Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда

Целью работы является разработка процедуры идентификации параметров бесстолкновительной плазмы по вольтамперной характеристике (ВАХ) поперечно обтекаемого цилиндрического зонда при произвольном отношении площадей собирающих ток поверхностей зонда и опорного электрода. С использованием известных теор...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2019
Hauptverfasser: Лазученков, Д.Н., Лазученков, Н.М.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2019
Schriftenreihe:Технічна механіка
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174087
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда / Д.Н. Лазученков, Н.М. Лазученков // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 107-118.— Бібліогр.: 10 назв.— рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-174087
record_format dspace
spelling irk-123456789-1740872021-01-02T01:25:45Z Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда Лазученков, Д.Н. Лазученков, Н.М. Целью работы является разработка процедуры идентификации параметров бесстолкновительной плазмы по вольтамперной характеристике (ВАХ) поперечно обтекаемого цилиндрического зонда при произвольном отношении площадей собирающих ток поверхностей зонда и опорного электрода. С использованием известных теоретических и экспериментальных зависимостей ионного и электронного токов на цилиндр построена математическая модель ВАХ (собирания тока) для зондовой системы с цилиндрическими электродами. Модель включает расчет равновесного потенциала опорного электрода при изменении напряжения смещения зонда. Метою роботи є розробка процедури ідентифікації параметрів беззіштовхувальної плазми за вольтамперною характеристикою (ВАХ) циліндричного зонда, що обтікається поперечно, при довільному відношенні площі поверхні зонда до площі поверхні опорного електрода, які збирають струм. З використанням відомих теоретичних і експериментальних залежностей іонного та електронного струмів на циліндр побудовано математичну модель ВАХ (збирання струму) для зондової системи з циліндричними електродами. Модель включає розрахунок рівноважного потенціалу опорного електрода при зміні напруги зсуву зонда. The aim of this work is the development of a procedure for the characterization of a collisionless plasma using the current–voltage characteristic of a cylindrical probe perpendicular to the plasma flow at an arbitrary ratio of the probe and reference electrode current-collecting areas. Using familiar theoretical and experimental ion and electron current vs. probe potential relationships, a mathematical model of current collection was constructed for a probe system with cylindrical electrodes. The model includes the calculation of the reference electrode equilibrium potential as a function of the probe bias voltage. 2019 Article Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда / Д.Н. Лазученков, Н.М. Лазученков // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 107-118.— Бібліогр.: 10 назв.— рос. 1561-9184 DOI: doi.org/10.15407/itm2019.04.107 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174087 533.9 ru Технічна механіка Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Целью работы является разработка процедуры идентификации параметров бесстолкновительной плазмы по вольтамперной характеристике (ВАХ) поперечно обтекаемого цилиндрического зонда при произвольном отношении площадей собирающих ток поверхностей зонда и опорного электрода. С использованием известных теоретических и экспериментальных зависимостей ионного и электронного токов на цилиндр построена математическая модель ВАХ (собирания тока) для зондовой системы с цилиндрическими электродами. Модель включает расчет равновесного потенциала опорного электрода при изменении напряжения смещения зонда.
format Article
author Лазученков, Д.Н.
Лазученков, Н.М.
spellingShingle Лазученков, Д.Н.
Лазученков, Н.М.
Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда
Технічна механіка
author_facet Лазученков, Д.Н.
Лазученков, Н.М.
author_sort Лазученков, Д.Н.
title Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда
title_short Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда
title_full Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда
title_fullStr Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда
title_full_unstemmed Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда
title_sort моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда
publisher Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate 2019
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174087
citation_txt Моделирование восстановления кинетических параметров ионосферной плазмы по вольтамперной характеристике цилиндрического зонда / Д.Н. Лазученков, Н.М. Лазученков // Технічна механіка.— 2019.— № 4.— С. 107-118.— Бібліогр.: 10 назв.— рос.
