Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде

Основная цель исследования – моделирование годографа вектора кинетического момента при различных значениях параметров возмущающих моментов для определения соотношения этих параметров в случае оптимального торможения вращения квазитвердого тела относительно центра масс. Для реализации поставленной це...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
Hauptverfasser:	Рачинская, А.Л., Румянцева, Е.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2018
Schriftenreihe:	Прикладная механика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174263
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде / А.Л. Рачинская, Е.А. Румянцева // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 111-119. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-174263
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1742632021-01-11T01:26:13Z Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде Рачинская, А.Л. Румянцева, Е.А. Основная цель исследования – моделирование годографа вектора кинетического момента при различных значениях параметров возмущающих моментов для определения соотношения этих параметров в случае оптимального торможения вращения квазитвердого тела относительно центра масс. Для реализации поставленной цели были поставлены следующие задачи: построение математической модели оптимального торможения вращения квазитвердого тела относительно центра масc в среде с сопротивлением; численный эксперимент при различных значениях параметров возмущающих моментов; трехмерное моделирование годографа вектора кинетического момента. В данной статье представлены результаты исследования последней из вышеупомянутых задач, а именно моделирование годографа вектора кинетического момента квазитвердого тела. Досліджено оптимальне за швидкодією гальмування динамічно несиметричного тіла. Дослідження проводиться в безрозмірному вигляді, що дозволяє отримати багатопараметричну систему рівнянь руху. Моделюється годограф вектора кінетичного моменту в тривимірному просторі при різних значеннях параметрів системи. Зроблено висновок, що для оптимального гальмування тіла в запропонованій постановці необхідні певні співвідношення між параметрами задачі. An optimal by braking processing speed of dynamically asymmetric body is studied. This study is carried out in a non-dimensional form that makes it possible to obtain a multi-parameter system of motion equations. In the three-dimensional space, the vector hodograph of the angular momentum is modeled under different values of the system parameters. It is concluded that the optimal braking of body in the proposed statement some relationships among the problem parameters are needed. 2018 Article Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде / А.Л. Рачинская, Е.А. Румянцева // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 111-119. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174263 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Основная цель исследования – моделирование годографа вектора кинетического момента при различных значениях параметров возмущающих моментов для определения соотношения этих параметров в случае оптимального торможения вращения квазитвердого тела относительно центра масс. Для реализации поставленной цели были поставлены следующие задачи: построение математической модели оптимального торможения вращения квазитвердого тела относительно центра масc в среде с сопротивлением; численный эксперимент при различных значениях параметров возмущающих моментов; трехмерное моделирование годографа вектора кинетического момента. В данной статье представлены результаты исследования последней из вышеупомянутых задач, а именно моделирование годографа вектора кинетического момента квазитвердого тела.
format	Article
author	Рачинская, А.Л. Румянцева, Е.А.
spellingShingle	Рачинская, А.Л. Румянцева, Е.А. Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде Прикладная механика
author_facet	Рачинская, А.Л. Румянцева, Е.А.
author_sort	Рачинская, А.Л.
