Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами
Дана постановка и получено решение задачи о вынужденных гармонических колебаниях и диссипативном разогреве шарнирно опертой прямоугольной пьезопластины с разомкнутыми электродами при действии на нее гармонического во времени равномерного давления. Использован метод Фурье, задача сведена к решению бе...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174171 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами / Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 100-105. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174171 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1741712021-01-08T01:25:55Z Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами Карнаухова, Т.В. Дана постановка и получено решение задачи о вынужденных гармонических колебаниях и диссипативном разогреве шарнирно опертой прямоугольной пьезопластины с разомкнутыми электродами при действии на нее гармонического во времени равномерного давления. Использован метод Фурье, задача сведена к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Получено точное решение этой системы. Дано постановку задачі про вимушені коливання і дисипативний розігрів шарнірно обпертої п’єзоелектричної прямокутної пластини з розімкнутими електродами при дії на неї гармонічного рівномірного поверхневого тиску. Задачу електромеханіки зведено до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь. Отримано точний аналітичний розв’язок цієї системи. Побудовано точний аналітичний розв’язок рівняння енергії при коливаннях на першій резонансній частоті. Отримано формулу для критичного тиску, після досягнення якого пластина не виконує свого функціонального призначення із-за втрати п’єзоефекту активним матеріалом. A statement of the problem of forced vibrations and dissipative heating of piezoelectric rectangular plates with opened electrods and hingedly fixed ends under action of harmonic surface uniform pressure is given. The electromechanical problem is reduced to an infinite system of algebraic equations. An exact analytical solution of this system is obtained. An exact analytical solution of the energy equation is obtained for vibrations on the first resonant frequency. A formula for the critical pressure is obtained after reaching of which the plate does not accomplish its structural functions owing to loss of piezoeffect by the active material. 2018 Article Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами / Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 100-105. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174171 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дана постановка и получено решение задачи о вынужденных гармонических колебаниях и диссипативном разогреве шарнирно опертой прямоугольной пьезопластины с разомкнутыми электродами при действии на нее гармонического во времени равномерного давления. Использован метод Фурье, задача сведена к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Получено точное решение этой системы. |
| format |
Article |
| author |
Карнаухова, Т.В. |
| spellingShingle |
Карнаухова, Т.В. Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами Прикладная механика |
| author_facet |
Карнаухова, Т.В. |
| author_sort |
Карнаухова, Т.В. |
| title |
Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами |
| title_short |
Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами |
| title_full |
Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами |
| title_fullStr |
Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами |
| title_full_unstemmed |
Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами |
| title_sort |
вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174171 |
| citation_txt |
Вынужденные колебания и диссипативный разогрев биморфной прямоугольной шарнирно опертой пластины с разомкнутыми электродами / Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 2. — С. 100-105. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT karnauhovatv vynuždennyekolebaniâidissipativnyjrazogrevbimorfnojprâmougolʹnojšarnirnoopertojplastinysrazomknutymiélektrodami |
| first_indexed |
2025-07-15T11:02:45Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:02:45Z |
| _version_ |
1837710563747037184 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 2
100 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 2
Т . В . К а р н а у х о в а
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ДИССИПАТИВНЫЙ РАЗОГРЕВ
БИМОРФНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПЛАСТИНЫ
С РАЗОМКНУТЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ
Национальный технический университет «КПИ»,
пр. Победы, 37, 03056, Киев, Украина; e-mail: karn@inmech.kiev.ua.
Abstract. A statement of the problem of forced vibrations and dissipative heating of pi-
ezoelectric rectangular plates with opened electrods and hingedly fixed ends under action of
harmonic surface uniform pressure is given. The electromechanical problem is reduced to an
infinite system of algebraic equations. An exact analytical solution of this system is ob-
tained. An exact analytical solution of the energy equation is obtained for vibrations on the
first resonant frequency. A formula for the critical pressure is obtained after reaching of
which the plate does not accomplish its structural functions owing to loss of piezoeffect by
the active material.
