Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием
В работе дана постановка задачи об экспоненциальной синхронизации связанных электро-энергетических систем с запаздыванием и импульсным воздейтвием, допускающих хаотическую динамику. Аналитически на основе метода Ляпунова – Разумихина сформулированы достаточные условия глобальной синхронизации, получ...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174160 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием / И.Л. Иванов // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 111-121. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174160 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1741602021-01-07T01:25:55Z Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием Иванов, И.Л. В работе дана постановка задачи об экспоненциальной синхронизации связанных электро-энергетических систем с запаздыванием и импульсным воздейтвием, допускающих хаотическую динамику. Аналитически на основе метода Ляпунова – Разумихина сформулированы достаточные условия глобальной синхронизации, получаемой на основе выходного сигнала, а также предложен метод, позволяющий оценить сверху показатель экспоненциальной синхронизации. Для некоторых конкретных числовых параметров энергосистемы получены численные результаты. Досліджено повну глобальну хаотичну синхронізацію в електроенергетичних системах з запізненням при імпульсних збуреннях. Отримано достатні умови експоненціальної синхронізації на основі теорії стійкості диверенціальних рівнянь з запізненням та імпульсною дією. Розглянуті ілюстративні приклади, які демонструють застосовність та ефективність отриманих результатів. A global complete chaos synchronization in power systems with delay under impulsive perturbations is studied. The sufficient conditions of exponential synchronization are established basing on the theory of stability of impulsive differential equations with delay. The illustrative examples are given that demonstrate the applicability and effectiveness of the obtained results. 2018 Article Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием / И.Л. Иванов // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 111-121. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174160 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе дана постановка задачи об экспоненциальной синхронизации связанных электро-энергетических систем с запаздыванием и импульсным воздейтвием, допускающих хаотическую динамику. Аналитически на основе метода Ляпунова – Разумихина сформулированы достаточные условия глобальной синхронизации, получаемой на основе выходного сигнала, а также предложен метод, позволяющий оценить сверху показатель экспоненциальной синхронизации. Для некоторых конкретных числовых параметров энергосистемы получены численные результаты. |
| format |
Article |
| author |
Иванов, И.Л. |
| spellingShingle |
Иванов, И.Л. Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием Прикладная механика |
| author_facet |
Иванов, И.Л. |
| author_sort |
Иванов, И.Л. |
| title |
Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием |
| title_short |
Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием |
| title_full |
Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием |
| title_fullStr |
Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием |
| title_sort |
хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174160 |
| citation_txt |
Хаотическая синхронизация в моделях импульсных энергосистем с запаздыванием / И.Л. Иванов // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 1. — С. 111-121. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT ivanovil haotičeskaâsinhronizaciâvmodelâhimpulʹsnyhénergosistemszapazdyvaniem |
| first_indexed |
2025-07-15T11:02:01Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:02:01Z |
| _version_ |
1837710518219964416 |
| fulltext |
2018 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 54, № 1
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 1 111
И .Л .И в а н о в
ХАОТИЧЕСКАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ В МОДЕЛЯХ ИМПУЛЬСНЫХ
ЭНЕРГОСИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: center@inmech.kiev.ua
Abstract. A global complete chaos synchronization in power systems with delay under
impulsive perturbations is studied. The sufficient conditions of exponential synchronization
are established basing on the theory of stability of impulsive differential equations with
delay. The illustrative examples are given that demonstrate the applicability and
effectiveness of the obtained results.
Key words: power systems, Lyapunov stability, Lyapunov method, systems with delay
and impulsive effects, chaos synchronization.
Введение.