title	Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде
title_short	Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде
title_full	Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде
title_fullStr	Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде
title_full_unstemmed	Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде
title_sort	оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/174263
citation_txt	Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде / А.Л. Рачинская, Е.А. Румянцева // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 111-119. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Прикладная механика
work_keys_str_mv	AT račinskaâal optimalʹnoetormoženievraŝenijnesimmetričnogotelavsoprotivlâûŝejsâsrede AT rumâncevaea optimalʹnoetormoženievraŝenijnesimmetričnogotelavsoprotivlâûŝejsâsrede
first_indexed	2025-07-15T11:12:11Z
last_indexed	2025-07-15T11:12:11Z
_version_	1837711157782118400
fulltext	2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 6 111 А . Л . Р а ч и н с к а я 1 , Е . А . Р у м я н ц е в а 2 ОПТИМАЛЬНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, ул. Дворянская, 2, Одесса, 65082, Украина; e-mail: 1 rachinskaya@onu.edu.ua; 2 alenarumyantseva1@gmail.com Abstract. An optimal by braking processing speed of dynamically asymmetric body is studied. This study is carried out in a non-dimensional form that makes it possible to obtain a multi-parameter system of motion equations. In the three-dimensional space, the vector hodograph of the angular momentum is modeled under different values of the system pa- rameters. It is concluded that the optimal braking of body in the proposed statement some relationships among the problem parameters are needed. Key words: rotation, time-optimal deceleration, vector hodograph, angular momentum, resistant medium, viscous fluid. Введение. Исследование задач динамики и управления движением твердых тел вокруг непо- движной точки остается актуальным на протяжении многих десятилетий. Это обу- словлено ростом требований к точности решения практических задач космонавтики, гироскопии и др. Стремительное развитие IT-технологий позволяет не только приме- нять новые методики исследования задач, но и проводить моделирование исследуе- мых процессов. Разработка собственных пакетов для моделирования механических процессов позволяет проводить исследования движения твердого тела относительно неподвиж- ной точки под действием различных силовых факторов, а также их совокупности. Для каждого силового фактора строится необходимая физическая и математическая моде- ли, а также исследуется вопрос взаимодействия силовых факторов. Для обобщения полученных результатов необходимо строить модели в безразмерном виде, выбирая в качестве масштаба характерные параметры задачи. Одной из важных характеристик вращательного движения твердого тела относи- тельно неподвижной точки является вектор кинетического момента. Годограф данно- го вектора является пространственной кривой, которая позволяет исследовать харак- тер движения твердого тела и определить необходимые соотношения между парамет- рами модели для получения оптимального режима в управлении твердым телом. Движение твердого тела относительно неподвижной точки в [4 – 7, 10 – 12, 14] складывается из движения Эйлера – Пуансона вокруг вектора кинетического момента и движения самого вектора кинетического момента. Если на тело не действуют мо- менты приложенных сил, то оно совершает некоторое движение, которое называется невозмущенным и является движением Эйлера – Пуансона. В реальных условиях на тело действуют возмущающие моменты внешних и внутренних сил, в частности, си- лы сопротивления внешней среды и внутренние диссипативные силы. Такое движе- ние называется возмущенным. Работы [4 – 7, 10 – 12, 14] посвящены исследованию возмущенных движений твердого тела под действием моментов сил разной физической природы. В моногра- фии В.В. Белецкого [5] проводится описание методов исследования движения под действием гравитационных, магнитных, аэродинамических моментов и моментов сил 112 светового давления. В статье Ф.Л.Черноусько [11] рассматривается движение твердо- го тела с полостью (квазитвердого тела), заполненной жидкостью большой вязкости. В работе Л.Д.Акуленко и Д.Д.