series Технічна механіка
work_keys_str_mv AT lazučenkovdn modelirovanievosstanovleniâkinetičeskihparametrovionosfernojplazmypovolʹtampernojharakteristikecilindričeskogozonda
AT lazučenkovnm modelirovanievosstanovleniâkinetičeskihparametrovionosfernojplazmypovolʹtampernojharakteristikecilindričeskogozonda
first_indexed 2025-07-15T10:58:00Z
last_indexed 2025-07-15T10:58:00Z
_version_ 1837710266353057792
fulltext 107 УДК 533.9 https://doi.org/10.15407/itm2019.04.107 Д. Н. ЛАЗУЧЕНКОВ, Н. М. ЛАЗУЧЕНКОВ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ИОНОСФЕРНОЙ ПЛАЗМЫ ПО ВОЛЬТАМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗОНДА Институт технической механики Национальной академии наук Украины и Государственного космического агентства Украины, ул. Лешко-Попеля 15, 49005, г. Днепр, Украина; e-mail: lazuch.dn@gmail.com Метою роботи є розробка процедури ідентифікації параметрів беззіштовхувальної плазми за вольт- амперною характеристикою (ВАХ) циліндричного зонда, що обтікається поперечно, при довільному від- ношенні площі поверхні зонда до площі поверхні опорного електрода, які збирають струм. З використан- ням відомих теоретичних і експериментальних залежностей іонного та електронного струмів на циліндр побудовано математичну модель ВАХ (збирання струму) для зондової системи з циліндричними електро- дами. Модель включає розрахунок рівноважного потенціалу опорного електрода при зміні напруги зсуву зонда. На основі побудованої теоретичної моделі ВАХ циліндричного зонда в надзвуковому потоці низь- котемпературної неізотермічної беззіштовхувальної плазми розроблено процедуру ідентифікації кінетич- них параметрів плазми з використанням апріорної інформації про властивості плазми і умови експериме- нту. Процедура заснована на визначенні температури і концентрації заряджених частинок, швидкості потоку і маси іонів плазми, за яких теоретична ВАХ найкращим чином описує ВАХ, що отримано експе- риментально. Апріорна інформація про властивості плазми і умови експерименту задається у вигляді обмежень на параметри теоретичної ВАХ. Досліджено чутливість ВАХ циліндричного зонда при малих варіаціях параметрів незбуреної плаз- ми в залежності від відношення поверхонь зонда і циліндричного опорного електрода, які збирають струм. Отримано кількісні характеристики впливу відношення площ на ВАХ циліндричного зонда. Виконано числове моделювання зондових вимірювань в умовах іоносфери. Показано працездатність процедури ідентифікації кінетичних параметрів плазми. Проведено числові дослідження впливу похибок зондових вимірювань на відновлення параметрів плазми. В рамках прийнятих припущень отримані оцінки достові- рності відновлення параметрів незбуреної плазми в залежності від точності вимірювання ВАХ. Отримані результати можуть бути використані в діагностиці іоносферної плазми. Ключові слова: потік неізотермічної беззіштовхувальної плазми, циліндричний зонд Ленгмюра, опорний електрод, параметрична ідентифікація, апріорна інформація, вірогідність відновлення параме- трів плазми. Целью работы является разработка процедуры идентификации параметров бесстолкновительной плазмы по вольтамперной характеристике (ВАХ) поперечно обтекаемого цилиндрического зонда при произвольном отношении площадей собирающих ток поверхностей зонда и опорного электрода. С ис- пользованием известных теоретических и экспериментальных зависимостей ионного и электронного токов на цилиндр построена математическая модель ВАХ (собирания тока) для зондовой системы с цилиндри- ческими электродами. Модель включает расчет равновесного потенциала опорного электрода при измене- нии напряжения смещения зонда. На основе построенной теоретической модели ВАХ цилиндрического зонда в сверхзвуковом потоке низкотемпературной неизотермической бесстолкновительной плазмы раз- работана процедура идентификации кинетических параметров плазмы с использованием априорной ин- формации о свойствах плазмы и условиях эксперимента. Процедура основана на определении значений температуры и концентрации заряженных частиц, скорости потока и массы ионов плазмы, при которых теоретическая ВАХ наилучшим образом описывает полученную экспериментально ВАХ. Априорная ин- формация о свойствах плазмы и условиях эксперимента задается в виде ограничений на параметры теоре- тической ВАХ. Исследована чувствительность ВАХ цилиндрического зонда при малых вариациях параметров