Детерминированный хаос – явление в нелинейной динамике, привлекающее в
настоящее время широкое внимание специалистов [3 – 5]. Оно установлено и хорошо
изучено в ряде моделей нейронных сетей, параллельной обработки изображений,
электротехники, биофизики, химии, финансовой математики, популяционной биоло-
гии, защиты информации и др. [6, 16, 27]. Хаос может наблюдаться в таких математи-
ческих моделях как каскады, обыкновеные дифференциальные уравнения, дифферен-
циальные уравнения с частными производными, а также дифференциальные урав-
нения с запаздыванием [22], которые могут содержать и импульсное воздействие [12].
Несмотря на то, что явление хаоса в нелинейной системе обычно расценивается
как нежелательное ввиду сложности прогнозирования состояния системы в будущем,
задача синхронизации двух хаотических систем, в ряде случаев находит успешное ре-
шение, что может показаться контринтуитивным на первый взгляд [17, 18]. Изучен-
ными в хаотических системах являются такие типы синхронизации, как фазовая син-
хронизация, обобщенная синхронизация, синхронизация с запаздыванием (lag synchro-
nization) либо опережением (anticipating synchronization), полная синхронизация и др.
[9, 17 – 20, 24].
Изучение и синхронизация хаоса в электро-энергетических системах являются
актуальными задачами ввиду необходимости избежания нежелательного поведения
этих систем и, в частности, спонтанных отключений. Такой синхронизаии посвящены,
например, работы [10, 14, 25], а в работах [13, 21] рассмотрена синхронизация
моделей энергосистем с запаздыванием. Возможность кратковременных перебоев в
работе энергосистем, вызванных внешними факторами, указывает на актуальность
исследования моделей энергосистем, содержащих не только запаздывание, но и им-
пульсное воздействие [7], хотя хаотическая синхронизация в таких моделях остаётся
неисследованной. Системы с запаздывнием и импульсным воздействием широко изу-
чаются в задачах механики [8]. Такие системы принадлежат к классу так называемых
гибридных систем, обзор которых приведён в [15].
Данная статья посвящена проблеме полной хаотической синхронизации в двух
связанных моделях электро-энергетических систем с запаздыванием и импульсным
воздействием, в которых присутствуют шины постоянного напряжения. Достижение
экспоненциальной синхронизации проводится на основе данных выходного сигнала в
терминах эталонной и управляемой систем.
112
1. Постановка задачи.
Для произвольного связного множества и n определим класс функций
( )nPC , состоящий из таких : nx , что:
(1) x непрерывны слева везде на ;
(2) x обладают не более чем счётным числом точек разрыва первого рода.
Рассмотрим модель электро-энергетической системы с запаздыванием при
импульсных возмущениях в терминах угла отклонения в виде
max sin = ; ; ;
( ) = ( ( ); ( )); ,
m k
k k k
M D P P P t k
I k
(1)
где M – момент инерции; D – постоянная демпфирования; maxP – максимальная мощ-
ность генератора; = sinmP A wt – мощность машины; = sin( ( ))P r R t – после-
действие с постоянным временем запаздывания 0 , I – линейная по своим аргу-
ментам функция, отвечающая за импульсное возмущение; A , w , r , R – постоянные.
Систему (1) можно представить в виде
1 2
2 2 1 1
2 0 1 1 2 2
= ;
= sin sin sin( ( )); ; ;
( ) = ( ) ( ); ,
k
k k k k k k
x x
x cx x f wt Rx t t k
x c c x c x k
(2)
где 1 ,x 2 ,x = ,c D M max= ,P M ,f A M .r M
Пусть 2
1 2( ) = ( ) ( )
T
x t x t x t , тогда, принимая во внимание выход y , получим
систему в векторном виде
0
= ( ) ( ( )); ; ;
( ) = ( ); ;
= ,
k
k k k k
x Ax f x f x t t k
x C C x k
y Cx
(3)
где
1
1 2
0
0 1 21
00 1
; ( ) ;
sin( ) sin( )0
0 1 00
( ( )) ; ; ; .
sin( ( )) k k
k k k
A f x
x f wtc
f x t C C C
c c cRx t
Решения этой системы рассматриваем в классе 2[ , )PC .
