О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле
Объектом исследования данной работы является кинетика роста сквозной трещины нормального отрыва в бесконечной пластине, материал которой обладает наследственными свойствами. Исследуем квазистатический устойчивый рост имеющейся к моменту приложения нагрузки трещины. Распространение трещины происходит...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174132 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле / М.Ф. Селиванов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 16-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174132 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1741322021-01-06T01:25:59Z О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле Селиванов, М.Ф. Объектом исследования данной работы является кинетика роста сквозной трещины нормального отрыва в бесконечной пластине, материал которой обладает наследственными свойствами. Исследуем квазистатический устойчивый рост имеющейся к моменту приложения нагрузки трещины. Распространение трещины происходит в изотермических условиях при постоянном докритическом уровне внешней нагрузки вследствие вязкоупругих свойств материала пластины. Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про повільне поширення тріщини нормального відриву з частковою зоною контакту берегів. В основу алгоритму покладено модель тріщини з зоною зчеплення, ітеративний метод побудови розв’язку для пружного розкриття і принцип пружно-в’язкопружної аналогії, який дозволяє записати залежне від часу розкриття в формі Больцмана Вольтерра. Як критерій поширення тріщини, використано деформаційний критерій зі сталою величиною критичного розкриття і міцності зчеплення протягом квазістатичного росту тріщини. Алгоритм проілюстровано числовим прикладом із розтягуючим на нескінченності зусиллям і симетричною відносно лінії тріщини системою двох зосереджених сил, що викликають контакт берегів. При поширенні тріщини зона контакту берегів зникає, що супроводжується швидким переходом до динамічного етапу поширення. An algorithm of solving the problem on slow growth of mode I crack propagation with a partial zone of the crack faces contact is proposed. This algorithm is based on the cohesive crack model, the iterative method of constructing the solution elastic for elastic opening displacement, and the correspondence principle that allows to write the depending on time opening displacement in the Boltzmann-Volterra form. As a fracture criterion, the deformation criterion with constant values of critical opening displacement and the cohesive strength during the quasi-static crack growth is used. This algorithm is illustrated by a numerical example for the problem with tensile loading at infinity and the pair of symmetrically applied point forces that cause the crack faces contact. When the crack being propagated, then the zone of crack faces contact is vanished what is accompanied by the fast transition to the dynamic fracture. 2017 Article О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле / М.Ф. Селиванов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 16-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174132 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Объектом исследования данной работы является кинетика роста сквозной трещины нормального отрыва в бесконечной пластине, материал которой обладает наследственными свойствами. Исследуем квазистатический устойчивый рост имеющейся к моменту приложения нагрузки трещины. Распространение трещины происходит в изотермических условиях при постоянном докритическом уровне внешней нагрузки вследствие вязкоупругих свойств материала пластины. |
| format |
Article |
| author |
Селиванов, М.Ф. |
| spellingShingle |
Селиванов, М.Ф. О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле Прикладная механика |
| author_facet |
Селиванов, М.Ф. |
| author_sort |
Селиванов, М.Ф. |
| title |
О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле |
| title_short |
О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле |
| title_full |
О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле |
| title_fullStr |
О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле |
| title_full_unstemmed |
О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле |
| title_sort |
о медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174132 |
| citation_txt |
О медленном росте трещины с контактирующими берегами в вязкоупругом теле / М.Ф. Селиванов // Прикладная механика. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 16-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT selivanovmf omedlennomrostetreŝinyskontaktiruûŝimiberegamivvâzkouprugomtele |
| first_indexed |
2025-07-15T11:00:37Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:00:37Z |
| _version_ |
1837710430456250368 |
| fulltext |
2017 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 53, № 6
16 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2017, 53, № 6
М .Ф .С е л и в а н о в
О МЕДЛЕННОМ РОСТЕ ТРЕЩИНЫ С КОНТАКТИРУЮЩИМИ
БЕРЕГАМИ В ВЯЗКОУПРУГОМ ТЕЛЕ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: fract@inmech.kiev.ua
Abstract. An algorithm of solving the problem on slow growth of mode I crack
propagation with a partial zone of the crack faces contact is proposed. This algorithm is
based on the cohesive crack model, the iterative method of constructing the solution elastic
for elastic opening displacement, and the correspondence principle that allows to write the
depending on time opening displacement in the Boltzmann-Volterra form. As a fracture
criterion, the deformation criterion with constant values of critical opening displacement and
the cohesive strength during the quasi-static crack growth is used. This algorithm is
illustrated by a numerical example for the problem with tensile loading at infinity and the
pair of symmetrically applied point forces that cause the crack faces contact. When the crack
being propagated, then the zone of crack faces contact is vanished what is accompanied by
the fast transition to the dynamic fracture.
