Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского
Для семейства уравнений с неточными значениями параметров приведены результаты динамического анализа множества траекторий путем применения смешанных объемов Минковского для тел, создаваемых множеством траекторий при фиксированных значениях параметра неточности....
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174196 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского / А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 55-69. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174196 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1741962021-01-08T01:26:21Z Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского Мартынюк, А.А. Для семейства уравнений с неточными значениями параметров приведены результаты динамического анализа множества траекторий путем применения смешанных объемов Минковского для тел, создаваемых множеством траекторий при фиксированных значениях параметра неточности. Для сімейства рівнянь з неточними значеннями параметрів наведено результати динамічного аналізу множини траєкторій шляхом застосування змішаних об’ємів Мінковського для тіл, що створюються множиною траєкторій при фіксованих значеннях параметру неточності. For a family of equations with uncertain parameter values, the results of dynamic analysis of a set of trajectories by applying the mixed Minkowski volumes are given for bodies formed by a set of trajectories for the fixed values of uncertain parameter. 2018 Article Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского / А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 55-69. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174196 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для семейства уравнений с неточными значениями параметров приведены результаты динамического анализа множества траекторий путем применения смешанных объемов Минковского для тел, создаваемых множеством траекторий при фиксированных значениях параметра неточности. |
| format |
Article |
| author |
Мартынюк, А.А. |
| spellingShingle |
Мартынюк, А.А. Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского Прикладная механика |
| author_facet |
Мартынюк, А.А. |
| author_sort |
Мартынюк, А.А. |
| title |
Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского |
| title_short |
Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского |
| title_full |
Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского |
| title_fullStr |
Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского |
| title_full_unstemmed |
Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского |
| title_sort |
динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов минковского |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174196 |
| citation_txt |
Динамический анализ множества траекторий семейства уравнений движения на основе смешанных объемов Минковского / А.А. Мартынюк // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 55-69. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT martynûkaa dinamičeskijanalizmnožestvatraektorijsemejstvauravnenijdviženiânaosnovesmešannyhobʺemovminkovskogo |
| first_indexed |
2025-07-15T11:06:35Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:06:35Z |
| _version_ |
1837710805042200576 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 4 55
А . А . М а р т ы н ю к
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ
СЕМЕЙСТВА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ
СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ МИНКОВСКОГО
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail:martynyukanan@gmail.com
Abstract. For a family of equations with uncertain parameter values, the results of
dynamic analysis of a set of trajectories by applying the mixed Minkowski volumes are
given for bodies formed by a set of trajectories for the fixed values of uncertain parameter.
Key words: аamily of equations, uncertain parameters, mixed Minkowski volumes,
stability, boundedness, practical stability.
Введение.
Среди динамических свойств множества траекторий семейств уравнений свойства
устойчивости, ограниченности, устойчивости на конечном интервале, занимают цент-
ральное место. Это связано с тем, что эти свойства траекторий представляют интерес
при проектировании и эксплуатации реальных механических и другой природы сис-
тем. Для анализа указанных динамических свойств развит прямой метод Ляпунова [3]
на основе обобщенных скалярных, векторных и матрично-значных вспомогательных
функций (см. [1, 7, 8, 10] и библиографию там).
Некоторая «схожесть» свойств функций Ляпунова со свойствами смешанных
объемов Минковского [2, 4, 13] (далее применяется обозначение С.О.М.) позволяет
проводить динамический анализ множества траекторий семейств уравнений на основе
С.О.М. в пределах обобщенного прямого метода Ляпунова при определенных усло-
виях, которые формулируются для семейств уравнений.
Такой подход несколько расширяет возможности обобщенного прямого метода
Ляпунова при качественном анализе семейств уравнений и анонсирует новое приме-
нение теории выпуклых тел Минковского наряду с ранее известными приложениями.
Статья построена по следующему плану. В п. 1 приведено описание рассматриваемо-
го семейства уравнений и предположения о телах, которые образуются множествами
траекторий семейства уравнений (1) при фиксированных значениях параметра неточ-
ности.
В п. 2 приведены некоторые свойства смешанных объемов Минковского для не
автономных тел и обсуждается их сходство со свойствами функций Ляпунова.
В п. 3 приведены основные результаты статьи. А именно, здесь приведены усло-
вия продолжимости движения, условия устойчивости по двум мерам, условия ограни-
ченности множества траекторий и условия практической устойчивости семейства
уравнений (1).
В заключительном п. 4 приводится обсуждение полученных результатов и библи-
ографические указания.
1. Постановка задачи.
Пусть nR – n -мерное евклидово пространство и ( )n
cK R – пространство непус-
тых выпуклых компактных подмножеств в пространстве nR . При описании движения
реальных систем с учетом интервальных начальных условий, неточности параметров
56
или при наличии управлений, вектор состояния системы является многозначным. Об-
общенной моделью такого процесса являются семейства уравнений с множеством
траекторий и обобщенной производной множества состояний. Математической мо-
делью такого рода систем являются уравнения вида (см. [9, 15])
= ( , , );HD X F t X (1)
0 0( ) = ( ).n
cX t X K R (2)
Здесь ( )n
cX K R – множество состояний системы (1), HD X – обобщенная
производная множества состояний, ( ( ) , ( )),n n
c cF C R K R K R , dR –
компактное множество параметров неточности.
Отображение 1( , ( ))n
cX C J K R , где 0 0= [ , ],J t t a , > 0,a является решением
семейства уравнений (1) на J , если оно непрерывно на J и удовлетворяет семейству
уравнений (1) при начальных условиях (2).
Из того, что ( )X t – непрерывно дифференцируемая функция на J следует, что
0
0
( ) = ( ) ,H
t
t
X t X D X s ds ,t J (3)
и, далее,
0
0
( ) = ( , ( ), ) ,
t
t
X t X F s X s ds t J (4)
при всех , где интеграл понимается в смысле Хукухары (см. [9] и библио-
графию там).