Как известно [21], при 1 = 0kc , 2 = 1kc из системы (3) образуется непрерывная
система дифференциальных уравнений, поведение которой оказывается хаотическим
при некоторых значениях её параметров.
Дальнейшая задача состоит в том, чтобы получить условия синхронизации для
двух идентичных энергосистем с запаздыванием при импульсных возмущениях при
помощи регулятора обратной связи, основанного на выходных данных. Для этого
рассмотрим две системы: эталонную
0
= ( ) ( ( )), , ;
( ) = ( ), ;
=
m m m m k
m k k k m k
m m
x Ax f x f x t t k
x C C x k
y Cx
(4)
и управляемую
0
= ( ) ( ( )) ( ), , ;
( ) = ( ), ;
= ,
s s s s s m k
s k k k s k
s s
x Ax f x f x t L y y t k
x C C x k
y Cx
(5)
113
векторы состояния в которых обозначены как mx и ,sx соответственно; 1 2C c c
1 2 – матрица усиления выхода, причём пара ( , )A C – наблюдаема. 2 1L – век-
тор связи, построенный для достижения синхронизации между системами (4) и (5).
Если определить ошибку синхронизации между системами (5) и (4) равенством
1 2 1 1 2 2 ,
TT
s m s me e e x x x x то её динамика будет подчиняться системе
( ) ( ) ( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ) ( ) ( ), , ;
( ) = ( ), ,
s m s m
k
k k k
e Ae f x f x f x t f x t LCe
A LC F t e t F t e t t k
e C e k
(6)
где
1 1
1 1
1 1
1 1
0 0
( ) = ;(sin sin )
0
0 0
( ) = .(sin( ( )) sin( ( )))
0
( ) ( )
s m
s m
s m
s m
F t x x
x x
F t Rx t Rx t
x t x t
(7)
Согласно теоремы о среднем значении имеем:
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
sin sin = cos ( );
[ , ] или [ , ]
s m s m
s m m s
x x x x
x x x x
и
1 1 2 1 1
2 1 1 1 1
sin( ( )) sin( ( )) = cos ( ( ) ( ));
[ ( ), ( )] или [ ( ), ( )] .
s m s m
s m m s
Rx t Rx t R x t x t
Rx t Rx t Rx t Rx t
Функции ( )F t и ( )F t теперь можно представить в виде
1 2
0 0 0 0
( ) = ; ( ) = .
cos 0 cos 0
F t F t
R
(8)
Далее покажем, как выбором подходящего регулятора обратной связи можно до-
стигнуть синхронизации между системами (4) и (5), которая эквивалентна выполнению
условия || ( ) ( ) || 0m sx t x t , t при любых начальных данных для этих систем.
Таким образом, достижение синхронизации при помощи регулятора обратной связи
равносильно выбору такой матрицы связи L , чтобы тривиальное состояние равнове-
сия системы (6) было асимптотически устойчивым.
2. Вспомогательный результат.
Доказательство основного результата проводится на основе следующей теоремы,
устанавливающей достаточные условия устойчивости для одного общего случая сис-
тем с запаздыванием и импульсным воздействием.
Рассмотрим систему с запаздыванием и импульсным воздействием в виде
( , ); ; ( ) = ( );t k k k
dx
f t x t x I x k
dt
(9)
и начальные условия к ней в виде
0 0 0( ) = ( ), [ , ],x t t t t t (10)
где [ , )nx PC , : [ , ) [ , )n nf PC – непрерывна по первому аргументу
и липшицева по второму, : [ , ] n
kI – непрерывна, k , когда k . Из
114
сформулированных предположений следует, что начальная задача (9), (10) обладает
единственным решением на 0[ , )t .