не- возмущенной плазмы в зависимости от соотношения собирающих ток поверхностей зонда и цилиндриче- ского опорного электрода. Получены количественные характеристики влияния отношения площадей на ВАХ цилиндрического зонда. Выполнено численное моделирование зондовых измерений в условиях ионосфе- ры. Показана работоспособность процедуры идентификации кинетических параметров плазмы. Проведены численные исследования влияния погрешностей зондовых измерений на восстановление параметров плаз- мы. В рамках принятых допущений получены оценки достоверности восстановления параметров невоз- мущенной плазмы в зависимости от точности измерения ВАХ. Полученные результаты могут быть ис- пользованы в диагностике ионосферной плазмы. Ключевые слова: поток неизотермической бесстолкновительной плазмы, цилиндрический зонд Ленгмюра, опорный электрод, параметрическая идентификация, априорная информация, достовер- ность восстановления параметров плазмы. The aim of this work is the development of a procedure for the characterization of a collisionless plasma using the current–voltage characteristic of a cylindrical probe perpendicular to the plasma flow at an arbitrary  Д. Н. Лазученков, Н. М. Лазученков, 2019 Техн. механіка. – 2019. – № 4. 108 ratio of the probe and reference electrode current-collecting areas. Using familiar theoretical and experimental ion and electron current vs. probe potential relationships, a mathematical model of current collection was constructed for a probe system with cylindrical electrodes. The model includes the calculation of the reference electrode equi- librium potential as a function of the probe bias voltage. Based on this theoretical model of the current–voltage characteristic of a cylindrical probe in a supersonic flow of a low-temperature nonisothermal collisionless plasma, a procedure was developed for kinetic plasma parameter extraction using a priori information on the plasma prop- erties and the experimental conditions. The procedure is based on the determination of the values of the charged particle temperature and density, the flow velocity, and the ion mass such that the theoretical current–voltage characteristic best fits the experimental one. The a priori information on the plasma properties and the experi- mental conditions is specified as restrictions on the parameters of the theoretical current–voltage characteristic. The sensitivity of the current–voltage characteristic of cylindrical probe to small variations of the unper- turbed plasma parameters was studied as function of the ratio of the probe and cylindrical reference electrode current-collecting surface areas. Quantitative characteristics of the effect of the area ratio on the currant–voltage characteristic of a cylindrical probe were obtained. Probe measurements in the ionosphere were numerically simu- lated. The operability of the kinetic plasma parameter extraction procedure was demonstrated. The effect of probe measurement errors on the extraction of the plasma parameters was numerically studied. Within the adopted as- sumptions, the reliability of unperturbed plasma parameter extraction was estimated as a function of the current– voltage characteristic measurement accuracy. The results obtained may be used in ionospheric plasma diagnostics. Keywords: nonisothermal collisionless plasma flow, Cylindrical Langmuir probe, reference electrode, characterization, a priori information, plasma characterization reliability. Введение. Диагностика ионосферной плазмы на космических аппаратах (КА) традиционно осуществляется с применением электрических зондов. Благодаря простоте аппаратуры и приемлемой точности измерений электри- ческие зонды Ленгмюра успешно используются для исследования кинетиче- ских параметров заряженных компонент ионосферной плазмы начиная с пер- вых запусков ракет [1] до настоящего времени. Основными элементами зондовой измерительной системы являются изме- рительный электрод (зонд) и опорный электрод (противозонд), имеющие элек- трический контакт с плазмой площадью собирающей ток поверхности соответ- ственно zS и pzS . Наиболее изучены и используются на практике предельные случаи схемы зондовых измерений: одиночный ( pzz SS  ) и двойной симмет- ричный ( pzz SS  ) зонд Ленгмюра [1 – 3]. Более информативным является оди- ночный цилиндрический зонд Ленгмюра, позволяющий диагностировать