О семействе уравнений (1) и отображениях (4) сделаем следующие предположе-
ния:
1A . При всех и t J многозначное отображение ( , , ) =F t , ( ( )n
cK R
– нулевой элемент ( )n
cK R );
2A . При фиксированных значениях отображения ( , )X t образуют
выпуклые «тела» 1( ), , ( )nP X P X , для которых верны соотношения
( ( )) = ( , ( ( )));H i i iD P X t F t P X t 0 0( ( )) = ( ) ,n
i iP X t P X K (5)
где ( , ( ( ))) = ( , ( ), )i i i iF t P X t F t P X при всех = 1,2, ,i n .
3A . Тела ( ) =iP X , = 1,2, ,i n , если и только если =X .
4A . Тела ( ( , ))iP X t , = 1,2, ,i n , удовлетворяют условиям: ( ( , ))iVol P X t не
исчезает и остается меньшим бесконечности на любом конечном интервале
существования множества траекторий, где ( ( , ))iVol P X t – объем i -го тела
при фиксированном значении параметра .
Пример 1. Рассмотрим семейство уравнений
= ( );HD X e X t 0 0( ) = ( )n
cX t X K R ,
где ( )n
cX K R и [0,1] . Пусть = (0,1 / 2,1) , тогда для тел траекторий получим
семейства уравнений
1 1( ( )) = ( ( ));HD P X t P X t 1/2
2 2( ( )) = ( ( ));HD P X t e P X t
3 3( ( )) = ( ( ));HD P X t eP X t 0 0( ( )) = ( ).n
i cP X t X K R
57
Если для тел 1( ( , ))P X t при = 0 , 2 ( ( , ))P X t при = 1/ 2 , 3( ( , ))P X t при
= 1 , выполняются условия 3 4A A , тогда множества траекторий рассматриваемого
семейства уравнений заполняют выпуклые тела ( ( ))iP X t .
Для анализа множества траекторий семейства уравнений (1) применяется обоб-
щенная функция Ляпунова ( , )V t X со следующими свойствами:
1( )B . ( , ) ( ( ), )n
cV t X C R K R R ;
2( )B . ( , ) = 0V t X если и только если = ( )n
cX K R ;
3( )B . | ( , ) ( , ) | ( , ), > 0V t A V t B LD A B L ,
при всех , ( )n
cA B K R , где D – расстояние Хаусдорфа между непустыми подмно-
жествами A и B пространства nR .
Пример 2. Простейшей функцией этого класса является функция ( , )V t X
( , )D X при всех ( )n
cX K R с обобщенной производной
1( , ) = limsup{[ ( ( , , ), ) ( , )] : 0 }D V t X D X hF t X D X h h (6)
в силу семейства уравнений (1).
2. Некоторые свойства смешанных объемов Минковского.
Напомним некоторые сведения из теории выпуклых тел (см. [2, 17] и библиографию
там). Классическая теория Минковского [17] имеет дело с выпуклыми компактными
телами в евклидовом пространстве nR , происхождение которых не обсуждается.
В данной статье рассматриваются тела траекторий неточного семейства уравнений
(1), которые являются не автономными, удовлетворяющими условиям 2 4A A .
Комбинация фундаментального понятия сложения Минковского и понятия объ-
ема приводит к понятию смешанного объема.
Далее будем рассматривать С.О.М. для тел ( ( , ))i iP X t , = 1,2, ,i n , которые
образованы отображениями ( , ) ( )n
cX t K R при фиксированных значениях параметра
неточности .
Обозначим nK – пространство кортежей выпуклых тел ( ( ))iP X t , 1,2, ,i n .
Выпуклое тело ( ( )) n
iP X t K единственным способом определяется опорной фун-
кцией 1: n
Pi
h S R , где ( ) = ,maxPi x Pi
h u x u
, а – стандартное обозначение скаляр-
ного произведения в nR .
Определение 1. Пусть заданы выпуклые тела 1 2( ( )), ( ( )), , ( ( )) n
nP X t P X t P X t K
и неотрицательные вещественные числа 1 2, , , .n Выражение 1 1 2 2( ( )) ( ( ))P X t P X t
( ( ))n nP X t называется не автономной линейной комбинацией Минковского и яв-
ляется выпуклым телом, а 1 1 2 2Vol ( ( ( )) ( ( )) ( ( )))n n nP X t P X t P X t называется
объемом не автономной линейной комбинации.
Пусть [ ]m обозначает множество натуральных чисел 1, 2, , m . Имеет место
следующее утверждение (см. [2] и библиографию там).
Теорема 1. Пусть выпуклые тела 1( ( )), , ( ( )) n
nP X t P X t K удовлетворяют усло-
виям 2 4A A и 1, , n – неотрицательные вещественные числа.
Тогда имеет место уравнение
1 1 2 2Vol ( ( ( )) ( ( )) ( ( )))n n nP X t P X t P X t
1 1
1
( ( ( )), , ( ( ))) ,
, , [ ]
i i i in n
i n
MV P X t P X t
i m
(7)
58
где каждый коэффициент
1
( ( ( )), , ( ( )))i in
MV P X t P X t зависит только от тел
1
( ( )),iP X t
, ( ( ))in
P X t .
Доказательство этой теоремы имеется во многих монографиях (см., например, [2]
и библиографию там).
Определение 2. Для заданных тел 1( ( )), , ( ( )) n
nP X t P X t K коэффициент
1( ( ( )), , ( ( )))nMV P X t P X t называется неавтономным смешанным объемом Минковс-
кого выпуклых тел 1( ( )), , ( ( ))nP X t P X t при любых значениях параметра неточности
.
Известно, что смешанный объем может быть вычислен по формуле (см. [2])
1
=1 {1, , }, =
( ( ( )), , ( ( ))) = ( 1) Vol ( ( ))
n
j
n n i
j I m I j i I
MV P X t P X t P X t
(8)
при любом ( ) ( )n
cX t K R .
Из общих свойств С.О.М. (см. [2, 17]) далее понадобятся свойства смешанных
объемов для тел 1, , nP P , которые образованы отображениями ( ) ( )n
cX t K R при
фиксированных значениях параметра неточности .
Введем метрику Хаусдорфа в пространстве кортежей nK . Пусть B – единичный
шар в nR , а 0 .