Лещенко [4] изучено вращение вокруг неподвижной точки в сопротивляющейся среде. Известны работы, в которых изучались частные случаи интегрирования уравнений движения [6, 7, 10, 14]. Повышающиеся требования к качеству функционирования летательных и косми- ческих аппаратов приводят к построению законов управления движениями сложных нелинейных систем и их оптимизации. Некоторые работы с использованием различ- ных методов посвящены оптимальному управлению движением твердого тела отно- сительно центра масс [1, 12]. §1. Цель исследования, постановка проблемы и её решение. Основная цель исследования – моделирование годографа вектора кинетического момента при различных значениях параметров возмущающих моментов для опреде- ления соотношения этих параметров в случае оптимального торможения вращения квазитвердого тела относительно центра масс. Для реализации поставленной цели были поставлены следующие задачи: построение математической модели оптимального торможения вращения квази- твердого тела относительно центра масc в среде с сопротивлением; численный эксперимент при различных значениях параметров возмущающих мо- ментов; трехмерное моделирование годографа вектора кинетического момента. В данной статье представлены результаты исследования последней из вышеупо- мянутых задач, а именно моделирование годографа вектора кинетического момента квазитвердого тела. Моделирование годографа вектора кинетического момента квазитвердого тела. Рассматривается динамически несимметричное квазитвердое тело, моменты инерции которого для определенности удовлетворяют неравенству 1 2 3A A A  . На основе подхода [1, 13] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси ( , 1, 2, 3),iOx i  связанной с квазитвердым телом системы координат (уравнения Эй- лера), могут быть представлены в виде [11, 14, 1, 13]   u r cJ J    ω ω ω M M M . (1.1) Здесь uM − вектор управляющего момента сил; rM  момент сил диссипации; cM  момент сил вязкой жидкости в полости тела, 1 2 3J diag( , , )A A A − тензор инерции те- ла, ( , , )p q rω − вектор абсолютной угловой скорости. Кинетический момент тела определяется стандартным образом ;JG ω  1 2 3, , ;G G GG 1 1 ;G A p 2 2 ;G A q 3 3G A r , где 2 2 2 1 2 3G G G G   G его величина. Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращения 0( ) ;t  ω ω ( ) 0;T ω min ;T  u 1.u Требуется найти квазиоптимальный закон управления в виде синтеза ( , ),u u t ω соответствующую ему траекторию 0 0( , , )t tω ω и время быстродействия 0( , ).T T t ω В работе предполагается, что движение квазитвердого тела происходит в среде с сопротивлением, которое моделируется моментом вида r  M LJω . Здесь 1 2 3diag( , , )L    − тензор сопротивления среды. Сопротивление, действующее на тело, представлено тремя парами приложенных сил. При этом, проекции момента этих пар на главные оси инерции тела являются величинами 1 1A p , 2 2A q , 3 3A r [3, 4, 7, 10], где 1.  113 Далее предполагается, что в полости находится жидкость большой вязкости, т.е. 1  ( 1( ~ 1).   Форма полости принимается близкой к сферической, тогда, следуя [2], для тензора вязких сил P имеем выражение diag(1,1,1);P P 7 8 ; 525 a P    * .P P Здесь  ,   плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости в поло- сти соответственно, a  радиус полости. Тензор P , зависящий только от формы полости, характеризует внутренний дис- сипативный момент сил в квазистатическом приближении, обусловленный вязкой жидкостью в полости. Для простоты в уравнениях (1.1) рассмотрен так называемый скалярный тензор, определенный одной скалярной величиной * 0P  . Компоненты этого тензора имеют вид *ij ijP P , где ij  символы Кронекера (такой вид тензор P имеет, например, в случае сферической полости). Если форма полости существен- но отличается от сферической, то определение компонент тензора представляет собой значительные вычислительные трудности. Величина управляющего момента сил uM предполагается малой порядка  . Компоненты управляющих моментов на оси iOx представлены в виде произведений постоянных ,ib имеющих размерность момента сил, на малый параметр  и безраз- мерные управляющие функции iu , подлежащие определению, u i i iM b u . Выражения 1,2,3b характеризуют эффективность системы управления по каждой из связанной осей. Известно [1], что при ib b ( 0b  ), где параметр b может быть функцией време- ни, оптимальный по быстродействию закон торможения имеет вид: 1 i iM G G  . Движение в этом частном случае системы управления было изучено