Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено
Предложена нечеткая модель некоторого процесса в виде быстро-медленной системы дифференциальных уравнений с параметрическими неточностями и управлением, для описания которой использован набор нечетких предикатных правил. Используя метод функций Ляпунова, предложен вид управления, который обеспечивае...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174198 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 83-94. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-174198 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1741982021-01-08T01:26:19Z Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено Хорошун, А.С. Предложена нечеткая модель некоторого процесса в виде быстро-медленной системы дифференциальных уравнений с параметрическими неточностями и управлением, для описания которой использован набор нечетких предикатных правил. Используя метод функций Ляпунова, предложен вид управления, который обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого состояния равновесия исходной системы и определена область в пространстве параметров, для всех значений параметров из которой такая устойчивость сохраняется, а также предложен вид управления, который обеспечивает требуемый вид устойчивости. Для неточних швидко-повільних систем типу Такагі – Сугено із нелінійними підсистемами побудовано керування, що забезпечує їх асимптотичну стійкість. Оцінено множину значень параметрів, для яких вказана властивість системи зберігається. For the fuzzy uncertain slow-fast systems of the Takagi – Sugeno type with nonlinear subsystems, the control is constructed which provides their asymptotic stability. The set of values of parameters is estimated for which such feature of these systems is preserved. 2018 Article Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 83-94. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174198 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложена нечеткая модель некоторого процесса в виде быстро-медленной системы дифференциальных уравнений с параметрическими неточностями и управлением, для описания которой использован набор нечетких предикатных правил. Используя метод функций Ляпунова, предложен вид управления, который обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого состояния равновесия исходной системы и определена область в пространстве параметров, для всех значений параметров из которой такая устойчивость сохраняется, а также предложен вид управления, который обеспечивает требуемый вид устойчивости. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, А.С. |
| spellingShingle |
Хорошун, А.С. Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено Прикладная механика |
| author_facet |
Хорошун, А.С. |
| author_sort |
Хорошун, А.С. |
| title |
Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено |
| title_short |
Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено |
| title_full |
Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено |
| title_fullStr |
Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено |
| title_full_unstemmed |
Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено |
| title_sort |
об управлении неточными быстро-медленными системами такаги – сугено |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174198 |
| citation_txt |
Об управлении неточными быстро-медленными системами Такаги – Сугено / А.С. Хорошун // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 83-94. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT horošunas obupravleniinetočnymibystromedlennymisistemamitakagisugeno |
| first_indexed |
2025-07-15T11:06:53Z |
| last_indexed |
2025-07-15T11:06:53Z |
| _version_ |
1837710829894500352 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54 № 4 83
А . С . Х о р о ш у н
ОБ УПРАВЛЕНИИ НЕТОЧНЫМИ БЫСТРО-МЕДЛЕННЫМИ
СИСТЕМАМИ ТАКАГИ – СУГЕНО
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев,Украина; e-mail:center@inmech.kiev.ua
Abstract. For the fuzzy uncertain slow-fast systems of the Takagi – Sugeno type with
nonlinear subsystems, the control is constructed which provides their asymptotic stability.
The set of values of parameters is estimated for which such feature of these systems is
preserved.
Key words: fuzzy logic, Takagi – Sugeno system, slow-fast dynamics, asymptotic
stability, uncertain parameter.
Введение.
Быстро-медленные системы дифференциальных уравнений являются адекватны-
ми моделями многих реальных процессов и объектов, как-то: гибкие механические
системы [14], управляемые DC-моторы [15, 21], цепи с туннельным диодом [12], си-
стемы управления, включающие перевернутый маятник [23, 26], системы управления
летательными аппаратами [25] и многие другие. Если судить объективно, явление
нескольких временных шкал практически неизбежно возникает в реальных системах.
Существует подход, основанный на постулате сингулярности [17, 18], который пред-
полагает, что все исследуемые объекты можно трактовать как объекты быстро-
медленного класса, что вместе с учетом параметрических неточностей позволит по-
лучать наиболее точные модели и, соответственно, наиболее точные результаты.
Исследованием быстро-медленных систем дифференциальных уравнений занима-
лись многие авторы и результаты, ими полученные, уже давно отнесены к классичес-
ким см. [2, 4, 6 – 9], что подтверждает важность и актуальность рассматриваемой те-
матики.
Одним из основных подходов к исследованию быстро-медленных систем диффе-
ренциальных уравнений является метод разделения движений, основанный на резуль-
татах Тихонова [9]. Он состоит в том, что рассматриваемая динамическая система,
содержащая процессы, происходящие в разных масштабах времени, представляется в
виде быстро-медленной системы дифференциальных уравнений. При этом параметр
при производных в части уравнений полученной системы дифференциальных уравне-
ний является конечным (возможно, достаточно малым) числом, определяющим отно-
шение скоростей «быстрого» и «медленного» движений. Приравнивая значение ука-
занного параметра к нулю, получаем т.н. «вырожденную» систему, состоящую из ал-
гебраических и дифференциальных уравнений. Выполнение некоторых условий обес-
печивает близость (с некоторой степенью точности [3]) решений исходной и «вырож-
денной» систем как на конечном [9], так и на бесконечном [5] интервале времени, т.е.