Key words: cohesive crack, viscoelastic solids, slow crack growth, contact of crack faces.
Введение.
Анализируя напряженное состояние тела с трещиной при сложной геометрии и
схеме нагружения, заранее неизвестно – полностью раскрыта трещина или ее берега
полностью или частично контактируют. В задачах теории упругости для трещин об-
щепризнанным является требование [3] неотрицательности раскрытия. С целью вы-
полнения этого требования необходимо проведение полного исследования, вклю-
чающего определение перемещений берегов трещины и, в случае их перекрытия, вве-
дение в рассмотрение контактных напряжений, исключающих взаимное проникнове-
ние берегов.
Если материал тела с трещиной обладает наследственными свойствами, то при
распространении трещины конфигурация взаимодействия берегов может меняться со
временем, что может привести к увеличению скорости ее подрастания. Ниже рас-
смотрена классическая задача механики разрушения для иллюстрации этого явления.
Основные концепции моделирования распространения трещин в вязкоупругих мате-
риалах освещены в [4, 7, 8, 10]. Используя модель длительного разрушения [4], пола-
гаем, что параметры трещиностойкости не зависят от времени при докритическом
распространении трещины.
Объектом исследования данной работы является кинетика роста сквозной трещи-
ны нормального отрыва в бесконечной пластине, материал которой обладает наслед-
ственными свойствами. Исследуем квазистатический устойчивый рост имеющейся к
моменту приложения нагрузки трещины. Распространение трещины происходит в
изотермических условиях при постоянном докритическом уровне внешней нагрузки
вследствие вязкоупругих свойств материала пластины.
В основу исследования медленного роста трещины положена модель трещины с
зоной сцепления [4, 5, 9]. В момент приложения нагрузки = 0t трещина находится в
докритическом состоянии – раскрытие в вершине трещины полудлины не превы-
17
шает предельного уровня: max(0, (0)) < . Вследствие ползучести раскрытие ( , (0))t
со временем достигает критического значения max , завершая инкубационный пери-
од и инициируя начало роста длины трещины ( )t .
Нормальное раскрытие трещины в линейно вязкоупругом теле будем искать в ви-
де интеграла Больцмана Вольтерра [4]
( , )
( , ) ( ) ,
t x
t x l t d
(1)
где величины ( , )t x и ( , )t x имеют размерность длины, функция ползучести ( )l
безразмерная (отнесена к своему мгновенному значению). Величина ( , )t x является
значением упругого раскрытия на линии трещины на расстоянии ( )x t от ее вер-
шины; тильда над указывает, что эта величина не является интегральной характе-
ристикой, в ее выражении содержатся только мгновенные упругие постоянные (что
дает ей физический смысл лишь в начальный момент времени). В числовом примере
функция ползучести получена при помощи обратного преобразования Лапласа на ос-
нове характеристики релаксации, записанной в форме экспоненты дробного порядка.
Такой подход может быть применен и в более сложном случае ортотропии вязкоупру-
гих свойств [6].
1. Упругое решение задачи.
Решение граничной задачи теории трещин представим сингулярным интеграль-
ным уравнением [1]
1 ( )
( ), ( , ),
a
a
g t dt
p x x a a
t x
(2)
справедливым для прямолинейной трещины с самоуравновешенным напряжением
( )p x на ее берегах. В этом уравнении величина ( )g x является плотностью распреде-
ления раскрытия (эту величину следует определить в ходе решения задачи).
