìî.
44 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6
Â. À. Êðóö
Ðèñ. 6. Ðàñ÷åòíûå àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîâðåæäåííîé (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è
íåïîâðåæäåííîé (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ) ïîäñèñòåì äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû ïðè
� � 0 06, ,
� 0 015, , h �
�0 0016, c 1.
Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ñèíôàçíîé (ñïëîøíûå ëèíèè) è
àíòèôàçíîé (øòðèõîâûå ëèíèè) ôîðì êîëåáàíèé äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû îò
ïàðàìåòðà ïîâðåæäåíèÿ � äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
è h �
�0 0016, c 1: � –
� 0 01, ; � –
� 0 015, ; � –
� 0 02, .
Ýòèì îáúÿñíÿþòñÿ ìàêñèìàëüíîå ðàçëè÷èå â ÷àñòîòàõ àíòèôàçíîé ôîðìû êîëåáàíèé
ñòðîãî ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû, êîãäà ñòåðæíè ïåðåìåùàþòñÿ ñòðîãî â ïðîòèâîôàçå, è
ðàâåíñòâî ÷àñòîò ïðè ñèíôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé, êîãäà ïðóæèíà íå äåôîðìèðóåòñÿ.
Ïî ðåçóëüòàòàì âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîëó÷åíû çàâèñèìîñòè îòíîñè-
òåëüíûõ ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä ïåðâîé ãàðìîíèêè êîëåáàíèé îò ïàðàìåòðà ïîâðåæ-
äåíèÿ � äëÿ òðåõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòà
(ðèñ. 8). Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåííûõ
äàííûõ è èõ ñðàâíèòåëüíîãî àíàëèçà ñ ïîëó÷åííûìè ðàíåå [1], óðîâåíü ðåçîíàíñíûõ
àìïëèòóä ïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû ïðè ñèíôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé ñèñòåìû, âî-
ïåðâûõ, çíà÷èòåëüíî âûøå, ÷åì äëÿ ìîäåëè ïîâðåæäåííîãî ñòåðæíÿ â èçîëèðîâàííîì
ñîñòîÿíèè. Ïðè àíòèôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé íàáëþäàåòñÿ îáðàòíûé ýôôåêò. Âî-
âòîðûõ, ïðè îñíîâíîì ðåçîíàíñå àìïëèòóäû êîëåáàíèé âûñøèõ ãàðìîíèê èññëå-
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6 45
Âëèÿíèå æåñòêîñòè óïðóãîé ñâÿçè ...
a
á
Ðèñ. 8. Çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíûõ ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä ïåðâîé ãàðìîíèêè êîëåáàíèé îò
ïàðàìåòðà ïîâðåæäåíèÿ � ïîâðåæäåííîé (ñâåòëûå òî÷êè) è íåïîâðåæäåííîé (òåìíûå òî÷êè)
ïîäñèñòåì äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû ïðè ñèíôàçíîé (à) è àíòèôàçíîé (á)
ôîðìàõ êîëåáàíèé äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
è h � 0 0016, c 1� : �, � –
� 0 01, , �, � –
� 0 015, ; �, � –
� 0 02, .
äóåìîé ñèñòåìû, êàê è äëÿ èçîëèðîâàííîãî ñòåðæíÿ, ÿâëÿþòñÿ î÷åíü ìàëûìè âåëè-
÷èíàìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ðàññìàòðèâàåìîì ðåæèìå êîëåáàíèé íåëèíåéíîñòü
ñèñòåìû èç-çà çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíû óñòàëîñòè, íå îêàçûâàåò áîëüøîãî âëèÿíèÿ
íà ðàñïðåäåëåíèå åå ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä, îäíàêî îáóñëîâëèâàåò âîçìîæíîñòü
âîçáóæäåíèÿ ñóá- è ñóïåðãàðìîíè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ. Äàííûå âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïå-
ðèìåíòîâ ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè èññëåäóåìîì ðåæèìå êîëåáàíèé óêàçàííûå çàâèñè-
ìîñòè ñóùåñòâåííî íå èçìåíÿþòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òàêîâûìè, ïîëó÷åííûìè ñ ó÷åòîì
òåõíîëîãè÷åñêîé ðàññòðîéêè ñòåðæíåé [12] è ïðè íàëè÷èè ïîâðåæäåíèÿ òèïà çà-
áîèíû [2].