ее вырождение. Однако, в случае существенной нелинейности быстро-медленной си-
стемы дифференциальных уравнений проверка упомянутых условий может быть не-
простой задачей. Поэтому, актуальным является получение альтернативных условий
84
вырождения исходной динамической системы. Отметим, что информация о ее каче-
ственных свойствах (например, устойчивости) позволит получить некоторые выводы
о поведении решений на бесконечном интервале времени, гарантировать отсутствие
явления «срыва», т.е. указанная информация может служить определенной альтерна-
тивой общепринятым условиям вырождения. Таким образом, получение достаточных
условий асимптотической устойчивости быстро-медленной системы дифференциаль-
ных уравнений, исходя из ее общего вида и не разделяя ее на «вырожденную» и
«быструю» подсистемы, является важной и актуальной задачей.
Следует отметить также, что многие механические системы и производственные
процессы настолько сложны, что соответствующую математическую модель очень
сложно или вообще невозможно построить. Однако, многие из таких систем возмож-
но представить в виде некоторого «набора» математических моделей, каждая из кото-
рых описывает локальную динамику общей системы. Такой подход, предложенный
Такаги и Сугено [27], активно развивается и применяется в настоящее время [13, 28].
Нечеткие (fuzzy) модели, полученные с его помощью, позволяют более точно моде-
лировать процесс, учитывая его локальные составляющие, а не «усредненно» описы-
вать всю систему одной моделью, как это проводилось раньше. Подчеркнем, что по-
строение управления, способного гарантировать требуемую динамическую характе-
ристику образованной модели, в частности, устойчивость, а также получение доста-
точных ее, устойчивости, условий, являются важными и актуальными задачами, а в
случаях, когда системы управления связаны с безопасностью людей, т.е. сложными
производственными процессами, подверженными потере устойчивости, и вовсе рас-
цениваются как критически важные.
Классическая теория систем Такаги – Сугено, как известно, рассматривает нели-
нейные системы, которые аппроксимируются набором локальных линейных систем,
связанных между собой правилами «если-то». Причем, класс аппроксимируемых не-
линейных систем достаточно широк и линейность локальных подсистем позволяет
применить для их исследования детально разработанные классические методы, в
частности, метод LMI (Linear Matrix Inequality).
Однако, если исходная система существенно нелинейна, то количество правил в
модели и, следовательно, размерность LMI существенно возрастает, что затрудняет
применимость этого метода. Именно поэтому, в последние годы активное развитие
получила теория систем Такаги – Сугено, где локальные подсистемы предполагаются
нелинейными. Это позволяет уменьшить количество правил в модели, а также повы-
сить ее аккуратность, т.е. адекватность исходной исследуемой системе. Укажем лишь
на несколько публикаций в этом направлении.
В работе [22] рассмотрены системы типа Такаги – Сугено с нелинейными подси-
стемами, которые имеют вид линейного слагаемого плюс синусоидальный член. По-
казано, что достаточно широкий класс реальных задач, которые моделируются нели-
нейными системами, может быть аппроксимирован с помощью указанных подсистем.
В этой работе также проводится сравнение используемых моделей с классическими
моделями Такаги – Сугено. Показана большая точность аппроксимации с помощью
первых.
В работе [29] авторы предполагают использовать для аппроксимации нелинейных
систем системы типа Такаги – Сугено с полиномиальными нелинейными подсисте-
мами. Также впервые предложен т.н. SOS (sum of squares) подход для исследования
устойчивости. Указанный подход реализован в программной среде MATLAB, что
позволяет его также легко использовать, как и LMI-toolbox. Отметим, что классиче-
ские модели Такаги – Сугено и используемые для исследования их устойчивости
квадратические функции Ляпунова являются частным случаем предложенной модели
и используемых в SOS подходе вспомогательных функций, соответственно. Также
подчеркнем, что в работе показано, что количество правил в полученной с помощью
предложенного подхода модели меньше, а условия устойчивости – менее строгие по
85
сравнению с классическими моделями Такаги – Сугено и условиями, полученными с
помощью используемых для их исследования аппаратом.
В работе [24] полиномиальные подсистемы предлагается получать в виде разло-
жения в ряд Тейлора исходной нелинейной функции. Показано, что полученная таким
способом система, аппроксимирующая исходную, дает асимптотически точные ре-
зультаты на некотором компакте.
Данная работа является продолжением работ [10, 16] и посвящена построению
нечеткого управления для неточных быстро-медленных систем типа Такаги – Сугено
с нелинейными подсистемами, которое гарантирует асимптотическую устойчивость
нулевого состояния равновесия таких систем.
1. Постановка задачи.