Определение 1 [11]. Функция ( , )v t x принадлежит классу 0V , если выполняются
условия:
( , )v t x непрерывно дифференцируема на множестве nT , где
0= [ , ) / { }k kT t ;
существует функция a класса Хана такая, что выполняется оценка
(|| ||) ( , )a x v t x при всех ( , ) nt x ;
существуют пределы
0 0
( , ) = ( , ), ( , ) = ( 0, )lim limk k
t tk k
v t x v x v t x v x
при всех = 1,2,...k .
Отличие класса 0V от предложенного в работе [11] класса 0V состоит в том, что при
фиксированном аргументе nx функция ( , )v t x может принимать неограниченные
значения. Использование таких функций особенно удобно в случаях, если импульсное
воздействие в системе может происходить через как угодно большие интервалы времени.
Теорема 1 [2]. Пусть для системы (9) существует функция ( , )v t x класса 0V и
монотонная функция :g , (0) = 0g , ( ) > 0g s , > 0s такие, что:
(9)( , ( )) | ( ( , ( )))
d
v t x t g v t x t
dt
, если ( , ( )) ( ( , ( )))v t x t p v t x t для [ ,0] (усло-
вие Разумихина), где ( ) >p s s при > 0s , (0) = 0p , ( )p s – непрерывна;
( , ( )) ( , ( )).k k k kv x v x
Тогда система (9) асимптотически устойчива.
3. Основной результат.
Сформулируем основной аналитический результат данной статьи в виде теоремы.
Пусть a , b – некоторые действительные постоянные. Обозначим далее
1= ( );lim k k
k
1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1
3 1 2 2 2
; 1 ( ) ;
( 1) ( );
F L c aL c F L c a L c L c c bL c
F a L c b L c c
(11)
2 2 2 2 2
3 3 2
2 2 2 2 2
1 3 1 3 2 1 2 2 3
4 ( )( ) 2 | 2 ( )(2 ) | ( )
4 4 8(2 ) 4 8 8 ;
D b b a R F b a aF bF R
b F F a b F F bF abF F aF F
(12)
2 2 2
1 3 21 1 1 2 1 1 1 2
1 22 2
2 2 2( 1) 2 ( 1)
; .
2( )
bF F aF DbL c L c aL c L c
b a b a
(13)
Теорема 2. Предположим, что в системе (6) верно неравенство 2 , а управ-
ляющий вектор L выбран таким, что при некоторых a , ,b выполняются
такие условия:
1) 2>b a ;
2) 2 1
1
2 < 0
e
R b
;
3) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 2( ) ( ( 1) 2 ( 1) 2 ) ( ) 0k k k k k kb a e b c abc c b c a c e b a c ;
4) 2 2 2
1 1 2(1 ) 1 2 k k kb e ac b c bc .
Тогда в совокупности систем (4) и (5) достигается глобальная синхронизация.
115
Доказательство. Положим = где > 0 – некоторый параметр. Рассмотрим
систему (6) и вспомогательную функцию к ней 0 ( )v e в виде 2 2
0 1 1 2 2( ) = 2 .v e e ae e be
На основе этой функции при 0 построим кусочно-экспоненциальную функ-
цию ( )v e , которая будет использоваться как функция Ляпунова:
( )
0 1 0 0 0( , ) = ( ) ; [ , ), ( = ).