Решение (2) должно также удовлетворять условию
( ) 0,
a
a
g t dt
(3)
которое обеспечивает однозначность перемещений. В случае четности функции ( )p x
функция ( )g x является нечетной и условие (3) удовлетворяется автоматически.
Скачок перемещений связан с плотностью их распределения следующим соотно-
шением:
( ) ( ) , 4 / ,
x
a
x L g t dt L E
(4)
где E – модуль упругости.
Будем искать ( )g x в виде линейной функции формы
1( ) ( ), ( , ), 0 2 ;k k kg x g x x b b k n
1 1( ) ( ) [1 ( )], ( ) ( ) / ,k k k k k k kg x g A x g A x A x b x h
(5)
где kb являются квадратурными точками, которые разбивают на 2n частей равной
длины h отрезок [ , ]a a ( 0 =b a , = 0nb ). Для такой ( )g x интеграл в (2) примет вид
1
2 2
1 0
( )
( )
k
k
bn n
k
k k
k kb
g t dt
g J x
t x
, (6)
18
где
0 1 1( ) = ( ), ( ) = ( ); ( ) = ( ) ( ) ( = 1, , 2 1);n n k k kJ x x J x x J x x x k n
1 ( )
( ) = ( ) ( ); ( ) = ( ) ( ) 1; ( ) = ln .
( )
k
k k k k k k k
k
A x
x C x x x C x A x C x
A x
Зафиксируем вершину трещины в одной из квадратурных точек и удовлетворим
уравнение (2) в точках коллокации = / 2m mb h , = 1, , 2m n .
Учитывая симметрию ( 2 =n k kg g , = 0, , 1k n , = 0ng ), сведем (2) и (6) к
системе для определения kg ( = 0, , 1k n ), т.е.
1
(2 1 )
=0
1
= ( ) ( = 1, , ),
n
mk n m k k m
k
J J g p m n
(7)
где
= ( )mk k mJ J , 0 1 0 ( 1)= ; = ( = 1, , 1);m m m mk m k mkJ T K J T T k n
( 1)( ) / ; ( ) ; ln | | .mk mk m k mk k m k mk mk k mT T T h T b b K K b
Раскрытие в точках коллокации, согласно (4) и (5), примут вид
1
=0
( ) = = 1, , ,
n
m mk k
k
Lh W g m n
(8)
где
10 ( 1)= 3 / 8; = 7 / 8 ( > 1); = 1/ 8;m m mmW W m W
0 = 1/ 2 ( > 1); = 1 (0 1); = 0 ( > ).m mk mkW m W k m W k m
Обозначим через ( )kb вектор, состоящий из величин раскрытия в точках колло-
кации m , полученных для трещины с вершиной в точке kb согласно (8). Тогда для
произвольного положения вершины трещины 1( , )k kb b можно приближенно оп-
ределить раскрытия в узлах коллокации в следующем виде:
1( ) ( ) [ ( ) ( )].k
k k k
b
b b b
h
(9)
2. Медленный рост трещины.
Соотношение для раскрытия трещины в вязкоупругом теле получим при помощи
решения соответствующей задачи теории упругости путем применения принципа уп-
руго-вязкоупругой аналогии [9].
Пусть внешнее нагружение приложено в момент времени = 0t . Заменяя в (1)
функцию ( , )x на ( ) ( , )H x ( H – функция Хевисайда), запишем выражение для
раскрытия в точке x в момент времени t
0
( , ) ( ) (0, ) ( ) ' ( , ) .
t
t x l t x l t x d (10)
Учитывая то, что во время инкубационного периода, который длится до момента
времени 0=t t , положение вершины трещины не изменяется, 0(0, ) = ( , )x t x , вы-
ражение для раскрытия (10) в вершине трещины имеет вид
0
0
[ , ( )] ( ) [ , ( )] ( ) ' [ , ( )] .