Рассмотрим нечеткую модель некоторого процесса в виде быстро-медленной
системы дифференциальных уравнений, для описания которой использован набор
нечетких предикатных правил в следующем виде:
1 1
( , , ),
: если ( ) и ... и ( ) , то 1, ,
( , , ),
i
i i s is
i
x f x y p
R z t M z t M i r
y g x y p
(1)
где igM – нечеткие множества, определенные функциями принадлежности : [0, 1]igM R
( = 1, ,i r = 1, ),g s ( ) nx t R , ( ) my t R – переменные, определяющие состояние си-
стемы (1) в момент времени t R ; ( , , ) ,n
if x y p R ( , , ) m
ig x y p R – векторные
функции, которые предполагаются непрерывно дифференцируемыми по переменным
x и y и непрерывно зависящими от векторного параметра lp R ; (0,1] – малый
параметр; 1( ), , ( )sz t z t – некоторые системные переменные.
Относительно функций ( , , ),if x y p ( , , )ig x y p сделаем следующее предположение.
Предположение 1. Функции ( , , ),if x y p ( , , )ig x y p таковы, что (0,0, ) = 0if p и
(0,0, ) = 0ig p при всех = 1, .i r
Учитывая сделанное предположение и используя формулу конечных прира-
щений Лагранжа для функций ( , , ),if x y p ( , , ),ig x y p = 1, ,i r системы (1) приведем к
виду
11 12
21 22
= ( , , ) ( , , ) ;
( = 1, ),
= ( , , ) ( , , )
i i
i i i i
i i
i i i i
x A x y p x A x y p y
i r
y A x y p x A x y p y
(2)
где
11 12
= =
= =
( , , ) ( , , )
( , , ) = ; ( , , ) = ;i ii i
i i i i
x x x xi i
y y y yi i
f x y p f x y p
A x y p A x y p
x y
21 22
= =
= =
( , , ) ( , , )
( , , ) = ; ( , , ) = ( = 1, );i ii i
i i i i
x x x xi i
y y y yi i
g x y p g x y p
A x y p A x y p i r
x y
n
ix R , m
iy R , n
ix R , m
iy R – некоторые точки соответствующих пространств.
Далее, для простоты, будем использовать 11( , , )i
i iA x y p , 12 ( , , )i
i iA x y p , 21( , , )i
i iA x y p ,
22 ( , , )i
i iA x y p , учитывая, что x и y , в общем случае, разные и не произвольные в этих
обозначениях.
О системе (2) сделаем следующее предположение:
86
Предположение 2. Уравнения (2) таковы, что:
(1) при некотором значении параметра *=p p среди матриц *
22 (0,0, )iA p ,
= 1,i r , имеется, по крайней мере, одна неустойчивая;
(2) существуют такие положительные числа i , i , i , <i , = 1,i r , что
выполняются следующие оценки:
* *
11 11 12 12( , , ) (0,0, ) ; ( , , ) (0,0, ) ;i i i i
i iA x y p A p A x y p A p
* *
21 21 22 22( , , ) (0,0, ) ; ( , , ) (0,0, ) ,i i i i
i iA x y p A p A x y p A p
для всех = 1,i r , nx R , my R , lp P R .
Отметим, что здесь и далее по тексту используется спектральная норма для мат-
риц и Евклидова норма для векторов.
Если, используя центроидный метод, привести модель в виде систем дифферен-
циальных уравнений (2), к «четкости», то, очевидно, полученная система дифферен-
циальных уравнений, которая описывает поведение исходной модели, имеет непо-
движное состояние равновесия = 0x , = 0y при всех значениях параметра p . При-
менить для исследования его устойчивости технику, предложенную в работах [10, 16],
не удастся, так как среди матриц *
22 (0,0, )iA p , = 1,i r , есть, по крайней мере, одна
неустойчивая и построить все элементы функции Ляпунова, разрешающей вопрос об
устойчивости этой системы дифференциальных уравнений, не представляется воз-
можным.
Для преодоления возникших трудностей введем в системы дифференциальных
уравнений (2) управление ku R таким образом, что набор нечетких предикатных
правил для описания исходной нечеткой модели имеет следующий вид:
1 1: если ( ) и ... и ( ) ,i i s isR z t M z t M
11 12 1
21 22 2
= ( , , ) ( , , ) ( ) ;
то = 1, ,
= ( , , ) ( , , ) ( ) ;
i i i
i i i i
i i i
i i i i
x A x y p x A x y p y B p u
i r
y A x y p x A x y p y B p u
(3)
где 1 ( )i n kB p R , 2 ( )i m kB p R ( = 1, ),i r имеют элементы, непрерывно зависящие от
векторного параметра p .
После приведения нечеткой модели к четкости центроидным методом, получаем
уравнения полной динамики нечеткой модели в виде нелинейной системы дифферен-
циальных уравнений
11 12 1
=1
21 22 2
=1
= ( )[ ( , , ) ( , , ) ( ) ];
= ( )[ ( , , ) ( , , ) ( ) ],
r
i i i
i
i
r
i i i
i
i
x z A x y p x A x y p y B p u
y z A x y p x A x y p y B p u
(4)
где
=1
( ( ))
( ) =
( ( ))
i
i r
i
i
z t
z
z t
,
=1
( ( )) = ( ( ))
s
igi g
g
z t M z t . Очевидно, что
=1
( ) = 1
r
i
i
z и ( ) 0i z ,
= 1,i r .