в [1]. Если величины ib близки, то указанный закон торможения будет квазиоптималь- ным [1, 12]. Для прикладных задач представляет интерес исследование движения квазитвер- дого тела с заданным законом управления достаточно простого вида [1, 12]: 1 1 1 ; A p M b G   2 2 2 ; A q M b G   3 3 3 . A r M b G   Момент сил вязкой жидкости в полости cM с учетом внешних силовых факторов согласно [11] определяется следующим образом: 1 2 3 ;c m P m m            M (1.2)     2 22 33 31 322 1 1 1 1 32 3 22 2 1 33 1 3 1 b b G bqr m p q r A A G A A G                                  1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 b qr p b A A A b A A A G GA          2 2 2 1 2 2 3 1 3 1 3 3 2 1 1 2 3 ( )( ) ( )( ) p q A A A A A A r A A A A A A A A A           . 114 Выражения для 2m , 3m получаются из 1m в (1.2) циклической перестановкой ве- личин 1A , 2A , 3A и p , q , r . При этом, коэффициенты, 2 2 2 ,ib G  ,ib G  2 ib G в ( 1, 2, 3)im i  остаются неизменными, а слагаемые, содержащие 31 , 32 , 2 2 31 32  , имеют подобный вид. Направляющие косинусы ij выражаются через углы Эйлера , ,   по известным формулам [5]. Без учета влияния uM и rM на cM с точностью до величины первого порядка малости  момент сил вязкой жидкости в полости имеет вид 2 2 2 1 2 2 3 1 3 1 3 3 2 1 2 2 3 2 3 3 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 2 1 3 1 1 2 3 2 3 2 2 1 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c p q A A A A A A r A A A A A A P q r A A A A A A p A A A A A A A A A r p A A A A A A q A A A A A A                                    M . (1.3) Ограничимся указанным выражением в первом приближении. Упрощенные на основе выражения (1.3) уравнения управляемого движения (1.1) в проекциях на глав- ные центральные оси инерции имеют вид   21 1 3 2 1 1 2 1 2 2 3 1 1 2 3 ( )( ) A p P A p A A qr b A p p q A A A A A A G A A A             2 3 1 3 3 2 1( )( ) ;r A A A A A A      (1.4)   22 2 1 3 2 2 3 2 3 3 1 2 1 2 3 ( )( ) A q P A q A A pr b A q q r A A A A A A G A A A             2 1 2 1 1 3 2( )( ) ;p A A A A A A        23 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3 ( )( ) A r P A r A A pq b A r r p A A A A A A G A A A             2 2 3 2 2 1 3( )( ) .q A A A A A A      Для численного исследования годографа вектора кинетического момента квази- твердого тела приведем систему (1.4) к безразмерному виду. В качестве характерных параметров задачи выберем момент инерции твердого тела относительно оси 1 1,x A начальную скорость вращения твердого тела 2 2 2 0 0 0 0 .p q r    Введем безразмерное время 0t  и безразмерные величины 0 ,p p  0 ,q q  0 ,r r  2 2 1 ,A A A 3 3 1 ,A A A 0 .G G G Введем обозначения для соотношений величин коэффициентов управляющего момента 1 1 3 ; b b   2 2 3 b b   , для величин коэффициентов момента диссипации – 1 1 0 ;    2 2 0 ;    3 3 0    115 и характерные числа задачи 3 1 0 0 b G    и 1 0 2 2 3 A P A A    ( 2 ~  ). В результате получим систему вида 2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2( ) (1 )( 1) (1 )( 1) ; dp p rq A A p p q A A A A r A A A A d G                                     2 3 2 1 2 2 2(1 ) dq q A pr A A A q d G                  2 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2( )( 1 ) ( 1)(1 ) ;q r A A A A A p A A A                     (1.5) 3 2 1 3 3 3( 1) dr r A pq A A A r d G                 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3( 1)(1 ) ( )( 1 )r p A A A q A A A A A                     . Имеем многопараметрическую систему дифференциальных уравнений, численное исследование которой позволит построить и проанализировать годограф вектора ки- нетического момента G квазитвердого тела. §2. Результаты исследования и их анализ. В случае 1 2 1   для 1 2 3      и 2 0  известен закон изменения модуля вектора кинетического момента и время торможения твер- дого тела [2, 3]. В этом случае годограф вектора кинетического момента имеет вид, представлен- ный на рис. 1. На рисунке представлены два годо- графа вектора кинетического момента. Кривая 1 построена для твердого тела с гео- метрией масс 2 0,8A  и 3 0,6.A  В начальный момент времени проекции вектора угловой скорости на оси ( 1, 2, 3)iOx i  имеют зна- чения: 0 0,5;p  0 0,25q  и 0 1,404.r  Для характерного числа выбрано значение 1 0,01  и коэффициенты сопротивления 1 2 3 0,01     . Кривая 2 получена для твердого тела с геометрией масс 2 0,85A  и 3 0,75.A  В начальный момент времени проекции вектора угловой скорости на оси ( 1,2,3)iOx i  имеют значения 0 0,6;p  0 0,8q  и 0 0,56.r  Для характерного числа выбрано значение 1 0,005  и коэффи- циенты сопротивления 1 2 3 0,001.     