Key words: forced vibrations, dissipative heating, opened electrods, critical pressure.
Введение.
Биморфные прямоугольные пластины широко применяются в различных областях
современной техники [1, 8]. Гармонический и, в частности, резонансный режим явля-
ется одним из основных при их эксплуатации [1, 4, 9]. Из-за гистерезисных потерь в
пьезоматериалах гармонические колебания вызывают в пластине повышение темпе-
ратуры диссипативного разогрева, которая может оказать существенное влияние на ее
функционирование. Так, например, при достижении температурой точки Кюри имеет
место специфический тип теплового разрушения, когда пластина не разделяется на
части, но теряет свое функциональное назначение из-за потери материалом пьезоэф-
фекта [5 – 8, 9]. Как правило, при резонансных колебаниях ограничиваются одномо-
довым приближением. При разомкнутых электродах точное решение задачи сводится
к решению бесконечной системы алгебраических уравнений.
Ниже в данной работе рассмотрена задача о вынужденных колебаниях биморф-
ной пластины с разомкнутыми электродами при действии на нее гармонического во
времени давления. Для моделирования поведения материала используется концепция
комплексных характеристик [2, 3]. Задача сведена к решению бесконечной комплекс-
ной системы алгебраических уравнений.
Точное решение этой системы получено в замкнутом виде. Задача о диссипатив-
ном разогреве указанной пластины рассмотрена при колебаниях на резонансной ча-
стоте. Представлено выражение для критической поперечной нагрузки, после дости-
жения которой имеет место указанный выше тип теплового разрушения.
§1. Постановка задачи.
Постановка задачи о гармонических колебаниях биморфной шарнирно опертой
прямоугольной пластины с разомкнутыми электродами представлена в монографии
[1], где постановка рассматриваемой в статье задачи приведена только для упругого
материала, в котором для гармонических электромеханических процессов гистере-
зисные потери отсутствуют, а, следовательно, отсутствует и диссипативный разогрев.
Для учета гистерезисных потерь в данной статье использована известная в теории
101
вязкоупругости упруго-вязкоупругая аналогия, согласно которой уравнения состоя-
ния для вязкоупругого материала получаются из уравнений состояния для упругого
материала путем замены упругих констант на комплексные величины. Для вязкоупру-
гих материалов необходимо иметь также уравнение состояния для диссипативной
функции. Для гармонических процессов определяющее уравнение для этой функции
совпадает с осредненной за период мощностью. Диссипативная функция выступает в
качестве источника тепла в уравнении теплопроводности, из решения которого опре-
деляем температуру диссипативного разогрева, возникающую в результате превраще-
ния электромеханической энергии в тепловую.
Сложность рассматриваемой задачи состоит в том, что решение задачи электро-
механики сводится к бесконечной системе алгебраических уравнений. В работе полу-
чено точное аналитическое решение в замкнутом виде этой системы. По полученному
решению задачи электромеханики определяем диссипативную функцию. Зная ее, ре-
шаем уравнение теплопроводности и рассчитываем температуру диссипативного
разогрева. Для теплоизолированных торцов пластины получено точное аналитическое
решение уравнения теплопроводности. Приравнивая полученное значение температу-
ры точке Кюри, получим выражение для критической нагрузки, после достижения
которой пластина теряет свое функциональное назначения из-за потери материалом
пьезоэффекта.
Для вязкоупругого материала в представленных в [1] соотношениях следует заме-
нить действительные константы материала на комплексные в соответствии с концеп-
цией комплексных характеристик [2,3].
