Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем
Математический аппарат мономиальных (1, 0, -1)-матриц-(4х4) применен к разработке алгоритма преобразования матрицы инерции, вычисления центра масс составных асимметричных транспортных средств как сложных механических систем при переносе и повороте систем отсчета в пространстве. Расчетные формулы пре...
Збережено в:
| Дата: | 2020 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2020
|
| Назва видання: | Технічна механіка |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174105 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем / В.В. Кравец, К.М. Басс, Вл.В. Кравец // Технічна механіка. — 2020. — № 1. — С. 114-119. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174105 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1741052021-01-03T01:25:39Z Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем Кравец, В.В. Басс, К.М. Кравец, Вл.В. Математический аппарат мономиальных (1, 0, -1)-матриц-(4х4) применен к разработке алгоритма преобразования матрицы инерции, вычисления центра масс составных асимметричных транспортных средств как сложных механических систем при переносе и повороте систем отсчета в пространстве. Расчетные формулы представлены в гармоничном, упорядоченном, компактном матричном виде, непосредственно адаптированном к компьютерным технологиям. Предложенный новый матричный алгоритм позволяет оперативно решать широкий круг задач динамического проектирования составных транспортных экипажей при существенных изменениях компоновочной схемы как по структуре, так и по составу. Математичний апарат мономіальних (1, 0, -1) -матриць- (4х4) застосовано до розробки алгоритму перетворення матриці інерції, обчислення центру мас складових асиметричних транспортних засобів як складних механічних систем при перенесенні і повороті систем відліку в просторі. Розрахункові формули представлені в гармонійному, упорядкованому, компактному матричному вигляді, безпосередньо адаптованому до комп'ютерних технологій. Запропонований новий матричний алгоритм дозволяє оперативно вирішувати широке коло завдань динамічного проектування складових транспортних екіпажів при істотних змінах компонувальної схеми як за структурою, так і за складом. In this paper, the mathematical apparatus of monomial (1, 0. -1) 4х4 matrices is applied to the development of an algorithm of inertia matrix transformation and the calculation of the center of mass of composite asymmetric vehicles as complex mechanical systems under translations and rotations of coordinate systems in space. Formulas for calculation are presented in harmonic, ordered, and compact matrix form directly adapted to computer technologies. The proposed new matrix algorithm allows one to effectively solve a wide range of problems of dynamic design of composite vehicles under substantial changes in the layout diagram both in structure and in composition. 2020 Article Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем / В.В. Кравец, К.М. Басс, Вл.В. Кравец // Технічна механіка. — 2020. — № 1. — С. 114-119. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1561-9184 DOI: doi.org/10.15407/itm2020.01.114 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174105 531.39 ru Технічна механіка Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Математический аппарат мономиальных (1, 0, -1)-матриц-(4х4) применен к разработке алгоритма преобразования матрицы инерции, вычисления центра масс составных асимметричных транспортных средств как сложных механических систем при переносе и повороте систем отсчета в пространстве. Расчетные формулы представлены в гармоничном, упорядоченном, компактном матричном виде, непосредственно адаптированном к компьютерным технологиям. Предложенный новый матричный алгоритм позволяет оперативно решать широкий круг задач динамического проектирования составных транспортных экипажей при существенных изменениях компоновочной схемы как по структуре, так и по составу. |
| format |
Article |
| author |
Кравец, В.В. Басс, К.М. Кравец, Вл.В. |
| spellingShingle |
Кравец, В.В. Басс, К.М. Кравец, Вл.В. Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем Технічна механіка |
| author_facet |
Кравец, В.В. Басс, К.М. Кравец, Вл.В. |
| author_sort |
Кравец, В.В. |
| title |
Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем |
| title_short |
Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем |
| title_full |
Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем |
| title_fullStr |
Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем |
| title_full_unstemmed |
Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем |
| title_sort |
матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| publishDate |
2020 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174105 |
| citation_txt |
Матричный метод определения инерционных характеристик составных асимметричных механических систем / В.В. Кравец, К.М. Басс, Вл.В. Кравец // Технічна механіка. — 2020. — № 1. — С. 114-119. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Технічна механіка |
| work_keys_str_mv |