Для расстояния Хаусдорфа между кортежем 1( ) = ( ( ), , ( ))nP X P X P X и нулевым
множеством применяется метрика
( ( ), ) = inf{ : ( )D P X P X B и ( ) }P X B при любых ( ) nP X K . (9)
Заметим, что расстояние Хаусдорфа (9) является метрикой на nK и пара ( , ( ( )))nK D P X
является метрическим пространством.
Определение 3. Кортеж 1( ( ), , ( ))nP X P X выпуклых тел, удовлетворяющих усло-
виям 2 4A A , является вырожденным, если не существует сегментов ( ) ( ),i iS X P X
= 1, 2, , ,i n с линейно независимыми направлениями.
Далее рассматриваются невырожденные кортежи 1( ( ), , ( ))nP X P X не автоном-
ных выпуклых тел, где ( ( )) nP X t K .
Далее понадобятся следующие определения функций сравнения [7].
Определение 4. Непрерывная функция 1: [0, ]r R (или непрерывная функция
: [0, ) R ) принадлежит K -классу Хана, т.е. K , если (0) = 0 и – строго
возрастающая на 1[0, ]r (или на [0, ) ).
Если : R R , K -классу Хана и, кроме того, lim ( ) =r при r ,
тогда KR -классу Хана.
Для тел, удовлетворяющих условиям 2 4A A , свойства С.О.М. аналогичны тем,
которые известны из классической теории Минковского (см. [2] и библиографию
там). Напомним некоторые из них.
1( )P . Смешанный объем является неотрицательной симметричной функцией т.е.
1( ( ( )), , ( ( ))) 0,nMV P X t P X t монотонной относительно включения *( ( ))iP X t
( ( )),iP X t = 1, 2, , ;i n
2( )P . С.О.М. 1( ( ( )), , ( ( ))) > 0nMV P X t P X t тогда и только тогда, когда сущест-
вуют сегменты ( ( )) ( ( )), = 1, 2, ,i iS X t P X t i n , направления которых линей-
но независимы;
59
3( )P . С.О.М. 1( ( ( )), , ( ( ))) = 0nMV P X t P X t , если ( ( )) =iP X t при всех
= 1,2, ,i n .
4( )P . С.О.М. 1( ( ( )), , ( ( )))nMV P X t P X t , является непрерывным по метрике Хаус-
дорфа при всех ( ( )) nP X t K .
Из свойств 1( )P , 2( )P следует, что для С.М.О. 1( ( ( )), , ( ( )))nMV P X t P X t сущест-
вует функция ( )r K -класса Хана такая, что:
5( )P . 1( ( ( ( )), )) ( ( ( )), , ( ( )))nD P X t MV P X t P X t при всех ( ( )) nP X t K ;
Из свойств 1( )P , 2( )P , 4( )P и теоремы Вейерштрасса о функции на компакте сле-
дует, что существует функция ( )r KR -классу Хана такая, что
6( )P . 1( ( ( )), , ( ( ))) ( ( ( ( )), ))nMV P X t P X t D P X t при всех ( ( )) nP X t K .
Из непрерывности С.О.М. 1( ( ( )), , ( ( )))nMV P X t P X t по метрике Хаусдорфа на
компактных множествах пространства nK следует, что С.О.М. 1( ( ( )), ,MV P X t
( ( ))) :nP X t
7( )P . равномерно непрерывен на nK и
8( )P . на любом компактном в себе множестве пространства nK С.О.М. 1( ( ( )),MV P X t
, ( ( )))nP X t ограничен и достигает своих точной верхней и точной нижней
границ.
Сопоставляя свойства 1 3B B обобщенной функции Ляпунова со свойствами 1 8P P
С.О.М., видим, что С.О.М. является положительно полу-определенной функцией (функ-
ционалом) на множестве выпуклых компактных множеств. Это сходство позволяет
использовать С.О.М. как класс соответствующих функций (функционалов) Ляпунова
при исследовании множества траекторий семейства уравнений вида (1).
3. Приложения.
Рассмотрим некоторые задачи качественного анализа множества траекторий се-
мейства уравнений (1) при начальных условиях (2).
3.1. Продолжимость движения. Рассмотрим задачу реализуемости движения,
описываемого семейством уравнений (1).
Определение 5. Движение некоторой механической или другой природы системы
будем называть продолжимым, если для семейства дифференциальных уравнений (1),
представляющих это движение, существует множество траекторий ( ) ( )n
cX t K R ,
удовлетворяющих этим уравнениям на любом открытом интервале при некоторых на-
чальных условиях (2) и при любых значениях параметра неточности .
Заметим, что свойство продолжимости движения не влечет ни устойчивости, ни
неустойчивости множества траекторий задачи (1) – (2).
Далее понадобиться выражение полной производной С.О.М. на кортежах траекто-
рий задачи (1) – (2), которое определяется формулой
1 1 1 1
1
1
( ( ), , ( )) = limsup{[ ( ( ) ( , ( )), , ( )
( , ( ))) ( ( ), , ( ))] : 0 }
n n
n n n
D MV P A P A MV P A hF t P A P A
hF t P A MV P A P A h h
(10)
произвольных ( ) nP A K .
Предположим, что решение скалярной задачи
= ( , );
dR
G t R
dt
(11)
0 0( ) = 0R t R , (12)
60
где функция 2( , )G C R R , квази-монотонная неубывающая по R при каждом t , су-
ществует при всех 0t t .
Заметим, что для выпуклых тел ( ( ))iP X t верны соотношения из предположения 2A
( ( )) = ( , ( ( )));H i i iD P X t F t P X t (13)
0 0( ( )) = ( ) n
i iP X t P X K , (14)
где ( , ( ( ))) = ( , ( ), )i i i iF t P X t F t P X при всех = 1,2, ,i n и при фиксированных
значениях параметра .