Пусть для описания управления использован набор нечетких предикатных правил
1 1 1 2: если ( ) и ... и ( ) , то = ( = 1, ),i i
i i s isR z t M z t M u K x K y i r (5)
где 1
i k nK R , 2
i k mK R – некоторые постоянные матрицы. Тогда система (4) с уче-
том (5) будет иметь вид
87
11 1 1 12 1 2
, =1
21 2 1 22 2 2
, =1
= ( ) ( )[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) ) ];
= ( ) ( )[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) ) ].
r
i i j i i j
i j
i j
r
i i j i i j
i j
i j
x z z A x y p B p K x A x y p B p K y
y z z A x y p B p K x A x y p B p K y
(6)
Предполагаем, что для системы дифференциальных уравнений (6) справедлива
теорема о существовании и единственности решения начальной задачи.
В данной работе, используя метод функций Ляпунова, установим достаточные
условия асимптотической устойчивости нулевого состояния равновесия системы
дифференциальных уравнений (6), которая будет иметь место при любых значениях
( )i z и всех значениях параметра p из некоторой области lP R , а также при всех
значениях малого параметра (0,1] . Также будет предложен способ выбора матриц
1
iK , 2
iK , = 1,i r , таких, чтобы управление 1 2= i iu K x K y ( = 1, )i r обеспечивало ис-
комый вид устойчивости.
2. Основной результат.
Пусть выполняются условия Предположений 1,2 и для описания поведения ис-
ходной нечеткой модели используется система дифференциальных уравнений (6).
Рассмотрим системы неравенств
* * * *
max 11 1 1 1 1 11 1 1( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) ) < 0 ( = 1, )i i i T i i iA p B p K P P A p B p K i r (7)
и
* * * *
max 22 2 2 2 2 22 2 2( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) ) < 0, ( = 1, ),i i i T i i iA p B p K P P A p B p K i r (8)
где max ( ) – максимальное собственное значение соответствующей матрицы;
1
n nP R , 2
m mP R – симметрические положительно определенные матрицы. По-
строим скалярную функцию следующего вида:
1 2( , , ) = T TV x y x P x y P y (9)
и определим ее производную по времени в силу системы (6).
(3) 1 1 2 2( , , ) | = =T T T TV x y x P x x P x y P y y P y
11 1 1 12 1 2 1
, =1
= ( ) ( )[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) ) ]
T
r
i i j i i j
i j
i j
z z A x y p B p K x A x y p B p K y P x
1 11 1 1 12 1 2
, =1
( ) ( )[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) ) ]
r
T i i j i i j
i j
i j
x P z z A x y p B p K x A x y p B p K y
21 2 1 22 2 2 2
, =1
( ) ( )[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) ) ]
T
r
i i j i i j
i j
i j
z z A x y p B p K x A x y p B p K y P y
2 21 2 1 22 2 2
, =1
( ) ( )[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) ) ] =
r
T i i j i i j
i j
i j
y P z z A x y p B p K x A x y p B p K y
11 1 1 1 1 11 1 1
, =1
= ( ) ( )[ [( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) )]
r
T i i j T i i j
i j
i j
z z x A x y p B p K P P A x y p B p K x
1 12 1 1 2 21 2 1 2 2[ ( , , ) ( ) ( ( , , )) ( ) ( ( )) ]T i i j i T j T i Tx P A x y p PB p K A x y p P K B p P y
88
1 12 1 1 2 21 2 1 2 2[ ( , , ) ( ) ( ( , , )) ( ) ( ( )) ]T i i j i T j T i T Ty P A x y p PB p K A x y p P K B p P x
22 2 2 2 2 22 2 2[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) )] ] =T i i j T i i jy A x y p B p K P P A x y p B p K y (10)
, =1 , =1
1
= ( ) ( ) ( , , ) = ( ) ( )( ( , , ) ( , , )).