AT kravecvv matričnyjmetodopredeleniâinercionnyhharakteristiksostavnyhasimmetričnyhmehaničeskihsistem AT basskm matričnyjmetodopredeleniâinercionnyhharakteristiksostavnyhasimmetričnyhmehaničeskihsistem AT kravecvlv matričnyjmetodopredeleniâinercionnyhharakteristiksostavnyhasimmetričnyhmehaničeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-15T10:58:56Z |
| last_indexed |
2025-07-15T10:58:56Z |
| _version_ |
1837710323855917056 |
| fulltext |
114
УДК 531.39 https://doi.org/10.15407/itm2020.01.114
В. В. КРАВЕЦ, К. М. БАСC, Вл. В. КРАВЕЦ
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНЕРЦИОННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК СОСТАВНЫХ АСИММЕТРИЧНЫХ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Национальный технический университет "Днепровская политехника",
пр. Д.Яворницкого, 19, 49005, Днепр, Украина; e-mail: prof.w.kravets@gmail.com
Математичний апарат мономіальних (1, 0, -1) -матриць- (4х4) застосовано до розробки алгоритму
перетворення матриці інерції, обчислення центру мас складових асиметричних транспортних засобів як
складних механічних систем при перенесенні і повороті систем відліку в просторі. Розрахункові формули
представлені в гармонійному, упорядкованому, компактному матричному вигляді, безпосередньо адапто-
ваному до комп'ютерних технологій. Запропонований новий матричний алгоритм дозволяє оперативно
вирішувати широке коло завдань динамічного проектування складових транспортних екіпажів при істот-
них змінах компонувальної схеми як за структурою, так і за складом. Компонувальні схеми транспортних
систем представляються складними просторовими конфігураціями в формі окремих підконструкцій. Під-
конструкції є асиметричними твердими тілами, положення і орієнтація яких у компонувальній схемі варі-
юється в процесі динамічного проектування складної механічної системи, наприклад, ракети-носія. В
цілому така система розглядається як складене асиметричне тверде тіло, що має складну просторову кон-
фігурацію. Динамічні якості транспортних засобів в основному визначаються інерційними характеристи-
ками, що включають повну масу, розташування центру мас, осьові і відцентрові моменти інерції, обчис-
лені в конструктивно зручній базовій системі відліку. Прикладами подібного роду транспортних засобів
можуть служити гібридні автомобілі, екіпажі залізничного транспорту, літальні апарати різного призна-
чення та ін.
Завдання стійкості руху, стабілізації, керованості, динамічного навантаження вирішуються на основі
коректного розрахунку інерційних характеристик транспортних засобів. Коректний розрахунок інерційних
характеристик передбачає багаторазовий просторовий перенос центрів приведення підконструкцій і поворот
їх осей. Цю складну і громіздку задачу вдається ефективно вирішити застосуванням нового математичного
апарату мономіальних (1,0, -1) -матриць- (4х4), що зручно реалізується в комп'ютерних технологіях.
Ключові слова: інерційні характеристики, моменти інерції, центр мас, мономіальні матриці, ква-
терніонні матриці, параметри Родрига–Гамільтона, транспортні засоби.
Математический аппарат мономиальных (1, 0, -1)-матриц-(4х4) применен к разработке алгоритма
преобразования матрицы инерции, вычисления центра масс составных асимметричных транспортных
средств как сложных механических систем при переносе и повороте систем отсчета в пространстве.
Расчетные формулы представлены в гармоничном, упорядоченном, компактном матричном виде, непо-
средственно адаптированном к компьютерным технологиям. Предложенный новый матричный алгоритм
позволяет оперативно решать широкий круг задач динамического проектирования составных транспорт-
ных экипажей при существенных изменениях компоновочной схемы как по структуре, так и по составу.
Компоновочные схемы транспортных систем представляются сложными пространственными конфигура-
циями в форме отдельных подконструкций. Подконструкции являются асимметричными твердыми тела-
ми, положение и ориентация которых в компоновочной схеме варьируется в процессе динамического
проектирования сложной механической системы, например, ракеты-носителя. В целом такая система
рассматривается как составное асимметричное твердое тело, имеющее сложную пространственную кон-
фигурацию. Динамические качества транспортных средств в основном определяются инерционными ха-
рактеристиками, включающими полную массу, расположение центра масс, осевые и центробежные мо-
менты инерции, вычисленные в конструктивно удобной базовой системе отсчета. Примерами подобного
рода транспортных средств могут служить гибридные автомобили, экипажи железнодорожного транспор-
та, летательные аппараты различного назначения и др.
Задачи устойчивости движения, стабилизации, управляемости, динамической нагрузки решаются на
основе корректного расчета инерционных характеристик транспортных средств. Корректный расчет ине-
рционных характеристик предполагает многократный пространственный перенос центров приведения
подконструкций и поворот их осей. Эту сложную и громоздкую задачу удается эффективно разрешить
применением нового математического аппарата мономиальных (1,0,-1)-матриц-(4х4), удобно реализуемого
в компьютерных технологиях.