В первом расчетном случае годограф вектора кинетического момента охватывает ось 3x , а во втором  ось 1x . Поворот вектора происходит около указанных осей на про- тяжении всего времени торможения. В первом расчетном случае в начальный момент времени выполняется неравенство 2 2 32 2TA G TA     , а во втором  2 1 22 2TA G TA     , что и определяет ось годографа вектора кинетического момента. Из неравенства 2 22G TA  можно получить соотношение между проекциями уг- ловой скорости на оси 1x и 3x 2 22 3 3 21 A A p A r A       . (2.1) Рис. 1 116 На рис. 2 показаны квадранты неравен- ства (2.1). Прямая соответствует равенству 2 22 3 3 2 , 1 A A p A r A       полуквадрант А  годо- граф вектора кинетического момента, охва- тывающий ось 1,x полуквадрант В  ось 3.x Угол наклона прямой зависит от геометрии масс твердого тела, а, следовательно, и вели- чина квадрантов зависит от геометрии масс твердого тела. С помощью квадрантов (рис. 2) можно показать, как вид годографа вектора кинети- ческого момента зависит от соотношения величин проекций угловых скоростей p и r . На рис. 2 в одном масштабе представлены кривые, образованные точками с коор- динатами 2 22 3 3 2 , 1 A A p A r A         согласно проведенному численному эксперименту. Кри- вая 1 (рис. 2) соответствует годографу 1 (рис. 1), кривая 2  годографу 2. Из рис. 2 видно, что на протяжении всего времени торможения твердого тела кривые сохраня- ют свое расположение в соответствующих квадрантах: кривая 1 находится в полук- вадранте В, что соответствует вращению твердого тела около оси 3x ; кривая 1 нахо- дится в полуквадранте А, что соответствует вращению твердого тела около оси 1x . Исследование движения твердого тела проводится для 1 0,005  , так как для меньших 1 (при 2 0  ) влияние управляющего момента мало, что упрощает мо- дель исследования до движения твердого тела в среде с сопротивлением. Такое ис- следование было проведено в [8]. Проведено численное исследование для различ- ных значений коэффициентов управляющего момен- та при выполнении неравенства 1 2 1   для твер- дого тела, кинематические и геометрические харак- теристики которого в начальный момент времени удовлетворяют неравенству 2 2 32 2TA G TA     . Ис- следование показало, что практически во всех рас- четных случаях получен годограф вектора кинетиче- ского момента подобный представленному на рис. 3. Кривая соответствует расчетному случаю 0 0,5;p  0 0,25;q  1 0,01;  1 2 3     0,001; 1 0,1;  2 0,2  и геометрии масс 2 0,8;A  3 0,6.A  Изначально кривая годо- графа охватывает ось наименьшего момента инерции 3x , затем при убывании модуля век- тора кинетического момента наблюдается по- ворот самого вектора к оси наибольшего мо- мента инерции 1x , около которой и происхо- дит торможение твердого тела. Рис. 4 иллюст- рирует ось годографа вектора кинетического момента при движении твердого тела в процес- се торможения. Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 117 При увеличении коэффициентов управляющего момента область годографа из квадранта А умень- шается. Установлено, что для коэффициента управ- ляющего момента 2 1  всегда есть значения 1 2  , при которых вектор кинетического момен- та совершает поворот от оси наименьшего момента инерции 3x к оси 1x . Численное исследование годографа вектора кинетического момента было прове- дено для твердого тела с коэффициентами управляющего момента вида 1 2 1   для твердого тела с той же геометрией масс, что и в предыдущем расчете. Кривая (рис. 5) соответствует расчетному случаю 0 0,5;p  0 0,25;q  1 0,01;  , 1 2   3 0,001;  1 1,4;  2 1,2.  Получено, что годограф вектора кинети- ческого момента всегда остается в квадранте В, что представлено на рис. 6. Проводился численный эксперимент при различных значениях коэффициентов управ- ляющего момента для твердого тела, кинема- тические и геометрические характеристики которого в начальный момент времени удо- влетворяют неравенству 2 1 22 2TA G TA     . В этом случае годограф вектора кинетического момента в начальный момент времени охва- тывает ось наибольшего момента инерции 1x . Если выполняется неравенство 1 2 1   , то годограф вектора всегда остается около оси 1x , т.