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Предположим, что в семействе уравнений (1):
(1) Отображение ( ( ) I, ( ))n n
c cF C R K R K R отображает ограниченные множес-
тва в ограниченные множества и существует локальное решение начальной
задачи (1) – (2);
(2) Существует постоянная > 0L такая, что С.О.М. 1( ( ), , ( ))nMV P X P X удовлет-
воряет условию *
1 1| ( ( ), , ( )) ( ( ), , ( )) | ( ( ), ( )),n nMV P A P A MV P B P B LD P A P B
где *( ( ),D P A ( ))P B расстояние Хаусдорфа между кортежами ( ), ( ) ;nP A P B K
(3) при ( ( ), )D P A С.О.М. 1( ( ), , ( )) ;nMV P A P A
(4) при любых ( ) nP A K , выполняется неравенство 1( ( ), , ( ))nD MV P A P A
1( , ( ( ), , ( )))nG t MV P A P A , где 2( , );G C R R
(5) Максимальное решение 0 0( ) = ( , , )MR t R t t R задачи (11) – (12) существует на
0[ , )t и является ограниченным.
Тогда для 0( ) ( )n
i cP X K R таких, что 1 0 0 0( ( ), , ( )) ,nMV P X P X R движение про-
должимо на 0[ , )t и удовлетворяет оценке
1( ( ( )), , ( ( ))) ( ),n MMV P X t P X t R t при всех 0t t .
Доказательство. Обозначим 1( ) ( ( ( )), , ( ( )))nN t MV P X t P X t так, что 0( )N t
1 0 0 0( ( ), , ( )) .nMV P X P X R Принимая во внимание условие (2) теоремы 2, для сколь
угодно малого > 0h вычисляем
1 1( ) ( ) = ( ( ( )), , ( ( ))) ( ( ), , ( ))n nN t h N t MV P X t h P X t h MV P t P t
1 1 1( ( ( )) ( , ( ( ))), , ( ( )) ( , ( ( ))))n n nMV P X t hF t P X t P X t hF t P X t
1 1 1( ( ( )) ( , ( ( ))), , ( ( )) ( , ( ( ))))n n nMV P X t hF t P X t P X t hF t P X t
*( ( ( )), ( ( )) ( , ( ( ))))LD P X t h P X t hF t P X t
1 1 1( ( ( )) ( , ( ( ))), , ( ( )) ( , ( ( ))))n n nMV P X t hF t P X t P X t hF t P X t
1( ( ( )), , ( ( ))).nMV P X t P X t
Отсюда, в силу соотношений (13) при начальных условиях (14), следует, что
* 1limsup [ ( ( ( )), ( ( )) ( , ( ( )))] : 0 =D P X t h P X t hF t P X t h h
* 1= limsup ( ( ( )) ( ( )), ( , ( ( )))) : 0 =D P X t h P X t hF t P X t h h
*= ( ( ( )), ( , ( ( )))) 0.HD D P X t F t P X t
61
Поэтому, согласно условия (4) теоремы 2 получаем
( ) ( , ( ))D N t G t N t , (15)
0 0( )N t R . (16)
Учитывая условие (5) теоремы 2 и применяя теорему 3.1.1 из монографии [10] к
неравенствам (15) – (16), получаем оценку
0 0( ) ( , , )N t R t t R , (17)
которая выполняется при всех t J .
Пусть Q – подмножество пространства ( )n
cK R , состоящее из кортежей выпук-
лых тел ( ), = 1, 2, , ,iP X i n определенных на 0[ , )Xt , и являющихся решениями урав-
нений (13) при фиксированных значениях параметра .
На множестве Q введем частичное упорядочение ( , )Q по правилу: из соотно-
шений Vol ( ) Vol ( ), 1, 2, ,i iP X P Y i n при ( , ) ( )n
cX Y K R следует неравенство
X Y
J J и Vol ( ) Vol ( )i iP X P Y на .
X
J Это значит, что для тела с меньшим объе-
мом интервал существования решений уравнений (13) меньше и при равных объемах
он равен исходному интервалу.
Покажем, что Q не пусто. Согласно условий (1), (2) теоремы 2 кортеж решений
( ( ))P X t задач (13) – (14) существует на 0= [ , ).XX
J t
Из условий (2), (4), (5) теоремы 2, следует основная оценка принципа сравнения
1( ( ( )), , ( ( ))) ( ), ,n M X
MV P X t P X t R t t J
где ( )MR t – максимальное решение задачи (11) – (12). Эта оценка показывает, что Q
– не пустое множество.
Пусть ( ( ) )P X является цепью на множестве ( , )Q . Тогда существует единст-
венным способом определяемый кортеж ( )P Y на 0[ , ( ))sup XY
J t
, совпадающий с
( )P X на
X
J . При этом ( )P Y Q и, следовательно, ( )P Y является верхней грани-
цей ( ( ) )P X на ( , )Q . В этом случае согласно леммы Цорна (см. [5]) на ( , )Q
существует максимальный элемент ( )P Z .
Теорема 2 будет доказана, если показать, что соответствующее этому элементу
значение =Z .
Предположим, что <Z . Согласно условия (5) теоремы 2 решение ( )MR t задачи
(11) – (12) существует на 0[ , )t и является ограниченным на
Z
J . Согласно условия
(3) С.О.М. 1( ( ), , ( ))nMV P A P A равномерно по
X
t J как только ( ( ), )D P A
.
Из соотношения 1( ( ), , ( )) ( )n MMV P Z P Z R t на
Z
J следует, что ( ( ( )), )D P Z t
ограничено на .
Z
J
Далее, из условия (1) следует, что существует постоянная > 0M такая, что
( ( , ( ( ))), )D F t P Z t M на ,
Z
J
при всех .
Поэтому для значений 1 2 1 2( , )
Z
t t t t J верно соотношение
2
2 1 2 1
1
( ( ( )), ( ( ))) ( ( , ( ( ))), ) ( ),
t
t
D P Z t P Z t D F s P Z s ds M t t
62
из которого следует, что кортеж ( ( ))P Z t является липшицевым по t на
Z
J и, следо-
вательно, допускает расширение 0( ( ))P Z t на 0[ , )Zt . Из непрерывности 0( ( ))P Z t сле-
дует, что
0 0 0
0
( ( )) ( ) ( , ( ( ))) .
Z
Z
t
P Z P X F s P Z s ds
Это значит, что 0( ( ))P Z t является решением задач (13) – (14) на 0[ , )Zt и, оче-
видно,
1 0 0( ( ( )), , ( ( ))) ( )n MMV P Z t P Z t R t
при всех 0[ , )Zt t и .