Ключевые слова: инерционные характеристики, моменты инерции, центр масс, мономиальные
матрицы, кватернионные матрицы, параметры Родрига–Гамильтона, транспортные экипажи.
In this paper, the mathematical apparatus of monomial (1, 0. -1) 4х4 matrices is applied to the development
of an algorithm of inertia matrix transformation and the calculation of the center of mass of composite asymmetric
vehicles as complex mechanical systems under translations and rotations of coordinate systems in space. Formulas
for calculation are presented in harmonic, ordered, and compact matrix form directly adapted to computer tech-
В. В. Кравец, К. М. Басc, Вл. В. Кравец, 2020
Техн. механіка. – 2020. – № 1.
115
nologies. The proposed new matrix algorithm allows one to effectively solve a wide range of problems of dynamic
design of composite vehicles under substantial changes in the layout diagram both in structure and in composi-
tion. Vehicle layout diagrams are represented as complex spatial configurations in the form of individual subcon-
structions, which are asymmetric rigid bodies whose position and orientation in the layout diagram are varied in
the course of the dynamic design of a complex mechanical system, for example, a launch vehicle. On the whole, a
system of this type is considered as a composite asymmetric rigid body of complex spatial configuration. The
dynamic performance of vehicles is mainly governed by their inertia characteristics, which include the total mass,
the center of mass position, and the axial moment of inertia and the product of inertia calculated in a constructive-
ly convenient reference system. Vehicles of this type may be exemplified by hybrid motor vehicles, rail vehicles,
flying vehicles of different purposes, etc.
The problems of motion stability, stabilization, steerability, and dynamic load are solved on the basis of a
correct calculation of vehicle inertia characteristics. A correct calculation of inertia characteristics involves re-
peated spatial translations of the reduction centers of subconstructions and rotations of their axes, This complicat-
ed and cumbersome problem can be solved effectively by using the new mathematical apparatus of monomial (1,
0. -1) 4х4 matrices, which is conveniently implementable in computer technologies.
Keywords: inertia characteristics, moments of inertia, center of mass, monomial matrices, quaternion ma-
trices, Rodrigues–Hamilton parameters, vehicles.
Введение. Современный этап развития транспортных средств направлен
на комплексное решение экологических проблем и проблем энергетической
эффективности. Предлагаются нестандартные структуры транспортных
средств, оригинальные компоновочные схемы и конструкции. Компоновоч-
ные схемы представляются сложными пространственными конфигурациями
отдельных подконструкций (суперэлементов). Суперэлементы являются
асимметричными твердыми телами, положение и ориентация которых в ком-
поновочной схеме варьируется в процессе динамического проектирования
транспортных средств [1]. В целом современное транспортное средство рас-
сматривается как составное асимметричное твердое тело, имеющее сложную
пространственную конфигурацию. Динамические качества транспортных
средств в основном определяются инерционными характеристиками, вклю-
чающими полную массу, расположение центра масс, осевые и центробежные
моменты инерции, вычисленные в конструктивно удобной базовой системе
отсчета. Примерами подобного рода транспортных средств могут служить
гибридные автомобили [2], экипажи железнодорожного транспорта [3], лета-
тельные аппараты [4] и др.
Задачи устойчивости движения, стабилизации, управляемости, динами-
ческого нагружения решаются на основе корректного расчета инерционных
характеристик транспортных средств [5 – 7]. Корректный расчет инерцион-
ных характеристик предполагает многократный пространственный перенос
центров приведения подконструкций и поворот их осей. Эту сложную и гро-
моздкую задачу удается эффективно разрешить применением нового матема-
тического аппарата мономиальных (1,0,-1)-матриц-(4х4), удобно реализуемо-
го в компьютерных технологиях [8, 9].
Постановка задачи. Рассматривается асимметричное твердое тело, со-
ставленное из суперэлементов в соответствии с заданной компоновочной
схемой. Положение и ориентация суперэлементов полагаются заданными в
строительной системе координат 321 XXOX , связанной с асимметричным
твердым телом и выбранной с учетом технических условий. Положение i -го
суперэлемента определяется координатами полюса iO собственных осей
321 YYYOi в строительной системе отсчета: iii OOO xxx 321 . Ориентация i -го
суперэлемента определяется заданным конечным поворотом собственных
осей 321 YYYOi относительно строительных 321 XXOX в принятой здесь си-
116
стеме углов Эйлера–Крылова: y
i
y
i
y
i ,, [10]. Для каждого суперэлемента
полагаются известными координаты центра масс в собственной системе от-
счета: iii ccc yyy 321 ,, , а также масса im . Полагается известной ориентация
главных центральных осей инерции i -го суперэлемента 321 HHHC i отно-
сительно собственных осей 321 YYYOi в системе углов Эйлера–Крылова:
iii ,, , а также главные центральные моменты инерции i-го суперэлемен-
та icicic III
332211 ,, , образующие диагональную матрицу:
ic
ic
ic
i
I
I
I
I c
33
22
11
000
000
000
0000
.