Уравнения состояния для моментов имеют такой вид:
2 2 2 2
0 02 2 2 2
2
; ;
(1 ) ,
x y
xy
w w w w
M D M M D M
x y x y
w
M D
x y
(1.1)
где принято обозначения:
22
31
0 2
11
(1 )( ) 3 1 1
;
4 8 1(1 ) (1 )
b b
p
E
p a a
kdh V t
M D wdxdy
h abS k
(1.2)
( )V t – неизвестная разность потенциалов; – коэффициент Пуассона; – модифи-
цированный коэффициент Пуассона; 2
pk коэффициент электромеханической связи;
D модифицированная изгибная жесткость. Выражения для указанных величин при-
ведены в [1].
Из (1.2) устанавливаем связь между 0M и неизвестной разностью потенциалов в виде
11
0
31
(1 )4
( ) .
ES
V t M
h d
Исследование вынужденных колебаний шарнирно опертой пьезопластины при
действии на нее гармонического по времени равномерного поверхностного давления
i tp qe сведено к решению комплексного дифференциального уравнения
2
0D w h w M q (1.3)
с граничными условиями
2 2
0 02 2
0, 0 ( 0; ); 0, 0 ( 0; ).
w w
w D M x a w D M y b
y x
(1.4)
102
Как отмечено в [1], наличие поверхностного интеграла в выражении для 0M (см. 1.1)
существенно усложняет решение задачи.
§2. Решение задачи электромеханики.
Решение поставленной задачи определим в виде разложения его в ряд Фурье
1, 3,... 1, 3,...
sin sin , .mn m n m n
m n
m n
w w k x p y k p
a b
(2.1)
При использовании метода Фурье постоянную величину 0M в области, занимаемой
пластиной, представим в виде функции
0 0
[ ( ) ( )][ ( ) ( )] при 0, 0;
( , )
[ ( ) ( )][ ( ) ( )] при 0, 0.
H x H x a H y H y b x y
M x y M
H x H x a H y H y b x y
Здесь ( ), ( )H x H y – ступенчатые функции Хевисайда, производные от которых поро-
ждают функции Дирака: ( ) ( ), ( ) ( ).H x x H y y При этом имеем: ( ) ( ),H x x
( ) ( ).H y y
Функция 0 ( , )M x y продолжается периодически на всю действительную плос-
кость и, таким образом, строится двумерная периодическая функция, которую можно
раскладывать в ряд Фурье, над которым можно проводить операции интегрирования и
дифференцирования.
Подставляя (2.1) в (1.2), получим
0M 0 ij ij
i j
m v w (2.2)
2 2 2
0 2
(1 )3 1 1
, .
2 1 (1 )
p i j
ij
i jp
k k p
m v
ab k pk
(2.3)
Разложим постоянные 0 ,M q в ряды Фурье:
0
1,3,... 1,3,... 1,3,... 1,3,...
sin sin ; sin sin ,mn m n mn m n
m n m n
M M k x p y q q k x p y
(2.4)
где приняты обозначения
0
16 16
; .mn mn
m n m n
M M q q
abk p abk p
(2.5)
Подставляя (2.1), (2.4), (2.5) в (1.3), получаем бесконечную систему алгебраиче-
ских уравнений относительно неизвестных констант ijw :
1,3,... 1,3,...
mn nm mn ij ij mn
i j
w N v w q
(2.6)
2 2
2 2 2 2 016 ( )
( ) ; ( , 1, 3, ...) .m n
mn m n mn
m n
D k p m
D k p h N m n
abk p
Разделив уравнение (2.6) на mn , полученный результат умножим на mnv и про-
суммируем по , .m n Тогда получим такое уравнение:
,W NW Q (2.7)
103
1, 3,... 1, 3,... 1, 3,... 1, 3,... 1, 3,... 1, 3,...
, / , / .ij ij ij ij ij ij ij ij
i j i j i j
W v w N N v Q q v
(2.8)
Из (2.7) имеем:
.
1
Q
W
N
(2.9)
Зная ,w согласно (2.6) определим неизвестные :ijw
1,3,... 1,3,...
, .