Ïðè ñèíôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû íàè-
áîëüøèé óðîâåíü ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä îñíîâíîé ãàðìîíèêè êîëåáàíèé õàðàêòåðåí
äëÿ ïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû. Ïðè ýòîì ñ èçìåíåíèåì êîýôôèöèåíòà
ìàêñèìóì
àìïëèòóä ñîõðàíÿåòñÿ, îäíàêî ñ åãî ðîñòîì ñäâèãàåòñÿ â îáëàñòü áîëüøèõ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðà ïîâðåæäåíèÿ �, ÷òî ýêâèâàëåíòíî óâåëè÷åíèþ ðàññòðîéêè ÷àñòîò êîëå-
áàíèé ïîäñèñòåì.
Àíàëîãè÷íîå èçìåíåíèå ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä ïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû õà-
ðàêòåðíî è ïðè àíòèôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé.
Äëÿ íåïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû ïðè ðàññìàòðèâàåìîì ðåæèìå êîëåáàíèé õà-
ðàêòåðíû òàêèå îñîáåííîñòè èçìåíåíèÿ ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä. Ïðè ñèíôàçíîé ôîð-
ìå êîëåáàíèé ñèñòåìû âèäíî, ÷òî íåçàâèñèìî îò êîýôôèöèåíòà
ñ ðîñòîì ïàðà-
ìåòðà � ðåçîíàíñíûå àìïëèòóäû ìîíîòîííî óìåíüøàþòñÿ. Îäíàêî ïðè çàäàííîé
âåëè÷èíå � äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé
õàðàêòåðåí è áîëüøèé óðîâåíü ðåçîíàíñíûõ
àìïëèòóä êîëåáàíèé. Ïðè àíòèôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé óðîâåíü ðåçîíàíñíûõ àìïëè-
òóä êîëåáàíèé ìàêñèìàëüíûé, â äàííîì ñëó÷àå ñ óâåëè÷åíèåì êîýôôèöèåíòà
îí
ñíèæàåòñÿ.
 û â î ä û
1. Ïðè îñíîâíîì ðåçîíàíñå õàðàêòåð âëèÿíèÿ ïàðàìåòðà íåëèíåéíîñòè íà àìïëè-
òóäû îñíîâíîé ãàðìîíèêè äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû êà÷åñòâåííî ñîâïà-
äàåò ñ òàêîâûì, ïîëó÷åííûì äëÿ ñëó÷àÿ ðàññòðîéêè ÷àñòîò ñòåðæíåé, îáóñëîâëåííîé
êàê äîïóñêàìè íà èõ èçãîòîâëåíèå, òàê è íàëè÷èåì ïîâðåæäåíèÿ òèïà çàáîèíû èëè
îòêðûòîé òðåùèíû.
2. Ïðè èññëåäóåìîì ðåæèìå êîëåáàíèé íåëèíåéíîñòü ñèñòåìû, îáóñëîâëåííàÿ
çàêðûâàþùåéñÿ òðåùèíîé óñòàëîñòè, íå îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà ðàñ-
ïðåäåëåíèå åå ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä êîëåáàíèé ïðè ñèíôàçíîé è àíòèôàçíîé ôîðìàõ
êîëåáàíèé, îäíàêî ïðåäîïðåäåëÿåò âîçìîæíîñòü âîçáóæäåíèÿ ñóá- è ñóïåðãàðìî-
íè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ.
3. Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî îöåíêå ñîâìåñò-
íîãî âëèÿíèÿ ïàðàìåòðà ïîâðåæäåíèÿ � è êîýôôèöèåíòà
ïîäñèñòåì äèñêðåòíîé
ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû ïðè
ñèíôàçíîé è àíòèôàçíîé ôîðìàõ êîëåáàíèé èçìåíåíèå êîýôôèöèåíòà
íå âëèÿåò íà
ìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó ðåçîíàíñíîé àìïëèòóäû îñíîâíîé ãàðìîíèêè êîëåáàíèé,
îäíàêî ñ åãî óâåëè÷åíèåì îíà ñäâèãàåòñÿ â îáëàñòü áîëüøèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà �.