2
r r
i j ij i j ij ji
i j i j
z z M x y p z z M x y p M x y p
Учитывая оценки
11 1 1 1 1 11 1 1[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) )T i i j T i i jx A x y p B p K P P A x y p B p K
11 1 1 1 1 11 1 1( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) )]j j i T j j iA x y p B p K P P A x y p B p K x
* * * *
max 11 1 1 1 1 11 1 1[( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) )i i j T i i jA p B p K P P A p B p K
* * * *
11 1 1 1 1 11 1 1( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) )]j j i T j j iA p B p K P P A p B p K
* *
1 11 11 1 1 1 12 ( , , ) (0,0, ) 2 ( ) ( )i i j i iP A x y p A p P K B p B p
2* *
1 11 11 1 1 1 12 ( , , ) (0,0, ) 2 ( ) ( ) ;j j i j jP A x y p A p P K B p B p x
22 2 2 2 2 22 2 2[( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) )T i i j T i i jy A x y p B p K P P A x y p B p K
22 2 2 2 2 22 2 2( ( , , ) ( ) ) ( ( , , ) ( ) )]j j i T j j iA x y p B p K P P A x y p B p K y
* * * *
max 22 2 2 2 2 22 2 2[( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) )i i j T i i jA p B p K P P A p B p K
* * * *
22 2 2 2 2 22 2 2( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) )]j j i T j j iA p B p K P P A p B p K
* *
2 22 22 2 2 2 22 ( , , ) (0,0, ) 2 ( ) ( )i i j i iP A x y p A p P K B p B p
2* *
2 22 22 2 2 2 22 ( , , ) (0,0, ) 2 ( ) ( ) ;j j i j jP A x y p A p P K B p B p y
1 12 1 1 2 21 2 1 2 2[ ( , , ) ( ) ( ( , , )) ( ) ( ( ))T i i j i T j T i Tx P A x y p P B p K A x y p P K B p P
1 12 1 1 2 21 2 1 2 2( , , ) ( ) ( ( , , )) ( ) ( ( )) ]j j i j T i T j TP A x y p PB p K A x y p P K B p P y
* * * *
1 12 1 1 2 21 2 1 2 2(0,0, ) ( ) ( (0,0, )) ( ) ( ( ))i i j i T j T i TP A p PB p K A p P K B p P
* * * *
1 12 1 1 2 21 2 1 2 2(0,0, ) ( ) ( (0,0, )) ( ) ( ( ))j j i j T i T j TP A p P B p K A p P K B p P
* *
1 12 12 1 2 1 1( , , ) (0,0, ) ( ) ( )i i j i iP A x y p A p P K B p B p
* *
1 12 12 1 2 1 1( , , ) (0,0, ) ( ) ( )j j i j jP A x y p A p P K B p B p
* *
2 21 21 2 1 2 2( , , ) (0,0, ) ( ) ( )i i j i iP A x y p A p P K B p B p
89
* *
2 21 21 2 1 2 2( , , ) (0,0, ) ( ) ( ) ,j j i j jP A x y p A p P K B p B p x y
где min ( ) , max ( ) – минимальное и максимальное собственные значения соответ-
ствующих матриц и условие (2) из Предположения 2, следуя (10) получим
(6) 1 1 1 1
, =1
( , ) | ( ) ( ) ( , , , , , , , , , , , ) .
r
T
i j r r r r
i j
V x y z z u D p u (11)
В (11) приняты обозначения:
1 1 1 1( , , , , , , , , , , , , ) =r r r rD p
1 1 1
1 1 1
( , , , ) ( , , , , , , )
=
( , , , , , , ) ( , , , )
r r r
r r r
L p M p
M p N p
– блочная матрица с симметричными блоками размерностями r r ;
1 , =1( , , , ) = ( )r
r ij i jL p L ; 1 1 , =1( , , , , , , ) = ( )r
r r ij i jM p M ;
1 , =1( , , , ) = ( )r
r ij i jN p N ; = ( , )Tu x y ;
* * * *
max 11 1 1 1 1 11 1 1
1
= [( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) )
2
i i j T i i j
ijL A p B p K P P A p B p K
* * * *
11 1 1 1 1 11 1 1( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) )]j j i T j j iA p B p K P P A p B p K
* *
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )j i i i j j
i jP P K B p B p P P K B p B p ;
* * * *
max 22 2 2 2 2 22 2 2
1
= [( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) )
2
i i j T i i j
ijN A p B p K P P A p B p K
* * * *
22 2 2 2 2 22 2 2( (0,0, ) ( ) ) ( (0,0, ) ( ) )]j j i T j j iA p B p K P P A p B p K
* *
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )j i i i j j
i jP P K B p B p P P K B p B p ;
* * * *
1 12 1 1 2 21 2 1 2 2
1
= (0,0, ) ( ) ( (0,0, )) ( ) ( ( ))
2
i i j i T j T i T
ijM P A p PB p K A p P K B p P
* * * *
1 12 1 1 2 21 2 1 2 2(0,0, ) ( ) ( (0,0, )) ( ) ( ( ))j j i j T i T j TP A p P B p K A p P K B p P
* *
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )j i i i j j
i jP P K B p B p P P K B p B p
* *
2 2 1 2 2 2 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )j i i i j j
i jP P K B p B p P P K B p B p .
Оценку (11) можно представить в следующем виде:
(6) 1 1 1 1( , ) | ( , , , , , , , , , , , , ) ,T
r r r rV x y u D p u (12)
где
1 1 1 1( , , , , , , , , , , , , ) =r r r rD p
1 1 1
1 1 1
( , , , ) ( , , , , , , )
= ,
( , , , , , , ) ( , , , )
T T
r r r
T T
r r r
L p M p
M p N p
(13)
1= ( ( ), , ( ))T
rz z .
90
Сформулируем и докажем теорему, о достаточных условиях асимптотической
устойчивости нулевого состояния равновесия нелинейной системы дифференциаль-
ных уравнений (6) относительно некоторой области в пространстве параметров.