тем- пературу электронов, концентрацию заряженных частиц и, при определенных условиях, температуру ионов (концевой эффект), скорость потока и среднюю массу ионов плазмы. При измерениях в ионосфере по схеме одиночного зонда Ленгмюра в качестве опорного электрода чаще всего используется корпус КА – не изолированные от плазмы внешние поверхности проводящих элементов его конструкции. Сильная разреженность ионосферной плазмы и современная тен- денция к уменьшению размеров КА (микро- и наноспутники) затрудняют вы- полнение ограничения pzz SS  для собирающих ток электродов измеритель- ной схемы одиночного зонда Ленгмюра. В работе [4] рассмотрена интерпретация ионосферных измерений оди- ночным зондом Ленгмюра, предложена процедура идентификации парамет- ров невозмущенной бесстолкновительной плазмы на основе параметрическо- го представления вольтамперной характеристики поперечно обтекаемого ци- линдрического зонда с привлечением априорной информации о свойствах плазмы и условиях эксперимента. В настоящей работе процедура интерпре- тации зондовых измерений [4] рассмотрена для схемы измерений при произ- вольной площади собирающей ток поверхности опорного электрода, получе- ны оценки достоверности восстановления кинетических параметров ионо- 109 сферной плазмы в зависимости от уровня погрешности измерения ВАХ по- перечно обтекаемого цилиндрического зонда. Постановка задачи. Математическая модель собирания тока. Рас- смотрим модель зондовой измерительной системы с цилиндрическими элек- тродами, поперечно обтекаемыми сверхзвуковым потоком бесстолкновитель- ной плазмы с массовой скоростью V . Радиусы основания зонда zr и опорного электрода (противозонда) pzr существенно меньше их длины, торцевые по- верхности опорного электрода изолированы от плазмы, электростатическое и газодинамическое влияние электродов друг на друга в плазме мало, эмиссион- ные токи с поверхностей электродов отсутствуют. Плазма трехкомпонентная (состоит из нейтралов, положительных однозарядных ионов и электронов), квазинейтральная, режим обтекания электродов бесстолкновительный, влияние магнитного поля на зондовый ток незначительно, распределение частиц одного сорта по скоростям в невозмущенной плазме максвелловское. В рассматриваемом случае основными параметрами невозмущенной плазмы являются: концентрация заряженных частиц n , температура электро- нов eT , температура iT и масса im ионов. Электрическое и газодинамическое взаимодействие цилиндра с потоком плазмы определяется ионным скорост- ным отношением ii uVS  , характерным размером цилиндра относительно дебаевского радиуса dcr  , безразмерным электрическим потенциалом цилиндра  относительно невозмущенной плазмы, отношениями масс ie mm и температур ie TT заряженных частиц. Здесь iii mkTu 2 – тепловая скорость ионов, k – постоянная Больцмана, cr – радиус основания цилиндра, d – дебаевский радиус экранирования в невозмущенной плазме, потенциал  отнесен к величине ekTe , e – элементарный заряд, em – масса электронов. Для зонда и опорного электрода примем аппроксимацию тока на попе- речно обтекаемый бесстолкновительной плазмой цилиндр [4], полученную на основе классических асимптотических соотношений Ленгмюра [5], аналитиче- ских исследований [6] и расчетов работ [4, 7, 8]. В безразмерных величинах полный ток на цилиндр, находящийся под потенциалом  относительно не- возмущенной плазмы, определяется соотношениями [4] (за положительный принят электронный ток на цилиндр):       iec III , (1)           0,exp ;0,42 eI (2)            22 22 ,212 ;,exp2 ii ii i SS SS I , (3) 110 где cI – безразмерный ток на цилиндр, отнесенный к хаотическому электрон- ному току c0,0, SjI ee  ,  20, ee enuj – плотность хаотического тока элек- тронов, eee mkTu 2 – тепловая скорость электронов, cS – площадь соби- рающей поверхности цилиндра. Здесь индекс i относит значение величины к положительным ионам, индекс e – к электронам. В размерных величинах зависимость тока cI на цилиндр от его потенци- ала U относительно невозмущенной плазмы определится через безразмер- ный ток cI так:    eccec kTeUISjUI  0, . (4) В притягивающем поле для электронов аппроксимация (2) справедлива при 1 [2, 7], в отталкивающем поле ограничений нет. Ионный ток при скорости обтекания цилиндра 4iS хорошо описывается соотношениями (3) при 10 [4, 8, 9, 10]. Поскольку опорный электрод всегда находится под от- рицательным потенциалом (отталкивающее поле для электронов), аппрокси- мация (1) – (3) для него справедлива при 4iS , 10 . Для зонда ограничения определяются электронной ветвью ВАХ – 1 . В дальнейшем полагаем, что радиусы зонда zr и противозонда pzr удовлетворяют указанным ограничениям на параметр  . Анализ численных расчетов системы уравнений Власова– Пуассона показал [4, 10], что соотношения (1) – (3) аппроксимируют реше- ние задачи собирания ионного тока цилиндром в сверхзвуковом потоке бес- столкновительной плазмы с точностью (до 3–5) % при 4iS , 10 , 50 . Прямая задача зондовых измерений. При снятии ВАХ измеряются ток zI в цепи "зонд – плазма – опорный электрод" при сканировании потенциала смещения izU зонда относительно опорного электрода ( pzUUU ziz  , где zU , pzU – потенциалы зонда и опорного электрода относительно невозму- щенной плазмы). Потенциал зонда относительно плазмы – pzizz UUU  . Характерное время установления равновесного потенциала в ионосфере достаточно мало для принятия допущения, что зондовая система всегда находится при равновесном потенциале [1]. Поэтому измерение ВАХ (скани- рование потенциала смещения izU ) может проводиться в том же режиме, что и для одиночного зонда, когда равновесный потенциал опорного электрода можно считать неизменным. Каждому значению напряжения смещения izU соответствует равновес- ный потенциал опорного электрода pzU , определяемый равенством нулю суммарного тока заряженных частиц через собирающие поверхности зондо- вой системы. Для опорного электрода уравнение баланса токов в безразмер- ном виде запишется так     0 izpzcspzc ISI , (5) 111 где zpzs SSS  – отношение площадей опорного электрода и зонда. Здесь безразмерный ток на опорный электрод  pzcI  и на зонд  izpzcI  опре- деляются соотношениями (1) – (3). Решая для каждого значения потенциала смещения iz нелинейное уравнение (5) относительно потенциала опорного электрода pz , находим зависимость равновесного потенциала опорного электрода от потенциала смещения зонда –  izpz  . В размерном виде равновесный потенциал опорного электрода определится так     ekTkTeUUU eeizizpz  . Таким образом, ВАХ зонда в безразмерном виде дается формулой     izizcizz II  , в размерном виде – определяется следующим образом     eizeizczeizz kTeUkTeUISjUI  0 . (6) Поскольку зависимости тока от потенциала электродов и параметров  ,  , iS задаются непрерывной однозначной функцией (1) – (3) [4], решение  iz нелинейного уравнения (5) существует и единственно при всех рас- сматриваемых значениях потенциала смещения iz и легко находится итера- ционным методом. Соотношения (1) – (5), определяющие параметрическое представление ВАХ (6) системы "зонд–плазма–опорный электрод", включают безразмерные параметры  ,  , iS , sS , iz , определяемые через параметры невозмущенной плазмы, зонда и опорного электрода: im , iT , eT , n , V , zS , pzS , izU . Безразмерные вольтамперные характеристики  izzI  рассматриваемой зондовой системы при различных значениях параметра sS (отношения соби- рающих ток площадей опорного электрода и зонда) представлены на рис. 1 в масштабах для электронного (а) и ионного (б) тока. На рис. 2 в масштабах, соответствующих электронной (а) и ионной (б) ветви ВАХ, представлены в безразмерном виде зависимости равновесного потенциала pz опорного электрода от потенциала смещения iz зонда при различных значениях па- раметра sS . Расчеты выполнены при значениях параметров 8,4iS , 5107,3  и 27,1 , соответствующих ионосферной плазме на высоте около 700 км [4]. С увеличением собирающей ток площади опорного электрода pzS , начи- ная с 10sS , ионная ветвь ВАХ не меняется в масштабе рис. 1, б). Это поз- воляет, как известно, использовать классический поход для восстановления концентрации n заряженных частиц плазмы по ионной ветви ВАХ. 112 Из результатов расчетов, приведенных на рис. 2, а) следует, что суще- ствует некоторое значение * sS параметра sS , качественно разделяющее по- ведение ВАХ: при * ss SS  зонд остается под отрицательным потенциалом относительно плазмы и при положительном смещении относительно опорно- го электрода; при * ss SS  – при положительном смещении относительно опорного электрода появляется ветвь ВАХ, соответствующая собиранию электронного тока зондом (рис. 1). Увеличение потенциала смещения iz ведет к уменьшению значения * sS . Например, в рассматриваемом случае без- sS = 1000 300 200 iz pz z iz