Например, для гибридного автомобиля к числу суперэлементов могут
быть отнесены:
– двигатель внутреннего сгорания;
– электродвигатель;
– аккумуляторные батареи
и другие суперэлементы конструкции.
Задача заключается в построении алгоритма вычисления осевых и цен-
тробежных моментов инерции, координат центра масс составного асиммет-
ричного транспортного средства в целом, в выбранной, конструктивно удоб-
ной системе отсчета (строительной системе координат 321 XXOX ).
Преобразование матрицы инерции i -го суперэлемента в главных
центральных осях к собственной системе отсчета. По заданному повороту
главных центральных осей инерции к собственной системе отсчета (углы
Эйлера–Крылова iii ,, ) находятся параметры Родрига–Гамильтона:
,sinsincoscoscossin
,sincossincossincos
,cossinsinsincoscos
,sinsinsincoscoscos
222222
222222
222222
222222
3
2
1
0
iiiiiii
iiiiiii
iiiiiii
iiiiiii
a
a
a
a
и формируются четыре кватернионные матрицы:
117
iiii
iiii
iiii
iiii
t
i
t
iiii
iiii
iiii
iiii
i
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
0123
1032
2301
3210
0123
1032
2301
3210
i
0
i
1
i
2
i
3
i
1
i
0
i
3
i
2
i
2
i
3
i
0
i
1
i
3
i
2
i
1
i
0
t
i
i
0
i
1
i
2
i
3
i
1
i
0
i
3
i
2
i
2
i
3
i
0
i
1
i
3
i
2
i
1
i
0
i
t
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
.
По заданному переносу полюса главных центральных осей инерции iC к
полюсу собственной системы отсчета iO (координаты ),, iii CCC yyy 321 фор-
мируются две кватернионные матрицы:
.;
0
0
0
0
0
0
0
0
123
132
231
321
123
132
231
321
iii
iii
iii
iii
i
iii
iii
iii
iii
i
CCC
CCC
CCC
CCC
t
C
CCC
CCC
CCC
CCC
C
yyy
yyy
yyy
yyy
Y
yyy
yyy
yyy
yyy
Y
Представляется целесообразным введение диагональной матрицы i -го
суперэлемента в виде:
,
i
i
i
i
C
C
C
C
I
I
I
I
33
22
11
000
000
000
0000
где
i
C
33C
33
i
C
22C
22
i
C
11C
11 m
I
I,
m
I
I,
m
I
I
i
i
i
i
i
i
.
Находится матрица i-го суперэлемента в собственной системе отсчета
при повороте осей и переносе начала отсчета [8, 9]:
.
iiii
i
i CC
t
CC
t
i
tt
i
C
i
t
iy YYYYAAIAAI 22
Преобразование матрицы инерции i-го суперэлемента в собственной
системе отсчета к строительной системе координат транспортного сред-
ства. По заданному повороту собственной системы осей i-го суперэлемента к
строительной системе координат транспортного средства (углы Эйлера–
Крылова: y
i
y
i
y
i ,, ) находятся параметры Родрига–Гамильтона:
118
,sinsincoscoscossin
,cossincossincossin
,cossinsinsincoscos
,sinsinsincoscoscos
222222
222222
222222
222222
3
2
1
0
y
i
y
i
y
i
y
i
y
i
y
ii
y
i
y
i
y
i
y
i
y
i
y
ii
y
i
y
i
y
i
y
i
y
i
y
ii
y
i
y
i
y
i
y
i
y
i
y
ii
b
b
b
b
и формируются четыре кватернионные матрицы установленной структуры:
.,,, t
i
t
i
t
i
t
i BBBB
По заданному переносу полюса iO собственной системы отсчета i -го
суперэлемента к полюсу O строительной системы координат транспортного
средства (координаты iii OOO xxx 321 ,, ) формируются две кватернионные мат-
рицы установленной структуры t
OO ii
XX , .
Находится матрица инерции i -го суперэлемента в строительной системе
координат транспортного средства при повороте и переносе собственной си-
стемы отсчета [8, 9]
.tit
Cii
t
i
t
Cii
t
Oi
t
OiOi
Oi
t
Oi
t
i
t
Cii
t
i
tt
iyii
t
ixi
BYBBYBXXX
XXBYBBBIBBI
22
Инерционные характеристики составного транспортного средства.