Теорема. Пусть для системы дифференциальных уравнений (6) справедливы усло-
вия Предположений1, 2, существуют матрицы 1
iK , 2
iK , = 1,i r , такие, что системы
неравенств (7) и (8) совместны на множестве симметрических положительно опре-
деленных матриц 1P и 2P , соответственно, и для величин i , i , i , i , = 1,i r и
всех значений параметра p P P выполняются условия:
max 1( ( , , , )) < 0,rL p (14)
max 1 max 1
2 2
min 1 1 max 1 1
( ( , , , )) ( ( , , , ))
max ( ( , , , , , , )), ( ( , , , , , , )) > 0.
r r
r r r r
L p N p
M p M p
(15)
Тогда состояние равновесия = 0x , = 0y системы (6) асимптотически устойчи-
во для всех p P и всех (0,1] .
Доказательство. Выберем величины i , i , i , i , = 1,i r , так, чтобы выпол-
нялись соотношения (14), (15), произвольное p из области P P и рассмотрим си-
стему дифференциальных уравнений (6) при этом значении параметра. Построим ска-
лярную функцию (9), используя симметрические положительно определенные матри-
цы 1P и 2P , которые являются решениями систем неравенств (7) и (8), соответствен-
но. Очевидно, что рассматриваемая скалярная функция положительна для всех значе-
ний nx R , my R , кроме нулевых и (0,1] . Для производной функции (9) по вре-
мени в силу системы (6) имеет место оценка (12). Рассмотрим матрицу (13). Это сим-
метрическая ( 2 2 )-матрица, для элементов которой имеют место следующие оценки:
2 2
min 1 1 max 1( ( , , , )) ( ( , , , )) ( ( , , , )) ;T
r r rL p L p L p
2
min 1 1 1 1( ( , , , , , , )) ( ( , , , , , , ))T
r r r rM p M p
2
max 1 1( ( , , , , , , )) ;r rM p
2 2
min 1 1 max 1( ( , , , )) ( ( , , , )) ( ( , , , ))T
r r rN p N p N p .
Очевидно, что при выполнении неравенств (14), (15) матрица (13) отрицательно опре-
делена для всех значений rR и p P P , т. е. производная по времени скаляр-
ной функции (9) в силу системы (6) отрицательна для всех значений nx R , my R ,
кроме нулевых и всех (0,1] . Следовательно, функция (9) является функцией Ля-
пунова, позволяющей, в силу теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости,
см. [1], установить асимптотическую устойчивость нулевого состояния равновесия
системы (6). Так как p произвольная точка из области P , то указанный тип устойчи-
вости имеет место для всех значений параметра p из области P .
Теорема доказана.
Замечание 1. Исходя из соотношений (7) и (8), матрицы 1
iK и 2
iK ( = 1, )i r , нуж-
но выбирать таким образом, чтобы матрицы * *
11 1 1(0,0, ) ( )i i iA p B p K и *
22 (0,0, )iA p
*
2 2( )i iB p K ( = 1, )i r , были устойчивыми (Гурвицевыми). Это позволит решая алгеб-
раическое уравнение Ляпунова получить матрицы 1P и 2P , для которых соотношения
(7) и (8) верны.
91
Замечание 2. Если наложить на управление и коррелирующие матрицы 1 ( )iB p ,
2 ( )iB p ( = 1, )i r , дополнительные условия в виде * *
1 2rank( ( )) = rank( ( )) =i iB p B p k
( = 1, )i r , min{ , }k m n , то матрицы 1
iK , 2
iK ( = 1, )i r , учитывая Замечание 1, можно
получить аналитически
* * 1 * *
1 1 1 1 1 11= (( ( )) ( )) ( ( )) ( (0,0, ));i i T i i T i iK B p B p B p M A p
* * 1 * *
2 2 2 2 2 22= (( ( )) ( )) ( ( )) ( (0,0, )),i i T i i T i iK B p B p B p M A p
где 1
i n nM R и 2
i m mM R (для всех = 1,i r ) произвольные устойчивые матрицы.
Следует отметить, что * * *
1 1 1rank(( ( )) ( )) = rank( ( )) =i T i iB p B p B p k ( = 1, )i r . Поскольку
* *
1 1( ( )) ( )i T i k kB p B p R , то * *
1 1( ( )) ( )i T iB p B p невырождена для всех = 1,i r . Аналогич-
но можно показать и невырожденность матриц * *
2 2( ( )) ( )i T iB p B p для всех = 1,i r .
3. Пример.
В качестве примера применения предложенной методики рассмотрим стабилиза-
цию нулевого состояния равновесия нечеткой модели, для описания которой исполь-
зован следующий набор нечетких предикатных правил:
1
1 1
1 1 1 1
1 2
= ( , , ) ( ) ,
если ( ), то
= ( , , ) ( ) ;
x f x y p B p u
x M x
y g x y p B p u
2
2 1
1 2 1 2
2 2
= ( , , ) ( ) ,
если ( ), то
= ( , , ) ( ) .
x f x y p B p u
x M x
y g x y p B p u
Здесь введены следующие обозначения:
2
1 2= ( )Tx x x R ; 1y R ; 1p R ; 2u R ; 2( , , )if x y p R ; 1( , , )ig x y p R ( = 1, 2)i ;
1
1
1 0
( ) = ;
0 1
p
B p
1 5
2 ( ) = (1 0,3 )B p p ; 2
1
0,3cos 0,1
( ) = ;
0,3 0,6
p
B p
2 3
2 ( ) = ( 0,5(1 ) 1,9)B p p .