е. в полуквадранте А, подобно кривой 2 (рис. 1). В случае неравенства 1 2 1   для коэффициентов управляющего момента наблюдается поворот от оси 1x к оси 3x , т.е. переход от полуквадранта А к полуквадранту В. Проведенное численное исследование позволяет сделать вывод, что в случае ма- лого момента сопротивления среды, при движении твердого тела под действием управляющего момента в задаче оптимального по быстродействию торможения мгно- венная ось вращения относительно центра масс стремится занять положение оси с наименьшим управляющим моментом. При моделировании сопротивления среды с параметрами 1 2 30,001      (2.2) в уравнениях (1.5) в случае управляющего момента с коэффициентами 1 2 1   ха- рактер поведения годографа кинетического момента подобен кривой рис. 3. При этом наблюдается уменьшение времени торможения и более быстрый поворот к оси 1x по сравнению с 1 2 3 0,001.     Например, при параметрах рис. 3 для коэффициентов момента сопротивления 1 0,001;  2 0,002;  3 0,005  (среда с малым сопротивле- нием) уменьшение времени торможения происходит на 4% и времени поворота на 33%. Проводился численный эксперимент годографа вектора кинетического момента в среде с параметрами 1 2 3 0,001     (2.3) при управляющем моменте с неравенством 1 2 1.   Было получено, что для лю- бой комбинации параметров 1 и 2 существует комбинация параметров 1 , 2 , 3 , при которых годограф принимает вид кривой, представленной на рис. 5. Так же ис- Рис. 5 Рис. 6 118 следованы случаи комбинаций параметров 1 2 3 0,001,     1 2 1   и 0,001 1 2 3 1 2, 1.         Проведенное численное исследование показало, что в среде с сопротивлением, параметры которого удовлетворяют неравенству (2.2), необходимо проводить опти- мальное торможение твердого тела управляющим моментом с коэффициентами 1 2 1   . В случае выполнения неравенства (2.3)  с коэффициентами 1 2 1   . Проведено исследование влияния момента сил вязкой жидкости в полости квази- твердого тела на годограф вектора кинетического момента. Ранее установлено, что при возмущенном движении тела под влиянием только момента сил вязкой жидкости в полости независимо от начального положения вектор кинетического момента стре- мится к оси максимального момента инерции, т.е. тело стремится к стационарному движению [9]. Совместное влияние управляющего момента и мо- мента сил вязкой жидкости приводит к годографам вектора кинетического момента таких же видов, как представлено ранее, что зависит от соотношения без- размерных коэффициентов ( 1,2)i i  , геометрии масс квазитвердого тела и от значений проекций вектора кинетического момента в начальный момент времени. Годограф кинетического момента для квазитвердого тела с геометрией масс 1 2 3A A A  , при коэффициен- тах управляющего момента с неравенством 1 2 1   , при выполнении в начальный момент времени неравенства 2 2 32 2 ,TA G TA     всегда будет подобен годографу на рис. 7, а для неравенства 2 1 22 2TA G TA     – на рис. 8. Проведенное численное исследование для различ- ных начальных условий движения тела, для квазитвердых тел с разной геометрией масс и для различных значе- ний коэффициентов управления позволило сделать следующий вывод. Для квазитвердых тел с геометрией масс 1 2 3A A A  рекомендуется проводить оптималь- ное торможение тела управляющим моментом с коэф- фициентами 1 2 1   при выполнении в начальный момент времени неравенства 2 1 22 2TA G TA     , а для квазитвердых тел с геометрией масс 1 2 3A A A   с коэффициентами управляющего момента 1 2 1   при выполнении в начальный момент времени неравенства 2 2 32 2TA G TA     . Влияние сопротивления среды на характер годографа вектора кинетического мо- мента твердого тела подробно изучено в [8]. В случае движения в среде с сопротивле- нием квазитвердого тела с геометрией масс 1 2 3A A A  так же получены годографы, изображенные на рис. 7 и 8. Годограф, представленный на рис. 7, имеет место для случая 1 2 3 0,001     , при выполнении в начальный момент времени неравен- ства 2 2 32 2TA G TA     , а для неравенства 2 1 22 2TA G TA     в начальный момент вре- мени, годограф представлен на рис. 8. Таким образом, получено, что движение квазитвердого тела с геометрией масс 1 2 3A A A  при выполнении неравенства 2 2 32 2TA G TA     в начальный момент вре- мени независимо от модели сопротивления среды всегда будет характеризоваться поворотом оси вращения