1
ij ij ij ij
mn nm nm ij ij mn ij
i j ij ij ij ij
q N q N Q
w N v w q w W
N
(2.10)
Таким образом, получено решение задачи электромеханики о вынужденных коле-
баниях шарнирно опертой прямоугольной пластины с разомкнутыми электродами.
Для решения поставленной задачи можно также использовать следующий подход,
который не приводит к появлению функций Дирака в операторе 0 ( , ).M x y При ис-
пользовании этого подхода решение задачи представляем в виде суммы квазистатиче-
ской sw и динамической dw составляющих:
.s dw w w (2.11)
При этом функцию sw определяем согласно решения такой краевой задачи:
0 0sD w M (2.12)
2
02
0, 0
s
s w
w D M
y
при 0, ;x x a (2.13)
2
02
0, 0
s
s w
w D M
x
при 0, .y y b
(2.14)
Функцию dw определим согласно решения краевой задачи с однородными гра-
ничными условиями на торцах пластины:
2 2 ;d d sD w h w q h w (2.15)
2
2
0, 0
d
d w
w
y
при 0, ;x x a (2.16)
2
2
0, 0
d
d w
w
x
при 0, .y y b (2.17)
Решение краевой задачи (2.12) – (2.14) получим согласно метода Фурье в виде:
1,3,... 1,3,...
sin sin ,s s
mn m n
m n
w w k x p y
(2.18)
где введены обозначения:
02 2
16
; .
( )
s mn
mn mn
m n m n
M
w M M
D k p abk p
(2.19)
Решение краевой задачи (2.15) – (2.17) также определим методом Фурье в таком виде:
1,3,... 1,3,...
sin sin ,d d
mn m n
m n
w w k x p y
(2.20)
104
где для d
mnw имеем соотношение
2 2 2 2 2 2
2 2
[ ( ) ] .
( )
d s mn
m n mn mn mn mn
m n
M
D k p h w q h w q h
D k p
(2.21)
Учитывая выражения (2.2), (2.5) и (2.11), получим бесконечную систему алгебраиче-
ских уравнений, которая совпадает с (2.6).
Таким образом, оба подхода к решению поставленной задачи приводят к одной и
той же бесконечной системе алгебраических уравнений.
§3. Уравнение энергии и его решение.
Уравнение энергии для шарнирно опертой пластины и его решение при колебаниях
на первой резонансной частоте представлено в статье [5].
Диссипативная функция определяется выражением
2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 sin sin 2(1 ) cos cos
2
W D A k k p p k x p y k p k x p y
(3.1)
или в таком виде:
2
0 0 1 1 1 2 1 1cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
2
W W a a k x p y a k x p y
, (3.2)
где приняты обозначения
2
2 2
2 0
0 2
4
22 2 2
0 2 1
16
;
2
1
1 1
1 ; 1 4 .
4 4
p b
W
D b
a
b b b
a a a
a a a
(3.3)
Уравнение энергии имеет вид:
2 2
0
W
h h
. (3.4)
Для теплоизолированного контура пластины решение задачи имеет вид:
0 1 1 2 1 3 1 1cos 2 cos 2 cos 2 cos 2k x p y k x p y . (3.5)
Подставляя (3.5) в (3.4) и учитывая (3.2), определим ( 0, 1, 2, 3) :i i
2
0 0 0
1
2 2
a W
; (3.6)
2 1
1 0 22 2 2
a
W
h
h a
;
2 1
2 0 22 2 2
a
W
h
h b
; (3.7)
2 2
3 0 2 22 2 2 2
aa
W
h
a b h
. (3.8)
Приравнивая максимальную температуру температуре в точке Кюри, из (3.5) – (3.8)
получаем выражение для критического значения параметра нагружения 2
0KW :
105
2
0
4
;K
KW
2 2 2 2
0 1
2 2 2 2
2
1/ [1 2 / ( )] 1/ [1 2 / ( )]
1/ [1 2 / ( ) 2 / ( )] .
a a h a h b
a h a h b
(3.9)
Используя (3.3), (3.9), определим критическую поперечную нагрузку в виде.