Наряду с начальной задачей (1) – (2) рассмотрим начальную задачу
( ( )) = ( , ( ( )));HD P X t F t P X t (18)
0( ( )) = ( ( )),Z ZP X P Z (19)
для которой существует кортеж 0( ( ))P X t на [ , ), > 0Z Z . Определим 1( ( ))P Z t
так:
0 0
1
0
( ( )) при ;
( ( ))
( ( )) при .
Z
Z Z
P Z t t t
P Z t
P X t t
(20)
Очевидно, что кортеж (20) является решением семейства уравнений (18) при
начальных условиях (19) на 0[ , )Zt и, кроме того,
1 1 1( ( ( )), , ( ( ))) ( )n MMV P Z t P Z t R t
при всех 0[ , )Zt t .
Это противоречит предположению о максимальности множества ( ( ))P Z t и дока-
зывает, что =Z . Этим теорема 2 доказана.
3.2. Устойчивость по двум мерам. Основные теоремы об устойчивости по двум ме-
рам для нелинейных систем с конечным числом степеней свободы приведены в моно-
графиях [8, 10, 11]. При этом применяются скалярные, векторные и матрично-значные
функции Ляпунова. Здесь исследуется устойчивость по двум мерам семейства уравнений
(1) на основе С.О.М.
Определим классы функций, необходимые для дальнейшего изложения:
( ( ))
= ( , ) : ( ( ( )), ) = 0 ;inf
n
nP X t K
H C K R H P X t
0
0 0 0 0
( ( ))
= : ( ( ( )), ) = 0inf
nP X t K
H H P X t
при любом 0t R ,
где 1( ( )) = ( ( ( )), , ( ( )))nP X t P X t P X t и 0( ( )) = ( ( ))P X t P X t при 0= .t t
Учитывая результаты монографии [10], приведем следующие определения.
Определение 6. Семейство уравнений (1):
1( )S 0( , )H H – равномерно устойчиво, если для любого > 0 существует
( ) > 0 такое, что из условия 0 0( ( ( )), ) <H P X t следует ( ( ( )), ) <H P X t
< при всех 0t t ;
2( )S 0( , )H H – равномерно асимптотически устойчиво, если выполняются усло-
вия определения 1S и lim ( ( ( )), ) = 0H P X t при t .
3( )S 0( , )H H – неустойчиво, если условия определения 1S не выполняется.
63
Определение 7. Смешанный объем 1( ( ( )), , ( ( )))nMV P X t P X t является полу-опре-
деленно положительным, если существует функция 1( )a r K - классу Хана такая, что
1 1( ( ( )), , ( ( ))) ( ( ( ( )), ))nMV P X t P X t a H P X t при всех ( ( )) nP X t K .
Определим высшие производные С.О.М. по формуле
( ) ( 1)( ( )) = ( ( ))j jD MV P A D D MV P A при всех = 1,2, ,j m и ( ) nP A K , (21)
где 1( ) = ( ( ), , ( ))nP A P A P A .
Из принципа сравнения (см. [4], теорема 2) следует, что
( ) ( )
0 0( ( ( ))) [ ( , , )] , = 0,1, , ,j j
MMV P X t U t t N j m (22)
при всех 1t J J , где ( )
0 0[ ( , , )] j
MU t t N – максимальное решение уравнения срав-
нения
( ) (1) ( 1)( ) = ( , ( ), ( ), , ( ));m mD N t G t N t N t N t (23)
( )
0 0( ) = 0, = 0,1, , 1.j
jN t N j m (24)
Покажем, что имеет место следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть семейство уравнений (1) удовлетворяет условиям предположе-
ний 2 4A A , и кроме того:
(1) Выполняется условие (1) теоремы 2.
(2) Для С.О.М. ( ( ))MV P X при всех ( ), ( ) nP A P B K существуют постоянные
> 0jL такие, что ( ) ( ) *| ( ( )) ( ( )) | ( ( ), ( )) ;j j
jMV P A MV P B L D P A P B
(3) ( ) (1) ( 1)( ( )) ( , ( ( )), ( ( )), , ( ( )))m mD MV P A G t MV P A MV P A MV P A при всех
( ) ,nP A K = 1, 2, , ;j m
(4) существуют функции 1a K -классу Хана и 2a KR -классу Хана такие, что
1 2( ( ( ( )), )) ( ( ( ))) ( ( ( ( )), ));a H P X t MV P X t a H P X t
(5) решение уравнения сравнения (23) удовлетворяет неравенству 0 00 < ( , , ) <MU t t N
3 0< ( ),a MV где 0 0= ( ( )),MV MV P X 3a K -классу Хана и 0 0( ( )),N MV P X
(1) ( 1)
0 0( ( )), , ( ( ))mMV P X MV P X при некоторых значениях 0 ( ).n
cX K R
Тогда семейство уравнений (1) 0( , )H H – устойчиво.
Доказательство. При выполнении условий (1) – (3) теоремы 3 имеет место оцен-
ка (22). Для заданных функций сравнения 1 2 3, ,a a a укажем величину так 1 1
2 3 1= a a a
и предположим, что 0( ( ( ), ) <H P X t . Из условия (4) следует: 0( ( ( )))MV P X t
1
0 2 0 3 1( ( ( ( )), ) < ( )( ).MV a H P X t a a Из условия (5) теоремы 3 и оценки (22) сле-
дует, что
1 0 0 1( ( ( ( )), )) ( ( ( ))) ( , , ) < ( ),Ma H P X t MV P X t U t t N a
т.е. ( ( ( )), ) <H P X t при всех 1t J J . Этим теорема 3 доказана.