t k
k kv t e v e e t k t
(14)
При выполнении условия (1) теоремы 2 функция v принадлежит классу 0V . Бу-
дем требовать выполнение условий теоремы 1 для этой функции. Эти условия можно
представить в виде
(6)
( , ( ))
( , ( )), ,k
dv t e t
v t e t t k
dt
, (15)
если
( , ( )) > ( , ( )), [ , 0),pv t e t v t e t (16)
где > 0 , > 1p – некоторые параметры, и
( 0, ( 0)) ( , ( )), .k k k kv e v e k (17)
Подставляя в (16) и (17) выражение (14) для функции v , получим условия на
функцию 0v при 1( , )k kt в виде
0
0
(6)
( , ( ))
( ) ( , ( )), ,k
dv t e t
v t e t t k
dt
, (18)
если
0 0 k
( ( ) )1
0 0 k
( ( )) > ( ( )); [ 2 , 0) при t [ 2 , 0);
( ( )) > ( ( )); [ 2 , 0) при t [ 2 , 0),
tk k
pv e t e v e t
pv e t e v e t
(19)
где 1=k k k . Поскольку при любом > 0 множество { | < , }k k k
конечно, то при исследовании асимптотической устойчивости условие (19) при лю-
бом как угодно малом > 0 может быть заменено условием
0 0 k
( ( ) )
0 0 k
( ( )) > ( ( )), [ 2 , 0) при t [ 2 , 0);
( ( )) > ( ( )), [ 2 , 0), при t [ 2 , 0),
tk
pv e t e v e t
pv e t e v e t
(20)
с учетом того, что на ограниченном множестве 1{( , ) | < , }k k k k функция
0 ( ( ))v e t допускает экспоненциальную оценку по t .
Далее для определённости положим, что [ , )k t t .
Обозначим 11 1 1 12 1 2 21 2 1 22 2 2= ; = 1; = ; = ,a L c a L c a L c a L c c так, чтобы A LC
, =1, 2[ ] .ij i ja
Тогда производную функции 0v вдоль системы (6) можно представить в виде
2
0 (6) 11 21 1 1( , ( )) | = 2( ( cos ))
d
v t e t a a a e
dt
2
12 11 22 21 1 1 2 12 22 22( ( ) ( cos )) 2( ) ,a a a a b a e e aa ba e G
где
2 1 2 1= 2 cos ( )( ).G R e t be ae
116
Согласно теореме Ньютона – Лейбница получим
2 1 2 1 11 1 12 2= 2 cos ( )( ( ) ( ( ) ( )) ,
t
t
G R ae be e t a e s a e a ds
поэтому производную функции 0v вдоль системы (6) можно представить в виде
0 (6) 2( , ( )) | = 2 cos ,c
d
v t e t I RI
dt
где
2
11 21 1 2 1 12 11 22
2
21 1 2 1 2 12 22 2
1 2 11 1 12 2
2( ( cos cos )) 2( ( )
( cos cos )) 2( ) ;
= ( ) ( ( ) ( )) .
t
c
t
I a a a R e a a a a
b a R e e aa ba e
I ae be a e s a e a ds
Пусть > 0 – некоторый параметр. С помощью неравенства Гёльдера для слага-
емого cI можно получить оценку
2 2
1 2 11 1 12 22 | | ( ) ( ( ) ( ))
t
c
t
I ae be a e s a e a ds
. (21)
Можно показать выполнение соотношений между квадратичными формами
2 2
11 1 12 2 1 0 1 2 0( ) ; ( ) ,a e a e v ae be bv
где 1 определяется выражением (13).
Далее с учётом условия Разумихина получим
( ( ))
1 0 0 1 0 0 1 0 0
1
2 | | ( ) ( ) .
t t
t s sk
c
t t
e
I v bv s ds v e bv t ds v b v
(22)
Отметим, что после определения при 0 значением , функция ( 1)e ста-
новится целой функцией от всех своих аргументов, поэтому отдельно рассматривать
случай 0 необходимости нет.
Значение 1 1
=
p e
b
минимизирует правую часть в (22). Получим оконча-
тельную оценку для cI в виде
1 0
1
| | .c
e
I p b v
(23)
В случае [ , )k t t получим оценку лучше, чем неравенство (23), поэтому оценка
(23) выполняется для общего случая.
Оценим теперь выражение I при помощи функции 0v . Принимая во внимание кон-
станты, введённые в (10), получим характеристическое уравнение регулярного пучка
форм 0I v [1] в виде
1 1 2 2 1 2
2 1 2 3
2 2 cos 2 cos cos cos
0.
cos cos 2
F a aR F b bR a
F b bR a F b
117
Дискриминант данного квадратного уравнения определяется выражением (12). Верх-
няя оценка квадратичной формы определяется большим корнем данного уравнения и
имеет вид
2 0 ,I v (24)
где 2 задано в (13).