t
t
t t l t t t l t t d (11)
19
Определим положение в моменты времени = ,kt k t = 1, 2,k . Обозначая
= ( )k kt и приравнивая выражение для раскрытия (11) критическому значению,
запишем уравнение для определения k :
0 1 max
=1
( ) ( ) = ,
k
k i i i
i
l t D D D (12)
где приняты такие обозначения:
1
1
( ) ;
it
i k
ti
l t d
t
, 1 1= ( , ) = ( ), ,j k
i i k ij ij i j j k jD t
h
(13)
а величина ( )k k определяется упругим решением (9). Величины k определим
численным методом; для каждой вариации этой величины следует пересчитывать ве-
личины k и iD ( = 0, ,i k ), используя полученные на предыдущих шагах значения
m ( = 0, , 1m k ). Геометрические характеристики D и проиллюстрированы
при помощи рис. 1.
Рис. 1
Величины, характеризующие свойства ползучести материала, легко вычислим,
используя следующее соотношение:
1
0
[ ] [( 1) ], 1, , , ( ) ( ) ,
t
k i I i t I i t i k I t l d (14)
которое позволяет при определении k доопределять лишь величину [ ]I k t .
Таким образом, уравнение (12) позволяет последовательно определять положение
вершины трещины k в моменты времени kt , = 1, 2,k . Время инкубационного
периода 0t получим из уравнения
0 0 max( ) = ,l t D (15)
где 0 0 0 0= (0, ) = ( , )D t можно определить согласно (13).
Для исследования релаксационных свойств материала используем следующее вы-
ражение для вязкоупругого модуля:
0 ,1( ) ( ) ( ),E t E E E E bt (16)
,
0
( )
( )
n
n
z
E z
n
– функция Миттаг – Леффлера; (17)
20
– гамма-функция Эйлера. При = 1 и = 1 функция (17) превращается в экспо-
ненту.
Для построения зависимости отрыва от времени воспользуемся принципом упру-
го-вязкоупругой аналогии [9]. Заменим зависимую от времени характеристику релак-
сации (16) соответствующей преобразованной величиной
0( ) = ( ) ,
s
E s E E E
s b
где ( ) = ( )E s s E t – преобразование Лапласа Карсона функции времени ( )E t ; s –
параметр преобразования. Здесь использовано следующее свойство функции Миттаг-
Леффлера:
1
, ( ) .
s
t E bt
s b
(18)
Определим изображение Лапласа Карсона функции 0( ) = / ( )l t E E t :
1
0 1 1
( ) = = 1 = (1 ) ,
( )
E s s
l s
E s s b s b
(19)
где 0= /E E , = /b b . Тогда, при помощи (18), во временной области получим
( ) = (1 ) .d,1l t E b t (20)
3. Числовой пример.
Рассмотрим задачу, соответствующую параметрам модели и схеме нагружения
рис. 2.
Рис. 2
Выберем интервал поиска функции плотности отрыва 0(0, ) = ( , )na b b таким об-
разом, чтобы >a и будем решать задачу (2) с контурными условиями
2 2
0 0
2 2 2 2
c0 0
0, | |< ;2
( ) = 1
( ), | |> ,1( )
xPy x y
p x
x xx y x y
(21)
где в случае плоского напряженного состояния = (3 ) / (1 ) , – коэффициент
Пуассона. Параметр материала принимаем независимым от времени при исследо-
вании распространения трещины.
21
Напряжение c ( )x в (21) исключает перекрытие берегов трещины. Это напряже-
ние и соответствующий отрыв можно определить при помощи следующей итератив-
ной процедуры:
1) решаем систему уравнений ( ) 0 с неизвестными значениями функции
плотности отрыва kg в квадратурных точках kb (левые части этой системы приведе-
ны в (8)); вычисляем соответствующее контактное напряжение
1
c
=0
1
( ) = ( ) ;
n
m m mk k
k
p J g
(22)
2) в системе (7) уравнения с номерами, удовлетворяющими условию c ( ) > 0m ,
меняем на уравнения ( ) = 0m . Решив полученную систему, определим новые зна-
чения kg и соответствующие напряжения c ( )m согласно (22).