Замечание 3. Условие (5) теоремы 3 эквивалентно требованию устойчивости нулевого
решения уравнения сравнения (23) при начальных условиях ( )
0 0( ( )) 0j
jN MV P X при
всех = 0,1, , 1.j m
Введем обозначения:
(1)
1 2( ( ( ))) ( ( ( ))); ( ( ( ))) ( ( ( ))), ,V P X t MV P X t V P X t D MV P X t
( 1), ( ( ( ))) ( ( ( ))).m
mV P X t D MV P X t
64
В результате получим вектор-функцию ( ( ( )))V P X t , компонентами которой явля-
ются С.О.М. и его высшие производные ( ) ( ( ( ))), = 0,1, ... , .jD MV P X t j m
Покажем, что имеет место следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть семейство уравнений (1) удовлетворяют условиям предположе-
ний 2 4A A и кроме того:
(1) вектор функция ( ( )) ( , )n mV P X C K R , где 1 <p m ;
(2) существуют функции сравнения 1a KR -классу и 2a K -классу такие,
что 1
=1
( ( ( ( )), )) ( ( ( )))
p
i
i
a D P X t V P X t и
=1 = 1
( ( ( ))) | ( ( ( ))) |
p m
i i
i i p
V P X t V P X t
2 ( ( ( ( )), )a D P X t , при всех ( ( )) ;nP X t K
(3) существует квазимонотонная неубывающая по функция ( ) : (G C R
, )m mR R такая, что ( ( ( ))) ( ( ( ( ))))D V P X t G V P X t при всех ( ( )) nP X t K .
Тогда из свойства устойчивости по p -переменным нулевого решения системы
сравнения
= ( )
du
G u
dt
, (25)
0 0( ) = 0u t u (26)
следует свойство 0( , )H H – устойчивости множества траекторий семейства уравне-
ний (1).
Доказательство. Пусть задано (0, )r и нулевое решение системы (25) устойчиво
по p -переменным. Тогда для заданной величины 2 ( ) > 0a найдется 1 1= ( ) > 0
такое, что из условия
0 0 1
=1 = 1
| |<
p m
i i
i i p
u u
следует оценка 0 0 2
=1
( , , ) < ( )
p
i
i
u t t u a при всех 0 ,t t
где 0 0( , , )iu t t u – любое решение задачи (25) – (26) для которой 0 0iu , и 1, 2, ,i p
и 0iu – произвольные для 1, ,i p m . Пусть 0 0( ( ))u V P X и пусть ( ) > 0
выбрано так, что 2 1( ) < .a Покажем, что если 0( ( ), ) <D P X , то ( ( ( )), ) <D P X t
< , при всех 0 ,t t где ( ( ))P X t – кортеж выпуклых тел для уравнений (1) при
некоторых 0( ) ( ).n
cP X K R
Если это не верно, то должен существовать кортеж выпуклых тел ( ( ))P X t при
некоторых начальных условиях 0( ( ), ) <D P X и 1 0>t t таких, что
1( ( ( )), ) =D P X t и ( ( ( )), ) <D P X t (27)
при 0 1.t t t
Из принципа сравнения следует, что
0 0( ( ( )) ( , , ),V P X t U t t u (28)
при всех 1t t t , где 0 0( , , )U t t u – максимальное решение системы сравнения (25).
Из условий (1) – (3) теоремы 4 и неравенств (27), (28) следует, что при выборе 0u
по формуле
0 0 0 1
=1 = 1
= ( ( )) | ( ( )) |<
p m
i i
i i p
u V P X V P X
получим
65
1 0 0 1
=1 =1
( ) ( ( ( )) ( , , ) < ( ).
p p
i i
i i
a V P X t r t t u a
Это противоречит существованию 1 0>t t для которого имеет место (27). Этим
теорема 4 доказана.
3.3. Анализ ограниченности. При анализе ограниченности множества траекто-
рий будем предполагать, что условие 1A может не выполняться, т.е. ( , , )F t X
при =X и при любых . При этом ограниченность множества траекторий
семейства уравнений (1) определим, учитывая результаты работ [15, 19].
Определение 8. Семейство уравнений (1) является
1( )B 0( , )H H – равномерно ограниченным, если для любого > 0 существует
функция = ( ) > 0 такая, что из условия 0 0( ( ( )), )H P X t следует оцен-
ка ( ( ( )), ) ( )H P X t при всех 0;t t
2( )B 0( , )H H – квази-равномерно предельно ограниченным, если существует
число > 0B такое, что для любого > 0 существует положительное число
= ( ) > 0T T такое, что из условия 0 0( ( ( )), )H P X t следует оценка
( ( ( )), ) <H P X t B при всех 0 .t t T
Определение 9. Смешанный объем 1( ( ( )), , ( ( )))nMV P X t P X t , ( ( , , ) = 0MV )
является радиально неограниченным, если существует функция 2 ( )a r KR -классу
Хана такая, что 1 2( ( ( )), , ( ( ))) ( ( ( ( ), ))nMV P X t P X t a H P X t при ( ( )) nP X t K .
Принцип сравнения (см. [4]) позволяют указать достаточные условия ограничен-
ности множества траекторий семейства уравнений (1) в таком виде.
Теорема 5. Пусть семейство уравнений (1) удовлетворяют условиям предположе-
ний 2 4A A и кроме того:
(1) С.О.М. ( ( ( )) ( , )nMV P X t C K R и *| ( ( )) ( ( )) | ( ( ), ( ))MV P X MV P Y LD P X P Y ,
> 0L при всех ( ) nP X K ;
(2) существуют функции сравнения 1a K -классу Хана и 2a KR -классу Хана
такие, что 1 2( ( ( ), ) ( ( )) ( ( ( ), )a D P X MV P X a D P X при всех ( ) nP X K ;
(3) на любом кортеже выпуклых тел ( ( ))P X t семейства уравнений (1) при любых
выполняется условие ( ( ( )) 0D MV P X t .
Тогда семейство уравнений (1) является 0( , )H H – равномерно ограниченным.
Доказательство. Пусть задана величина > 0 . Выберем ( ) > 0 так, что
2 1( ) < ( )a a , (29)
где из определения 1B . Предположим, что при этом существуют множество тра-
екторий ( )X t и значение 1 0>t t такие, что
1( ( ( )), ) = ( )D P X t и ( ( ( )), ) < ( )D P X t (30)
при 0 1<t t t . Из условия (3) теоремы 5 следует, что
0( ( ( ))) ( ( ))MV P X t MV P X при 0 1<t t t . (31)
Учитывая оценки (29) – (30) из неравенства (31) следует
1 1 1 1( ) = ( ( ( ( )), ) ( ( ( ));a a D P X t MV P X t
0 2 0 1) ( ( )) ( ( ( ), ) < ( ).MV P X a D P X a
66
Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение не верно.