Масса транспортного средства находится по тривиальной формуле:
.mM
n
1i
i
Результирующая матрица инерции составного транспортного средства в
строительной системе координат находится как средняя взвешенная по массе
величина:
.
M
Im
I
n
i
xi
x
i
1
Откуда следует:
.xx IMI
Кватернионная матрица, составленная по координатам центра масс
транспортного средства в строительной системе отсчета, находится как сред-
няя взвешанная по массе величина:
119
M
Хm
X
n
1i
Ci
С
i
,
где приведение координат центра масс i -го суперэлемента к строительным
осям осуществляется по матричной формуле [8, 9]:
.ti
t
CiOC BYBXX
iii
Элементы верификации матричного алгоритма расчета. С целью ве-
рификации предлагаемых формул целесообразно использовать свойства ква-
тернионных матриц [8, 9]:
;; o
t
ii
t
o
t
i
t
i EAAEAA
;; o
t
ii
t
o
t
i
t
i EBBEBB
;)()()(
;)()()(
t
O
t
Oo
OiOiOi
OO
t
C
t
Co
CCC
CC
iiii
ii
iii
ii
XXExxxXX
YYEyyyYY
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
где oE – единичная матрица – (4х4).
Выводы. Предлагается новый алгоритм расчета инерционных характе-
ристик составных асимметричных транспортных средств, основанный на
применении математического аппарата мономиальных (1, 0, -1)-матриц-
(4Х4). Расчетные формулы представляются в гармоничном, упорядоченном,
компактном матричном виде, непосредственно адаптированном к компью-
терным технологиям. Алгоритм позволяет решать широкий круг задач дина-
мического проектирования составных транспортных средств при существен-
ных изменениях компоновочной схемы как по структуре, так и по составу.
1 Kravets V. V., Bass K. M., Kravets T. V., Tokar L. A. Dynamic design of ground transport with the help of com-
putational experiment. MMSE Journal. 1. October 2015. Р.p. 105–111. ISSN 2412-5954. Open access
www.mmse.xyz. DOI 10.13140/RG.2.1.2466.6643.
2 Кравец В. В., Басс К. М., Кравец Т. В., Харченко А. В. Определение матрицы инерции гибридного авто-
мобиля на основе кватернионных матриц. Системні технології. 2012. 3 (80). С. 61–66.
3 Kharchenko A. V., Kravets T. V. Usage of quaternionic matrices to define inertia moments of wheel set taking
into account manufacturing and assembly errors. 20-th International conference "Current Problems in Rail Ve-
hicles", Zilina, September 21–23, 2011, Slovakia, Proceedings Nol. II. P. 109–114.
4 Алпатов А. П. Динамика космических летательных аппаратов. К.: Наук. Думка, 2016. 488 с.
5 Kravets V. V. Evaluating the Dynamic Load jn a High-Speed Railroad Car. Int. Appl. Mech. 2005. 41, № 3.
P. 324–329. https://doi.org/10.1007/s10778-005-0091-7
6 Kravets V. V., Kravets T. V. On the Nonlinear Dynamics of Elastically Interacting Asymmetric Rigid Bodies.
Int. Appl. Mech. 2006. 42, №1. P. 110–114. https://doi.org/10.1007/s10778-006-0065-4
7 Kravets V. V., Kravets T. V. Evaluation of the Centrifugal. Coriolis, and Gyroscopic Forces on a Railroad Vehi-
cle Moving at High Speed. Int. Appl. Mech. 2008. 44, № 1. P. 101–109. https://doi.org/10.1007/s10778-008-
0024-3
8 Kravets V., Kravets T., Burov O. Monomial (1, 0, -1)-matrices-(4x4). Application to the transfer in space. Lap
Lambert Academic Publishing, 2016. 137 p. ISBN: 978-3-330-01784-9.
9 Kravets V., Kravets T., Burov O. Monomial (1, 0, -1)-matrices-(4x4). Part 2. Application to the rotation in
space. Lap Lambert Academic Publishing, 2017. 82 p. ISBN: 978-3-330-34185-2.
10 Kravets V., Kravets T., Burov O. Applying Calculation of quaternionic matrices for formation of the tables of
directional cosines. MMSE Journal. Vol. 11, 2017. P. 248–259. DOI 10.2412/mmse.78.59.591 provided by
Seo40.link.
Получено 13.11.2019,
в окончательном варианте 07.02.2020
|