Повторяем последний шаг до тех пор, пока все ( )c m не станут неотрицатель-
ными. Полученные kg определяют ( ) согласно (8).
Предложенный алгоритм позволяет не использовать условие конечности напря-
жений в явной форме для определения длины сцепления. Такой подход не дает точно-
го значения для длины зоны сцепления, но этот параметр часто не является характе-
ристикой трещиностойкости и может быть отнесен к внутренним параметрам задачи.
Рис. 3
На рис. 3, а приведена относительная характеристика ползучести и обозначен ин-
тервал докритического развития трещины, проиллюстрированного ниже. Так, в блоке
б рисунка изображены контуры растущей трещины, а в блоке в – соответствующая
кинетическая кривая. Величина является отнесенным к max раскрытием в точках m .
Контуры приведены для моментов времени 0 = 634t сек, 0= 15mt t t , = 1, , 5m .
Решения получены при 4= 10E МПа, = 0,1E ГПа, = 0,3 , = 0,1b сек , = 0,7
(реологические параметры) = 35 МПа, 3
max = 1,5 10 см (параметры трещиностой-
кости), = 17,5 МПа, = 1P см, 0 = 0,5 см, 0 = 0,3y см (силовые и геометричес-
кие параметры), = 0,9a см, = 0,01h см, = 50t сек (параметры дискретизации).
Анализируя полученный результат, следует отметить уменьшение зоны контакта
при распространении трещины. После исчезновения зоны контакта достаточно быст-
ро завершается этап докритического роста.
22
Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про повільне поширення тріщини
нормального відриву з частковою зоною контакту берегів. В основу алгоритму покладено модель
тріщини з зоною зчеплення, ітеративний метод побудови розв’язку для пружного розкриття і прин-
цип пружно-в’язкопружної аналогії, який дозволяє записати залежне від часу розкриття в формі Бо-
льцмана Вольтерра. Як критерій поширення тріщини, використано деформаційний критерій зі ста-
лою величиною критичного розкриття і міцності зчеплення протягом квазістатичного росту тріщини.
Алгоритм проілюстровано числовим прикладом із розтягуючим на нескінченності зусиллям і симет-
ричною відносно лінії тріщини системою двох зосереджених сил, що викликають контакт берегів.
При поширенні тріщини зона контакту берегів зникає, що супроводжується швидким переходом до
динамічного етапу поширення.
1. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1981. – 324 с.
2. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – М.: Наука, 1974. – 640 с.
3. Guz A.N. On Physically Incorrect Results in Fracture Mechanics // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 10. –
P. 1041 – 1051.
4. Kaminsky A.A. Mechanics of the Delayed Fracture of Viscoelastic Bodies with Cracks: Theory and Ex-
periment (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 5. – P. 485 – 548.
5. Kaminsky A.A., Kurchakov E.E. Influence of Tension Along a Mode I Crack in an Elastic Body on the
Formation of a Nonlinear Zone // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 130 – 148.
6. Kaminsky A.A., Selivanov M.F., Chornoivan Yu.A. Subcritical Growth of a Mode III Crack in a Viscoelas-
tic Composite Body // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 293 – 302.
7. Knauss W.G. A review of fracture in viscoelastic materials // Int. J. Fract. – 2015. – 196. – P. 99 – 146.
8. Schapery R.A. Time-Dependent Fracture: Continuum aspects of crack growth // Encyclopedia of Materials
Science and Engineering (Ed. M.B.Bever.). – New York: Pergamon Press, 1986. – P. 5043 – 5053.
9. Slepyan L.I. Models and Phenomena in Fracture Mechanics. – Heidelberg: Springer, 2002. – 587 p.
10. Williams J.G. Fracture Mechanics of Polymers. – New York: Wiley, 1984. – 320 p.
Поступила 06.09.2016 Утверждена в печать 30.05.2017
|