Функции ( , , )if x y p и ( , , )ig x y p таковы, что для них справедливо условие Пред-
положения 1,
1 *
11
1 0
(0,0, ) = ;
0 1
A p
1 *
12
2
(0,0, ) = ;
1,5
A p
1 *
21(0,0, ) = 1 2 ;A p
1 *
22 (0,0, ) = 1, 2 ;A p 2 *
11
3,1 0
(0,0, ) = ;
0 4,3
A p
2 *
12
1
(0,0, ) = ;
0
A p
2 *
21(0,0, ) = 2 0,5 ;A p 2 *
22 (0,0, ) = 1 ,A p
где * = 0p и существуют такие положительные числа i , i , i , <i , = 1,2i ,
что выполняются соотношения из п. 2 Предположения 2. Кроме того, видим, что
2 *
22 (0,0, )A p неустойчива, т.е. выполнено условие из п. 1 Предположения 2. Таким
образом, все условия Предположений 1 и 2 выполнены.
92
Введем управление согласно следующих правил:
1 1
1 1 1 1 2если ( ), то = ;x M x u K x K y
2 2
1 2 1 1 2если ( ), то = ,x M x u K x K y
где 1
1
4 1
= ,
1 4
K
1
2
2
= ,
1,2
K
2
1
2,7 1
= ,
1 0, 4
K
2
2
0,7
= .
1,9
K
Отметим, что
матрицы j
iK , , = 1,2i j , выбраны согласно Замечанию 1. Из систем неравенств (7) и
(8), определим матрицы 1
0,5 0
= ,
0 0,5
P
2 = 0,1 .P Образовав элементы матриц, убе-
димся, что неравенства (14), (15) выполняются для 1 2 1 2 1 2= = = = =
1 2= = = 0,1 и всех = { | | | 0,12}p P p R p , т.е. согласно теоремы, нулевое со-
стояние равновесия системы, описывающей полную динамику исходной нечеткой
модели, асимптотически устойчиво для всех p P и всех (0,1] .
Таким образом, указан класс функций, определяемый оценками на производные
этих функций, нечеткое управление, асимптотически стабилизирующее для всех
(0,1] нулевое состояние равновесия системы дифференциальных уравнений, ко-
торая описывает динамику исходной нечеткой модели, а также область =P
{ | | | 0,12}p R p такой стабилизации.
Выбрав
1 1
1
2
0,05sin 0,95 2
( , , ) = ;
(1,5 0,75 )
x x y
f x y p
x p y
2
1
2 2
2
3,1 0,9 0,1ln( 1)
( , , ) = ;
( 4,3 0,1 )sin
x y y y
f x y p
p x
2
1 1 2( , , ) = (2 0,1sin ) (1,1 0,1 ) ;cosg x y p x p x p y
2
2 1 2( , , ) = (0,1 2,1) 0,5 1,9 0,1arctan ,pg x y p e x x y y
убедимся, что указанные функции удовлетворяют сделанным предположениям.
Поведение решений системы дифференциальных уравнений, полученной после
приведения к четкости исходной нечеткой модели при 1
1
| |
= 1
3
x
M , 1
2
| |
=
3
x
M ,
= 0,1p , = 0,6 , 0 = (2 4)Tx , 0 = 3y показано на рис. 1 – 3.
Рис. 2
Рис. 1
93
Поведение решений этой же системы дифференциальных уравнений при тех же
значениях параметров и начальных значениях переменных, но без управления, пока-
зано на рис. 4 – 6.
Заключение.
Предложена нечеткая модель некоторого процесса в виде быстро-медленной си-
стемы дифференциальных уравнений с параметрическими неточностями и управле-
нием, для описания которой использован набор нечетких предикатных правил. Ис-
пользуя метод функций Ляпунова, предложен вид управления, который обеспечивает
асимптотическую устойчивость нулевого состояния равновесия исходной системы и
определена область в пространстве параметров, для всех значений параметров из ко-
торой такая устойчивость сохраняется, а также предложен вид управления, который
обеспечивает требуемый вид устойчивости.
Отметим, что предложенный подход не требует разделения движений на «быст-
рые» и «медленные», что, исходя из общего вида функций в исходной системе, пред-
ставляет значительные трудности. Также отметим, что полученные результаты не за-
висят от выбора функций принадлежности нечетких множеств.
Интересным представляется применение данного подхода к задачам [11], [19, 20].
Р Е З Ю М Е . Для неточних швидко-повільних систем типу Такагі – Сугено із нелінійними
підсистемами побудовано керування, що забезпечує їх асимптотичну стійкість. Оцінено множину
значень параметрів, для яких вказана властивість системи зберігається.
1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости – М.: Наука, 1967. – 223 с.
2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных
уравнений. – М.: Наука, 1973. – 272 с.
3. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем.
– М: Наука, 1975. – 296 с.
Рис. 3
Рис. 5
Рис. 4
Рис. 6
94
4. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при
структурных и сингулярных возмущениях. – К: Наук. думка, 1984. – 308 с.
5. Красовский Н.Н., Климушев А.И. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференци-
альных уравнений с малым параметром при производных // ПММ. – 1961. – 25, № 4. – С. 680 – 690.
6. Мищенко Е.Ф., Розов Н.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные
колебания. – М.: Наука, 1975. – 247 с.
7. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с
малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1957. – 21, № 5.
– С. 605 – 626.
8. Самойленко А.М., Свищук М.Я. О расщеплении системы дифференциальных уравнений с медленно
меняющейся фазой в окрестности асимптотически устойчивого инвариантного тора // Укр. ма-
тем. журнал. – 1985. – 37, № 6. – С.751 – 756.
9. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при произ-
водных. – Матем. сборник. – 1952. – 31, № 3. – С. 576—586.
10. Хорошун А.С. Об устойчивости неточных сингулярно возмущенных систем Такаги – Сугено.
Случай устойчивых подсистем // Докл. НАН Украины. – 2014. – № 4. – С.64 – 69.
11. Antonyuk E.Ya., Zabuga A.T. Motion оf аn Articulated Vehicle with Two-Dimensional Sections Sub-
ject to Lateral Obstacles // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 4. – P. 404 – 412.
12. Assawinchaichote W., Nguang S.K., Shi P. H output feedback control design for uncertain fuzzy singu-
larly perturbed systems an LMI approach. // Automatica. – 2004. – 40. – P. 2147 – 2152.
13. Assawinchaichote W. An LMI approach of robust H fuzzy state-feedback controller design for
HIV/AIDS infection system with dual drag dosages // World Academy of Science, Engineering and
Technology International Journal of Electrical and Computer Engineering. – 2012. – 6, № 5. – P. 1054
– 1059.
14. Book W.J. Modeling, design and control of flexible manipulator arms: a tutorial review // Proc. of the
IEEE Decision and Control. – December 1990. – P. 500 – 506.
15. Kanellacopoulos I., Kokotovic P.V., Marino R. An extended direct scheme for robust adaptive nonlinear
control // Automatica. –1991. – 27. – P. 247 – 255.
16. Khoroshun A.S., Martynyuk A.A. On stability theory of the uncertain singularly perturbed Takagi-Sugeno
systems. The case of unstable subsystems // Differential Equations and Dynamical Systems. – 2015.
– 23, N 4. – P. 423 – 431.
17. Kuzmina L.K. General modeling problems in mechanics // SAMS. – 1997. – 27. – P. 105 – 118.
18. Kuzmina L.K. Asymptotic approach to the general problem of modelling // Proc. IEEE-SMC. – 1998. –№ 4.
– P. 3189 – 3193.
19. Larin V.B. Correcting the Parameters of Undamped Mechanical Systems // Int. Appl. Mech. – 2017.
– 53, N 1. – P. 111 – 115.
20. Legeza V.P. Effectiveness of a Roller Damper in Suppressing Conductor Galloping // Int. Appl.
Mech. – 2016. – 52, N 4. – P. 422 – 431.
21. Mehta S., Chiasson J. Nonlinear control of a series DC-motor: Theory and experiment // IEEE Trans.
Ind. Electron. – 1998. – 45. – P. 134 – 141.
22. Rajesh R., Kaimal M.R. T-S fuzzy modelwith nonlinear consequence and PDC controller for a class of
nonlinear control systems // Applied Soft Computing. – 2007. – N 7. – P. 772 – 782.
23. Rao S., Brandstadter H., Buss M., Utkin V. Sliding mode control in mechanical systems with electric actuators
// Proc. of international workshop on variable structure systems, Vilanova i la Geltru, Spain, 2004.
24. Sala A., Arino C. Polynomial fuzzy models for nonlinear control: a Taylor series approach // IEEE
Transactions on Fuzzy Systems. – 2009. – 17, N 6. – P. 1284 – 1295.
25. Siddarth A., Valasek J. Global tracking control structures for nonlinear perturbed aircraft systems // Proc.
of the CEAS EuroGNC, April 2011. – P. 1 – 12.
26. Srinivasan B., Huguenin P., Bonvin D. Global stabilization of an inverted pendulum – control strategy
and experimental verification // Automatica. – 2009. – 45, № 1. – P. 265 – 269.
27. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its application to modeling and controll
// IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. – 1985. – 15, № 1. – P. 116 – 132.
28. Tanaka K., Wang H.O. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach.
– New York: John Wiley and Sons, 2001. – 305 p.
29. Tanaka K., Yoshida H., Ohtake H., Wang H.O. A sum-of-squares approach to moreling and control of
nonlinear dynamical systems with polynomial fuzzy systems // IEEE Transactions on Fuzzy Systems.
– 2009.– 17, N 4. – P. 911 – 922.
Поступила 29.05.2017 Утверждена в печать 30.01.2018
|