тела: от оси минимального момента инерции 3x к оси мак- симального момента инерции 1x . Рис. 7 Рис. 8 119 Для среды с большим сопротивлением торможение тела может происходить быстрее, чем поворот к оси максимального момента инерции 1x . При выполнении в начальный момент времени неравенства 2 1 22 2TA G TA     для квазитвердого тела с геометрией масс 1 2 3A A A  в среде с сопротивлением, для ко- торой коэффициенты проекций момента сопротивления удовлетворяют неравенству 1 2 3 0,001,     торможение твердого тела будет проходить без поворота оси вращения квазитвердого тела, так как годограф вектора кинетического момента изна- чально охватывает ось наибольшего момента инерции 1x . Аналогичное исследование было проведено для тела с геометрией масс 1 2 3A A A  . Выводы. В случае оптимального торможения квазитвердого тела в среде с сопротивлением для процесса торможения вращательного движения тела без поворота оси вращения всегда можно определить значения коэффициентов управляющего момента 1 2 1   для тела с геометрией масс 1 2 3A A A  или 1 2 1   – для тела с геометрией масс 1 2 3A A A  . Теоретическое значение представленного исследования определяется тем, что был предложен новый метод определения характера годографа вектора кинетического мо- мента квазитвердого тела посредством использования квадрантов неравенства (2.1). Представленный нами метод позволит заменить более трудоемкий метод графи- ческого построения трехмерного годографа вектора кинетического момента. Предлагаемая стратегия разработана для практического применения в системах управления ориентацией и стабилизацией движения квазитвердых тел, спутников, ракетно-космической техники, космических аппаратов. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших научных разра- ботках, посвященных анализу оптимального торможения квазитвердых тел в гравита- ционном поле. РЕЗЮМЕ. Досліджено оптимальне за швидкодією гальмування динамічно несиметричного ті- ла. Дослідження проводиться в безрозмірному вигляді, що дозволяє отримати багатопараметричну систему рівнянь руху. Моделюється годограф вектора кінетичного моменту в тривимірному просторі при різних значеннях параметрів системи. Зроблено висновок, що для оптимального гальмування тіла в запропонованій постановці необхідні певні співвідношення між параметрами задачі. 1. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1987.  368 с. 2. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Рачинская А.Л., Зинкевич Я.С. Возмущенные и управляемые движения твердого тела. – Одесса: Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, 2013.  288 с. 3. Акуленко Л.Д., Зинкевич Я.С., Лещенко Д.Д. Оптимальное торможение вращений динамически несимметричного тела в сопротивляющейся среде // Известия РАН. Теория и системы управле- ния. – 2011. № 1. – С. 16  21. 4. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Быстрое вращение вокруг неподвижной точки тя- желого твердого тела в сопротивляющейся среде // Изв. АН СССР. МТТ. – 1982. № 3. – С. 5 – 13. 5. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс.  М.: Наука, 1965.  416 с. 6. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов: Аналитические методы.  М.: Наука, 1985.  288 с. 7. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т.II.  М.: Наука, 1983.  464 с. 8. Рачинская А.Л. Вращение твердого тела в среде с сопротивлением // Вісник Одеськ. нац. ун-ту. Матем. і мех. – 2014. – Т. 19, вип. 3 (23). – С. 84 – 92. 9. Рачинская А.Л. Движение твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Космиче- ские исследования. – 2015. – 53, № 6. – С. 516  520. 10. Смольников Б.А. Обобщение эйлерова случая движения твердого тела // ПММ. – 1967. – 31, вып.4. – С. 735  736. 11. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса // ЖВМ и МФ. – 1965. 5. – С. 1049  1070. 12. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями.  М.: Наука, 1980.  384 с. 13. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д. Эволюция движений твердого тела относительно центра масс. – Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2015.  308 с. 14. Gurchenkov A.A., Nosov M.V., Tsurkov V.I. Control of Fluid Containing Rotating Rigid Bodies.  New York: CRC Press, 2013.  160 p. Поступила 26.12.2017 Утверждена в печать 22.05.2018

Оптимальное торможение вращений несимметричного тела в сопротивляющейся среде

Institution

Ähnliche Einträge