С учётом полученных оценок (23), (24) можно записать неравенство
0 (6) 2 1 0
1
( , ( )) | 2 ( ).
d e
v t e t R b p v t
dt
Условие (18) приводит к неравенству
2 1
1
2 < ,
e
R b p
которое представляет собой семейство неравенств с произвольными параметрами ,
p и . Объединяя по ним эти неравенства, получим условие (2) данной теоремы.
Рассмотрим условие (17). Выполнение данного условия при всех ,k кроме
принадлежащих некоторому, не более чем конечному множеству, будет достигнуто в
случае выполнения условия
0 0( ( 0)) ( ( )), ,k kv e e v e k
которое приводит к неравенству
2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 22 ( ) ( ) ( 2 ).ki ki k ke a c e c e e b c e c e e e ae e be
Объединяя по условия, гарантирующие выполнение данного неравенства меж-
ду квадратичными формами, получаем условия (3) и (4) теоремы. Теорема доказана.
Сформулируем следствие из полученного результата, устанавливающее экспонен-
циальные оценки для решений системы (6).
Следствие. Предположим, что управляющий вектор L выбран таким, что при
некоторых ,a , ,b выполняются условия:
1) 2>b a ;
2)
( 2 )
2 1
1
2 < 2
2
e
R b
;
3) 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 2( ) ( ( 1) 2 ( 1) 2 ) ( ) 0k k k k k kb a e b c abc c b c a c e b a c ;
4) 2 2 2
1 1 2(1 ) 1 2 k k kb e ac b c bc .
Тогда при всех 0t решения системы (6) допускают экспоненциальную оценку в виде
|| ( ) || te t Me ,
где || . || − эвклидова норма в 2 , а 0M зависит только от начальных условий.
4. Численные результаты и их обсуждение.
Полученные аналитические результаты проиллюстрированы при помощи числен-
ных методов.
На основе теоремы 2 при 1 1c , 2 1c , 3c , 3 , 0,1 , 1 0,5kc , 2 1kc ,
k , 1 , 0,1R в пространстве управляющих параметров 1L , 2L численно
получена оценка области синхронизации систем (4) и (5) (серый цвет) (рис. 1). Кроме
самой оценки области синхронизации указаны также показатели экспоненциальной
оценки для динамики вектора ошибки, полученные на основе следствия из теоремы 2.
118
Рис. 1
Идея решения численной задачи поиска оценки показателя Ляпунова состоит в
оптимизации левой части условия (2) сформулированного следствия при выполнении
равенства в условии (3) этого следствия, проводимой на основе метода Флетчера –
Ривза. При этом, решение задачи определения глобального минимума наталкивалось
на трудности, связанные с выбором начальной точки для итерационного процесса, от
выбора которой во многих случаях существенно зависел результат оптимизации. Дан-
ная проблема была решена тем, что для каждого набора параметров итерационный
процесс проводился несколько десятков раз для разных начальных точек, часть из ко-
торых выбираются случайно, а другая часть являются точками минимумов, достиг-
нутых при некоторых близких значениях параметров.
В работе [13] независимо от величины запаздывания получены условия син-
хронизации непрерывных моделей, получаемых из систем (4) и (5), в которых следует
положить 0 0kc , 1 0kc , 2 1kc , k . Поскольку результат, полученный в теореме 2,
подразумевает существенную зависимость возможности синхронизации от величины
запаздывания и лучше всего применим к случаю небольшого запаздывания, то нельзя
провести проверку его согласованности с результатом, полученным в [13].