Этим теорема 5 доказана.
Теорема 6. Пусть существует > 0B такое, что выполняются условия (1), (2) тео-
ремы 5 и выполняется условие
( ( ( ))) ( ( ( ))), > 0,D MV P X t MV P X t (32)
при ( ( )) nP X t K , для которых ( ( ( )), )D P X t B .
Тогда семейство уравнений (1) 0( , )H H – квази-равномерно предельно ограничено.
Доказательство. При выполнении условий теоремы 6 семейство уравнений (1)
0( , )H H – равномерно ограничено. Из оценки (32) следует, что
0 0 0( ( ( ))) ( ( ( )) exp[ ( )], .MV P X t MV P X t t t t t (33)
Пусть 2
1
( )1
= ln( )
( )
a
T
a B
и предположим, что при 0t t T имеет место неравенство
( ( ( )), ) .D P X t B (34)
Тогда из оценки (33) следует, что
1 1 2 1( ) = ( ( ( ( ), ) ( ( ( ))) < ( )exp[ ] = ( ).a B a D P X t MV P X t a T a B
Полученное противоречие доказывает теорему 6.
3.4. Практическая устойчивость по двум мерам. Практическая устойчивость
нелинейных систем с конечным числом степеней свободы исследована достаточно
полно для многих классов систем уравнений возмущенного движения (см.[11] и биб-
лиографию там). Некоторым развитием понятия практической устойчивости является
следующее определение динамического свойства множества траекторий.
Определение 10. Пусть меры 0 ,H H – множеству. Семейство уравнений (1)
является:
1( )PS практически устойчивым при заданных величинах 0 < < A если из усло-
вия 0 0( ( ), ) <H P X следует ( ( ( )), ) <H P X t A при всех 0t t , для некото-
рого 0t R ;
2( )PS равномерно практически устойчивым если условия определения 1( )PS вы-
полняются при любом 0t R .
Определение 11. Мера H равномерно непрерывна по мере 0H если сущест-
вует функция K -классу Хана такая, что 0 0( ( ( )), ) ( ( ( ), ))H P X t H P X как
только 0 0( ( ), ) <H P X .
Определение 12. Пусть заданы ( ( ( ))MV P X t и мера H . С.О.М. ( ( ( ))MV P X t
является:
(1) H – полу-определенно положительным , если для заданного > 0 существует
функция 1a KR -классу Хана, такая, что 1( ( ( ), )) ( ( ))a H P X MV P X как только
( ( ), ) < ;H P X
(2) H – убывающим, если для заданного > 0 существует функция 2a KR -
классу Хана такая, что 2( ( )) ( ( ( ), )),MV P X a H P X при всех ( ) nP X K .
Вместе со С.О.М. ( ( ))MV P X будем рассматривать высшие производные вдоль
множества траекторий семейства уравнений (1)
( ) ( 1)
1 1( ( ), , ( )) = { ( ( ), , ( ))}j j
n nD MV P A P A D D MV P A P A при всех j m .
67
Определение 13. Функция : m m
mW R R R является мажорирующей для выс-
ших производных С.О.М., если для ( ) nP A K выполняются оценки
(1)
1( ( ( ))) ( , ( ( ( )));D MV P X t W t MV P X t
(2)
2( ( ( ))) ( , ( ( ( )));D MV P X t W t MV P X t
(1) ( ( ( )));D MV P X t
( ) ( ( ( ))) ( , ( ( ( )));m
mD MV P X t W t MV P X t (35)
( 1) ( ( ( ))).mD MV P X t
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть семейство уравнений (1) удовлетворяют условиям предположе-
ний 2 4A A и кроме того:
(1) При любых кортежах ( ), ( ) nP A P B K существует m m постоянная матрица
W с элементами 0 ( , = 1, 2, , )ijw i j m такая, что выполняется оценка
( ( )) ( ( )) ( ( ), ( )),P A P B WD P A P B MV MV где ( ( ))P AMV – вектор с компо-
нентами ( ( ( )),MV P X (1) ( 1)( ( )), , ( ( )))mD MV P X D MV P X и ( ( ), ( ))D P A P B
– вектор метрик Хаусдорфа с компонентами 1 1( ( ( ), ( )), , ( ( ),mD P A P B D P A
( )));mP B
(2) выполняется неравенство ( ( ( ))) ( , ( ( ( ))),D P X t G t P X t MV MV где G
( , )m mC R R R неубывающая квази-монотонная функция;
(3) существует максимальное решение 0 0( ) = ( , , )MU t U t t U системы сравнения
0 0= ( , ); ( ) = 0,
dU
G t U U t U
dt
(36)
при всех 0t t .
Тогда на множестве траекторий ( )X t семейства уравнений (1) верна оценка
( ( ( ))) ( )MP X t U tMV , (37)
при всех t R как только 0 0( ( ))P X UMV .
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1.2. из моно-
графии [10].
Следствие. Если в условии (2) теоремы 7 вектор функция ( , ( ( ( )))G t P X t MV
( ( ( ))),W P X t MV где W m m – постоянная матрица с элементами 0ijw при всех
( ) [1, ],i j m тогда
0 0 0( ( ( ))) ( ( ))) exp[ ( )], .P X t P X W t t t t MV MV
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть семейство уравнений (1) удовлетворяет условиям предположе-
ний 2 4A A и, кроме того:
(1) заданы величины ( , ) : 0 < <A A ;
(2) мера H равномерно непрерывна по мере *
0H ;
68
(3) С.О.М. ( ( ))MV P X и его высшие производные ( ) ( ( ))kD MV P X , = 1,2, ,k m
удовлетворяют условиям (1), (2) теоремы 7;
(4) существуют функции сравнения 1 2, ( )a a K KR -классу Хана такие, что
1 2( ( ( ), )) ( ( ( ))) ( ( ( ), ))a H P X MV P X t a H P X при любых ( ( )) nP X t K .
(5) выполняются неравенства ( ) < A и 2 1( ) < ( )a a A .
Тогда из практической устойчивости состояния = 0U системы (36) относительно
величин 2 ( )a и 1( )a A определенного типа следует соответствующий тип практичес-
кой устойчивости семейства уравнений (1).