Äëÿ íåïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû ïðè ñèíôàçíîé ôîðìå êîëåáàíèé êîýôôèöèåíò
íå
âëèÿåò íà êà÷åñòâåííûé õàðàêòåð âûøåóêàçàííûõ çàâèñèìîñòåé, èìååò ìåñòî ëèøü
êîëè÷åñòâåííîå èõ ðàçëè÷èå. Òàê, ñ óâåëè÷åíèåì êîýôôèöèåíòà
âåëè÷èíà ðåçî-
íàíñíîé àìïëèòóäû îñíîâíîé ãàðìîíèêè êîëåáàíèé íåïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû ïðè
ñèíôàçíîé ôîðìå âîçðàñòàåò. Ìàêñèìàëüíûé óðîâåíü ðåçîíàíñíûõ àìïëèòóä êîëå-
áàíèé íåïîâðåæäåííîé ïîäñèñòåìû äèñêðåòíîé ìîäåëè ðåãóëÿðíîé ñèñòåìû íàáëþ-
äàåòñÿ ïðè àíòèôàçíîé ôîðìå, îäíàêî â äàííîì ñëó÷àå ñ óâåëè÷åíèåì êîýôôèöèåíòà
îí ñíèæàåòñÿ.
46 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6
Â. À. Êðóö
Ð å ç þ ì å
Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè äîñë³äæåííÿ âïëèâó ïàðàìåòð³â æîðñòêîñò³ ïðóæíîãî çâ’ÿçêó íà
ôîðìóâàííÿ êîëèâàíü ðåãóëÿðíî¿ ñèñòåìè ç ïîøêîäæåííÿì, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ
îäíîòèïíèõ åëåìåíò³â ³ ìîäåëþº ïàêåò äâîõ ëîïàòîê, ïðè îñíîâíîìó ðåçîíàíñ³. ßê
ðîçðàõóíêîâó ìîäåëü äîñë³äæóâàíî¿ ñèñòåìè ç âëàñòèâîñòÿìè êîíñòðóêòèâíî¿ ðåãóëÿð-
íîñò³ îáðàíî äèñêðåòíó äâîìàñîâó ìîäåëü, êîëèâàííÿ ÿêî¿ îïèñóþòüñÿ íåë³í³éíîþ
ñèñòåìîþ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü 2-ãî ïîðÿäêó. ×èñåëüí³ äîñë³äæåííÿ ïðîâåäåíî ç
âèêîðèñòàííÿì ìåòîäó Ðóíãå-Êóòòà äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ íåë³í³éíî¿ ñèñòåìè äèôåðåíö³àëü-
íèõ ð³âíÿíü ³ øâèäêîãî ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º äëÿ îáðîáêè îòðèìàíèõ ðîçâ’ÿçê³â. Ïîáóäî-
âàíî çàëåæíîñò³ â³äíîñíèõ ðåçîíàíñíèõ ÷àñòîò ³ â³äíîñíèõ ðåçîíàíñíèõ àìïë³òóä ïåðøî¿
ãàðìîí³êè êîëèâàíü â³ä ïàðàìåòðà ïîøêîäæåííÿ äèñêðåòíî¿ ìîäåë³ ðåãóëÿðíî¿ ñèñòåìè
ïðè ñèíôàçí³é é àíòèôàçí³é ôîðìàõ êîëèâàíü çà ð³çíèõ ïàðàìåòð³â ïðóæíîãî çâ’ÿçêó äëÿ
ïîøêîäæåíî¿ ³ íåïîøêîäæåíî¿ ï³äñèñòåì. Ïîêàçàíî, ùî ïðè çàäàí³é âåëè÷èí³ ïàðàìåò-
ðà ïîøêîäæåííÿ ç³ çá³ëüøåííÿì êîåô³ö³ºíòà ïðóæíîãî çâ’ÿçêó ï³äñèñòåì ÷àñòîòè
ñèíôàçíî¿ é àíòèôàçíî¿ ôîðì êîëèâàíü çðîñòàþòü. Ïðè÷îìó íàéá³ëüø ³ñòîòíèé éîãî
âïëèâ ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ïðè àíòèôàçí³é ôîðì³ êîëèâàíü ï³äñèñòåì. Êîåô³ö³ºíò ïðóæ-
íîãî çâ’ÿçêó òàêîæ ñóòòºâî âïëèâຠíà ð³âåíü ðåçîíàíñíèõ àìïë³òóä ïåðøî¿ ãàðìîí³-
êè êîëèâàíü äîñë³äæóâàíî¿ ìîäåë³ ðåãóëÿðíî¿ ñèñòåìè. Óñòàíîâëåíî, ùî ç éîãî çá³ëü-
øåííÿì ðåçîíàíñíà àìïë³òóäà íåïîøêîäæåíî¿ ï³äñèñòåìè çðîñòຠïðè ñèíôàçí³é ôîðì³
êîëèâàíü ³ çìåíøóºòüñÿ ïðè àíòèôàçí³é. Íà âåëè÷èíó ðåçîíàíñíî¿ àìïë³òóäè ïîøêîä-
æåíî¿ ï³äñèñòåìè â³í âïëèâຠìåíøå. Ìàêñèìóì ðåçîíàíñíèõ àìïë³òóä êîëèâàíü ïî-
øêîäæåíî¿ ï³äñèñòåìè ïðàêòè÷íî íå çàëåæèòü â³ä êîåô³ö³ºíòà ïðóæíîãî çâ’ÿçêó.