Проведено сравнение оценок областей синхронизации непрерывных моделей в про-
странстве управляющих параметров 1L , 2L , построенных для непрерывной модели
при 1 1c , 2 0c , 3c , 3 , 0,1 , 1 0kc , 2 1kc , k , 1 , 0,1R (серый
цвет) (рис. 2, 3). На рис. 2 представлены новые результаты (также указаны линии
уровня для показателя Ляпунова), а на рис. 3 – оценка, полученная на основе [13].
Отметим, что при малых оценка, полученная на основе теоремы 2:
− неограничена и, в целом, почти совпадает с оценкой, полученной в [13];
− может выходить за пределы оценки, полученной в [13].
Рис. 2
119
Рис. 3
Рис. 4
Согласно результатам, полученным в [13], совокупность непрерывных моделей,
получаемых из моделей (4) и (5) при наборе параметров 1 1c , 2 0c , 0 0kc ,
1 0kc , 2 1kc , k , 0,6 , 2c , 2 , 3 , 5w , 5f и 5R , допускают
синхронизацию при 19 70L , при этом динамика системы (4) оказывается хао-
тической. При произвольных 0kc , w , f , при 1 0,01kc , 3 и при тех же зна-
чениях остальных указанных параметров на рис. 4 в пространстве ( 1L , 2L ) пред-
ставлена область синхронизации моделей (4) и (5) (серый цвет).
На рис. 5 рассмотрено поведение траектории системы (4) при 0 0,5kc , 1 0,01kc ,
2 1kc , 1 3k k , k , 0,6 , 2c , 2 , 3 , 5w , 5f , 5R и с
начальными данными 1 ( ) 1mx t , [ ,0]t , 2 (0) 1mx : слева − фазовый портрет, спра-
ва вверху − динамика фазовой координаты, справа внизу − динамика фазовой скорости.
120
Структура нерегулярного аттрактора, рассмотренного на рис. 5, аналогична аттрак-
тору, построенному в работе [13] для хаотической системы. Аттрактор системы (4)
при указанных значениях параметров может рассматриваться как хаотический (см.
[12, 26, 27], где обсуждаюся примеры хаотических систем с запаздыванием и импуль-
сным воздействием, и работу [23] – с подробным обсуждением определения хаотичес-
кого аттрактора).
Рис. 5
Следует также отметить, что при росте величины запаздывания оценка области
синхронизации, получаемая в пространстве управляющих параметров, сокращается и
затем становится пустой. Таким образом, полученные результаты лучше всего приме-
нимы к случаю малого запаздывания.
Заключение.
В работе дана постановка задачи об экспоненциальной синхронизации связанных
электро-энергетических систем с запаздыванием и импульсным воздейтвием, допуска-
ющих хаотическую динамику. Аналитически на основе метода Ляпунова – Разумихи-
на сформулированы достаточные условия глобальной синхронизации, получаемой на
основе выходного сигнала, а также предложен метод, позволяющий оценить сверху
показатель экспоненциальной синхронизации. Для некоторых конкретных числовых
параметров энергосистемы получены численные результаты.
РЕЗЮМЕ . Досліджено повну глобальну хаотичну синхронізацію в електроенергетичних
системах з запізненням при імпульсних збуреннях. Отримано достатні умови експоненціальної
синхронізації на основі теорії стійкості диверенціальних рівнянь з запізненням та імпульсною дією.
Розглянуті ілюстративні приклади, які демонструють застосовність та ефектив-ність отриманих
результатів.
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1966. – 576 с.
2. Іванов І.Л. Підхід до дослідження стійкості імпульсних систем з запізненням // Математичні
проблеми механіки та обчислювальної математики: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. –
2015. – 12, N 5. – С. 30 – 38.
3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. – М.: Постмаркет, 2000. – 352 с.
4. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. – М.: URSS, 2001. – 320 с.
5. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение / Пер. с англ. – М.: Мир, 1988. – 240 с.