а) б) pz Рис. 2 150 100 50 10 1 20 3000 1000 sS = 1 2 5 10 300 200 1 10 20 sS = 1000 200 150 100 50 iz iz а) б) sS = 1000 10zI Рис. 1 5 1 zI 113 размерным потенциалам смещения 40iz соответствует значение 18* sS , а при 200iz – 5,9* sS . Известно [1 – 3], что для использования классических соотношений оди- ночного цилиндрического зонда отношение площадей опорного электрода и зонда должно удовлетворять достаточно жесткому условию 410sS . Рас- смотрим возможность восстановления кинетических параметров ионосфер- ной плазмы при использовании зондовой системы с произвольным значением параметра sS . Обратная задача зондовых измерений. Для применения соотношений (1) – (6) при интерпретации зондовых измерений в потоке плазмы, следуя работе [4], используем параметры  ,  , eT , n , V , sS . (7) Если обозначить через P вектор параметров (7), то формально зависимость для зондового тока (6), включающая расчетные соотношения (1) – (5), может быть записана так:       PPUISPjPUI izzczeizz ,,, 0  ,    PkTeUkTeUPU eizeizizz ,,  , где  PU izz , – безразмерный потенциал зонда относительно плазмы,  Piz , – равновесный потенциал опорного электрода, соответствующий безразмерному потенциалу смещения зонда iz при значениях P параметров (7), рассчитанный по нелинейному уравнению (5). Пусть известна экспериментально полученная ВАХ  izэ UI рассматрива- емой зондовой системы. Обратная задача зондовых измерений заключается в определении значений параметров (7), при которых теоретическая ВАХ  PUI izz , наилучшим образом описывает экспериментальную ВАХ  izэ UI . В общем случае задача восстановления параметров плазмы (7) сводится к следующей постановке [4]:           izMizэizzDP UIPUIPFPFPFP   ,,: ** min . (8) Здесь   izMizUf – дискретная квадратичная норма сеточной функции  izUf , множество izM определяет узлы сеточной функции, D – множество допусти- мых значений параметров P : maxmin PPP  , где minP , maxP – соответ- ственно векторы наименьших и наибольших значений параметров (7). Множе- ство допустимых значений параметров (7) определяется из физических сооб- ражений и априорной информации об исследуемом потоке плазмы [4]. Формулы (1) – (4), (6), с учетом уравнения (5), определяют зондовый ток как кусочно-аналитическую функцию потенциала izU и всех параметров (7). Нарушение гладкости происходит при значениях потенциала, удовлетворя- ющих условиям 114   0,  PUUU izpziz ,    2, 2VemPUUU eizpziz . Эти равенства определяют поверхности пространства переменных  PUiz , , на которых производные функции  PUI izz , терпят разрывы перво- го рода. Во всех остальных точках множества D функция  PUI izz , анали- тическая, следовательно, непрерывно дифференцируемая по всем своим пе- ременным. Решение вариационной задачи (8) может быть реализовано мето- дами, основанными на методе Ньютона с ограничениями на параметры. По- скольку число параметров невелико, а целевая функция  PF кусочно- аналитическая, градиент и матрицу Гессе нетрудно рассчитать. Анализ параметров задачи. Обозначим через p отдельный параметр мно- жества (7). Определим для функции  PUI izz , в окрестности некоторой точ- ки  0000000 ,,,,, se SVnTP  безразмерную функцию чувствительности по па- раметру p :     p PUI Sj pPUI izz ze izpz     0 0 0 0, ,, . Малые изменения параметров (7)  ppp  10 , в окрестности точки 0P приведут к изменению безразмерного зондового тока       p izpzpizzizz PUIPUIPUI 0,0 ,,, . (9) На основе этих соотношений выполнен анализ влияния параметров (7) на ВАХ рассматриваемой зондовой системы при различных отношениях площадей sS опорного электрода и зонда при ионосферных исследованиях на высоте около 700 км. Базовые значения BP параметров (7) определены в [4]. Модель собирания зондового тока (1) – (6) более соответствует физиче- ской задаче зондовых измерений по сравнению с рассмотренной в работе [4] моделью одиночного зонда Ленгмюра, поскольку здесь равновесный потен- циал опорного электрода рассматривается не как независимый параметр, а определяется из физических соотношений баланса собираемых токов (5). Для модели (1) – (6) рассмотренная в работе [4] "конкуренция" параметров eT и pzU не актуальна и достоверность восстановления электронной температуры eT , как и концентрации n , определяется в основном адекватностью матема- тической модели собирания тока для зонда и опорного электрода. При этом модель (1) – (6) привязана к цилиндрической