2 2
24
0
1 ( / )
2 / .
4kr K
b a
p D W
b
(3.10)
Если амплитуда поверхностного давления превышает критическое значение 0( )krp p ,
пластина перестает выполнять свое функциональное назначение из-за деполяризации
пьезоматериала.
Выводы.
1. Дана постановка и получено решение задачи о вынужденных гармонических
колебаниях и диссипативном разогреве шарнирно опертой прямоугольной пьезопла-
стины с разомкнутыми электродами при действии на нее гармонического во времени
равномерного давления.
2. Использован метод Фурье, задача сведена к решению бесконечной системы ал-
гебраических уравнений. Получено точное решение этой системы.
3. Для теплоизолированных торцов пластины представлено точное аналитическое
решение уравнения энергии при колебаниях пластины на первой резонансной частоте.
4. Получено выражение для критического механического давления, после дости-
жения которого пьезопластина не выполняет своего функционального назначения из-
за деполяризации материала при температуре, равной температуре в точке Кюри.
Р Е З Ю М Е . Дано постановку задачі про вимушені коливання і дисипативний розігрів шарні-
рно обпертої п’єзоелектричної прямокутної пластини з розімкнутими електродами при дії на неї гар-
монічного рівномірного поверхневого тиску. Задачу електромеханіки зведено до нескінченної систе-
ми алгебраїчних рівнянь. Отримано точний аналітичний розв’язок цієї системи. Побудовано точний
аналітичний розв’язок рівняння енергії при коливаннях на першій резонансній частоті. Отримано
формулу для критичного тиску, після досягнення якого пластина не виконує свого функціонального
призначення із-за втрати п’єзоефекту активним матеріалом.
1. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф.,Шульга Н.А. Электроупругость. – К.: Наук. думка, 1989. – 290 с.–
(Механика связанных полей в элементах конструкций: в 5-ти т.; Т. 5).
2. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. – К.: Наук. думка, 1988. – 328 c. –
(Механика связанных полей в элементах конструкций: в 5-ти т.; Т. 4).
3. Карнаухов В.Г., Михайленко В.В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении. – Житомир: ЖГТУ, 2005. – 428 с.
4. Шульга Н.А., Карлаш В.Л. Резонансні електромеханічні коливання п’єзоэлектричних пластин. – К.:
Наук. думка, 2008. – 272 с.
5. Karnaukhova Т.V., Pyatetskaja Е.V. Damping the Resonant Flexural Vibration of a Hinged Plate with
Actuators // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 4. – P. 448 – 456.
6. Karnaukhov V.G., Коzlov V.I., Zavgorodnii А.V., Umrykhin I.N. Forced Resonant Vibrations and Self-
Heating of Solids of Revolution Made of a Viscoelastic Piezoelectric Material // Int. Appl. Mech. –
2015. – 51, N 6. – P. 614 – 622.
7. Кirichok I.F. Resonant Axisymmetric Vibrations and Vibrational Heating of a Viscoelastic Cylindrical Shell with
Piezolayered Subject to Electromechanical Exitation // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 5. – P. 567 – 573.
8. Кirichok I.F. Damping the Radial Vibrations and Self-Heating of Viscoelastic Shell Elements with Piezoelec-
tric Sensor and Actuator // Int.Appl.Mech. – 2016. – 52, N 4. – P.354 – 358.
9. Karnaukhov V.G. Piezothermo-Inelastic Behaviour of Structural Elements: Vibrations and Dissipative
Heating // Encyclopedia of Thermal Stresses (Ed: Richard B. Hetnarski). – New-York, Dordrecht:
Springer, 2014. – 7. – P. 3910 – 3919.
Поступила 15.02.2016 Утверждена в печать 10.10.2017
|