6. Chen G., Dong X. From chaos to order. Methodologies, perspectives and applications. –Singapore: World
Scientific, 1998. – 776 p.
121
7. Ivanov I.L., Martynyuk A.A. Stability results for delay power system under impulsive perturbations //
Communications in Applied Analysis. – 2015. – 15, N 2. – P. 275 – 286.
8. Ivanov I.L., Slyn’ko V.I. A Stability Criterion for Autonomous Linear Time-Lagged Systems Subject to
Periodic Impulsive Force // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 732 – 742.
9. Hramov A.E., Koronovskii A.A. An approach to chaotic synchronization // Chaos. – 2004. – 14, N 3. –
P. 603 – 610.
10. Huang C.-H., Lin C.-H., Kuo C.L. Chaos synchronization-based detector for power-quality disturbances
classification in a power system // IEEE Transactions on Power Delivery. – 2011. – 26, N 2. – P. 944 – 953.
11. Lakshmikantam V., Bainov D., Simeonov P.S. Theory of Impulsive Differential Equations. – Singapore:
World Scientific, 1989. – 273 p.
12. Li X., Bohner M. Exponential synchronization of chaotic neural networks with mixed delays and impul-
sive effects via output coupling with delay feedback // Mathematical and Computer Modelling. – 2010.
– 52, N 5. – P. 643 – 653.
13. Lin J.-S., Yang Y.-S., Hung M.-L., Liao T.-L., Yan J.-J. Observer Design for Chaos Synchronization of
Time-delayed Power Systems // Proc. of World Academy of Science, Engineering and Technology. –
2010. – 4, N 5. – P. 498 – 501.
14. Lin Q., Wu X. The sufficient criteria for global synchronization of chaotic power systems under linear
state-error feedback control // Nonlinear Analysis: Real World Applications. – 2011. – 12, N3. –
P. 1500 – 1509.
15. Martynyuk A.A. Elements of the Theory of Stability of Hybrid Systems (Review) // Int. Appl. Mech. –
2015. – 51, N 3. – P. 243 – 302.
16. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Bifurcations and Multistability of the Oscillations of a Three-Dimensional
System // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 223 – 232.
17. Pecora L.M, Carroll T.L. Synchronization in chaotic systems // Phys. Rev. Lett. – 1990. – 64. – P. 821 – 824.
18. Rosemblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscilla-
tors // Phys. Rev. Lett. – 1997. –78, N 22. – P. 4193 – 4196.
19. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett.
– 1996. – 76, N 11. – P. 1804 – 1807.
20. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in
directionally coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. – 1995. – 51, N 2. – P. 980 – 994.
21. Shahverdiev E.M., Hashimova L.H., Hashimova N.T. Chaos synchronization in some power systems
// Chaos Solitons and Fractals. – 2008. – 37, N 3. – P. 829 – 834.
22. Sprott J.C. Chaos and Time-series Analysis. – Oxford: Oxford University Press, 2003. – 507 p.
23. Taylor R.L. Attractors: Nonstrange to Chaotic // SIAM, Undergraduate Research Online. – 2010. – P. 72
– 80.
24. Voss H.U. Anticipating chaotic synchronization // Phys Rev E. – 2000. – 61. – P. 5115 – 5119.
25. Yang P., Tan Z., Wiesel A., Nehorai A. Power system state estimation using PMUs with imperfect syn-
chronization // IEEE Transactions on Power Systems. – 2013. – 28, N 4. – P. 4162 – 4172.
26. Yang Y., Cao J. Exponential lag synchronization of a class of chaotic delayed neural networks with impul-
sive effects // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. – 2007. – 386, N 1. – P. 492 – 502.
27. Zhou J., Xiang L., Liu Z. Synchronization in complex delayed dynamical networks with impulsive effects
// Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. – 2007. – 384, N 2. – P. 684 – 692.
Поступила 27.09.2016 Утверждена в печать 10.10.2017
|