форме опорного электрода, в то время как рассмотренная в работе [4] модель одиночного зонда позволяет интерпретировать зондовые измерения при любом опорном электроде, удо- влетворяющем ограничениям теории одиночного зонда Ленгмюра. Проведенные вычисления показали, что для рассматриваемой модели "зонд – плазма – опорный электрод" зависимости зондового тока от парамет- ров n ,  ,  , V при отношении площадей sS > 200 по уровню влияния соот- ветствуют зависимостям, полученным в работе [4] для модели "зонд – плаз- ма" одиночного зонда Ленгмюра. Для концентрации n , отношения масс  и 115 температур  заряженных компонентов плазмы при sS > 500 наблюдается качественное и количественное соответствие функций чувствительности для рассмотренных моделей зондовых измерений. Для скорости потока V и тем- пературы электронов eT плазмы функции чувствительности при переходе от модели одиночного зонда к модели зонда с цилиндрическим опорным элек- тродом меняют знак на противоположный. На рис. 3 представлены результаты расчетов функций чувствительности модели собирания зондового тока (1) – (6) к значениям электронной темпера- туры eT (а) и параметра sS (б) в зависимости от потенциала смещения зонда izU при различных значениях отношения площадей опорного электрода и зонда sS . Функции чувствительности рассчитаны при базовых значениях BP параметров плазмы (7). Представленные на рис. 3 данные показывают, что при отрицательном смещении потенциала зонда относительно потенциала опорного электрода зондовый ток не зависит от температуры электронов eT и отношения площадей sS . При sS > 100 уровень влияния на зондовый ток па- раметра eT не меняется, а с ростом отношения площадей sS область влияния eT увеличивается в сторону положительных значений потенциала смещения зонда izU . При отношении площадей sS > 300 влияние температуры элек- тронов eT на зондовый ток практически не меняется с увеличением площади собирающей поверхности опорного электрода. Влияние погрешностей. В условиях ионосферы работа электрического зонда сопровождается множеством факторов, искажающих вид ВАХ. Для обоснования работоспособности предложенной процедуры интерпретации зондовых измерений в ионосфере проведены численные исследования влияния погрешностей измерения ВАХ цилиндрического зонда на восстановление пара- метров плазмы (7) при значении параметра sS = 1000. В рамках принятых до- izU eTzI , izU а) б) sSzI , Рис. 3 sS = 1 10 sS = 150 100 50 20 10 5 1 1000 250 200 100020 50 100 150 200 116 пущений получены оценки достоверности восстановления значений параметров невоз- мущенной плазмы (7) в зависимости от точ- ности измерения ВАХ. Результаты восстановления зашумлен- ной ВАХ, моделирующей экспериментальные данные при погрешности измерения зондово- го тока zI до 20 % от максимального реги- стрируемого значения при базовых парамет- рах (7), представлены на рис. 4 (точки – экс- периментальная ВАХ, сплошная кривая  восстановленная теоретическая ВАХ, зондо- вый ток приведен в мкА, потенциал izU в вольтах). Восстановленная ВАХ в масштабе рисунка практически совпадает с базовой ВАХ. Решение задачи параметрической идентификации показало, как в работе [4], устойчивость к случайным погрешностям при количестве измерений ~100 и более для диапазона изменения потенциала смещения зонда от –10 В до +10 В. Основываясь на соотношении (9) исследовано влияние уровня неопреде- ленности измерений зондового тока на достоверность восстановления пара- метров невозмущенной плазмы. Получены оценки допустимых изменений параметров невозмущенной плазмы 0,~  pppp pp в зависимости от уровня неопределенности зондовых токов 0,~  IIII MMII . Здесь p – один из параметров множества (7);  – абсолютная,  – относи- тельная погрешность соответствующих величин; IM – характерное значение зондового тока при определении параметров плазмы (7); прямой чертой сверху обозначены "точные" значения, волнистой – "восстановленные" или "измеренные" значения соответствующих величин. На рис. 5 приведены относитель- ные изменения p параметров плазмы (7) в зависимости от относительного уровня неопределенности зондовых токов I : кривая 1 соответствует кон- центрации n ; 2 – скорости V при  = 0; 3 – электронной температуре eT ; 4 – отношению масс  при V = 0; 5 – V при  = 0,1; 6 –  при V = 0,1. Представленные на рис. 5 оценки не являются точными, получены аналити- чески в линейном приближении (9) по izU Рис. 4 zI -2 0 2 4 6 8 10 -8 -4 0 4 8 4 3 2 1 6 5 I Рис. 5 p 0,01 0,1 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 117 аппроксимации (1) – (6) и уточнены численными расчетами по методике, описанной в работе [4]. Принято следующее характерное значение зондового тока:           ,,при, ,,при ,при * iz * iz max UUIII UUIII III M eэe eэe eэ I 00 00 0 0250 где maxI – наибольшее регистрируемое значение зондового тока; 0,eI – хао- тический ток электронов на зонд; *U – значение потенциала, условно разби- вающее ВАХ на ионную и электронную части (приведены оценки при 1* U В). Полученные оценки характеризуют влияние на достоверность восстановления параметров плазмы как точности электрических измерений, так и соответствия модели собирания тока реальным условиям зондовых из- мерений. Выводы. Построена математическая модель собирания тока для зондо- вой системы с цилиндрическими электродами при произвольном отношении площадей зонда и опорного электрода. Модель включает расчет равновесно- го потенциала опорного электрода при изменении напряжения смещения зонда. На основе построенной модели разработана процедура расчета теоре- тической ВАХ цилиндрического зонда в сверхзвуковом потоке низкотемпе- ратурной неизотермической бесстолкновительной плазмы и восстановления кинетических параметров плазмы с использованием априорной информации о свойствах плазмы и условиях эксперимента. Исследована чувствительность ВАХ цилиндрического зонда при малых вариациях параметров невозмущенной плазмы в зависимости от соотношения собирающих ток поверхностей зонда и цилиндрического опорного электрода. Определены значения отношения площади опорного электрода к площади зон- да, при которых в условиях ионосферы работа измерительной системы "зонд – плазма – опорный электрод" подобна работе одиночного зонда Ленгмюра. По- лучены количественные характеристики влияния отношения площадей на ВАХ цилиндрического зонда. Выполнено численное моделирование зондовых измерений в условиях ионосферы. Показана работоспособность процедуры идентификации кинетиче- ских параметров плазмы. Проведены исследования влияния погрешностей зондовых измерений на восстановление параметров плазмы. В рамках приня- тых допущений получены оценки достоверности восстановления параметров невозмущенной плазмы в зависимости от точности измерения ВАХ и адек- ватности принятой математической модели собирания тока. Полученные результаты могут быть использованы при подготовке и ин- терпретации экспериментов по диагностике ионосферной плазмы. 1. Бойд Р. Зонды Ленгмюра на космическом корабле. В кн. Методы исследования плазмы / Под ред. В. Лохте– Хольтгревена. М.: Мир 1971. С. 506–538. 2. Чан П., Толбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме. М.: Мир, 1978. 201 с. 3. Козлов О. В. Электрический зонд в плазме. М.: Атомиздат, 1969. 291 с. 4. Лазученков Д. Н., Лазученков Н. М. Интерпретация зондовых измерений в потоке бесстолкновительной плазмы. Техническая механика. 2018. № 1. С. 107–120. https://doi.org/10.15407/itm2018.01.107 118 5. Mott-Smith H., Langmuir I. The theory of collectors in gaseous discharges. Phys. Rev. 1926. V. 28. № 5. P. 727–763. https://doi.org/10.1103/PhysRev.28.727 6. Hoegy W. R., Wharton L. E., Current to a moving cylindrical electrostatic probe. Journal of Applied Physics. 1973. V. 44, No. 12. P. 5365–5371. https://doi.org/10.1063/1.1662157 7. Latramboise J. G. Theory of Spherical and Cylindrical Langmuir Probes in a Collisionless Maxwellian Plasma at Rest. Report, No. 100. Univ. of Toronto, Institute of Aerospace Studies. 1966. 210 c. https://doi.org/10.21236/AD0634596 8. Godard R., Laframboise J. Total current to cylindrical collectors in collision less plasma flow. Space Science. 1983. V. 31, № 3. Р. 275–283. https://doi.org/10.1016/0032-0633(83)90077-6 9. Choiniere E. Theory and experimental evaluation of a consistent steady-state kinetic model for two- dimensional conductive structures in ionospheric plasmas with application to bare electrodynamic tethers in space : Ph.D. dissertation. University of Michigan, 2004. 288 p. 10. Лазученков Д. Н., Лазученков Н. М. Математическое моделирование обтекания проводящего цилиндра сверхзвуковым потоком бесстолкновительной плазмы. Техническая механика. 2019. № 1. С. 63–74. https://doi.org/10.15407/itm2019.01.063 Получено 12.11.2019, в окончательном варианте 21.11.2019