Доказательство. Пусть состояние = 0U системы (36) практически устойчиво
относительно величин 2 ( )a и 1( )a A , т.е. из условия 0 2< ( )Te U a следует, что
0 0 1( , , ) < ( )Te U t t U a A , при всех t R , где = (1, ,1)T me R . Покажем, что при вы-
полнении условий теоремы 8, семейство уравнений (1) практически устойчиво отно-
сительно мер 0H и H . Пусть это не так. Тогда найдется кортеж ( ( ))P X t и момент
1 0>t t такие, что из условия 0 0( ( ), ) <H P X следует 1( ( ( ), )) =H P X t A и
( ( ), ) <H P t A при 0 1< .t t t
Из условий (2), (5) теоремы 8 следует, что
0 0 0( ( ), ) ( ( ( ), )) < ( ) < .H P X H P X A
При выполнении условия (3) теоремы 8 получим оценку
0 0( ( ( ))) ( , , )MV P X t U t t U при всех 0 1<t t t ,
где 0 0= ( ( ))U P XMV .
Далее, из условия (4) следует, что
1 1 1 1( ) = ( ( ( ( )), )) ( ( ( ))a A a H P X t MV P X t
1 0 0 1 0 2 0 0( , , ) < ( , , ( ( ( ), )))T T Te U t t U e U t t e a H P X
1 0 2 1( , , ( )) < ( ).Te U t t ea a A
Полученное противоречие доказывает, что семейство уравнений (1) практически
устойчиво относительно мер 0( , ).H H Теорема 8 доказана.
Замечание 4. Критерии других типов практической устойчивости семейства урав-
нений (1) устанавливаются аналогично теореме 8 учитывая известные результаты, по-
лученные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
4. Заключительные замечания.
Общность прямого метода Ляпунова [3] исследования устойчивости движения
уравнений допускает использование широкого класса вспомогательных функций, об-
ладающих специальными свойствами 1 3P P или некоторой их модификацией. Неко-
торые успехи в развитии прямого метода Ляпунова изложены в много-авторной моно-
графии [12].
Предложенная в работах [4, 13] техника образования компактных выпуклых тел
для множества решений семейств уравнений позволяет адаптировать для целей
качественного анализа множества траекторий элементы теории С.О.М.
Идея применения в данной статье производных выше первого порядка для С.О.М.
восходит к некоторым результатам общей теории устойчивости движения (см. [6 – 8]
и библиографию там).
С.О.М., со свойствами 1 8P P , имеют некоторый потенциал для их применения
при исследовании множества траекторий семейства уравнений (1) или их частного
69
вида, например, семейства квази-линейных уравнений. Теоремы 2 – 8 демонстрируют,
в общем виде, способ применения С.О.М. в качественной теории множества траек-
торий семейства уравнений (1).
РЕЗЮМЕ. Для сімейства рівнянь з неточними значеннями параметрів наведено результати ди-
намічного аналізу множини траєкторій шляхом застосування змішаних об’ємів Мінковського для тіл,
що створюються множиною траєкторій при фіксованих значеннях параметру неточності.
1. Александров А.Ю., Платонов А.В. Метод сравнения и устойчивость движений нелинейных систем.
– СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2012. – 263 с.
2. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. – Л.: Наука, 1980. – 288 с.
3. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., Т.2. – М.: Изд-во АН СССР,
1956. – С. 7 – 264.
4. Мартынюк А.А. Принцип сравнения для семейства дифференциальных уравнений на основе сме-
шанных объемов Минковского // Дифференциальные уравнения. – 2017, 53 (12). – С. 1599 – 1606.
5. Conrad K. Zorn's lemma and some applications. Expository papers, 2016. – 28 p.
6. Gunderson R.W. A comparison lemma for higher order trajectory derivatives // Proc. Amer. Math. Soc.,
1971, 27 (3). – Р. 543 – 548.
7. Hahn W. Stability of Motion. – Berlin: Springer, 1995. – 446 p.
8. Lakshmikantham V., Matrosov V.M., Sivasundaram S. Vector Lyapunov Functions and Stability Analysis
of Nonlinear Systems. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. – 172 p.
9. Lakshmikantham V., Bhaskar G.T., Vasundhara Devi J. Theory of Set Differential Equations in Metric
Spaces. – Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2006. – 204 p.
10. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability Analysis of Nonlinear Systems. Second Edition.
– Berlin: Springer International Publishing AG Switzerland, 2015. – 332 p.
11. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Practical Stability of Nonlinear Systems. Singapore:
World Scientific, 1990. – 207 p.
12. Martynyuk A.A. (Ed.) Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century. – London: Taylor and
Francis, 2003. – 340 p.
13. Martynyuk A.A. On application of mixed Minkowski volumes in qualitative theory of set differential
equations // Global and Stochastic Analysis. – 2018. – 5, N 1. – P. 39 – 44.
14. Martynyuk A.A., Babenkо E.A. Robust Stabilization of Bilinear Systems Under Interval Initial Conditions
// Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 4. – Р. 454 – 463.
15. Martynyuk A.A., Martynyuk-Chernienko Yu.A. Uncertain Dynamical Systems. Stability and Motion
Control. – Boca Raton: CRC Press, Taylor and Francis Group, 2012. – 296 p.
16. Martynyuk A.A., Chernetskaya L.N., Martynyuk-Chernienko Yu.A. Stabilization of the Motion of Pseudo-
Linear Affine Systems // Int. Appl. Mech. – 2017, 53, N 3. – Р. 334 – 341.
17. Minkowski H. Theorie der konvexen Korpern, insbesonder der Begrundung ihres Oberflachenbegriffs.
// Gesammelte Abhandlungen, 2, Teubner 1911. – P. 131 – 229.
18. Steffens R.J. Mixed Volumes, Mixed Ehrhart Theory and Applications to Tropical Geometry and Lin-
kage Configurations // PhD Thesis, Goethe Universitat Frankfurt am Main, 2009. – 90 p.
19. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. – Tokyo: Publ. Math. Soc. Japan, 1966. –
223 p.
Поступила 30.03.2017 Утверждена в печать 30.01.2018
|