1. Kruts V. A., Zinkovskii A. P. , and Sinenko E. A. Influence of a fatigue crack on the
vibrations of the simplest regular elastic system. Strength Mater. 2013. 45, No. 3.
P. 308–315.
2. Tokar’ I. G. and Zinkovskii A. P. Influence of the parameters of local defect in a
regular system on the range of eigenfrequencies of vibrations and the level of vibration
stresses in elements of the same type. Strength Mater. 2010. 42, No. 2. P. 167–174.
3. Huang B.-W. and Kuang J.-H. Vibration in the stability of a rotating blade disk with a
local crack defect. J. Sound Vib. 2006. 294, No. 3. P. 486–502.
4. Zinkovskii A. P., Tokar’ I. G., and Kruts V. A. Influence of the local surface damage
parameters on the natural frequencies of vibration of structural elements. Strength
Mater. 2015. 47, No. 2. P. 221–226.
5. Zinkovskii A. P., Kruts V. A., Onyshchenko E. A., and Tokar I. G. Vibrations of
structural elements with local surface damage. Proc. of the XII Int. Conf. on Vibration
Engineering and Technology of Machinery (Sept. 7–9, 2016, Warsaw). P. 187–194.
6. Matveev V. V. Approximate analytical determination of vibrodiagnostic parameters of
non-linearity of elastic bodies due to the presence of closing crack. Pt 2.
Determination of diagnostic parameters in principal and 2-nd order supharmonic
resonances. Strength Mater. 2004. 36, No. 5. P. 449–462.
7. Matveev V. V.. Boginich O. E., and Yakovlev A. P. Approximate analytical method
for determining the vibrotion-diagnostic parameter indicating the presence of a crack
in a distributed-parameter elastic system at super- and subharmonic resonances.
Strength Mater. 2010. 42, No. 5. P. 528–543.
8. Matveev V. V., Yakovlev A. P., Boginich O. E., and Sinenko E. A. Approximate
analytical determination of vibrodiagnostic parameters of the presence of a closing
crack in bar elements under subharmonic resonance. Strength Mater. 2014. 46, No. 3.
P. 315–327.
ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6 47
Âëèÿíèå æåñòêîñòè óïðóãîé ñâÿçè ...
9. Sinenko E. A. and Zinkovskii A. P. Influence of the exciting force application point
on the amplitude spectrum of flexural vibrations in a beam with a “breathing” crack.
Strength Mater. 2015. 47, No. 4. P. 553–560.
10. Matveev V. V., Boginich O. E., Sinenko E. A., and Yakovlev A. P. On vibro-
diagnostics of the presence of a closing edge crack in a beam with amplitude-
dependent damping capacity under superharmonic resonance. Strength Mater. 2015.
47, No. 5. P. 653–661.
11. Adamenko A. Ya., Tokar’ I. G., and Matveev V. V. A method of examining the
damping capacity of vanes of turbomachines under the effect of temperature and
centrifugal forces. Strength Mater. 1983. 15, No. 7. P. 949–953.
12. Larin O. O. Forced vibrations of bladings with the random technological mistuning.
Proc. of the ASME Turbo Expo 2010 (June 14–18, 2010, Glasgow). Glasgow, 2010.
P. 667–672.
Ïîñòóïèëà 24. 11. 2017
48 ISSN 0556-171X. Ïðîáëåìè ì³öíîñò³, 2018, ¹ 6
Â. À. Êðóö
|